TRASLAZIONE ROTAZIONE ROTO-TRASLAZIONE · 2019. 10. 16. · ROTO-TRASLAZIONE DELLE FIGURE...

VI. TRASLAZIONE ROTAZIONE ROTO-TRASLAZIONE

“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”

Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 1

TRASLAZIONE

''sin

cosAOOA

YOA

XOA

bOO

aOO

sin'

cos'

'''';'''' OOOAAOAOOOOA

)cos(')cos(''

sin'sin''sin'

cos'cos''cos'

OOOAOA

YbyOOAOOA

XaxOOAOOA

)cos(')cos('''

sin'sin'sin''

cos'cos'cos''

OOOAAO

ybYOOOAAO

xaXOOOAAO

ROTAZIONE DI DI OA

dopoposizioneAOOAYOA

FIGinizialeposizioneOAXOA

''sin

1.cos

OAOA

OAOAAO

XsenYy

YsenXx

senOAysenAO

OAxAO

cos

sin)sin(cos)cos(''

cos

cos

)(''

)cos(cos''

OAOA

OAOAAO

xyY

yxX

OAOAY

AOAX

OAYAO

OAXAO

cos

sin)sin(cos)cos(''

sincos

sincos

sincoscossin

sinsin'coscos

)sin(sin''

)cos(cos''

Matrice di Rivoluzione:

cossin

sincos



ROTO-TRASLAZIONE

Sia OA’(X,Y) e angolo e O’A’(x,y) angolo e

)',cos'( bsenOOaOO come da figura da cui l' Eq. di Vag:

)1'sin')sin(''

cos'cos')cos(''

bYsenOOOAAO

aXOOOAAO

Sviluppiamo:

)()'()cos()cos'cos'('' sensenOOOAsenOOOAAO

cos'cos''' OOOAAO Infine l’Uguaglianza ]cos'cos''' OOOAAO *) da cui:

yasenbXsenYsenOOsenOAAO

xbsenaYsenXOOOAAO

)cos()cos()(')('sin''

)cos()cos()cos(')cos('cos''

1bis)

Inoltre dalla 1):

ysenaXbYsenOOOAsenOOsenOAAO

xsenbYaXsensenOOOAOOOAAO

)(cos)()cos'cos'(cos)''(sin''

)(cos)()'sin'(cos)cos'cos'(cos''

e le due forme uguali e risolutive:

1*)

yasenbXsenYsenaXbYAO

xbsenaYsenXsenbYaXAO

)cos()cos()(cos)(sin''

)cos()cos()(cos)(cos''

Spostando i termini nella 1):



2*)

YbybxsenyOOAOOA

XaxaysenxOOAOOA

)cos(sin'sin''sin'

)cos(cos'cos''cos'

2)

da cui l'Uguaglianza:

cos'cos' OOAOOA **)

Se =0 la 1) e la 2) diventano una traslazione.

Se 0' OO la 1) e la 2) diventano una rotazione.

Traslazione e Rotazione nello stesso riferimento indichiamo la

loro generica posizione:

Traslazione: AB=A’B’ ABOBOAABOAOBOAOBAB come

FIG.1 con angoli , e

sinsinsin

coscoscos

OAOBAB

OAOBAB

sinsinsin

coscos

ABOAOB

ABosOAOB

sinsinsin

coscoscos

ABOBOA

ABOBOA

Roto-Traslazione: AB=A’B’ '''''''''''' BAOBOABAOAOBOAOBBA

come FIG.2 con angoli ’,’ e ’=+

'sin''sin''sin''

'cos''cos''cos''

OAOBBA

OAOBBA

'sin'''sin'sin'

'cos'''cos''cos'

BAOAOB

BAOAOB

'sin''''sin'sin

'cos'''cos''cos'

BAOBOA

BAOBOA

Per =0 sarà ’= solo traslazione

Per AA’ sarà ’= solo rotazione



ROTO-TRASLAZIONE DELLE FIGURE

Proseguendo nel ragionamento precedentemente fatto, possiamo pensare O' come

centro di una qualsivoglia figura, come ad esempio:

rA'O Circonferenza

2222 senmcosqA'O Ellisse con centro O'

sen

p;

cos

pA'O

11

Parabola con Fuoco O'

