Universita degli Studi di Roma “La Sapienza”Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

Tesi di Laurea Triennale

Teoria del gas di Bose debolmenteinteragente

Condensazione di Bose–Einstein, teoria di Bogoliubov eteoria dello scattering elastico quantistico

Relatore: Candidato:

Guido Martinelli Giulio IannelliMatricola No

¯ 1712679

Anno Accademico 2017/2018

ii

Ai miei genitori, fonte di continuosostentamento e aiuto.

Al mio fratello fisico, motivo diispirazione e padre inestimabile.

Alla mia compagna di viaggio Indra,unica e brillante.

Alla mia nonna Flora, donna amorevolee saggia.

Indice contenutipag.

Introduzione iv

I. Introduzione al gas di Bose ideale 1

I.1 Descrizione statistica del gas di Bose ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1.1 Calcolo delle quantita termodinamiche – I.1.2 Gas di Bose in scatola finita nel gran canonico

I.2 Gas di Bose ideale in trappola armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II. Teoria di Bogoliubov: gas di Bose debolmente interagente 9

II.1 Formalismo della seconda quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.1.1 Operatori di campo, regole di commutazione e hamiltoniano – II.1.2 Espansione deglioperatori di campo nella base delle funzioni d’onda – II.1.3 Formalismo del numero di occupazione– II.1.4 Hamiltoniano con interazione a due corpi e operatori di scala

II.2 Teoria di Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.2.1 Approssimazione di Bogoliubov – II.2.2 Condizioni di diluizione per il gas rarefatto – II.2.3Energia dello stato fondamentale – II.2.4 Approssimazioni di ordine superiore e trasformazionidi Bogoliubov – II.2.5 Energia dello stato fondamentale, correzione LHY, equazione di stato

II.3 Metastabilita e collisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.3.1 Evaporative cooling e ruolo delle interazioni a due corpi

Conclusioni 21

A. Scattering elastico quantistico 22

A.1 Concetti generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.1.1 Ampiezza di scattering e sezione d’urto – A.1.2 Approssimazione di Born, equazione diLippmann–Schwinger – A.1.3 Validita dell’approssimazione di Born

A.2 Scattering di particelle lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.2.1 Metodo delle onde parziali – A.2.2 Lunghezza di diffusione-s

Bibliografia 28

iii

IntroduzionePresentiamo in questa tesi un impianto teorico per la teoria del gas di Bose debolmenteinteragente, ossia la schematizzazione di un sistema di bosoni a molti corpi in cui lapresenza dell’interazione sia trattabile con metodi di tipo perturbativo. L’argomentoe un ottimo punto di partenza per la descrizione e lo studio del fenomeno dellacondensazione di Bose Einstein, e presenta quindi molteplici motivi di interesse.

Da un punto di vista didattico esso e un ottimo argomento per lo studio delle in-terazioni a livello quantistico, prevalentemente trattabili con la teoria dello scatteringelastico quantistico (presentata in appendice A), per l’introduzione al formalismodella seconda quantizzazione (presentato nella sezione II.1) nella base dei numeri dioccupazione che risulta essere un metodo molto potente per la descrizione statisticadei sistemi a molti corpi quantistici e per l’applicazione del formalismo della mec-canica statistica utilizzata per ricavare le quantita termodinamiche macroscopicheemergenti dalla distribuzione di Bose–Einstein dell’occupazione per l’i-esimo statoenergetico. La teoria di Bogoliubov e la correzione di Lee–Huang–Yang (presentatinella sezione II.2) costituiscono degli interessantissimi esempi, rispettivamente, diteoria di campo medio e rinormalizzazione.

Dal punto di vista dell’interesse scientifico la teoria del gas di Bose debolmenteinteragente risulta fondamentale nello studio di fenomeni come la condensazione diBose–Einstein, la superfluidita ecc. Inoltre tale teoria costituisce un backgroundfondamentale per lo studio delle proprieta degli atomi ultrafreddi, per via dellebasse temperature cui generalmente si studia il sistema di gas di Bose diluito chesotto determinate condizioni da vita allo stato condensato, che attirano interesse diricerca anche nel campo della computazione quantistica e delle simulazioni di sistemiquantistici a molti corpi [1, 2].

Nel capitolo I si sviluppa la teoria del gas di Bose ideale, ossia di un sistemadi particelle bosoniche non interagenti e descritti dalla statistica di Bose–Einstein,mediante l’ensemble gran canonico [3], quindi si ricavano le quantita termodinamichesignificative. Il gas di Bose ideale e quindi studiato nelle tre configurazioni: in volumeinfinito, in volume finito (scatola finita) e sotto l’effetto di un potenziale esterno aforma di trappola armonica. L’ultimo caso e particolarmente importante e costituiscela schematizzazione di una trappola per un gas di atomi, stessa configurazione usatanel primo esperimento in cui si sia mai osservata la condensazione di Bose–Einstein(BEC, da Bose Einstein Condensation) [4].

Nel capitolo II si sviluppa la teoria di Bogoliubov per il gas di Bose debolmenteinteragente, presentata dal fisico russo in [5] nel 1947, introducendo, inoltre, ilformalismo della seconda quantizzazione.

La teoria che viene sviluppata nel capitolo II fa largo uso della teoria delloscattering elastico quantistico per lo studio delle collisioni all’interno del gas di Bosedebolmente interagente, che caratterizzano, del resto, quasi per intero le proprietadel sistema. E sembrato, quindi, opportuno creare una appendice (A) per riassumerei concetti chiave di teoria di scattering elastico quantistico nel formalismo dellaMeccanica Quantistica.

Infine, i concetti presentati nei due capitoli e nell’appendice forniscono gli elementifondamentali per la teoria del gas di Bose debolmente interagente, fornendo cosı unabuona panoramica punto di partenza di molte applicazioni.

iv

Ca

pit

ol

o

IIntroduzione al gas di BoseidealeIl gas di Bose ideale e l’esempio piu semplice nel quale si realizza il fenomeno dellacondensazione di Bose–Einstein, concetto chiave dello studio delle configurazioni deisistemi bosonici a molti corpi per basse temperature. Si cerca quindi una descrizionestatistica del sistema utilizzando il formalismo dell’ensemble gran canonico, perpoi parlare brevemente delle quantita termodinamiche nel caso di gas ideale in uncontenitore di volume infinito, quindi in volume finito e infine nel caso di un gas diBose ideale sottoposto ad un potenziale armonico esterno funzionante come trappolaper le particelle.

Una trattazione piu completa puo essere trovata, ad esempio, in [1, 6].

I.1 Descrizione statistica del gas di Bose idealeSi ricorda che, per un gas di Bose ideale, la probabilita di realizzare una configurazionecon N particelle nello stato k di energia Ek e data dall’espressione

(I.1) PN(Ek) = eβ(µN−Ek),

dove† β = (kBT )−1 e µ potenziale chimico del serbatoio con cui il sistema eall’equilibrio a temperatura T . Si calcola cosı la funzione di gran partizione come

(I.2) Ξ(β, µ) =∞∑

N=0

∑

k

PN(Ek) =∞∑

N=0

eβµNZN(β),

avendo introdotto la funzione di partizione canonica del sistema come ZN ≡∑

k e−βEk

calcolata per un sistema di N particelle. La funzione di gran partizione permette,mediante le ben note relazioni (come ad es. in [1, 3, 8]), di ottenere le grandezzetermodinamiche, a partire dal potenziale gran canonico

(I.3) Ω = −kBT ln Ξ = E − TS − µN,dove l’entropia del sistema S e calcolabile mediante la relazione

(I.4) S = −∂Ω

∂T

∣∣∣∣µ

e il numero medio di particelle come

(I.5) N = −∂Ω

∂µ

∣∣∣∣T

,

†La costante kB e la costante di Boltzmann che vale [7] kB = 1.381× 10−23 J/K.

