1

TRIGONOMETRÍA

Índice

1. Ángulos ..................................................................................................................... 1

1.1. Sistema sexaxesimal ......................................................................................... 2

1.2. Radiáns .............................................................................................................. 3

2. Razóns trigonométricas dun ángulo agudo ............................................................... 3

2.1. Definición ........................................................................................................... 3

2.2. Razóns trigonométricas con calculadora ............................................................ 6

2.3. Relacións fundamentais entre as razóns trigonométricas ................................... 6

3. Razóns trigonométricas dun ángulo calquera ........................................................... 8

3.1. A circunferencia goniométrica ............................................................................ 8

3.2. Relacións entre as razóns trigonométricas de ángulos ...................................... 9

4. Resolución de triángulos calquera .......................................................................... 10

4.1. Teorema dos senos ......................................................................................... 10

4.2. Teorema do coseno ......................................................................................... 12

5. Relacións trigonométricas ....................................................................................... 13

6. Ecuacións trigonométricas ...................................................................................... 15

1. Ángulos

A trigonometría trata sobre as relacións entre os ángulos e os lados dos triángulos. O concepto fundamental sobre o que se traballa é o de ángulo. Dúas semirrectas cunha orixe común debuxadas nun plano, dividen este en dúas rexións. Cada unha destas rexións é un ángulo.

Nun ángulo non importa a lonxitude das semirrectas que o compoñen, senón a abertura entre elas. Para medir esta abertura, utilízanse diferentes sistemas de medida, os máis importantes son: o sistema sesaxesimal e os radiáns.

Ademais da medida, que se estudará a continuación, considérase que os ángulos teñen unha orientación de acordo co seguinte convenio: Se o ángulo está medido no sentido contrario ao xiro das agullas do reloxo,dise que é un ángulo positivo. Se o ángulo está medido no sentido de xiro das agullas do reloxo, dise que é un ángulo negativo.

2

1.1. Sistema sexaxesimal

Un ángulo recto é o menor dos ángulos formados por dúas rectas perpendiculares.

Se se divide o ángulo recto en 90 ángulos iguais, cada un destes ángulos é un grao (sesaxesimal), e indícase da forma seguinte: 1 recto = 90º.

Se se divide un grao en 60 partes iguais, cada unha destas partes é un minuto (sesaxesimal). Os minutos indícanse cunha coma na parte superior dereita do número: 1º = 60'.

Por último, se un minuto se divide en 60 partes iguais, cada unha delas é un segundo (sesaxesimal). Os segundos indícanse cunha coma dobre: 1'= 60''.

Así, os ángulos medidos no sistema sesaxesimal exprésanse da forma 34º 52' 32'', que significa que o ángulo mide 34 graos, 52 minutos e 32 segundos.

Habitualmente sitúanse os ángulos nuns eixes coordenados. Se se empezan a medir os ángulos dende a parte da dereita do eixe horizontal (ángulo de 0º) en sentido positivo, os ángulos de 90º, 180º, 270º e 360º son os que se indican na figura.

Os eixes coordenados dividen o plano en catro rexións, que se denominan cuadrantes, ordenados segundo a seguinte figura.

3

1.2. Radiáns

Ademais do grao sesaxesimal, en trigonometría úsase con frecuencia outra medida de ángulos, o radián. Debúxase unha circunferencia de raio r, como na figura. O ángulo central AOB mide 1 radián, se a lonxitude do arco da circunferencia que vai dende o punto A ao punto B é igual ao raio da circunferencia r.

