Tracce di soluzione · scuola modello”, scritta probabilmente da Guido Martina e uscita sul...

Marco Barlotti

Tracce di soluzione

per temi assegnati nell’esame di

Istituzioni di Matematica

Vers. 4.0.1 (2007.09.07)

In copertina quattro vignette (© Disney) disegnate da Giuseppe Perego per la storia “Paperino e la scuola modello”, scritta probabilmente da Guido Martina e uscita sul numero 103 di “Topolino” del 25 novembre 1954.

Marco Barlotti - temi assegnati nell’esame di “Istituzioni di Matematica” - vers. 4.0.1 - pag. I tracce di soluzione per

PREFAZIONEalla vers. 4.0.1

Queste pagine raccolgono le tracce di “soluzioni tipo” per alcuni temi assegnati nelleprove sritte di esame per l’insegnamento di “Istituzioni di Matematica” (corso di laureatriennale in Scienze Naturali) che tengo presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche eNaturali all’Università di Firenze.

La raccolta (quasi) completa dei temi assegnati negli ultimi cinque anni è disponibilein rete all’indirizzo

http://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/Compiti.pdfoppure

http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Compiti.pdf

Le tracce qui raccolte dovrebbero servire ai candidati non solo come chiarimento suiprocedimenti risolutivi ( ) ma anche come esempio della forma espositiva che ci si attende in1

sede di prova scritta di esame; esse in particolare vogliono illustrare che cosa significhi“accompagnare i passaggi con brevi spiegazioni” (condizione sempre essenziale affinché losvolgimento di ciascun esercizio possa essere valutato).

Come al solito, sarò grato a tutti coloro che vorranno segnalarmi ( ) qualunque difetto2

di queste pagine, dai più banali errori di stompa alle oscurità nella formulazione degli esercizi.

Marco Barlotti

Firenze, 07.09.2007

1 tali procedimenti risolutivi sono peraltro comunque ampiamente ricavabili dal degli appunticorpusrelativi all’insegnamento, disponibile in rete come

http://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/Compiti.pdfoppure

http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Compiti.pdf

2 all’indirizzo [email protected]

Marco Barlotti - temi assegnati nell’esame di “Istituzioni di Matematica” - vers. 4.0.1 - pag. II tracce di soluzione per

AVVERTENZATutti i diritti di questa pubblicazione sono dell’autore.È consentita la riproduzione integrale di questa pubblicazione a titolo gratuito.È altresì consentita a titolo gratuito l’utilizzazione di parti di questa pubblicazione in altraopera all’inderogabile condizione che ne venga citata la provenienza e che della nuova operanella sua interezza vengano consentite la riproduzione integrale a titolo gratuito el’utilizzazione di parti a queste stesse condizioni.L’uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l’accettazione integrale e senzariserve di quanto sopra.

Marco Barlotti - temi assegnati nell’esame di “Istituzioni di Matematica” - vers. 4.0.1 - pag. tracce di soluzione per 1

COMPITO DEL 2005-02-01 (FILA “A”)

Esercizio 1

Trovare tutti gli asintoti della funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

f( .BÑ ³ lnÐ$BÑ#B

B&

#

Soluzione

Il dominio di è ( , ) ( , ), quindi ci possono essere due asintoti verticali (lef _ & & $rette di equazione rispettivamente x e x ) e un asintoto sinistro.œ & œ $Si ha

limBÄ&

fÐBÑ œ _

perché il limite si presenta nella forma con numeratore e denominatore entrmbi lnÐ)Ñ&!!

positivi; questo è sufficiente per poter affermare che la retta di equazione x è asintotoœ &verticale. Inoltre

limBÄ$

fÐBÑ œ _

perché il limite si presenta nella forma ; dunque anche la retta di equazione x è _")) œ $

asintoto verticale.

Per individuare l’eventuale asintoto sinistro, calcoliamo in primo luogo il

lim lim lim limBÄ_ BÄ_ BÄ_ BÄ_

fÐBÑ Ð$BÑ#B Ð$BÑB B &B B &B B &B

#Bœ œ ln ln#

# # #

#

Il primo addendo è un limite che si presenta nella forma e può essere facilmente calcolato __

con la “regola di De L’Hôpital” riconducendosi a

lim limBÄ_ BÄ_

"B$

#B& ÐB$ÑÐ#B&Ñ"

œ œ ! .

Anche il secondo addendo è un limite che si presenta nella forma , ma la via più semplice __

per calcolarlo è dividere per numeratore e denominatore: si trova cheB#

lim limBÄ_ BÄ_

#B #B &B "

#

# &B

œ œ # .

Dunque

lim lim limBÄ_ BÄ_ BÄ_

fÐBÑ Ð$BÑB B &B B &B

#Bœ œ ! # œ # ln

# #

#

cosicchè se esiste un asintoto sinistro esso ha pendenza . Per decidere se effettivamente esiste#un asintoto sinistro e per trovarne l’equazione resta da calcolare il


fÐBÑ #B œ #B œ ln lnÐ$BÑ#B Ð$BÑ"!BB& B&

#


Questo limite si presenta nella forma e può essere facilmente calcolato con la “regola di __

De L’Hôpital” riconducendosi a

limBÄ_

"B$ "!

" œ "!

cosicché ha effettivamente un asintoto sinistro, di equazione y x .f œ # "!

Esercizio 2

È data la funzione : definita ponendo: ‘ ‘Ä

:ÐBÑ ³ B Ð$BÑ

#Bsin .

Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la èW W fderivabile.

Soluzione

La è una funzione derivabile (e quindi continua) in base ai teoremi di compatibilità fra:derivabilità e operazioni: infatti tutte le “funzioni elementari” con le quali è “costruita” sono:derivabili. Inoltre il dominio di è ( , ) ( , ), quindi l’unica singolarità di è in: :_ ! ! _!; essa è eliminabile perché

lim lim lim limBÄ! BÄ! BÄ! BÄ!

:ÐBÑ œ œ œ

B Ð$BÑ Ð$BÑ

#B #B #BBsin sin

œ œ "" $ " $# # $B # #

Ð$BÑ

.limBÄ!

sin œ

La funzione che prolunga per continuità la è dunquef :

se se fÐBÑ ³ ÐBÑ B Á !

" B œ !œ:ed ha per dominio . Per ogni , esiste un intorno di in cui coincide con ; poiché‘ B Á ! B! ! f :(come si è già osservato) è derivabile in tutto il suo dominio, anche è certamente: fderivabile per ogni .B Á !!

Resta da verificare se è derivabile in , e a tale scopo non c’è che da calcolare il limite delf !rapporto incrementale di in :f !

lim lim lim lim2Ä! 2Ä! 2Ä! 2Ä!

f fÐ!2Ñ Ð!Ñ Ð2Ñ" $2 Ð$2Ñ2 2 2

"#2

œ œ œ .: 2 Ð$2Ñ

#2#

sin sin


Questo limite si presenta nella forma e può essere facilmente calcolato con la “regola di De!!