2

222

cos

senmqA'O Iperbole

Infatti se volessimo scrivere una IPERBOLE

tan'

coscos'

myAsenO

qxAO

Supposto O'(a;b;0) rispetto ad O di YOX; e angoli

=xO’X, =AOX, applicherò la 2*) vista:

b)(senA'OYOAsen

a)cos(A'OXcosOA e l’Eq. di Vag:

bsencos

qcostanmOAsen

asentanmcoscos

qcosOA

da cui l'Uguaglianza:

Se nell'ultima espressione vista consideriamo OO'=0 la roto-traslazione

diventa una semplice rotazione degli assi. Fatto si e' che O' O e O'A OA,

per cui l' ultima espressione diventa l'Eq. di Vag:

O A OAq

m'cos

cos( ) tan sen( )= = - + -

OA OAq

x

OA OA m y

cos cos( )cos

sen sen( ) tan

OAq

m= +cos

cos tan sen

Essendo gli angoli )( ,si avrà:

sen)costanmsencos

q(cos)sentanmcos

cos

q()(sentanm)cos(

cos

qOA

ed infine l’ Eq. di Vag dell'Iperbole vista, ruotata di un angolo :

OAq

m X

OAq

m Y

OA X Y X Y

coscos

cos tan sen

sencos

sen tan cos

cos sen cos( ) sen( )

)cos(')(tan)cos(cos

0

OOsenmq

OA


Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 5 Se avessimo voluto scrivere una PARABOLA, in analogia alla Iperbole:

sincos1

pyAsen'O

coscos1

pxcosA'O

Supposto O’=F (a;b;) e V(p/2;0) applicando la 2*)

analogamente all’esempio visto:

b)(senA'OYOAsen

a)cos(A'OXcosOA

bsencoscos1

pcossin

cos1

psinOA

asensincos1

pcoscos

cos1

pcosOA

b)sin(cos1

psinOA

a)cos(cos1

pcosOA

da cui l’uguaglianza:

cos'OOcoscos1

pOA

sin2

pb)180sin(FVsinOF'sinOV

cos2

pa)180cos(FVcosOF'cosOV

)'cos(2

p)'cos(OFOV

Se consideriamo OO'=0 la roto-traslazione diventa una semplice rotazione degli

assi ed avremo che O' O e O'A OA, F=0, =+ e

l'Eq. di Vag:

)sin(OAsinFA

)cos(OAcosFA OAFA

dove ricordiamo essere: )xp()cos1

pOA



OSSERVAZIONE: negli esempi visti, si tenga presente il variare delle

relative tangenti:

Rotazione:

senq

m)tan(tan Iperbole 1) ;

tantanmq

msentanq

tantanq

m1

tansenq

m

tan

tanq

m)tan(tan Ellisse 2) ;

tantanmq

tanmtanq

tantanq

m1

tantanq

m

tan

Roto-Traslazione:

cosasenmsencosq

cosbqsencosmsentanIperbole)1

)cos1(a)cos(p

)cos1(b)sin(ptanParabola)1



ROTAZIONE DELLA FIGURA (ELLISSE)

Facciamo l'esempio della sola rotazione di una ellisse; per

definizione di Ellisse:

Eq. di Vag:

msenOAsen

qOA coscos

Ma:

)(

)cos(cos

OAsenOAsen

OAOA

Sviluppiamo:

senqmsenOAsen

senmsenqOA

)cos(cos)(

)(cos)cos(cos

Essendo la precedente espressione una Eq. di Vag si avrà di

conseguenza:

OA q

OA m

cos( ) cos

sen( ) sen

OA q m= - + -cos cos( ) sen sen( )



ROTAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUIL.(ESEMPIO)

Nel riferimento xOy tra le IP.EQ.

vi e' quella avente per asintoti

gli assi:

2axy dove

2');(' aOVaaVeRa

Si consideri una normale IPER.EQ.

m=q (vedi CAP.III LE CURVE Pag.7).

