Unita`...1.Introduzione alle funzioni Che cos’e` una funzione? In questa Unita` riprendiamo e...

1. Introduzione alle funzioni

Che cos’e una funzione?

In questa Unita riprendiamo e approfondiamo un tema fondamentale gia intro-

dotto nel primo biennio e che ci accompagnera in tutto il nostro corso: quello

delle funzioni. Per poter definire il concetto di funzione dobbiamo anzitutto de-

finire quello di relazione.

RELAZIONE

Una relazione e una legge che permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli ele-

menti di un insieme di partenza A uno o piu elementi di un insieme di arrivo B.

ESEMPI

a. Nella fig. 2.1 abbiamo rappresentato tramite un diagramma a frecce la rela-

zione che associa a ogni citta dell’insieme A la regione dell’insieme B cui ta-

le citta appartiene.

b. Nella fig. 2.2 abbiamo rappresentato tramite un diagramma a frecce la rela-

zione che associa a ogni regione dell’insieme A le citta dell’insieme B che

appartengono a tale regione.

A

Milano Lombardia

Torino

Bologna

Roma

B

Piemonte

Emilia Romagna

Lazio

Sicilia

ALiguria Genova

Toscana

Campania

Puglia

B

Firenze

Pisa

Napoli

Bari

Figura 2.1 Figura 2.2

La relazione rappresentata in fig. 2.1 ha una particolare caratteristica, che non

possiede la relazione in fig. 2.2: da ogni elemento di A parte una e una sola frec-

cia verso qualche elemento di B. Cio significa che ogni elemento di A e in relazio-

ne con un unico elemento di B. Le relazioni che hanno questa proprieta si dico-

no funzioni.

FUNZIONE

Siano A e B due insiemi non vuoti; si dice funzione da A a B una relazione che

associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

L’insieme di partenza A si chiama dominio della funzione, l’insieme di arrivo B

si chiama codominio.

Esempio Controesempio

In un insieme di persone, la relazioneche associa a ciascuna di esse la sua etadefinisce una funzione.

Infatti a ogni persona resta associata un’unica eta.

In un insieme di persone, la relazioneche associa a ciascuna di esse i suoi figli,in generale, non definisce una funzione.

Infatti qualcuno potrebbe non avere figlio averne piu di uno.

Unita2Funzioni

66

TemaA

Modi di dire

Poiche una funzione facorrispondere a ognielemento di A uno e un soloelemento di B, viene dettaanche corrispondenzaunivoca. Un altro sinonimodi funzione e applicazione.

Le funzioni vengono indicate con lettere dell’alfabeto, generalmente minuscole,

come f , g, ::::: Per indicare che f e una funzione di dominio A e di codominio B si

scrive:

f : A ! B che si legge: «f e una funzione da A a B»

Quando e data una funzione f , l’immagine di un elemento x appartenente al do-

minio della funzione, cioe l’elemento nel codominio che tramite f corrisponde a

x, viene indicata con il simbolo:

f ðxÞ che si legge «f di x»

Se l’elemento y e l’immagine di x tramite una certa funzione f , si puo anche dire,

simmetricamente, che x e la controimmagine di y.

In particolare, l’insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del domi-

nio A e chiamato (insieme) immagine della funzione, e lo si indica con f ðAÞ.

Funzioni reali di variabile reale e loro classificazione

Fra i vari tipi di funzioni, giocano un ruolo di primo piano le funzioni che hanno

come dominio e codominio sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali: queste

funzioni sono chiamate funzioni reali di variabile reale e saranno l’oggetto

principale del nostro corso.

La legge che definisce una funzione f , reale di variabile reale, viene solitamente

assegnata mediante un’equazione del tipo:

y ¼ f ðxÞ

dove f ðxÞ e un’espressione nella variabile x, detta espressione analitica della

funzione, oppure mediante una scrittura del tipo:

f ðxÞ ¼ ::::::::::

dove al posto dei puntini vi e appunto l’espressione analitica della funzione.

ESEMPI

a. La funzione f , da R a Rþ0 , che associa a ogni numero reale il suo quadrato,

puo venire assegnata, in modo equivalente, in una delle seguenti due for-

me:

y ¼ x2 oppure f ðxÞ ¼ x2

b. La funzione f , da R a R, che associa a ogni numero reale il numero stesso,

detta funzione identita, puo venire assegnata, in modo equivalente, in una

delle seguenti due forme:

y ¼ x oppure f ðxÞ ¼ x

Se la funzione e assegnata tramite l’equazione:

y ¼ f ðxÞ

si dice che x e la variabile indipendente, perche a essa puo venire assegnato un

valore arbitrariamente scelto nel dominio, mentre y e la variabile dipendente,

perche il valore assunto da y dipende da quello assegnato alla x.

ESEMPIO Valori assunti da una funzione

Data la funzione f definita da y ¼ 3x2 � 2x, determiniamo i valori assunti da y

quando:

a. x ¼ 4 b. x ¼ �2

Altre notazioni

L’insieme immaginedi una funzione f vienetalvolta indicatocon il simbolo Imðf Þ.

Unita

2Fu

nzioni

67�

a. Il valore assunto da y quando x ¼ 4 si puo determinare sostituendo 4 al po-

sto di x nell’equazione che definisce f :

y ¼ 3 � 42 � 2 � 4 ¼ 3 � 16 � 8 ¼ 40

b. Analogamente, il valore assunto da y quando x ¼ �2 e:

y ¼ 3 � ð�2Þ2 � 2 � ð�2Þ ¼ 3 � 4 þ 4 ¼ 16

Si puo anche scrivere: f ð4Þ ¼ 40 e f ð�2Þ ¼ 16.

In base all’espressione analitica di una funzione, si puo effettuare una prima sem-

plice classificazione delle funzioni reali di variabile reale.

Se nell’espressione analitica della funzione la variabile indipendente (tipicamen-

te xÞ e soggetta soltanto a un numero finito di operazioni di addizione, sottrazio-

ne, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza a esponente razionale o

estrazione di radice si dice che la funzione e algebrica, altrimenti si dice che e

trascendente.


Sono funzioni algebriche:

a. y ¼ x4

b. y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 13

p

c. y ¼ 1

x þ x2

Non sono funzioni algebriche:

a. y ¼ 3xþ1

b. y ¼ x � 6x

c. y ¼ 1

2xx

Nell’insieme delle funzioni algebriche si distinguono: le funzioni intere (o poli-

nomiali), nelle quali la variabile indipendente non compare in alcun denomi-

natore, da quelle frazionarie (o fratte); le funzioni razionali, nelle quali la va-

riabile indipendente non compare sotto alcun segno di radice, da quelle irra-

zionali.

Funzioni

algebriche

intere frazionarie

razionali irrazionali razionali irrazionali

trascendenti

ESEMPI Classificazione di una funzione algebrica

a. La funzione y ¼ x4 � x2 e intera razionale.

b. La funzione y ¼ 1

x4 � x2e frazionaria razionale.

c. La funzione y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 3x

pe intera irrazionale.

d. La funzione y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 13

p e frazionaria irrazionale.

Il dominio di una funzione reale di variabile reale

Una funzione reale di variabile reale, chiamiamola f , viene di solito assegnata

tramite la sua espressione analitica, senza specificarne il dominio e il codominio

(come abbiamo fatto negli esempi precedenti, dopo i primi).

Attenzione!

Non e detto che l’espressioneanalitica di una funzionenumerica possa semprevenire espressa tramite unasola espressione algebrica.Per esempio, una funzionepotrebbe essere definita da:

f xð Þ ¼ x2 se x � 0x3 se x < 0

�

Non e nemmeno detto che lalegge che definisce unafunzione numerica possasempre venire espressatramite una «formula». Peresempio, la funzionef : N ! N che associa a ognix 2 N il numero dei numeriprimi minori di x e bendefinita, ma non esiste«formula» in grado diesprimere la legge che ladefinisce.

TemaA

Equazioni,disequazioniefunzioni

68

�

In tal caso si assume per convenzione:

� come dominio, l’insieme costituito da tutti i numeri reali x per cui esiste il corri-

spondente valore f ðxÞ (tale insieme viene anche detto dominio naturale della

funzione);

� come codominio, l’insieme R.

Quando x appartiene (non appartiene) al dominio della funzione diremo anche

che f e definita (non definita ) in x.

Per determinare il dominio di una funzione algebrica occorre imporre che:

� gli eventuali denominatori che compaiono nella sua espressione analitica siano

diversi da zero;

� i radicandi degli eventuali radicali di indice pari che compaiono nella sua

espressione analitica siano maggiori o uguali a zero.

ESEMPI Dominio di una funzione algebrica

Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni:

a. y ¼ x4 � x2 b. y ¼ 1

x4 � x2c. y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 3x

p

d. y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix þ 13

p e. y ¼ffiffiffix

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi5 � x

pf. y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix � 2

p

x2 þ x þ 1

a. La funzione e definita per ogni valore reale di x, quindi il dominio e R.

b. La funzione e definita purche il denominatore sia diverso da zero:

x4 � x2 6¼ 0 ) x2ðx2 � 1Þ 6¼ 0 ) x 6¼ 0 ^ x 6¼ �1

Il dominio della funzione e l’insieme R� 0, � 1f g.

c. La funzione e definita purche il radicando del radicale sia maggiore o ugua-

le a zero:

x2 þ 3x � 0 ) x � �3 _ x � 0

Il dominio della funzione e l’insieme ð�1, � 3� [ ½0, þ1Þ.

d. Poiche un radicale di indice dispari e sempre definito, l’unica condizione

da porre e che il denominatore sia diverso da zero:ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 13

p6¼ 0 ) xþ 1 6¼ 0 ) x 6¼ �1

Il dominio della funzione e l’insieme R� �1f g.

e. La funzione e definita purche i radicandi di entrambi i radicali siano mag-

giori o uguali a zero:

x � 0

5 � x � 0) 0 � x � 5

�

Il dominio della funzione e l’intervallo [0, 5].

f. La funzione e definita purche il radicando sia maggiore o uguale a zero e il

denominatore sia diverso da zero:

x� 2 � 0x2 þ xþ 1 6¼ 0

�

Osserviamo che la seconda condizione e sempre verificata (perche il discri-

minante del trinomio x2 þ xþ 1 e negativo, quindi il trinomio non si an-

nulla mai). Pertanto il sistema e verificato per x � 2. Il dominio della fun-

zione e dunque l’intervallo ½2, þ1Þ.

Quando una funzione esprime una grandezza in funzione di un’altra, puo essere

necessario «restringere» il suo dominio naturale, in base a particolari condizioni

fisiche o geometriche, legate al contesto da cui scaturisce la funzione.

Modi di dire

Il dominio di una funzionedi variabile reale, definitadalla formula y ¼ f ðxÞ, edetto anche insieme didefinizione o, se stabilitocome indicato qui a lato,campo di esistenza.

Unita

2Fu

nzioni

69

ESEMPIO Dominio di una funzione proveniente da un problema geometrico

Un rettangolo non degenere e inscritto in una circonferenza di raggio 1. Esprimia-

mo l’area del rettangolo in funzione della misura 2x della base del rettangolo e

determiniamo il dominio della funzione cosı scaturita, in relazione al problema

geometrico.

O

D

A

H

C

B

2x

x

1

Figura 2.3

� Espressione analitica della funzione che esprime l’area in funzione di x

Facciamo riferimento alla fig. 2.3 che rappresenta il problema. Applicando il

teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHC, dove H e il punto medio di

BC, si puo ricavare:

CH ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x2

p

Ne segue che BC ¼ 2CH ¼ 2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x2

p.

Percio, detta AðxÞ l’area del rettangolo, si ha:

AðxÞ ¼ AB � BC ¼ ð2xÞð2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x2

pÞ ¼ 4x

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x2

p

� Dominio della funzione

Determinare il dominio della funzione AðxÞ scaturita, in relazione al problema

geometrico, significa determinare quali valori puo assumere la variabile x, re-

lativamente al problema. Osserviamo intanto che x potra variare tra 0 e 1 per-

che la misura 2x della base AB puo variare tra 0 e 2. Il valore x ¼ 0 corrisponde

al caso limite in cui A � B e C � D (fig. 2.4), mentre il valore x ¼ 1 corrispon-

de al caso limite in cui A � D e B � C (fig. 2.5).

O

C ≡ D

A ≡ Bx = 0

OB ≡ CA ≡ D

x = 1Figura 2.4 Figura 2.5

Escludendo i due casi limite, x ¼ 0 e x ¼ 1, poiche in questi casi il rettangolo

ABCD degenera in un segmento (come mostrato nelle figg. 2.4 e 2.5), concludia-

mo che il dominio della funzione, in relazione al problema, e l’intervallo (0, 1).

Osserva che il dominio naturale della funzione, indipendentemente dal pro-

blema geometrico, sarebbe invece l’intervallo [�1, 1].

Il grafico di una funzione

Data una funzione f : A ! B, si chiama grafico della funzione l’insieme:

ðx, f ðxÞÞ j x 2 Af g

Se f e una funzione reale di variabile reale, si usa «tracciare il grafico» della fun-

zione, cioe rappresentare nel piano cartesiano l’insieme dei punti di coordinate

(x, yÞ tali che y ¼ f ðxÞ.

TemaA


70

Cio che contraddistingue, nel piano cartesiano, il grafico di una funzione e il fatto

che nessuna retta verticale (parallela all’asse y) puo intersecarlo in due punti di-

stinti (cio infatti violerebbe la definizione di funzione, perche significherebbe

che allo stesso valore di x sono associati due valori di y).

ESEMPI Riconoscere il grafico di una funzione

Riconosciamo se le seguenti curve rappresentano il grafico di una funzione:

a b

x

y

Ox

y

O

a. La curva tracciata in fig. a rappresenta il grafico di una funzione perche, co-

munque si tracci una retta verticale, essa interseca il grafico della funzione

in un unico punto.

b. Poiche ciascuna delle rette tratteggiate in fig. b interseca la curva in due

punti distinti, non si tratta del grafico di una funzione.

Almeno nei casi piu semplici, il grafico di una funzione di cui sia data l’equazio-

ne puo essere tracciato per punti.

ESEMPIO Tracciare il grafico di una funzione per punti

Tracciamo per punti il grafico della funzione y ¼ � 1

2x2.

1o passo: costruiamo una tabelladi valori per x e y

2o passo: rappresentiamo i punticorrispondenti sul piano cartesiano

3o passo: congiungiamoi punti con una linea continua

x

y

Ox

y

O

y =– 12

x2

x y

�4 � 1

2ð�4Þ2 ¼ �8

�3 � 1

2ð�3Þ2 ¼ � 9

2

�2 � 1

2ð�2Þ2 ¼ �2

�1 � 1

2ð�1Þ2 ¼ � 1

2

0 � 1

2ð0Þ2 ¼ 0

1 � 1

2ð1Þ2 ¼ � 1

2

2 � 1

2ð2Þ2 ¼ �2

3 � 1

2ð3Þ2 ¼ � 9

2

4 � 1

2ð4Þ2 ¼ �8

Unita

2Fu

nzioni

71

L’uguaglianza di due funzioni

Due funzioni si dicono uguali se hanno lo stesso grafico. Pertanto possiamo dare

la seguente definizione piu particolareggiata.

FUNZIONI UGUALI

Due funzioni f e g sono uguali se hanno lo stesso dominio A e inoltre risulta:

f ðxÞ ¼ gðxÞ per ogni x 2 A


Le due funzioni definite da:

f ðxÞ ¼ x2 � 1 e gðxÞ ¼ x4 � 1

x2 þ 1

sono uguali.

Infatti hanno lo stesso dominio, R,e per ogni x 2 R risulta:

gðxÞ ¼ x4 � 1

x2 þ 1¼ ðx2 � 1Þðx2 þ 1Þ

ðx2 þ 1Þ ¼

¼ x2 � 1 ¼ f ðxÞ

Le due funzioni

f ðxÞ ¼ x þ 1 e gðxÞ ¼ x2 � 1

x � 1

non sono uguali.

Infatti non hanno lo stesso dominio:la funzione f e definita in R mentrela funzione g e definita in R� 1f g.Si puo tuttavia verificare che per ogni x 6¼ 1risulta f ðxÞ ¼ gðxÞ, quindi il graficodelle due funzioni differisce soloper un punto (fig. 2.6).

x

f(x) = x + 1

y

O x

y

O

g(x)= x2–1x –1

Figura 2.6 Il grafico della funzione g differisce da quello della funzione f per il fatto che non viappartiene il punto di coordinate (1, 2).

ESERCIZI a p. 88Prova tu

1. Stabilisci se le seguenti relazioni definiscono delle

funzioni:

a. la relazione che associa a ogni regione d’Italia i

suoi capoluoghi di provincia (considera come do-

minio e codominio, rispettivamente, l’insieme

delle regioni e dei capoluoghi di provincia d’Ita-

lia);

b. la relazione che associa a ogni persona il suo anno

di nascita (considera come dominio un insieme

di persone e come codominio N);

2. Data la funzione f ðxÞ ¼ x4 � x2, determina:

a. f ðffiffiffi2

pÞ b. f ð�2Þ c. f ð2xÞ þ f ðxÞ

3. Classifica le seguenti funzioni e individua il loro do-

minio:

a. y ¼ x2

x� 1c. y ¼ x7 � x5

b. y ¼ 3x2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p d. y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi5x� x2

pþ

ffiffiffix3

p

4. Traccia per punti il grafico delle seguenti funzioni,

dopo aver individuato il dominio di ciascuna:

a. y ¼ xþ 1 b. y ¼ � 1

2x2 c. y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

p

5. Stabilisci se le seguenti funzioni f e g sono uguali:

f ðxÞ ¼ x4 � 16

x2 � 4; gðxÞ ¼ x2 þ 4

TemaA


72

2. Prime proprieta delle funzioni realidi variabile reale

Come abbiamo anticipato, lo studio delle funzioni reali di variabile reale sara il

«filo rosso» che, a volte esplicitamente, a volte implicitamente, leghera tutti gli

argomenti che affronteremo. Abbiamo gia visto, nel paragrafo precedente, come

determinare il dominio di una funzione reale di variabile reale. Man mano che

approfondiremo le nostre conoscenze acquisiremo strumenti matematici sempre

piu «sofisticati» che, al termine del percorso, ci metteranno in grado di determi-

nare tutte le piu importanti caratteristiche di una funzione reale di variabile rea-

le. In questo paragrafo vogliamo cominciare a riflettere su alcune di queste carat-

teristiche.

Il segno di una funzione

Dopo aver determinato il dominio di una funzione y ¼ f ðxÞ, la «seconda fase» di

uno studio elementare della funzione consiste nello studio del segno della fun-

zione. Si tratta cioe di stabilire per quali valori di x del dominio risulta

f ðxÞ < 0, f ðxÞ ¼ 0 o f ðxÞ > 0

Il grafico di y ¼ f ðxÞ:� e «al di sopra» dell’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ > 0; per

questi valori di x la funzione si dice positiva;

� incontra l’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ ¼ 0; questi valori

di x si dicono zeri della funzione e si dice che la funzione si annulla in corri-

spondenza di essi;

� e «al di sotto» dell’asse x in corrispondenza dei valori di x per cui f ðxÞ < 0; per

questi valori di x la funzione si dice negativa.

ESEMPIO Deduzione del segno e degli zeri dal grafico

Consideriamo la funzione y ¼ f ðxÞ, il cui grafico e tracciato in figura, e stabiliamo

dove essa e positiva, dove e negativa e quali sono i suoi zeri.

Possiamo osservare che:

� per x < �4 e per 1 < x < 3 il grafico della funzione e al di sotto dell’asse x,

quindi la funzione e negativa;

� per x ¼ �4, per x ¼ 1 e per x ¼ 3 la funzione si annulla, quindi la funzione

ha tre zeri: �4, 1 e 3;

� per �4 < x < 1 e per x > 3 il grafico della funzione e al di sopra dell’asse x,

quindi la funzione e positiva.

Dal punto di vista algebrico:

� per stabilire quando la funzione y ¼ f ðxÞ e positiva bisogna risolvere la disequa-

zione f ðxÞ > 0;

� per determinare gli zeri della funzione occorre risolvere l’equazione f ðxÞ ¼ 0;

� per stabilire quando la funzione e negativa bisogna risolvere la disequazione

f ðxÞ < 0.

ESEMPIO Studio del segno di una funzione polinomiale

Determiniamo il dominio e il segno della funzione y ¼ x3ðx2 � 4Þ e rappresentia-

mo graficamente le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il suo grafico.

� Dominio

Si tratta di una funzione polinomiale, quindi e definita in R.