L’Hôpital” riconducendosi a

lim lim lim2Ä! 2Ä! 2Ä!

$$ Ð$2Ñ $Ð" Ð$2ÑÑ " Ð$2Ñ%2 %2 *2

*2 #(2Ð$2Ñ %

cos cos cosœ † œ † œ Š ‹ Œ #

œ † œ † 2 œ † † ! œ ! lim lim lim lim2Ä! 2Ä! CÄ! 2Ä!

" Ð$2Ñ " ÐCÑÐ$2Ñ C

#(2 #( " #(% % %#

cos cos# #

Dunque è derivabile anche in (e la sua derivata in vale ).f ! ! !

Esercizio 3

Calcolare, qualora esistano, i seguenti limiti:

lim limBÄ! BÄ_

a b" #B $B Ð Ð BÑ # † ÐB &ÑÑ † Ð/ "Ñ#" $B B ( ) sin ; .ln cos

Se qualcuno dei limiti proposti non esiste, si spieghi perche.´

Soluzione

Il primo limite proposto si presenta nella “forma non immediata” . Per calcolarlo,"_

utilizziamo l’identità+ œ /, ,† Ð+Ñln

che nel nostro caso diventa

a b" #B $B œ / œ /#" "B B B

# Ð"#B$B Ñ#

( ) ( ) ( )

sin sin sinlnlnÐ"#B$B Ñ

.

Siamo pertanto ricondotti a considerare

lim limBÄ! BÄ!

ln lnsin sin

Ð"#B$B Ñ Ð"#B$B Ñ†B†Ð#B$B ÑB B †B†Ð#B$B Ñ

# # #

#

( ) ( )œ œ

œ † † œ lim lim limBÄ! BÄ! BÄ!

lnsin

Ð"#B$B Ñ#B$B

B #B$BB B

#

#

# ( )

œ " † " † # œ #.

Il primo limite proposto vale pertanto ./#


Il secondo limite proposto si presenta nella “forma non immediata” : infatti il primo_ † !fattore è la somma della funzione , che tende a , e della funzione limitatalnÐ BÑ _# † ÐB &Ñcos .Per calcolarlo, conviene esprimerlo come somma di due limiti:

limBÄ_

Ð Ð BÑ # † ÐB &ÑÑ † Ð/ "Ñ œln cos$B

œ ÐÐ Ð BÑÑ † Ð/ "Ñ # † ÐB &Ñ † Ð/ "ÑÑ œ limBÄ_

ln cos$ $B B

œ Ð Ð BÑÑ † Ð/ "Ñ # † ÐB &Ñ † Ð/ "Ñ lim limBÄ_ BÄ_

ln cos$ $B B

Il secondo addendo è un limite immediato che vale (perché tende a zero mentre! / "$B

cosÐB &Ñ è una funzione limitata). Per calcolare il primo addendo, scriviamolo come

lim limBÄ_ BÄ_

Ð Ð BÑÑ † Ð/ "Ñ œ † Ð BÑ † † œln$B

$B

$B

lnÐBÑB

$B

/ "

œ Ð $Ñ † † œ Ð $Ñ † ! † " œ ! lim limBÄ_ BÄ_

lnÐBÑB

/ " $B

$B

.

Infatti si presenta nella “forma non immediata” e può essere calcolatolimBÄ_

lnÐBÑB _

_

mediante la “regola di De L’Hôpital”, mentre diventa (posto lim limBÄ_ CÄ!

/ " $ / "B C

$B

$B

C

C ³ Ñ

che è un “limite notevole” ben conosciuto.

Esercizio 4

Sia : la funzione definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ B B$ # #É a b .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of # #massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.


Soluzione

La è una funzione continua in base ai teoremi di compatibilità fra continuità e operazioni:finfatti tutte le “funzioni elementari” con le quali è “costruita” sono funzioni continue. InoltreW ‘( ) , quindi è in particolare continua nell’intervallo chiuso e limitato , ; per ilf fœ Ò # #Óteorema di Weierstrass, la restrizione di a , ha certamente minimo e massimo.f Ò # #Ó

Per il teorema di Fermat, i punti di minimo e di massimo della la restrizione di a , f Ò # #Ósono da ricercarsi fra: gli estremi dell’intervallo (punti che non sono interni al dominio); i punti interni all’intervallo in cui non è derivabile;f ! i punti interni all’intervallo in cui la derivata di vale .f

Gli estremi dell’intervallo sono e ; poiché (come tutte le funzioniB ³ # B ³ # B B" # a b# #

polinomiali) è derivabile in tutto , mentre è derivabile in , è certamente‘ ‘$ÈB Ï Ö!× fderivabile dove , cioè in , : senza indagare ulteriormente sullaa bB B Á ! Ï Ö! "×# #

‘derivabilità di in e in , aggiungiamo senz’altro e alla lista dei candidati af ! " B ³ ! B ³ "$ %

punti di massimo o minimo; infine, dobbiamo individuare i punti interni all’intervallo , Ò # #Óin cui la derivata di vale .f !

Per calcolare la derivata di conviene scrivere come ; si trova subito chef f a bB B##$

f’ÐBÑ œ B B #B " œ#$

#

a b a b"$

#Ð#B"Ñ

$† B B $ # #Éa bcosicché se e soltanto se . Pertanto è il nostro ultimo candidato af’ÐBÑ œ ! B ³ B ³" "

# # &

punto di massimo o minimo.

Il minimo della restrizione di a , (che deve esistere in base al teorema di Weierstrass)f Ò # #Óper il teorema di Fermat viene raggiunto in uno dei punti , , , e ed è quindi ilB B B B B" # $ % &

minimo fra i valori assunti da in questi cinque punti; il massimo (che pure deve esistere infbase al teorema di Weierstrass) per il teorema di Fermat viene anch’esso raggiunto in uno deipunti , , , e ed è quindi il massimo fra i valori assunti da in questi cinque punti.B B B B B" # $ % & fAvendosi

f f f f f f( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ,B œ # œ $' B œ # œ % B œ ! œ !" # $$ $È È

f f f f( ) ( ) , ( ) ( ) ,B œ " œ ! B œ œ% &" "# "'

$ É

possiamo concludere che la restrizione di a , ha minimo (raggiunto nei punti e )f Ò # #Ó ! ! "

e massimo (raggiunto nel punto ).$È$' #


COMPITO DEL 2005-04-15

Esercizio 1

All’ufficio postale centrale della capitale di Brutopia giacciono cinque pacchi che devonoessere spediti in Calisota, contrassegnati con i numeri da 1 a 5.Il peso complessivo dei pacchi è Kg. Inoltre, si hanno le seguenti informazioni:##- il peso totale dei pacchi numero 1, 2 e 3 è Kg;"!- il peso totale dei pacchi numero 1, 2 e 4 è Kg;"%- il peso totale dei pacchi numero 2, 4 e 5 è Kg;"(- il peso totale dei pacchi numero 3, 4 e 5 è Kg."&Quanto pesa il pacco contrassegnato dal numero 2 ?

Soluzione

Indicando rispettivamente con , , , e i pesi dei pacchi contrassegnati con i numeri 1, 2,B C D > A3, 4 e 5, i dati forniti individuano il sistema lineare

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

B C D > A œ ##B C D œ "!B C > œ "%C > A œ "(D > A œ "&

la cui matrice completa è Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" " " " " ##" " " ! ! "!" " ! " ! "%! " ! " " "(! ! " " " "&

.

