Unità didattica sui limiti - IIS "Einaudi-Scarpa" - Prof. Sorbaioli Francesco

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

Prof. F. SorbaioliIstituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa”Montebelluna(TV)

Breve storia del concetto di limite

• Spesso si considera come data di nascita del concetto di limite il 1821, perché in quell'anno L.

• A. Cauchy pubblica il suo Cours d'analyse, cioè l'opera che raccoglie le sue lezioni di analisi tenute

• presso l'École Polytechnique di Parigi. Qui Cauchy dà una definizione di limite in questi termini:

• "Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a

• un valore fissato, sì da differirne alle fine tanto poco quanto si vorrà, quest'ultima quantità è

• chiamata il limite di tutte le altre".

• Definisce poi sia la nozione di infinitesimo, una "variabile che ha zero come limite", sia quella di

• infinito, una variabile i cui successivi valori numerici "crescono sempre più, in modo da superare

• ogni numero dato". Tratta anche del limite di successioni, in particolare per la successione delle

• somme parziali delle serie.

• La formulazione che oggi usiamo per il limite di una funzione, è successiva ed è dovuta

• principalmente a Karl Weirstrass (1815-1897). A Cauchy va il merito di aver dato una rigorosa

• sistemazione ad un concetto che già da molto tempo era trattato dai matematici. Facendo un

• percorso a ritroso, possiamo osservare che già attorno alla metà del XVIII secolo, la voce limite

• appare nell'Encyclopedy di Diderot e d'Alembert. D'Alembert, che compila la voce assieme

• all'Abbé de la Cappelle, sostiene la necessità di porre la teoria del limite alla base del calcolo

• differenziale, calcolo che era stato scoperto da Leibniz e Newton alla fine del XVII secolo, basato

• sull'uso degli infinitesimi.


• Le cosiddette “prime e ultime ragioni” della Philosophiae naturalis Principia mathematica (1687)

• di Newton non sono altro che un modo un po' contorto per esprimere che due rapporti tendono allo

• stesso limite. Il bolognese Pietro Mengoli nella sua Geometriae speciosae elementa (1659) aveva

• dedicato un capitolo alla teoria dei limiti, fornendo diverse proprietà e teoremi e mostrando di avere

• un'idea ben chiara di grandezza che tende all'infinito (quasi infinita), che tende a zero (quasi nulla)

• o di due grandezze che tendono allo stesso limite (quasi aequales). Ma già i greci calcolavano dei

• limiti di successioni, mediante il procedimento oggi detto metodo di esaustione.

• Il metodo d'esaustione, ideato da Eudosso di Cnido (c.a. 408-355 a.C.), è un procedimento per

• confrontare due grandezze omogenee (aree, volumi), non equiscomponibili rispettivamente in un

• numero finito di triangoli o parallelepipedi, attraverso il confronto per equiscomponibilità di

• grandezze omogenee incluse nella data o includenti la data e a questa approssimantesi.

• Col metodo d'esaustione Eudosso mostrò che una piramide è la terza parte del prisma avente

• la stessa base e stessa altezza, come pure un cono rispetto al cilindro con stessa base e stessa

• altezza. Ne fece uso anche Euclide, mediante il quale dimostrò che il rapporto tra l'area del cerchio

• e quadrato del diametro è costante, come pure tra volume della sfera e cubo del diametro.

• Il più geniale maestro nell'uso del metodo di esaustione fu Archimede, mediante il quale ottenne quelle

• che oggi noi diciamo le formule per trovare l'area del cerchio, la superficie o il volume di una sfera

• e altri risultati ancora.


• Per esempio, Archimede approssimò il cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti a

• partire dal quadrato e raddoppiando via via il numero dei lati e sostanzialmente provò che le aree

• di tali poligoni tendono (quelli circoscritti per eccesso e quelli inscritti per difetto) a una stessa

• grandezza, che è l'area del cerchio.

• Sempre col metodo d'esaustione e approssimando l'area di un segmento di parabola con quella

• di poligoni ottenuti dall'unione di successivi e opportuni triangoli, mostrò che l'area del segmento di

• parabola è i 4/3 di quella del triangolo inscritto in tale segmento.

• Possiamo quindi dire che le prime applicazioni del procedimento infinito di limite sono state per

• calcolare aree e volumi. Ma il limite è anche l'unico strumento con cui poter, per così dire,

• “maneggiare con sicurezza” tanto gli infinitesimi che gli infiniti. Oggi è il fondamento di tutto il

• calcolo differenziale e integrale, le cui applicazioni sono numerosissime, non solo in matematica e

• fisica, ma in tutte le scienze.


Premesse di metodo

• Il concetto di limite è il fondamento concettuale del calcolo infinitesimale. Il concetto di limite è più un mezzo che un fine, il fine è introdurre la derivata e l'integrale.

• Il concetto di limite è di per sé molto interessante, perché mostra come la matematica nei tempi moderni (dal 19° sec.) abbia saputo “domare” i procedimenti infiniti, strappare l’infinitesimo e l’infinito dal limbo delle idee vaghe o contraddittorie, e ricondurlo alle idee già note attorno ai numeri, per dare un ruolo fondamentale ai concetti di grandezza variabile, funzione, variabile logica.


Conseguenze didattiche :

• Dare rilievo inizialmente alla definizione di limite, la comprensione del concetto, che non va confinato nel solo piano intuitivo, ma affrontato anche nel suo aspetto formale.

• Questa comprensione è aiutata vedendo la definizione in azione, il che accade quando questa entra in qualche dimostrazione.