� Studio del segno

y > 0 ) x3ðx2 � 4Þ > 0 ) �2 < x < 0 _ x > 2 Risolvendo la disequazione

x

y

y = f (x)

y > 0

y < 0

O 1 3–4B CA

Unita

2Fu

nzioni

73�

y ¼ 0 ) x3ðx2 � 4Þ ¼ 0 ) x ¼ �2 _ x ¼ 0 _ x ¼ 2 Risolvendo l’equazione.La funzione ha tre zeri:�2, 0, 2

y < 0 ) x3ðx2 � 4Þ < 0 ) x < �2 _ 0 < x < 2 Basta determinare ilcomplementare rispetto aldominio dell’insieme deivalori di x per cui y � 0

� Rappresentazione delle regioni del piano cui appartiene il grafico

Dalle informazioni acquisite deduciamo che il grafico della funzione appar-

tiene alla regione di piano cartesiano colorata in fig. 2.7. Nel grafico, abbia-

mo indicato con un punto pieno gli zeri.

x2–2

y

OFigura 2.7 Per x < �2 e per 0 < x < 2, la funzione e negativa,quindi il suo grafico e al di sotto dell’asse x: abbiamo percioevidenziato in azzurro la corrispondente parte al di sotto del-l’asse x ed «escluso» con un tratteggio la parte al di sopra del-l’asse x. Analogamente negli intervalli �2 < x < 0 e x > 2 do-ve la funzione e positiva.

ESEMPIO Studio del segno di una funzione irrazionale

Determiniamo il dominio e il segno della funzione y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p� 2 e rappresen-

tiamo graficamente le regioni del piano cartesiano alle quali appartiene il suo gra-

fico.

� Dominio

La funzione e definita per x2 � 1 � 0, cioe per x � �1 _ x � 1.

� Studio del segno

y > 0 )ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p� 2 > 0 ) x2 � 1 > 4 ) x < �

ffiffiffi5

p_ x >

ffiffiffi5

p

y ¼ 0 )ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p� 2 ¼ 0 ) x2 � 1 ¼ 4 ) x ¼ �

ffiffiffi5

pCi sono 2 zeri

y < 0 )ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p� 2 < 0 ) x2 � 1 � 0

x2 � 1 < 4) �

ffiffiffi5

p< x � �1 _ 1 � x <

ffiffiffi5

p�

� Rappresentazione delle regioni del piano cui appartiene il grafico

In base alle informazioni che abbiamo dedotto, il grafico della funzione ap-

partiene alla regione di piano cartesiano colorata in fig. 2.8.

x1–1

y

O– 5 5

Figura 2.8 Abbiamo escluso la striscia di piano i cui punti so-no tali che �1 < x < 1 perche la funzione non e ivi definita; lerestanti parti sono state «escluse», e risultano percio indicatecon un tratteggio, in base alle considerazioni dedotte dallo stu-dio del segno.

Funzioni pari e funzioni dispari

Un’altra caratteristica di una funzione che possiamo fin d’ora riconoscere e l’e-

ventuale simmetria del suo grafico.

Osserviamo per esempio il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ in fig. 2.9. Esso ha la

caratteristica di essere simmetrico rispetto all’asse y. Cio significa che, per ogni

suo punto Pðx, yÞ, anche il punto P0ð�x, yÞ, suo simmetrico rispetto all’asse y, vi

appartiene. Alle funzioni che hanno questa proprieta si da un nome particolare.

Attenzione!

Invece di risolverela disequazione,per determinare i valori di xper cui y < 0 si potevadeterminareil complementare rispettoal dominio (non a tutto Rcome nell’esempioprecedente) dell’insiemedei valori di x per cui y � 0.

x

y

O

PP'

Figura 2.9

TemaA


74

�

FUNZIONI PARI

Una funzione definita da y ¼ f ðxÞ si dice pari se per ogni x appartenente al do-

minio della funzione anche �x vi appartiene e risulta:

f ð�xÞ ¼ f ðxÞ

In tal caso, il grafico della funzione risulta simmetrico rispetto all’asse y.

In modo analogo, possiamo considerare le funzioni i cui grafici sono simmetrici

rispetto all’origine: per esempio, il grafico in fig. 2.10.

In questo caso, per ogni punto Pðx, yÞ appartenente al grafico della funzione, an-

che il punto P0ð�x,�yÞ, suo simmetrico rispetto all’origine, appartiene al grafico.

FUNZIONI DISPARI

Una funzione definita da y ¼ f ðxÞ si dice dispari se per ogni x appartenente al

dominio della funzione anche �x vi appartiene e risulta:

f ð�xÞ ¼ �f ðxÞ

In tal caso, il grafico della funzione risulta simmetrico rispetto all’origine.

ESEMPI Riconoscere, dal grafico, se una funzione e pari o dispari

Stabiliamo se le funzioni che hanno i seguenti grafici sono pari, dispari o ne una ne l’altra cosa.

x

y

Ox

y

O x

y

O

a b c

a. Il grafico in fig. a e simmetrico rispetto all’asse y, quindi e il grafico di una funzione pari.

b. Il grafico in fig. b e simmetrico rispetto all’origine, quindi e il grafico di una funzione dispari.

c. Il grafico in fig. c non e simmetrico ne rispetto all’asse y, ne rispetto all’origine, quindi e il grafico di

una funzione che non e ne pari ne dispari.

ESEMPI Stabilire se una funzione di assegnata equazione e pari o dispari

Stabiliamo se le funzioni definite dalle seguenti equazioni sono pari o dispari.

a. y ¼ jxj b. y ¼ffiffiffix

pc. y ¼ x3

x2 þ 1d. y ¼ x5 � 1

a. Sostituiamo �x al posto di x in f ðxÞ ¼ jxj. Abbiamo:

f ð�xÞ ¼ j � xj ¼ jxj ¼ f ðxÞ Ricorda che due numeri opposti hanno lo stessovalore assoluto

Concludiamo che la funzione assegnata e pari.

b. La funzione y ¼ffiffiffix

pe definita soltanto per x � 0. Per ogni x > 0 si ha che

f ðxÞ esiste mentre f ð�xÞ non esiste: percio la funzione data non e ne pari

ne dispari.

x

y

OP

P'

Figura 2.10

Unita

2Fu

nzioni

75�

c. Sostituiamo �x al posto di x in f ðxÞ ¼ x3

x2 þ 1. Abbiamo:

f ð�xÞ ¼ ð�xÞ3

ð�xÞ2 þ 1¼ � x3

x2 þ 1¼ �f ðxÞ

Concludiamo che la funzione assegnata e dispari.

d. Sostituiamo �x al posto di x in f ðxÞ ¼ x5 � 1. Abbiamo:

f ð�xÞ ¼ �x5 � 1

E chiaro che risulta f ð�xÞ 6¼ f ðxÞ; essendo anche f ð�xÞ 6¼ �f ðxÞ (poiche

�f ðxÞ ¼ �x5 þ 1Þ, la funzione data non e ne pari ne dispari.

Funzioni crescenti e funzioni decrescenti

Terminiamo questo paragrafo introducendo un’altra importante caratteristica

che puo presentare il grafico di una funzione. Osserva il grafico della funzione in

fig. 2.11.

x

y

O–4

A

C

B

D E

52

10–7

Figura 2.11

Se immaginiamo che un punto mobile «percorra» il grafico a partire dal punto A

fino ad arrivare al punto E, nel verso indicato dalle frecce, ci accorgiamo che:

� da A a B il punto si muove nel verso delle ordinate positive, cioe «sale»;

� da B a C il punto si muove nel verso delle ordinate negative, cioe «scende»;

� da C a D il punto torna a «salire»;

� da D ad E il punto percorre un tratto «costante» (ne in salita ne in discesa).

Per descrivere questi tre possibili comportamenti del grafico di una funzione, in-

troduciamo alcune definizioni, illustrate in fig. 2.12 e formalizzate a pagina se-

guente.

x

y

Oa

bx1

f(x1)

f(x2)

x2

I = a, b

a. Per ogni x1 < x2 risulta f ðx1Þ < f ðx2Þ:la funzione e strettamente crescentein [a, b].

x

y

Oab

x1

f(x1) f(x2)

x2

I = a, b

b. Per ogni x1 < x2 risulta f ðx1Þ > f ðx2Þ:la funzione e strettamente decrescentein [a, b].

x

y

Oa bx1

f(x1) f(x2)

x2

I = a, b

c. Per ogni x1, x2 risulta f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ:la funzione e costante in [a, b].

Figura 2.12

Per esempio, la funzione il cui grafico e tracciato in fig. 2.11 e:

� strettamente crescente nell’intervallo ½�7, �4� e nell’intervallo ½2, 5�;� strettamente decrescente nell’intervallo ½�4, 2�;� costante nell’intervallo ½5, 10�.

TemaA


76

�

FUNZIONI STRETTAMENTE CRESCENTI, DECRESCENTI E COSTANTI

Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione y ¼ f ðxÞ.a. f si dice strettamente crescente in I se:

x1 < x2 ) f ðx1Þ < f ðx2Þ per ogni x1, x2 2 I

b. f si dice strettamente decrescente in I se:

x1 < x2 ) f ðx1Þ > f ðx2Þ per ogni x1, x2 2 I

c. f si dice costante in I se:

f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ per ogni x1, x2 2 I

Nell’intervallo [2, 10] la funzione in fig. 2.11 non e strettamente crescente, per-

che e costante in [5, 10], pero non decresce. Per descrivere anche questo compor-

tamento si introducono le seguenti definizioni.

FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI IN SENSO LATO

Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione y ¼ f ðxÞ.a. f si dice crescente in senso lato in I se:

x1 < x2 ) f ðx1Þ � f ðx2Þ per ogni x1, x2 2 I

b. f si dice decrescente in senso lato in I se:

x1 < x2 ) f ðx1Þ � f ðx2Þ per ogni x1, x2 2 I

Possiamo allora dire, per esempio, che la funzione rappresentata in fig. 2.11 e

crescente in senso lato nell’intervallo [2, 10].

ESEMPI Stabilire dal grafico gli intervalli in cui una funzionee crescente o decrescente

Stabiliamo gli intervalli dove le funzioni, i cui grafici sono tracciati nelle figure se-

guenti, sono crescenti o decrescenti, in senso stretto o in senso lato.

x

y

O(–7, 0)

(–4, –3)

(–1, 0)

(2, 6) (5, 6)

(7, 3)

x

y

O

–2

–32

3

a b

a. La funzione il cui grafico e tracciato in fig. a e strettamente decrescente ne-

gli intervalli [�7, � 4] e [5, 7], costante nell’intervallo [2, 5] e strettamente

crescente nell’intervallo [�4, 2]. Nell’intervallo [2, 7] la funzione e decre-

scente in senso lato.

b. La funzione e strettamente decrescente in ciascuno dei due intervalli

ð�1, 0Þ e ð0, þ1Þ, ma non e strettamente decrescente in tutto il suo do-

minio, cioe in R� 0f g.

Infatti puoi osservare per esempio che:

�3 < 3 ma f ð�3Þ ¼ �2 < f ð3Þ ¼ 2

Osserva

L’insieme I puo coinciderecon il dominio dellafunzione o essere un suosottoinsieme proprio.

Modi di dire

Alcuni testi chiamanofunzioni crescenti(decrescenti) quelle che noiabbiamo chiamatostrettamente crescenti(strettamente decrescenti), enon crescenti (nondecrescenti) le funzioni chenoi abbiamo chiamatodecrescenti in senso lato(crescenti in senso lato).

Unita

2Fu

nzioni

77

Nel prosieguo, quando parleremo semplicemente di funzione «crescente» o «de-

crescente», senza specificare se in senso stretto o in senso lato, converremo di ri-

ferirci a funzioni crescenti o decrescenti in senso stretto.

FUNZIONE MONOTONA

Una funzione crescente o decrescente (in senso stretto o lato) in un insieme I

viene detta monotona in I.


1. Determina il dominio e il segno delle seguenti funzioni e rappresenta le regioni del piano cartesiano alle quali ap-

partiene il grafico di ciascuna. Stabilisci inoltre se ciascuna funzione e pari o dispari.

a. y ¼ 1 �ffiffiffix

pb. y ¼ x2 � 4x c. y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 2x

p�

ffiffiffi3

pd. y ¼ x2 � 1

xe. y ¼ jxj � 1 f. y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � jxj

q

2. In riferimento alla funzione il cui grafico e rappresentato nella figura qui sotto, stabilisci se le seguenti affermazio-

ni sono vere o false.

x

y

O

(–5, –3)

(–2, 0)

(2, 6)

(5, 3)(7, 3)

a. la funzione e strettamente crescente

in [�5, 3] V F

b. la funzione e pari V F

c. la funzione e strettamente decrescente

in [2, 7] V F

d. la funzione e costante in [5, 7] V F

e. la funzione e decrescente in senso lato

in [2, 7] V F

f. la funzione e dispari V F

g. la funzione ha un solo zero V F

h. la funzione e strettamente crescente

in [�5, 2] V F

3. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive

Abbiamo visto, nelle pagine precedenti, una classificazione delle funzioni reali di

variabile reale (algebrica razionale, irrazionale, intera o frazionaria oppure tra-

scendente), in base alle caratteristiche dell’espressione f ðxÞ che compare nell’e-

quazione y ¼ f ðxÞ che definisce la funzione. Un’altra classificazione delle funzio-

ni si basa invece sul comportamento della funzione rispetto all’insieme di arrivo,

cioe al codominio.

In questo paragrafo vediamo come si possono classificare le funzioni secondo

quest’altro punto di vista.

Funzioni iniettive

Introduciamo anzitutto la seguente definizione.

FUNZIONE INIETTIVA

Una funzione f : A ! B si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo

una controimmagine in A.

In modo equivalente, si puo dire che una funzione e iniettiva se manda elemen-

ti distinti in elementi distinti.

Data una funzione reale di variabile reale (per cui, salvo diversa indicazione, si as-

sume come codominio R), essa sara iniettiva se e solo se ogni elemento di R ha al

massimo una controimmagine: cio equivale a dire che ogni retta orizzontale deve

intersecare il grafico della funzione al massimo in un punto.

In simboli

Possiamo scrivere che f einiettiva quando si verificache 8x1, x2 2 A:x1 6¼ x2 ) f ðx1Þ 6¼ f ðx2Þ.

TemaA


78

ESEMPI Stabilire se una funzione di cui e dato il grafico e iniettiva

Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono iniettive.

x

y

O

y = f(x) x

y

y = g(x)

O

a b

a. La funzione in fig. a e iniettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta

orizzontale interseca il grafico della funzione in al massimo un punto.

b. La funzione in fig. b non e iniettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni ret-

ta orizzontale che giace nel primo e nel secondo quadrante interseca il gra-

fico della funzione in due punti.

Data una funzione reale di variabile reale di equazione y ¼ f ðxÞ:

� per dimostrare che non e iniettiva basta esibire una coppia di elementi distinti

x1, x2, appartenenti al dominio della funzione, tali che f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ;

� per provare invece che f e iniettiva occorre mostrare che, per ogni x1, x2 appar-

tenenti al dominio, vale l’implicazione: f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ ) x1 ¼ x2.

ESEMPI Stabilire se una funzione di cui e data l’equazione e iniettiva

Stabiliamo se le seguenti funzioni sono iniettive:

a. y ¼ 1

2x þ 3 b. y ¼ x2 � 2x

a. La funzione e iniettiva. Infatti:

f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ )

) 1

2x1 þ 3 ¼ 1

2x2 þ 3 ) Essendo f ðxÞ ¼ 1

2x þ 3

) 1

2x1 ¼ 1

2x2 ) Sottraendo dai due membri 3 (1o principio di equivalenza

delle equazioni)

) x1 ¼ x2 Moltiplicando i due membri per 2 (2o principio di equiva-lenza delle equazioni)

b. Basta osservare, per esempio, che f ð0Þ ¼ f ð2Þ ¼ 0 per concludere che la fun-

zione non e iniettiva.

Funzioni suriettive

Definiamo ora che cosa si intende per funzione suriettiva.

FUNZIONE SURIETTIVA

Una funzione f : A ! B si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una

controimmagine in A:

In modo equivalente, si puo dire che una funzione e suriettiva se la sua immagi-

ne coincide con il codominio.

In simboli

Possiamo scrivere che f esuriettiva quando si verificache 8y 2 B: 9x 2 A j f ðxÞ ¼ y.

Unita

2Fu

nzioni

79

Data una funzione reale di variabile reale (per cui, salvo diversa indicazione, si as-

sume come codominio R), essa sara suriettiva se e solo se ogni elemento di R ha

almeno una controimmagine: cio equivale a dire che ogni retta orizzontale deve

intersecare il grafico della funzione in almeno un punto.

ESEMPI Stabilire se una funzione di cui e dato il grafico e suriettiva

Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono suriettive.

x

y

y = f(x)

Ox

y

y = g(x)

O

a b

a. La funzione in fig. a e suriettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni retta

orizzontale interseca il grafico della funzione in almeno un punto.

b. La funzione in fig. b non e suriettiva. Come puoi osservare, infatti, ogni

retta orizzontale che giace nel terzo e nel quarto quadrante non ha alcun

punto in comune con il grafico della funzione. Per rendere la funzione su-

riettiva, occorrerebbe restringere il codominio all’intervallo ½0, þ1Þ.

Algebricamente, data una funzione reale di variabile reale di equazione y ¼ f ðxÞ,essa e suriettiva se e solo se, per ogni y 2 R, l’equazione f ðxÞ ¼ y (nell’incognita

xÞ ha almeno una soluzione reale.

ESEMPI Stabilire se una funzione di cui e data l’equazione e suriettiva

Stabiliamo se le seguenti funzioni sono suriettive:

a. y ¼ 1

2x þ 3 b. y ¼ x2 � 2x

a. L’equazione y ¼ 1

2xþ 3 e di primo grado rispetto all’incognita x e, per ogni

y 2 R, ammette come soluzione x ¼ 2y � 6. Possiamo quindi affermare che

si tratta di una funzione suriettiva.

b. L’equazione y ¼ x2 � 2x, equivalente a x2 � 2x� y ¼ 0, e di secondo grado

rispetto all’incognita x e ammette soluzioni reali se e solo se � � 0; la con-

dizione di realta delle soluzioni equivale alla seguente disequazione, che ri-

solviamo:

4 þ 4y � 0 ) y � �1

Vediamo cosı che l’equazione x2 � 2x� y ¼ 0 (nell’incognita xÞ non am-

mette soluzioni per ogni y 2 R ma solo se y appartiene all’intervallo

½�1,þ1Þ. Non si tratta quindi di una funzione suriettiva.

Funzioni biiettive

Si da un nome particolare alle funzioni che sono sia iniettive sia suriettive.

FUNZIONE BIIETTIVA

Una funzione f : A ! B che e sia iniettiva sia suriettiva si dice biiettiva (o corri-

spondenza biunivoca o corrispondenza uno a uno).

Suggerimento

Immagina che x sial’incognita e y rappresenti unparametro.

TemaA


80

In modo equivalente, si puo dire che una funzione f : A ! B e biiettiva se ogni

elemento di B ha una e una sola controimmagine in A.

Data una funzione reale di variabile reale, essa sara biiettiva se e solo se ogni retta

orizzontale interseca il grafico della funzione in uno e un solo punto.

Esempi Controesempi

La funzione che ha il grafico riportato infigura e biiettiva.

x

y

y = f(x)

O

Infatti ogni retta orizzontale interseca ilgrafico della funzione in uno e un solopunto.

La funzione che ha il grafico riportato infigura non e biiettiva.

x

y

y = g(x)

O

Infatti non e iniettiva: ci sono retteorizzontali che intersecano il grafico dellafunzione in piu di un punto.

La funzione y ¼ 1

2x þ 3 e biiettiva.

Abbiamo visto negli esempi precedenti chee iniettiva e suriettiva.

La funzione y ¼ x2 � 2x non e biiettiva.

Abbiamo visto negli esempi precedenti chenon e ne iniettiva ne suriettiva.

Una funzione puo essere: iniettiva ma non su-

riettiva, suriettiva ma non iniettiva, ne inietti-

va ne suriettiva, biiettiva. Riassumendo, la

classificazione delle funzioni in base al com-

portamento rispetto al codominio si puo quin-

di rappresentare mediante il diagramma di

Venn in fig. 2.13.

