trave in ca

corso di formazione ed aggiornamento

NUOVE NORME TECNICHE IN ZONA SISMICAdi cui all’ordinanza n. 3274 del P.C.M. del 20.03.2003pubblicata sulla Gazzetta Ufficiale in data 08.05.2003

ARGOMENTO DELLA LEZIONE:

ESEMPIO DI PROGETTAZIONE AGLI S.L. DI UNA TRAVECONTINUA A DUE CAMPATE.

CONFRONTI CON IL METODO DELLE T.A.

Riferimenti Bibliografici:Vitaliani R., Scotta R., Saetta A., Il calcolo agli stati limite delle strutture di calcestruzzoarmato: aspetti teorici ed applicazioni pratiche, ed. Libreria Progetto, Padova 2002.

Esempio di progetto agli SL di una trave continua

pag. i

INDICE

I. GENERALITÀ.............................................................................................................................................1

II. TEMA PROPOSTO.....................................................................................................................................1

III. MATERIALI UTILIZZATI .......................................................................................................................1

III.1. CALCESTRUZZO .....................................................................................................................................1

III.2. ACCIAIO PER C.A. ...................................................................................................................................2

IV. PROGETTO CON IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI.................................................2

IV.1. COMBINAZIONI DI CALCOLO ..................................................................................................................2

IV.2. PROGETTO RISPETTO ALLA SOLLECITAZIONE FLESSIONALE ...................................................................3

IV.3. PROGETTO RISPETTO ALLA SOLLECITAZIONE DI TAGLIO ........................................................................4

V. PROGETTO E VERIFICA CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE............................................5

V.1. COMBINAZIONI DI CALCOLO ..................................................................................................................5

V.2. VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER SOLLECITAZIONE FLETTENTE..............................................6 V.2.1. Semiprogetto dell’armatura con sezione in calcestruzzo fissata.........................................................7 V.2.2. Progetto di una sezione in altezza .......................................................................................................8 V.2.3. Semiprogetto di una sezione in spessore con armatura semplice. ......................................................8 V.2.4. Semiprogetto di una sezione in spessore con posizione asse neutro imposta. ....................................9 V.2.5. Progetto di una sezione di calcestruzzo in spessore............................................................................9 V.2.6. Confronto dei risultati ottenuti con i metodi delle T.A. e degli S.L.U. ..............................................11

V.3. PROGETTO DELL’ARMATURA DI TAGLIO CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE .....................................12 V.3.1. Verifica di resistenza della sezione senza armatura a taglio. ...........................................................13 V.3.2. Verifica dei puntoni compressi in calcestruzzo .................................................................................13 V.3.3. Dimensionamento dell’armatura d’anima. .......................................................................................14 V.3.4. Confronto dei risultati ottenuti con i metodi delle T.A. e degli S.L.U. ..............................................15

VI. VERIFICA DELLA TRAVE AGLI STATI LIMITI DI ESERCIZIO.................................................16

VI.1. VERIFICA DI FESSURAZIONE ................................................................................................................16

VI.2. VERIFICA DELLE TENSIONI DI ESERCIZIO: ............................................................................................18

VI.3. VERIFICA ALLO STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE ...............................................................................18


pag. 1

I. Generalità In questa lezione viene sviluppato in dettaglio un esempio di progettazione e verifica di una trave di calcestruzzo armato con il metodo agli stati limite. Il calcolo viene eseguito in forma completa prendendo in esame sia gli stati limite ultimi che quelli di esercizio e proponendo diverse soluzioni progettuali. Preliminarmente si esegue anche la progettazione della stessa trave alle tensioni ammissibili, al fine di evidenziare le differenze dei risultati ottenuti con i due metodi previsti dal R.I. ‘96. Nello svolgimento dell’esempio si applicheranno integralmente le disposizioni della normativa vigente in Italia. In alternativa è possibile l’utilizzo dell’EC2 senza sostanziali differenze nella procedura di calcolo, se non nell’assunzione di alcuni coefficienti utilizzati e di alcune disposizioni costruttive e di calcolo.

II. Tema proposto Si consideri la trave di calcestruzzo armato rappresentata in Figura II-1, a due campate di uguale luce, in semplice appoggio, e soggetta ai seguenti carichi:

qL = qR = 12.00 kN/m carico variabile sulle campate sinistra e destra; g = 25.00 kN/m carico permanente (peso proprio e degli elementi portati).

g

qR

A B C

qL

L=400 L=400

Figura II-1: geometria e carichi applicati sulla trave di progetto

III. Materiali utilizzati Nella progettazione della trave si adottano i seguenti materiali:

III.1. calcestruzzo

classe Rck = 30 MPa con le seguenti caratteristiche meccaniche:

- modulo elastico: MPa31220R5700E ckc ==

- nella verifica alle T.A.: MPa75.94

15R6 ck

amm,c =−

+=σ

MPa60.075

15R4.0 ck

0c =−

+=τ


pag. 2

MPa83.135

15R4.1 ck

1c =−

+=τ

- nella verifica agli S.L.U.: γc=1.6

MPa6.15R

83.0fc

ckcd =

γ⋅=

MPa14.1R27.07.0

fc

3 2ck

ctd =γ

⋅⋅=

- nel verifica agli S.L.E.: γc=1.0 MPa9.24R83.0f ckcd ==

MPa61.2R27.0

fc

3 2ck

ctm =γ

⋅=

MPa13.3f2.1f ctmcfm =⋅=

III.2. acciaio per c.a. ad aderenza migliorata tipo Fe B 38 k avente le seguenti caratteristiche meccaniche:

- modulo elastico: Es = 206 GPa - nella verifica alle T.A.: σs,amm = 215 MPa - nella verifica agli S.L.U.: γs=1.15

MPa32615.1

375ff

s

ykyd ==

γ=

3

s

ydyd 1058.1

Ef −⋅==ε

- nella verifica agli S.L.E.: γs=1.0 fyd = fyk = 375 MPa

IV. Progetto con il metodo delle tensioni ammissibili In questo paragrafo viene presentato il dimensionamento a flessione ed a taglio della trave proposta mediante il metodo delle tensioni ammissibili. Nel progetto alle T.A. si fa riferimento alle disposizioni del D.M. 14.02.92 “Norme tecniche per l’esecuzione delle opere in c.a. normale, precompresso e per le strutture metalliche”, nel seguito più brevemente citato come R.I. '92.

IV.1. Combinazioni di calcolo Nel metodo delle T.A., le sollecitazioni in corrispondenza delle sezioni caratteristiche si ottengono con un’analisi elastica lineare della struttura soggetta ai valori caratteristici dei carichi combinati nel modo più sfavorevole. Non è previsto dalla normativa ma è comunque buona regola suddividere il carico permanente in una parte (70%) effettivamente permanente ed una parte (30%) da considerarsi


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come accidentale. Si vedrà invece che nel metodo degli SLU tale regola è imposta dalla normativa che adotta due diversi valori del coefficiente di combinazione dei carichi permanenti, 1.4 o 1.0 a seconda che questi vadano rispettivamente a favore o sfavore della sicurezza strutturale. Per il calcolo del massimo momento in campata si adotta la combinazione dei carichi rappresentata in Figura IV-1:

0.7g

qL+0.3g

A B C

Figura IV-1: combinazione dei carichi per la determinazione del massimo momento in campata

alla quale corrisponde: VA=60.38 kN VL,B=-87.63 kN x0=1.63 m Mx0=+54.50 kNm mentre per ottenere il minimo momento sull’appoggio B si considera la trave uniformemente caricata (Figura IV-2):

g

q

A B C

Figura IV-2: combinazione dei carichi per la determinazione del minimo momento all’appoggio

alla quale corrisponde: VA=55.50 kN VL,B=-92.5 kN MB=-74.00 kNm

IV.2. Progetto rispetto alla sollecitazione flessionale Alcune possibili scelte di dimensionamento e armatura della sezione B, soggetta alla minima sollecitazione flettente (Mmin = -74.0 kNm) sono di seguito riportate con le relative verifiche di resistenza alle T.A..

A) Sezione in altezza e semplice armatura (in altezza normale) base della sezione: b=30 cm altezza della sezione: h=42 cm copriferro di calcolo: c=4 cm altezza utile: d=42-4=38 cm armatura richiesta: As=10.08 cm2 posizione asse neutro: ξ=x/d = 0.405 tensioni sui materiali: σc=-9.75 MPa = σc,amm σs=215 MPa = σs,amm

B) Sezione in altezza e semplice armatura (sopra altezza normale) base della sezione: b=30 cm altezza della sezione: h=50 cm copriferro di calcolo: c=4 cm altezza utile: d=50-4=46 cm


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armatura richiesta: As=8.31 cm2 posizione asse neutro: ξ=x/d = 0.371 tensioni sui materiali: σc=-7.70 MPa < σc,amm σs=215 MPa = σs,amm

C) Sezione in spessore e semplice armatura (di altezza normale) base della sezione: b=110 cm altezza della sezione: h=24 cm copriferro di calcolo: c=4 cm altezza utile: d=24-4=20 cm armatura richiesta: As=19.39 cm2 posizione asse neutro: ξ=x/d = 0.405 tensioni sui materiali: σc=-9.75 MPa = σc,amm σs=215 MPa = σs,amm

D) Sezione in spessore e doppia armatura (di altezza normale) base della sezione: b=80 cm altezza della sezione: h=24 cm copriferro di calcolo: c=4 cm altezza utile: d=24-4=20 cm armatura richiesta: As=19.8 cm2 (a trazione) A′s=17.0 cm2 (a compressione) posizione asse neutro: ξ=x/d = 0.405 tensioni sui materiali: σc=-9.75 MPa = σc,amm

σs=215 MPa = σs,amm

Si ricorda che una sezione in c.a. soggetta a flessione semplice si definisce di altezza normale quando al crescere della sollecitazione si raggiungono contemporaneamente al bordo compresso la tensione ammissibile di compressione del calcestruzzo e sulla fibra di acciaio teso più esterna la tensione ammissibile dell’acciaio. È evidente che la definizione data di altezza normale, essendo legata al raggiungimento della tensione ammissibile nei materiali, trova riscontro solamente nell’ambito del metodo delle T.A.. Si vedrà in che modo tale definizione possa comunque essere estesa al metodo degli SLU. Si noti come nei casi A) C) e D) la sezione è in altezza normale, nella soluzione B) la sezione è sopra altezza normale (la tensione sull’acciaio ha già raggiunto il limite massimo mentre il calcestruzzo ha ancora riserve di resistenza).

IV.3. Progetto rispetto alla sollecitazione di taglio La sollecitazione massima di taglio sulla trave si ha sull’appoggio B in combinazione di carico 2, V = 92.50 kN. Per la sezione in altezza normale 30×42 cm, derivante dalla soluzione (A), si ottiene una tensione tangenziale pari a:

( ) MPa91.038309.0

1050.923/xdb

V=

⋅⋅⋅

≅−⋅

=τ

che essendo compresa fra i due limiti τc0 e τc1 impone il progetto dell’armatura a taglio. Secondo il R.I. ‘92 almeno il 40 % dell’area di taglio deve essere assorbita dalle staffe.