1

2 CAPITOLO I. INTRODUZIONE AL GAS DI BOSE IDEALE

quindi anche l’energia interna inserendo le espressioni (I.4) e (I.5) nella (I.3). Conside-riamo quindi un sistema descritto da una hamiltoniana totale somma di hamiltonianedi singola particella, per un sistema di particelle indipendenti,

(I.6) H =∑

j

Hspj ,

dove l’apice sp denota l’hamiltoniana di singola particella.In questa situazione i k autostati dell’energia sono dati una volta specificato il

set di ni numeri di occupazione del sito energetico microscopico i-esimo, il cuivalore dell’energia corrispondente e ottenibile risolvendo l’equazione di Schrodingerstazionaria H(1)ψi(r) = εiψi(r), dove le ψi sono le autofunzioni dell’hamiltoniana disingola particella. Si puo dunque riorganizzare la doppia sommatoria della funzionedi gran partizione vista in (I.2) come

Ξ =∞∑

N=0

∑

k

eβ(µN−Ek) =∞∑

N=0

∑

nik

e∑i β(µni−εini) =

∑

n0,n1,···

∏

i

eβni(µ−εi) =

=∑

n0

(eβ(µ−ε0)

)n0∑

n1

(eβ(µ−ε1)

)n1 · · · ,

da cui

(I.7) Ξ =∏

i

∑

ni

(eβ(µ−εi))ni ,

dove la somma sugli ni non ha restrizioni in quanto sono compresi tutti i valori diN =

∑i ni, per cui contiene anche tutti i possibili valori dei vari set ni. Il passaggio

dalla (I.2) alla (I.7) puo essere visto in maniera euristrica come la riscrittura dellasomma su tutte le possibili configurazioni energetiche k, dipendenti dal set ni esu tutti i possibili valori di N , che dipende proprio dal set ni. Dunque si puosostituire la doppia somma con la somma su tutti i possibili valori di ciascun numerodi occupazione ni.

I.1.1 Calcolo delle quantita termodinamiche Risulta quindi immediato, me-diante le formule introdotte nel paragrafo precedente per il calcolo delle quantitatermodinamiche nel gran canonico, ricavare le quantita termodinamiche per il gasdi Bose ideale non interagente. In particolare, affinche le serie nella (I.7) sianoconvergenti e necessario che sia soddisfatta la condizione eβ(µ−εi) < 1, che si riducealla condizione µ < ε0 in quanto ε0 e l’energia di ground state per una singolaparticella e dunque la piu piccola energia possibile (percio tale condizione implicaanche che µ < εi, ∀ i). Il potenziale gran canonico si riscrive quindi come

(I.8) Ω = −kBT ln

(∏

i

1

1− eβ(µ−εi)

)= kBT

∑

i

ln(1− eβ(µ−εi)

),

da cui, mediante le (I.3)–(I.4)–(I.5) e possibile calcolare le varie quantita termodi-namiche. In particolare e possibile definire il numero d’occupazione medio del sitoi-esimo come

(I.9) N =∑

i

1

eβ(εi−µ) − 1≡∑

i

ni.

Abbiamo dunque che la condizione µ < ε0 assicura anche la non-negativita delnumero di occupazione medio per ogni stato di singola particella. Nel limite in cui

I.1. DESCRIZIONE STATISTICA DEL GAS DI BOSE IDEALE 3

Nc

NT (µ)

N0(µ)

µ

NT,N

0

ε0

50% delleparticellenello statocondensato.

Figura 1.1 – Andamento del numero di particelle nello stato fondamentale N0 e negli statitermici NT per una temperatura fissata in funzione del potenziale chimico. Si nota come N0

sia sempre di ordine 1 e diventi macroscopico solo per µ→ ε0.

µ→ ε0 abbiamo che lo stato fondamentale del sistema diventa occupato in manieravia via crescente fino a diventare macroscopico rispetto agli altri, ossia il numero dioccupazione

(I.10) N0 ≡ n0 =1

eβ(ε0−µ) − 1

diverge per µ = ε0. Questa risultato e proprio il meccanismo alla base della conden-sazione di Bose–Einstein. Concludiamo analizzando il comportamento del numerodi particelle in funzione del potenziale chimico e della temperatura, mediante lacondizione di normalizzazione del numero di particelle

(I.11) N = N0 +NT ,

valida per ogni T e µ, essendo NT (T, µ) una funzione analitica della temperatura,ma anche del potenziale chimico. Studiamo separatamente le due dipendenze.

La dipendenza dal potenziale chimico e osservabile in Fig. 1.1. Si nota come perun valore fissato di T la funzione NT (T, µ) raggiunga un massimo, in corrispondenzadel valore µ = ε0, mentre nell’approcciarsi a tale valore la funzione N0(T, µ) diverge.Se il valore Nc ≡ NT (T, µ = ε0) risulta maggiore di N ovviamente il risultato non hasenso, quindi la condizione di normalizzazione (I.11) impone che µ < ε0, per cui ilnumero di particelle nello stato fondamentale risulta trascurabile sul totale N0 N .Nel caso invece che Nc esista finito e sia minore di N , esiste una temperatura Tc(essendo NT una funzione analitica della temperatura), detta temperatura critica,tale che

(I.12) NT (Tc, µ = ε0) = N,

al di sotto della quale il contributo all’occupazione dello stato fondamentale diventamacroscopico, e dunque si realizza la condensazione di Bose–Einstein, e per il qualeµ→ ε0 nel limite termodinamico N →∞. Mostreremo nei prossimi paragrafi comevari l’andamento del numero di particelle nello stato fondamentale in funzione dellatemperatura e della tipologia di sistema.

4 CAPITOLO I. INTRODUZIONE AL GAS DI BOSE IDEALE

I.1.2 Gas di Bose in scatola finita nel gran canonico Applichiamo il for-malismo visto per il gas di Bose ideale in volume infinito ad un caso piu realisticocome quello di volume finito V = L3 di una scatola di lato L. L’hamiltonianadi singola particella e semplicemente l’energia cinetica di essa H(1) = p2/2m, dicui pero le soluzioni devono adesso soddisfare le condizioni al contorno di ciclicheψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z), cosı per le altre componenti. Le soluzioni sono quindionde piane

(I.13) ψp(r) =1√Veip·r,

in cui l’impulso e tale da rispettare le condizioni cicliche al bordo, per cui p = 2π~n/L,dove n ∈ Z3, mentre l’energia associata alle autofunzioni (I.13) e εp = p2/2m. Pervalutare la presenza della condensazione di Bose–Einstein bisogna quindi studiare ilcomportamento della componente termica NT del gas, e compararlo alla componentenello stato fondamentale N0 in rapporto al numero totale di particelle N .

Dal momento che il computo totale dei due contributi deve essere uguale alnumero totale di particelle N = N0 +NT , possiamo valutare la componente termicacome la somma su tutti gli stati fuori che quello fondamentale p = 0, e sostituirla conl’integrale, tenendo di conto la densita degli stati, per cui

∑p →

∫ρ(p) dp. La densita

puo essere facilmente calcolata nel nostro caso osservando che ρ(p) = 1/(∆px∆py∆pz).Siccome i valori possibili di p sono discreti p = 2π~n/L si ha che ognuno dei vettorip occupa un volume nello spazio continuo pari a (2π~/L)3, da cui la densita di staticostante ρ(p) = V/(2π~)3. In definitiva

∑p → V/(2π~)3

∫dp.

A patto che l’energia termica del sistema sia molto maggiore della singolaspaziatura tra livelli kBT h2/(2mV 2/3), si puo dunque scrivere

NT =∑

p6=0

1

eβ(p2/2m−µ) − 1=

V

(2π~)3

∫dp

1

eβ(p2/2m−µ) − 1=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1−(T

Tc

) 32

T/Tc

N0/N

Figura 1.2 – Andamento della (I.17) previsto per il numero di particelle nello stato fonda-mentale sul numero totale. Per T < Tc l’occupazione diventa macroscopica e cresce con N nellimite termodinamico.