Funzioni

iniettive

né iniettive né suriettive

suriettivebiiettive

Figura 2.13


1. Nelle seguenti figure sono riportati i grafici di alcune funzioni. Stabilisci se si tratta di funzioni iniettive, suriettive

o biiettive.

x

y

O x

y

O x

y

O

2. Stabilisci se le funzioni seguenti, di cui e data l’equa-

zione, sono iniettive, suriettive o biiettive:

a. y ¼ � 1

2x� 2 b. y ¼ 1

2

ffiffiffix3

pc. y ¼ x2 � 1

3. Una funzione strettamente crescente (o strettamente

decrescente) nel suo dominio e sempre suriettiva? E

sempre iniettiva?

Rifletti

Le definizioni di funzioneiniettiva, suriettiva e biiettivasi possono interpretare comeillustrato qui di seguito inrelazione alla teoria delleequazioni. Una funzionef : A ! B e:a. iniettiva quando, per ognib 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ bha al massimo una soluzionein A;b. suriettiva quando, per ognib 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ bha almeno una soluzionein A;c. biiettiva quando, per ognib 2 B, l’equazione f ðxÞ ¼ bha una e una sola soluzionein A.

Unita

2Fu

nzioni

81

4. Funzione inversa

Consideriamo la funzione f , rappresentata nella fig. 2.14, e costruiamo la relazio-

ne g, definita fra l’immagine I ¼ f ðAÞ di f e l’insieme A, che si ottiene invertendo

il verso delle frecce (fig. 2.15).

Af

a

b

c

d

l

e

B

m

n

o

A g

a

b

c

d

e

B

I

l

m

n

o


La relazione g associa, a ciascun elemento di I, le sue controimmagini tramite f .

La relazione g non e una funzione, perche ci sono elementi di I da cui parte piu di

una freccia. Come deve essere f affinche g sia una funzione?

In base a come abbiamo definito la relazione g, occorre che da ogni elemento

di I esca una e una sola freccia verso A, ovvero ogni elemento di I deve avere

un’unica controimmagine nella f . Cio equivale a dire che la funzione f deve es-

sere iniettiva.

In tal caso, la relazione g definisce una nuova funzione, che si chiama funzione

inversa di f . Queste osservazioni giustificano la seguente definizione.

FUNZIONE INVERTIBILE

Una funzione f si dice invertibile se e solo se e iniettiva: in tal caso, si chiama

funzione inversa di f , e si indica con il simbolo f �1, la funzione che associa a

ciascun elemento dell’immagine di f la sua (unica) controimmagine.

Nota che il dominio di f �1 e l’immagine di f e l’immagine di f �1 e il dominio di f .

Supponiamo che y ¼ f ðxÞ sia una funzione invertibile, reale di variabile reale.

C’e qualche relazione che lega il grafico della funzione f e quello della sua fun-

zione inversa f �1? Proviamo a riflettere: sia Pða, bÞ un punto appartenente al gra-

fico della funzione f . Cio significa che f ðaÞ ¼ b, vale a dire f �1ðbÞ ¼ a. Dunque se

Pða, bÞ appartiene al grafico di f , allora P0ðb, aÞ appartiene al grafico di f �1.

O

y = x

P(a, b)

P'(b, a)

x

y

Figura 2.16

Poiche scambiare l’ascissa con l’ordinata nelle coordinate di un punto equivale a

effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

(fig. 2.16), deduciamo che:

Il grafico della funzione f �1, inversa della funzione f , e il simmetrico del grafi-

co di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Attenzione!

Alcuni testi pongono ilproblema dell’invertibilita diuna funzione in modoleggermente diverso: sidefinisce inversa di unafunzione f : A ! B (se esiste)la funzione f �1 : B ! A che aogni elemento di B associa lasua controimmagine nella f(mentre noi abbiamodefinito come funzioneinversa la funzionef �1 : f ðAÞ ! A che a ognielemento di f ðAÞ associa lasua controimmagine nella f ).Con questa impostazioneuna funzione f risultainvertibile se e solo se ebiiettiva. La piu recenteletteratura scientifica tende aseguire l’impostazione chenoi abbiamo proposto.

Attenzione!

In questo contesto il simbolof �1 indica solo la funzioneinversa di f , non hail significato di «f elevato

alla �1», cioe di1

f.

TemaA


82

Dunque, una volta che e noto il grafico di f , per ottenere il grafico di f �1 basta ef-

fettuare una simmetria rispetto alla suddetta bisettrice.

ESEMPIO Tracciare il grafico dell’inversa di una funzione

In fig. 2.17 e tracciato il grafico di una funzione invertibile. Tracciamo il grafico

della funzione inversa.

Osserviamo che il grafico in fig. 2.17 passa per i punti di coordinate (�5, �5),

(1, �2), (3, 1) e (7, 3). Il grafico della funzione inversa passera per i simmetrici

di questi punti rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Quindi

dovra passare per i punti di coordinate (�5, �5), (�2, 1), (1, 3) e (3, 7). Il grafi-

co della funzione inversa sara allora quello in fig. 2.18.

x

y

O

y = f(x)

(–5, –5)

(1, –2)

(3, 1)

(7, 3)

x

y

O y = f(x)

y = x

y = f −1(x)

(–5, –5)

(1, –2)

(–2, 1)(3, 1)

(1, 3) (7, 3)

(3, 7)


Il legame che abbiamo scoperto tra il grafico di una funzione invertibile e quello

della sua inversa suggerisce anche come ricavare l’equazione che definisce la fun-

zione inversa: basta effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e

del terzo quadrante, cioe scambiare nell’equazione della funzione x con y. In al-

tre parole, se f e definita dall’equazione

y ¼ f ðxÞ

allora f �1 e definita dall’equazione:

x ¼ f ð yÞ

Quest’ultima equazione non e pero espressa nella forma esplicita y ¼ f ðxÞ: risol-

vendola rispetto a y, otterremo l’equazione esplicita di f �1.

ESEMPIO Determinare l’espressione analitica dell’inversa di una funzione

La funzione f ðxÞ ¼ffiffiffix3

p� 1 e invertibile. Determiniamo l’espressione analitica della

funzione inversa.

� 1o passo Consideriamo l’equazione y ¼ f ðxÞ:

y ¼ffiffiffix3

p� 1

e sostituiamo in essa x al posto di y e y al posto di x:

x ¼ ffiffiffiy3

p � 1

� 2o passo Risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a y.

x ¼ ffiffiffiy3

p � 1 Equazione da risolvere rispetto a yffiffiffiy3

p � 1 ¼ x Proprieta simmetrica dell’uguaglianzaffiffiffiy3

p ¼ xþ 1 Isolando il radicale al 1o membro

y ¼ ðxþ 1Þ3Elevando i due membri al cubo si ottiene un’equazione equivalente

Concludiamo che:

f �1ðxÞ ¼ ðxþ 1Þ3

Unita

2Fu

nzioni

83

SINTESI

Procedimento per ricavare l’equazione della funzione inversa di una funzione data

1. Nell’equazione y ¼ f ðxÞ, si sostituisce y al posto di x e x al posto di y, ottenendo

cosı l’equazione:

x ¼ f ð yÞ

2. Se possibile, si risolve l’equazione x ¼ f ð yÞ rispetto a y in modo da ottenere

l’equazione esplicita di f�1.

E importante infine osservare che a volte una funzione puo risultare non inverti-

bile nel suo dominio, ma invertibile se la consideriamo definita in un opportuno

sottoinsieme del dominio. Quando si considera una funzione definita su un sot-

toinsieme del suo dominio si parla di restrizione della funzione.

ESEMPIO Restrizione di una funzione

La funzione y ¼ x2 non e invertibile perche non e iniettiva (fig. 2.19).

E invece invertibile la sua restrizione all’intervallo x � 0, e la sua inversa e

y ¼ffiffiffix

p(fig. 2.20).

x

y

O

y = x2

x

y

con x ≥ 0

O

y = x2

y = x

Figura 2.19 Ogni retta orizzontale che gia-ce nel primo e nel secondo quadrante in-contra il grafico della funzione in due puntidistinti, quindi la funzione non e iniettiva,percio nemmeno invertibile.

Figura 2.20 Il grafico della restrizione diy ¼ x2 all’intervallo x � 0 e della sua funzio-ne inversa.


1. Giustifica perche la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 5x� 6 non e invertibile.

2. Le funzioni seguenti sono invertibili. Dopo aver giustificato perche lo sono, determina l’espressione analitica della

funzione inversa.

a. f ðxÞ ¼ 3x� 2

b. f ðxÞ ¼ x� 3

2xþ 1

�a. f �1ðxÞ ¼ 1

3xþ 2

3; b. f �1ðxÞ ¼ xþ 3

1 � 2x

�

5. L’algebra delle funzioni e le funzionicomposte

L’algebra delle funzioni

Nell’insieme delle funzioni reali di variabile reale possiamo introdurre delle ope-

razioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, del tutto analoghe

a quelle che conosci per gli elementi degli insiemi numerici. Le definizioni sono

le seguenti.

TemaA


84

SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO E QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI

Date due funzioni f e g:

� la funzione somma f þ g e la funzione definita da:

ðf þ gÞðxÞ ¼ f ðxÞ þ gðxÞ

� la funzione differenza f � g e la funzione definita da:

ðf � gÞðxÞ ¼ f ðxÞ � gðxÞ

� la funzione prodotto f � g e la funzione definita da:

ðf � gÞðxÞ ¼ f ðxÞ � gðxÞ

� la funzione quozientef

ge la funzione definita da:

f

g

� �ðxÞ ¼ f ðxÞ

gðxÞ

Le funzioni f þ g, f � g e f � g sono definite in corrispondenza dei valori di x per

cui sono definite sia la funzione f sia la funzione g, quindi il loro dominio e l’in-

tersezione del dominio di f e del dominio di g.

Il dominio dif

ge costituito da tutti i valori di x per cui, oltre a essere definite le

funzioni f e g, e anche gðxÞ 6¼ 0, quindi e costituito da tutti i valori di x, apparte-

nenti all’intersezione del dominio di f e di quello di g, tali che gðxÞ 6¼ 0.

ESEMPI Operazioni tra funzioni

Date le funzioni f e g definite da f ðxÞ ¼ffiffiffix

pe gðxÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix � 2

p, determiniamo l’e-

spressione analitica delle seguenti funzioni e il loro dominio:

a. f þ g b. f � g c. f � g d.f

g

a. La funzione f þ g e definita da:

ðf þ gÞðxÞ ¼ffiffiffix

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

p

La funzione f ha come dominio l’intervallo ½0,þ1Þ, la funzione g ha come

dominio l’intervallo ½2,þ1Þ.Il dominio di f þ g e allora l’intervallo ½2,þ1Þ, intersezione degli intervalli

che costituiscono il dominio di f e il dominio di g.

b. La funzione f � g e definita da:

ðf � gÞðxÞ ¼ffiffiffix

p�


p

Il dominio di f � g e ancora l’intervallo ½2,þ1Þ.

c. La funzione f � g e definita da:

ðf � gÞðxÞ ¼ffiffiffix

p�


p

Il dominio di f � g e, come nei due esempi precedenti, l’intervallo ½2,þ1Þ.

d. La funzionef

ge definita da:

f

g

� �ðxÞ ¼

ffiffiffix

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

p

Il dominio dif

ge l’intervallo ð2;þ1Þ: esso e l’intersezione degli intervalli

che costituiscono il dominio di f e il dominio di g, privata del valore x ¼ 2

per cui si annulla la funzione g.

Attenzione!

La funzione prodotto

ð f � gÞðxÞ ¼ffiffiffix

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

pnon

e uguale alla funzione

hðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixðx� 2Þ

p.

Infatti, in base alladefinizione di uguaglianza difunzioni data nel Paragrafo1, perche due funzioni sianouguali devono in particolareavere lo stesso dominio.Invece il dominio di f � g e½2, þ1Þ mentre il dominiodella funzione h eð�1, 0� [ ½2, þ1Þ.Per ragioni analoghe lafunzione quoziente

f

g

� �ðxÞ ¼

ffiffiffix


p non

e uguale alla funzione

zðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x

x� 2

r.

Unita

2Fu

nzioni

85

Composizione di funzioni

Nell’insieme delle funzioni e possibile definire anche un nuovo tipo di operazio-

ne, diversa dalle usuali operazioni algebriche: l’operazione di composizione, defi-

nita come segue.

FUNZIONE COMPOSTA

Date due funzioni f e g, si dice funzione composta di f e g, e si indica con il

simbolo g f (che si legge: «g composto f »), la funzione definita da:

ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ

Graficamente: x f(x) g(f(x))f

g ° f

g

Affinche sia possibile calcolare gðf ðxÞÞ, f ðxÞ deve appartenere al dominio di g.

Percio il dominio di g f e costituito da tutti gli elementi appartenenti al domi-

nio di f tali che f ðxÞ appartiene al dominio di g.

ESEMPIO Determinare la funzione composta di due funzioni assegnate

Sono date le funzioni f ðxÞ ¼ x � 1 e gðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix þ 3

p. Determiniamo l’espressione

analitica di g f e di f g, specificando il dominio di tali funzioni.

Determiniamo l’espressione analitica di g f :

ðg f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ¼ gðx� 1Þ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiðx� 1Þ þ 3

p¼


p

Definizione difunzione composta f ðxÞ ¼ x � 1 gðxÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix þ 3

p

Il dominio della funzione g f e costituito dai valori di x per cui xþ 2 � 0,

quindi e l’intervallo ½�2, þ1Þ.Ragioniamo analogamente per determinare l’espressione analitica di f g:

ðf gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼ f ðffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 3

pÞ ¼


p� 1

Il dominio della funzione f g e l’intervallo ½�3,þ1Þ (coincide con il domi-

nio della funzione gÞ.

L’esempio precedente mostra che puo essere g f 6¼ f g: la composizione di fun-

zione non e quindi una operazione commutativa.

Si potrebbe invece provare che la composizione di funzioni e un’operazione asso-

ciativa, cioe che:

ðf gÞ h ¼ f ðg hÞ


1. Date le funzioni f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

pe gðxÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi5 � x

p, scrivi

l’espressione analitica delle seguenti funzioni e deter-

mina il dominio di ciascuna di esse:

a. f þ g c. f � g

b. f � g d.f

g

2. Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ 2x e gðxÞ ¼ ðxþ 1Þ2.

a. Calcola l’immagine di �1 tramite g f e tramite

f g.

b. Determina l’espressione analitica di g f e di

f g.

3. Date le tre funzioni f ðxÞ ¼ 2x, gðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffijxj

pe

hðxÞ ¼ x2, verifica che ðf gÞ h ¼ f ðg hÞ.

Attenzione!

La funzione f , pur essendoscritta nel simbolo g f perseconda, e la prima che vieneapplicata.

Osserva

Potevamo determinare ildominio della funzionecomposta g f anche senzadeterminare la suaespressione analitica.Sappiamo infatti che esso ecostituito dai valori di xappartenenti al dominio di f(cioe, in questo caso, a R) taliche f ðxÞ ¼ x� 1 appartieneal dominio di g (cioe, inquesto caso, all’intervallo½�3,þ1ÞÞ. Pertanto ildominio di g f e l’insiemedei valori di x che soddisfanola seguente disequazione:

x� 1 � �3 ) x � �2

Ritroviamo cosı che ildominio di g f e l’intervallo½�2,þ1Þ.

TemaA


86

MATEMATICA NELLA STORIA

La nascita e lo sviluppo del concetto di funzione

E difficile tracciare un profilo accurato ed esauriente dello sviluppo storico del concetto

di funzione, perche ha avuto un’evoluzione piuttosto lenta e discontinua. Esso infatti e

comparso, a volte implicitamente, a volte esplicitamente, in problemi e tipi di rappresen-

tazioni differenti. Ci limitiamo percio a gettare uno sguardo su alcune delle «tappe» piu

importanti.

Leibniz, Bernoulli e NewtonLa parola «funzione» compare per la prima volta in un manoscritto di Leibniz (1646-

1716) del 1673, dal titolo Methodus tangentium inversa seu de functionibus, e si trova ripe-

tutamente nella corrispondenza con il matematico svizzero Johann Bernoulli (1667-

1748). Leibniz sviluppo, indipendentemente ma parallelamente rispetto a Newton

(1642-1727), una parte importantissima della matematica che studieremo nel prosegui-

mento di questo corso, il calcolo infinitesimale. Come vedremo, il calcolo infinitesimale

riguarda sostanzialmente lo studio delle proprieta delle funzioni reali di variabile reale.

Nelle loro originali elaborazioni, tuttavia, Leibniz e Newton non si riferirono a funzioni,

ma a «curve», intese come luogo di punti del piano che soddisfano un’equazione del ti-

po Pðx, yÞ ¼ 0, dove Pðx, yÞ e un polinomio nelle variabili x e y.

EuleroE con il matematico svizzero Eulero (1707-1783) che il concetto di funzione comincia a

definirsi piu compiutamente. La definizione data da Eulero all’inizio del suo trattato In-

troductio in analysis infinitorum (1748) e la seguente: «un’espressione analitica qualsiasi in

cui siano coinvolte una quantita variabile e un numero qualsiasi di costanti».

Il concetto di funzione che emerge da questa definizione e ancora lontano da quello mo-

derno: essa richiede infatti che una funzione sia descrivibile per mezzo di una singola

espressione analitica. Solo piu tardi Eulero dara, nelle Institutiones calculi differentialis

(1755), una definizione piu ampia e significativamente diversa: «se alcune quantita di-

pendono dalle altre in modo tale da subire delle variazioni quando queste ultime sono

fatte variare, allora si dice che le prime sono funzioni delle seconde». A Eulero e anche

dovuta la notazione f ðxÞ per indicare una funzione di x.

DirichletPer arrivare a una buona definizione del concetto di funzione, occorre aspettare il dician-

novesimo secolo. Il matematico tedesco Dirichlet (1085-1859) introduce una definizio-

ne di funzione simile alla seguente, che delinea ormai in modo chiaro il concetto di cor-

rispondenza univoca: «una variabile y si dice funzione della variabile x in un certo inter-

vallo quando esiste una legge che faccia corrispondere a ogni valore dato alla x uno e un

solo valore di y».

BourbakiLa moderna definizione di funzione, che usa il linguaggio degli insiemi, e riconducibile a

un gruppo di matematici francesi che pubblicava nel 1939 sotto lo pseudonimo di Nico-

las Bourbaki: «siano E ed F due insiemi, distinti oppure no; una relazione tra una varia-

bile x di E e una variabile y di F e detta funzione se per ogni x 2 E esiste uno e un solo

y 2 F che sia nella relazione data con x».

Leibniz.

Eulero.

Dirichlet.

Unita

2Fu

nzioni

87

SINTESI

Formule e proprieta importanti

Classificazioni delle funzioni

Funzioni

algebriche

intere frazionarie

razionali irrazionali razionali irrazionali

trascendenti

Funzioni

iniettive

né iniettive né suriettive

suriettivebiiettive

Funzioni pari e dispari

f e pari , f ðxÞ ¼ f ð�xÞ 8x 2 dominio di f

f e dispari , f ð�xÞ ¼ �f ðxÞ 8x 2 dominio di f

Funzioni crescenti e decrescenti in un sottoinsieme I del dominio di una funzione f

f e crescente in senso stretto in I , x1 < x2 ) f ðx1Þ < f ðx2Þ 8x1, x2 2 I

f e decrescente in senso stretto in I , x1 < x2 ) f ðx1Þ > f ðx2Þ 8x1, x2 2 I

f e crescente in senso lato in I , x1 < x2 ) f ðx1Þ � f ðx2Þ 8x1, x2 2 I

f e decrescente in senso lato in I , x1 < x2 ) f ðx1Þ � f ðx2Þ 8x1, x2 2 I

Funzione composta ðg � f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ðf � gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ

Funzione inversa y ¼ f ðxÞ , x ¼ f �1ðyÞIl grafico di f �1 e il simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Procedimento per determinare l’equazione dell’inversa di una funzione (invertibile)

� Scambiare x con y nell’equazione y ¼ f ðxÞ che definisce la funzione.

� Risolvere l’equazione ottenuta rispetto a y.

CONOSCENZE E ABILITA

1. Introduzione alle funzioni TEORIA a p. 66

Definizione di funzione

�1 Vero o falso?

a. ogni relazione e una funzione V F

b. ogni funzione e una relazione V F

c. se f e una funzione di dominio A e codominio B, allora ogni elemento di A non puo avere piu di

un’immagine in B V F

d. se f e una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci due elementi di A che

hanno la stessa immagine in B V F

e. se f e una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci elementi di A che non

hanno immagini in B V F

[3 affermazioni vere e 2 false]

Esercizi In più: esercizi interattivi

88

TemaA

Unita 2

89

Unita

2Fu

nzioni

�2 Stabilisci se le relazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce rappresentano funzioni da A a B, giusti-

ficando la risposta.