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Il progetto dell’armatura a taglio porta ad ottenere la seguente armatura: − in campata: staffe φ 8 a due braccia con passo 25 cm; − all’appoggio, in alternativa una delle seguenti soluzioni:

a) staffe φ 8 a due braccia con passo 9.4 cm (per 155 cm a sinistra e destra dell’appoggio centrale)

b) staffe φ 8 a due braccia con passo 15 cm (per 155 cm a sinistra e destra dell’appoggio centrale) e un ferro piegato a 45° di sezione minima 1.25 cm2 in corrispondenza del baricentro del triangolo del diagramma di taglio non coperto dalle staffe.

V. Progetto e verifica con il metodo degli stati limite

V.1. Combinazioni di calcolo Le combinazioni di calcolo da considerarsi sono del tipo:

∑=

⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ+⋅γ=N,2i

iki0qk1qkpkgd QQPGF

dove: Gk valore caratteristico delle azioni permanenti; Pk valore caratteristico della forza di precompressione; Q1k valore caratteristico dell’azione variabile principale; Qik valore caratteristico della azioni variabili dalla 2a alla n-esima; γg coeff. di amplificazione dei carichi permanenti (pari a 1.4 o 1 a seconda che vada a favore o a

sfavore della sicurezza) γp coeff. di amplificazione dei carichi dovuti alla precompressione (pari a 0.9 o 1.2 a seconda che

vada a sfavore o a favore della sicurezza) γq coeff. di amplificazione dei carichi variabili (pari a 1.5 o 0.0 a seconda che vada a sfavore o a

favore della sicurezza) ψ0i coefficiente di combinazione dei carichi (pari a 0.7 per i carichi variabili negli edifici per uffici e

di civile abitazione) Le sollecitazioni sulle sezioni caratteristiche della struttura si ottengono con un’analisi elastica lineare, a cui si farà poi seguire la ridistribuzione dei momenti, secondo quanto previsto dal R.I. ‘96. Nel caso in esame, per il calcolo del massimo momento in campata si adotterà la combinazione dei carichi di Figura V-1:

g

1.5 q

1.4 g

A B C

Figura V-1: combinazione dei carichi per la determinazione del massimo momento in campata (metodo agli S.L.U.)

alla quale corrisponde: TA=86.50 kN TL,B=-125.50 kN


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x0=1.63 m Mx0=70.59 kNm

mentre per ottenere il minimo momento sull’appoggio B si carica uniformemente la trave (Figura V-2):

1.5 qR

1.5 qL

1.4 g

A B C

Figura V-2: combinazione dei carichi per la determinazione del minimo momento all’appoggio (metodo agli S.L.U.)

alla quale corrisponde: TA=79.50 kN TL,B=-132.50 kN MB=-106.00 kNm

La ridistribuzione dei momenti si applica a quest’ultima condizione di carico solamente allo scopo di diminuire il momento all’appoggio, e trasferirlo parzialmente in campata. Si adotta un coefficiente di ridistribuzione δ = 0.85 cosicché la nuova distribuzione di sollecitazioni sulla trave diventa:

MB=-0.85×106.00 = -90.1 kNm

TA=83.48 kN TL,B=-128.53 kN

x0=1.57 m Mx0=65.75 kNm

In questo modo il momento massimo che si ottiene in campata a seguito della ridistribuzione è dello stesso ordine di grandezza di quello calcolato nella prima ipotesi di carico. Il valore assunto del coefficiente di ridistribuzione δ obbliga che, nel progetto della sezione, venga rispettata la condizione:

ξδ

limlim .

..= ≤

−=

xd

0 44125

0 328

allo scopo di garantire una duttilità adeguata nella zona di appoggio a consentire l’effettiva ridistribuzione della sollecitazione.

V.2. Verifica allo stato limite ultimo per sollecitazione flettente Come visto in precedenza il metodo delle T.A. ed il metodo degli S.L.U. si differenziano sia nel calcolo delle sollecitazioni sia nelle verifiche di resistenza delle sezioni. Nell’ipotesi di voler confrontare direttamente i risultati ottenuti con i due diversi metodi di verifica e di progettazione, tensioni ammissibili e stati limite, è, quindi, necessario fare riferimento al valore della sollecitazione flettente comune ad entrambi derivante dall’analisi elastica semplice, senza tenere conto della successiva ridistribuzione plastica. I risultati delle due verifiche di resistenza sono praticamente coincidenti nel caso di travi in altezza, mentre presentano alcune differenze per le travi in spessore. Di conseguenza, nei paragrafi che seguono, vengono sviluppati i seguenti casi:

− Travi in altezza: progettate per il valore delle sollecitazioni ottenute con la ridistribuzione dei momenti, dato che il caso con sollecitazioni elastiche non differisce nei risultati dal progetto alle T.A.;

− Travi in spessore: si considerano le sollecitazioni elastiche senza ridistribuzione, per cogliere le differenze derivanti unicamente dal diverso metodo di verifica delle sezioni


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V.2.1. Semiprogetto dell’armatura con sezione in calcestruzzo fissata.

