Logica del primo ordine

Sandro Zucchi

2012-13

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 1

“Tutti gli uomini sono mortali. Socrate era mortale.Quindi, tutti gli uomini sono Socrate”

Woody Allen

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 2

L’argomento dei filosofi inaffidabili

I Questo argomento, come abbiamo gia osservato, e valido in italiano(e impossibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa):

Premessa uno: Ogni individuo distratto perde le chiavi.Premessa due: Ogni filosofo e distratto.Conclusione: Dunque, ogni filosofo perde le chiavi.

I Abbiamo osservato inoltre che l’argomento e valido in italiano in virtudella sua forma, in quanto tutti gli argomenti della forma seguentesono validi in italiano:

Premessa uno: Ogni M e un P.Premessa due: Ogni S e un M.Conclusione: Dunque, ogni S e un P.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 3

Rappresentazione in LPI L’argomento dei filosofi inaffidabili e valido in italiano e lo e in virtu

della sua forma. Ma se proviamo a rappresentarlo in LP nonotteniamo affatto un argomento valido in LP:

Premessa uno: Ogni individuo distratto perde le chiavi.Rappresentazione in LP: p

Premessa due: Ogni filosofo e distratto.Rappresentazione in LP: q

Conclusione: Dunque, ogni filosofo perde le chiavi.Rappresentazione in LP: r

I La ragione e che premesse e conclusione dell’argomento non sonoenunciati composti (cioe, enunciati formati da altri enunciati), edunque contano come enunciati atomici per LP. Quindi, premesse econclusione sono rappresentate in LP da lettere proposizionali. MaLP non ha nessuna regola che consente di provare questo:

p, q `LP r

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 4

Il problema

I Abbiamo visto in passato che ci sono argomenti validi in italiano che nonsono validi in LP. Ad esempio:

Premessa: Questo oggetto e (tutto) rosso.Rappresentazione in LP: p

Conclusione: Dunque, questo oggetto non e verde.Rappresentazione in LP: ∼ q

I La differenza e che questo argomento non e valido in italiano in virtudella sua forma, mentre quello dei filosofi inaffidabili sı.

I Il nostro scopo, quando rappresentiamo un argomento in un linguaggiologico, e di assicurarci che la forma dell’argomento garantisca la suavalidita. Nel caso dell’argomento dei filosofi inaffidabili, la forma neassicura la validita, ma la sua rappresentazione in LP non e valida!

I Chiaramente, qualcosa non va: il linguaggio logico con cui rappresentiamogli enunciati dell’italiano deve permetterci di rendere conto del fatto chel’argomento dei filosofi inaffidabili e valido in virtu della sua forma.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 5

Un nuovo linguaggio

I Se vogliamo un linguaggio formale in cui argomenti comequello dei filosofi inaffidabili hanno una rappresentazionevalida, e chiaro che questo linguaggio deve distinguereenunciati della forma pa e Pq da enunciati della forma pogniM e Pq.

I I linguaggi della logica proposizionale non permettono di farequesta distinzione.

I Per questa ragione, introdurremo ora un nuovo linguaggio: illinguaggio LQ (che appartiene a una classe linguaggi dettilinguaggi della logica del primo ordine).

I (La particolare formulazione di questo linguaggio cheadottiamo e quella di Bonevac 2003).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 6

Il linguaggio LQi simboli

I Un insieme infinito di costanti individuali: c1 c2 c3 . . .I Un insieme infinito di variabili individuali: x1 x2 x3 . . .I Un insieme infinito di predicati a n-posti (per ogni n>0):P1

1 P12 P1

3 . . .P21 P2

2 P23 . . .P3

1 P32 P3

3 . . .[l’indice soprascritto indica il numero di argomenti del predicato, l’indicesottoscritto distingue uno dall’altro i predicati con lo stesso numero diargomenti]

I La relazione di identita: =I I quantificatori: ∀ ∃

[“∀” e detto “quantificatore universale” e si legge “per ogni”, “∃” e detto“quantificatore esistenziale” e si legge “esiste”.

I I connettivi: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼I Le parentesi: ( )I (Convenzione: per comodita, negli esempi, useremo a, b, c, d . . . per le

costanti individuali, x , y , z ,. . . per le variabili individuali, P, Q, R,S . . . per i predicati).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 7

Sostituzione

I Prima di definire l’insieme delle formule ben formate di LQ,introduciamo la nozione di sostituzione.

I In primo luogo, chiamiamo le costanti e le variabili di LQtermini.

I Se t e un termine, indichiamo con ϕ(t) un’espressione checontiene t.

I Data un’espressione ϕ(t), indichiamo con ϕ(t′) l’espressioneche otteniamo sostituendo ogni occorrenza di t in ϕ(t) conuna occorrenza del termine t′.

I In questo caso, diciamo che ϕ(t′) e ottenuta per sostituzioneda ϕ(t).

I Ad esempio, se ϕ(a) e “R(a, b)”, allora ϕ(x) e “R(x , b)”.Oppure, se ϕ(a) e “∀xR(x , a)”, allora ϕ(y) e “∀xR(x , y)”.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 8

Il linguaggio LQle frasi

(a) Se P e un predicato a n-posti e c 1, . . . , c n sono costanti, allorapP (c 1, . . . , c n)q e una frase (atomica) di LQ.

Se ϕ e ψ sono frasi di LQ, allora

(b) p∼ ϕq e una frase di LQ,

(c) p(ϕ∧ψ)q e una frase di LQ,

(d) p(ϕ∨ψ)q e una frase di LQ,

(e) p(ϕ ⊃ ψ)q e una frase di LQ,

(f) p(ϕ ≡ ψ)q e una frase di LQ.

(g) Se pϕ(c )q e una frase di LQ che contiene la costante c, e v e unavariabile che non compare in pϕ(c )q, allorap∀v ϕ(v )q e p∃v ϕ(v )q sono frasi di LQ.

