Un’amica di famiglia è proprietaria, vicino casa mia, vicino Varese, di una collinetta boscosa che, alla base, ha una villa in pietra, costruita nel primo novecento dal padre. Dati i vincoli paesaggistici imposti, direi giustamente, dall’amministrazione comunale, questo angolo di Paradiso popolato da scoiattoli e nelle sere d’estate rischiarato dalla luce delle lucciole, ha però delle notevoli spese di gestione.

Per questo motivo spesso questa signora affitta “bed and breakfast” alcune camere della villa a stranieri di passaggio. Io che vado spesso a trovarla, mi trovo così nella possibilità di discutere (dati i miei studi di lingue) con persone talvolta molto originali e stimolanti. Recentemente è stato suo ospite un esperto di matematica procedurale ma anche concettuale, il dott. Brown che insegna in un’università americana e che si trova in Italia per un ciclo di conferenze che terrà in varie città. Ho chiesto al dott. Brown di concedermi un’untervista:

Federica: dott. Brown vorrei iniziare questa intervista, dopo averla ringraziata per la sua cortesia, chiedendo di spiegare ai miei lettori la differenza tra l’approccio procedurale e concettuale alla matematica.

Dott. Brown: la conoscenza procedurale è la conoscenza delle abilità necessarie per risolvere dei compiti e dei problemi matematici. Possiamo distinguere due parti nella conoscenza procedurale:- la conoscenza di simboli scritti che rappresentano dei concetti - la conoscenza di regole, formule, algoritmi che vengono utilizzati per risolvere problemi matematici.

Una caratteristica basilare della conoscenza procedurale è che è strutturata e quindi la conoscenza procedurale può essere incrementata anche imparando meccanicamente delle regole. Tuttavia va rilevato che per utilizzare sapientemente regole, algoritmi e procedure, non basta conoscere l’argomento matematico in esame, ma bisogna anche conoscere in modo “sintattico”, le regole formali che consentono la rappresentazione dell’argomento in esame.

Viceversa, la conoscenza concettuale, denota la conoscenza di tutta una serie di collegamenti tra concetti, regole (algoritmi, procedure, ecc.) ed anche la conoscenza della soluzione di problemi, realizzata secondo varie forme di rappresentazione, attraverso la quale possiamo giungere ad apprendere nuovi concetti o regole. Intendo dire che la conoscenza concettuale si può definire come conoscenza di fatti, proprietà e relazioni che riguardano la matematica. Essa può essere immaginata come una rete di conoscenze connesse fra loro in cui sia le relazioni di collegamento che le singole informazioni da esse collegate, hanno pari importanza.A differenza della conoscenza procedurale, la conoscenza concettuale non si può realizzare mediante l’apprendimento meccanico poichè i fatti e le proposizioni, se imparate meccanicamente, sono immagazzinate nella memoria come parti isolate di informazione, non collegate da alcuna rete di concetti.

Come si vede una distinzione tra conoscenza matematica procedurale e concettuale è quanto mai opportuna, ma fra i vari esperti non c’è uniformità di giudizio sulla linea di demarcazione esatta fra questi due tipi di conoscenza, dato che alcuni criticano la distinzione fatta inizialmente nel 1986 da Hievert e Lefevre. Alcuni considerano un certo tipo di conoscenza concettuale che non era stata inclusa dai suddetti ricercatori nella definizione iniziale, inseparabile dalla capacità di usare la conoscenza procedurale in modo efficiente.Secondo altri, gli algoritmialgoritmi possono essere visti come nodi e collegamenti in un grafico che rappresenti la conoscenza concettuale della matematica e quindi in un certo senso si trovano “a cavallo” di entrambi i tipi di conoscenza.

Federica: mi scusi Dottore se mi permetto una domanda un po’ sfacciata, ma lo faccio sia perché mi metto nei panni dei miei lettori, magari bambini, e penso che molti a questo punto saranno assaliti dai miei stessi dubbi. Le pongo questa domanda sia perché conosco la sua onestà intellettuale ed anche in suo senso dell’umorismo. So anche che lei non è certo quel tipo di ricercatore che non ammette critiche alla materia oggetto dei suoi studi, considerandola una specie di insieme di testi sacri che sarebbe blasfemia sminuire. Vengo dunque alla domanda: non pensa che tutto questo disquisire, negli ambienti scientifici, sulla distinzione tra matematica concettuale e matematica procedurale alla fine sia solo un esercizio di pura logica o di pura dialettica, troppo difficile anche da comprendere per i più piccoli?