Pódese calcular a cantidade de radiáns que hai nunha volta completa da circunferencia, sen máis que dividir a súa lonxitude entre a lonxitude do raio. A lonxitude do raio da circunferencia é L = 2 r

Entón, unha volta completa ten:

1 volta = raio

nciacircunferedalonxitude =

r

r2 = 2 rad

De aquí dedúcese que o ángulo de 360º ten 2 rad, e tamén que o ángulo de 180º é

de rad. As equivalencias entre os ángulos que delimitan os cuadrantes en graos e

radiáns, veñen dadas na seguinte táboa:

graos 0º 90º 180º 270º 360º

radiáns 0 2

2

3 2

Para converter calquera outro ángulo, ben de graos a radiáns, ben de radiáns a graos, pódese utilizar a seguinte proporción:

radiáns =

180

graos

Por exemplo, quérese converter o ángulo = 280º a radiáns. Utilizando a proporción

anterior:

=

180

280 ⟹ =

180

280 =

9

14 rad

Supóñase agora que se quere converter o ángulo = 4

3 rad a graos. Utilizando a

mesma proporción:

4

3

= 180

⟹ = 180·

4

3

= 180·4

3 = 135º

2. Razóns trigonométricas dun ángulo agudo

Un ángulo agudo é un ángulo entre 0º e 90º, é dicir, un ángulo do primeiro cuadrante. Para definir as razóns trigonométricas dun ángulo agudo, utilízase un triángulo rectángulo.

2.1. Definición

Nun triángulo rectángulo como o da figura considérase o ángulo agudo . A lonxitude da hipotenusa é a, a

lonxitude do cateto oposto ao ángulo é b e a

lonxitude do cateto contiguo ao ángulo é c.

Chámanse razóns trigonométricas do ángulo ás

razóns (proporcións) entre os lados do triángulo, e son

4

seno (sen), coseno (cos), tanxente (tax), cosecante (cosec), secante (sec) e cotanxente (cotax), que se definen como se indica a continuación:

sen = hipotenusa

opostocateto =

a

b

cos = hipotenusa

contiguocateto =

a

c

tax = contiguocateto

opostocateto =

c

b

cosec = opostocateto

hipotenusa =

b

a

sec = contiguocateto

hipotenusa =

c

a

cotax = opostocateto

contiguocateto =

a

b

Por exemplo, no triángulo da figura, as razóns trigonométricas do ángulo son as

seguintes:

sen = hipotenusa

opostocateto =

5

3

cos = hipotenusa

contiguocateto =

5

4

tax = contiguocateto

opostocateto =

4

3

cosec = opostocateto

hipotenusa =

3

5

sec = contiguocateto

hipotenusa =

4

5

cotax = opostocateto

contiguocateto =

3

4

Na figura téñense dous triángulos rectángulos que comparten o ángulo . Estes dous triángulos son

semellantes, é dicir, os seus tres ángulos son iguais e, polo tanto, os seus lados son proporcionais, é dicir,

a

b =

a

b

,

a

c =

a

c

,

c

b =

c

b

Á primeira vista, dá a impresión de que o valor das razóns trigonométricas depende do tamaño do triángulo. Non obstante, non é así, como se pode apreciar na figura.

Polo tanto, as razóns trigonométricas pódense calcular utilizando as medidas do triángulo grande ou do triángulo pequeno, é dicir, o único que importa é o ángulo .

Como as razóns trigonométricas caracterizan aos ángulos, os seus valores para algúns ángulos sinxelos de debuxar como os de 60º, 45º e 30º calcúlanse con facilidade como se verá nos exemplos seguintes.

Exemplos:

Calcular as razóns trigonométricas do ángulo de 45º.

5

Para obter as razóns do ángulo de 45º debúxase un triángulo rectángulo isóscele ABC

cos catetos AB = AC =1 como o da figura.

A hipotenusa é BC = 22 11 = 2 e os ángulos son

B = C = 45º e A = 90º.

Polo tanto:

sen 45º = BC

AC =

2

1 =

2

2, cos 45º =

BC

BA =

2

1 =

2

2,

tax 45º = BA

AC =

1

1 = 1

Calcular as razóns trigonométricas dos ángulos de 30º e 60º.

Para calcular as razóns de 30º e 60º debúxase un

triángulo equilátero ABC de lados AB = AC = BC =1.

Ao trazar a altura CH fórmase o triángulo rectángulo

AHC de hipotenusa AC = 1, catetos AH = 2

1 e

CH =

2

2

2

11

=

4

3 =

2

3.

Os ángulos son A = 60º, C = 30º e H = 90º.