Effettuando sulle righe le seguenti operazioni elementari E E E ;ì ³ # # "

E E E ;ì ³ $ $ "

si trasforma la matrice nella matrice equivalente

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" " " " " ##! ! ! " " "#! ! " ! " )! " ! " " "(! ! " " " "&

.

che ha un pivot nella prima riga. Effettuando sulle righe di questa nuova matrice le seguentioperazioni elementari E E E ;ì ³ % % #

E E E ;ì ³ & & #


si ottiene la matrice ridotta (equivalente alle precedenti)

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" " " " " ##! ! ! " " "#! ! " ! " )! " ! ! ! &! ! " ! ! $

.

Dunque il sistema considerato è equivalente al seguente sistema ridotto


B C D > A œ ## > A œ "# D A œ )C œ &D œ $

che si risolve per sostituzione, ottenendo dalla terza equazione che ,A œ ) D œ ) $ œ &dalla seconda che e infine dalla prima che> œ "# A œ "# & œ (

B œ ## C D > A œ ## & $ ( & œ # .

Pertanto la soluzione del sistema considerato è

.


B œ #C œ &D œ $> œ (A œ &

e il pacco contrassegnato col numero 2 pesa Kg.&

Esercizio 2


lim limBÄ! BÄ_

; . ( ) B†Ð/ "Ñ† Ð"(B Ñ ÐB Ñ B" Ð ÐBÑÑ B

&B # # %

# $

ln sin lncos sin

Soluzione

Il primo limite si presenta nella “forma non immediata” . Per calcolarlo, cerchiamo di!!

ricondurci a “limiti notevoli” che conosciamo. Si ha

limBÄ!

B†Ð/ "Ñ† Ð"(B Ñ" Ð ÐBÑÑ

&B #

#

lncos sin œ


œ œlimBÄ!

B†Ð/ "Ñ† Ð"(B Ñ† ÐBÑ†Ð(B Ñ†Ð&BÑÐ" Ð ÐBÑÑÑ† ÐBÑ†Ð(B Ñ†Ð&BÑ

&B # % #

# % #

ln sincos sin sin

œ † † † œlim lim lim limBÄ! BÄ! BÄ! BÄ!

/ " $&B&B (B " Ð ÐBÑÑ

Ð"(B Ñ Ð ÐBÑÑÐBÑ

&B %# # #

# # %

ln sincos sin sin

œ † † † $& † œ " † " † # † $& † " œ (!lim lim lim limCÄ! DÄ! >Ä! BÄ!

/ " > BC D " Ð>Ñ ÐBÑ

Ð"DÑ %C #lncos sinŠ ‹

avendo posto , e .C ³ &B D ³ (B > ³ ÐBÑ# #sin

Il secondo limite si presenta nella “forma non immediata” (infatti, poiché è__

# sinÐB Ñ

funzione limitata mentre tende a quando tende a , il limite del numeratorelnÐB Ñ _ B _%

è ). Per calcolarlo, esprimiamolo come differenza di limiti:_


( ) ( ) sin ln sin lnÐB Ñ B ÐB ÑB B B

B# % #

$ $ $

%

œ œ

œ ÐB Ñ † œ ! ! œ ! .lim limBÄ_ BÄ_

sin # "B B

B

( ) $ $

%

ln

In effetti, perché è il prodotto fra una funzione limitata e una funzionelimBÄ_

sinÐB Ñ † œ !# "B $

che tende a zero; invece, si presenta nella “forma non immediata” e puòlimBÄ_

( )

ln BB _

_%

$

essere calcolato mediante la “regola di De L’Hôpital” considerando il


( )

"B B%

$

# # $

%

%B

$B $B $B%

œ œ œ ! .

Esercizio 3

Sia : la funzione definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ #BB" B# k k k k .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of $ $massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.


Soluzione

La è una funzione continua in base ai teoremi di compatibilità fra continuità e operazioni:finfatti tutte le “funzioni elementari” con le quali è costruita sono funzioni continue. InoltreW ‘( ) (perché il denominatore non si annulla mai), quindi è inf fœ B " B #k k k kparticolare continua nell’intervallo chiuso e limitato , ; per il teorema di Weierstrass, laÒ $ $Órestrizione di a , ha certamente minimo e massimo.f f" Ò $ $ÓPer il teorema di Fermat, i punti di minimo e di massimo sono da ricercarsi fra:

gli estremi dell’intervallo (punti che non sono interni al dominio); i punti interni all’intervallo in cui non è derivabile;f " ! i punti interni all’intervallo in cui la derivata di vale .f"Gli estremi dell’intervallo sono e ; poiché è derivabile in eB ³ $ B ³ $ B " Ï Ö"×" # k k ‘k kB # Ï Ö#× è derivabile in mentre tutte le altre funzioni coinvolte nella “costruzione” di ‘ fsono derivabili ovunque, è certamente derivabile in , : senza indagaref" ‘ Ï Ö" #×ulteriormente sulla derivabilità di in e in , aggiungiamo senz’altro e allaf" $ %" # B ³ " B ³ #lista dei candidati a punti di massimo o minimo; infine, dobbiamo individuare i punti interniall’intervallo , in cui la derivata di vale .Ò $ $Ó !f"Si ha

f"ÐBÑ œ

$ Ÿ B Ÿ "

#B " B #

# Ÿ B Ÿ $

ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ

#B$#B

#B#B$

per

per

per

cosicché

f’"ÐBÑ œ

$ Ÿ B Ÿ "

#B " B #

# Ÿ B Ÿ $

ÚÝÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÝÜ

#Ð$#BÑ#BÐ#Ñ

$#B

#Ð#B$Ñ#BÐ#Ñ

#B$

a b

a b

#

#

per

per

per

ossia

f’"ÐBÑ œ

$ Ÿ B Ÿ "

#B " B #

# Ÿ B Ÿ $

ÚÝÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÝÜ

'$#B

'#B$

a b

a b

#

#

per

per

per

e dunque la derivata di non vale mai .f" !


Essendo ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ef f f f f f" " " " # " " $ "B œ $ œ B œ $ œ # B œ " œ ##$

f f f" % " "( ) ( ) , possiamo concludere che la ha minimo (raggiunto in ) eB œ # œ % $#$

massimo (raggiunto in ).% #

Esercizio 4

Si calcoli, qualora esista, una primitiva di ( ) in ( , ).ln ln cosÐ Ð ÐBÑÑÑ † B !tg 1#

Se una tale primitiva non esiste, si spieghi perché.