(h) Se c e u sono costanti, pc = uq e una frase di LQ.

(i) Nient’altro e una frase di LQ.

(Convenzione: e possibile tralasciare le parentesi, quando non creaambiguita).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 9

Terminologiaambito e vincolamento

I In una frase della forma p∀v ϕq o p∃v ϕq, diciamo che p∀v ϕq e l’ambito dip∀vq e p∃v ϕq e l’ambito di p∃vq.

I Diciamo che un’occorrenza di una variabile v e vincolata in una espressione see solo se e nell’ambito di p∀vq o p∃vq in quella espressione. Se un’occorrenzadi una variabile non e vincolata, e detta libera. Un’espressione che contieneun’occorrenza di una variabile libera e detta formula aperta.

I Per esempio, tutte le occorrenze della variabile “x” sono vincolate nelleespressioni 1-2, mentre le espressioni 3-5 sono formule aperte, in quanto tuttele occorrenze di “x” sono libere in 3 e “x” occorre libera nel conseguente in 4 enel secondo congiunto in 5:

1. ∀x(P(x) ⊃ Q(x))2. ∃x(P(x)∧Q(x))3. P(x) ⊃ Q(x)4. ∀xP(x) ⊃ Q(x)5. ∃xP(x)∧Q(x)

I Notate che, date le clausole (a), (g) e (h) nella definizione di frase dellinguaggio LQ, non ci sono variabili libere nelle frasi di LQ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 10

Modelli

I Per descrivere la semantica di LQ, dobbiamo in primo luogospiegare cos’e un modello per LQ.

I Un modello per LQ e una coppia M=<D, F>, dove

• D e un insieme non vuoto (detto dominio),• F e una funzione (detta interpretazione) tale che

(a) per ogni costante individuale c, F (c ) e un elemento di D,(b) per ogni predicato P n, F (P n) e un insieme di n-uple di

elementi di D.

I Diciamo che il valore che la funzione interpretazione assegna auna costante o a un predicato e la denotazione di quellacostante o predicato nel modello.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 11

Un esempio di modello

I Facciamo un esempio per mostrare concretamente cos’e unmodello per LQ. M1 e un modello per LQ:

• M1 =< D1,F1 >, dove

I D1 = {Tom, Jerry },I F1(a) = Tom,I F1(b) = Jerry ,I F1(c) = Jerry , per ogni altra costante c ,I F1(P) = {Tom},I F1(Q) = {Tom, Jerry },I F1(P ) = ∅, per ogni altro predicato P.

I In altre parole, nel modello M1 il dominio D1 e l’insieme i cuiunici membri sono Tom e Jerry, la funzione interpretazione F1

assegna Tom alla costante “a”, Jerry alla costante “b” e atutte le altre costanti; inoltre F1 assegna l’insieme {Tom} alpredicato a un posto “P”, l’insieme {Tom, Jerry } al predicato aun posto “Q”, e l’insieme vuoto a tutti gli altri predicati.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 12

c -varianti

I Definiamo ora cos’e una c -variante di un modello:

• una c -variante di un modello M e un modello M’ uguale Meccetto per il fatto che in M’ la funzione interpretazione puoassegnare alla costante c un individuo diverso del dominio diM da quello che la funzione interpretazione assegna a c in M.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 13

Un esempio di c -varianteI Consideriamo di nuovo il modello M1 definito sopra:

• M1 =< D1,F1 >, doveI D1 = {Tom, Jerry },I F1(a) = Tom,I F1(b) = Jerry ,I F1(c) = Jerry , per ogni altra costante c ,I F1(P) = {Tom},I F1(Q) = {Tom, Jerry },I F1(P ) = ∅, per ogni altro predicato P.

I Una a-variante di M1 e il modello M2=< D2,F2 > tale che M2 e identicoa M1 eccetto per il fatto che, in M2, F2(a) = Jerry .

I Inoltre, M1 stesso e una a-variante di M1, dal momento che la funzioneinterpretazione in una a-variante di M1 puo assegnare alla costante “a”un individuo diverso da quello che gli assegna in M1, ma non e necessarioche assegni ad “a” un individuo diverso da quello che gli assegna in M1.

I Dal momento che il dominio D1 ha due soli individui, Tom e Jerry, M1 eM2 sono tutte le a-varianti di M1.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 14

DenotazioneDefiniamo ora cosı la denotazione delle frasi di LQ in un modello M (leggiamo[[α]]M come “la denotazione della frase α in M”):

1. se P n e un predicato e c 1, . . . , c n sono costanti individuali, allora[[P n(c 1, . . . , c n)]]M = 1 se < F (c 1), . . . , F (c n)> ∈ F (P n);altrimenti [[P n(c 1, . . . , c n)]]M = 0.

2. se c e u sono costanti individuali, [[c = u ]]M = 1 se F (c )=F (u );altrimenti [[c = u ]]M = 0.

Se ϕ e ψ sono frasi di LQ,

3. [[∼ ϕ]]M = 1 se [[ϕ]]M = 0; altrimenti [[∼ ϕ]]M = 0,

4. [[ϕ∧ψ]]M = 1 se [[ϕ]]M = 1 e [[ψ]]M = 1; altrimenti [[ϕ∧ψ]]M = 0,

5. [[ϕ∨ψ]]M = 1 se non si da il caso che [[ϕ]]M = 0 e [[ψ]]M = 0; altrimenti[[ϕ∨ψ]]M = 0,

6. [[ϕ ⊃ ψ]]M = 1 se non si da il caso che [[ϕ]]M = 1 e [[ψ]]M = 0; altrimenti[[ϕ ⊃ ψ]]M = 0,

7. [[ϕ ≡ ψ]]M = 1 se [[ϕ]]M = [[ψ]]M ; altrimenti [[ϕ ≡ ψ]]M = 0.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 15

Denotazionecont.