Razóns trigonométricas do ángulo de 30º:

sen 30º = AC

AH =

2

1, cos 30º =

AC

CH =

2

3, tax 30º =

CH

AH =

2

3

2

1

= 3

1 =

3

3

Razóns trigonométricas do ángulo de 60º:

sen 60º = AC

CH =

2

3, cos 60º =

AC

AH =

2

1, tax 60º =

AH

CH =

2

12

3

= 3

Convén aprender e recordar as razóns trigonométricas de 30º, 45º e 60º para poder utilizalas con rapidez nas actividades.

30º 45º 60º

sen 2

1

2

2

2

3

cos 2

3

2

2

2

1

tax 3

3 1 3

6

Observase que sen 30º = cos 60º, cos 30º = sen 60º e sen 45º = cos 45º. Isto débese a que ambos os dous ángulos son complementarios, como se verá nos apartados seguintes.

2.2. Razóns trigonométricas con calculadora

Debido a que as razóns trigonométricas son independentes do triángulo con respecto do cal se calculen, os seus valores están tabulados, e pódense calcular mediante unha calculadora científica. Para facer cálculos mediante a calculadora, en primeiro lugar hai que asegurarse de que a calculadora estea posta en graos ou en radiáns, dependendo de como se queiran facer os cálculos. Na pantalla aparecerá a indicación DEG, se está en graos sesaxesimais; ou RAD, se está posta en radiáns. (O cambio dun a outro sistema dependerá do tipo de calculadora, aínda que o máis habitual é que se faga utilizando a tecla MODE e algún número, segundo unha lenda que adoita aparecer xusto debaixo da pantalla).

As teclas que serven para calcular o seno, o coseno e a tanxente son sin, cos e tan,

respectivamente. Por exemplo, para calcular o valor de sen(35º), coa calculadora no

modo DEG, púlsase 35 sen e o resultado que se obtén (dependendo do número de

decimais que admita a calculadora) é sen(35º) =0´573576436.

Coñecido o valor dunha razón trigonométrica, tamén é posible calcular mediante a calculadora, o valor do ángulo. Por exemplo, se cos = 0´24, para calcular o valor do

ángulo, utilízase a función da calculadora cos–1, que é a función inversa do coseno.

Para utilizala, púlsase 0´24 INV

1cos

cos

. O resultado que se obtén, 76´11345964 pódese

converter a graos, minutos, segundos, mediante a secuencia INV º ' '', e obtense

aproximadamente = 76º 6' 48''.

2.3. Relacións fundamentais entre as razóns trigonométricas

As razóns trigonométricas están relacionadas entre si mediante algunhas fórmulas que imos estudar a continuación. Vólvese considerar o triángulo rectángulo sobre o que se definiron as razóns trigonométricas.

Se se divide sen entre cos , e se simplifica,

cos

sen =

a

ca

b

= c

b = tax , é dicir, a tanxente é igual ao seno

entre o coseno:

tax =

cos

sen

Resulta evidente comprobar tamén as seguintes relacións:

cosec = sen

1, sec =

cos

1, cotax =

tax

1

Vaise obter agora outra relación importante, utilizando o teorema de Pitágoras.

7

O teorema de Pitágoras afirma que, nun triángulo rectángulo, a suma dos cadrados dos catetos é igual ao cadrado da hipotenusa. Neste triángulo, isto tradúcese na seguinte expresión: b2 + c2 = a2.

Se se divide esta expresión entre a2, obtense: 2

2

a

b +

2

2

a

c =

2

2

a

a ⟹

2

a

b +

2

a

c = 1

Agora ben, como sen = a

b e cos =

a

c, a expresión anterior pódese escribir como

sen2 + cos2 = 1

Esta relación recibe o nome de relación fundamental da trigonometría, e relaciona o valor do seno e o coseno dun mesmo ángulo .

Véxase un exemplo de utilización da relación fundamental. Por exemplo, sabendo que

sen(30º) = 2

1, vaise calcular o seu coseno e a súa tanxente.

