Trasformata Di Fourier Proprieta Ed Esempi

1 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

LA TRASFORMATA DI FOURIER:

PROPRIETA’ ed ESEMPI


LINEARITA’: la TDF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali

e’ uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali.

Proprieta’ della TDF (1)

a1

x1(t) +a

2 x

2(t) TDF a

1 X

1 (f) +a

2 X

2 (f)

SIMMETRIA: la TDF di una segnale REALE gode di simmetria complessa coniugata

(simmetria Hermitiana). La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all’origine

(pari), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all’origine (dispari).

x(t) reale TDF X(f) = X*(-f)

DUALITA’:

z(t)=X(-t) TDF Z(f)=x(f)

x(t) TDF X(f)

SCALATURA TEMPORALE

z(t)=x(at) TDF Z(f)=(1/|a|)X(f/a)

a = -1, z(t)=x(-t) TDF Z(f)=X(-f)

z(t)=X(t) TDF Z(f)=x(-f)



TDFx(t) reale pari X(f) reale pari

x(t) reale dispari X(f) immaginario dispari

TDF di una segnale REALE

f

A

f

Reale

Fase

A

f

Modulo

A

fImmag.

Casi particolari

|X(f)| = |X(-f)| fase X(f) = - fase X(-f)

Re{X(f)} = Re{X(-f)} Im{X(f)} = - Im{X(-f)}



Valori nell’origine

{ } ∫∫∞

∞−=

∞

∞−

=

−⋅= dttxdtftjtxX

f

)(2exp)()0(

0

π

t

x(t)X(0)

{ } ∫∫∞

∞−=

∞

∞−

=

⋅= dffXdfftjfXx

t

)(2exp)()0(

0

π

f

X(f)

x(0)


x(t-t0

) e-j2πf t0 X(f) TDF


Traslazione nei tempi: la TDF del segnale ritardato e’ uguale a quella del

segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso

Traslazione nelle frequenze: traslare in frequenza la TDF del segnale, equivale

a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso

x(t ) ej2π f0 t X(f- f

0 )TDF

x*(t ) X*(-f )TDF

Coniugazione:


Esempio: la trasformata di Fourier del coseno

Un impulso di area unitaria in frequenza ha come TDF inversa una costante

unitaria nei tempi:

{ } 12exp)( =∫∞

∞−

dfftjf πδ

La trasformata di Fourier del coseno si ricava da quella della costante utilizzando

le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:

{ } { }tfjtfjtftyooo

πππ 2exp2

12exp

2

1)2cos()( −+==

TDF

( ) ( )oofffffY ++−= δδ

2

1

2

1)(

Quindi la TDF di una costante unitaria e’ un impulso nelle frequenze.


Esempio: la trasformata di Fourier del seno

La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le

proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:

{ } { }tfjj

tfjj

tftyooo

πππ 2exp2

2exp2

)2(sin)( −−==

TDF

( ) ( )oo ffj

ffj

fY −−+= δδ22

)(



Derivazione: la TDF del segnale derivato nel tempo e’ uguale a quella del

segnale originale moltiplicata per una rampa immaginaria in frequenza:

dt

tdx )()( 2 fXfj πTDF

)(2 txtj πdf

dX(f) -TDF

Dualmente:

Integrazione:

( )∫∞−

t

dx ττ ( )ffXfj

δπ 2

1)(

2

1+TDF

TDF

Dualmente:

( )ttxtj

δπ 2

1)(

2

1+

− ( )∫∞−

f

dX ηη


X(f)Y(f) TDF


Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due

segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di

convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come

vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempo-

invarianti.

Moltiplicazione nei tempi (modulazione): la TDF del prodotto di due segnali e’

uguale all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).

x(t )y(t) TDF

∫∞

∞−

− τττ dtyx )()(

∫∞

∞−

− ξξξ dfYX )()(

x(t ) cos (2πf

0t) (1/2)(X(f+ f

0 )+ X(f-f

0 ))TDF

Modulazione d’ampiezza:



Ponendo y(t)=x(t) si ottiene che l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del

modulo quadrato della sua TDF

=∫∞

∞−

dttx2

)( ∫∞

∞−

dffX2

)(

integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.