Infine, sia c una costante che non occorre in ϕ e ϕ(c/v ) ilrisultato di sostituire c a ogni occorrenza di v in ϕ:

8. [[∀v ϕ]]M = 1 se [[ϕ(c/v )]]M′ = 1 per ogni c -variante M ′ diM; altrimenti [[∀v ϕ]]M = 0,

9. [[∃v ϕ]]M = 1 se [[ϕ(c/v )]]M′ = 1 per qualche c -variante M ′

di M; altrimenti [[∃v ϕ]]M = 0.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 16

Come calcolare la denotazioneun esempio con frasi quantificate

I Facciamo un esempio per mostrare come viene computata la denotazione dellefrasi quantificate.

I Consideriamo di nuovo il modello M1, in cui il dominio D1 e l’insieme i cuielementi sono Tom e Jerry, la funzione interpretazione F1 assegna Tom allacostante “a”, Jerry alla costante “b” e a tutte le altre costanti, l’insieme {Tom}al predicato “P”, l’insieme {Tom, Jerry } al predicato “Q”, e l’insieme vuoto atutti gli altri predicati. (M2 assegna invece Jerry ad “a”).

I Qual e la denotazione di “∀x(P(x) ⊃ Q(x))” in M1?I Dunque, per la clausola 8, [[∀x(P(x) ⊃ Q(x))]]M1 = 1 se e solo se

[[P(a) ⊃ Q(a)]]M′ = 1 per ogni a-variante M′ di M1 sse (dal momento M1 e M2sono le uniche a-varianti di M1) [[P(a) ⊃ Q(a)]]M1 = 1 e [[P(a) ⊃ Q(a)]]M2 = 1sse, per la clausola 6, non si da il caso che [[P(a)]]M1 = 1 e [[Q(a)]]M1 = 0 e nonsi da il caso che [[P(a)]]M2 = 1 e [[Q(a)]]M2 = 0 sse, per la clausola 1, non si dail caso che F1(a) ∈ F1(P) e F1(a) < F1(Q) e non si da il caso che F2(a) ∈ F2(P)e F2(a) < F2(Q) sse (per la definizione di M1 e M2) (i) non si da il caso cheTom ∈ {Tom} e Tom < {Tom, Jerry } e (ii) non si da il caso che Jerry ∈ {Tom} eJerry < {Tom, Jerry }.

I Dal momento che Tom ∈ {Tom, Jerry }, la condizione (i) e soddisfatta e, dalmomento che Jerry < {Tom}, anche la condizione (ii) e soddisfatta. Dunque,[[∀x(P(x) ⊃ Q(x))]]M1 = 1.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 17

Validita

La nozione di validita in LQ e definita cosı:

I una frase ϕ di LQ e vera in un modello M se e solo se ladenotazione di ϕ in M e 1 (se e solo se [[ϕ]]M = 1);

I un argomento in LQ con premesse ϕ1, . . . ,ϕn e conclusione ψe valido in LQ (in simboli, ϕ1, . . . ,ϕn |=LQ ψ) se e solo senon esiste un modello M tale che ϕ1, . . . ,ϕn sono tutte verein M e ψ e falsa in M;

I una frase ϕ di LQ e valida in LQ (in simboli, |=LQ ϕ) se esolo se non esiste un modello M tale che [[ϕ]]M = 0.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 18

Proprieta di LQequivalenza di p∼∃v ϕq e p∀v ∼ϕq

I Questi sono fatti relativi a LQ:

• ∼∃v ϕ |=LQ ∀v ∼ϕ• ∀v ∼ϕ |=LQ ∼∃v ϕ

I Infatti: se p∼∃v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 3 della definizione di denotazione, p∃v ϕq e falsa inM. Dunque, per la clausola 9 della definizione di denotazione,pϕ(c/v)q e falsa in ogni c -variante M’ di M. Dunque, per laclausola 2 della definizione di denotazione, p∼ϕ(c/v)q e verain ogni c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 8 delladefinizione di denotazione, p∀v ∼ϕq e vera in M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∀v ∼ϕ |=LQ ∼∃v ϕ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 19

Proprieta di LQequivalenza di p∼∀v ϕq e p∃v ∼ϕq

I Questi sono fatti relativi a LQ:

• ∼∀v ϕ |=LQ ∃v ∼ϕ• ∃v ∼ϕ |=LQ ∼∀v ϕ

I Infatti: se p∼∀v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 3 della definizione di denotazione, p∀v ϕq e falsa inM. Dunque, per la clausola 8 della definizione di denotazione,pϕ(c/v)q e falsa in qualche c -variante M’ di M. Dunque, perla clausola 2 della definizione di denotazione, p∼ϕ(c/v)q evera in qualche c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 9della definizione di denotazione, p∃v ∼ϕq e vera in M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∃v ∼ϕ |=LQ ∼∀v ϕ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 20

Proprieta di LQequivalenza di p∀v ϕq e p∼∃v ∼ϕq

I Questi sono fatti relativi a LQ:

• ∀v ϕ |=LQ ∼∃v ∼ϕ• ∼∃v ∼ϕ |=LQ ∀v ϕ

I Infatti: se p∀v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 8 della definizione di denotazione, pϕ(c/v)q e vera inogni c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 2 delladefinizione di denotazione, p∼ϕ(c/v)q e falsa in ogni c-variante M’ di M. Dunque, per la clausola 9 della definizionedi denotazione, p∃v ∼ϕq e falsa in M. Dunque, per la clausola2 della definizione di denotazione, p∼∃v ∼ϕq e vera in M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∼∃v ∼ϕ |=LQ ∀v ϕ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 21