Si assumano per la sezione di calcestruzzo le dimensioni imposte di b = 30 cm, h = 50 cm e copriferro c = 4 cm. Si adimensionalizza il momento sollecitante:

0910.0106.154630

10.90fdb

M 32

cd2

S =⋅⋅⋅

=⋅⋅

=µ

nella tabella di dimensionamento a flessione semplice, interpolando fra i valori: µ=0.090 ξ=0.168 ω0=0.096 µ=0.100 ξ=0.181 ω0=0.107

si ricava: ξ=0.169 ω0=0.097

che rispetta la condizione ξ<ξlim=0.328 e fornisce la quantità di armatura di progetto:

2

yd

cd0s cm41.6

3266.154630097.0

ffdbA =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅ω=

Se si suppone di adottare una armatura tesa a trazione 4 φ 16, corrispondente ad un’area di 8.04 cm2, a titolo di esempio si segue la verifica della sezione.

ω =⋅

⋅ ⋅=

⋅⋅ ⋅

=A fb d f

s yd

cd

8 04 32630 46 15 6

0122..

.

per l’annullamento dello sforzo normale (si trascura il contributo dell’eventuale armatura compressa):

υ ξω

α= → =

⋅⋅

00 85

k.

che si risolve per approssimazioni successive (si utilizza la tabella che fornisce i coefficienti di totalità, posizione e snervamento dell’acciaio in funzione della posizione dell’asse neutro):

1) per ξ=0.160 (campo 2), α=0.649 e k=1, da cui si ottiene: ξ=0.221 2) per ξ=0.187 (campo 2), α=0.710 e k=1, da cui si ottiene: ξ=0.202 3) per ξ=0.194 (campo 2), α=0.722 e k=1, da cui si ottiene: ξ=0.198

che si può considerare la soluzione cercata. Al valore di ξ=0.198, interpolando linearmente in tabella, corrispondono i valori α=0.729 e ka=0.390, con i quali si ottiene il momento resistente adimensionalizzato:

1132.0)198.0390.01(198.0729.085.0)k1(85.0 a =⋅−⋅⋅⋅=ξ⋅−⋅ξ⋅α⋅=µ

e quindi:

kNm1.90MkNm10.112

106.1546301132.0fdbM

S

32cd

2R

=>==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅µ= −

che soddisfa la verifica rispetto allo stato limite ultimo per sollecitazione flettente. Analogamente, per il momento in mezzeria Mx0=70.59 kNm, si progetta l’armatura:


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momento adimensionalizzato: 071.0106.154630

59.70fdb

M 32

cd2

S =⋅⋅⋅

=⋅⋅

=µ +

per il quale si ha ω0=0.075 e quindi l’armatura minima di progetto in campata:

2

yd

cd0s cm96.4

3266.154630075.0

ffdb

A =⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅ω=

V.2.2. Progetto di una sezione in altezza

Le stesse tabelle utilizzate per il progetto possono essere usate anche per il dimensionamento completo della sezione. Si supponga di aver fissato la base b=30 cm della sezione rettangolare e si voglia determinarne l’altezza. Una delle condizioni di progetto che si può utilizzare è quella che limita la posizione dell’asse neutro per il rispetto della condizione di duttilità:

ξ ≤ ξlim = 0.328

In corrispondenza al valore ξlim si trova µlim=0.195 e ω0=0.226. Volendo evitare di armare la sezione in compressione deve allora verificarsi la condizione:

195.0fdb

Mlim

cd2

S =µ≤⋅⋅

=µ

che invertita fornisce il valore dell’altezza utile minima della sezione:

cm32m32.06.1530.0195.0

1010.90fb

Md

3

cdlim

S ==⋅⋅

⋅=

⋅⋅µ=

−

che pertanto dovrà avere altezza totale minima h=d+c=36 cm. L’armatura a trazione è data da:

2

yd

cd0s0 cm38.10

3266.153230226.0

ffdbA226.0 =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅ω=→=ω

e la sezione risulta completamente determinata.

V.2.3. Semiprogetto di una sezione in spessore con armatura semplice.

Sia fissata la forma della sezione in calcestruzzo 80×24 cm, copriferro c=4 cm, e si vuole progettare l’armatura necessaria per il livello di sollecitazione MS=-106.0 kNm (valore del momento minimo all’appoggio, calcolato senza ridistribuzione).

momento adimensionalizzato: 212.0106.152080

00.106fdb

M 32

cd2

S =⋅⋅⋅

=⋅⋅

=µ +

Volendo operare senza armatura a compressione, per µlim=µ=0.215 si ha ξ=0.369 (campo 3) e ω0=0.254 che fornisce l’armatura minima di progetto:

2

yd

cd0s cm45.19

3266.152080254.0

ffdbA =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅ω=

Si sceglie di armare con 10φ16, As=20.10 cm2 e ω=0.263. Per effettuare la verifica di resistenza si determina prima la posizione dell’asse neutro attraverso la relazione:


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381.0810.085.0

263.085.0k0 =

⋅=

α⋅ω⋅

=ξ→=ν

lineare, risolvibile senza iterazioni in quanto si lavora in campo 3 e quindi α=0.810 e ka=0.416 costanti. Il valore del momento resistente adimensionalizzato risulta:

212.0221.0

)381.0416.01(381.0810.085.0)k1(85.0 a

>==⋅−⋅⋅⋅=ξ⋅−⋅ξ⋅α⋅=µ

e quindi la verifica è soddisfatta.

V.2.4. Semiprogetto di una sezione in spessore con posizione asse neutro imposta.