Soluzione

Procedendo per sostituzione, poniamo e scriviamo> ³ ÐBÑcos

d d> œ ÐBÑ Bsin

da cui ( ) d . Ci si riconduce così al calcolo ditg B B œ d>>

>Þ' ln lnÐ Ð>ÑÑ>

d

Procedendo per parti, si trova che

' ' 'ln lnln

Ð Ð>ÑÑ> > Ð>Ñ >

" " "d d d> œ Ð Ð>ÑÑ † > œ Ð Ð>ÑÑ † Ð>Ñ † † Ð>Ñ B œÆ

Åln ln ln ln ln ln

œ Ð Ð>ÑÑ † Ð>Ñ > œ Ð Ð>ÑÑ † Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð>Ñ † Ð Ð Ð>ÑÑ "Ñln ln ln ln ln ln ln ln ln ln' "> d

e dunque una primitiva per ( ) in ( , ) èln ln cosÐ Ð ÐBÑÑÑ † B !tg 1#

ln cos ln ln cosÐ ÐBÑÑ † Ð" Ð Ð ÐBÑÑÑÑ Þ

Una sostituzione più efficace, ma meno intuitiva, sarebbe stata dallaC ³ Ð ÐBÑÑln cosquale si sarebbe ottenuto d d riconducendo così il problema al calcolo diC œ ÐBÑ Btg ' lnÐ>Ñ >Þd

Questo è un calcolo che si è visto a lezione e si effettua procedendo per parti:

' ' 'ln ln lnÐBÑ B œ ÐBÑ † " B œ B ÐBÑ B † B œÆ

Åd d d"

B

œ B ÐBÑ " B œ B ÐBÑ B œ B † Ð ÐBÑ "Ñln ln ln' d

cosicché si trova nuovamente che una primitiva per ( ) in ( , ) èln ln cosÐ Ð ÐBÑÑÑ † B !tg 1#

ln cos ln ln cosÐ ÐBÑÑ † Ð" Ð Ð ÐBÑÑÑÑ Þ



Esercizio 1

Si dica per quali valori del parametro reale k il seguente sistema lineare nelle incognite , , ,B C D> A, ha soluzione, specificando al variare di k le eventuali incognite libere :

ÚÝÝÛÝÝÜB #C > œ "#C > A œ "#B $C 5D > A œ !

&B *C 5 D %> A œ 5 ## #

Soluzione

La matrice completa del sistema è:

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" # ! " ! "! # ! " " "# $ 5 " " !

& * 5 % " 5 #

Þ

# #

Effettuando sulle righe le seguenti operazioni elementari

E E E ;ì ³ # †$ $ "

E E E ;ì ³ & †% % "

E E E ;ì ³ $ $ #

E E E ;ì ³ % % #

E E E ;ì ³ % % $

si trasforma la matrice nella


" # ! " ! "! # ! " " "! " 5 ! ! $

! ! 5 5 ! ! 5 "# #

dove (se ) sono ridotte sia la matrice completa che la matrice incompleta (ed hanno5 Á !ß "entrambe rango ). Se si trova% 5 œ !


" # ! " ! "! # ! " " "! " ! ! ! $! ! ! ! ! "


(dove la matrice incompleta ha rango e la matrice completa ha rango ). Se si trova$ % 5 œ "


" # ! " ! "! # ! " " "! " " ! ! $! ! ! ! ! !

Þ

(dove la matrice incompleta e la matrice completa hanno entrambe rango ).$

Pertanto: 5 Á !ß "se il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da una incognita libera; 5 œ !se il sistema è impossibile; 5 œ "se il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da due incognite libere.

Esercizio 2

È data la funzione : definita ponendo: ‘ ‘Ä

:ÐBÑ ³ B † Ð" BÑ †ln cosŠ ‹"B .

Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, se è derivabile in tutti i puntiD finterni a .D

Soluzione

La è una funzione derivabile (e quindi continua) in base ai teoremi di compatibilità fra:derivabilità e operazioni: infatti tutte le “funzioni elementari” con le quali è “costruita” sono:derivabili. Inoltre il dominio di è , , , quindi presenta una singolarità in e: :Ð _ !Ñ Ð! "Ñ !una singolarità in ."La prima è eliminabile ponendo

:( )! ³ !perché

limBÄ!

:ÐBÑ œ !

dato chelimBÄ!

B † Ð" BÑ œ ! † Ð"Ñ œ ! † ! œ !ln ln

e è limitata in un intorno di .cosŠ ‹"B !


La seconda singolarità invece non è eliminabile, perché

limBÄ"

:ÐBÑ œ _

dato chelimBÄ"

lnÐ" BÑ œ _

e

limBÄ"

B † œ Ð Ñ ! Þcos cosŠ ‹"B "

La funzione che prolunga per continuità ha per dominio , e risulta così definita:f : Ð _ "Ñ

se ( ) se fÐBÑ ³ ! B œ !B B Á !œ:

Per ogni , , esiste un intorno di in cui coincide con ; poiche ´B − Ð _ !Ñ Ð! "Ñ B! ! f : :(come si è già osservato) è derivabile in tutto il suo dominio, anche è certamente derivabilefper ogni , , . Resta da verificare se sia derivabile in , e a tale scopoB − Ð _ !Ñ Ð! "Ñ !! fdobbiamo considerare il rapporto incrementale di in .f !

Si ha

lim lim lim2Ä! 2Ä! 2Ä!

( ( ) ( ( ) f f!2Ñ ! 2Ñ!2 2 2

2† "2œ œ œ

: ln cos† Š ‹"2

œ Ð" 2Ñ † œ ! lim2Ä!

ln cosŠ ‹"2

perché lim

2Ä!ln lnÐ" 2Ñ œ Ð"Ñ œ !

e è limitata in un intorno di .cosŠ ‹"2 !

Pertanto risulta derivabile anche in , e dunque in tutto l’interno del suo dominio.f "

Esercizio 3

Sia : la funzione definita ponendof ‘ ‘ÄfÐBÑ ³ / B † ÐBÑln# .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of ! /massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.


Soluzione

La è una funzione continua in base ai teoremi di compatibilità fra continuità e operazioni:finfatti tutte le “funzioni elementari” con le quali è “costruita” sono funzioni continue. Tuttaviaf non è “continua nell’intervallo [ , ]” (non essendo definita in ); non possiamo quindi! / !applicare a il teorema di Weierstrass per affermare immediatamente l’esistenza del minimo efdel massimo.D’altro lato, è prolungabile per continuità in : infattif !

lim limBÄ! BÄ!

B † ÐBÑ œln# ln#

"ÐBÑ

B

e questo nuovo limite si presenta nella “forma non immediata” che possiamo affrontare __

con la “regola di De L’Hôpital”. Siamo cioè ricondotti a considerare il

lim limBÄ! BÄ!

#† ÐBÑ†B #† ÐBÑB B

ln ln"

# "œ

e da questo ancora illim lim limBÄ! BÄ! BÄ!

#†B #B B

"

# "œ œ # † B œ ! Þ

Se ne conclude che

lim limBÄ! BÄ!

e infine che .B † ÐBÑ œ ! ÐBÑ œ /ln# f

Conviene dunque studiare la funzione che prolunga per continuità in . Alla possiamof f f" "!applicare il teorema di Weierstrass per concludere che essa ha certamente minimo e massimonell’intervallo [ , ]. Se il minimo (o il massimo) di risulterà raggiunto solo in ,! / !f"concluderemo che nell’intervallo [ , ] non ha minimo (o, rispettivamente, non ha massimo).f ! /In qualsiasi altro caso, il minimo e il massimo di nell’intervallo [ , ] coincideranno colf ! /minimo e il massimo di .f"

Si ha

se se ( , ]f"ÐBÑ ³

/ B œ !