I.1. DESCRIZIONE STATISTICA DEL GAS DI BOSE IDEALE 5

=V

(2π~)34π

∫ ∞

0

dpp2

eβ(p2/2m−µ) − 1

da cui, mediante la sostituzione p2 = 2mkBTx e alcuni passaggi algebrici si ottiene

(I.14) NT =V

λ3T

Li3/2(eβµ),

dove λT =√

2π~2/mkBT e la lunghezza d’onda termica di de Broglie e Lip(z) lafunzione polilogaritmo definibile mediante somma o integrale

(I.15) Lip(z) ≡ 1

Γ(p)

∫ ∞

0

dx xp−1 1

z−1ex − 1=∞∑

l=1

zl

lp,

mentre Γ(p) e la funzione gamma di Eulero. Nel nostro caso z = exp(βµ) e la fugacita.La (I.14) esprime una proprieta del gas di Bose ideale piuttosto peculiare, ossiaquella di saturazione. Fissata una determinata temperatura il numero di particellefuori dallo stato fondamentale e determinato unicamente dal volume, per cui se siaggiungono particelle al gas esse si andranno a disporre nello stato fondamentale,andando ad aumentare N0 ma non NT .

Passiamo adesso allo studio della frazione delle particelle nel condensato infunzione della temperatura. Utilizziamo, quindi, la (I.12) per calcolare la temperaturacritica per il fenomeno della condensazione del gas ideale non interagente in scatolafinita. Inserendo la (I.14) nella (I.12) si ottiene

(I.16) Tc =2π~2

mkB

(n

Li3/2(1)

) 23

,

in cui Li3/2(1) ≈ 2.612 e n = N/V e la densita del gas. Dunque la temperaturacritica dipende unicamente dalla densita del gas e dalla massa dei costituenti. Sipuo inoltre calcolare la frazione di particelle nello stato condensato sfruttando larelazione di normalizzazione (I.11) e esplicitando il valore della lunghezza d’ondatermica di de Broglie nella (I.14). Inserendo la

NT =

(mkBT

2π~2

) 32

g3/2(1)V =

(T

Tc

) 32

N

nella (I.11) si ottiene il numero di particelle nel condensato in funzione dellatemperatura

(I.17) N0(T ) = N

[1−

(T

Tc

) 32

],

che si vede diventare macroscopico, appunto, per temperature al di sotto di Tc. Nelcaso non interagente la (I.17) assicura che per T = 0 tutte le particelle si trovano nellostato condensato, tuttavia, quando si accende l’interazione c’e sempre un numeromicroscopico di particelle fuori dallo stato fondamentale.

Vale infine la pena fare alcune considerazioni conclusive. La prima consistenel notare che si e posto il potenziale chimico µ uguale all’energia microscopicadello stato fondamentale, sebbene la validita di tale assunto sia tale solo nel limitetermodinamico, per cui risulta utile calcolare al differenza tra l’energia dello statofondamentale e il potenziale chimico. In particolare, dalla (I.14) segue che

(I.18) ε0 − µ = kBT ln

(1 +

1

N0

)' kBT

N0

,

6 CAPITOLO I. INTRODUZIONE AL GAS DI BOSE IDEALE

da cui segue che la validita di µ = ε0 e giustificata solo al punto critico nel limitetermodinamico, i.e. N0 →∞.

La seconda e sulla spaziatura dei livelli energetici e sul valore di kBT affinchepossa avvenire la condensazione. Infatti la condizione microscopica e che kBT ε1 − ε0 = h2/(2mV 2/3) e piu stringente della condizione NT N , per la quale bastache sia soddisfatta la relazione T Tc. La condizione di temperatura molto minoredi quella critica puo infatti essere soddisfatta per valori macroscopici di T (a secondadi Tc ovviamente) per cui, ad esempio, nel caso di un campione sufficientementegrande in cui valga h2/(2mV 2/3) kBT kBTc si avrebbe la condensazione.

L’ultima e sul comportamento patologico della compressibilita isoterma nella fasecondensata. Calcolando l’energia, infatti, si ha

E =∑

i

εieβ(εi−µ) − 1

=V

2m(2π~)3

∫dp

p2

eβ(p2/2m−µ) − 1=

=4πV

2m(2π~)3

∫ ∞

0

dpp4

eβ(p2/2m−µ) − 1=

3

2kBT

V

λ3T

Li5/2(z),

che per µ = 0 vale E = 32kBT

Vλ3T

Li5/2(1), per cui, utilizzando la relazione P = 23EV

, si

ottiene una legge per il gas ideale in cui la pressione non dipende dal volume, e cioecon compressibilita isoterma

(I.19) κT =1

n

(∂n

∂P

)

T

=∞

infinita. Il ruolo delle interazioni (che introduciamo nel II) sara fondamentale per lacorrezione di questo comportamento patologico.

I.2 Gas di Bose ideale in trappola armonica

In gran parte dei casi la realizzazione sperimentale della BEC e stata ottenuta neilaboratori mediante l’applicazione al gas di Bose di un potenziale esterno armonico,tra cui ad esempio il primo esperimento in cui si sia mai osservata la BEC, diAnderson et al. del 1995 [4]. Analogamente a quanto fatto per il gas di Bose idealein assenza di potenziale esterno, possiamo calcolare temperatura critica e le consuetegrandezze termodinamiche. Il potenziale sotto il quale siamo interessati a studiare ilsistema e un potenziale esterno della forma

(I.20) Vext(r) =1

2mω2

xx2 +

1

2mω2

yy2 +

1

2mω2

zz2

dove ωx, ωy, ωz sono le frequenze di oscillazione lungo l’asse corrispettivo. L’hamil-toniana di singola particella e dunque esprimibile come l’usuale hamiltoniana dioscillatore armonico quantistico H(1) = p2/2m+ Vext, i cui autovalori sono dati da†

(I.21) εnx,ny ,nz =∑

i=x,y,z

(ni +

1

2

)~ωi,

dove ni sono i numeri quantici relativi a ciascun oscillatore armonico (l’hamiltonianae separabile), autovalori dell’operatore numero N ≡ a†a, che definisce la base incui l’hamiltoniana e diagonale. La funzione d’onda di singola particella del ground

†Per una trattazione piu completa si veda [9, 10]

I.2. GAS DI BOSE IDEALE IN TRAPPOLA ARMONICA 7

state corrispondente all’energia ε0 = ~(ωx + ωy + ωz)/2 e data dal prodotto delleautofunzioni di oscillatori monodimensionali per ciascun asse, ossia delle gaussiane

(I.22) ψ0(r) =(mωOA

π~

) 34

exp[−m

2~(ωxx

2 + ωyy2 + ωzz

2)],

dove ωOA = (ωxωyωz)1/3 e la media geometrica delle frequenze di oscillazione lungo

ciascun asse. Possiamo a questo punto trovare la temperatura critica del sistemadalla condizione (I.12), a patto di trovare una espressione per NT (T ). Per fare cio epossibile procedere in due modi, cioe o calcolando la somma

(I.23) NT =∑

nx,ny ,nz 6=0

1

eβ(εi−µ) − 1−→µ→ε0

∫dnx dny dnz

eβ~(nxωx+nyωy+nzωz) − 1,

oppure calcolando la densita degli stati energetici di singola particella G(ε) mediantel’integrale

(I.24) G(ε) =

∫dr dp

(2π~)3δ(ε−Hsp(r,p)).