Proprieta di LQequivalenza di p∃v ϕq e p∼∀v ∼ϕq

I Questi sono fatti relativi a LQ:

• ∃v ϕ |=LQ ∼∀v ∼ϕ• ∼∀v ∼ϕ |=LQ ∃v ϕ

I Infatti: se p∃v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 8 della definizione di denotazione, pϕ(c/v)q e vera inqualche c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 2 delladefinizione di denotazione, p∼ϕ(c/v)q e falsa in qualche c-variante M’ di M. Dunque, per la clausola 9 della definizionedi denotazione, p∀v ∼ϕq e falsa in M. Dunque, per la clausola2 della definizione di denotazione, p∼∀v ∼ϕq e vera in M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∼∀v ∼ϕ |=LQ ∃v ϕ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 22

Deduzione naturale per la logica del primo ordine

I Introdurremo ora un sistema di deduzione naturale per illinguaggio LQ che chiameremo Q(NAT).

I Il sistema si basa su Bonevac (2003).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 23

Il sistema Q(NAT)

I Il sistema Q(NAT) consiste in queste regole:

• tutte le regole di LP(NAT);

• le regole di inferenza e le regole di inscatolamento ecancellazione specifiche di Q(NAT).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 24

Istanze e generalizzazioni

I Prima di presentare le regole specifiche di Q(NAT), definiamole nozioni di istanza e generalizzazione.

I Siano p∀v ϕ(v)q e p∃v ϕ(v)q frasi di LQ e sia ϕ(c) ilrisultato che otteniamo sostituendo la costante c a ognioccorrenza della variabile v nella formula aperta ϕ(v):

• ϕ(c) e detta un’istanza di p∀v ϕ(v)q e p∃v ϕ(v)q,• p∀v ϕ(v)q e p∃v ϕ(v)q sono dette generalizzazioni di ϕ(c).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 25

Esempi

I “P(a)” e un’istanza di “∃xP(x)” e “∃xP(x)” e una generalizzazione di “P(a)”.Infatti, “P(a)” e ottenuta sostituendo la costante “a” a ogni occorrenza di “x”in “P(x)”.

I “∃y (P(a, y )∧Q(y , a))” e un’istanza di “∃x∃y (P(x , y )∧Q(y , x))” e“∃x∃y (P(x , y )∧Q(y , x))” e una generalizzazione di “∃y (P(a, y )∧Q(y , a))”.Infatti, “∃y (P(a, y )∧Q(y , a))” e ottenuta sostituendo la costante “a” a ognioccorrenza di “x” in “∃y (P(x , y )∧Q(y , x))”.

I “∃y (P(a, y )∧Q(y , x))” non e un’istanza di “∃x∃y (P(x , y )∧Q(y , x))” inquanto “∃y (P(a, y )∧Q(y , x))” non e ottenuta sostituendo la costante “a” aogni occorrenza di “x” in “∃y (P(x , y )∧Q(y , x))”.

I “R(a, a)” e un’istanza di “∃xR(x , a)” e “∃xR(x , a)” e una generalizzazione di“R(a, a)”. Infatti, “R(a, a)” e ottenuta sostituendo la costante “a” a ognioccorrenza di “x” in “R(x , a)”.

I “F (b) ⊃ G (b)” non e un’istanza di “∀xF (x) ⊃ G (x)”, in quanto“∀xF (x) ⊃ G (x)” non e della forma “∀ϕ(v)”.

I “F (b) ⊃ G (b)” e un’istanza di “∀x(F (x) ⊃ G (x))” e “∀x(F (x) ⊃ G (x))” e unageneralizzazione di “F (b) ⊃ G (b)”. Infatti, “F (b) ⊃ G (b)” e ottenutasostituendo la costante “b” a ogni occorrenza di “x” in “F (x) ⊃ G (x)”.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 26

Regole di inferenza specifiche per Q(NAT)

dove ϕ(c ) e un’istanza di p∀ϕ(v )q e p∃ϕ(v )q, e pϕ (c/u)q e qualunque

risultato si ottiene sostituendo la costante c ad alcune o tutte le

occorrenze della costante u in ϕ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 27

Regole di inscatolamento e cancellazione di Q(NAT)

C’e una sola regola di inscatolamento e cancellazione specifica diQ(NAT):

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 28

Completezza e correttezza

I E possibile mostrare che Q(NAT) permette di derivare unaconclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi incui le premesse implicano la conclusione in LQ.

I In simboli:

ϕ1, . . . ,ϕn `Q(NAT ) ψ sse ϕ1, . . . ,ϕn |=LQ ψ.

I (Come caso particolare, e possibile mostrare che `Q(NAT ) ψsse |=LQ ψ).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 29

Tableaux per LQ

I Per LQ introduciamo il sistema di tableaux Q(TAB).

I (Q(TAB) e basato su Bonevac 2003).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 30

Regole di Q(TAB)Le regole di Q(TAB) sono le regole di LP(TAB) + le regole seguenti:

dove ϕ(c ) e un’istanza di p∀ϕ(v )q e p∃ϕ(v )q, e pϕ (c/u)q e qualunque

risultato si ottiene sostituendo la costante c ad alcune o tutte le

occorrenze della costante u in ϕ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 31

Tableaux chiusi e terminati

I Le definizioni di tableau chiuso e terminato e di derivazionesono le consuete:

• un ramo di un tableaux e chiuso se e solo per qualche frase ϕ,sia ϕ che p∼ϕq occorrono sul ramo;

• un tableau e terminato se e solo se ogni regola che puo essereapplicata e stata applicata;

• un tableau e chiuso se ogni suo ramo e chiuso; altrimenti eaperto;

• ψ e derivabile in Q(TAB) da un insieme di frasi Σ di LQ se esolo se c’e un tableau terminato e chiuso la cui radice consistenei membri di Σ e nella negazione di ψ.