En primeiro lugar, substitúese na relación fundamental:

2

2

1

+ cos2(30º) = 1

Despexando cos2(30º): cos2(30º) = 1 – 4

1 =

4

3

Entón: cos(30º) = 4

3 =

2

3

(En principio, ao sacar a raíz cadrada, deberíase considerar a posibilidade de que cos(30º) fose positivo ou negativo, pero tal como se definiron as razóns trigonométricas, como fraccións entre medidas de lados dun triángulo, débese tomar o signo positivo. Non obstante, para ángulos non agudos isto pode non ser así, como se verá despois).

Para calcular agora o valor da tanxente, aplícase a fórmula tax =

cos

sen:

tax(30º) =

30cos

30sen =

2

3

2

1

= 3

1 =

3

3

A partir da relación fundamental, pódense obter doadamente outras relacións entre as razóns trigonométricas.

Se se dividen todos os termos da relación fundamental entre cos2 :

2

2

cos

sen +

2

2

cos

cos =

2cos

1

Simplificando, obtense:

tax2 + 1 = 2cos

1

Se se divide a relación fundamental entre sen2 e se simplifica, obtense a seguinte

fórmula de menos utilidade que as anteriores:

1 + cotax2 = 2

1

sen

8

3. Razóns trigonométricas dun ángulo calquera

3.1. A circunferencia goniométrica

Agora vaise estender a definición das razóns trigonométricas que xa se coñecen para un ángulo agudo a un ángulo calquera. Para iso, sitúase o triángulo rectángulo que se usaba antes dentro dunha circunferencia centrada na orixe de coordenadas.

Dado que as razóns trigonométricas non dependían do grande ou o pequeno que fose o triángulo, tampouco dependerán do grande ou pequena que sexa a circunferencia. Por esta razón, elíxese un raio co que resulta moi cómodo facer operacións, raio = 1. O que agora é o raio, antes era a hipotenusa, de xeito que cada vez que haxa que dividir entre esta, non haberá nada que facer, xa que o resultado será o de dividir por 1. A esta circunferencia, á circunferencia de raio 1 centrada na orixe, que servirá para medir as razóns trigonométricas, chámaselle circunferencia goniométrica.

Agora o ángulo é un ángulo central da circunferencia. A hipotenusa do triángulo

rectángulo da figura, que agora é un raio da circunferencia, corta a esta no punto P(x, y). Entón, as razóns trigonométricas do ángulo defínense como:

sen = y, cos = x, tax = x

y

(Cosecante, secante e cotanxente pódense calcular utilizando as súas relacións coas anteriores).

Esta idea permite dar sentido ás razóns trigonométricas dun ángulo dun cuadrante calquera. Por exemplo, se o ángulo se encontra no segundo cuadrante, o seu seno e coseno son os da figura. É dicir, o seu seno é a ordenada y do punto P e o coseno, a abscisa x. Como o punto P está no segundo cuadrante, o seno será positivo e o coseno será negativo.

Con debuxos análogos, pódese comprobar que o signo das razóns trigonométricas é o indicado na seguinte táboa (recoméndase non memorizar a táboa, cando sexa preciso descubrir un signo pódese facer o debuxo correspondente):

seno coseno tanxente

1º cuadrante + + +

2º cuadrante + – –

3º cuadrante – – +

4º cuadrante – + –

A partir da representación das razóns trigonométricas na circunferencia goniométrica pódese deducir unha propiedade importante do seno e do coseno, a saber, que os seus valores sempre están comprendidos entre –1 e 1. Isto é debido a que tanto as ordenadas e as abscisas do punto P(x, y) que vai percorrendo a circunferencia sempre oscilan entre estes dous valores, por ser 1 o raio da circunferencia. Polo tanto, verifícase, para calquera ángulo :

9

–1 ≤ sen ≤ 1, –1 ≤ cos ≤ 1

Os valores das distintas razóns trigonométricas nos ángulos de 0, 90, 180, 270 e 360 graos indícanse na táboa seguinte, que tamén se pode deducir a partir da circunferencia goniométrica:

0º 90º 180º 270º 360º

sen 0 1 0 –1 0

cos 1 0 –1 0 1

tax 0 0 0

(Recórdase que non se pode dividir entre 0, esta é a razón pola que a tanxente de 90º

e 270º non existe, ).