Da cio si ottiene, integrando per la distribuzione delle particelle (proprio quelladi Bose–Einstein), NT =

∫∞0

dεG(ε)/(eβε − 1). Entrambe le strade richiedono chevalga la cosiddetta approssimazione semiclassica [3], ossia che la l’energia termicadel sistema sia molto maggiore della spaziatura tra i singoli livelli del potenzialearmonico

(I.25) kBT ~ωk.Sviluppiamo il calcolo con il secondo procedimento, cosı da ottenere un risultatoin piu, e cioe la distribuzione degli stati energetici di singola particella G(ε), utileper ricavare eventuali grandezze termodinamiche. Riscrivendo l’integrale (I.24) nellospazio delle configurazioni dei numeri quantici ni che determinano l’energia delleparticelle si ha

G(ε) =

∫dnx dny dnz δ

(ε−

(nx + 1

2

)~ωx −

(ny + 1

2

)~ωy −

(nz + 1

2

)~ωz)

=

=1

2(~ωOA)3

(ε−∑i

12~ωi)2

Θ(ε−∑i

12~ωi),

dove si e utilizzata la proprieta della funzione theta di Heaviside δ(x) = ∂Θ(x)∂x

.Possiamo, inoltre, riscalare la variabile ε alla variabile ε = ε−∑i

12~ωi senza perdita

di generalita, a patto di porre l’energia minima non a ε0, ma proprio 0, in quantoG(ε) dε = G(ε) dε .

In definitiva si ha che la distribuzione degli stati energetici microscopici e data da

(I.26) G(ε) =1

2(~ωOA)3ε2Θ(ε),

per cui il numero di particelle termiche fuori dal condensato per T ≤ Tc e l’integraleNT (T ) =

∫∞0

dεG(ε)/(eβε − 1) = ζ(3)/(β~ωOA)3, in cui si e sfruttata la definizioneintegrale della funzione zeta di Riemann ζ(z) = 1

Γ(z)

∫∞0

dx xz−1/(ex − 1), che tra lealtre ha anche la proprieta di coincidere con il valore del polilogaritmo valutato in 1,ossia ζ(x) = Lix(1) (vedi ad es. [11]), da cui l’espressione per la temperatura critica

(I.27) kBTc = ~ωOA

(N

ζ(3)

) 13

≈ 0.94~ωOAN13 .

8 CAPITOLO I. INTRODUZIONE AL GAS DI BOSE IDEALE

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T/Tc

N0/N

1− (T/Tc)3

1− (T/T0)3

Figura 2.3 – Numero di particelle nello stato fondamentale in funzione della temperaturariscalato sul numero di particelle totali del sistema. I punti corrispondono ai dati sperimentaliottenuti in [12] e la linea tratteggiata alla corrispondente curva di best fit, ottenuta sostituendoTc → T0 = 0.945Tc. Si nota come rispetto all’andamento previsto dalla legge (I.28) (curvasolida) per il gas di Bose non interagente i dati reali si discostino relativamente poco.

Utilizzando la relazione di normalizzazione (I.11), la frazione di particelle nello statocondensato assume quindi, per valori T ≤ Tc, la forma

(I.28)N0(T )

N= 1− NT (T )

NT (Tc)= 1−

(T

Tc

)3

.

La (I.28), il cui andamento e graficato in Fig. 2.3, mostra la differenza nella dipendenzadalla temperatura rispetto al caso di particelle libere (I.17), nel quale la frazionescalava con esponente 3/2.

Ca

pit

ol

o

IITeoria di Bogoliubov: gas diBose debolmente interagenteIl modello di gas di Bose ideale permette di ricavare alcune utili relazioni, come quelleviste nel capitolo precedente, per i sistemi atomici la cui statistica sia determinatadalla statistica di Bose–Einstein, definita dalla (I.9), per il numero medio di particellenello stato ad energia εi. Tuttavia questo e un modello che presenta delle lacunee delle patologie a causa del fatto che le interazioni tra le particelle sono state deltutto trascurate. La teoria che discutiamo in questo capitolo e stata sviluppatada Nikolay Bogoliubov, dal quale ne prende il nome, nel 1947 [5] per risolvere ilproblema dell’interazione tra particelle nel condensato, dal momento che la teoriadelle perturbazioni fallisce nel modellare le interazioni quando lo stato fondamentaleha energia 0.

II.1 Formalismo della seconda quantizzazione

La trattazione quantistica dei problemi a molti corpi si rivelerebbe problematicavolendola affrontare con gli strumenti della meccanica quantistica nel formalismodella funzione d’onda. In linea di principio il problema a molti corpi puo esseredescritto mediante una funzione d’onda a N -corpi che contenga tutta l’informazionesul sistema. Per N 1, tuttavia, cio risulta molto difficile, se non impossibile,soprattutto per il problema della simmetrizzazione di una simile funzione (dalmomento che parliamo di sistemi a molti corpi di particelle identiche), e anche per ilfatto che tale rappresentazione e consistente con un numero di particelle N fissato,mentre qui scegliamo una trattazione statistica, piu conveniente.

La soluzione al problema risiede nella cosiddetta seconda quantizzazione, che e lacostruzione per passare dal formalismo della funzione d’onda al formalismo di campoquantistico [9, 13], nel quale la simmetrizzazione degli stati di molti corpi e implicita.Nel caso relativistico essa e indispensabile, ma anche per basse energie, che e il casodi interessa nel presente lavoro.

Si possono seguire diverse trattazioni per effettuare il processo di seconda quantiz-zazione, alcune piu improntate al caso relativistico, altre piu utili per la descrizionestatistica dei sistemi a molti corpi. Esempi della prima via sono riportati, ad esempio,in [14, 15], mentre per la seconda, che seguiremo, si veda [1, 13, 16].

II.1.1 Operatori di campo, regole di commutazione e hamiltoniano Perdescrivere un sistema a infiniti gradi di liberta, introduciamo il concetto di campo

9

10 CAPITOLO II. TEORIA DI BOGOLIUBOV

quantistico non relativistico, mediante due operatori di campo Ψ(r) e il suo aggiuntoΨ†(r), definiti per ogni valore della coordinata r e che agiscono su uno spaziodi Hilbert, detto spazio di Fock, che tiene conto implicitamente della correttasimmetrizzazione dovuta all’indistinguibilita delle particelle [17]. Un vettore di talespazio e uno degli stati possibili del campo, cioe Ψ(r) e Ψ†(r) rappresentano i gradidi liberta del sistema, che sono infiniti e non numerabili, dal momento che dipendonodalla coordinata continua r. Per un campo di bosoni richiediamo che gli operatori dicampo soddisfino le relazioni di commutazione

(II.1)[Ψ(r) , Ψ†(r′)

]= δ(r − r′),

[Ψ(r) , Ψ(r′)

]=[Ψ†(r) , Ψ†(r′)

]= 0,

che, come vedremo, assicurano la corretta simmetrizzazione del sistema, che, ricor-diamo, nel caso di bosoni indistinguibili deve essere simmetrico. Si introduconoquindi gli operatori hermitiani numero di particelle N e l’hamiltoniano† H mediantele definizioni

(II.2) N ≡∫

dr Ψ†(r)Ψ(r)

e

(II.3) H = − ~2

2m

∫dr Ψ†(r)∇2 Ψ(r)+

1

2

∫dr dr′ Ψ†(r)Ψ†(r′)U(r, r′)Ψ(r)Ψ(r′),

dove U(r, r′) rappresenta il potenziale di interazione a due corpi del sistema. Siverifica facilmente che N e H commutano, [N , H] = 0, per cui essi possono esserediagonalizzati simultaneamente trovando la giusta base, ossia quella composta daun set completo ortonormale dello spazio di Fock di vettori |Φn〉 tali che essi siano

simultaneamente autostati dei due operatori. Dunque, usando dNdt

= [N , H] = 0 siha che il numero totale di particelle del sistema non cambia nel tempo, come e giustoper un normale hamiltoniano di Schrodinger (II.3). Possiamo quindi chiamare unodi questi autostati in base agli autovalori dei due operatori |ΦN,ε〉, con N autovalore

relativo all’applicazione di N e ε relativo a H. Si definisce lo stato di vuoto come|Φ0,0〉 ≡ |0〉.