• ϕ1, . . . ,ϕn `Q(TAB) ψ =def . ϕ e derivabile in Q(TAB)dall’insieme di frasi {ϕ1, . . . ,ϕn}.

• `Q(TAB) ϕ =def . ϕ e derivabile in Q(TAB) dall’insieme vuoto∅.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 32

Completezza e correttezza

I E possibile mostrare che Q(TAB) permette di derivare unaconclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi incui le premesse implicano la conclusione in LQ.

I In simboli:

ϕ1, . . . ,ϕn `Q(TAB) ψ sse ϕ1, . . . ,ϕn |=LQ ψ.

I (Come caso particolare, e possibile mostrare che `Q(TAB) ψsse |=LQ ψ).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 33

Rappresentare l’italiano in LQ

I Come e possibile usare LQ per rappresentare gli enunciatidell’italiano?

I L’idea e questa:

• i connettivi “∼”, “∧”, “∨”, “⊃” e “≡” si usano come al solito perrappresentare i connettivi vero-funzionali dell’italiano;

• le costanti di LQ si usano per rappresentare i nomi propri dell’italiano;• i predicati di LQ si usano per rappresentare i nomi comuni, i verbi e

alcuni aggettivi dell’italiano;• il predicato di identita “=” si usa per rappresentare predicati

dell’italiano come “e uguale a”, “e identico a”;• il quantificatore universale “∀” si usa per rappresentare parole come

“ogni”, “ciascuno”, “tutti”;• il quantificatore esistenziale “∃” si usa generalmente per rappresentare

parole come “un”, “qualche”, “qualcuno”, “qualcosa”.

I Vediamo alcuni esempi.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 34

Filosofi inaffidabili

Le frasi 1-3 dell’italiano si rappresentano cosı in LQ (per ilmomento, rappresentiamo “perdere le chiavi” con il predicato a unposto “P”):

1. Ogni individuo distratto perde le chiavi.∀x(D(x) ⊃ P(x))

2. Ogni filosofo e distratto.∀x(F (x) ⊃ D(x))

3. Ogni filosofo perde le chiavi.∀x(F (x) ⊃ P(x))

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 35

Validita dell’argomento dei filosofi inaffidabili

I Per inciso, la rappresentazione in LQ dell’argomento deifilosofi inaffidabili e valida in LQ:

• ∀x(D(x) ⊃ P(x)), ∀x(F (x) ⊃ D(x)) |=LQ ∀x(F (x) ⊃ P(x))

I Infatti, la conclusione e derivabile dalle premesse in LQ(NAT)e, come sappiamo, se la conclusione di un argomento ederivabile dalle premesse in LQ(NAT), l’argomento e valido inLQ.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 36

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

∀x(D(x) ⊃ P(x))

∀x(F (x) ⊃ D(x))

Prova: ∀x(F (x) ⊃ P(x))

Prova: F (a) ⊃ P(a)

F (a)

Prova: P(a)

∼ P(a)

F (a) ⊃ D(a)

D(a) ⊃ P(a)

∼ D(a)

∼ F (a)

F (a)

P

P

∀I

⊃I

Ass

∼E

Ass

∀E, 2

∀E, 1

⊃E*, 7, 9

⊃E*, 8, 10

R, 5

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 37

Indefiniti polimorfi

I Questo e un esempio di frasi in cui “un” e “qualcuno” sonocorrettamente rappresentati dal quantificatore esistenziale “∃”:

• Leo ha un gatto∃x(G (x)∧H(l , x))

• qualcuno e entrato∃x E (x)

I Tuttavia, ci sono anche casi in cui parole come “un” e “qualcuno”devono essere rappresentate per mezzo del quantificatore universale“∀” per essere fedeli al significato dell’enunciato italiano in cuioccorrono. Ecco alcuni esempi:

• un gatto e un felino∀x(G (x) ⊃ F (x))

• se Leo ha un gatto, gli vuol bene∀x((G (x)∧H(l , x)) ⊃ B(l , x))

• se un gatto fa amicizia con qualcuno, dorme con lui∀x∀y((G (x)∧A(x , y)) ⊃ D(x , y))

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 37

Ambiguita di ambitoI All’inizio del corso, abbiamo osservato che la frase (1) e ambigua:

(1) Ogni gatto del vicinato e innamorato di una gatta delvicinato.

I Infatti, (1) puo essere interpretata come (a) o come (b):

(a) c’e una gatta del vicinato di cui tutti i gatti del vicinato sonoinnamorati;

(b) ogni gatto del vicinato e innamorato di qualche gatta del vicinato, nonnecessariamente la stessa di cui sono innamorati gli altri.

I Le letture (a) e (b) sono rappresentate cosı in LQ (“D” sta per“femmina”, “M” sta per “maschio”, “G” sta per “gatto del vicinato”e “I” sta per “innamorato”):

(a’) ∃y(G (y)∧D(y)∧∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ I (x , y)))

(b’) ∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ ∃y(G (y)∧D(y)∧ I (x , y)))

I Cosı come (b) non implica (a) in italiano, in LQ (b’) non implica (a’).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 38

Un contro-modelloI Ecco un contro-modello M che ci mostra che

∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ ∃y(G (y)∧D(y)∧ I (x , y))) 2LQ∃y(G (y)∧D(y)∧∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ I (x , y)))

• D = {Romeo,Rossini ,Kukla, Luna}• F (a) = Romeo• F (b) = Rossini• F (c) = Kukla• F (d) = Luna• F (M) = {Romeo,Rossini}• F (D) = {Kukla, Luna}• F (G ) = {Romeo,Rossini ,Kukla, Luna}• F (I ) = {< Romeo,Kukla >,< Rossini , Luna >}• ...