Fissata la sezione in calcestruzzo 80×24 cm, copriferro 4 cm (δ=4/20=0.20), si vogliano determinare le quantità di armature necessarie As e A′s in modo che la sezione lavori al limite di passaggio fra campo 2 e campo 3 (ξlim=0.259). In corrispondenza al valore di ξlim in si trova µlim=0.159 e ω0=0.178. Poiché µ>µlim occorrerà disporre dell’armatura in compressione:

053.0159.0212.0lim =−=µ−µ=µ∆

ed essendo entrambe le posizioni di armature snervate:

2

s

2s0

cm07.5A066.02.01

053.01

cm70.18A244.02.01

053.0178.01

=′→=−

=δ−

µ∆=ω′

=→=−

+=δ−

µ∆+ω=ω

V.2.5. Progetto di una sezione di calcestruzzo in spessore.

Fissata l’altezza della sezione h=24 cm, copriferro 4 cm e quindi d= 20 cm, si vogliano determinare la base b della sezione e le quantità di armatura As e A′s in modo che la sezione lavori in campo 3 con ξlim=0.328. In corrispondenza al valore di ξlim si trova µlim=0.195 e ω0=0.226. Inizialmente si ipotizzi di voler operare senza disporre armatura a compressione. Deve allora verificarsi la condizione:

µ µ=⋅ ⋅

≤ =M

b d fS

cd2 0195lim .

che invertita fornisce il valore della dimensione di base minima della sezione:

cm1.876.1520195.0

1000.106fd

Mb

2

3

cd2

lim

S =⋅⋅

⋅=

⋅⋅µ≥

L’area in acciaio necessaria a trazione risulta di:

2

yd

cd0s cm84.18

3266.15201.87226.0

ffdbA =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅ω=

Volendo scegliere di limitare la dimensione della base della trave, ad esempio al valore massimo di larghezza di 65 cm, mantenendo inalterata la posizione dell’asse neutro (ξlim=0.328 da cui µlim=0.195 e


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ω0=0.226), bisognerà introdurre una quantità di armatura in zona compressa capace di assorbire lo sforzo prima sopportato dalla fascia di calcestruzzo che viene eliminato. Le quantità di armatura a trazione e compressione da disporre si ottengono attraverso le relazioni:

261.0106.152065

00.106fdb

M 32

cd2

S =⋅⋅⋅

=⋅⋅

=µ +

2

s

2s

lim0

cm13.5A083.02.01

066.01

cm19.19A308.02.01195.0261.0226.0

1

=′→=−

=δ−

µ∆=ω′

=→=−−

+=δ−

µ−µ+ω=ω

Per eseguire la verifica di resistenza con questa soluzione, si suppone di adottare rispettivamente:

armatura tesa: 10φ16 As=20.10 cm2 ω = 0.323 armatura compressa: 3φ16 A′s=6.03 cm2 ω′ = 0.097

la posizione dell’asse neutro è immediatamente determinata:

328.0810.085.0097.0323.0

85.0kk0 =

⋅−

=α⋅

ω′⋅′+ω⋅=ξ→=ν

ed il momento resistente risulta:

273.0)2.01(097.0)328.0416.01(328.0810.085.0

)1(k)k1(85.0 a

=−⋅+⋅−⋅⋅⋅==δ−⋅ω′⋅′−ξ⋅−⋅ξ⋅α⋅=µ

e quindi:

kNm00.106MkNm80.110

106.152065273.0fdbM

S

32cd

2R

=>==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅µ= −


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V.2.6. Confronto dei risultati ottenuti con i metodi delle T.A. e degli S.L.U.

Vengono di seguito riassunti i risultati dei dimensionamenti a flessione basati sui due diversi metodi di verifica previsti dal regolamento italiano. In particolare si esamina prima il caso di trave in altezza e, successivamente, il caso di trave in spessore.

a) Trave in altezza

TRAVE IN ALTEZZA

Metodo delle T.A. MS = -74 kNm

Metodo degli S.L.U. MS = -90.1 kNm (dopo

ridistribuzione)

30

46

As=8.31 cm2

ξ=0.371

4

30

46

As=6.41 cm2

ξ=0.169

4

30

38

As=10.08 cm2

ξ=0.405

4

30

As=10.38 cm2

ξ=0.32832

4

Per il caso di travi in altezza, confrontando i risultati ottenuti si vede che, almeno per sezioni semplicemente armate, non vi sono differenze apprezzabili fra i risultati ottenuti con i due diversi metodi. La minore quantità di armatura necessaria nel caso della soluzione agli S.L.U. è dovuta solamente alla ridistribuzione dei momenti che comporta la diminuzione del valore del momento in appoggio. Se si esegue, infatti, il rapporto fra le sollecitazioni che si ottengono nei due diversi metodi di verifica e lo stesso si fa con le resistenze di progetto dei materiali si ottengono i valori riportati in Tabella V-1:

Sollecitazione Calcestruzzo Acciaio Metodo degli S.L. circa 1.45 M 0.85 fcd = 13.26 MPa fyd=326 MPa

Metodo delle T.A. M σc,amm = 9.75 MPa σs,amm=215 MPa

rapporti 1.45 1.36 1.51 Tabella V-1: travi in altezza – confronto T.A. e S.L.