Posto q2=2a2 si avrà

2222 2aqYX

per cui

21cos

2;2 sen

aOAaq

2;cos

2;

cos

2aOVsen

aY

aX

Si consideri una rotazione di 45° del riferimento xOy per cui A

andrà in A’ e OA≡OA’. Calcoliamo il punto A’ rispetto ai due

riferimenti

5,045cos4545ˆ'

ˆˆ

senAOA

xOAXOA

5,0)(4545cos)45('

5,0)(4545cos)45cos('cos

YXXsenYysenOA

YXYsenXxOA

YOAsen

XOA

x X Ya a

y X Ya a

( ) ,cos

( sen ) .cos

( sen )

( ) ,cos

( sen ) .cos

( sen )

0 52

1 05 1

0 52

1 05 1

se facciamo: 22222

2

1)(5,0)( aYXYXxy riotteniamo la equazione di

partenza.



ROTAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUILATERA (continua)

Sia data una Iperb. Eq. del tipo:

2222 aYX

e la sua Eq. di Vag:

sena

Y

aX

cos

2

cos

2

21cos

2sen

aOA

la sua rotazione di 45° e' l'Eq. di Vag vista:

2axy

xa

ya

21

21

cos( sen )

cos( sen )

22

2

222

2

sen1cos

2)sen1(2

cos)sen1()sen1(

cos

2'

aaaOA

Dunque OA e OA' hanno lo stesso valore. Ma non è la stessa cosa se

facessimo:

poichè pur rappresentando la stessa Iperb. Eq. le loro coord. si

presentano diversamente, in quanto riferite a due riferimenti

diversi.

XYa

xya

a 2

12

2

2

2

2 2

cossen ;

cos( sen )



LA ROTO-TRASLAZIONE DI UNA ROTO-TRASLAZIONE

Analogamente a quanto detto precedentemente, nella roto-traslazione

di una roto-traslazione avremo:

senOOsenOOsenAOYsenOA

OOOOAOXOA

')(''')'(''

cos')cos(''')'cos(''cos

12

12

cioè l'Eq. di Vag:

sensenOOsenOO

AsenO

OOOO

AO

YsenXOA

')('''

)'(''

coscos')cos('''

)'cos(''

cos

1

2

1

2

ma anche l'Uguaglianza:

)cos(')(cos''')'(cos''

1

2

OOOO

AOOA

(uguaglianza che non e' che il Teorema delle Proiezioni.)

Posto )(')'( 12 si potrà scrivere:

)cos(')cos(''')'cos('' OOOOAOOA



REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA

(somma di due segmenti orientati)

Se nell’ ultima eq. vista poniamo O’O”=zero avremo che O”A diventa

O’A, da cui l’equazione:

)cos(O'O)cos(A'O

sensenO'OsenA'OcoscosO'OcosA'OYsencosXOA

Quest'ultima espressione non e' che la rappresentazione della regola

del parallelogramma dove OA e' dato

Fig.1 Fig.2

dalla somma dei due segmenti OO' e O'A orientati, come in Fig.1.

Se in un riferimento yox (Fig.2) poniamo O'A=OO” con i relativi

angoli visti sopra possiamo ancora scrivere l'Uguaglianza:

)cos('OO)cos(''OOOA

Da cui l'Eq. di Vag:

sensen'OOsen''OOcoscos'OOcos''OOysencosxOA

che ha lo stesso significato di quanto visto sopra ed applicabile ad

un numero qualunque di segmenti orientati.

Importante è che nella somma di due o più segmenti orientati, il

loro risultato è IDENTICO sia che i segmenti siano uno attaccato

all’altro (Fig.1), sia che partano da uno stesso punto (Fig.2).

(Uno o tutti gli angoli ,, possono avere anche verso opposto: ad esempio

l’angolo dà AO, mentre dando allo stesso angolo il valore(180+) avremo OA

.

Se ad esempio ricaviamo da e dobbiamo dargli il giusto valore considerando i

segni del numeratore e denominatore del rapporto X

Ytan

)



DISTANZA DI DUE PUNTI

(come differenza di due seg. orient.)