I E possibile (anche se e un po’ lungo) verificare che in questo modello lapremessa e vera (in quanto ogni gatto e innamorato di una gatta), ma laconclusione e falsa (in quanto non c’e una gatta di cui ogni gatto einnamorato).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 39

La verificaverita della premessa in M

I [[∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ ∃y (G (y )∧D(y )∧ I (x , y )))]]M = 1 sse per ogni a-varianteM’ di M [[(G (a)∧M(a)) ⊃ ∃y (G (y )∧D(y )∧ I (a, y ))]]M′ = 1sse per ogni a-variante M’ di M o [[G (a)∧M(a)]]M′ = 0 oppure[[∃y (G (y )∧D(y )∧ I (a, y ))]]M′ = 1 sse per ogni a-variante M’ di Mo [[G (a)∧M(a)]]M′ = 0 oppure c’e almeno una b-variante M” di M’ tale che[[G (b)∧D(b)∧ I (a, b))]]M′′ = 1.

I Ora, nel dominio ci sono 4 individui, quindi 4 a-varianti M’ di M (incluso M),che assegnano ad “a” un individuo diverso: Romeo, Rossini, Kukla e Luna.Inoltre, per ciascun M’ ci sono 4 b-varianti M”, che assegnano a “b” unindividuo diverso.

I Consideriamo la a-variante M’ di M che assegna ad “a” Romeo. In questo caso,c’e una b-variante M” di M’ tale che [[G (b)∧D(b)∧ I (a, b))]]M′′ = 1 ed e lab-variante che assegna Kukla a “b”.

I Consideriamo ora la a-variante M’ di M che assegna ad “a” Rossini. Di nuovo,c’e una b-variante M” di M’ tale che [[G (b)∧D(b)∧ I (a, b))]]M′′ = 1 ed e lab-variante che assegna Luna a “b”.

I Le a-varianti M’ rimanenti assegnano una gatta ad “a”, quindi[[G (a)∧M(a)]]M′ = 0. Dunque, per ogni a-variante M’ di Mo [[G (a)∧M(a)]]M′ = 0 oppure c’e almeno una b-variante M” di M’ tale che[[G (b)∧D(b)∧ I (a, b))]]M′′ = 1. Pertanto, la premessa e vera.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 40

La verificafalsita della conclusione in M

I [[∃y (G (y )∧D(y )∧∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ I (x , y )))]]M = 1 sse, per qualchea-variante M’, [[G (a)∧D(a)∧∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ I (x , a))]]M′ = 1 sse, perqualche a-variante M’, [[G (a)∧D(a)]]M′ = 1 e[[∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ I (x , a))]]M′ = 1 sse, per qualche a-variante M’,[[G (a)∧D(a)]]M = 1 e per ogni b-variante M” di M’[[(G (b)∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M′′ = 1.

I Ora, consideriamo la a-variante M’ che assegna Kukla ad “a”. Per questo M’,[[G (a)∧D(a)]]M′ = 1, in quanto Kukla e una gatta. Tuttavia, c’e una b-varianteM” di M’ tale che [[(G (b)∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M′′ = 0, ed e la variante cheassegna Rossini a “b”, dal momento che Rossini e un gatto che non ama Kukla.

I Consideriamo la a-variante M’ che assegna Luna ad “a”. Di nuovo, per questoM’, [[G (a)∧D(a)]]M′ = 1, in quanto Luna e una gatta. Tuttavia, c’e unab-variante M” di M’ tale che [[(G (b)∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M′′ = 0, ed e la varianteche assegna Romeo a “b”, dal momento che Romeo e un gatto che non amaLuna.

I Le a-varianti M’ rimanenti assegnano un gatto ad “a” e quindi[[G (a)∧D(a)]]M′ = 0. Dunque, non c’e una a-variante M’ di M tale che[[G (a)∧D(a)]]M′ = 1 e per ogni b-variante M” di M’[[(G (b)∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M′′ = 1.

I Dunque, [[∃y (G (y )∧D(y )∧∀x((G (x)∧M(x)) ⊃ I (x , y )))]]M = 0.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 41

Aggettivi intersettivi e nonI Consideriamo ora come rappresentare gli aggettivi dall’italiano in LQ.I Una bandiera rossa e una bandiera ed e rossa, un cane nero e un cane

ed e nero, un uomo ricco e un uomo ed e ricco.I Aggettivi, come “rosso”, “nero”, “ricco” sono intersettivi, vale a dire

le espressioni complesse che si ottengono combinando questi aggettivicon un nome equivalgono a delle congiunzioni.

I Le espressioni composte da un nome e un aggettivo intersettivopossono dunque essere rappresentate per mezzo di congiunzioni in LQ:

(c) Leo ha sventolato una bandiera rossa(c’) ∃x(B(x)∧ R(x)∧ S(l , x))

I Alcuni aggettivi, tuttavia, non sono intersettivi: un buon pianista none una persona buona che e anche un pianista e un diamante falso none qualcosa che e un diamante ed e falso. Predicati come “diamantefalso” devono essere rappresentati come singoli predicati in LQ:

(d) Leo ha comprato un diamante falso(d’) ∃x(Q(x)∧ C (l , x))

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 42

Relative restrittive e nonI Le frasi relative possono essere restrittive o non restrittive:

(e) Un gatto che Leo conosce bene e entrato. (restrittiva)(f) Un gatto, che tra l’altro Leo conosce bene, e entrato.

(non restrittiva)

I Le frasi precedenti hanno le stesse condizioni di verita e possonoessere rappresentate cosı in LQ:

(e-f’) ∃x(G (x)∧ C (l , x)∧ E (x))

I In presenza di quantificatori universali, tuttavia, puo fare differenzaper le condizioni di verita se la relativa e restrittiva o no. Peresempio, le frasi seguenti non sono sinonime (solo (h) implica chetutti gli studenti si annoiano):

(g) Tutti studenti del corso che sono matricole si annoiano.(h) Tutti studenti del corso, che tra l’altro sono matricole, si annoiano.