3.2. Relacións entre as razóns trigonométricas de ángulos

As razóns trigonométricas de calquera ángulo sempre se poden relacionar coas razóns trigonométricas dun ángulo do primeiro cuadrante.

Por exemplo, o ángulo de 135º encóntrase no segundo cuadrante. Ata 180º fáltanlle 45º, que se pode representar no primeiro cuadrante. Na figura pódese observar que o valor do seno dos dous ángulos coincide e o valor do coseno é igual, aínda que de signo distinto. Polo tanto: sen(135º) = sen(45º), cos(135º) = –cos(45º), tax(135º) = –tax(45º) (Dous ángulos, que como 135º e 45º, sumen 180º, chámanse ángulos suplementarios). En xeral, e 180º – son ángulos suplementarios

que cumpren que: sen(180º – ) = sen( ), cos(180º – ) = –cos( ),

tax(180º – ) = –tax( )

Se se está no terceiro cuadrante, por exemplo, o ángulo de 200º, prolongando o raio, ata o primeiro cuadrante; obtense o ángulo de 20º que é precisamente a diferenza entre 180º e 200º. Entón, a partir da figura, pódese deducir que tanto o seno, coma o coseno, teñen os mesmos valores aínda que signos distintos. Polo tanto: sen(200º) = –sen(20º), cos(200º) = –cos(20º), tax(200º) = tax(20º) En xeral, e 180º + son ángulos que difiren en

180º que cumpren que: sen(180º + ) = –sen( ), cos(180º + ) = –cos( ),

tax(180º + ) = tax( )

Se o ángulo está no cuarto cuadrante, por exemplo o ángulo de 300º, prolongando o seno do ángulo de 300º ata o primeiro cuadrante, temos o ángulo de 60º. Na figura apréciase que o seno dos dous ángulos é igual pero de signo contrario, e o coseno é exactamente o mesmo.

10

Entón, sen(300º) = –sen(60º), cos(300º) = cos(60º), tax(300º) = –tax(60º) En xeral, e 360º – = – son ángulos opostos que cumpren que:

sen(– ) = –sen( ), cos(– ) = cos( ), tax(– ) = –tax( )

Por último, tamén entre dous ángulos do primeiro cuadrante se pode encontrar unha relación, que xa apareceu anteriormente. Trátase de dous ángulos que sumen 90º, que se chaman ángulos complementarios. Por exemplo, na figura debuxáronse os ángulos de 30º e de 60º, que son complementarios. Na figura obsérvase que os valores do seno e do coseno do ángulo de 30º coinciden cos valores do coseno e do seno, respectivamente, do ángulo de 60º. Entón, sen(30º) = cos(60º), cos(30º) = sen(60º), tax(30º) = cotax(60º) En xeral, e 90º – son ángulos complementarios que cumpren que:

sen(90º – ) = cos( ), cos(90º – ) = sen( ), tax(90º – ) = cotax( )

Tampouco é preciso memorizar estas relacións, cada vez que se necesiten pódense representar e deducir doadamente.

Se o ángulo é superior a 360º, en primeiro lugar, haberá que dividir entre 360º e quedar co resto, despois pódese relacionar cun ángulo do primeiro cuadrante, utilizando algún dos gráficos anteriores.

4. Resolución de triángulos calquera

Estudarase neste apartado dúas fórmulas que permiten resolver un triángulo calquera. É dicir, coñecidos certos elementos do triángulo (lados ou ángulos), calcular os restantes. Estas fórmulas son o teorema dos senos e o teorema do coseno. As fórmulas estarán referidas aos lados e os ángulos dun triángulo non rectángulo calquera, nomeados segundo o seguinte convenio: os ángulos coas letras maiúsculas A, B e C; os lados coas letras minúsculas a, b e c; de maneira que un ángulo e un lado opostos teñan a mesma letra.