/ B † ÐBÑ B − ! /œ ln#

In ( , ) la derivata di è! / f"f’"ÐBÑ œ ÐBÑ # † ÐBÑ œ ÐBÑÐ ÐBÑ #ÑÞln ln ln ln#

Per il teorema di Fermat, i punti di minimo e di massimo per sono da ricercarsi fra:f" gli estremi dell’intervallo (punti che non sono interni al dominio);

i punti interni all’intervallo in cui non è derivabile;f

! i punti interni all’intervallo in cui la derivata di vale .f


Gli estremi dell’intervallo sono e ; è derivabile ovunque in base ai teoremi diB ³ ! B ³ /" # fcompatibilità fra continuità e operazioni (infatti tutte le “funzioni elementari” con le quali èf“costruita” sono derivabili in tutto il loro dominio); e si ha quando ef’

"ÐBÑ œ ! ÐBÑ œ !lnquando , cioè per e per .lnÐBÑ # œ ! B ³ " B ³ /$ %

#

Avendosi ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ,f f f f f f" " " " # " " $ "B œ ! œ / B œ / œ ! B œ " œ /f f f" % " "( ) ( ) , possiamo stabilire che la ha minimo (raggiunto nel punto )B œ / œ / ! /# %

/ #

e massimo (raggiunto nei punti e ). Ne concludiamo che anche la ha minimo / ! " !f(raggiunto nel punto ) e massimo (raggiunto nel punto )./ / "

Esercizio 4

Calcolare, qualora esista, il seguente integrale:

'"/ 1

1/ | | sin lnÐ ÐBÑ Ñ

B dB

Se l’integrale proposto non esiste, si spieghi perche.´

SoluzioneLa funzione integranda è continua nell’intervallo [ , , pertanto l’integrale proposto"

/ 1 / Ó1

certamente esiste.Si ha

' ' '" "/ / 1 1

1 1/ /Ð ÐBÑ Ñ Ð ÐBÑ Ñ Ð ÐBÑ ÑB B B

| | | | | | sin ln sin ln sin lnd d d B œ B B œ

"

"

œ B B œ B B d d d d' ' ' '" "/ / 1 1

1 1" "

" "

sin ln sin ln sin ln sin lnÐ ÐBÑÑ Ð ÐBÑÑ Ð ÐBÑÑ Ð ÐBÑÑB B B B

/ /

(ricordando che è una funzione dispari!).sinProcedendo “per sostituzione” (ponendo e quindi ricavando che d d ) siC ³ ÐBÑ C œ Bln "

B trova subito che una primitiva di è . sin lnÐ ÐBÑÑ

B Ð ÐBÑÑcos lnApplicando il corollario del teorema fondamentale del calcolo si trova che

'"

/Ð ÐBÑÑB

1

sin ln dB œ Ò Ð ÐBÑÑÓ œcos ln /

"

1

œ Ð Ð/ ÑÑ Ð Ð Ð"ÑÑÑ œ Ð Ñ Ð!Ñ œ Ð "Ñ " œ #cos ln cos ln cos cos1 1

e analogamente


'"/ 1

" sin lnÐ ÐBÑÑ

B dB œ Ò Ð ÐBÑÑÓ œcos ln "

/1

œ Ð Ð"ÑÑ Ð Ð Ð/ ÑÑÑ œ Ð!Ñ Ð Ñ œ " Ð "Ñ œ #cos ln cos ln cos cos1 1

cosicché l’integrale richiesto vale .# Ð #Ñ œ %


Esercizio 1

Nell’insieme , , , , , , , i consideri la relazione di ordine così definita:A ³ Ö+ , - 2 5 A B C× = £

+ £ + + £ , + £ 2 + £ 5 + £ A + £ B + £ C , £ , , £ 2; ; ; ; ; ; ; ; ;, £ 5 , £ A , £ B , £ C - £ , - £ - - £ 2 - £ 5 - £ A; ; ; ; ; ; ; ; ;- £ B - £ C à 2 £ 2 2 £ 5 2 £ A 5 £ 5 A £ A B £ 2 B £ 5; ; ; ; ; ; ; ;B £ A B £ B C £ 2 C £ 5 C £ A C £ C; ; ; ; ; .

( è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine).Non £

Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in .£ totale A

Posto inoltre

B ³ ÖB C×, si dica (motivando la risposta)

se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B

se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B A

se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B

se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B A

Soluzione

Osserviamo che e . Ne possiamo immediatamente dedurre cheB £y C C £y B

£ B C è una relazione di ordine in (infatti e non sono confrontabili);non Atotale ha minimo;B non ha massimo.B non


L’insieme delle limitazioni inferiori di in è , , . Il massimo di è (perchéB A L L3 3³ Ö+ , -× ,+ £ , , £ , - £ ,, e ), dunque

, ha estremo inferiore in , e tale estremo inferiore è .B A

L’insieme delle limitazioni superiori di in è , , . Il minimo di è (perchéB A L Ls s³ Ö2 5 A× 22 £ 2 2 £ 5 2 £ A, e ), dunque

2 ha estremo superiore in , e tale estremo superiore è .B A

Esercizio 2

Fra tutti i trapezi isosceli in cui sia la base minore che il lato obliquo hanno misura "determinare quelli di area massima.

Soluzione

Indichiamo con la misura in radianti dell’angolo acuto individuato dalla base maggiore e dalBlato obliquo. Allora l’altezza del trapezio misura , mentre la proiezione del lato obliquosinÐBÑsulla base maggiore misura . La misura della base maggiore risulta dunquecosÐBÑ" # † ÐBÑcos , e possiamo esprimere come segue l’area del trapezio:

TÐBÑ œ œ ÐBÑ ÐBÑ † ÐBÑ Þ Ð##† ÐBÑÑ† ÐBÑ

#cos sin sin sin cos

Poiché , stiamo cercando il massimo della funzione nell’intervallo , .! Ÿ B Ÿ Ò! Ó 1 1# #T

Osserviamo che è derivabile (e quindi continua) in tutto per i teoremi di compatibilità fraT ‘derivabilità e operazioni: infatti essa è somma di prodotti di funzioni trigonometriche, chesappiamo essere derivabili in tutto . Per il teorema di Weierstrass, allora, possiamo già‘affermare che il massimo di nell’intervallo , certamente esiste. Per il teorema diT Ò! Ó 1

#

Fermat, i punti di massimo sono da ricercarsi fra: B ³ ! B ³gli estremi dell’intervallo (punti che non sono interni al dominio), cioè e ;" #

1#

i punti interni all’intervallo in cui non è derivabile (non ce ne sono, come si è osservato);T !i punti interni all’intervallo in cui è derivabile e la sua derivata vale .T

La derivata di èT

T’ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ Ð" ÐBÑÑ œcos cos sin cos cos cos# # # #

œ # † ÐBÑ ÐBÑ " œ # † ÐBÑ " † ÐBÑ cos cos cos cos# ( ) ( )"#e dunque vale quando (impossibile per , ) e quando ! ÐBÑ œ " B − Ò! Ó ÐBÑ œcos cos 1

# #"

(cioè per , dovendo essere , ).B ³ B − Ò! Ó$ 1 1$ #

Avendosi ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , possiamoT T T T T TB œ ! œ ! B œ œ " B œ œ" # $ 1 1# $ %

$† $Èconcludere che l’area massima è e si ottiene per . $† $

% $

ÈB ³ 1


Esercizio 3


lim limBÄ! BÄ$

; . ( ) ( )

È È/ # $Ð" ÐBÑÑ

B $

B *B #(B#(

B

$ #lnsin sin

tg

Soluzione

Il primo limite proposto si presenta nella “forma non immediata” . Per calcolarlo, scriviamo!!

lim limBÄ! BÄ!