• Il concetto di derivata costituirà la prima forte motivazione per cui “è valsa la pena” introdurre i limiti; avvicinare perciò i due argomenti nel tempo.

• Allo studente non si deve chiedere di saper risolvere limiti complicati, ma forme fondamentali.


Obiettivi riguardo ai limiti:

• Concettuale: comprendere la definizione di asintoto, continuità, derivata, integrale, e la dimostrazione di almeno alcuni teoremi di calcolo differenziale.

• Computazionale: capire come si ricavano le formule di derivazione delle funzioni elementari, saper trovare gli asintoti di una funzione .


La “preparazione remota” al calcolo infinitesimale (negli anni precedenti)

• La familiarità col concetto di funzione reale di variabile reale nei suoi vari aspetti logici, analitici, grafici.

• Funzione come elemento sintetico tra algebra, trigonometria, geometria analitica, esponenziali e logaritmi.

• Funzione come sequenza di istruzioni da “montare e smontare”, idea di composizione e dominio di una funzione composta (es. log di… radice di…).

• Monotonia delle funzioni elementari e disequazioni.• Padronanza dei grafici delle funzioni elementari.• Dai grafici di funzioni elementari a quelli di traslate, dilatate,

riflesse.• Funzioni definite “a pezzi” e funzione logica “se - allora”


La “preparazione remota” al calcolo infinitesimale (negli anni precedenti)

• Uso di valori assoluti e disuguaglianze. Occorre riprendere:

• Il concetto di valore assoluto; • modulo della differenza come distanza sulla retta, significato

geometrico di disuguaglianze come

Il modulo del prodotto (quoziente) è il prodotto (quoziente) dei moduli, mentre il modulo della somma...disuguaglianza triangolare. Come si scrive una catena di disuguaglianze.


Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ?

1. LA DEFINIZIONE

Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente.

f(x) non si avvicinaad alcun valoredeterminato.

Quando xsi avvicina a x0,f(x) si avvicina aun valore l che èproprio f(x0).

x0 non appartieneal campo di esistenza.

Quando xsi avvicina a x0,f(x) si avvicina aun valore l che non è f(x0).


ESEMPIO

Cosideriamo la funzione:

.

Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3?

1. LA DEFINIZIONE

x f(x)2,9 5,82,99 5,982,999 5,9982,99995,9998

x f(x)3,1 6,23,01 6,023,001 6,0023,0001 6,0002

6

è |x – 3| < .

Cioè, per ogni numero reale positivo e,se

,

allora.

La condizione per avere |f(x) – 6| < e


1. LA DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

Limite finito per x che tende a x0

Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0, e si scrive

,

quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti

per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x0.

In simboli .


Fissiamo > 0. Individuiamo un intorno I di x0 tale che per ogni . Se riduciamo e, troviamo un intorno di x0 più piccolo.

Qual è il significato intuitivo della definizione?

2. IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE

L’esistenza del limite assicura che:se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l .

In simboli .


Per ogni troviamo l’insieme dei valori di x che soddisfano la condizione

3. LA VERIFICA

ESEMPIO

Verifichiamo che .

e verifichiamo che contenga un intorno di 2.

Quindi ,cioè

da cui si ricava .

In temini di intervalli: ,

che è un intorno di 2.Prof. F. SorbaioliIstituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa”Montebelluna(TV)

4. LE FUNZIONI CONTINUE

DEFINIZIONE

Una funzione f è continua in x0

DEFINIZIONE

Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D.

Se una funzione è continua in un punto, il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione.

se x0 appartiene al dominio di f e il limite in x0 coincide con f(x0),cioè:

.

Funzioni continue in intervalli reali

La funzione costantef(x) = k, continua in tutto R.La funzione polinomialef(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R.La funzione radice quadrata , continua in R+ U {0}.

Le funzioni goniometriche (esempi)f(x) = sen(x), continua in tutto R.f(x) = cotg(x), continua in R – {kp, }.La funzione esponenzialef(x) = ax, con a > 0, continua in tutto R.

La funzione logartimicaf(x) = logax, con a > 0, , continua in R+.


Il limite esiste e vale 3.Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0

escluso) la funzione assume sempre valori maggiori di 3.

La funzione tende a 3 da valori più grandi.

5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO

DEFINIZIONE

Se la funzione f è tale che

e assume, in un intorno di x0, sempre valori maggiori di l,

Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori.

si dice che f(x) tende a l per eccessoe si scrive:

.

ESEMPIO

Verifichiamo che .

Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui

0 < (4x2 – 3) – (–3) < e ,ossia 0 < 4x2 < e .

La seconda, 4x2 < e , è soddisfatta per

.

La prima relazione, 0 < 4x2, dà .


5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO

DEFINIZIONE

Se la funzione f è tale che

e assume, in un intorno di x0, sempre valori minori di l,

Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori.

si dice che f(x) tende a l per difettoe si scrive:

.


6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO

DEFINIZIONE

Si scrive

e si dice che l è il limite destro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x0.

Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno destro di x0, .

Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

DEFINIZIONE

Si scrive

e si dice che l è il limite sinistro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x0.

A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno sinistro di x0, .


6.IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO

ESEMPIO

Consideriamo la funzione

e verifichiamo che, .

Limite destroVerifichiamo se |f(x) – 3| < e è soddisfatta in un intorno destro di 1.

Soddisfatta in .

Limite sinistroVerifichiamo se |f(x) – 2| < e è soddisfatta in un intorno sinistro di 1.

Soddisfatta in .

| (2x + 1) – 3 | < e- e < 2x – 2 < e

| (3x – 1) – 2 | < e- e < 3x – 3 < e


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