4.1. Teorema dos senos

Se se observa o triángulo da figura, pódese observar un feito que salta á vista. O

ángulo máis pequeno, o A está en fronte do lado máis pequeno, o a; e o ángulo máis

grande, o C , está en fronte do lado máis longo, o c. Parece que houbese algunha

relación directa entre a medida do ángulo e a medida do lado. Puidera pensarse que os ángulos e os lados do triángulo estivesen en proporción directa. Non obstante, a realidade é que si hai unha relación, aínda que a través dos valores dos senos dos ángulos. De feito tense o seguinte resultado, que se denomina teorema dos senos:

Nun triángulo calquera de ángulos A , B e C , con lados opostos a, b e c, verifícase:

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

ˆˆˆ

11

Para demostrar o teorema, considerase o triángulo da figura. Trátase do triángulo da figura anterior, ao que se lle engade a súa altura sobre o lado c. A altura divide ao triángulo en dous triángulos rectángulos: BHC e AHC. No triángulo BHC, tense que:

sen B = a

h ⟹ h = asen B

No triángulo AHC, tense que:

sen A = b

h ⟹ h = bsen A

Igualando as dúas expresións da altura h obtidas antes: asen B = bsen A

De onde se deduce: Asen

a

ˆ =

Bsen

b

ˆ

A outra igualdade da proporción pódese deducir de modo análogo, considerando a altura do triángulo sobre outro dos lados. Tamén é posible demostrar o teorema para o caso no que algún dos ángulos sexa maior de 90º.

Por exemplo, dado o triángulo da figura, vaise calcular a lonxitude dos lados a e c.

Vaise utilizar o teorema dos senos, en particular, empezarase por utilizar a parte

Asen

a

ˆ =

Bsen

b

ˆ

Substituíndo na expresión anterior os datos do problema e despexando o valor de a:

55sen

a =

30sen

b⟹a =

30

554

sen

sen = 6´55 cm

Para calcular o valor de c pódese utilizar Asen

a

ˆ =

Csen

c

ˆ, ou ben

Bsen

b

ˆ =

Csen

c

ˆ.

Faise coa primeira expresión, para o cal necesítase saber canto mide o ángulo C ,

pero isto é sinxelo, xa que se sabe que a suma dos ángulos interiores dun triángulo

calquera sempre é 180º. Polo tanto, C =180º – 55º –30º =95º.

55sen

a =

95sen

c ⟹ c =

55

95556

sen

sen = 7´97 cm

Mediante o teorema dos senos pódese calcular un lado cando se coñecen dous ángulos e o lado oposto a un deles, ou un ángulo cando se coñecen dous lados e o ángulo oposto a un deles. Isto resúmese na seguinte táboa:

DATOS INCÓGNITAS

I.Un lado e dous ángulos. Un ángulo. Dous lados.

II.Dous lados e un ángulo. Dous ángulos. Un lado.

Se ao aplicar o teorema dos senos unha das incógnitas é un ángulo, poden resultar dúas solucións, unha con ángulo agudo e a outra con ángulo obtuso, xa que entre 0º e 180º hai dous ángulos que teñen o mesmo seno.

12

4.2. Teorema do coseno

Nun triángulo rectángulo no que a hipotenusa é a e os catetos son b e c, verifícase o teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2.

Non obstante, se o triángulo non é rectángulo isto non ten por que cumprirse. Pero verifícase unha xeneralización do teorema de Pitágoras que se denomina teorema do coseno:

Nun triángulo calquera de ángulos A , B e C , con lados opostos a, b e c, verifícase:

a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos A

Dado que a asignación de letras aos lados do triángulo é completamente arbitraria, tamén se verifican as dúas fórmulas seguintes, que son equivalentes á anterior:

b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos B

c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos C

Para demostrar o teorema, no triángulo obtusángulo ABC da figura adxunta, trazouse

a altura sobre o lado AB . Aplícase o teorema de Pitágoras no triángulo CDB: a2 = h2 + (c + d)2 Se se aplica o teorema de Pitágoras no triángulo CDA, obtense: h2 = b2 – d2 Substitúese o valor de h na igualdade anterior e tense que: a2 = b2 – d2 + c2 + d2 + 2cd

No triángulo CDA: cos = b

d ⟹ d = bcos

Como + A = 180º ⟹ cos = –cos A

Finalmente: a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos A

De forma análoga obtéñense as outras dúas igualdades:

b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos B

c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos C

A demostración para o caso de triángulos acutángulos é análoga.