È È ÈÈ È ÈÈ È/ # $ / # $ / # $Ð" ÐBÑÑ Ð" ÐBÑÑ ÐBÑ/ # $

ÐBÑB B B

Bln lntg tg tgtg

œ œ† †

œ † œlimBÄ!

"/ # $

ÐBÑÐ" ÐBÑÑ ÐBÑ

/ # $ † / # $

È ÈŠ ‹ Š ‹È ÈÈ È

B

B B

tg

tg tgln †

œ † † ÞŒ Œ Œ lim lim limBÄ! BÄ! BÄ!

"/ # $

ÐBÑÐ" ÐBÑÑ ÐBÑ

/ "

È ÈB

B

tg

tg tgln

Si ha

limBÄ!

" " "/ # $ / # $ #† $

$'

È È ÈÈ È ÈB !

œ œ œ

e

limBÄ!

tgtgÐBÑ

Ð" ÐBÑÑ ln œ "

(ponendo e ricordando il “limite notevole” ) .C ³ ÐBÑ œ "tg limBÄ!

lnÐ"CÑC

Per calcolare

limBÄ!

/ "ÐBÑ

B

tg

(che si presenta ancora nella “forma non immediata” ) si può utilizzare la “regola di De !!

L’Hôpital” oppure continuare a ricondursi ai “limiti notevoli” conosciuti. Si ha infatti

lim lim limBÄ! BÄ! BÄ!

/ " / " B / " BÐBÑ ÐBÑ B B ÐBÑ

B B B

tg tg tgœ † œ † œ

œ † œ " † " œ "Œ Š ‹lim limBÄ! BÄ!

/ " BB ÐBÑ

B

tg

In conclusione, il primo limite proposto vale . È È$ $' '† " † " œ


Anche il secondo limite proposto si presenta nella “forma non immediata” . Per calcolarlo,!!

utilizziamo la “regola di De L’Hôpital” e consideriamo il

lim limBÄ$ BÄ$

.cos cos( ) ( )

B B

$†B ")B#( $† B$# #œ a b

Questo nuovo limite è una “forma immediata”, perché il numeratore tende al numero realenegativo , mentre il denominatore tende a mantenendosi positivo: il limite dunquecosÐ$Ñ !vale , e per la “regola di De L’Hôpital” anche il limite proposto vale ._ _

Esercizio 4

Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata da:

il semiasse positivo delle ascisse;

il semiasse positivo delle ordinate;

il grafico della restrizione a , della funzione ( ) ( ) . Ò! Ó B ³ / † $B 1' h

B# cos

Soluzione

Poiché in , è ( ) (e quindi ( ) ), si tratta di calcolareÒ! Ó $B ! B ! 1' cos h

' '! !

1 1' ' B

#hÐBÑ B / † $B Bd , cioè ( )d .cos

Come al solito, cerchiamo una primitiva per e applichiamo il corollario delP hÐBÑ ÐBÑ“teorema fondamentale del calcolo”. Procedendo “per parti”, si osservi che deve essere

PÐBÑ œ / † $B B œ Ð$BÑ † / / † $B B œÆ Æ

Å Å' ' B B B# # #cos sin sin( )d ( )d" "

$ '

œ Ð$BÑ † / † Ð$BÑ † / / † $B B œ" " " "$ ' $ ' sin cos cos

B B B# # #Œ ' ( )d

œ Ð$BÑ † / Ð$BÑ † / / † $B B œ" " "$ ") $' sin cos cos

B B B# # #' ( )d

œ Ð$BÑ † / Ð$BÑ † / ÐBÑ - B" " "$ ") $' sin cos

B B# # a bP

"d

con costante, da cui-"

$( " " "$' $ ") $' PÐBÑ œ / † Ð$BÑ Ð$BÑ -

B# ˆ ‰sin cos

"


e infine, indicando con la costante ,- -"$( "

PÐBÑ œ / † Ð$BÑ Ð$BÑ - B# ˆ ‰"# #

$( $( sin cos .

Per il corollario del “teorema fondamentale del calcolo”, l’integrale cercato è dato da

P PÐ Ñ Ð!Ñ œ / † Ð Ñ Ð Ñ / † Ð!Ñ Ð!Ñ œ

1 1 1' $( # $( # $( $(

"# # "# #1

"# ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹sin cos sin cos!

œ / † œ Þ1

1

"#

"#

"# #$( $(

#† '†/ "

$(

Œ


Esercizio 1Nell’insieme dei numeri razionali, si consideri la relazione di ordine così definita: £se , , se e soltanto se con , .+ , − + £ , + œ ,; ; − ! Ÿ ; Ÿ " Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in , precisando in caso£ affermativo se si tratta di una relazione di ordine totale.Posto inoltre { , , }B ³ ! $ #

% $ qualora sia una relazione di ordine in si dica (motivando la risposta)£ se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B

SoluzionePer decidere se è una relazione di ordine in , dobbiamo controllare se è riflessiva,£ simmetria e transitiva.La è riflessiva, cioè per ogni si ha ; infatti, per ogni si ha .£ + − + £ + + − + œ + † " La è antisimmetrica, cioè comunque presi , se e deve essere ;£ + , − + £ , , £ + + œ ,infatti, se e con , , , , si trova che+ œ ,; , œ +; ; ; − ! Ÿ ; ; Ÿ "" # " # " #+ œ +; ; œ +Ð; ; Ñ ; ; œ " ; œ ; ! Ÿ ; Ÿ "( ) e quindi ossia : ma poiché e# " # " # " # ""

"

! Ÿ ; Ÿ " ; œ ; œ " + œ ,# " #, deve essere e quindi .Infine, la è transitiva, cioè comunque presi , , se e allora ;£ + , - − + £ , , £ - + £ ,infatti, se e con , , , , si trova che+ œ ,; , œ -; ; ; − ! Ÿ ; ; Ÿ "" # " # " #+ œ -; ; - ; ; ; ; − ! Ÿ ; ; Ÿ "( ) = ( ) con , , come si voleva.# " # " # " " "


Dunque la è una relazione di ordine in ; non è però una relazione di ordine totale, perché£ se e sono discordi (cioè non hanno lo stesso segno) non può essere né né .+ , + £ , , £ +Osserviamo inoltre che è il minimo di rispetto alla relazione : infatti (ossia! £ ! œ + † !! £ + + −) per ogni .Per quanto fin qui osservato si ricava subito che: , in quanto minimo di , è anche il minimo! (e quindi l’estremo inferiore) di ; nessun elemento di è confrontabile sia con cheB $

% con , cosicché non ha limitazioni superiori (e pertanto non ha né massimo né #

$ B Bestremo superiore).