Aa

b

c

d

x

y

z

we

B Aa

b

c

d

x

y

z

we

B Aa

b

c

d

x

y

z

we

B

�3 Stabilisci quali delle seguenti relazioni definiscono delle funzioni, giustificando la risposta.

a. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola i suoi insegnanti.

b. La relazione che associa a ogni cittadino italiano le auto che possiede.

c. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola la propria madre.

d. La relazione che associa a ogni regione d’Italia le sue province.

e. La relazione che associa a ogni cittadino italiano il suo comune di nascita.

�4 La formula f ðxÞ ¼ xþ 1 se x � 15 � x se x � 1

�non definisce una funzione f : R ! R. Chiarisci questa affermazione.

�5 La formula f ðxÞ ¼ xþ 1 se x � 13 � x se x � 1

�definisce una funzione f : R ! R?

�6 Spiega perche la formula f ðxÞ ¼ x

xþ 2non definisce una funzione f : R ! R. La medesima formula definisce

una funzione f : R� f�2g ! R?

�7 La formula f ðnÞ ¼ n

2definisce una funzione f : N ! N?

�8 La formula f ðxÞ ¼ x

xþ 4definisce una funzione f : N ! Q? Definisce una funzione f : N ! Z? Definisce una

funzione f : Z ! Q?

Immagini e controimmagini

�9 Facendo riferimento alla funzione rappresentata

nella figura, completa le seguenti affermazioni:

a. Il dominio della funzione e l’insieme ...............

b. Il codominio della funzione e l’insieme ...............

c. L’immagine della funzione e l’insieme ...............

Aa

b

c

d

x

y

z

w

B

d. Le controimmagini di x sono ...............

e. L’immagine di c e ...............

Per ciascuna delle seguenti funzioni, determina il

valore indicato a fianco.

�10 f ðxÞ ¼ x2 � 3x� 1 f ð�3Þ [17]

�11 f ðxÞ ¼ x4 � x2 � 1 f ð�ffiffiffi2

pÞ [1]

�12 f ðxÞ ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

p f ð101Þ 1

10

� �

�13 f ðxÞ ¼ xþ 2

xþ 1f � 3

2

� �[�1]

�14 f ðxÞ ¼ x�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

p

xþffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

p f ð1Þ [2ffiffiffi2

p� 3]

�15 f ðxÞ ¼ x�12 � x�

23 f ð64Þ 1

16

� �

�16 Considera la funzione cosı definita:

f ðxÞ ¼x2

x2 þ 2se x � 2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x2 þ xþ 1p

se x > 2

8><>:

Determina f ð�ffiffiffi2

pÞ, f ð0Þ, f ð

ffiffiffi2

pÞ, f ð2Þ, f ð3Þ.�

f ð�ffiffiffi2

pÞ ¼ 1

2, f ð0Þ ¼ 0, f ð

ffiffiffi2

pÞ ¼ 1

2,

f ð2Þ ¼ 2

3, f ð3Þ ¼

ffiffiffiffiffiffi13

p �

TemaA


90

�17 Data la funzione f ðxÞ ¼ 2x2 þ 3x� 1, scrivi l’e-

spressione analitica di f ð2xÞ, 2f ðxÞ, f ðxþ 1Þ e f ðxÞ þ 1.

[8x2 þ 6x� 1; 4x2 þ 6x� 2; 2x2 þ 7xþ 4; 2x2 þ 3x]

�18 Data la funzione f ðxÞ ¼ x� 2

xþ 1, scrivi l’espressio-

ne analitica di f ðxþ 2Þ, f ðxÞ þ 2, f ð2xÞ, 2f ðxÞ.x

xþ 3;

3x

xþ 1;

2x� 2

2xþ 1;

2x� 4

xþ 1

� �

�19 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 � 5, quali sono le con-

troimmagini di 20? [�5 e 5]

�20 Data la funzione f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 1

p� x, qual e la

controimmagine di 10? � 99

20

� �

�21 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 � 2x, quali sono le

controimmagini di 6? [ 1 �ffiffiffi7

p]

�22 Data la funzione f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 8

p� x, qual e la con-

troimmagine di 6? [�4]

�23 Considera la funzione f : N ! N definita da

f ðxÞ ¼ x2 þ x. Qual e la controimmagine di 20? [4]

�24 Determina, per ciascuna delle seguenti funzioni,

le controimmagini di 6.

a. f : Q ! Q definita da f ðxÞ ¼ x2 � 2x;

b. f : N ! N definita da f ðxÞ ¼ 2x2 þ xþ 3.

[a. Non ci sono controimmagini di 6; b. 1]

�25 Considera la funzione f : N ! N definita da

f ðnÞ ¼ nþ 2. Dopo aver calcolato f ð0Þ; f ð1Þ; f ð2Þ; f ð3Þ,stabilisci qual e l’insieme immagine della funzione.

�26 Determina l’insieme immagine di ciascuna delle

seguenti funzioni, dopo aver calcolato f ð0Þ; f ð1Þ;f ð2Þ; f ð3Þ:

a. f : N ! N definita da f ðnÞ ¼ 2n;

b. f : N ! N definita da f ðnÞ ¼ 2nþ 2.

�27 Date le due funzioni f ðxÞ ¼ x� 1

xþ 1e gðxÞ ¼ 2x, ri-

solvi la disequazione 2f ðxþ 1Þ � 2gðx� 1Þ � 3.

x < �2 _ � 7

4� x � 2

� �

�28 Date le due funzioni f ðxÞ¼2x2�1 e gðxÞ¼2x�1,

risolvi la disequazione f ð2x� 1Þ � gðx2 þ 1Þ.

x � 0 _ x � 4

3

� �

Classificazione e dominio di funzioni reali di variabile reale

Test

�29 Quale delle seguenti funzioni non e razionale?

A y ¼ x3 � x�2 B y ¼ x3 � x

x2 þ 1C y ¼ x2 � x

13 D y ¼ 1

x2

� �3

�30 Quale delle seguenti funzioni e razionale frazionaria?

A y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 13

p B y ¼ x�3 � x2 C y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix3 � x2

pD y ¼ x20 � x2

�31 Quale delle seguenti funzioni e irrazionale intera?

A y ¼ 1

2

ffiffiffix

pþ 1

3

ffiffiffix3

pB y ¼ xffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x2 þ 1p C y ¼ 1

x3þ 1

2x2 D y ¼ x�

14 þ x�

13

�32 Quale delle seguenti funzioni non e irrazionale?

A y ¼ x�2 � x�1 B y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 2

pC y ¼ x

12 � x3 D y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 13

p

�33 Quale delle seguenti funzioni e trascendente?

A y ¼ 2x2�2x B y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 2x

pC y ¼ 1

x2 � 2xD y ¼ ðx2 � 2xÞ�

13

�34 ESERCIZIO SVOLTO

Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni.

a. y ¼ffiffiffix3

p

jxj � 1b. y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4x� x2

pc. y ¼


pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 4

p

x2 þ xþ 1

a. Poiche una radice cubica e sempre definita, l’unica condizione da imporre e che il denominatore sia diverso da

zero:

jxj � 1 6¼ 0 ) jxj 6¼ 1 ) x 6¼ �1

Pertanto il dominio della funzione e R� �1f g.

91

Unita

2Fu

nzioni

b. Una radice quadrata e definita purche il radicando sia maggiore o uguale a zero. Dobbiamo quindi imporre la

condizione:

4x� x2 � 0 ) x2 � 4x � 0 ) 0 � x � 4 Risolvendo la disequazione di 2� grado

Pertanto il dominio della funzione e l’intervallo [0, 4].

c. Dobbiamo imporre che i radicandi delle radici quadrate siano maggiori o uguali a zero e che il denominatore sia

diverso da zero:

5 � x � 0

x2 � 4 � 0

x2 þ xþ 1 6¼ 0

8><>:

Osserviamo che la terza condizione, x2 þ xþ 1 6¼ 0, e sempre verificata, poiche il discriminante del trinomio

x2 þ xþ 1 e negativo e il trinomio non si annulla mai. Resta allora da risolvere il sistema:

5 � x � 0

x2 � 4 � 0

�

che fornisce come soluzione:

x � �2 _ 2 � x � 5

Pertanto il dominio della funzione e l’insieme ð�1, �2� [ ½2, 5�.

Determina il dominio delle seguenti funzioni.

�35 y ¼ x

x2 � 1[R� f�1, 1g]

�36 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2xþ 1

px � � 1

2

� �

�37 y ¼ 1 � 1

x[R� 0f g]

�38 y ¼ 2 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 3

p[x � �3]

�39 y ¼ x4 � 1

x2 þ 5x� 6[R� f�6, 1g]

�40 y ¼ 1

3x2 � 2x� 1R� � 1

3, 1

� ��

�41 y ¼ 1

5 � x2þ 1

x2 � 6xþ 9[R� f�

ffiffiffi5

p, 3g]

�42 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1

8x� x4

r0 � x � 1

2

� �

�43 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3x� x2

p

x[0 < x � 3]

�44 y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x� 3

p þ xffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi10 � 2x

p 3

2< x < 5

� �

�45 y ¼ 1

x4 � 6x2 þ 5[R� f�1, �

ffiffiffi5

pg]

�46 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi10x� x2

pþ


p[3 � x � 10]

�47 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix6 � 7x3 þ 6

p

jxj þ 3[x � 1 _ x �

ffiffiffi63

p]

�48 y ¼ 1 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi25 � x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 3

p� 1

[�3 � x < �2 _ �2 < x � 5]

�49 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x3 � 1

4x2 � 3x� 7

r�1 < x � 1 _ x >

7

4

� �

�50 y ¼ffiffiffix

pþ


p[ 0 � x � 3]

�51 y ¼ �3ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 � 2x2

p[�1 � x � 1]

�52 y ¼ x

x2 � 4xþ 3[R� f1, 3g]

�53 y ¼ffiffiffix3

pþ xffiffiffi

xp

� 1[0 � x < 1 _ x > 1]

�54 y¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi9�x2

2xþ1

rþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix�1

x2þ23

rx��3_� 1

2<x�3

� �

�55 y ¼ x4 � 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�2x2 þ xþ 1

p � 1

2< x < 1

� �

�56 y ¼ x

x2 � xþ 2þ 1

x[R� f0g]

�57 y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 2x

p [x < 0 _ x > 2]


p�


p[0 � x � 4]

�59 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 � 2x� x2

p[�3 � x � 1]


p

2 � x2[R� f�

ffiffiffi2

pg]

�61 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1

2x2 � 0,5

r[x � �1 _ x � 1]

�62 y ¼ 1

x3 þ 2x2 � 2x� 4[R� f�2, �

ffiffiffi2

pg]

�63 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

p

x2 þ 4x� 12[x � 1 ^ x 6¼ 2]

TemaA


92

�64 y ¼ 3x2 � 1

2x2 � 3xþ 2[R]

�65 y ¼ 3x2 � 1

2x2 � 3xþ 1R� 1

2, 1

� ��

�66 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3x2 � 13

p

4x2 þ 4xþ 1R� � 1

2

� ��

�67 y ¼ xþffiffiffix

p

x�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2xþ 1

p [x � 0 ^ x 6¼ 1 þffiffiffi2

p]

�68 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 3x

16 � x2

r[�4 < x � 0 _ 3 � x < 4]

�69 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijxþ 4j

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 7xþ 10

p[x � �5 _ x � �2]

�70 y ¼ 1

x4 þ x2[R� 0f g]

�71 y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 �

ffiffiffix

p3p [x � 0 ^ x 6¼ 9]

�72 y ¼ ðx2 � 2xÞ�12 [x < 0 _ x > 2]

�73 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffi2x2

p[x � �1]

�74 y ¼ x

jxj � 2[R� �2f g]

�75 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 4

p� x�5 [x � �2 _ x � 2]

�76 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiðx� 1Þ2 � 9

qþ 1 [x � �2 _ x � 4]

�77 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�x2 þ x� 1

4

r1

2

� ��

�78 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x

x2 � 1

r[�1 < x � 0 _ x > 1]

�79 y ¼ 1

xþ


p[�2 � x < 0 _ 0 < x � 2]

�80 y ¼ x2 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 3

p

xþ 2[�3 � x < �2 _ x > �2]

�81 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix3 � x

p[�1 � x � 0 _ x � 1]

�82 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � xþ 1

p[R]

�83 y ¼ x

jxþ 3j � 4[R� �7, 1f g]

�84 y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � x4

p [�1 < x < 1 ^ x 6¼ 0]

�85 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijx2 � 14j � 2

p[x � �4 _ �2

ffiffiffi3

p� x � 2

ffiffiffi3

p_ x � 4]

�86 y ¼ xffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi5 � x

pþ


p [�2 � x � 5]

�87 y ¼ x2 þ 1

x3 � x2 � xþ 1[R� �1f g]

�88 y ¼ x2 þ 1

jx2 � 1j þ 1[R]

�89 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 9

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi10 � jxj

p[�10 � x � �3 _ 3 � x � 10]

�90 y ¼ ð2x2 � x� 1Þ12 þ ðx2 � 2xÞ�

14

x � � 1

2_ x > 2

� �

�91 y ¼ x3 þ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ

ffiffiffix

pp [x > 0]

�92 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1 �


pp[

ffiffiffi3

p� x � 2]

�93 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijx� 1j � j2x� 1j

pjx� 1j þ j2x� 1j 0 � x � 2

3

� �

�94 y ¼ x�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 1

p

2xþffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 1

p R� �ffiffiffi3

p

3

( )" #

�95 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 �

ffiffiffix

pp[0 � x � 4]

�96 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 3

p� 2x

p[�3 � x � 1]

�97 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 �


pp[x � 5]

�98 y ¼ x

jx� 2j � 2xR� 2

3

� ��

�99 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijx2 � 8j � 1

p[x � �3 _ �

ffiffiffi7

p� x �

ffiffiffi7

p_ x � 3]

�100 y ¼ x

x3 � 3x2 þ 2[R� 1, 1 �

ffiffiffi3

p� ]

�101 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijxþ 4j � 1

p[x � �5 _ x � �3]

�102 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix4 � 9x

p[x � 0 _ x �

ffiffiffi93

p]

�103 y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijxj � j2x� 1j3

p R� 1

3, 1

� ��

�104 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x� jxj

p[x � 0]

�105 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 �

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix�

ffiffiffix

ppqx ¼ 0 _ 1 � x � 3 þ

ffiffiffi5

p

2

" #

�106 Determina per quali valori di k la funzione

y ¼ 1

kx2 � 3x� 1e definita per ogni x 2 R. k < � 9

4

� �


y ¼ 1

kx� 1ha come dominio R� 2f g. k ¼ 1

2

� �


y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�x2 þ kx� 3

pe definita in corrispondenza di uno

e un solo valore reale di x. [k ¼ �2ffiffiffi3

p]


y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffik2 � x2

pnon e definita in corrisponden-

za di alcun valore reale di x. [�2 < k < 2]

Immagine di una funzione reale di variabile reale


Determiniamo l’immagine della funzione definita da y ¼ x2 þ 2x.

� L’immagine della funzione e l’insieme dei valori di y che hanno almeno una controimmagine in R. Quindi l’im-

magine della funzione e costituita dai valori di y per cui la seguente equazione nell’incognita x ha almeno una

soluzione reale:

x2 þ 2x ¼ y

� Questa equazione, equivalente a x2 þ 2x� y ¼ 0, ha almeno una soluzione reale se e solo se il suo discriminante

e maggiore o uguale a 0, ossia se e solo se e verificata la disequazione:

4 þ 4y � 0 da cui y � �1

� Concludiamo che l’immagine della funzione e l’intervallo ½�1, þ1Þ.

Determina l’immagine di ciascuna delle seguenti funzioni.

�111 y ¼ 2x� 1 [R]

�112 y ¼ x2 � 4xþ 1 [y � �3]

�113 y ¼ 2x

x� 1[R� 2f g]

�114 y ¼ x

x2 þ 1� 1

2� y � 1

2

� �

�115 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 1

p� x [y > 0]


p[y � 1]

�117 y ¼ x4 � 4x2 (Suggerimento: affinche l’equazione (nell’incognita xÞ x4 � 4x2 � y ¼ 0 abbia soluzioni reali, l’e-

quazione di secondo grado t2 � 4t � y ¼ 0 (ottenuta ponendo x2 ¼ tÞ deve avere soluzioni reali di cui almeno una

non negativa) [y � �4]

�118 y ¼ x4

x2 þ 2(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) [y � 0]

Il grafico di una funzione

Nota Nelle figure relative ai seguenti esercizi sono riportati i grafici di diverse funzioni: il tratteggio agli estremi del grafico indica che esso prose-gue indefinitamente; il punto pieno che il punto appartiene al grafico della funzione e il punto vuoto che non vi appartiene; in tutti i graficisi intende che l’unita di misura coincide con il lato dei quadratini della quadrettatura.

Stabilisci se le seguenti curve sono grafici di funzioni.

�119

x

y

O

x

y

O

x

y

O

�120

x

y

O

x

y

Ox

y

O

Unita

2Fu

nzioni

93

TemaA


94


Individuiamo dominio e immagine della funzione che ha il grafico mostrato qui di seguito.

x

y

O

Il dominio e l’insieme dei valori assunti dalle ascisse

dei punti che appartengono al grafico della funzione:

geometricamente, per individuare il dominio possiamo

immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sul-

l’asse x.

x

y

O

Proiettando sull’asse x, otteniamo la semiretta colorata

in rosso, compresa l’origine della semiretta, che ha

coordinate (3, 0). Percio il dominio della funzione e

l’insieme:

D ¼ fx 2 R jx � 3g ovvero l’intervallo ð�1, 3�

L’immagine e l’insieme dei valori assunti dalle ordinate

dei punti che appartengono al grafico della funzione.

Geometricamente, per individuare l’immagine possia-

mo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico

sull’asse y.

x

y

O

Proiettando sull’asse y, otteniamo la semiretta colorata

in blu, compresa l’origine della semiretta, che ha coor-

dinate ð0, �4Þ. Percio l’immagine della funzione e l’in-

sieme:

I ¼ fy 2 R j y � �4g ovvero l’intervallo ½�4,þ1Þ

Stabilisci se le seguenti curve sono grafici di funzioni e, in caso affermativo, determina il dominio

e l’immagine.

�122

x

y

O x

y

O x

y

O

�123

x

y

O x

y

Ox

y

O

95

Unita

2Fu

nzioni

�124

x

y

O x

y

Ox

y

O

�125

x

y

O x

y

Ox

y

O

�126 ESERCIZIO GUIDATO

Traccia approssimativamente il grafico della funzione y ¼ � 1

2xþ 1.

Devi anzitutto costruire una tabella, per determinare le coordinate di alcuni punti

appartenenti al grafico della funzione. Completa, per esempio, la tabella riportata

qui a destra: nota che abbiamo scelto di attribuire a x valori pari, in modo da ottene-

re per y valori non frazionari e quindi punti piu facili da rappresentare.

Rappresenta nel piano cartesiano i punti le cui coordinate hanno i valori di x e y del-

la tabella e congiungili con una linea continua: otterrai come grafico una retta.

Traccia approssimativamente il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni.

�127 y ¼ 2x� 2

�128 y ¼ 1

2xþ 1

�129 y ¼ �x2

�130 y ¼ � 6

x

�131 y ¼ 3

2x� 3

�132 y ¼ x2 � 4

�133 y ¼ x3

�134 y ¼ � 1

2x2

�135 y ¼ � 3

2xþ 2

�136 y ¼ 3x� 4

�137 y ¼ 1

2x3

�138 y ¼ �4xþ 3

�139 y ¼ � 2

3xþ 1

�140 y ¼ 2ffiffiffix

p

�141 y ¼ x2 � 4x

�142 y ¼ 8

x

�143 y ¼ � 1

4x3

�144 y ¼ 3 � x2

�145 y ¼ 1

2x3

�146 y ¼ �2xþ 3


p

�148 y ¼ �2x2 þ 3

�149 y ¼ � 1

2x2


p

x y

�4 .....

�2 .....

0 .....

2 .....

.....

TemaA


96


Determiniamo k in modo che il grafico della funzione y ¼ x3 � kx2 þ k� 1 passi per il punto Pð�2, �1Þ.