Passiamo ora alla commutazione degli operatori di campo con il numero diparticelle, ossia

(II.4)[Ψ(r) , N

]= Ψ(r),

[Ψ†(r) , N

]= −Ψ†(r).

Da queste relazioni si trova che NΨ(r)|ΦN,ε〉 = (N − 1)Ψ(r)|ΦN,ε〉 e NΨ†(r)|ΦN,ε〉 =

(N + 1)Ψ†(r)|ΦN,ε〉, ossia lo stato Ψ(r)|ΦN,ε〉 e anche un atutostato dell’operatorenumero, ma con autovalore N − 1, per cui l’effetto e rappresentabile come l’anni-chilazione di una particella che componeva il campo prima della sua applicazione.Analogamente per Ψ†(r), da cui deriva il nome di operatori di campo, rispettivamente,di distruzione e creazione. In entrambi i casi il processo di creazione/annichilazioneavviene al punto r. Riprendendo lo stato di vuoto possiamo creare tutti gli autostatidell’operatore N, N = 0, 1, 2, . . ., mediante l’applicazione ripetuta dell’operatoredi creazione sullo stato di vuoto (Ψ†(r))N |0〉 ∝ |N〉. Al contrario l’applicazionedell’operatore di distruzione sullo stato di vuoto non puo che dare risultato nullo, inquanto, se cosı non fosse, si avrebbe un autovalore di N negativo N < 0, il che nonha senso fisico. Si vede in tal modo che gli operatori di campo si comportano come

†Al maschile in quanto abbreviazione di operatore hamiltoniano.

II.1. FORMALISMO DELLA SECONDA QUANTIZZAZIONE 11

gli operatori di innalzamento e abbassamento dell’oscillatore armonico quantistico inprima quantizzazione.

A questo punto possiamo stabilire l’equivalenza di questa formulazione conquella della prima quantizzazione, con la simmetrizzazione del problema incluso nelformalismo.

Dato un sistema quantistico a N corpi si puo costruire lo stato di vuoto a partiredallo stato |ΦN,ε〉 mediante ripetuta applicazione dell’operatore Ψ(ri) nella posizionedella particella i-esima, ovverosia la funzione di N coordinate

(II.5) ΦN,ε(r1, r2, · · · , rN) = (N !)−12 〈0|Ψ(r1)Ψ(r2) · · · Ψ(rN)|ΦN,ε〉.

Tale funzione e sia simmetrica nello scambio di particelle, per le regole di commuta-zione viste in (II.1), sia ben normalizzato 〈ΦN,ε|ΦN,ε〉 = 1. Inoltre si puo dimostrare†

che PhiN,ε(r1, r2, · · · , rN) soddisfa l’equazione di Schrodinger

(II.6)

(− ~2

2m

∑

i=1

∇2i +∑

i<j

Uij

)ΦN,ε(r1, r2, · · · , rN) = EΦN,ε(r1, r2, · · · , rN),

che fornisce la giusta corrispondenza tra la formulazione del campo quantistico equella di Schrodinger.

II.1.2 Espansione degli operatori di campo nella base delle funzioni d’on-da Gli operatori di campo possono essere convenientemente riscritti in una formapiu maneggevole. Scegliendo un set completo ortonormale di funzioni d’onda ψν(r),in cui l’etichetta ν fornisce un indice che identifica tutti i numeri quantici che descrivo-no lo stato di singola particella (autovalore dell’energia corrispondente, dell’impulso,del momento angolare, ecc.), per le quali vale dunque

∫dr ψ?ν(r)ψµ(r) = δνµ, gli

operatori di campo possono essere riscritti come

(II.7) Ψ(r) =∑

ν

aνψν(r) e Ψ†(r) =∑

ν

a†νψ?ν(r).

Le relazioni (II.7) possono quindi essere invertite per trovare l’espressione dei dueoperatori coefficienti dell’espansione (operatori di scala nella base degli indici ν dellostato di singola particella) agenti sugli elementi corrispettivi dello spazio di Hilbert

(II.8) aν =

∫dr Ψ(r)ψ?ν(r) e a†ν =

∫dr Ψ†(r)ψν(r),

che possono quindi essere visti anche essi nel ruolo di gradi di liberta del sistema.Inserendo le (II.7) nelle (II.1) – analogamente inserendo (II.7) nelle (II.8) e sfruttandole (II.1) – e utilizzando la relazione di chiusura per le funzioni d’onda ψν(r), ovverosia∑

ν ψν(r)ψ?ν(r′) = δ(r−r′), si ottengono le relazioni di commutazione per gli operatori

a†ν e aµ(II.9)

[aν , a

†µ

]= δµν ,

[a†µ , a

†ν

]= [aµ , aν ] = 0.

Possiamo a questo punto riscrivere gli operatori numero e hamiltoniano in terminidei nuovi gradi di liberta, inserendo le espressioni (II.7) nei rispettivi operatori,ottenendo

(II.10) N =∑

ν

a†ν aν

e

(II.11) H = − ~2

2m

∑

ν,µ

〈ψν | ∇2|ψµ〉a†ν aµ +1

2

∑

ν,µ,ρ,σ

〈ψν , ψµ|U |ψρ, ψσ〉a†ν a†µaρaσ.

†La dimostrazione completa e riportata, ad esempio, in [13], e gioca sul commutatore[Ψ(rj) , H] = (−~2∇2

j /2m+∫

dr Ψ†(r)U(r, rj)Ψ(r))Ψ(rj).

12 CAPITOLO II. TEORIA DI BOGOLIUBOV

II.1.3 Formalismo del numero di occupazione In particolare dall’espressio-ne dell’operatore numero si possono definire gli operatori numero di occupazionedello stato ν come Nν = a†ν aν . Tale operatore e di particolare importanza perchepermette di definire la base dei ket del numero di occupazione. Infatti, gli operatoriNν commutano tutti tra loro [Nν , Nµ] = 0, per cui possono essere simultanea-mente diagonalizzati, scegliendo un’opportuna base completa ortonormale tale chele sue componenti siano autostati simultanei di tutti gli operatori Nν. Que-sta base puo dunque essere descritta dal generico ket |n0, n1, . . . , nν , . . .〉, tale cheNν |n0, n1, . . . , nν , . . .〉 = nν |n0, n1, . . . , nν , . . .〉, dove i numeri nν sono i numeri dioccupazione dei rispettivi stati quantistici microscopici. In particolare dalla com-mutazione di Nν con gli operatori di scala e possibile dimostrare che, come per glianaloghi operatori dell’oscillatore armonico quantistico, l’azione di tali operatori suun ket della base scelta e data rispettivamente da

(II.12a) a†ν |· · · , nν−1, nν , nν+1, · · ·〉 =√nν + 1|· · · , nν−1, nν + 1, nν+1, · · ·〉,

e

(II.12b) aν |· · · , nν−1, nν , nν+1, · · ·〉 =√nν |· · · , nν−1, nν − 1, nν+1, · · ·〉.

Pertanto, considerando che lo stato generico |n0, n1, . . . , nν , . . .〉 puo essere creato apartire dallo stato di vuoto |0, 0, . . . , 0, . . .〉 ≡ |0〉 mediante l’applicazione ripetutadell’operatore di creazione, si puo scrivere

(II.13) |n0, n1, . . . , nν , . . .〉 =∏

i

(a†i )ni

√ni|0〉.

II.1.4 Hamiltoniano con interazione a due corpi e operatori di scalaInserendo gli operatori di campo nell’hamiltoniano (II.3) si ottiene l’espressione(II.11) dove le due medie degli operatori possono essere esplicitate proiettando sullabase delle posizioni 〈ψν | ∇2|ψµ〉 =

∫dr ψ?ν(r)∇2 ψµ(r), e analogamente per il termine

di interazione. Scegliamo le funzioni d’onda di singola particella nella forma (I.13)ossia della forma ad onda piana con momento pν , che e in effetti un set completoed e dunque una buona base per le funzioni d’onda, corrispondenti all’operatore dicampo

(II.14) Ψ(r) =∑

pν

apν1√Veipν ·r/~.