I In questo caso, la traduzione corretta e la seguente:

(g’) ∀x((S(x)∧M(x)) ⊃ A(x))(h’) ∀x(S(x) ⊃ A(x))∧∀x(S(x) ⊃ M(x))

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 43

Ci sono almeno n gattiI Attraverso il quantificatore “∃” e il simbolo di identita “=”

possiamo esprimere affermazioni numeriche della forma

• ci sono almeno n individui che sono F.

I Ad esempio, la frase (i) dell’italiano puo essere rappresentatain LQ dalla frase (i’), la frase (j) dalla frase (j’), e cosı via(“x , y” abbrevia “∼ x = y”):

(i) ci sono almeno due gatti(i’) ∃x∃y(G (x)∧G (y)∧ x , y)

(j) ci sono almeno tre gatti(j’) ∃x∃y∃z(G (x)∧G (y)∧G (z)∧ x , y ∧ y , z ∧ x , z)

. . .

I (Si noti che e necessario introdurre condizioni come “x , y”,in quanto “∃x∃y(G (x)∧G (y))” puo essere vera anche se c’eun solo gatto).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 44

Ci sono al piu n gatti

I Attraverso il quantificatore “∀” e il simbolo di identitapossiamo esprimere inoltre affermazioni numeriche della forma

• ci sono al piu n individui che sono F.

I Ad esempio, la frase (k) dell’italiano puo essere rappresentatain LQ dalla frase (k’), la frase (l) dalla frase (l’), e cosı via:

(k) c’e al piu un gatto(k’) ∀x∀y((G (x)∧G (y)) ⊃ x = y)

(l) ci sono al piu due gatti(l’) ∀x∀y∀z((G (x)∧G (y)∧G (z)) ⊃ (x = y ∨ y = z ∨ x = z))

. . .

I (Possiamo anche esprimere (k) negando la formula cheasserisce che esistono almeno due gatti, esprimere (l) negandola formula che asserisce che esistono almeno tre gatti, ecc.)

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 45

Ci sono esattamente n gatti

I Attraverso i quantificatori e il simbolo di identita possiamoesprimere infine affermazioni numeriche della forma

• ci sono esattamente n individui che sono F.

I Ad esempio, la frase (m) dell’italiano puo essere rappresentatain LQ dalla frase (m’), la frase (n) dalla frase (n’), e cosı via:

(m) c’e esattamente un gatto(m’) ∃x(G (x)∧∀y(G (y) ⊃ y = x))

(n) ci sono esattamente due gatti(n’) ∃x∃y(G (x)∧G (y)∧ x , y ∧∀z(G (z) ⊃ (z = x ∨ z = y))

. . .

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 46

Descrizioni definite

I Ora che sappiamo come rappresentare in LQ enunciati come“esiste almeno un gatto” ed “esiste al piu un gatto”, siamo ingrado di rappresentare in LQ enunciati che contengonodescrizioni definite, cioe espressioni nominali che iniziano conl’articolo determinativo singolare, come “il gatto”, “il conigliodi Filippo”, “l’uomo che cadde sulla terra”, ecc.

I Piu precisamente, siamo in grado di dare la rappresentazionelogica che Russell riteneva che gli enunciati contenentidescrizioni definite avessero.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 47

Descrizioni definitela teoria di Russell

I Secondo l’analisi russelliana, l’enunciato (2) equivale allacongiunzione dei tre enunciati quantificati in a-c, e dunquealla formula (3), che a sua volta e equivalente a (4) (ignoro laspecificazione “di Maria” nella rappresentazione):

(2) il gatto di Maria dorme.

a. Esiste almeno un individuo che e un gatto di Maria,b. esiste al piu un individuo che e un gatto di Maria,c. chiunque e un gatto di Maria dorme.

(3) ∃xG (x)∧∀x∀y((G (x)∧G (y)) ⊃ x = y)∧∀x(G (x) ⊃ D(x))

(4) ∃x(G (x)∧∀y(G (y) ⊃ x = y)∧D(x))

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 48

Teorie alternative delle descrizioni definite

I Secondo l’analisi di Russell, le descrizioni non denotanoindividui (non sono cioe termini singolari). Infatti, larappresentazione logica proposta da Russell contiene solo deiquantificatori, espressioni che non si riferiscono ad alcunindividuo:

(4) ∃x(G (x)∧∀y(G (y) ⊃ x = y)∧D(x))

I (Questo, ovviamente, non toglie che (4) sia vera se e solo seesiste un unico individuo che ha la proprieta G, e questoindividuo dorme).

I Frege, a differenza di Russell, riteneva invece che le descrizionidefinite fossero termini singolari.

I Un vantaggio della teoria russelliana e che risolve il puzzledella barba di Platone.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 49

La barba di PlatoneSupponete ora che due filosofi, McX ed io, differiscano sull’ontologia. Supponeteche McX sostenga che c’e qualcosa che io sostengo non ci sia. McX puo, del tuttocoerentemente dal suo punto di vista, descrivere la nostra differenza di opinionidicendo che mi rifiuto di riconoscere certe entita. Dovrei protestare, naturalmente,che la sua formulazione del nostro disaccordo e errata, in quanto io sostengo cheper me non ci sono entita, del tipo che egli suppone, da riconoscere; ma il fattoche io trovi la sua formulazione del nostro disaccordo errata non e importante, dalmomento che in ogni caso ritengo che si sbagli sull’ontologia.

Quando io provo a formulare la nostra differenza di opinioni, d’altra parte,sembro essere in difficolta. Non posso ammettere che ci siano delle cose che McXaccetta e io no, perche ammettendo che ci siano queste cose stareicontraddicendo il mio rifiuto di ammetterle.