Abbiamo visto che applicando la regola del parallelogramma (vedi

figura a lato) risulta l’uguaglianza:

e dalla considerazione che:

);;();;( bbcc yxByxC

c

c

yOC

xOC

sin

cos

b

b

yOB

xOB

sin

cos

abbiamo

cioè una Eq. di Vag quando si prenda

l'angolo BCX=

CBOBOC

OBOC

yxyx bbcc

)cos()cos(

)sensencos(cos)sensencos(cos

sencos)sencos(

In generale:

orient.) seg. due di (distanza

orient.) segmenti due di (somma

)cos(OB)cos(OCCB

)cos(OB)cos(OCOA.Ug

Eq. di Vag

*) (distanza) sen)OBsenOCsen(cos)cosOBcosOC(CB

*) (somma) sen)OBsenOCsen(cos)cosOBcosOC(OA

OBsenOCsenCBsen

cosOBcosOCcosCB

differenza come

distanza *)*;

OBsenOCsenOAsen

cosOBcosOCcosOA somma *)*

Nella distanza come differenza il valore di CB (come modulo) è dato dalla radice

quadrata della somma dei quadrati di **); mentre la differenza dei segmenti

orientati è data da (OC-OB) per BC e (OB-OC) per CB

; ed il valore di si ha

analizzando i segni del numeratore e denominatore del rapporto X

Ytan

:

X

Y

I°Quadrante =;

X

Y

II°Q. vale (180-);

X

Y

III°Q. vale (180+);

X

Y

IV°Q. vale (360-)

OA OC OB cos( ) cos( )

( )cos ( )senx x y y CBc b c b



cosOBcosOC

sinOBsinOCtan;

cosOBcosOC

sinOBsinOCtan

Quadriamo e sommiamo le **)

***) )cos(2222

OBOCOBOCOA Somma di due segmenti

***) )cos(2222

OBOCOBOCCB distanza di due punti

La seconda espressione non è che il Teorema di Carnot, mentre la

prima è lo stesso teorema con segno cambiato. Posto ( - )= (angolo dei due seg. Orientati) e sviluppate le ***) in forma parametrica

abbiamo:

222 2sinOBOC2cosOBOCOA

222 2sinOBOC2cosOBOCCB (uguale alle ***) ricordando che

2

cos12cos 2

e

2

cos12sin 2

)

Espressioni che ci riportano alle Eq. Parametrica di Vag di due

ellissi con angoli rispettivamente 𝛽𝑒𝑙𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑒 𝛽𝑒𝑙𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒′ :

ellisseellisseellisse

ellisse

OBOCOBOCOA

OBOCOA

OBOCOA

sin2sincos2cos

2sinsin

2coscos

'' sin2sincos2cos2sin'sin

2cos'cos

ellisseellisse

ellisse

ellisse

OBOCOBOCCB

OBOCBC

OBOCBC

2tantan OBOC

OBOCellisse

2tantan

' OBOC

OBOCellisse

2

2

'tan

tan

OBOC

OBOC

ellisse

ellisse

2tantantan 2' ellisseellisse



VALORE DEGLI ANGOLI IN UNA ROTO-TRASLAZIONE

Fig. 1 Fig. 2

Si consideri dunque una roto-traslazione di un sistema XOY in quello

xOy, come in fig.1 dove il punto C ruota secondo una Ellisse; esso

per quanto detto precedentemente nella “Somma di due segmenti

orientati” può essere anche rappresentato da fig.2 ove si ponga

CA=OO' e +=, XOA ˆ2

Si può scrivere per entrambi i casi di fig.1 e fig.2 l’uguaglianza

somma di due segmenti:

Nelle figure abbiamo disegnato il segmento OC come

la distanza di un punto di ellisse cioè

preso in valore assoluto, essendo la distanza di una Eq. di Vag;

mentre CA = OO' = R

OA OC CA OC OO cos( ) cos( ) cos( ) ' cos( )

OC q m cos sen



L'angolo e' una costante perchè la posizione dell' asse x, pur spostandosi, e' parallela a se stessa. dunque:

)(cos

)cos(coscoscos

1

2222

2

1

2222

2

RsensensenmqYOAsen

RsenmqXOA

Se tra gli angoli 1 e esiste una relazione del

tipo: ecc. oppure 11

1 Doppurec

dove c e D e l'angolo sono

costanti avrò

1

1

1

1

11 )( cuiper ;;;

D

cD

c

e potrò ridurre la mia equazione alla sola o alla sola 1:

2

1

1

1

12

1

1

1

1 coscoscos

sen

D

cRsenOCsen

D

cROCOA

oppure all'eguaglianza:

)(

)(

)(

cos)cos(

1

2

12

12

12

D

cROCOA



ESEMPIO 1° (come circonferenza traslata)

Fig.1 Fig.2

Le due figure hanno lo stesso significato, scriviamone l'Uguag.

generale sapendo che i rispettivi raggi sono OC=R, CA=r, (OA somma

di segmenti, CO’ distanza di due punti) e angolo AOX= (Fig.2):

rsenRsenOAsen

rROArROA

12

12

212

coscoscos)cos()cos(

se 1

1

360;1

dadato (le fig. si riferiscono a questa

ipotesi)

rsenRsenOAsen

rROA

12

12 coscoscos

12

12

)(

cos)(cos

senrROAsen

rROA

1

22

1

22

1

222

2cos2)(cos)( RrrRsenrRrROA

Poichè R ed r sono costanti poniamo (R+r)=q, (R-r)=m per cui

1

22

1

222

cos senmqOA che rappresenta effettivamente una ellisse

perchè:

1

1

12 tan

cos)(

)(tan

q

m

rR

senrR



Abbiamo visto come il punto A, dato dai segmenti orientati OC e

CA (oppure OO' e OC) descriva effettivamente una ellisse.

Si osservi che i valori q ed m, diventati gli assi dell'ellisse,

possono sempre essere intesi come somma (q=R+r) e differenza (m=R-r)

di due circonferenze, le quali ovviamente ricaveranno il loro valore

da

rRm

rRq

rmq

Rmq

2

2

Sapendo che la distanza del fuoco dall'origine e':

DdcrRrRrRmqc 22222 4)()(

dove D e d sono i diametri delle circonferenze.

Mentre l'eccentricità: rR

Rr

q

ce

2



ESEMPIO 2° (Ellisse dei due Moti)

(Distanza degli estremi dei raggi in una Circonferenza Traslata)

Prendendo in cosiderazione anziche' la somma dei due

segmenti orientati, la distanza di tali due segmenti (gli estremi

dei raggi delle due circonferenze) cioe' la distanza CO' (fig. 2

Cap. VI Pag. 16), per quanto detto a Cap. VI Pag. 12 (DISTANZA DI

DUE PUNTI) essa e' data (vedi figura sotto):

avremo posto e )'cos()'cos(' 11 rRCO

1

1

22

1

22

1

22

1

222

1111

1111

tanm

q'tan

senqcosmsen)rR(cos)rR('CO

qsensen)rR(rsenRsen'sen'CO

cosmcos)rR(cosrcosR'cos'CO

dove si vede che la distanza CO' dei due raggi e' la distanza di una

ellisse di centro O' e angolo ’, e

assi )(),( rRmrRq . Pertanto

tutte le distanze: CO'; C'O'';

C''O'''; ecc. date da 1=COX e

=O'OX sono le distanze dei punti di una ELLISSE il cui centro e' di

volta in volta O'; O''; O''';. ed

angoli

'; ''; ''';ecc.



ESEMPIO 3°(COME CIRCONFER. ROTO-TRASLATA)

Fig. a Fig. b

Il sistema xCy (con raggio r) e' ruotato di un angolo (con verso

antiorario), i raggi sono R ed r,con (Fig.a) =-1, AOX=2; e con

(Fig.b) OO'=CA=r, OC=R.