Si ottengono cosı delle espressioni semplificate per i termini che compaiono nell’ha-miltoniano 〈ψp1| ∇2|ψp2〉 e 〈ψp′

1, ψp′

2|U |ψp1 , ψp2〉 ossia

〈ψp1| ∇2|ψp2〉 =1

V

∫dr e−iψp1 ·r/~

(−p2

2

~2

)eip2·r/~ = −p2

2

~2δp1p2

e

(II.15) 〈ψp′1, ψp′

2|U |ψp1 , ψp2〉 =

1

V 2

∫dr dr′ e−i(p

′1−p1)r′/~e−i(p

′2−p2)r/~U(r − r′) =

=1

V 2

∫dr dr′ ei(p1−p′

1+p2−p′2)r′/~ei(p2−p′

2)·(r−r′)/~U(r − r′) =

=1

V 2

∫dr′ ei(p1−p′

1+q)r′/~∫

dr eiq·(r−r′)/~U(r − r′) ≡ 1

Vδp′

1,p1+qUq,

dove si e definito il parametro dell’impulso scambiato durante l’interazione q =p2 − p′2 = p′1 − p1 tra le due particelle coinvolte e la trasformata del potenziale Uq.

II.2. TEORIA DI BOGOLIUBOV 13

Segue l’hamiltoniano

(II.16) H =∑

p

p2

2ma†pap +

1

2V

∑

p1,p2q

Uqa†p1+qa

†p2−qap1 ap2 .

II.2 Teoria di BogoliubovNel seguito studiamo il sistema del gas di Bose debolmente interagente mediante imetodi introdotti dal formalismo dei campi bosonici quantistici non relativistici e lateoria sviluppata da Bogoliubov [5] per la descrizione di tali sistemi.

II.2.1 Approssimazione di Bogoliubov Nella teoria della BEC assume unruolo cruciale la funzione d’onda dello stato fondamentale, relativa all’autovalore N0

dell’operatore N, dal momento che, come si vedra a breve, l’occupazione macroscopicadel ground state permette di effettuare una approssimazione semiclassica del campocon una funzione d’onda. Il punto di partenza e la scrittura dell’operatore di campo(II.7) avendo separato il contributo dello stato fondamentale e degli stati a energiamaggiore

(II.17) Ψ(r) = ψ0(r)a0 +∑

i 6=0

aiψi(r).

L’approssimazione di Bogoliubov e quindi introducibile a partire da questa formacome la sostituzione dei due operatori di scala relativi allo stato fondamentale a†0 ea0 con il numero reale

√N0. Cio equivale ad ignorare la non commutativita degli

operatori quantistici ed e funzionale nei fenomeni macroscopici associati alla BEC incui l’occupazione dello stato fondamentale diventa macroscopica, i.e.

(II.18) N0 = 〈a†0a0〉 1,

cioe l’approssimazione di Bogoliubov consiste nel trattare la componente macroscopicaa0ψ0(r) dell’operatore di campo come un campo classico, dunque essa e interpretabilecome una approssimazione di campo medio [18]. SI riscrive, quindi, la (II.17) come

(II.19) Ψ(r) ' Ψ0(r) + δΨ(r),

avendo definito la funzione d’onda macroscopica Ψ0 ≡√N0ψ0 ' a0ψ0 del condensato

e il campo che descrive la frazione di particelle fuori dal condensato δΨ ≡∑i 6=0 ψiai.

Nel caso in cui δΨ sia trascurabile il campo quantistico coincide con quello classicoΨ0(r) e il sistema si comporta come un oggetto classico. Tale approssimazione risultamolto efficace per sistemi di bosoni a bassa densita e basse temperature, i.e. quandoil sistema e vicino al punto critico T = Tc.

Il modulo della funzione d’onda dello stato fondamentale

(II.20) |Ψ0(r)|e dunque interpretabile come un parametro d’ordine per la condensazione di Bose–Einstein, essendo e nullo sopra la temperatura critica. L’ansatz proposta da Bogoliu-bov (II.19) fornisce inoltre una interpretazione fisica della BEC. Infatti l’occupazionemacroscopica dello stato fondamentale permette di ottenere una media dell’operatoredi campo 〈Ψ〉, eseguita utilizzando il ket generico della base dei numeri di occupa-zione, diversa da zero† e cio significa che lo stato condensato e assimilabile ad una

†In caso di un sistema in cui non avvenga tale condensazione, infatti, siccome l’operatore dicampo annichila una particella nel punto r per ogni energia, gli stati sulla destra e sulla sinistra sonoortogonali.

14 CAPITOLO II. TEORIA DI BOGOLIUBOV

riserva per il sistema, per cui l’aggiunta o l’eliminazione di una singola particellain tale stato non cambia le proprieta del sistema. Detto |N〉 lo stato con N bosoni,gli stati |N + 1〉 ∝ a†0|N〉 e |N − 1〉 ∝ a0|N〉 sono fisicamente equivalenti, a meno dicorrezioni O(1/

√N0).

Nell’approssimazione di Bogoliubov si puo dunque identificare la funzione d’ondadel sistema a molti corpi dello stato fondamentale con Ψ0 = 〈Ψ〉 e similmente il suocomplesso coniugato Ψ?

0 = 〈Ψ†〉. Se, inoltre, prendiamo le medie su stati stazionari ladipendenza temporale e della forma e−iEt/~, la dipendenza temporale del parametrod’ordine Ψ0(r, t) sara data da

(II.21) Ψ0(r, t) = Ψ0(r)e−iµt/~,

dove µ = E(N)− E(N − 1) ≈ ∂E∂N

e il potenziale chimico a temperatura nulla.

II.2.2 Condizioni di diluizione per il gas rarefatto Il sistema che studieremonel seguito e sottoposto alla cosiddetta condizione di diluizione che garantiscel’esistenza di uno stato metastabile (discuteremo la metastabilita del condensato nellasezione II.3) come quello del BEC e diminuisce la probabilita delle interazioni a trecorpi, principali responsabili della formazione di legami interatomici che precipitanoil condensato nello stato solido [1]. Tale condizione e data dalla disuguaglianza

(II.22) r0 d,

dove r0 e il range d’azione (vedi appendice A) e d = n−13 e la distanza media tra le

particelle (data dalla radice cubica della densita n = N/V , che resta fissa nel limitetermodinamico). Da una parte dunque la condizione (II.22) permette di trascurarele interazioni a tre corpi , dall’altra implica che la distanza tra i bosoni sia sempregrande abbastanza da giustificare l’espressione asintotica della funzione d’onda (A.2),che del resto e unicamente determinata dall’ampiezza di scattering f(θ) del processoche ne caratterizza il comportamento e che per impulsi “molto piccoli” (E → 0) puoessere sostituita con il suo valore costante di basse energie, ossia la lunghezza discattering dell’onda–s, vedi equazione (A.23).

Ci si aspetta dunque che tutti gli effetti dell’interazione sulle proprieta fisiche delgas sotto le condizioni esposte siano descritti dal solo parametro as.

Infine, per quanto riguarda la condizione di interazione tenue, si ha che il gasinteragisce debolmente se vale la condizione† [1]

(II.23) |as| d, o analogamente n|as|3 1.