Quindi rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenze

infinitesimo df.

viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA

2

)( fX2

)( fX

2

)( fX

=xE

Relazione di Parseval:

=( )∫∞

∞−

dttytx *)( ∫∞

∞−

dffYfX )()( *


Funzione di autocorrelazione:


( )=τxr

Dalla relazione di Parseval si ottiene:

( )=τxr

cioe’, la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione e’ la densita’ spettrale di

energia.

Proprieta’:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )τ

ττ

τττ

τττ

xx

xx

xx

xxx

x

rr

Er

rrtx

rrr

xxr

≥

=

−=

−=

−=

⇒

0

0

)(

*

*

*

5.

e)definizion (dalla 4.

:pari reale e' azioneautocorrell' reale e' Se 3.

)Hermitiana simmetria la vale reale e' di atrasformat (la 2.

1.

( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

= dfefXdfefXfX fjfj τπτπ 222* ( )[ ] ( ) 2fXrx =⇒ τF

( ) ( )∫∞

∞−

+ dttxtx τ*


Funzione di cross-correlazione:


( )=τxyr

Dalla relazione di Parseval (per y(t) = x(t+τ )) si ottiene:

( )=τxyr

cioe’, la trasformata di Fourier della funzione di cross-correlazione e’ il cross-spettro tra i

segnali x e y (prodotto della trasformata del primo per quella coniugata del secondo).

Proprieta’:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

)()()()(

)()(

*

00

*

*

trrttxt

rrttx

rr

xyr

xyx

yxxy

yxxy

xy

y

y

−=−=

−=

−=

−=

ττ

ττ

ττ

τττ

: Se 4.

e reale e' necorrelazio-cross la reali sonoe Se 3.

2.

1.

( ) ( )∫∞

∞−

+ dttytx *τ

( ) ( )∫∞

∞−

dfefYfX fj τπ2* ( )[ ] ( ) ( )fYfXrxy*

=⇒ τF


La trasformata di Fourier di segnali periodici (1)

In generale, un segnale periodico y(t) di periodo T0 si puo’ esprimere in funzione del

singolo periodo x(t):

( )∑∞

−∞=

−=n

nTtxty0

)(

( ) ( ) ( ) ( )

−⋅=

−= ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞= nn

nTtfXnTttxfY00

*)( δδ FF

La trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) e’ una sequenza di impulsi alle

frequenze f=k/T0.

( ) ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−

kn T

kf

TnTt

00

0

1δδF

∑∞

−∞=

−

=

k T

kf

T

kX

TfY

000

1)( δ⇒

( ) ( ) ( )00

* nTttxnTtx −=− δ


Periodicizzare nei tempi x(t) con periodo T0 equivale a campionare nelle

frequenze X(f) con passo di campionamento 1/T0

La trasformata di Fourier di segnali periodici (2)

La trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) si ottiene a partire dalla

trasformata di Fourier X(f) del singolo periodo x(t):

1. moltiplicando X(f) per un treno di impulsi alle frequenze k/T0

2. scalando il risultato per 1/T0.

( )∑∞

−∞=

−=n

nTtxty0

)( ∑∞

−∞=

−

=

k T

kf

T

kX

TfY

000

1)( δ⇒


Relazione fra serie e trasformata di Fourier di segnali periodici

Cioe’ l’area degli impulsi alle frequenze f=kf0 della trasformata di Fourier Y(f) e’ data

dai campioni Yk della serie di Fourier del segnale y(t).