Per sezioni di altezza superiore all’altezza normale, in cui la resistenza della sezione dipende dalla quantità di armatura a trazione è evidente che, essendo circa uguale l’incremento delle sollecitazioni (fattore 1.45) e quello delle resistenza dell’acciaio (fattore 1.51), il metodo agli S.L.U. porta ad


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ottenere gli stessi risultati del metodo delle T.A..

b) Trave in spessore

TRAVE IN SPESSORE

Metodo delle T.A. MS = -74 kNm

Metodo degli S.L.U. MS = -106 kNm (senza ridistribuzione)

110

20

As=19.39 cmq

ξ=0.405

4

80

20

As=19.8 cmq

ξ=0.405

4

A’s=17.0 cmq

87

20

As=18.84 cm2

ξ=0.328

4

80

20

As=18.70 cm2

ξ=0.259

4

A’s=5.07 cm2

65

20

As=19.19 cm2

ξ=0.328

4

A’s=5.13 cm2

Nel caso della sezione in spessore, al di sotto dell’altezza normale, vi sono invece significative differenze tra i due metodi. Innanzitutto perché il metodo agli S.L. permette di utilizzare la resistenza dell’acciaio compresso fino al suo limite di snervamento mentre nel metodo delle tensioni ammissibili al massimo si può arrivare al valore (1-δ)⋅n⋅σc,amm = 0.8⋅15⋅9.75 = 115 MPa con un rapporto 326/115 = 2.83 molto maggiore del fattore di incremento delle sollecitazioni 1.45). Inoltre, poiché nel metodo degli S.L. la forma del diagramma di tensioni di compressione sul calcestruzzo è praticamente rettangolare, si ha il pieno sfruttamento della resistenza della porzione compressa. Il rapporto fra risultante di compressione sul calcestruzzo nel metodo degli S.L.U. e nel metodo delle T.A., a parità di profondità dell’asse neutro è dato da:

5.14.1MM

20.2xb

f085xb81.0.A.T

Sd

SLUSd

amm,c21

cd ÷=>=σ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

anche questo maggiore del fattore di incremento delle sollecitazioni. Infine nel metodo alle T.A., nelle sezioni al di sotto dell’altezza normale, non si arriva nemmeno a sfruttare pienamente la resistenza a trazione dell’acciaio, mentre in una verifica agli S.L.U. questo appare comunque in fase di snervamento.

V.3. Progetto dell’armatura di taglio con il metodo degli stati limite Si consideri come base di progetto la sezione rettangolare in altezza di dimensioni b=30 cm e d=32 cm che in corrispondenza all’appoggio centrale per la sollecitazione flettente necessita della quantità


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di armatura tesa As=10.38 cm2, (cfr. sezione V.2.2). Si vuole ora dimensionare l’armatura di taglio necessaria per assorbire la sollecitazione di taglio massima pari a Vsd=128.53 kN che si ottiene sempre in corrispondenza dell’appoggio centrale dopo aver eseguito la ridistribuzione dei momenti.

V.3.1. Verifica di resistenza della sezione senza armatura a taglio.

Per la verifica della capacità portante deve risultare:

1RdSdu VV ≤

dove la resistenza ultima di taglio della trave priva di armatura d’anima Vrd1 è data dalla relazione:

V f r b dRd ctd l w1 0 25 1 50= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅. ( )ρ δ

con: d=32 cm bw=30 cm

MPa14.13027.06.17.0R27.07.0f 3 23 2

ckc

ctd =⋅⋅=⋅⋅γ

=

r=(1.6-d)=1.6-0.32=1.28

%08.1323038.10

dbA

w

sll =

⋅=

⋅=ρ (inferiore ρl ≤ 2%)

δ=1 perché non vi è sforzo assiale sostituendo tali valori si ricava:

kN53.128VkN9.53V Sd1Rd =<=

e pertanto la verifica non è soddisfatta. Bisogna, quindi, procedere al calcolo dell’armatura d’anima per il taglio e alla verifica delle bielle di calcestruzzo secondo lo schema reticolare resistente ultimo.

V.3.2. Verifica dei puntoni compressi in calcestruzzo

La resistenza limite delle bielle di calcestruzzo che si formano con inclinazione di 45° rispetto all’orizzontale è data dalla relazione:

( )V f b dRd cd w2 0 30 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +. cot α

dove fcd=15.6 MPa è la resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo e α=90° è l’angolo di inclinazione delle staffe di armatura che si dispongono per la resistenza a taglio. In caso di armatura d’anima mista, composta di staffe e ferri piegati a 45°, si potrà prendere un valore di α intermedio fra 45 e 90° secondo le proporzioni di ripartizione della sollecitazione fra le due parti. Si ricorda, in ogni caso, che al massimo si può porre cotα = 0.5 dovendo comunque essere verificata la relazione: dbf45.0V wcd2Rd ⋅≤ ⋅⋅ .

Sostituendo i valori noti si ricava:

kN53.128VkN3.4491032.030.06.1530.0V Sd3

2Rd =>=⋅⋅⋅⋅=

che soddisfa la verifica di resistenza.


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V.3.3. Dimensionamento dell’armatura d’anima.

Si suppone di realizzare l’armatura a taglio con l’impiego di sole staffe verticali. La verifica di resistenza dell’armatura d’anima pone che:

V V V VSdu Rd cd wd≤ = +3

essendo Vcd il contributo di resistenza per i vari meccanismi secondari dato da:

kN66.6510132.030.014.160.0dbf60.0V 3wctdcd =⋅⋅⋅⋅⋅=δ⋅⋅⋅⋅=

con δ=1 per l’assenza di sollecitazioni normali sulla trave. Deve però rispettarsi la condizione che:

kN26.642

VV Sdcd =≤

poiché, per regolamento, almeno la metà dello sforzo di taglio deve essere assorbito dall’armatura d’anima. La quota di taglio Vwd che rimane all’armatura è quindi data da:

( )2

VVVcossen

sd9.0fAV Sd

cdSdydswwd =−≥α+α⋅⋅

⋅=

che invertita permette di valutare l’armatura di staffe necessaria (α=90° da cui senα + cosα = 1):

m/cm85.61032632.09.0

126.642

Vfd9.0

1s

A 2Sd

yd

sw =⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

≥

Se si adottano staffe φ8 a due braccia Asw = 1.01 cm2 il passo cui devono essere disposte è di:

cm7.1410085.601.1s =⋅≤

Questa quantità di staffe deve essere disposta solo nel tratto iniziale in corrispondenza all’appoggio. Per determinare a quale distanza dall’appoggio si potrà aumentare il passo delle staffe a 25 cm si opererà come segue:

( )

KN93.371032.09.032625.001.1

cossens

d9.0fA2

)x(V

1

ydswSd

=⋅⋅⋅⋅=

=α+α⋅⋅

⋅≤

−

da cui Vsd(x)=75.86 kN, valore che si ottiene alla distanza x dall’appoggio:

m00.100.53

86.7553.128q

VVx )x(Sdapp,Sd =

−=

−=

In alternativa si può pensare di usare un’armatura di base composta da staffe φ8/25 cm di diametro e passo costante su tutta la lunghezza della trave andando ad assorbire il solo triangolo di taglio che le staffe lasciano scoperto con delle barre piegate:

kNm33.2600.1)86.7553.128(21

V =⋅−⋅=Ω

da cui si calcola la quantità di armatura di ferri piegati pari a:


pag. 15

2

yd

Vfp

cm98.1)45cos45(sen32632.09.0

1093.23

)cos(senfd9.0A

=°+°⋅⋅⋅

⋅=

=α+α⋅⋅⋅

Ω=

L’armatura minima di taglio prevista dal regolamento è pari a:

A db

bsw,min . .= ⋅ +

⋅010 1 015

m/cm48.330303215.0110.0A 2

min,sw =⋅

⋅+⋅=

che è inferiore all’armatura minima effettivamente disposta anche in mezzeria. Il dimensionamento e l’ancoraggio dell’armatura longitudinale deve essere fatto con riferimento al diagramma dei momenti traslato della quantità:

cm8.281329.0)cot1(d9.0a1 =⋅⋅=α−⋅⋅=

La lunghezza di ancoraggio delle barre, valutata a partire dal punto di massimo impegno dell’acciaio, è pari a:

φ=⋅φ

=⋅φ⋅π

φ⋅π= 32

ff

4ff4/l

bd

yd

bd

yd2

b

dove fbd = 2.25⋅fctd = 2.25⋅1.14 = 2.56 MPa in condizioni di buona aderenza (da raddoppiare in zone di cattiva aderenza). In ogni caso deve essere lb maggiore o uguale di 20φ e di 15 cm.

V.3.4. Confronto dei risultati ottenuti con i metodi delle T.A. e degli S.L.U.

Il confronto dei risultati ottenuti con il dimensionamento alle T.A. rispetto al dimensionamento basato sul metodo degli S.L.U. evidenzia che almeno per le travi armate a taglio quest’ultimo permette un considerevole risparmio nell’armatura d’anima, ancora più evidente se si considera che con il metodo semiprobabilistico si è progettata l’armatura a taglio di una sezione di calcestruzzo di minore altezza. Questo deriva dal fatto che nel metodo agli S.L.U. è consentito di tenere in considerazione dei meccanismi secondari di resistenza al taglio attraverso il contributo di base della sezione di calcestruzzo Vcd, mentre ciò non è possibile nel metodo delle T.A. Nel metodo agli S.L.U. sono peraltro penalizzati gli elementi strutturali che generalmente non vengono dotati di armatura d’anima, quali solai e piastre. Come già fatto per la flessione in V.2.6, la dimostrazione avviene attraverso il confronto del rapporto tra resistenze di calcolo e sollecitazioni di calcolo ottenibili con i due diversi metodi di progetto. Considerando di operare con un calcestruzzo di classe Rck 30 MPa, per il quale nel metodo delle T.A. τc0=0.6 MPa e nel metodo agli S.L.U. fctd=1.14 MPa, si ha

( )

5.14.1V

V844.0

db9.0db501rf25.0

VV

.A.TSd

.U.L.SSd

0cw

wlctd.A.T

1Rd

.U.L.S1Rd ÷=<=

τ⋅⋅⋅δ⋅⋅⋅ρ⋅+⋅⋅⋅

=

avendo posto: r = 1.6-0.32 = 1.28, ρl = 0.5% e δ = 1 (assenza di sforzo assiale). Nella pratica non è pertanto inconsueto dover operare con solai e piastre che, se progettati con il metodo delle T.A. non


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avrebbero bisogno di armatura d’anima, mentre se progettati con il metodo degli S.L.U. devono essere opportunamente armati a taglio.

VI. Verifica della trave agli stati limiti di esercizio La trave progettata rispetto al raggiungimento di una situazione limite di rottura (a flessione e a taglio) viene in questa sezione verificata rispetto al raggiungimento di uno stato limite di esercizio. La condizione di carico è quella riportata in Figura VI-1.

L=400 L=400

q

g

A CB

Figura VI-1: condizioni di carico per il progetto agli S.L.E.