Mediante o teorema do coseno descóbrense os ángulos dun triángulo coñecidos os tres lados, áchanse o lado e os dous ángulos cando se coñecen dous lados e o ángulo oposto a un deles ou cando se coñecen dous lados e o ángulo comprendido. Estes feitos resúmense na seguinte táboa:

DATOS INCÓGNITAS

III.Os tres lados. Os tres ángulos.

IV.Dous lados e un ángulo oposto. Dous ángulos. Un lado.

V.Dous lados e o ángulo que forman. O outro lado. Dous ángulos.

Por exemplo, a partir dos datos do triángulo da figura, quérese calcular a lonxitude do lado a.

Utilizase o teorema do coseno, coa fórmula que se viu en primeiro lugar, a que empeza por a2, por razóns evidentes. Substitúese entón na

fórmula a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos A

13

a2 = 62 + 102 – 2·6·10·cos 60º = 36 + 100 – 120·0´5 = 76 ⟹ a = 76 = 8´72 cm

É importante destacar que este exemplo non se podería ter feito utilizando o teorema dos senos, xa que para iso tivese sido preciso que se tivese polo menos o valor dun ángulo e o do seu lado oposto.

5. Relacións trigonométricas

Neste apartado dedúcense fórmulas trigonométricas que permiten obter as razóns trigonométricas de certos ángulos a partir das razóns trigonométricas coñecidas doutros.

Razóns trigonométricas da suma de dous ángulos

Vaise deducir unha fórmula para o seno dunha suma

de dous ángulos, sen( + ), en función do seno e

do coseno dos ángulos e .

Nesta figura debuxouse un triángulo rectángulo, o OPR no que a hipotenusa mide 1. Desta forma, o

cateto oposto e o contiguo do ángulo son,

respectivamente, sen e cos .

Se se considera o triángulo rectángulo OPS, tense

que sen( + ) = PS . Pero PS = TQ = TR + RQ .

Segundo o triángulo ORT:

sen = cos

TR ⟹ TR = sen cos

Segundo o triángulo PQR: cos = sen

RQ ⟹ RQ = cos sen

Entón, o seno da suma de dous ángulos é:

sen( + ) = TR + RQ = sen cos + cos sen

A partir desta fórmula pódense obter as demais fórmulas trigonométricas.

Coseno da suma de dous ángulos: cos( + ) = sen [90º + ( + )] =

= sen [(90º + ) + ]

Aplícase o seno da suma: cos( + ) = sen(90º + )cos + cos(90º + )sen =

= cos cos + (–sen )sen .

Simplifícase: cos( + ) = cos cos – sen sen

Tanxente da suma de dous ángulos:

tax( + ) =

cos

sen =

sensen

sensen

coscos

coscos

Dividindo o numerador e o denominador por cos cos queda:

tax( + ) =

coscoscoscos

coscos

coscos

cos

coscos

cos

sensen

sensen

=

coscos1

coscos

sensen

sensen

=

taxtax

taxtax

1

14

Razóns trigonométricas da diferenza de dous ángulos

Como – se pode expresar como + (– ), aplicando as relacións entre as

razóns dun ángulo e o seu oposto se encontra doadamente que:

sen( – ) = sen [ + (– )] = sen cos (– ) + cos sen(– )

Como cos(– ) = cos e sen (– ) = –sen , obtense:

sen( – ) = sen cos – cos sen

De forma análoga procédese para determinar cos( – ) e tax ( – ), obténdose:

cos( – ) = cos cos + sen sen

tax( – ) =

taxtax

taxtax

1

Razóns trigonométricas do ángulo dobre

Tendo en conta que 2 = + e aplicando as primeiras fórmulas que se obtiveron,

chégase doadamente a que: sen 2 = 2sen cos

cos 2 = cos2 – sen2

tax 2 =

21

2

tax

tax

Razóns trigonométricas do ángulo metade

Vaise calcular as razóns trigonométricas do ángulo 2

a partir de cos .