L'Uguaglianza, in generale, che lega i segmenti orientati è:

)(cosr)cos(ROA*] 2121

)(rsenRsenOAsen

)cos(rcosRcosOA

12

12

)cos(rRrR)(cosrRrROA 122

1

222

222

)(cosrRrR)cos(rRrROA2

2222 122

1

222

dove sviluppando il coseno e moltiplicando R ed r per

)(sen)(cos

221

2

1

2 si avrà:

)(rsenR)(senr)(senR

)(cosrR)(cosr)(cosR

)(rsenR)(cosrRrROA

22

22

22

22

22

22

1

2

1

22

1

22

1

2

1

22

1

22

1

2

1

2222

)(sen)rR()(cos)rR(OA22

1

22

1

222



ESEMPIO 3° (CONTINUA)

Essendo l'ultima espressione vista il quadrato di uno spazio del

tipo

OA2 = x2 + y2 potremo prendere un opportuno angolo x tale che

xx sensenrRrROA

)

2()(cos)

2cos()(*]2 11

e facendo (R+r) = q, (R-r) = m, e posto )(2

1

=:

tan)2

tan(tan

)2

()(

cos)2

cos()(

1

1

1

11

11

q

m

X

Y

senmsenrRY

qrRX

x

OA viene a rappresentare la distanza di un punto di Ellisse dal suo

centro, al variare di 1 da 0 1 360. Ciò implica che il campo di

variabilità di )(2

1

(per costante) sia egualmente 0 )(

21

360.

Se in un sistema X1OY1 (fig. a lato)

applichiamo la 2*] abbiamo una ellisse

e se poniamo il valore di 2

2

x il

variare di 1 nell'Eq. di partenza in

2*]farà variare x e quindi 2 dando

tutti i punti )Y,X( 11 della ellisse con

Eq. di Vag che nel sistema XOY della pagina precedente 1*], abbiamo visto

essere:

)(cosr)cos(ROA 212 dove 2 è proprio l’angolo (Fig.a) di OA rispetto all’asse X.

Nel sistema 11OYX possiamo scrivere

l’equazione di una Ellissi con l'Eq. di Vag:

Questa ellisse, rispetto agli assi coord.X,Y e' ruotata di 2

, mentre

la rotazione da cui eravamo partiti era di ,per la sola circonferenza di raggio r, come se, essendo due le circonferenze,

ciascuna fosse stata ruotata di

22, e tutto il sistema fosse

ruotato di 2

.

OA X Y X Yx x

cos sen cos( ) sen( )



ESEMPIO 4°

(Distanza degli estremi dei raggi in una circonferenza roto-

traslata)

In questo caso l' eq. rappresentativa e' la stessa di quella

dell'ESEMPIO 3° (Cap. VI Pag. 19) cambiata di segno e dalla Fig.a e

Fig.b dell’esempio stesso si ha:

)(cosr)cos(R'CO 2122

Facendo gli stessi passaggi dell'ESEMPIO 3° si ha:

)(sen)rR()(cos)rR('CO22

1

22

1

222

che e' un quadrato del tipo 2

1

2

1

2

' YXCO per cui stabilito un angolo

2

x si ha, in analogia a quanto visto:

tanm

qtan

qsenY)(sen)rR(sen'CO

cosmX)cos()rR(cos'CO

x

x

x

11

11

2

2 3*]

Come vediamo dall’equazione sopra

risultano scambiati soltanto la

posizione degli assi q ed m.

Tenendo presente come visto al Cap.

VI Pag. 18 che al variare di in

3*] CO',C'O'',C''O''', ecc. sono le

distanze di una Ellisse dal proprio

centro e che fatto OO'O''O''' ecc. avro' una Ellisse proprio come

da fig. a lato.

Anche qui come nell'ESEMPIO 3°

avendo ruotato il riferimento XOY

di , risulta invece come se la

rotazione fosse solo di /2 e riguardasse tutto il sistema nel suo insieme.



ESEMPIO 5°(ROTAZIONE DI UN SISTEMA TRASLATO)

Nell'Esempio 2° di Cap. VI Pag.18

abbiamo considerato la distanza degli

estremi dei raggi in una

circonferenza traslata dove O'C e' la

distanza di un punto di Ellisse dal

suo centro, come nella fig. 1 con

=-1.