Inoltre, fra i coefficienti della serie Fourier Yk e la trasformata di Fourier del singolo

periodo X(f) vale la relazione:

Abbiamo visto che la trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) e’ costituita

da impulsi alle frequenze f=k/T0:

( ) ( )∑∞

−∞=

−=k

kffkfXffY000

)( δ

{ }∑∞

−∞=

⋅=k

ktkfjYty0

2exp)( π

Dallo sviluppo in serie di Fourier di y(t) si ottiene:

( ) ( )∑∞

−∞=

−⋅=k

kkffYfY0

δ⇒

( )000kfkfXfY

k in impulso area==


La trasformata di Fourier del coseno (2)

La serie di Fourier del coseno ricavata in precedenza e’ costituita da due

campioni di ampiezza 1/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1

)2cos()( tftyo

π=

( ) ( )oofffffY ++−= δδ

2

1

2

1)(

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

kY

k

±≠

±==

1per 0

1per /21

k

kYk

La TDF del coseno si ottiene dalla serie di

Fourier ponendo alle frequenze f=kfo, impulsi

di area pari ai campioni Xk della serie, dove

fo e’ la frequenza fondamentale del segnale

periodico


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0

-0.5

0.5 kY

k

La trasformata di Fourier del seno (2)

±≠

−=+

+=−

=

1per 0

1per 2

1per 2

k

kj

kj

Yk

La serie di Fourier del seno ricavata in precedenza e’ costituita da due

campioni immaginari di ampiezza +j/2 e -j/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1

)2(sin)( tftyo

π=

La TDF del seno si ottiene dalla serie di

Fourier ponendo alle frequenze f=kfo impulsi

di area pari ai campioni Xk della serie, dove

fo e’ la frequenza fondamentale del segnale

periodico

( ) ( )ooff

jff

jfY −−+= δδ

22)(


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

kY

k

0per

2

2sin

2

1≠= k

k

k

Ykπ

π

1/2

To /2T

o /2

t

Esempio: l’onda quadra a media nulla

Serie di Fourier

Trasformata di Fourier 0per

2

2sin

2

1)( ≠

= ∑

∞

−∞=

kT

kf- δ

k

k

fYok π

π

y(t)


1

To /2T

o /2

t

Esempio: l’onda quadra a media non nulla (1)

Trasformata di Fourier

y(t)

−= ∑

∞

−∞= ok T

kf

k

k

fY δπ

π

2

2sin

2

1)(

2

2sin

2

1

k

k

Yk

π

π

=Serie di Fourier

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

kY

k


Esempio: l’onda quadra a media non nulla (2)

2

2sin

2)( 0

fT

fTT

fXo

o

π

π

=

( )

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−

=

−=

k o

k ooo

oko

T

kf

k

k

T

kf

T

kX

T

T

kffX

TfY

δπ

π

δ

δ

2

2sin

2

1

1

1)(

0

0

To/2

2/To-2/To

0

1/2

0 2/To-2/To

f

f

Trasformata di Fourier del singolo

periodo x(t) {rettangolo di ampiezza

unitaria e durata To/2}

Trasformata di Fourier del segnale

periodico y(t)


ESERCIZI PROPOSTI

1 Dati i segnali

a) x(t)=exp(j2π fo t) b) x(t)=cos(2π f

o t) c) x(t)= δ(t)

e i sistemi LTI con risposta in frequenza

a) H(f)=10exp(-j2πf/ fo) b) H(f)=exp{ - | f / f

o | - j2π f / f

o } c) H(f)=1/(1+j f/f

o )

che espressione hanno i segnali in uscita y(t)?

2 Dato il segnale x(t)= 3cos(π t / To)+5cos(2π t / T

o) che passa attraverso un sistema

LTI con risposta in frequenza H(f)=rect(f To/3), che espressione ha l’uscita y(t)?

3 Sia dato un segnale con Trasformata di Fourier X(f) riportata in figura e un filtro con

risposta in frequenza H(f) riportata in figura. Disegnare la trasformata di Fourier Y(f)

dell’uscita.

H(f) 1

1/2

-fc

fc

X(f)1

-2fc

2fc

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