II.2.3 Energia dello stato fondamentale Iniziamo calcolando l’energia dellostato fondamentale in una prima approssimazione in cui si trascurano tutti i terminip 6= 0, ossia nella approssimazione N0 ∼ N per cui l’approssimazione di Bogoliubov eriscrivibile come a0 =

√N . Prima pero ci si occupa della trasformata del potenziale

di interazione Uq definito in (II.24), in quanto la teoria delle perturbazioni non glipuo essere applicata. In effetti – per le considerazioni fatte poco sopra sulla lunghezzadi scattering e sul fatto che nel limite di bassa energia E → 0 e nella condizione didiluizione (II.22) ci si aspetta che le proprieta del sistema dipendano unicamentedal suo valore (costante) as – risulta poco importante la forma vera e propria delpotenziale di interazione U(r) ai fini della stima dell’integrale Uq, per cui U(r) puo

†Si puo dare un senso fisico alla condizione interpretando il parametro della lunghezza di scatte-ring come la dimensione lineare di un potenziale a sfera rigida che provocherebbe lo scattering delleparticelle, per cui se e molto minore della distanza interatomica l’azione dell’interazione e debole.

II.2. TEORIA DI BOGOLIUBOV 15

Ueff(r)

r

U(r)

Figura 2.1 – Forma qualitativa del potenziale efficace (curva tratteggiata) confrontata con unpotenziale di interazione tipico (curva solida). La forma del potenziale Ueff e ininfluente a pattoche corrisponda al medesimo valore della lunghezza di scattering as ottenuta dal potenziale diinterazione U(r) e che il range di interazione sia comunque molto minore di n1/3, vedi (II.22).

essere rimpiazzato con uno potenziale effettivo (vedi Fig. 2.1) Ueff a patto che essofornisca il medesimo valore di as, come vedremo nei prossimi paragrafi. Con questopotenziale sul quale la teoria delle perturbazioni e ora applicabile si ottengono, per lequantita macroscopiche, dei valori consistenti, ad es. per la compressibilita isoterma(II.28). In piu, siccome stiamo considerando solo valori piccoli dell’impulso, occorreconsiderare solo il termine q = 0 dell’integrale

(II.24) Uq =

∫Ueff(r) exp(−iq · r/~) dr ,

da cui l’hamiltoniano (II.16) diventa

(II.25) H =∑

p

p2

2ma†pap +

U0

2V

∑

p1,p2q

a†p1+qa†p2−qap1 ap2 .

A questo punto possiamo usare l’approssimazione di Bogoliubov a0 '√N0. Oltre

a cio possiamo procedere per ordini di approssimazione nel considerare i terminidella somma. All’ordine piu basso si considerano solo i termini con p = 0, ossia siconsidera che per T = 0 tutti gli atomi si trovano nello stato condensato N0 = N ,sebbene in presenza di interazioni anche a temperatura nulla siano occupati anchealcuni stati eccitati, sempre, pero, in maniera trascurabile rispetto al contributo delcondensato. Dunque, considerando solo i termini in a0 e sostituendoli col numero√N0 =

√N si ottiene l’energia macroscopica per il ground state E0 = N2U0/2V ,

che puo essere riscritta facendo uso dell’approssimazione di Born (A.25), da cui

(II.26) E0 =1

2Ngn,

dove

(II.27) g ≡ 4π~2

mas

16 CAPITOLO II. TEORIA DI BOGOLIUBOV

e la costante d’accoppiamento dell’interazione, proporzionale dalla lunghezza discattering.

Occorre notare che il risultato e soggetto al vincolo che valga l’approssimazionedi Born al primo ordine, sebbene, stando tali condizioni, la (II.26) sia valida perqualsiasi altro potenziale di interazione. Calcolando le quantita termodinamichenotiamo che la compressibilita isoterma e a questo punto finita (correzione delcomportamento patologico del modello di gas di Bose non interagente, vedi (II.28)).Infatti P = −∂E0

∂V= gn2/2, da cui

(II.28) κT =1

n

(∂n

∂P

)

T

=1

gn2<∞,

e dal quale si puo ricavare la velocita del suono nel mezzo mediante la relazioneidrodinamica (mc2

s)−1 = ∂n

∂P, ossia cs =

√gn/m. Infine e possibile ricavare anche il

potenziale chimico che risulta diverso da 0 e vale µ = ∂E0

∂N= gn.

II.2.4 Approssimazioni di ordine superiore e trasformazioni di Bogoliu-bov Nel paragrafo precedente si e ottenuta una espressione dell’energia dello statofondamentale sfruttando l’approssimazione di Bogoliubov e considerando solo i ter-mini con p = 0 nell’hamiltoniano, per cui l’unico termine a contribuire all’energiaa temperatura nulla risultava H(T = 0) = U0

2Va†0a

†0a0a0. Volendo approssimazioni

di ordine superiore, invece, vanno mantenuti anche i termini di ordine superiore.I termini in cui solo uno degli operatori di singola particella con p 6= 0 non sonopresenti nell’hamiltoniano, in quanto il momento deve risultare sempre conservatonell’interazione, per cui non si possono avere termini che eliminino solo una parti-cella (o la creano) ad una certa energia p, altrimenti si violerebbe la conservazionedell’impulso. Si passa dunque direttamente ai termini quadratici negli operatori disingola particella con p 6= 0, che comprendono le quattro permutazioni a†pa

†0apa0,

a†pa†0a0ap, a†0a

†pa0ap e a†0a

†papa0 e le configurazioni in cui si creano o si distruggono

due particelle con impulso totale nullo, ovvero +p e −p, a†pa†−pa0a0 e a†0a

†0apa−p da

cui l’hamiltoniano

(II.29) H =U0

2Va†0a

†0a0a0 +

∑ p2

2ma†pap +

U0

2V

∑

p6=0

(4a†0a†pa0ap+

+ a†pa†−pa0a0 + a†0a

†0apa−p).

Ancora, si procede sostituendo gli operatori a0 e a†0 con la radice del numero diparticelle del sistema

√N , facendo attenzione al termine a†0a

†0a0a0 che necessita

di alcune considerazioni sulla normalizzazione. In particolare deve valere a†0a0 +∑p6=0 a

†pap = N , da cui

(II.30) a†0a†0a0a0 ' N2 − 2N

∑

p6=0

a†pap,

dove si sono trascurati i termi di ordine superiore negli operatori di singola particella,da cui l’hamiltoniano

(II.31) H =U0

2VN2 +

∑ p2

2ma†pap +

U0

2VN∑

p6=0

(2a†pap + a†pa†−p + apa−p).

Per quanto riguarda i termini in N∑

p6=0 la stima U0 = g e ancora buona, mentre per

il termine N2 occorre andare oltre al primo ordine nell’approssimazione di Born, che

II.2. TEORIA DI BOGOLIUBOV 17

puo essere rivista in termini perturbativi sostituendo il termine U0/V con il terminecorretto che si ottiene uguagliando

U00 +

∑

p6=0

U0pU

p0

E0 − Ep

=4π~2asmV

,

dove Up′p ≡ 〈p|U |p′〉 =

∫dr ei(p

′−p)·r/~U(r), ossia†

(II.32) U0 → U ′0 ' g

(1 +

g

V

∑

p6=0

m

p2

).

Mettendo i risultati assieme si ha l’hamiltoniano nella forma

(II.33) H =gN2

2V+∑ p2

2ma†pap +

1

2gn∑

p6=0

(2a†pap + a†pa

†−p + apa−p +

mgn

p2

).

Introduciamo, quindi, per diagonalizzare l’hamiltoniano (II.33), le trasformazionilineari, dette trasformazioni di Bogoliubov, degli operatori a†p e ap negli operatori b†pe bp

ap = upbp + v−pb†−p,(II.34a)

a†p = upb†p + v−pb−p.(II.34b)

Si impone per i nuovi operatori di singola particella che essi soddisfino le medesimerelazioni di commutazione degli operatori a†p e ap, da cui la condizione

(II.35) u2p − v2

−p = 1,

ossia che i due coefficienti siano scrivibili, ad esempio‡, come funzioni iperbolicheup = coshαp e v−p = sinhαp. La potenzialita del metodo sta quindi nel fatto che, apatto di rispettare la condizione (II.35), si possono scegliere valori di αp qualsiasi, e

dunque anche tali che i coefficienti dei termini non diagonali della hamiltoniano b†pb†−p

e bpb−p siano nulli, ossia gn(u2p + v2

−p)/2 + (p2/(2m) + gn)upv−p = 0 che mediantele proprieta delle funzioni iperboliche conduce alla giusta scelta di αp

coth(2αp) = −p2/(2m) + gn

gn=⇒ up, v−p = ±

(p2/(2m) + gn

2ε(p)± 1

2

) 12

,

dove ε(p) e la cosiddetta relazione di dispersione di Bogoliubov per gli stati eccitatidel sistema definita da

(II.36) ε(p) =

[gn

mp2 +

(p2

2m

)2] 1

2

.