Come fatto nell’ESEMPIO 3°(Fig.a)

ruotando un sistema di (ma questa

volta in senso orario)l'intero

sistema ruota di /2. Nel sistema

11OYX come da fig. 2, O'C e' sempre

la distanza di un punto di Ellisse

dal suo centro, ed è dato come distanza dei due segmenti orientati

R e r (DISTANZA DI DUE PUNTI Cap.VI Pag.12). La sua Eq.di Vag ,con

2

(perché è in senso orario), è:

)2

(rsen)2

(Rsen)2

(senC'O

)2

cos(r)2

cos(R)2

cos(C'O

1

1

Se a questo punto supponiamo che 2

anzichè fisso sia variabile e che

vari in valore come

12

l'equazione diventerà:

rcosR

Rsen)tan(

Rsen)(rsenRsen)(senC'O

rcosR)cos(rcosR)cos(C'O

1

1

1

111

111

2

2

22

22

*)

Fig.2

Fig.1



e si presenterà come in Fig.3 ponendo: 101x 2;

cioè l'equazione *) della pagina precedente diventa:

0

0

sin'

coscos'

RsenCO

rRCO

x

x

0

222

0

2

0

2

00

cos2)sin()cos('

.sin)(cos)cos('

RrrRRrRCO

VagdiEqRsenrRCO xx

Dalla Fig.3 si deduce:

;rcosR

Rsen

cos

sentan

0

0

x

xx

che risolta e sviluppata, darà: xx sen

R

rsen )( 0



TEOREMA DEI PIANETI

Da ciò che abbiamo visto in Fig.3 data una circonferenza di raggio

R, stabilita una distanza OO'=r, minore di R, ogni distanza O'C,

può svilupparsi:

2)(

2cos)(

)22

(cos2)22

(cos)22

(cos

)22

(cos22

2cos2'

022022

02020202202022

0202220222

senrRrR

senrRrsenrsenR

senrRrrRrRrRCO

**)

Essendo quest' ultima espressione un quadrato del tipo 22

2

' yxCO

potrò avere un angolo E tale che:

b)

22)('

2cos

2cos)(cos'

00

00

senqsenrRsenCO

mrRCO

E

E

2tan

m

q

2tan

rR

rRtan 00E

Abbiamo che b) è l’Eq. di Vag di una ELLISSE di angolo E e semi-

assi q>m, contata da m.

Se prendiamo il punto O’ (come da Fig.4) avremo i valori

dell’ellisse: )22

(cos22

2cos2' 0202220222

senrRrrRrRrRCO

che sviluppata come abbiamo visto darà:

2)(

2cos)(' 022022

2 senrRrRCO e quindi

22)('

2cos

2cos)(cos'

00

00

senmsenrRsenCO

qrRCO

E

E

2

tan2

tantan 00

q

m

rR

rRE

di semi-assi q>m, contata da q.

Ponendo

2

0 si avrà la stessa equazione dell’ Ellisse illustrata

nel Cap. III° (Le Curve “ELLISSE”).

I valori che abbiamo determinato per la distanza O'C non formano una

Ellisse intera, bensì meta' Ellisse, per il fatto che

2

0 cioè

che, per un valore di 0 compreso tra 0 0 180 sarà 0 90 e quindi darà per il valore di una semi circonferenza il valore di un

settore di ellisse come possiamo vedere in Fig.5, nella quale e'

mostrato (a computer) che per tutte le distanze OC dei punti della

circonferenza si hanno le distanze O’C’ dei punti della semi-

ellisse.

In figura si vede anche che il



punto P percorre l’arco PA della

semi-circonferenza e l’arco PA’ del

settore dell’ Ellisse nello stesso

tempo;come dire che il semiperimetro

della Ellisse è percorso nello

stesso tempo in cui è percorso

l’intero perimetro della

Circonferenza; ed inoltre nel

Cap.VII vedremo che la velocità di

percorrenza dell’area della

circonferenza è doppia della

velocità di percorrenza dell’ area

dell’ellisse.