Como = 2 · 2

pódese escribir: cos = cos

2

2

= cos2

2

– sen2

2

(*)

Ademais, cos2

2

= 1 – sen2

2

, polo que cos = 1 – 2·sen2

2

Despexando queda: sen2

=

2

cos1

Como sen2

2

= 1 – cos2

2

, substituíndo en (*) queda que: cos = –1 + 2·cos2

2

Despexando obtense: cos2

=

2

cos1

Finalmente, usando as dúas fórmulas anteriores: tax2

=

cos1

cos1

Transformación en produto das sumas e diferenzas de razóns trigonométricas

Ás veces interesa ter unha suma ou unha diferenza como produto de razóns trigonométricas. Pártese das razóns trigonométricas suma e diferenza de senos de dous ángulos:

sen( + ) = sen cos + cos sen

sen( – ) = sen cos – cos sen

15

Sumando: sen( + ) + sen( – ) = 2sen cos

Cambiando de notación:

+ = A; – = B; de onde = 2

BA e =

2

BA

Substituíndo na fórmula anterior: sen A + sen B = 2sen2

BA cos

2

BA

Restando en lugar de sumar obtense: sen( + ) – sen( – ) = 2cos sen

Substituíndo: sen A – sen B = 2cos2

BA sen

2

BA

Partindo da suma e da diferenza de cosenos de dous ángulos e operando de forma similar, chégase a que:

cos A + cos B = 2cos2

BA cos

2

BA

cos A – cos B = –2sen2

BA sen

2

BA

6. Ecuacións trigonométricas

Unha ecuación trigonométrica é unha ecuación na que aparecen razóns trigonométricas, de tal forma que as incógnitas da ecuación son ángulos descoñecidos que se teñen que achar.

Estas ecuacións adoitan ter infinitas solucións xa que como se viu anteriormente existen ángulos que sendo distintos teñen as mesmas razóns trigonométricas, como por exemplo, un ángulo e o mesmo ángulo máis un número de voltas completas.

Por exemplo, quérese resolver a ecuación sen x = 1.

Trátase de encontrar todos os ángulos cuxo seno é 1. Sábese que o ángulo de 90º verifica esta condición. E tamén o farán os ángulos que se obteñan cada vez que a este ángulo se lle sume 360º, é dicir, cada vez que se dea unha volta completa á circunferencia. Entón, todas as solucións son da forma x =90º + 360k onde k é un número enteiro de voltas.

As ecuacións trigonométricas poden ser algo máis complicadas. Por exemplo, poden involucrar máis dunha razón trigonométrica. Neste caso o que hai que facer é intentar reducila a unha única razón, para poder chegar a algunha ecuación como as anteriores.

Por exemplo, quérese resolver a ecuación 3 – 2sen2 x – 3cos x = 0 sabendo que x é un ángulo tal que 0º ≤0 x ≤ 90º.

Utilízase a relación fundamental da trigonometría para transformar sen2 x. Como sen2 x + cos2 x = 1 ⟹ sen2 x = 1 – cos2 x Entón, substituíndo na ecuación: 3 – 2(1 – cos2 x) – 3cos x = 0 Fanse operacións e chégase á ecuación 2cos2 x – 3cos x + 1 = 0 que non é máis que unha ecuación de segundo grao en cos x. Resólvese esta ecuación:

16

2

1

4

2

4

13

14

4

4

13

4

13

4

13

4

893

22

124332

x

Obtense cos x = 1 e cos x = 2

1 que son dúas ecuacións sinxelas.

As súas solucións son x =0º e x =60º debido a que se indicaba que as solucións só podían estar comprendidas entre 0º e 90º, incluídos estes ángulos.