Dott. Brown: non credo proprio. Se consideriamo la necessità di programmare la successione ed il modo di trattare i vari argomenti matematici nelle scuole di tutti i livelli, lei comprenderà benissimo che per uno sviluppo armonico sia della conoscenza procedurale che di quella concettuale della matematica, (disciplina fondamentale per lo sviluppo delle capacità logiche dei nostri giovani), dobbiamo saper esattamente di cosa stiamo parlando in modo da creare il “mix” che dia i migliori risultati per ciascuno studente. L’offerta culturale non deve infatti essere uguale per tutti ma deve consentire a ciascuno il massimo sviluppo delle proprie capacità logiche.

Chiarito che tutti devono acquisire, nel campo della matematica sia la conoscenza procedurale che quella concettuale, ci sono tuttavia intelligenze che devono essere stimolate più sul versante delle “procedure” , mentre altre che devono essere maggiormente stimolate sul versante dei “concetti”. Insomma, come dicevano i latini

“unicuique suum tribuere” (nota del cronista: dare a ciascuno “il suo”). Il nostro codice genetico si differenzia solo per il 2% da quello degli scimpanzé o dei gorilla, ma loro sono fermi a quello che facevano milioni di anni fa, mentre noi stiamo conquistando il sistema solare, abbiamo compreso l’esistenza di Dio, inventato la musica, la poesia, sviluppato la filosofia, le altre arti e tutto il resto.

Tutto ciò è dovuto al fatto che quel 2% di differenza si estrinseca nel fatto che non esistono 2 uomini uguali e che nel cervello di ogni uomo c’è un universo meraviglioso che aspetta solo di essere scoperto e condiviso con gli altri. Il compito principale degli insegnanti non consiste nel riempire di nozioni il cervello degli alunni, come se fossero dei “bicchieri da riempire con dell’acqua”, bensì quello di “tirar fuori” le abilità che potenzialmente ognuno di essi ha e che aspettano solo di essere scoperte e sviluppate. Insomma ogni insegnate dovrebbe fare come diceva di fare Michelangelo Buonarroti quando gli chiedevano come potesse realizzare quelle statue meravigliose, partendo da un masso informe di marmo: “ quella statua era già dentro quel pezzo di marmo, io non ho fatto altro che liberarla da tutte le parti inutili, portandola così alla luce”.

Sono queste la cose da far notare agli studenti quando sbuffano per le difficoltà che la matematica crea e si chiedono polemicamente a cosa essa serva nella vita quotidiana: essa serve a stimolare le capacità logiche, che nella vita rappresentano comunque una carta vincente ed inoltre serve a far venir fuori il progetto meraviglioso che un’entità superiore ha inserito nella mente di ogni uomo e che merita di essere completato e realizzato.

Federica: dato che la mia facoltà è orientata verso gli alunni della scuola primaria, può farmi un esempio che illustri come la matematica procedurale e la matematica concettuale si inseriscono nei normali programmi della scuola elementare? Dott. Brown: la vera essenza della matematica non consiste nell’essere capaci di seguire una “ricetta” che consenta di dare un certo tipo di risposta ad una certo tipo di problema. Se prendiamo ad esempio una divisione, essa è una operazione mentale che può essere eseguita usando diverse procedure: possiamo sottrarre più volte il divisore dal dividendo, oppure addizionare il divisore tante volte fino a fagli raggiungere il dividendo, oppure servirci della retta orientata dei numeri o magari usare degli oggetti e simulando l’azione della divisone.

La procedura tradizionale che si avvale delle quattro operazioni è solo una possibile tra le tante, ma la sottostante idea della divisione è qualcosa di diverso dalle singole procedure usate per realizzarla, è piuttosto il “concetto” di divisione. Concetto di divisione e procedure che consentono di risolvere un problema che richieda l’esecuzione della divisione, sono due cose distinte.Oggi, nelle scuole, durante l’ora di matematica, noi insegniamo prima di tutto concetti. Le procedure devono anche essere imparate, ma non senza la sottostante comprensione concettuale. Uno dei vantaggi dell’enfatizzare la comprensione concettuale consiste nel fatto che una persona tende a scordare meno facilmente i concetti piuttosto che le procedure. Se è stata acquisita la comprensione di un concetto, una persona può ricostruire le relative procedure, anche se al momento sono state dimenticate; se viceversa l’apprendimento di quella persona si è fermato alle procedure, nel caso in cui esse vengono dimenticate, non c’è alcun modo per recuperarle. La comprensione concettuale in matematica,se associata all’acquisizione delle abilità nelle procedure è molto più potente della sola abilità nell’eseguire le procedure. Federica: quali sono gli altri vantaggi di un collegamento tra la conoscenza concettuale e quella procedurale? 

Dott. Brown: un buon collegamento tra conoscenza procedurale e concettuale, non sviluppa solo la capacità di “problem solving” e incrementa la comprensione matematica, ma produce anche vantaggi reciproci nei due tipi di conoscenza. Come ho già detto, il connettere le procedure con i loro sottostanti concetti, consente con maggiore facilità la memorizzazione ed il successivo recupero dalla memoria, delle procedure stesse. Quando alcune procedura sono collegate con la conoscenza concettuale, esse vengono immagazzinate nella nostra memoria come parte di una rete di informazioni che, essendo connesse le une alle altre, si deteriorano meno facilmente di quanto non faccia una informazione isolata, in quanto si ricordano più facilmente relazioni che siano piene di significato e ben organizzate.