Nella Fig.5 data una circonferenza

come nella Fig.3, fatti:

mrR;qrR;r'OO;ROC

avremo: rcosR

sinRtan

0

0x

e 0

222 cosRr2rRC'O [1]

sviluppata secondo **): 2

sin)rR(2

cos)rR(C'O 0220222

e per quanto visto in b) della pagina precedente, abbiamo

O'C=vettore di Ellisse, di angolo E e centro in O'. Abbiamo cosi stabilito una corrispondenza biunivoca tra

circonferenza ed ellisse legati dalle formule

2

2

rRr

mqR

rRm

rRq

dove i valori dei semi-assi q>m della ellisse vengono ad essere

q=O'A e m=O'P, pari alla distanza massima e minima di un punto della

circonferenza dal proprio centro.

Tale corrispondenza ci permette di dare la:

DEFINIZIONE del"Teorema dei Pianeti": data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio,

che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale

circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono

vettori di ellisse, la traiettoria un Ellisse e il punto-fisso il

suo centro. (Vedere anche la dimostrazione del Teorema con l’Eq. di Vag nello Spazio al

Cap.III Pag.14)



ESEMPIO 6° TEOREMA DEI PIANETI

La Fig.6 è la stessa di Fig.5 con gli stessi valori

mrR;qrR;r'OO;ROC , ma con O’ centro dell’ ellisse

spostato. Possiamo quindi scrivere

0

22

0

222

cosRr2rR)180cos(Rr2rRC'O

che sviluppata come al solito

2sinm

2cosq

2sin)rR(

2cos)rR(C'O 022022022022

2

che diventa Eq. Di Vag di una ellisse, ma questa volta con

l’equazione della ellisse scritta nel modo usuale che conosciamo.

Pertanto con le solite relazioni:

2

2

rRr

mqR

rRm

rRq

2msen

2sin)rR(sinC'O

2cosq

2cos)rR(cosC'O

00

E

00

E

E0

E

0 sin)2

sinm(cos)2

cosq(C'O

2

tanq

m

2tan

rR

rRtan 00E

Possiamo concludere, tenendo presente la Fig.6:

a)data una circonferenza di raggio 2

mqR

e un punto O’ distante

2

mqr

dal suo centro, la distanza di ogni punto della

circonferenza dal punto O’ è la distanza di un corrispondente punto

dell’ ellisse dal suo centro, con angolo E dato da 0/2 angolo della circonferenza.

b) e che il raggio vettore R spazza l’area della circonferenza nello

stesso tempo in cui il raggio vettore dell’Ellisse spazza metà della

propria area.

La Fig.6 è tracciata con valori di R=10, r=8.



ESEMPIO 7° TEOREMA DEI PIANETI

Abbiamo anche che, data una circonferenza e un punto fuori di essa

O, come in Fig.31, la distanza di tale punto da tutti i punti A

della circonferenza e' la distanza di un Punto di Ellisse dal

proprio centro. Posto CA=R’:

2sen)'ROC(

2cos)'ROC()

2sen

2(cos'ROC2'ROCcos'ROC2'ROCOA 02202202022

2

0222

Esisterà un x per cui:

2sen)'ROC(senOA

2cos)'ROC(cosOA

0x

0x

)2

)'(cos2

cos)'( 00 xx sensenROCROCOA

Questa ultima espressione e' una Eq. di Vag che rappresenta una

Ellisse con angolo al centro x e assi )'( ROCq e )'( ROCm con la

relazione:

2tan

2tan

'

'tan 00

q

m

ROC

ROCx

Nella Fig.31 segnata con A’ ricavata al computer con le

caratteristiche della ellisse di centro in O, sono le stesse di

quelle viste, quando tale punto era interno alla circonferenza.

Invertendo q con m abbiamo la figura segnata con A” accanto che è la

stessa di quella di sopra ma con la ellisse ruotata di 90°.

TRASLAZIONE ROTAZIONE ROTO-TRASLAZIONE · 2019. 10. 16. · ROTO-TRASLAZIONE DELLE FIGURE...

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