Dobbiamo imporre che l’equazione che definisce la funzione sia soddisfatta in corrispondenza delle coordinate di

Pð�2, �1Þ. Sostituiamo percio �2 al posto di x e �1 al posto di y nell’equazione della funzione e risolviamo l’equa-

zione nell’incognita k che otteniamo:

�1 ¼ ð�2Þ3 � kð�2Þ2 þ k� 1 ) �1 ¼ �8 � 4kþ k� 1 ) �3k ¼ 8 ) k ¼ � 8

3

�152 Determina k in modo che il grafico della funzione y ¼ kx2 � xþ k� 1 passi per il punto di coordinate

� 1

2, 0

� �. k ¼ 2

5

� �

�153 Determina b e c in modo che il grafico della funzione y ¼ x2 þ bxþ c passi per l’origine e per il punto di coor-

dinate ð�1, 2Þ. [b ¼ �1, c ¼ 0]

�154 Determina b e c in modo che il grafico della funzione y ¼ x2 þ bxþ c passi per i punti di coordinate (0, 2) e

(4, 0).b ¼ � 9

2, c ¼ 2

� �

Uguaglianza di funzioni

Stabilisci se le seguenti coppie di funzioni sono uguali.

�155 y ¼ x6 � 1

x3 � 1e y ¼ x3 þ 1

�156 y ¼ x3 � 1

x� 1e y ¼ x2 þ xþ 1

�157 y ¼ x3 � 1

x2 þ xþ 1e y ¼ x� 1

�158 y ¼ x3 þ 1

x2 þ xþ 1e y ¼ xþ 1

�159 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 3

p e y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

xþ 3

r

�160 y ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

pþ

ffiffiffix

p e y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

p�

ffiffiffix

p

�161 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 13


p e y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

x� 1

3

r

�162 y ¼ j � x2 þ x� 1j e y ¼ x2 � xþ 1

�163 y ¼ jx� 1jx� 1

e y ¼ 1 se x � 1�1 se x < 1

�

Il dominio di funzioni che scaturiscono da problemi

�164 Noleggio di biciclette. Un negozio noleggia bici-

clette applicando la seguente tariffa:

a. una quota fissa di 1 euro da versare al momento

del noleggio;

b. una quota variabile in base alla durata del noleg-

gio (2 euro all’ora) da versare al momento della re-

stituzione della bicicletta.

Il negozio affitta le biciclette «a ore», cioe non e possi-

bile, per esempio, noleggiare la bicicletta per un’ora e

mezza o per due ore e un quarto. Esprimi il costo com-

plessivo del noleggio in funzione del numero x di ore.

Qual e il dominio della funzione che resta cosı defini-

ta, in relazione al problema?

[CðxÞ ¼ 1 þ 2x; il dominio della funzione,

dal momento che il negozio affitta le biciclette

«a ore», e l’insieme N dei numeri naturali]

�165 Noleggio di auto. Per il noleggio di un’automo-

bile, una compagnia di noleggio applica una tariffa in

base al numero di giorni:

a. 25 euro al giorno fino al settimo giorno;

b. 15 euro al giorno dall’ottavo giorno in poi.

La compagnia affitta le auto «a giorni», cioe non e pos-

sibile, per esempio, noleggiare l’auto per un giorno e

mezzo. Esprimi il costo complessivo del noleggio in

funzione del numero x di giorni. Qual e il dominio

della funzione che resta cosı definita, in relazione al

problema?

�166 Torneo. In un torneo sportivo ogni squadra in-

contra esattamente una volta ciascuna delle altre squa-

dre. Supponi che al torneo partecipino n squadre.

Esprimi il numero di partite giocate complessivamente

97

Unita

2Fu

nzioni

in funzione di n. Qual e il dominio della funzione che

resta cosı definita, in relazione al problema?�f ðnÞ ¼ nðn� 1Þ

2; il dominio della funzione

e l’insieme N dei numeri naturali

�

�167 Indica con n il numero dei lati di un poligono.

Esprimi in funzione di n il numero delle diagonali del

poligono. Qual e il dominio della funzione che resta

cosı definita, in relazione al problema?

�168 Un cerchio il cui raggio misura r e inscritto in un

quadrato.

a. Esprimi l’area del quadrato in funzione di r. Qual

e il dominio della funzione che resta cosı definita,

in relazione al problema geometrico?

b. Esprimi il perimetro del quadrato come funzione

di r. Qual e il dominio della funzione che resta cosı

definita, in relazione al problema geometrico?

Or

�169 Un rettangolo non degenere, la cui altezza mi-

sura x, e inscritto in un semicerchio il cui raggio mi-

sura 2.

a. Esprimi l’area del rettangolo in funzione di x.

Qual e il dominio della funzione che resta cosı defi-

nita, in relazione al problema geometrico?

b. Esprimi il perimetro del rettangolo in funzione di

x. Qual e il dominio della funzione che resta cosı

definita, in relazione al problema geometrico?

O

x

2

[a. AðxÞ ¼ 2xffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4 � x2

p;

b. PðxÞ ¼ 4ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4 � x2

pþ 2x; il dominio di entrambe

le funzioni e l’intervallo 0 < x < 2]

�170 Un triangolo acutangolo non degenere ABC, iso-

scele sulla base AB, e inscritto in una circonferenza di

raggio 1. Esprimi, in funzione della misura 2x della ba-

se, l’area del triangolo. Qual e il dominio della funzio-

ne che resta cosı definita, in relazione al problema

geometrico? [AðxÞ ¼ xð1 þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x2

pÞ, con 0 < x < 1]

�171 Un triangolo non degenere ABC, isoscele sulla

base AB, e circoscritto a una semicirconferenza di rag-

gio 1. Esprimi, in funzione della misura x dell’altezza

relativa ad AB, il perimetro del triangolo. Qual e il do-

minio della funzione che resta cosı definita, in relazio-

ne al problema geometrico?�pðxÞ ¼ 2x2 þ 2xffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x2 � 1p , con x > 1

�

�172 Un cilindro non degenere, il cui raggio di base

misura x, e inscritto in una sfera di raggio 1. Esprimi,

in funzione di x, il volume del cilindro e stabilisci qual

e il dominio della funzione che resta cosı definita, in

relazione al problema geometrico.

x

1

�173 Un cilindro non degenere, il cui raggio di base

misura x, e inscritto in un cono il cui raggio di base

misura r e la cui altezza misura h. Esprimi, in funzione

di x, il volume del cilindro e stabilisci qual e il domi-

nio della funzione che resta cosı definita, in relazione

al problema geometrico.

�VðxÞ ¼ �h

rx2ðr � xÞ;

il dominio e l’intervallo

0 < x < r

�x

r

h

�174 Ai quattro angoli di un quadrato di cartone il cui

lato misura x si ritagliano quattro quadrati il cui lato

misura 4. Il cartone restante viene ripiegato in modo

da formare una scatola, come indicato in figura. Espri-

mi in funzione di x il volume della scatola e stabilisci

qual e il dominio della funzione che resta cosı defini-

ta, in relazione al problema geometrico.

x

x

4 4

4 4

4 4

4 4

444

TemaA


98

2. Prime proprieta delle funzioni reali di variabile reale TEORIA a p. 73

Il segno di una funzione

Test

�175 Il grafico della funzione y ¼ x3 � x appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;

quale?

x1–1

y

O x1–1

y

O x1–1

y

Ox1–1

y

O

a b c d

�176 Il grafico della funzione y ¼ x4 � x2 appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;

quale?

x1–1

y

O x1–1

y

O x1–1

y

O x1–1

y

O

a b c d

�177 Il grafico della funzione y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

pappartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;

quale?

x1–1

y

O x1–1

y

O x1–1

y

O x1–1

y

O

a b c d

�178 Il grafico della funzione y ¼ jxþ 1j � 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x2 þ 3

p appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figu-

re; quale?

x–2

y

O x–2

y

O x–2

y

O x–2

y

O

a b c d

99

Unita

2Fu

nzioni

�179 Il grafico della funzione y ¼ x2 � 2x

jxj � 1appartiene alla parte di piano in colore di una sola delle seguenti figure;

quale?

x–1 2

y

O x–1 1 2

y

O x1 2

y

O x–1 1 2

y

O

a b c d

Studia il segno di ciascuna delle seguenti funzioni, dopo averne determinato il dominio, e indica la parte

del piano alla quale appartiene il suo grafico.

�180 y ¼ x5 � x3 [D ¼ R; y > 0 per �1 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ �1; y < 0 per x < �1 _ 0 < x < 1]

�181 y ¼ x3 þ 10x2 � 11x [D ¼ R; y > 0 per �11 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ �11 _ x ¼ 0 _ x ¼ 1;

y < 0 per x < �11 _ 0 < x < 1]

�182 y ¼ x2

x2 � 1[D ¼ R� �1f g; y > 0 per x < �1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0; y < 0 per �1 < x < 1]

�183 y ¼ x3 þ x2

2x2 þ x� 3

�D ¼ R� � 3

2, 1

� �; y > 0 per � 3

2< x < �1 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ �1 _ x ¼ 0;

y < 0 per x < � 3

2_ �1 < x < 0 _ 0 < x < 1

�

�184 y¼xjxj�2x�1 [D¼R; y>0 per x>1þffiffiffi2

p; y¼0 per x¼�1_x¼1þ

ffiffiffi2

p; y<0 per x<1þ

ffiffiffi2

p^x 6¼�1]

�185 y ¼ j2x2 � 8xj [D ¼ R; y > 0 per x 2 R� 0, 4f g; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ 4; y < 0 per nessuna x 2 D]

�186 y¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2þ2x

p�x�3

�D¼ð�1,�2�[ ½0,þ1Þ; y>0 per x<� 9

4; y¼0 per x¼� 9

4; y<0 per � 9

4<x��2_x�0

�

�187 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix3 � x

3p

[D ¼ R; y > 0 per �1 < x < 0 _ x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 0 _ x ¼ �1; y < 0 per x < �1 _ 0 < x < 1]

�188 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�x2 þ 7x� 6

p[D ¼ ½1, 6�; y > 0 per 1 < x < 6; y ¼ 0 per x ¼ 1 _ x ¼ 6; y < 0 per nessun x 2 D]


p

5 � x[D ¼ ½0, 5Þ [ ð5, þ1Þ; y > 0 per 0 � x < 5; y ¼ 0 per x ¼ 0; y < 0 per x > 5]

�190 y¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2�1

p

xþ2[D¼ð�1;�2Þ[ð�2;�1�[½1;þ1Þ; y>0 per �2<x<�1_x>1;y¼0 per x¼�1; y<0 per x<�2]


pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi10 � x

p

x2 � 9[D ¼ ½0;3Þ [ ð3;10�; y > 0 per 3 < x � 10; y = 0 per nessuna x 2 D; y < 0 per 0 � x < 3]

�192 y ¼ x3 � 1

jxj þ jx� 1j [D ¼ R; y > 0 per x > 1; y ¼ 0 per x ¼ 1; y < 0 per x < 1]

�193 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijxj þ 1

p� 2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

4x2 þ 4xþ 1p

�D ¼ R� � 1

2

� �; y > 0 per x < �3 _ x > 3; y ¼ 0 per x ¼ �3;

y < 0 per �3 < x < 3 ^ x 6¼ � 1

2

�

�194 y¼ jxj�1

jxj�jx�1j

�D¼R� 1

2

� �; y>0 per �1<x<

1

2_x>1; y¼0 per x¼�1; y<0 per x<�1_ 1

2<x<1

�

�195 y¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffijxþ1j�

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x2�x�1

p3

q �D¼ �1,� 1

2

� �[½1,þ1Þ; y>0 per

3�ffiffiffiffiffiffi17

p

2<x�� 1

2_1�x<

3þffiffiffiffiffiffi17

p

2;

y ¼ 0 per x ¼ 3 �ffiffiffiffiffiffi17

p

2; y < 0 per x <

3 �ffiffiffiffiffiffi17

p

2_ x >

3 þffiffiffiffiffiffi17

p

2

�

TemaA


100

Funzioni pari e funzioni dispari

�196 Dal grafico alle sue proprieta. Stabilisci se le funzioni aventi i seguenti grafici sono pari o dispari.

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Stabilisci se le seguenti funzioni di cui e data l’equazione sono pari o dispari.

�197 y ¼ 3x5

�198 y ¼ 3x6 � 2x4

�199 y ¼ �2x2 � 3

�200 y ¼ 3x3 þ 4

�201 y ¼ 1

4

ffiffiffix3

p

�202 y ¼ x� jxj

�203 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 � x23

p

�204 y ¼ 2x

x4 � 1

�205 y ¼ 3x3

jxj þ 1

�206 y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � xþ 1

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ xþ 1

p

�207 y ¼ jxj � 3x2

�208 y ¼ 3xjxj

�209 y ¼ jx� 1j þ jxþ 1j

Funzioni crescenti e funzioni decrescenti

�210 In riferimento al grafico qui a fianco, stabilisci se le seguenti affermazioni

sono vere o false.

a. la funzione e strettamente crescente nell’intervallo ½�7, �4� V F

b. la funzione e costante nell’intervallo ½�4, �1� V F

c. la funzione e strettamente crescente nell’intervallo ½�1, 1� V F

d. la funzione e strettamente decrescente nell’intervallo ½1, 7� V F

e. la funzione e strettamente crescente nell’intervallo ½�1, 7� V F

f. la funzione e crescente in senso lato nell’intervallo ½�4, 1� V F

g. la funzione e strettamente decrescente nell’intervallo ½�7, �1� V F

x

y

O

(–7, 6)

(–4, 2) (–1, 2)

(7, –1)

(1, 5)


Dimostriamo che la funzione f ðxÞ ¼ �3xþ 1 e strettamente decrescente in R.

Per ogni x1, x2 2 R risulta:

x1 < x2 ) �3x1 > �3x2 ) �3x1 þ 1 > �3x2 þ 1 ) f ðx1Þ > f ðx2ÞPertanto la funzione e strettamente decrescente.

�212 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ �2xþ 1 e stret-

tamente decrescente in R.

�213 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 1

3x� 1 e stretta-

mente crescente in R.

�214 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 2x3 þ 1 e stretta-


�215 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ �3x5 þ 2 e stret-

tamente decrescente in R.

�216 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 3ffiffiffix

pe stretta-

mente crescente nel suo dominio.

�217 Dimostra che la funzione f ðxÞ ¼ 2ffiffiffix3

pe stretta-


�218 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione,

avente come dominio l’intervallo ½�4, 4�, che sia stret-

tamente crescente nell’intervallo ½�4, 0� e strettamen-

te decrescente nell’intervallo ½0, 4�.

�219 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione,

avente come dominio l’intervallo ½�6, 6�, che sia de-

crescente, ma non in senso stretto, nel suo dominio.

101

Unita

2Fu

nzioni

Esercizi riassuntivi sulle proprieta delle funzioni da R a R

�220 In riferimento al grafico della funzione f qui a fianco, rispondi alle seguenti domande.

a. Quanto vale f ð0Þ? E f ð6Þ?b. f ð�2Þ e positivo o negativo?

c. Qual e il dominio della funzione f ?

d. Qual e l’immagine della funzione f ?

e. Quanti sono gli zeri della funzione f ?

y

O

(–6, –4)

(–5, 0)

(–3, 3)

(6, –6)

(0, –2)

(1, 0)

(5, 0)

(3, 5)

xf. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ �5?

g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ �1?

h. In quali intervalli la funzione f e crescente in senso stretto?

i. In quali intervalli la funzione f e decrescente in senso stretto?

j. La funzione f e pari? E dispari?


a. Quanto vale f ð�2Þ? E f ð4Þ?b. f ð�1Þ e positivo o negativo?



e. Quali sono gli zeri della funzione f ?

y

O

(–2, –4)

(–7, 6)

(–4, 0)

(5, –5)

(4, 0)

(2, 4)

xf. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ �5?

g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 7?

h. In quale intervallo la funzione f e crescente in senso stretto?

i. In quali intervalli la funzione f e decrescente in senso stretto?

j. La funzione f e pari? E dispari?


a. Quanto vale f ð1Þ? E f ð�1Þ?b. f ð0Þ e positivo o negativo?



e. Quali sono gli zeri della funzione f ?

y

O

(–1, –5)

(–7, 6)

(–4, 2)(–1, 2)

(5, –7)

(1, 0)

(3, 0)(2, 1)

xf. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ 2?

g. Quante soluzioni ha l’equazione f ðxÞ ¼ �2?

h. In quale intervallo la funzione f e crescente in senso stretto?

i. In quale intervallo la funzione f e decrescente in senso stretto?

j. Ci sono intervalli in cui la funzione f e costante? E in cui f e crescente in

senso lato? E in cui f e decrescente in senso lato?

�223 Inventa tu. Traccia il grafico di una funzione, avente come dominio l’intervallo ½�6, 6�, che soddisfi le se-

guenti caratteristiche:

a. abbia due zeri;

b. la sua immagine sia l’intervallo ½�4, 4�;c. sia strettamente decrescente in ½�6, 0� e strettamente crescente in ½0, 6�.



a. non abbia zeri;

b. la sua immagine sia l’intervallo ½2, 5�;c. sia crescente, ma non in senso stretto, nel dominio.



a. sia dispari;

b. la sua immagine sia l’intervallo ½�5, 5�;c. sia decrescente, ma non in senso stretto, nel dominio.

TemaA


102

3. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive TEORIA a p. 78

�226 Vero o falso?

a. se una funzione e suriettiva, allora e biiettiva V F

b. se una funzione e biiettiva, allora e suriettiva V F

c. se una funzione non e iniettiva, allora non e biiettiva V F

d. se c’e una retta orizzontale che non interseca il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ in alcun punto, allora

la funzione non e iniettiva V F

e. una funzione y ¼ f ðxÞ, pari e avente come dominio R, non puo essere biiettiva V F


�227 Stabilisci se ciascuna delle funzioni da A a B rappresentate nei seguenti diagrammi a frecce e iniettiva, surietti-

va o biiettiva.

A

a

b

c

e

f

g

h

B A

a

b

e

e

f

g

h

c

d

B A

a

b

e

e

f

g

h

c

d

B

�228 Sia A l’insieme dei punti appartenenti a una circonferenza e B l’insieme dei punti di un suo diametro; la fun-

zione f : A ! B che associa a ogni punto della circonferenza la sua proiezione su tale diametro e iniettiva? E surietti-

va?

�229 Sia A l’insieme delle circonferenze e B l’insieme dei punti del piano; la funzione f : A ! B che associa a ogni

circonferenza il suo centro e iniettiva? E suriettiva?

�230 Sia A l’insieme dei punti appartenenti a una semicirconferenza e B l’insieme dei punti del suo diametro; la

funzione f : A ! B che associa a ogni punto della semicirconferenza la sua proiezione sul diametro e iniettiva? E su-

riettiva?

�231 Sia A l’insieme delle circonferenze aventi centro in un punto O (fissato) del piano e B l’insieme dei numeri

reali positivi; la funzione f : A ! B che associa a ogni circonferenza la misura del suo raggio e iniettiva? La funzione

f e suriettiva?

�232 Sia A ¼ f�27, �8, �1, 0, 1, 8, 27g; determina l’insieme B in modo che la funzione f : A ! B definita da

f ðxÞ ¼ffiffiffix3

prisulti suriettiva.

�233 Dati gli insiemi A ¼ fa, bg e B ¼ fc, d, eg, non e possibile definire alcuna funzione suriettiva f : A ! B. Chiari-

sci questa affermazione.

�234 Dati gli insiemi A ¼ fa, b, cg e B ¼ fd, eg non e possibile definire alcuna funzione iniettiva f : A ! B. Chiarisci

questa affermazione.

�235 Sia A ¼ fa, bg e B ¼ fc, dg. Definisci tutte le possibili funzioni suriettive da A a B.

[Si possono definire due funzioni suriettive]

�236 Sia A ¼ fa, b, cg e B ¼ fd, eg. Definisci tutte le possibili funzioni suriettive da A a B. Qualcuna di queste funzio-

ni e anche biiettiva? [Si possono definire sei funzioni suriettive da A a B]

103

Unita

2Fu

nzioni

Esercizi riguardanti le funzioni reali di variabile reale

�237 Dal grafico alle sue proprieta. Stabilisci, per ciascuna delle funzioni di cui e tracciato il grafico, se si tratta di

una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva.

x

y

Ox

y

O x

y

O

�238 Dal grafico alle sue proprieta. Stabilisci, per ciascuna delle funzioni di cui e tracciato il grafico, se si tratta di

una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva.

x

y

O

x

y

O

x

y

O


Stabiliamo se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive o biiettive:

a. f ðxÞ ¼ x2 þ 3x b. gðxÞ ¼ x3

Osserviamo preliminarmente che le funzioni date sono definite per ogni x 2 R, quindi il loro dominio e R. Inoltre,

come convenuto, in assenza di indicazioni diverse, si assume come codominio R.

a. La funzione f non e iniettiva: per esempio, f ð�3Þ ¼ f ð0Þ ¼ 0.