Esercizio 2


lim limBÄ! BÄ_

; . ( ) ( ) Ð/ "Ñ† Ð"#BÑ" Ð ÐBÑÑ B

B B(B #lncos sin

ln cos

Se qualcuno dei limiti proposti non esiste, si spieghi perché.

Soluzione

Il primo limite si presenta nella “forma non immediata” . Per calcolarlo, cerchiamo di!!

ricondurci a “limiti notevoli” che conosciamo. Si ha

limBÄ!

Ð/ "Ñ† Ð"#BÑ" Ð ÐBÑÑ

(B lncos sin œ

œ œlimBÄ!

Ð/ "Ñ† Ð"#BÑ† ÐBÑ†Ð(BÑ†Ð#BÑÐ" Ð ÐBÑÑÑ† ÐBÑ†Ð(BÑ†Ð#BÑ

(B #

#

ln sincos sin sin

œ † † † œlim lim lim limBÄ! BÄ! BÄ! BÄ!

/ " "%B(B #B " Ð ÐBÑÑ ÐBÑ

Ð"#BÑ ÐBÑ(B ##

#

ln sincos sin sin

œ † † † "% † œ " † " † # † "% † " œ #)lim lim lim limCÄ! DÄ! >Ä! BÄ!

/ " > BC D " Ð>Ñ ÐBÑ

Ð"DÑ #C #lncos sinŠ ‹

avendo posto , e .C ³ (B D ³ #B > ³ ÐBÑsin


Il secondo limite si presenta nella “forma non immediata” (infatti, poiché è__ cosÐBÑ

funzione limitata mentre tende a quando tende a , il limite del numeratorelnÐB Ñ _ B _#

è ). Per calcolarlo, esprimiamolo come differenza di limiti:_


( ) ( ) ( ) ln cos ln cosB B BB B B

ÐBÑ# #

œ œ

œ ÐBÑ † œ ! ! œ ! .lim limBÄ_ BÄ_

( )

ln BB B

"#

cos

In effetti, perché è il prodotto fra una funzione limitata e una funzionelimBÄ_

cosÐBÑ † œ !"B

che tende a zero; invece, si presenta nella “forma non immediata” e puòlimBÄ_

( )

ln BB _

_#

essere calcolato mediante la “regola di De L’Hôpital” considerando il


( )

"B#

#

#B

" B B#B #

œ œ œ ! .

Esercizio 3Fra tutti i cilindri di volume , descrivere quelli la cui superficie totale è minima.#&!1

SoluzioneSiano rispettivamente e il raggio di base e l’altezza del generico cilindro; allora il volume< 2è , la superficie di base è , la superficie laterale è e la superficie totale è1 1 1< 2 < # <2# #

# < # <21 1# .La condizione che il volume del cilindro sia ci consente di esprimere (e quindi la#&! 21superficie totale ) in funzione di :f < 1 1< 2 œ #&!#

2 œ #&!<#

.f 1 1 1Ð<Ñ œ # < # < œ # < # ##&! &!!< <

#

1

Poiché , stiamo cercando il massimo della funzione nell’intervallo , . La< ! Ð! _Ñfderivata di èf

f 1’Ð<Ñ œ % < œ &!!< <

% Ð< "#&Ñ1 1#

$

.

Ricordando che , si trova che se e soltanto se , cioè se e soltanto< ! Ð<Ñ ! < "#& !f’ $

se . Pertanto è decrescente in , ] ed è crescente in [ , ; ne< "#& œ & Ð<Ñ Ð! & & _Ñ$È f

possiamo dedurre che la superficie totale è minima quando il raggio vale .< &


Esercizio 4Sono date le funzioni , .f gÐBÑ ³ ÐBÑ ³ B

#!BB " #

$

Si calcoli l’area della porzione finita di piano delimitata dai grafici di e .f g

SoluzioneI grafici di e si incontrano nei punti la cui ascissa verifica la condizionef g B

#!BB " # œ B$

ossia#!B œ B B& $

cioè! œ BÐB B #!Ñ œ BÐB &ÑÐB %Ñ œ BÐB &ÑÐB #ÑÐB #Ñ% # # # # .

Poiché per ogni numero reale , deve essere , oppure .B & & B B œ ! B œ # B œ ##

Dunque i grafici di e si incontrano nei punti ( , ), ( , ) ef g A O´ # ) ´ ! !B ´ # )( , ) .

Vale la pena di notare che le funzioni e sono entrambe dispari, cosicché i loro grafici sonof gsimmetrici rispetto all’origine. La porzione finita di piano da essi delimitata tra i punti e èA Odunque congruente a quella da essi delimitata tra i punti e (perché le due porzioni diO Bpiano si corrispondono nella simmetria centrale che ha per centro l’origine), e sarà sufficientecalcolare l’area di quest’ultima.

Nell’intervallo [ , ] è ( ) ( ) (basta verificarlo per, ad esempio , dato che e ! # B B B ³ "f g f gsono funzioni continue e i loro grafici si incontrano soltanto agli estremi dell’intervallo);pertanto l’area della porzione di piano delimitata dai grafici di e in [ , ] è data daf g ! #

' ' 'a b! ! !

# # #

f g f g( ) ( ) d ( ) d ( ) dB B B œ B B B B

Calcoliamo questi due integrali cercando una primitiva di e una primitiva di ed applicandof gil corollario del teorema fondamentale del calcolo.

Per trovare dx , conviene operare “per sostituzione” ponendo da cui' #!BB " # C ³ B "#

dy dx, cosicché siamo ricondotti a determinare dy ossia dy .œ #B "!' ' "! "C C

Poiché sappiamo che una primitiva di è , possiamo concludere che una primitiva di "C lnÐ C Ñk k f

è (osserviamo esplicitamente che perché per"! † ÐB "Ñ B " œ B " B " "ln # # # #k kogni ).B − ‘

È poi immediato che una primitiva di è .B B$ %"%


Applicando il corollario del teorema fondamentale del calcolo, si trova che

' '! !

# #

# # # f( ) d dB B œ B œ Ò"! † ÐB "ÑÓ œ "! † Ð# "Ñ "! † Ð! "Ñ œ#!BB " # ln ln ln#

!

œ "! † Ð&Ñ "! † Ð"Ñ œ "! † Ð&Ñln ln lne che

' '! !

# #

$ % % %" " "% % % g( ) d dB B œ B B œ Ò B Ó œ # ! œ %

#

!

cosicché

' a b!

#

f g( ) ( ) dB B B œ "! † Ð&Ñ %ln

e l’area richiesta vale .#! † Ð&Ñ )ln


Esercizio 1Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z5ha soluzione, specificando al variare di le eventuali incognite libere :5

x y zx y z

x y zx y z

ÚÝÝÛÝÝÜ5 Ð# 5Ñ œ 5 #Ð5 #Ñ # œ $ œ $

# # Ð5 %Ñ œ ( 5

Soluzione

La matrice completa del sistema è:


5 " # 5 5 #5 # " # $" " " $# # 5 % ( 5


Effettuando sulle righe le seguenti operazioni elementari

E E E ;ì ³ # # "

E E E ;ì ³ $ $ "

E E E ;ì ³ #% % "

si trasforma la matrice nella


5 " # 5 5 ##5 # ! % 5 5 "5 " ! $ 5 5 "# #5 ! $5 ) $ $5

che presenta un nella prima riga. Con le ulteriori operazioni elementaripivot

E E E ;ì ³ $ $ #"#

E E E ;ì ³ % % #

si trasforma la nuova matrice nella


5 " # 5 5 ##5 # ! % 5 5 "

! ! "

! ! #5 % # #5

5 5"# #

che (se , cioè se ) presenta un pivot anche nella seconda riga. Infine, con#5 # Á ! 5 Á "

E E E ;ì ³ %% % $

si trasforma quest’utima matrice nella


5 " # 5 5 ##5 # ! % 5 5 "

! ! "

! ! ! !