Inoltre una connessione profonda fra conoscenza procedurale e concettuale fa si che la rete di informazioni che si produce possa consentire il raggiungimento della procedura tramite diversi accessi. Concludo dicendo che da questo legame tra conoscenza procedurale e concettuale si avvantaggia anche la conoscenza concettuale. Federica: vorrei adesso che ci illustrasse le fasi secondo le quali si acquisisce la conoscenza procedurale durante l’apprendimento della matematica

Dott. Brown: le procedure costituiscono buona parte dell’apprendimento della matematica. Molti dei concetti che noi impariamo implicano la memorizzazione e poi l’esecuzione di passi che ci portano ad ottenere la soluzione esatta. Per fare un esempio possiamo considerare che eseguire una semplice operazione quale l’addizione implica il seguire un processo passo dopo passo; solo dopo che gli studenti hanno appreso il calcolo matematico elementare, essi si possono cimentare nei successivi e più complessi processi che costituiscono la base per l’acquisizione di processi sempre più complessi. Nell’acquisire la conoscenza procedurale si devono seguire tre fasi in successione.-       costruire un modello-       dare forma a questo modello -       interiorizzare la procedura

Nella fase in cui si dà una forma al processo, il processo inizialmente seguito, può essere modificato per migliorarlo e renderlo più pratico da usare. Si possono aggiungere o togliere alcuni aspetti del procedimento, allo scopo di rendere il processo meglio comprensibile e più facile da eseguire per gli studenti i quali possono intervenire e dare in tal senso un loro contributo. Ovviamente in questa fase gli studenti devono comprendere la procedura che stanno seguendo.

Nella fase di interiorizzazione, lo studente deve ampiamente impratichirsi della procedura in modo da acquisire un buon livello di automatismo: certe abilità devono essere esercitate “automaticamente”, senza aver il tempo di pensare a ciò che si sta facendo.Bisogna saper distinguere appunto fra quelle abilità che non richiedono riflessione quelle che invece richiedono una riflessione per poter poi essere “automatizzate”.

La maggior parte dei concetti matematici richiede che le suddette fasi siano ripetute più volte prima che l’intera procedura possa considerarsi come acquisita ed essere aggiunta alla cultura di base dell’alunno. Per fare degli esempi pratici che riguardano la scuola primaria che mi ha detto essere l’oggetto principale del suo interesse, gli alunni, quando imparano ad eseguire delle lunghe divisioni devono seguire le suddette 3 fasi. Quando poi impareranno ad eseguire delle lunghe divisioni con numeri decimali, dovranno ripercorrere le 3 fasi per poter integrare la nuova conoscenza col loro precedente bagaglio culturale. Questo processo è ovviamente più complicato del precedente e deve essere ripetuto più volte fino a quando l’alunno non lo padroneggia bene.

Federica: nella pratica didattica quotidiana capita però talvolta che qualche alunno, anche normodotato, nonostante tutte le precauzioni dell’insegnante, incontri difficoltà maggiori del previsto nell’apprendimento della matematica in quanto riesce magari ad imparare meccanicamente alcune procedure, ma si comprende che non le ha interiorizzate e dimostra ciò, ottenendo risultati negativi in prove che si discostano anche di pochissimo dai casi da lui precedentemente incontrati.Può illustrarci, ovviamente nelle linee generali, quali sono cause delle

difficoltà di collegamento tra conoscenza procedurale e concettuale?

Dott. Brown: secondo Bruner e Tulbing vi sono tre fattori che impediscono la creazione ed il riconoscimento delle relazioni tra conoscenza procedurale e concettuale: il primo fattore riguarda un deficit nella conoscenza di base: è ovvio che alcuni deficit nella conoscenza di concetti e procedure di base, magari non evidenti ad una osservazione superficiale, possono creare deboli connessioni o addirittura produrre una mancanza di connessione fra i due tipi di conoscenza. Il secondo fattore nel fallimento della costruzione delle connessioni tra le diverse unità di informazione è dovuto ad una incapacità di codificare le relazioni. Il terzo fattore si verifica quando la nuova conoscenza non si collega a precedenti conoscenze , ma apre un panorama nuovo e inesplorato.

Quando gli alunni non sono in grado di collegare appropriatamente la conoscenza procedurale e concettuale, essi possono comprendere vagamente un particolare concetto matematico, ma non essere in grado di risolvere un problema applicativo o viceversa essere in grado di eseguire meccanicamente un compito, ma senza ben comprendere ciò che stanno facendo. Federica: a questo punto, vista la sua esperienza internazionale vorrei saper come si regolano le scuole di Paesi a noi culturalmente vicini, nel proporre ai loro alunni il “mix” di conoscenze procedurali e concettuali, nell’insegnamento della matematica.