La funzione f non e suriettiva: per esempio, �4 non ha alcuna controimmagine perche l’equazione x2 þ 3x ¼ �4

non ha alcuna soluzione reale (l’equazione equivale a x2 þ 3xþ 4 ¼ 0 e � ¼ �7 < 0Þ.Pertanto f non puo essere biiettiva.

b. La funzione g e iniettiva; infatti:

gðx1Þ ¼ gðx2Þ ) x31 ¼ x3

2 ) x1 ¼ x2

La funzione g e suriettiva; infatti, comunque scelto y 2 R, l’equazione x3 ¼ y ammette come soluzione x ¼ffiffiffi

3py,

dunque ogni elemento di R ha come controimmagine nella g la sua radice cubica.

Poiche g e iniettiva e suriettiva, e anche biiettiva.

Stabilisci se ciascuna delle seguenti funzioni e iniettiva, suriettiva o biiettiva.

�240 f ðxÞ ¼ 2x� 1

�241 f ðxÞ ¼ 2 � x

�242 f ðxÞ ¼ x2 � 2x

�243 f ðxÞ ¼ �x2

�244 f ðxÞ ¼ 1

2x2

�245 f ðxÞ ¼ffiffiffix

p

�246 f ðxÞ ¼ 1

x

�247 f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 1

p� 1

�248 f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 23

p

�249 f ðxÞ ¼ x

x2 þ 1(Suggerimento: per stabilire se e suriettiva, cerca se esistono controimmagini di 1;

per stabilire se e iniettiva, verifica che f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ ,x1

x21 þ 1

¼ x2

x22 þ 1

, ðx2 � x1Þðx1x2 � 1Þ ¼ 0 quindi...)

�250 y ¼ x2

x� 1(Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente)

�251 f ðxÞ ¼ xjxj

TemaA


104

4. Funzione inversa TEORIA a p. 82

�252 Vero o falso?

a. se g e la funzione inversa di f , allora il dominio di f e lo stesso di g V F

b. se g e la funzione inversa di f , allora il grafico di g e il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice

del primo e del terzo quadrante V F

c. se il dominio di una funzione invertibile e ½0, þ1Þ, l’immagine della sua inversa e ð�1, 0� V F

d. se f e una funzione invertibile e f ð3Þ ¼ 4, allora, detta f �1 la funzione inversa, risulta f �1ð4Þ ¼ 3 V F


�253 Dal grafico alle sue proprieta. Per ciascuna delle funzioni di cui e tracciato il grafico, stabilisci se e invertibile.

x

y

O x

y

O

x

y

O

�254 Dal grafico alle sue proprieta. Per ciascuna delle funzioni di cui e tracciato il grafico, stabilisci se e invertibile.

x

y

O

x

y

O x

y

O

�255 Nella figura e rappresentato (in rosso) il grafico di una funzione inverti-

bile y ¼ f ðxÞ. Traccia il grafico della funzione inversa e completa:

a. f �1ð�4Þ ¼ ::::::::::

b. f ð�1Þ ¼ ::::::::::

x

y

O

(3, 6)

(–1, 2)

(–4, –4)

y = x

y = f(x)

c. f �1ð6Þ ¼ ::::::::::

�256 Nella figura e rappresentato (in rosso) il grafico di una funzione inverti-

bile y ¼ f ðxÞ. Traccia il grafico della funzione inversa e completa:

a. f �1ð2Þ ¼ ::::::::::

b. f ð�7Þ ¼ ::::::::::

x

y

O

(3, 6)

(–1, 2)(–7, 1)

y = x

y = f(x)c. f �1ð6Þ ¼ ::::::::::

105

Unita

2Fu

nzioni


Verifica che la funzione f ðxÞ ¼ 2xþ 1 e invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.

� Per verificare che la funzione e invertibile, verifica che e iniettiva:

f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ ) 2x1 þ 1 ¼ 2x2 þ 1 ) 2x1 ¼ 2x2 ) x1 ¼ x2

� Per determinare l’espressione analitica della funzione inversa, scambia anzitutto x con y nell’equazione

y ¼ f ðxÞ, cioe in y ¼ 2xþ 1; ottieni l’equazione:

x ¼ 2y þ 1

Ora risolvi questa equazione rispetto a y:

x ¼ 2y þ 1 ) 2y ¼ ::::::::::::::: ) y ¼ :::::::::::::::

Puoi concludere che:

f �1ðxÞ ¼ ::::::::::

2

Nei seguenti esercizi sono assegnate alcune funzioni. Verifica che sono invertibili e determina l’espressione

analitica dell’inversa.

�258 f ðxÞ ¼ 1 � 3x f �1ðxÞ ¼ 1 � x

3

� �

�259 f ðxÞ ¼ x3 � 1 [ f �1ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 13

p]

�260 f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 13

p[ f �1ðxÞ ¼ x3 � 1]

�261 f ðxÞ ¼ 4x� 2 f �1ðxÞ ¼ 1

4xþ 1

2

� �

�262 f ðxÞ ¼ x3 � 2 [ f �1ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 23

p]

�263 f ðxÞ ¼ 4

xþ 2f �1ðxÞ ¼ 4

x� 2

� �

�264 f ðxÞ ¼ 1

x� 2� 3 f �1ðxÞ ¼ 2xþ 7

xþ 3

� �

�265 f ðxÞ ¼ 2x� 1

xþ 1þ 1 f �1ðxÞ ¼ x

3 � x

h i

�266 f ðxÞ ¼ 1ffiffiffix3

p � 2 f �1ðxÞ ¼ 1

ðxþ 2Þ3

" #

�267 f ðxÞ ¼ 1

2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 13

p f �1ðxÞ ¼ 1

8x3� 1

� �

�268 f ðxÞ ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

p�f �1ðxÞ ¼ 1

x2þ 1, con x > 0

�


pþ 1ffiffiffi

xp

þ 2�f �1ðxÞ ¼ 1 � 2x

x� 1

� �2

, con1

2� x < 1

�


Dopo aver verificato che la funzione f ðxÞ ¼ x2 þ 1, con x � 0, e invertibile, determiniamo l’espressione anali-

tica dell’inversa.

� Per verificare che la funzione e invertibile, verifichiamo che e iniettiva; per ogni x1, x2, con x1 � 0 e x2 � 0:

f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ ) x21 þ 1 ¼ x2

2 þ 1 ) x21 ¼ x2

2 ) x1 ¼ �x2 ) x1 ¼ x2Non puo essere x1 ¼ �x2 a causadella condizione x1 � 0 e x2 � 0

� Scambiando x con y nell’equazione che definisce la funzione f , cioe y ¼ x2 þ 1 con x � 0, otteniamo l’equazio-

ne che definisce la funzione inversa:

x ¼ y2 þ 1 con y � 0 Attenzione a sostituire y al posto di x non solo nell’equazione y ¼ x2 þ 1ma anche nella condizione x � 0

� Risolviamo l’equazione ottenuta rispetto a y, tenendo conto della condizione y � 0:

x ¼ y2 þ 1 ) y2 ¼ x� 1 ) y ¼ �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

p) y ¼


pLa soluzione con il meno e da scartarea causa della condizione y � 0

� Concludiamo quindi che f �1ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

p.

TemaA


106

Nei seguenti esercizi sono assegnate alcune funzioni. Verifica che sono invertibili e determina l’espressione


�271 f ðxÞ ¼ x2 � 2

3x2, con x > 0 f �1ðxÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2

1 � 3x

r" #

�272 f ðxÞ ¼ x2 þ 2, con x � 0 [f �1ðxÞ ¼ �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

p]

�273 f ðxÞ ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 2x

p , con x > 0 f �1ðxÞ ¼ �1 þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 þ 1

x2

rcon x > 0

" #

�274 f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 1

p, con x � 0 [f �1ðxÞ ¼ �


p, con x � 0]

�275 Verifica che le seguenti funzioni sono invertibili e che ciascuna coincide con la sua inversa:

a. y ¼ 1

xb. y ¼ � x

xþ 1c. y ¼


p, con 0 � x � 2

5. L’algebra delle funzioni e le funzioni composte TEORIA a p. 84

L’algebra delle funzioni

Date le funzioni f e g, scrivi l’espressione analitica

delle funzioni f þ g, f � g, f � g, f

ge determina il lo-

ro dominio.

�276 f ðxÞ ¼ 2x� 1 gðxÞ ¼ �2xþ 3


pgðxÞ ¼


p

�278 f ðxÞ ¼ x2 � 1 gðxÞ ¼ 2x2 þ 3x� 5

�279 f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

pgðxÞ ¼


p

�280 f ðxÞ ¼ x� 2

x2 � 1gðxÞ ¼ 2x� 1

xþ 1

�281 Date le funzioni

f ðxÞ ¼ 2xþ 3 e ðf þ gÞðxÞ ¼ 4 � 1

2x,

determina l’espressione analitica della funzione g.

�282 Date le funzioni f ðxÞ ¼ � 1

xe

f

g

� �ðxÞ ¼ x� 1

xþ 1,

determina l’espressione analitica della funzione g.

Composizione di due funzioni


Sia f ðxÞ ¼ x2 þ 1 e gðxÞ ¼ 2xþ 4.

Senza determinare l’espressione analitica di f � g e g � f , calcola:

a. ðf � gÞð�1Þ b. ðg � f Þð3Þ

a. ðf � gÞð�1Þ ¼ f ðgð�1ÞÞ ¼ f ð2Þ ¼ ::::::::::

gð�1Þ ¼ 2ð�1Þ þ 4 ¼ 2 f ð2Þ ¼ 22 þ 1 ¼ :::::

b. ðg � f Þð3Þ ¼ gðf ð3ÞÞ ¼ gð::::::::::Þ ¼ ::::::::::

�284 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 þ x e gðxÞ ¼ xþ 1. Senza determinare l’espressione analitica di f � g e g � f ,

calcola ðf � gÞð�1Þ e ðg � f Þð3Þ. [ðf � gÞð�1Þ ¼ 0, ðg � f Þð3Þ ¼ 13]

�285 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffi2x

pe gðxÞ ¼


3p

. Senza determinare l’espressione analitica di f � g e

g � f , calcola ðf � gÞðffiffiffi6

pÞ e ðg � f Þð8Þ. [ðf � gÞð

ffiffiffi6

pÞ ¼ 2, ðg � f Þð8Þ ¼


p]

�286 Siano f ðxÞ ¼ 1ffiffiffix

p e gðxÞ ¼ ðx2 þ 1Þ�1. Senza determinare l’espressione analitica di f � g e g � f , calcola

ðf � gÞð�1Þ e ðg � f Þð4Þ. ðf � gÞð�1Þ ¼ffiffiffi2

p, ðg � f Þð4Þ ¼ 4

5

� �

107

Unita

2Fu

nzioni


Consideriamo le due funzioni f ðxÞ ¼ 1

xþ 1e gðxÞ ¼ 5

x� 2. Determiniamo il dominio della funzione f � g,

senza determinare la sua espressione analitica.

Per determinare il dominio di ðf � gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ, osserviamo intanto che dovra essere x 6¼ 2 affinche la funzione g

sia definita. Inoltre, la funzione f e definita per x 6¼ �1, quindi gðxÞ dovra essere diverso da �1:

5

x� 26¼ �1 ) 5 6¼ �xþ 2 ) x 6¼ �3

In conclusione, dovra essere x 6¼ 2 e x 6¼ �3, quindi il dominio di f � g sara R� �3, 2f g.

�288 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ x� 1

xþ 1e gðxÞ ¼ 2

xþ 3. Determina il dominio della funzione f � g, senza de-

terminare la sua espressione analitica. [R� �5, �3f g]

�289 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x� 1

xþ 1e gðxÞ ¼ 2

xþ 3. Determina il dominio della funzione g � f , senza determi-

nare la sua espressione analitica.R� �1, � 1

2

� ��

�290 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 2x� 3

pe gðxÞ ¼ x� 1

x. Determina il dominio della funzione f � g sen-

za determinare la sua espressione analitica. � 1

2� x < 0 _ 0 < x � 1

2

� �

�291 Considera le due funzioni f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 2x� 3

pe gðxÞ ¼ x� 1

x. Determina il dominio della funzione g � f , sen-

za determinare la sua espressione analitica. [x < �1 _ x > 3]


Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 � 1 e gðxÞ ¼ x2 þ 1. Determina l’espressione analitica di f � g e di g � f e verifi-

ca che f � g 6¼ g � f .

Risulta:

ðf � gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼ ðx2 þ 1Þ2 � 1 ¼ ::::::::::::::::::::

ðg � f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ¼ ðx2 � 1Þ2 þ 1 ¼ ::::::::::::::::::::

E evidente che f � g 6¼ g � f .

Determina l’espressione analitica di f � g e di g � f , specificando il dominio di ciascuna funzione composta

(nelle risposte sono riportate solo le espressioni analitiche delle due funzioni).

�293 f ðxÞ ¼ 2xþ 1 gðxÞ ¼ 2x [ðf � gÞðxÞ ¼ 4xþ 1; ðg � f ÞðxÞ ¼ 4xþ 2]

�294 f ðxÞ ¼ 2x gðxÞ ¼ 1

4x� 1

�ðf � gÞðxÞ ¼ 1

2x� 2; ðg � f ÞðxÞ ¼ 1

2x� 1

�

�295 f ðxÞ ¼ x� 1 gðxÞ ¼ x2 þ 4 [ðf � gÞðxÞ ¼ x2 þ 3; ðg � f ÞðxÞ ¼ x2 � 2xþ 5]

�296 f ðxÞ ¼ x2 � 1 gðxÞ ¼ x� 3 [ðf � gÞðxÞ ¼ x2 � 6xþ 8; ðg � f ÞðxÞ ¼ x2 � 4]

�297 f ðxÞ ¼ x2 gðxÞ ¼ xþ 1 [ðf � gÞðxÞ ¼ ðxþ 1Þ2; ðg � f ÞðxÞ ¼ x2 þ 1]

�298 f ðxÞ ¼ x2 þ x gðxÞ ¼ x2 [ðf � gÞðxÞ ¼ x4 þ x2; ðg � f ÞðxÞ ¼ x4 þ 2x3 þ x2]

�299 f ðxÞ ¼ ðx� 1Þ2 gðxÞ ¼ xþ 1 [ðf � gÞðxÞ ¼ x2; ðg � f ÞðxÞ ¼ x2 � 2xþ 2]

�300 f ðxÞ ¼ 2x� 1 gðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 2

p[ðf � gÞðxÞ ¼ 2


p� 1; ðg � f ÞðxÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x� 3

p]

�301 f ðxÞ ¼ 2

xþ 1gðxÞ ¼ 2x

�ðf � gÞðxÞ ¼ 2

2xþ 1; ðg � f ÞðxÞ ¼ 4

xþ 1

�

�302 f ðxÞ ¼ 5

x� 3gðxÞ ¼ 2

x

�ðf � gÞðxÞ ¼ 5x

2 � 3x; ðg � f ÞðxÞ ¼ 2

5x� 6

5

�

TemaA


108

�303 f ðxÞ ¼ x� 2 se x � 1�x se x < 1

�gðxÞ ¼ 2x

�Suggerimento: ðf � gÞðxÞ ¼ f ðgðxÞÞ ¼

gðxÞ � 2 se gðxÞ � 1

�gðxÞ se gðxÞ < 1

(; ðg � f ÞðxÞ ¼ gðf ðxÞÞ ¼ 2f ðxÞ

�

�f � gÞðxÞ ¼

2x� 2 se x � 1

2

�2x se x <1

2

8>><>>: ; ðg � f ÞðxÞ ¼

2x� 4 se x � 1

�2x se x < 1

�(

�304 f ðxÞ ¼ xþ2 se x� 12x se x< 1

�gðxÞ ¼ 2x

�ðf � gÞðxÞ ¼

2xþ2 se x� 1

2

4x se x<1

2

8>><>>: ; ðg � f ÞðxÞ ¼

2xþ4 se x� 1

4x se x< 1

�(

Determina le espressioni analitiche di due funzioni f e g tali che f � g ¼ z, essendo z la funzione assegnata (le

funzioni f e g non sono uniche).

�305 zðxÞ ¼ ð3x� 2Þ4

�306 zðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 4

p �307 zðxÞ ¼ jx2 � xj

�308 zðxÞ ¼ ð1 þ x2Þ3

�309 Esplorazione. E data la funzione definita da f ðxÞ ¼ 2x. Determina l’espressione analitica di:

a. f � f b. f � f � f c. f � f � f � f

Formula una congettura sull’espressione analitica della funzione f � f � ::::: � f � f

n volte

, ottenuta componendo n� 1

volte la funzione f con se stessa.

[ðf � f ÞðxÞ ¼ 4x; ðf � f � f ÞðxÞ ¼ 8x; ðf � f � f � f ÞðxÞ ¼ 16x]

�310 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ x2 e gðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffijxj

p. Determina le espressioni analitiche di f � g e g � f e stabilisci se

f � g ¼ g � f .

�311 Considera le funzioni f ðxÞ ¼ jxj e gðxÞ ¼ x4 � x2 þ 2. Determina le espressioni analitiche di f � g e g � f e stabi-

lisci se f � g ¼ g � f .

Esercizi riassuntivi su funzioni composte e funzioni inverse

�312 Data la funzione f ðxÞ ¼ 2x� 1

xþ 2, determina ðf � f ÞðxÞ e stabilisci per quali valori di x risulta ðf � f ÞðxÞ � 0.�

x < � 3

4_ x � 4

3, con x 6¼ �2

�

�313 Date le funzioni f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 4x� 5

pe gðxÞ ¼ x2 � 1, determina il dominio della funzione f � g.

[x � �ffiffiffi2

p_ x �

ffiffiffi2

p]

�314 Data la funzione f ðxÞ ¼ 2x

xþ 2, determina ðf � f ÞðxÞ e stabilisci per quali valori di x risulta ðf � f ÞðxÞ � 0.

[x < �1 _ x � 0, con x 6¼ �2]

�315 Date le funzioni f ðxÞ ¼ 2xþ 1 e gðxÞ ¼ jx� 1j, determina per quali valori di x risulta ðf � gÞðxÞ ¼ ðg � f ÞðxÞ.�x ¼ 3

4

�

�316 Date le funzioni f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ k

pe gðxÞ ¼ x� 1, determina k in modo che il grafico della funzione g � f interse-

chi l’asse y nel punto di coordinate (0, 4). [k ¼ 25]

�317 Date le funzioni f ðxÞ ¼ 3x2 � x e gðxÞ ¼ 2x� a, determina a in modo che il grafico della funzione f � g incon-

tri l’asse y nel punto di coordinate (0, 4).a ¼ � 4

3_ a ¼ 1

� �

�318 Date le funzioni f ðxÞ ¼ 3x2 � x e gðxÞ ¼ 2x� a, determina a in modo che il grafico della funzione g � f incon-

tri l’asse y nel punto di coordinate (0, 4). [a ¼ �4]

109

Unita

2Fu

nzioni

�319 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x� 1

xþ 1e gðxÞ ¼ xþ k, determina k in modo che il grafico della funzione f � g incontri

l’asse y nel punto di coordinate (0, 2). [k ¼ �3]

�320 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x� 1

xþ 1e gðxÞ ¼ xþ k, determina k in modo che il grafico della funzione g � f incontri

l’asse y nel punto di coordinate (0, 2). [k ¼ 3]

�321 Determina almeno due coppie diverse di funzioni f e g tali che f � g ¼ z, essendo z la funzione definita da

zðxÞ ¼ ðx2 � 1Þ20.

�322 Considera la funzione f ðxÞ ¼ 2x� 1; determina f � f , f � f � f . Determina per quali valori di x risulta

ðf � f ÞðxÞ ¼ ðf � f � f ÞðxÞ. [ðf � f ÞðxÞ ¼ 4x� 3, ðf � f � f ÞðxÞ ¼ 8x� 7; x ¼ 1]

�323 Considera le funzioni f : N ! Z e g : Z ! N definite da f ðxÞ ¼ x e gðxÞ ¼ jxj. Verifica che g � f e biiettiva ma

che f e g non sono biiettive.

�324 Giustifica perche la funzione f ðxÞ ¼ 2xþ 3 e invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. Veri-

fica che ðf � f �1ÞðxÞ ¼ ðf �1 � f ÞðxÞ ¼ x.

�325 Giustifica perche la funzione f ðxÞ ¼ x3 þ 1 e invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa. Verifi-

ca che ðf � f �1ÞðxÞ ¼ ðf �1 � f ÞðxÞ ¼ x.