Parrebbe, se questo ragionamento fosse fondato, che in qualsiasi disputaontologica il sostenitore del lato negativo patisca lo svantaggio di non essere ingrado di ammettere che il suo avversario non e d’accordo con lui.

Questo e il vecchio enigma platonico del non essere. Il non essere deve inqualche senso essere, altrimenti cos’e che non c’e? Questa dottrina contortapotrebbe essere soprannominata la barba di Platone: storicamente si e dimostratadura, smussando spesso il rasoio di Occam. (W. v. O. Quine, On what there is).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 50

Un esempio

I Possiamo illustrare cosı il problema sollevato da Quine.

I Supponete che parlando di Pegaso, il cavallo alato divinodestriero di Bellerofonte, io dica:

(5) il cavallo alato divino non esiste.

I Qualcuno potrebbe argomentare che, asserendo (5), micontraddico. Infatti,

1. se (5) e vero, ha come oggetto il cavallo alato divino;2. se (5) ha come oggetto il cavallo alato divino, allora il cavallo

alato divino esiste;3. se il cavallo alato divino esiste, (5) e falso.4. Dunque, se (5) e vero, (5) e falso.

I Cosa c’e di sbagliato in questo ragionamento?

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 51

La soluzione di Russell

I Meinong (1910) nega la premessa 2 del ragionamento eafferma che ci sono degli oggetti che non esistono:

1. se (5) e vero, ha come oggetto il cavallo alato divino;2. se (5) ha come oggetto il cavallo alato divino, allora il cavallo

alato divino esiste;

(5) il cavallo alato divino non esiste.

I Russell nega invece la premessa 1: come abbiamo visto,secondo la sua teoria le descrizioni definite non sono terminisingolari, non si riferiscono a individui.

I Vediamo come Russell cattura la verita di (5).

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 52

Asserzioni di esistenzaI Come dobbiamo rappresentare logicamente (6) secondo Russell?

(6) il cavallo alato divino esiste.

I Secondo la sua teoria delle descrizioni, (6) equivale a (7):

(7) esiste almeno un cavallo alato divino ed esiste al piu un cavallo alatodivino e chiunque e un cavallo alato divino esiste.

I Per Russell tutte le occorrenze del predicato “esiste” in (7) sonoappropriatamente rappresentate attraverso il quantificatore esistenziale “∃”.

I Se questo e corretto, possiamo rappresentare (6) come (8) (per brevitarappresento il predicato italiano “cavallo alato divino” con un unico predicatodi LQ):

(8) ∃x C (x)∧∀x∀y((C (x)∧ C (y)) ⊃ x = y)∧∀x(C (x) ⊃ ∃z(z = x))

I La formula (8) e equivalente alla formula piu breve (9):

(9) ∃x(C (x)∧∀y(C (y) ⊃ x = y))

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 53

Esistenziali negativi

I Ora torniamo a (5):

(5) il cavallo alato divino non esiste.

I Come dobbiamo rappresentare (5) secondo Russell?

I Per Russell, (5) e ambiguo, ha due rappresentazioni logichepossibili, che corrispondono ad ambiti diversi della negazionerispetto al quantificatore esistenziale.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 54

Negazione con ambito ampio

I Una rappresentazione logica possibile di (5) assegna allanegazione ambito su tutta la formula, come indicato in (10):

(5) il cavallo alato divino non esiste

(10) ∼ (∃x C (x)∧∀x∀y((C (x)∧ C (y)) ⊃ x = y)∧∀x(C (x) ⊃ ∃z(z = x)))

I La formula (10) e equivalente a (11) ed e vera, dal momentoche nel mondo reale non ci sono cavalli alati:

(11) ∼ (∃x(C (x)∧∀y(C (y) ⊃ x = y)))

I La rappresentazione (10) rende conto della nostra intuizioneche (5) e vero.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 55

Negazione con ambito stretto

I Un’altra rappresentazione logica possibile di (5) assegna allanegazione ambito solo sull’ultima occorrenza del quantificatoreesistenziale nella formula, come indicato in (12):

(5) il cavallo alato divino non esiste

(12) ∃xC (x)∧∀x∀y((C (x)∧ C (y)) ⊃ x = y)∧∀x(C (x) ⊃ ∼∃z(z = x))

I La formula (12) e contraddittoria, dal momento che asseriscel’esistenza di un cavallo alato e al tempo stesso la nega.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 56

Carita interpretativa

I L’enunciato (5) ha dunque due interpretazioni:

(5) il cavallo alato divino non esiste

• un’interpretazione vera, che e quella che presumibilmenteasseriamo quando proferiamo (5), e che corrisponde allarappresentazione in cui la negazione ha ambito su tutta laformula;

• un’interpretazione contraddittoria, che corrisponde allarappresentazione in cui la negazione ha ambito solo sull’ultimaoccorrenza del quantificatore esistenziale.

I Il fatto che l’interpretazione con ambito stretto siacontraddittoria, spiega probabilmente perche, sentendoproferire (5), ignoriamo questa interpretazione.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 57

Evidenza per la negazione ad ambito strettoI Notate tuttavia che, mentre nel caso degli enunciati

esistenziali negativi come (5), la lettura con ambito strettonon corrisponde a una lettura percepita dell’enunciato, in altricasi (in cui il predicato e diverso da “esiste”), la lettura conambito stretto viene preferita:

(5) il cavallo alato divino non esiste

I Per esempio, (13) e naturalmente inteso come l’affermazioneche esiste un unico gatto di Maria e quel gatto non dorme:

(13) Il gatto di Maria non dorme.

(14) ∃x(G (x)∧∀y(G (y) ⊃ x = y)∧ ∼ D(x))

I Dunque, entrambi gli ambiti della negazione sonoeffettivamente possibili.

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 58