5 5"# #

che si riduce semplicemente sopprimendo l’ultima riga.

Se e (cioè se , ) sono ridotte sia la matrice completa che la#5 # Á ! " Á ! 5 Á " # 5#

matrice incompleta (ed hanno entrambe rango ). Se si trova$ 5 œ #

Î ÑÏ Ò

# " ! %# ! # "

! ! ! "#


(dove la matrice incompleta ha rango e la matrice completa ha rango ). Se si trova# $ 5 œ "

Î ÑÏ Ò

" " " $! ! $ !

! ! !"#

che non è ridotta. Con l’operazione elementare

E E E ;ì ³ $ $ #"'

si ottiene la

Î ÑÏ Ò

" " " $! ! $ !! ! ! !

che si riduce semplicemente sopprimendo l’ultima riga; in essa matrice incompleta e matricecompleta hanno entrambe rango 2.

Pertanto: 5 Á " #se , il sistema ha esattamente una soluzione; 5 œ "se il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da una incognita libera; 5 œ #se il sistema è impossibile.

Esercizio 2Sia la funzione definita da .f f ln‘ ‘Ä ÐBÑ ³ * B *a bk k#

Si determini il dominio di e si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallof fÒ" &Ó, ammette minimo e/o massimo. Nel caso che la risposta a quest’ultima domanda sia(anche soltanto in parte) affermativa, si determinino tutti i punti in cui tale minimo e/o talemassimo vengono raggiunti.

Soluzione

La è una funzione continua in base ai teoremi di compatibilità fra continuità e operazioni:finfatti tutte le “funzioni elementari” con le quali è “costruita” sono funzioni continue. InoltreW ‘ ‘( ) (perché e dunque per ogni ), quindi è inf fœ B * ! * B * ! B −k k k k# #

particolare continua nell’intervallo chiuso e limitato , ; per il teorema di Weierstrass, laÒ" &Órestrizione di a , ha certamente minimo e massimo.f Ò" &Ó


Per il teorema di Fermat, i punti di minimo e di massimo della la restrizione di a , sonof Ò" &Óda ricercarsi fra:

gli estremi dell’intervallo (punti che non sono interni al dominio);

i punti interni all’intervallo in cui non è derivabile;f

! i punti interni all’intervallo in cui la derivata di vale .f

Gli estremi dell’intervallo sono e ; poiché (come tutte le funzioniB ³ " B ³ & B *" ##

polinomiali) e sono derivabili in tutto il loro dominio, mentre è derivabile in ,lnÐBÑ B Ï Ö!×k k ‘f è certamente derivabile dove , cioè in , : senza indagareB * Á ! Ï Ö $ $×# ‘ulteriormente sulla derivabilità di in e in , aggiungiamo senz’altro allaf $ $ B ³ $$

lista dei candidati a punti di massimo o minimo (invece non appartiene all’intervallo $Ò" &Ó Ò" &Ó, ) ; infine, dobbiamo individuare i punti interni all’intervallo , in cui la derivatadi vale .f !

Poiché

se oppure

se k k

ÚÛÜB * œ

B * B $ B $

* B $ Ÿ B Ÿ $

#

#

#

la nostra funzione si può scrivere come

in , f"ÐBÑ œ Ð") B Ñ Ò" $Óln #

e come

in , .f#ÐBÑ œ ÐB Ñ œ # † ÐBÑ Ò$ &Óln ln#

Avendosif f’ ’# #ÐBÑ œ ÐBÑ œ

#B #")B B # e

si trova che è l’unico punto interno all’intervallo , in cui la derivata della nostraB ³ ! Ò" &Ó%

funzione è zero.

Poiché, come abbiamo già osservato, per il teorema di Weierstrass certamente f ha minimo emassimo in , , questi (per il teorema di Fermat) devono rispettivamente coincidere con ilÒ" &Óminimo e il massimo fra ( ), ( ), ( ) e ( ) . Avendosif f f fB B B B" # $ %

f f f f f f f f( ) , ( ) , ( ) e ( ) ,B B B B" " # # $ " % "œ " œ Ð"(Ñ œ & œ Ð#&Ñ œ $ œ Ð*Ñ œ ! œ Ð")Ñ( ) ( ) ( ) ( )ln ln ln ln

possiamo concludere che la restrizione di all’intervallo , ha minimo (raggiuntof Ò" &Ó Ð*Ñlnin ) e massimo (raggiunto in ).$ Ð#&Ñ &ln


Esercizio 3

Sia la funzione che prolunga per continuità in la , e siagÐBÑ ! " ÐBÑ

Bcos

#

f gÐBÑ œ Ð>Ñ >: d .'!

B

Si dica, motivando la risposta, in quali intervalli risulta crescente e in quali intervalli risultaf fdecrescente; si dica poi, sempre motivando la risposta, se è convessa (oppure se è concava)fnell’intervallo [ , ] .% '

SoluzioneLa funzione ( ) è continua in per i teoremi di compatibilità fra continuità eg B Ï Ö!×‘operazioni, ed è continua in per come è definita; dunque è continua in . Per il “teorema! g ‘fondamentale del calcolo”, di conseguenza, è derivabile in tutto e la sua derivata in èf ‘ Bg g f( ). Poiché ( ) per ogni , ( ) e dunque è crescente in tutto .B B Ÿ " B − B !cos ‘ ‘Per decidere se è convessa o concava nell’intervallo [ , ] bisogna studiare il segno in talef % 'intervallo della derivata seconda di , ossia della derivata di ; essa valef g

g’ÐBÑ œ

B † ÐBÑ#BÐ" ÐBÑÑ

B

#

%

sin cos .

Sappiamo che , e per ogni . Inoltre, in [ , ] è" ÐBÑ ! B ! B ! B − % 'cos # % ‘B ! ÐBÑ ! ÐBÑ œ ÐBÑ Ÿ ! % ' e , dunque in [ , ] . Possiamo pertanto concluderesin f g’’ ’

che in [ , ] la risulta concava.% ' f

Esercizio 4Calcolare, qualora esista,

'"

$

¸ ¸ˆ ‰ln B##B dB

SoluzionePoiché se e soltanto se (cioè se e soltanto se ), si haln ˆ ‰ B B

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Per calcolare questi integrali, conviene trovare una primitiva di ed applicare il ln ˆ ‰ B##B

corollario del teorema fondamentale del calcolo.


Procedendo “per parti”, si ha

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Pertanto,

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Tracce di soluzione · scuola modello”, scritta probabilmente da Guido Martina e uscita sul...

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