�326 Sono date le funzioni f ðxÞ ¼ x� 1, gðxÞ ¼ x3. Giustifica perche sono invertibili e determina l’espressione ana-

litica di ciascuna delle seguenti funzioni: f �1, g�1, f � g, ðf � gÞ�1. Verifica che risulta ðf � gÞ�1 ¼ g�1 � f �1.

RIEPILOGO

Esercizi di riepilogo

�327 Interpretazione di grafici. Per ciascuna delle relazioni rappresentate, individua il dominio e l’insieme imma-

gine. Stabilisci quindi se si tratta del grafico di una funzione e in caso affermativo determina i suoi eventuali zeri e

stabilisci se si tratta di una funzione invertibile.

x

y

Ox

y

O

x

y

O

x

y

O

�328 Interpretazione di grafici. Considera la funzione il cui grafico e tracciato qui sotto e rispondi alle seguenti

domande.

a. Qual e il dominio della funzione?

b. Qual e l’immagine della funzione?

c. f ð2Þ e positivo o negativo?

x

y

O

(–4, –4)

(1, –2)

(3, 1)

(7, 4)

d. Si tratta di una funzione strettamente crescente o strettamente

decrescente nel suo dominio?

e. Quanti zeri ammette la funzione?

f. Si tratta di una funzione invertibile? In caso affermativo, traccia il

grafico dell’inversa.

TemaA


110

�329 Considera la funzione y ¼ � 1

2xþ 3.

a. Classifica la funzione e determina il suo dominio.

b. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari.

c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.

Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione.

d. Traccia, per punti, il grafico della funzione.

e. Determina l’immagine della funzione.

f. Verifica che si tratta di una funzione invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.

[a. D ¼ R; b. ne pari ne dispari; c. y > 0 per x < 6, y ¼ 0 per x ¼ 6, y < 0 per x > 6; e. I ¼ R; f. y ¼ 6 � 2x]


x2.







f. Giustifica perche la funzione data non e invertibile.

g. Verifica che la restrizione della funzione all’intervallo ð0, þ1Þ e invertibile e determina l’espressione

analitica dell’inversa.�a. D ¼ R� 0f g; b. pari; c. y � 0 per nessun valore di x, y < 0 per ogni x 2 D; e. I ¼ ð�1;0Þ; g. y ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi� 6

x

r �


x.







f. Verifica che si tratta di una funzione invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.

[a. D ¼ R� 0f g; b. dispari; c. y > 0 per x < 0, y ¼ 0 per nessun valore di x, y < 0 per x > 0;

e. I ¼ R� 0f g; f. l’inversa coincide con la funzione stessa]


2x2 þ 1.







f. Giustifica perche la funzione data non e invertibile.

g. Verifica che la restrizione della funzione all’intervallo ð�1, 0Þ e invertibile e determina l’espressione


[a. D ¼ R; b. pari; c. y > 0 per �ffiffiffi2

p< x <

ffiffiffi2

p, y ¼ 0 per x ¼ �

ffiffiffi2

p, y < 0 per x < �

ffiffiffi2

p_ x >

ffiffiffi2

p;

e. I ¼ ð�1, 1�; g. y ¼ �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 � 2x

p]

�333 Considera la funzione y ¼ ðx� 2Þ2ðx2 þ 3xÞ3.

a. Classificala e determina il suo dominio.

b. Determina f ð�1Þ.c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.


d. Giustifica perche la funzione data non e invertibile.

[a. D ¼ R; b. �72; c. y > 0 per x < �3 _ x > 0, con x 6¼ 2; y ¼ 0 per x ¼ �3 _ x ¼ 0 _ x ¼ 2;

y < 0 per �3 < x < 0]

111

Unita

2Fu

nzioni

�334 Considera la funzione y ¼ xþ 2

x� 6.


b. Determina f ð�4Þ e f1

2

� �.



d. Giustifica perche la funzione data e invertibile e scrivi l’espressione analitica della funzione inversa.�a. D ¼ R� 6f g; b. f ð�4Þ ¼ 1

5, f

1

2

� �¼ � 5

11;

c. y > 0 per x < �2 _ x > 6, y ¼ 0 per x ¼ �2, y < 0 per �2 < x < 6; d. y ¼ 6xþ 2

x� 1

�

�335 Considera la funzione y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p� 2x.


b. Determina la controimmagine di 2.



d. Senza determinare l’espressione analitica di f � f , determina il suo dominio.

[a. D ¼ ð�1, �1� [ ½1, þ1Þ; b. x ¼ �1;

c. y > 0 per x � �1, y ¼ 0 per nessun valore di x; y < 0 per x � 1; d. ð�1,�1� [ ½1,þ1Þ]

�336 Considera la funzione y ¼ xþ 2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x� 1

p�

ffiffiffix

p .


b. Determina f ð2Þ.c. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni alle quali appartiene il suo grafico.


d. Stabilisci se la funzione data e uguale alla funzione y ¼ xþ 2

x� 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x� 1

pþ

ffiffiffix

p �.

�a. D ¼

�1

2, 1

�[ ð1,þ1Þ; b. f ð2Þ ¼ 4

ffiffiffi3

pþ 4

ffiffiffi2

p;

c. y > 0 se x > 1, y ¼ 0 per nessun valore di x, y < 0 se1

2� x < 1

�

�337 Considera la funzione y ¼ jxþ 2j � 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ 1

p� x

.


b. Determina f ð�2ffiffiffi2

pÞ.



d. Giustifica perche la funzione data non e invertibile. [a. D ¼ R; b. 12ffiffiffi2

p� 17;

c. y > 0 per x < �3 _ x > �1, y ¼ 0 per x ¼ �3 _ x ¼ �1, y < 0 per �3 < x < �1]

�338 Data la funzione f ðxÞ ¼ mxþ q, determina m e q in modo che risulti f ð0Þ ¼ 3 e f ð�2Þ ¼ 0. Considera la fun-

zione ottenuta in corrispondenza dei valori di m e q trovati. Giustifica perche e invertibile e determina l’espressio-

ne analitica della funzione inversa.�m ¼ 3

2, q ¼ 3; f �1ðxÞ ¼ 2

3x� 2

�

�339 Data la funzione f ðxÞ ¼ xþ a

xþ b, determina a e b in modo che risulti f ð�2Þ ¼ 0 e f ð0Þ ¼ 2. Considera la funzio-

ne ottenuta in corrispondenza dei valori di a e b trovati. Giustifica perche e invertibile e determina l’espressione

analitica della funzione inversa. �a ¼ 2, b ¼ 1; y ¼ x� 2

1 � x

�

�340 Data la funzione f ðxÞ ¼ x

x2 þ kxþ h, determina h e k in modo che il suo dominio sia R� �3f g. [k ¼ 6, h ¼ 9]

�341 Data la funzione f ðxÞ ¼ xþ a

xþ b, determina a e b in modo che il suo dominio sia R� �3f g e inoltre risulti

f ð0Þ ¼ 6. [a ¼ 18, b ¼ 3]

TemaA


112

�342 Data la funzione f ðxÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � axþ 10

p, determi-

na per quali valori di a:

a. il suo dominio e R;

b. il grafico della funzione ha un unico punto di in-

tersezione con l’asse x;

c. uno dei due punti di intersezione del grafico del-

la funzione con l’asse x ha coordinate (2, 0).

[a. �2ffiffiffiffiffiffi10

p� a � 2


p; b. a ¼ �2


p; c. a ¼ 7]

�343 Siano date le due funzioni:

f ðxÞ ¼ 2x� 1 e gðxÞ ¼ 1

2xþ k

Determina:

a. per quale valore di k il grafico della funzione f � ginterseca l’asse x nel punto di coordinate ð2, 0Þ;b. per quale valore di k il grafico della funzione g � finterseca l’asse y nel punto di coordinate ð0, 2Þ.�

a. k ¼ � 1

2; b. k ¼ 5

2

�

�344 Data la funzione f ðxÞ ¼ 1

2xþ k, verifica che e in-

vertibile per ogni k 2 R. Determina per quale valore di

k il grafico della funzione inversa di f interseca l’asse y

nel punto di coordinate (0, 4). [k ¼ �2]

�345 Dopo aver determinato il dominio della funzione

definita da f ðxÞ ¼ffiffiffix

pþ 1, giustifica perche e invertibi-

le e determina l’espressione analitica della funzione

inversa. Traccia, per punti, il grafico della funzione f e

quello della sua inversa. [f �1ðxÞ ¼ ðx� 1Þ2, con x � 1]

�346 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x� 1, gðxÞ ¼ x3:

a. determina f � g e g � f ;

b. giustifica perche sono invertibili e determina l’e-

spressione analitica di f �1 e di g�1;

c. verifica che risulta ðf � gÞ�1 ¼ g�1 � f �1.

�347 Considera le funzioni:

f ðxÞ ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ a3

p e gðxÞ ¼ x2 þ b

a. Determina a e b in modo che f ð�3Þ ¼ 1

2e gð2Þ ¼ f ð�12Þ.

Considerate le funzioni f e g corrispondenti ai valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.

b. Determina l’espressione analitica di f � g e di g � f .

c. Determina il dominio di g � f e di f � g.

d. Individua quale delle due funzioni f e g e invertibile (giustificando la risposta) e scrivi l’espressione analitica

dell’inversa.�a. a ¼ 11, b ¼ �5; b. f ðgðxÞÞ ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x2 þ 63p , gðf ðxÞÞ ¼ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ðxþ 11Þ23

q � 5; c. R, R� �11f g;

d. e invertibile la funzione f e l’inversa e f �1ðxÞ ¼ 1

x3� 11

��348 Considera la funzione:

f ðxÞ ¼ 2xþ a

3xþ b

a. Determina a e b in modo che il dominio della funzione sia R� 2f g e f ð�4Þ ¼ 0.

In corrispondenza dei valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.

b. Studia il segno della funzione.

c. Determina per quali valori di x risulta f ðx� 1Þ � f ðxÞ þ 1.

d. Verifica che la funzione f e invertibile e determina l’espressione analitica dell’inversa.�a. a ¼ 8, b ¼ �6; b. f ðxÞ > 0 per x < �4 _ x > 2, f ðxÞ ¼ 0 per x ¼ �4, f ðxÞ < 0 per �4 < x < 2;

c.5 �


p

2� x < 2 _ 3 < x � 5 þ


p

2; d. y ¼ 2ð3xþ 4Þ

3x� 2

��349 Considera la funzione:

f ðxÞ ¼ kx2 � 4

3x2 þ 2x� 5

a. Determina k in modo che uno dei suoi punti di intersezione con l’asse x abbia ascissa1

2.

In corrispondenza del valore di k trovato, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.

b. Determina il dominio della funzione f :

c. Determina per quali valori di x la funzione e positiva e per quali si annulla.

d. Stabilisci se la funzione f e invertibile.

e. Considerata la funzione gðxÞ ¼ffiffiffix

p, determina il dominio delle due funzioni f � g e g � f .�

a. k ¼ 16; b. R� � 5

3, 1

� �; c. f ðxÞ > 0 per x < � 5

3_ � 1

2< x <

1

2_ x > 1, f ðxÞ ¼ 0 per x ¼ � 1

2;

d. non e invertibile; e. f � g e definita per x � 0 ^ x 6¼ 1, g � f e definita per x < � 5

3_ � 1

2� x � 1

2_ x > 1

�

Esercizi dalle gare di matematica e in inglese

�350 Siano f ðxÞ ¼ 2x

3xþ 4e f ðgðxÞÞ ¼ x; allora gðxÞ ¼

A3xþ 4

2xB

3x

2xþ 4C

2xþ 4

4xD

4x

2 � 3x

E altra funzione

(Kangourou 2007) [D]

�351 Il grafico della funzione f , illustrato in figura, e

formato da un segmento e da due semirette. Qual e

l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione

f ðf ðf ðxÞÞÞ ¼ 0?

O x

y

4

2

4–7 –4

–2

–3

A �4, 0f gB �8, �4, 0f gC �12, �8, �4, 0f g

D L’insieme vuoto

E �16, �12, �8, �4, 0f g(Kangourou 2003)

�352 Solve math in English Let f ðxÞ be a function such

that f ðxÞ þ f1

1 � x

� �¼ x for all x not equal to 0 or 1.

What is the value of f ð2Þ?

A1

4B

3

4C

5

4D

7

4E

9

4

(High School Math Contest, University of South Carolina, 2006) [D]

�353 Solve math in English Suppose that f ðxÞ ¼ axþ b,

where a and b are real numbers. Given that

f ðf ðf ðxÞÞÞ ¼ 8xþ 21, what is the exact value of aþ b?

(High School Math Contest, Texas 2009) [5]

�354 Solve math in English A real valued function f

defined for nonzero real numbers satisfies

f ð�xÞ þ 1

xf

1

x

� �¼ 4x. What is the value of f ð2Þ?

(High School Math Contest, Texas 2009) � 7

2

� �

PROVADI AUTOVERIFICA

Funzioni

�1 Dopo aver dato la definizione di funzione, stabilisci quale dei seguenti non e il grafico di una funzione:

Per ciascuno degli altri grafici, stabilisci il dominio e l’immagine della corrispondente funzione e specifica se si trat-

ta di una funzione pari o dispari.

y

Ox

y

O x

y

Ox

y

O x

a b c d

�2 Data la funzione f ðxÞ ¼ x4 � 2x2, determina

a. l’immagine di 2; b. le controimmagini di 2.

�3 Determina il dominio della funzione:

y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi100 � x2

p

x2 þ xþ 2þ 1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ðx2 � 4xÞ3q

�4 Per quali valori di a la funzione y ¼ 3x2 þ 1

x2 � 3xþ ae definita in tutto R?

113

Unita

2Fu

nzioni

�5 In riferimento alla funzione y ¼ f ðxÞ il cui grafico e rappresentato in figura, stabilisci se le seguenti afferma-

zioni sono vere o false:

y

Ox

a. il dominio della funzione e ½0, þ1Þ V F

b. l’immagine della funzione e ½0, þ1Þ V F

c. la funzione e decrescente in senso lato in R V F

d. la funzione e strettamente crescente in ð�1, 0Þe strettamente decrescente in ð0, þ1Þ V F

e. l’equazione f ðxÞ ¼ 1 non ha soluzioni V F

f. l’equazione f ðxÞ ¼ �1 non ha soluzioni V F

g. la funzione non ammette zeri V F

�6 Definisci i concetti di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Stabilisci, motivando le risposte, se le funzioni

da R a R che hanno i seguenti grafici sono iniettive, suriettive o biiettive e se sono invertibili.

x

y

Ox

y

O x

y

O

a b c

�7 Nella seguente figura e tracciato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ, che ha come dominio l’intervallo

½�6, þ1Þ. Traccia il grafico di y ¼ f �1ðxÞ, specificando il dominio e l’immagine di f �1.

x

y

O–6

–3

y = f(x)

�8 Date le funzioni f ðxÞ ¼ x2 e gðxÞ ¼ 1

xþ 1, scrivi l’espressione analitica di f � g e di g � f . Determina per quali

valori di x risulta ðf � gÞðxÞ ¼ ðg � f ÞðxÞ.

�9 Date le funzioni f ðxÞ ¼ xþ a e gðxÞ ¼ x2 þ b. Determina quali condizioni devono soddisfare a e b in modo

che risulti f � g ¼ g � f .

�10 Giustifica perche la funzione f ðxÞ ¼ 2xþ 1

x� 1e invertibile e determina l’espressione analitica della funzione in-

versa.

Valutazione

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totale

Punteggio 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10

Punteggio

ottenuto

Tempo massimo: 1 h e 30 min 3Risposte in fondo al volume

TemaA


114

115

Laboratorio di informatica A TemaTemaA

Laboratorio

diinform

atica

Inform

atic

a–GEOGEBRA/FOGLIO

ELETTRONIC

O

ATTIVITA GUIDATE

Attivita 1 GeoGebra, foglio elettronico

Percorso a due velocitaUn cane e fermo in un punto C, che dista 15 m dalla riva di un fiume, ad andamento

rettilineo, e deve raggiungere un’isola situata nella posizione A, in mezzo al fiume, la

quale dista 20 m dalla riva.

Detti H la proiezione di A sulla riva e K la proiezione di C sulla riva, la distanza fra H e

K e di 100 m.

Volendo raggiungere l’isola, il cane deve percorrere due tratti:

� un tratto rettilineo sul terreno fino a giungere alla riva del fiume (CP), dove il cane

corre con velocita costante v1 ¼ 4 m/s;

� un tratto nell’acqua (PA), dove il cane nuota con velocita costante v2 ¼ 1,5 m/s.

Verso quale punto P deve dirigersi il cane per compiere il percorso da A a C in un mi-

nuto?

fiume isola A

cane

K

C

P H15 m

100 m

20 m

a. Costruzione del modello algebrico del problema

Riassumendo, i dati di partenza forniti dal testo sono:

� la distanza cane-riva (CK ¼ 15 m);

� la distanza isola-riva (AH ¼ 20 m);

� la lunghezza del tratto di riva interessato (HK ¼ 100 m);

� v1 (¼ 4 m/s) la velocita del cane durante il tratto di corsa;

� v2 (¼ 1,5 m/s) la velocita del cane durante il tratto a nuoto.

Il punto P resta univocamente individuato una volta che se ne conosca, per

esempio, la distanza (in metri) da K; poni percio:

PK ¼ x

Devi ora ricavare, in funzione dei dati e di x, i tempi di percorrenza. A tale scopo

procedi come segue.

1. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PKC, puoi ricava-

re la misura di PC:

PC ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ CK

2q

¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ ::::

p

2. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHA, puoi ricava-

re la misura di PA:

PA ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiAH

2 þ ðHK � xÞ2q

¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi::::::2 þ ð:::::� xÞ2

q

Se hai difficolta a svolgerele attivita guidate, fairiferimento ai file disponibilion-line.

116

Inform

atica–GEOGEBRA/FOGLIO

ELETTRONIC

OTemaA

Laboratoriodiinform

atica 3. Ricordando la legge oraria del moto rettilineo uniforme, in base alla quale

t ¼ s

v, puoi esprimere i tempi t1 e t2 per percorrere i tratti PC e PA:

t1 ¼ PC

v1¼ :::::::::::::::::::

:::::::::::::::t2 ¼ PA

v2¼ :::::::::::::::::::

:::::::::::::::

4. Puoi quindi scrivere l’equazione che costituisce il modello del problema

(esprimi il minuto in secondi):

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ ::::

p

4þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi::::::2 þ ð::::: � xÞ2

q:::::::::

¼ 60

Si tratta di un’equazione irrazionale, che non sei in grado di risolvere alge-

bricamente perche conduce a un’equazione di grado superiore al secondo

non risolvibile con i metodi che conosci. Per cercare di trovare una solu-

zione approssimata del problema, possiamo seguire un approccio di tipo

grafico (per esempio con GeoGebra) o di tipo numerico (con il foglio elet-

tronico).

b. Approccio grafico (con GeoGebra)

1. Traccia con GeoGebra il grafico della funzione che esprime il tempo com-

plessivo (in secondi) del percorso e il grafico della retta di equazione

y ¼ 60.

2. Deduci un’approssimazione della soluzione dell’equazione.

3. Rispondi alla domanda posta dal problema.

c. Approccio numerico (con il foglio elettronico)

Tramite un foglio Excel e possibile studiare il problema calcolando il tempo ne-

cessario a effettuare il percorso, in corrispondenza di tutte le posizioni di P che si

desiderano, comprese tra il caso limite in cui P coincide con K (PK ¼ 0 m) e il ca-

so limite in cui P coincide con H (PK ¼ 100 m).

A questo scopo puoi costruire un foglio come quello qui sotto.

Puoi costruire tale foglio seguendo le istruzioni qui indicate.

1. Prepara le celle che contengono del testo (come A1, A3, A4, . . .);

2. immetti nelle celle C4, C5, C6, F4, F5 i dati forniti dal problema;

3. le celle della colonna A, a partire da quella sulla riga 9, contengono le di-

stanze PK in corrispondenza delle posizioni di P che si ottengono partendo

dal punto K e immaginando di muoversi lungo la riva, verso il punto H, a

«passi» di 5 m. Per costruire tale colonna basta che immetti nella cella A9 il

numero 0 (corrispondente alla distanza di P da K nel caso limite in cui

P KÞ e nella cella A10 la formula =A9+5 che andra poi copiata nelle righe

sottostanti fino alla 29 (corrispondente alla posizione limite in cui P HÞ.