Per la tipologia di edificio in questione coefficienti ψ di combinazione dei carichi assumono i seguenti valori:

ψ1= 0.5 ψ2= 0.2 e pertanto si considerano le seguenti combinazioni di carico: - Combinazione rara:

kNm 74lq81-MN/mk 371225qgq 2 −=⋅⋅=⇒=+=+=

- Combinazione frequente: kNm 62MkN/m 31125.025q5.0gq −=⇒=⋅+=⋅+=

- Combinazione quasi permanente: kNm 8.54MkN/m 4.27122.025q2.0gq −=⇒=⋅+=⋅+=

VI.1. Verifica di fessurazione Nei calcoli che seguono si adotta un coefficiente di omogeneizzazione da acciaio a calcestruzzo pari a n = 15. Si consideri la verifica per il livello di carico quasi permanente in ambiente poco aggressivo. Il valore limite di apertura delle fessure:

mm 2.0ww7.1w 2mk =≤=

L’apertura media delle fessure si determina con la formula:

rmsmm sw ⋅ε=

dove srm e εrm sono ottenibili dalle relazioni:

: r

32rm kk10sc2s

ρφ

⋅⋅+

+=


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σ

σ⋅β⋅β−

σ=ε

2

IIs

sr21

s

sII

sm 1E

Si considera la trave progettata con il metodo agli stati limiti ultimi avente le seguenti caratteristiche geometriche:

φ = 16 mm

c = 4 - 1.6/2 = 3.2 cm

( ) cm 4.45830s =−=

cm7.8cm7.8

2xh

cm2.155.7cmindeff =

=−

=φ+=

beff = 30 cm

Aeff= deff·beff = 261 cm2

ρ = 12.06 / 261 = 4.62 %

30

As,min=10.38 cm2

6φ16 = 12.06 cm2

32

4

In base a tali valori si determina:

cm 01.90462.0

6.1125.04.010

4.42.32kk10sc2s

r32rm =⋅⋅+

+=

ρφ

⋅⋅+

+=

kNm7.281012.39193fWM 3cfm

eraintsupfess =⋅⋅=⋅= −

MPa 167kNm) 8.45M per(IIs ===σ

MPa 78kNm) 7.28Mper ( fesssr ===σ

%0687.0167875.00.11

101.21671

E

2

5

2

IIs

sr21

s

sII

sm =

⋅⋅−

⋅=

σ

σ⋅β⋅β−

σ=ε

mm 2.0wmm11.0cm011.0%0687.001.97.1w7.1w 2mk =≤==⋅⋅=⋅= La stessa verifica condotta per la trave in spessore avente le seguenti caratteristiche:

φ = 16 mm c = 4 - 1.6/2 = 3.2 cm

( ) cm 3.69865s =−=

beff = 65 cm

cm38.538.52/)xh(2.155.7c

mindeff =

=−=φ⋅+

=

Aeff= beff·deff= 350 cm2 ρ = 20.10/480 = 5.74 %

65

20

As,min=19.19 cm2

10φ16 = 20.10 cm24

A’s=5.13 cm2

3φ16 = 6.03 cm2


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Conduce ai seguenti valori

cm 05.90574.0

6.1125.04.010

3.62.32kk10sc2s

r32rm =⋅⋅+

+=

ρφ

⋅⋅+

+=

kNm6.261012.38509fWM 3cfm

eraintsupfess =⋅⋅=⋅= −

MPa163kNm) 8.45 Mper(sII ===σ

MPa 79kNm) 6.26Mper ( fesssr ===σ

%0685.0163795.00.11

101.21631

E

2

5

2

IIs

sr21

s

sII

sm =

⋅⋅−

⋅=

σσ

⋅β⋅β−σ

=ε

mm 2.0wmm11.0cm011.0%0685.005.97.1w7.1w 2mk =≤==⋅⋅=⋅=

VI.2. Verifica delle tensioni di esercizio: La verifica in questo caso presuppone il controllo della tensione di compressione per il calcestruzzo e di quella di trazione per l’acciaio, le quali devono soddisfare alle condizione fissate per l’ambiente poco aggressivo: Combinazione rara (Mraro=74 kNm): per la trave in altezza b=30 h=36: σc=-12.5 MPa ≤ 0.60 fck = 14.94 MPa σs=226.0 MPa ≤ 0.7 fyk = 262.5 MPa

per la trave in spessore b=65 h=24: σc=-12.5 MPa < 0.60 fck = 14.9 MPa σs=220.0 MPa < 0.7 fyk = 262.5 Mpa Combinazione quasi permanente Mq.p.=54.8 kNm: per la trave in spessore b=30 h=36: σc=-9.3 MPa ≤ 0.45 fck = 11.2 MPa per la trave in spessore b=65 h=24: σc=-9.3 MPa < 0.45 fck = 11.2 MPa

VI.3. Verifica allo stato limite di deformazione Poiché il calcolo della deformazione delle travi in c.a. secondo la procedura esatta risulta di difficile applicazione si usa generalmente la verifica semplificata: Per la trave in spessore la verifica di deformabilità è soddisfatta risultando il rapporto

7.1624

400hL

==

(che può eventualmente essere corretto moltiplicando per opportuni coefficienti suggeriti al punto B.7.2 della Circ. Min. LL.PP. n. 252 del 15/10/96, dipendenti dalle percentuali medie di armatura tesa e compressa) inferiore al valore limite ammesso, oltre il quale si renderebbe necessaria la verifica di deformabilità più approfondita, che per travi continue è pari a 26. Una verifica di deformabilità più precisa, ottenuta integrando numericamente la curvatura della trave per il livello di carico quasi permanente, fornirebbe come risultato una freccia pari a 0.57 cm, corrispondente ad un rapporto L/f=700 e quindi sicuramente accettabile. Ovviamente per la trave in altezza le condizioni di limitazione della deformabilità risulteranno ancora meno stringenti che per la trave in spessore.

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