Dott. Brown: in Francia la matematica è considerata il perno dell’istruzione nella scuola elementare, proprio per la sua capacità di sviluppare le capacità logiche. Il suo insegnamento si focalizza sia sulla conoscenza procedurale che su quella concettuale: vengono considerate ugualmente importanti, la capacità di effettuare calcoli, quella di trovare gli errori nella risoluzione di un problema, ma anche la comprensione del meccanismo dei calcoli, l’imparare a decidere quale possa essere la migliore risoluzione di un problema e l’apprendere i concetti matematici.Negli Stati Uniti, l’educazione matematica è molto curata fin dall’inizio della scuola elementare. Gli standard richiesti riguardano sia la comprensione concettuale con l’acquisizione delle abilità necessarie per risolvere i problemi, ma anche la conoscenza delle procedure.

In tutti i Paesi del mondo è aperto il dibattito se sia opportuno dar più importanza alla conoscenza concettuale o a quella procedurale. A livello di scuola elementare devo dire che mentre la maggior parte degli alunni studia con piacere la matematica e la considera importante per la vita, il loro interesse e la loro motivazione decrescono rapidamente quando l’apprendimento diventa ripetitivo e le procedure non sono accompagnate dall’apprendimento dei concetti. Secondo il ricercatore russo Davydov è opportuno fornire prima di tutto una base concettuale teorica: in tal modo gli studenti apprenderanno più facilmente e con maggiore interesse le procedure in quanto l’insegnamento basato sui concetti consente il mantenimento, negli studenti, della motivazione all’apprendimento della matematica, che invece viene a cadere se si dà troppa enfasi alle procedure.

Federica: ma come si inserisce, in questo dibattito sui vari modi di insegnare la matematica, l’uso delle nuove tecnologie e, in particolare, dei computer? Dott. Brown: i computer usati in modo interattivo forniscono delle risposte immediate durante la risoluzione di problemi e consentono agli studenti di realizzare azioni ed operazioni che possono incrementare la loro conoscenza matematica. Tramite i computer, gli studenti possono fare congetture, testare ipotesi di soluzione basate sull’evidenza sperimentale e produrre generalizzazioni della soluzione di un particolare problema ad altri ambiti. I computer consentono la sperimentazione e la manipolazione di idee, la rappresentazione di idee matematiche in modi che sarebbero impensabili, usando le procedure tradizionali che utilizzano, carta, penna e lavagne.

Tutti sono d’accordo nel riconoscere un ruolo importante all’uso del computer nell’insegnamento della matematica, ma non si è ancora del tutto chiarito in che modo la tecnologia basata sui computer possa contribuire alla costruzione della conoscenza concettuale e di quella procedurale, in campo matematico. Fino ad oggi, riguardo ai computer, si è solo chiarito l’uso di quali programmi possa stimolare ed accrescere, negli esseri umani, la conoscenza procedurale e quali invece possano accrescere la conoscenza concettuale.

Federica: da quello che mi dice, appare chiaro che ci sono insegnanti che, per loro scelta personale che deriva dal loro vissuto culturale, danno una maggiore enfasi alla matematica procedurale, mentre altri tendono piuttosto a privilegiare l’insegnamento concettuale. Può dirmi come questi due diversi atteggiamenti si riflettono poi sulla “fisionomia “ della cultura matematica della classe? Dott. Brown: Quello che posso dirle è che in una classe orientata verso la matematica procedurale, gli studenti passano molto tempo ad impratichirsi delle procedure che impareranno a padroneggiare alla perfezione, viceversa in una classe più orientata verso la matematica concettuale si passa più tempo a stimolare gli alunni ad osservare ed a scoprire la vera natura delle cose. Verranno proposti agli alunni attività e compiti atti a fornire ai ragazzi quelle esperienze che forniranno loro opportunità per acquisire nuove conoscenze. Solo dopo aver completato questa fase si potrà passare alla pratica degli esercizi.

Naturalmente gli insegnanti che focalizzano il loro insegnamento sulla matematica concettuale, devono possedere le relative conoscenze e se vogliamo che l’insegnamento si sposti, in generale da un orientamento procedurale ad uno concettuale, dobbiamo fornire agli insegnanti le necessarie conoscenze, con opportuni corsi di formazione. Federica: con questo, caro dott. Brown, ho esaurito le domande che desideravo farle. La ringrazio per la chiarezza delle sue risposte e soprattutto per aver presentato la matematica procedurale e quella concettuale da persona obiettiva e non da uomo “di parte”.Le auguro buon lavoro!