117

TemaA

Laboratorio

diinform

atica

Inform

atic

a–GEOGEBRA/FOGLIO

ELETTRONIC

O

4. Nella cella B9 devi inserire la formula che fornisce la distanza CP in funzio-

ne della distanza PK; tenendo conto dell’espressione di PC ricavata nella fa-

se iniziale di modellizzazione del problema, dovresti comprendere che in

B9 devi inserire la formula

=RADQ($C$4^2+A9^2)

che dovrai poi copiare nelle celle sottostanti della colonna B (fino alla riga

29).

5. Nella cella C9 dovrai inserire la formula:

=B9/$F$4

6. Con ragionamenti analoghi a quelli dei punti precedenti non dovresti tro-

vare difficolta a completare il foglio con le formule da inserire nelle colon-

ne D, E, F, G, H.

Per interpretare meglio i dati della tabella puoi ricorrere a un grafico a dispersio-

ne, come quello della figura seguente, che rappresenta il tempo di percorrenza

del tratto CP + PA (asse y, intervallo H9:H29) in funzione della lunghezza di PK

(asse x, intervallo A9:A29).

Utilizza ora il foglio che hai costruito:

� in base ai dati che puoi leggere, deduci in quale intervallo e da cercare la di-

stanza PK che rende il tempo complessivo uguale a 1 minuto;

� cerca di migliorare l’approssimazione, modificando opportunamente il conte-

nuto delle celle A9:A29, fino ad arrivare a ricavare un’approssimazione della

distanza PK a meno di un decimo.

Un approfondimento

Un ulteriore problema che si puo porre e il seguente: verso quale punto P deve diri-

gersi il cane, per fare in modo che il tempo impiegato per compiere il percorso da A a C

sia minimo?

A prima vista la risposta alla domanda potrebbe sembrare ovvia e facile: il percor-

so piu veloce sara anche il piu breve (cioe quello che rende minima la somma del-

la lunghezza di CP e di PA), dunque sara quello rettilineo ... Ma e proprio cosı?

Allo stato delle tue conoscenze, cercare di rispondere a questa domanda senza

l’aiuto di strumenti informatici non sarebbe facile (perche la funzione che espri-

me il tempo complessivo impiegato dal cane per compiere il percorso da A a C e

una funzione irrazionale, che per il momento non sei in grado di studiare con

carta e penna). Tuttavia puoi cercare una risposta approssimata anche all’ultima

domanda posta, utilizzando il grafico costruito con GeoGebra o il foglio Excel

che hai poc’anzi predisposto.

118

Inform

atica–GEOGEBRA/FOGLIO

ELETTRONIC

OTemaA

Laboratoriodiinform

atica 1. Osservando il grafico che hai tracciato con GeoGebra, quale ti sembra esse-

re approssimativamente l’ascissa del punto della funzione avente ordinata

minima?

2. Analizzando attentamente il foglio Excel che hai costruito, in quale inter-

vallo ti sembra da cercare la lunghezza PK che rende il tempo totale mini-

mo? Come puoi migliorare la precisione? Sei in grado di determinare

un’approssimazione a meno di un decimo della distanza PK che rende il

tempo totale minimo?

3. I risultati ottenuti con GeoGebra ed Excel concordano tra loro?

4. In corrispondenza della lunghezza PK che rende minimo il tempo totale di

percorrenza (colonna H nel foglio Excel), e minimo anche lo spazio percor-

so (colonna G)? La congettura inizialmente formulata circa il fatto che il

percorso piu veloce fosse anche il piu breve si e rivelata corretta?

ATTIVITA PROPOSTE

�1 Supponiamo di avere un foglio di cartone di forma rettangolare, i cui lati sono lun-

ghi 100 cm e 80 cm. Da questo foglio si ritagliano, agli angoli, quattro quadrati ugua-

li, il cui lato misura x (in cm) e si ripiega il pezzo di cartone rimanente in modo da ot-

tenere una scatola aperta superiormente, come indicato in figura.

100 – 2x

x x

x

x x

xx

xx

80 – 2x

100 – 2x

80 – 2x

Come occorre scegliere x in modo da ottenere una scatola di volume uguale a 20 dm3?

Scrivi l’equazione che formalizza il problema, quindi deduci le sue soluzioni appros-

simate interpretando graficamente l’equazione con GeoGebra. Le soluzioni dell’e-

quazione sono anche soluzioni del problema?

�2 Considera il seguente problema: «Tra tutti i triangoli isosceli di perimetro uguale a

40 cm, determina le lunghezze dei lati del triangolo che ha area uguale a 60 cm2».

a. Cerca di risolverlo secondo diversi approcci (similmente a quanto fatto nell’attivi-

ta guidata), sia utilizzando il grafico di un’opportuna funzione, che potrai traccia-

re con GeoGebra, sia costruendo un opportuno foglio Excel.

b. Utilizza il grafico e il foglio Excel costruito per rispondere a questa ulteriore do-

manda: «tra tutti i triangoli isosceli di perimetro uguale a 40 cm, determina le lun-

ghezze dei lati del triangolo di area massima».

UTILIZZARE LE TECNICHE DEL CALCOLO ALGEBRICO, RAPPRESENTANDOLEANCHE SOTTO FORMAGRAFICA

�1 Vero o falso?

a. l’equazioneffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix4 þ x3 þ 1

p¼ �2 non ha

soluzioni in R V F

b. l’equazioneffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p¼

ffiffiffix

pe equivalente

a x2 � 1 ¼ x V F

c. comunque scelti a, b 2 R si ha che: a ¼ b

se e solo se a3 ¼ b3 V F

d. comunque scelti a, b 2 R si ha che: a ¼ b

se e solo se a2 ¼ b2 V F

e.1

3� 1

2

�� ¼ 1

3� 1

2V F

f. l’equazione jxj ¼ �2jx� 1j e impossibile V F

g. l’equazione jxj ¼ 2x� 1 e equivalente a

x2 ¼ ð2x� 1Þ2V F

h. l’equazione jxj ¼ j2x� 1j e equivalente a

x2 ¼ ð2x� 1Þ2V F


Risolvi le seguenti equazioni irrazionali.

�2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 þ 4x

p¼ x� 1 [6]

�3ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 13

p¼ x� 1 [0, 1, 2]

�4ffiffiffiffiffiffi2x

pþ 1 ¼ 3 [2]

�5 xþ 1 ¼ffiffiffix

pþ 3 [4]

�61

2

ffiffiffix

p¼ 5 � x [4]

�7ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix4 � 2x2

p¼


p[�

ffiffiffi2

p]

�8ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4x� 53

p¼ 5

65

2

� �

�9

ffiffiffiffiffi1

x

r¼ 1

x� 1

3 �ffiffiffi5

p

2

" #

�10ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4 þ

ffiffiffix

pp¼ 3 [25]


p¼ 6 �

ffiffiffix

p 49

4

� �

�12 2ðx� 2Þ14 ¼ ð2xþ 1Þ

14

33

14

� �

�13 ðx� 2Þ23 ¼ 16 [�62, 66]

�14ffiffiffix

pþ


p¼ 3 [1, 4]

�15 x�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

p

xþffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

p ¼ 1

5[3]

�16ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

pþ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 þ x

p¼


p 2ffiffiffiffiffiffi13

p� 8

3

" #

�17 1

x�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p þ 2

xþffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 1

p ¼ 2x� 3 � 5

3

� �

�18ffiffiffi2

pþ


p¼


p[3]

�19 x2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4 � x

p¼


p[�1, 4]


p¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 2

p� 1

p 7 þffiffiffiffiffiffi21

p

2

" #

�21ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 �


pp¼ xþ 2 �1, � 17

15

� �

Risolvi le seguenti equazioni contenenti valori as-

soluti.

�22 j2x� 1j ¼ 5 [�2, 3]

�23 3xþ 1

3

�� ¼ 2 � 7

3,

5

3

� �

�24 j2 � x2j ¼ 7 [�3, 3]

�25 jx2 þ x� 2j ¼ 0 [�2, 1]

�26 x� 1

xþ 3

�� ¼ 2 � 5

3, � 7

� �

�27 jxþffiffiffix

pj ¼ �1 [Impossibile]

�28 jxþ xffiffiffi2

p� 1j ¼ 1 �

ffiffiffi5

p[Impossibile]

�29 jx2 þ 1j þ 6 ¼ 3 [Impossibile]

�30 j3x2 � 3j þ j2xþ 2j ¼ 0 [�1]

�31 j2x� 1j ¼ j3x� 2j 1,3

5

� �

�32 x� 1

2x2

�� ¼ jxþ 5j [2 �


p]

�33 j5x� 1j ¼ x1

4,

1

6

� �

�34 j3x2 � 3xj þ jxþ 2j ¼ 0 [Impossibile]

�35 jx2 þ 3xj ¼ 2x [No]

�36 jffiffiffix

p� 1j ¼ 2 � 1

2

ffiffiffix

p�� [4]

�37 jxj ¼ 1

3x2 [�3, 0]

�38 1

2xþ 1

��þ 1 ¼ x [4]

�39 jx2 � 1j ¼ � 1

2jxj [Impossibile]

�40 E data l’equazione:ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ a

p¼ x. Per quali valori di

a 2 R ammette due soluzioni reali distinte?

� 1

4< a � 0

� �

�41 E data l’equazione: jxþ 1j ¼ k2 � 3k. Per quali va-

lori di k 2 R non ammette soluzioni? [k < 0 _ k > 3]

119

TemaA

Verso

leco

mpetenze

Verso le competenze A Tema

Risolvi le seguenti equazioni, dopo averle interpretate graficamente.

�42 Determina le coordinate del punto di intersezione

P tra il grafico della funzione radice quadrata, y ¼ffiffiffix

p, e

quello della retta colorata in azzurro in figura.

y

4

2 x

P

O

y x=

��17 �


p

8,


p� 1

4

��

�43 Determina le coordinate dei punti di intersezione

A e B tra il grafico della funzione valore assoluto e

quello della parabola colorata in azzurro in figura.

y8

2–2 x

A B

O

y x=

�A

�1�


p

4,�1þ


p

4

�; B

��1þ


p

4,�1þ


p

4

��

RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIREMODELLI

�44 Problemi nella storia Risolvi il seguente problema, dovuto al matematico indiano Bhaskara (1114-1185): «La ra-

dice quadrata della meta del numero delle api dello sciame e volata fino alla siepe di gelsomino. Otto noni sono ri-

masti indietro, mentre la regina volava in direzione di un maschio, che girava intorno a un fior di loto. Da quante

api era composto lo sciame?» [72]

�45 Fai riferimento alla figura qui sotto. Le due cir-

conferenze di centri O e O0 sono congruenti e hanno

raggi di misura r. ABCD e un rettangolo, avente i lati

AB e CD paralleli alla retta OO0, due vertici su una cir-

conferenza e due sull’altra. Determina la misura x dei

due segmenti HK e RS, in modo che il perimetro del

rettangolo ABCD misuri26

5r.

O O'

r r

A B

D

H K R S

C

r x x

HK ¼ RS ¼ r

5

ho HK ¼ RS ¼ 8

5r

�

�46 Fai riferimento alla figura qui sotto. Il triangolo

ABC e rettangolo isoscele ed e stata tracciata la semicir-

conferenza di diametro BC esterna al triangolo. La mi-

sura di BC e 6a. Determina x in modo che il rettangolo

PQRS sia un quadrato.

B A

S

x

x

P

H

K

Q

R

C

45°

45°

6

5a

� �

�47 In un triangolo rettangolo ABC il cateto AB misura 4a e il cateto AC misura 2a. Traccia una retta r, passante

per A ed esterna al triangolo ABC, e indica con B0 e C0 le proiezioni di B e C su tale retta. Determina la misura di AB0

in modo che risulti B0C0 ¼ 3affiffiffi2

p. �

AB0 ¼ 2affiffiffi2

po AB0 ¼ 14

5a

ffiffiffi2

p �

�48 Un ragazzo parte con la sua barca dal punto A, sulla riva di un lago, con l’obiettivo di raggiungere il punto B,

posto sulla riva opposta. Le due rive possono considerarsi approssimativamente rettilinee, parallele e distanti 3

km. Il ragazzo ha tre possibilita:

1. puo raggiungere il punto C sulla riva opposta, distante 7 km da B, e poi camminare fino a B;

2. puo raggiungere direttamente in barca il punto B;

3. puo raggiungere con la barca un punto D posto tra B e C e proseguire camminando fino a B.

TemaA

Versole

competenze

120

Supponiamo che il ragazzo remi a una velocita costante di 5 km/h e

cammini alla velocita di 6 km/h.

7 km

3 km

x

A C

D

B

CAA CCa. Quanto impiega a raggiungere B, se segue la prima

possibilita? Esprimi il risultato in ore e minuti.

b. Quanto impiega a raggiungere B, se segue la seconda

possibilita? Esprimi il risultato in ore e minuti.

c. Indicata con x la distanza (in km) tra C e D, qual e

l’espressione analitica della funzione che esprime il tempo (in

ore) impiegato dal ragazzo a raggiungere B, se segue la terza

possibilita?

In questo caso, verso quale punto D deve dirigersi il ragazzo, se

complessivamente vuole impiegare esattamente 1 ora e mezza

per raggiungere B?

�a. 1 ora e 46 minuti; b. circa 1 ora, 31 minuti e 23 secondi; c. f ðxÞ ¼


p

5þ 7 � x

6; deve dirigersi

verso il punto D, la cui distanza da C e 4 km oppure verso il punto D, la cui distanza da C e56

11km ’ 5,1 km

�

�49 Paolo al mattino va a scuola; al pomeriggio si reca in palestra; pranza e cena a casa. La casa di Paolo, la pale-

stra e la scuola sono situati tutti sullo stesso viale, che puo considerarsi rettilineo. Paolo effettua tutti i suoi sposta-

menti in bicicletta e, in una giornata, percorre complessivamente 6 km. La scuola dista 2 km dalla palestra; inoltre

la casa di Paolo e piu vicina alla scuola che alla palestra.

Quanto dista da scuola la casa di Paolo?

(Suggerimento: considera un sistema di riferimento in cui l’origine coincide con la scuola, l’unita di misura e 1 km,

la palestra e la casa sono rappresentati da punti sull’asse delle ascisse e quest’ultimo e orientato dal punto che rap-

presenta la scuola a quello che rappresenta la palestra; indicata con x l’ascissa del punto che rappresenta la casa di

Paolo, si osserva che deve essere x < 1 e si ricava che l’equazione che formalizza il problema e 2jxj þ 4 � 2x ¼ 6Þ[500 m]

ESPORRE, RAGIONARE E DIMOSTRARE

�50 Quando si elevano entrambi i membri di un’equazione al quadrato l’equazione che si ottiene e equivalente a

quella originaria? Perche? E se si elevano entrambi i membri al cubo?

�51 Perche, per risolvere l’equazioneffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 3

pþ 2 ¼ x, e una buona idea isolare il radicale al primo membro prima

di elevare al quadrato i due membri dell’equazione? Che cosa accade se si elevano subito al quadrato i due mem-

bri?

�52 Descrivi una procedura per inventare equazioni irrazionali contenenti radici quadrate prive di soluzioni.

�53 E vero che il valore assoluto di una somma e uguale alla somma dei valori assoluti degli addendi? E che il va-

lore assoluto di un prodotto e uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori?

Se le risposte sono positive, giustificale, altrimenti esibisci dei controesempi.

�54 L’equazione jf ðxÞj ¼ 2 equivale a f ðxÞ ¼ �2 _ f ðxÞ ¼ 2? L’equazione jf ðxÞj ¼ 2x equivale a f ðxÞ ¼ �2x _f ðxÞ ¼ 2x? Se le risposte sono positive, giustificale, altrimenti esibisci dei controesempi.

�55 I quantificatori. Completa in modo da ottenere proposizioni vere, scegliendo l’espressione opportuna tra:

«8x 2 R» (per ogni numero reale xÞ, «9x 2 R: » (esiste un numero reale x tale che), « 6 9x 2 R:» (non esiste alcun nu-

mero reale x tale che).

a. .............................. risultaffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 � 4xþ 4

p¼ jx� 2j d. .............................. risulta


p¼ 2 �


p

b. .............................. risulta jx� 10j ¼ x� 10 e. .............................. risulta j � 2x2 � 1j ¼ 2x2 þ 1

c. .............................. risultaffiffiffix

p¼ x� 5

121

TemaA

Verso

leco

mpetenze

VERSO LE PROVE INVALSI

�1 Quale delle seguenti equazioni e impossibile?

Affiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix4 þ 10

p¼ 5

Bffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix4 þ 0,25

p¼ 10�1 � 20�1

Cffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix4 þ 0,25

p¼ 1 � 2�1

Dffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix4 þ 0,5

p¼

ffiffiffi3

p� 1

�2 Una sola delle seguenti affermazioni e falsa; qua-

le?

A L’equazioneffiffiffix3

p¼xþ1 e equivalente a x¼ðxþ1Þ3

B L’equazioneffiffiffix5

p¼xþ1 e equivalente a x¼ðxþ1Þ5

C L’equazione x¼xþ1 e equivalente a x3 ¼ðxþ1Þ3

D L’equazione x¼xþ1 e equivalente a x2 ¼ðxþ1Þ2

�3 L’equazioneffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ 1

p¼ �x equivale a:

Axþ 1 ¼ x2

x � 0

�

B xþ 1 ¼ �x2

Cxþ 1 ¼ x2

x � 0

�

D nessuna delle precedenti risposte e esatta

�4 Quale delle seguenti equazioni non ammette co-

me soluzione x ¼ 1?

Affiffiffix

p¼ x

Bffiffiffix

p¼ �x

Cffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

p¼ x� 1

Dffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix� 1

p¼ 1 � x

�5 Una sola delle seguenti uguaglianze e falsa; quale?

A j � 3j ¼ þ3

B j1 �ffiffiffi3

pj ¼ 1 �

ffiffiffi3

pC j þ

ffiffiffi3

pj ¼ þ

ffiffiffi3

p

D jffiffiffi2

p� 1j ¼

ffiffiffi2

p� 1

�6 L’uguaglianza j2 � xj ¼ x� 2 e valida per:

A x � 2

B x < 2

C per ogni x 2 R

D solo per x ¼ 2

�7 L’uguaglianza jxj þ 1 ¼ jxþ 1j e valida per:

A x > �1

B x � 0

C per �1 < x < 0

D per ogni x 2 R

�8 Quale delle seguenti equazioni e impossibile?

A jxj ¼ �x

B jx� 1j ¼ffiffiffi3

p C jxj ¼ �0,5

D jxj ¼ xþ 1

�9 Quale delle seguenti equazioni non ammette co-

me soluzione x ¼ �1?

A jx� 1j ¼ �2x

B jxþ 2j ¼ x2

C jx� 1j ¼ 2x

D jx2j ¼ xþ 2

�10 Seffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2

ffiffiffia3

pp¼ 2, quanto vale a?

A 2 B 4 C 8 D 16

�11 Siano x e y due numeri reali e non negativi.

Quando e vera l’uguaglianzaffiffiffix

pþ

ffiffiffiy

p¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffixþ y

p?

A Mai

B Sempre

C Se e solo se xy ¼ 0

D Se e solo se x ¼ y

�12 Quale delle seguenti equazioni consente di deter-

minare le ascisse dei punti d’intersezione delle curve

rappresentate in figura?

a. jxj ¼ �x2 � 4

b. jxj ¼ �2x2 þ 1

c. jxj ¼ �x2 þ 4

d. jxj ¼ �2x2 þ 4

y

O x

�13 Delle mine per matite hanno un diametro dichia-

rato di 5 mm. Una mina di diametro x (in mm) viene

scartata se la misura del suo diametro differisce da

quella dichiarata per piu di 2 mm. Quale delle seguenti

disequazioni esprime la condizione in base a cui una

mina viene scartata?

a. x� 5 > 2

b. x� 2 > 5

c. jx� 5j < 2

d. jx� 5j > 2

�14 Osserva la figura seguente.

y

xOA B

1

Quali sono le coordinate dei punti P dell’asse x tali

che la distanza di P da A e il doppio della distanza di

P da B?

a. Risposta: .................................................................................................

b. Scrivi i calcoli svolti per giungere alla risposta:

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

�15 Considera il seguente problema, dovuto al mate-

matico indiano Brahmagupta (598-628): «Un quarto di

un branco di cammelli e stato visto aggirarsi nella fore-

sta. Il doppio della radice quadrata del numero degli

animali era invece partito per la montagna. Quindici

animali erano rimasti in riva al fiume. Da quanti cam-

melli era composto il branco?».

a. Risposta: .................................................................................................

b. Scrivi i calcoli svolti per giungere alla risposta:

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

TemaA

Versole

competenze

122

Unita`...1.Introduzione alle funzioni Che cos’e` una funzione? In questa Unita` riprendiamo e...

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