†Per ricavare l’espressione della correzione al primo ordine si dovrebbe valutare l’integrale

U0pU

p0 =

∣∣∫ dr eip·r/~U(r)∣∣2,

tuttavia cio puo essere fatto utilizzando il valore U0 e approssimando tale integrale con il quadratodi U0, approssimazione che vedremo essere giustificata a posteriori nel paragrafo II.2.5.

‡Nell’articolo originale di Bogoliubov [5] la teoria e presentata scegliendo direttamente comecoefficienti

up = 1√1−β2

p

, v−p =βp√1−β2

p

,

dove βp e in quel caso il coefficiente da determinare per eliminare i termini fuori diagonale, che e deltutto equivalente dato che cosh(arccoth(x)) = 1/

√1− x−2 e sinh(arccoth(x)) = x−1/

√1− x2.

18 CAPITOLO II. TEORIA DI BOGOLIUBOV

L’hamiltoniano si riduce, quindi, alla forma diagonale

(II.37) H = E0 +∑

p6=0

ε(p)b†pbp,

con

(II.38) E0 =gN2

2V+

1

2

∑

p6=0

[ε(p)− gn− p2

2m+m(gn)2

p2

]

energia di ground state con la correzione agli ordini superiori.I risultati (II.36)–(II.38) possono essere interpretati fisicamente osservando che il

sistema originale di bosoni debolmente interagenti (II.33) puo essere rappresentatodall’hamiltoniano trasformato (II.37) che rappresenta, invece, un sistema di quasipar-ticelle [1] non interagenti di energia ε(p) e i cui operatori di creazione e annichilazioneper lo stato energetico p-esimo sono b†p e bp, anziche gli usuali a†p e ap.

II.2.5 Energia dello stato fondamentale, correzione LHY, equazione distato La quantita m(gn)2/p2 nella somma (II.38) non e presente nella teoria diBogoliubov originaria, in cui non avviene la rinormalizzazione [18] (II.32) dellarelazione tra potenziale U0 e lunghezza di scattering as (tramite il parametro diinterazione g) responsabile, appunto, della presenza di tale termine, ma e statointrodotto da Lee, Huang e Yang in [19, 20, 21]. Riassumiamo, quindi, i risultatiriguardo a energia dello stato fondamentale e equazione di stato per il gas di Bosepoco interagente mediante la correzione LHY (dalle iniziali dei tre autori).

Il calcolo dell’energia del ground state corretta (II.38), riportato in [20, 22], puoessere effettuato sostiuendo la somma con l’integrale corrispondente nello spazio degliimpulsi, da cui si ottiene

(II.39) E0 =gN2

2V

[1 +

128

15√π

(na3s)

12

].

Dall’integrazione simmetrica nei valori dell’impulso p e la dipendenza simmetricap2 della correzione dello stato fondamentale, si deduce che i termini dominantinell’integrale che porta alla (II.39) sono quelli p ∼ √mgn, per i quali del resto,valendo la condizione di interazione debole (II.23), pas/~ ∼ (na3

s)1/2 1 . Cio

giustifica a posteriori l’aver considerato solo i termini p = 0 nella trasformata delpotenziale di interazione Up ∼ U0 nella rinormalizzazione del potenziale U0 → U ′0(II.32).

Si riporta infine l’equazione di stato del gas di Bose debolmente interagente [23]ricavabile dalla relazione termodinamica P = −∂E0

∂Vesplicitando la dipendenza della

pressione dal potenziale chimico µ = ∂E0

∂Ne dalla lunghezza di scattering as come

(II.40) P (µ, as) =~2

ma5s

h(ν),

dove e stato definito il parametro ν = µa3s/g e la funzione pressione normalizzata [1]

(II.41) h(ν) ≡ 2πν2

(1− 128

15√π

√ν

).

L’equazione di stato (II.40) e importante da un punto di vista fisico, da una parteperche permette la conferma sperimentale della teoria e della bonta del terminecorrettivo LHY rispetto alla hamiltoniano di Bogoliubov priva di correzione, dall’altraperche mostra in maniera quantitativa il peso che hanno le correzioni oltre alla

II.3. METASTABILITA E COLLISIONI 19

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

·10−3

0

1

2

3

4

·10−5

ν = µa3s/g

h(ν)

2πν2

h(ν)

Figura 2.2 – Pressione normalizzata (II.41) dalla correzione LHY e pressione senza correzione.Sono inoltre graficati i risultati sperimentali per l’equazione di stato del gas di Bosoni debol-mente interagenti ottenuti da Navon et al. in [23]. Per valori piccoli del parametro ν i risultatipredetti dalla teoria di Bogoliubov senza LHY sono sufficientemente in accordo con la teoria,mentre gia per ν > 1 la correzione al campo medio, definito dall’equazione di Bogoliubov(II.18), sia la sola coerente con i risultati sperimentali.

semplice approssimazione di Bogoliubov nell’equazione di stato del condensato diBose–Einstein sotto la condizione di diluizione. Riportiamo, per completezza, irisultati sperimentali ottenuti in [23] nella Fig. 2.2.

II.3 Metastabilita e collisioniFacciamo, infine, qualche commento sulla possibilita di realizzare un sistema fisicodescritto nelle sezioni precedenti e sulla stabilita (che e in realta una metastabilitasufficientemente lunga per effettuare gli esperimenti) del condensato di Bose–Einsteinper gas di Bose debolmente interagenti.

Innanzitutto occorre specificare le condizioni sotto le quali il gas resta effettiva-mente gas e non subisce una transizione di fase allo stato solido, come accade pertutti i sistemi gassosi di atomi interagenti per temperature sufficientemente basse,eccetto l’elio. Infatti, le collisioni a bassa energia, descritte† proprio dal parametrolunghezza di scattering–s as, determinano la ricombinazione degli atomi in molecolee dunque portano il gas allo stato solido. Inoltre la fase cristallina e comunquela configurazione di equilibrio termodinamico per T → 0, per cui sotto qualsiasicondizione parleremo della fase BEC come di una fase metastabile [1, 24], in quanto,per tempi sufficientemente lunghi, il gas tendera al raggiungimento dell’equilibrio.

Tuttavia, per quanto riguarda la ricombinazione degli atomi in molecole, e quindiil decadimento di gas atomici in strutture cristalline, essa e per lo piu legata allapresenza di interazioni a tre corpi, ossia eventi di collisione tra 3 o piu atomi. Dunque

†Vedi appendice A.2.2 e collegamento tra sezione d’urto e lunghezza di scattering–s.

20 CAPITOLO II. TEORIA DI BOGOLIUBOV

e possibile aggirare il problema delle interazioni a tre corpi con la richiesta dellacondizione di diluizione (II.22). Riassumendo [1]:

• La densita del gas deve essere sufficientemente bassa da rendere improbabili lecollisioni a tre corpi; tipici valori della densita applicati negli esperimenti chepermettono di mantenere una configurazione metastabile sufficientemente alungo sono n ∼ 1013− 1015 atomi/cm3. Ovviamente tali valori della densita im-plicano la necessita di raggiungere temperature piccolissime per poter applicarei metodi della meccanica statistica, nell’ordine dei µK.

• Occorre tenere in considerazione anche l’interazione del gas con le pareti delcontenitore, responsabile anch’essa del decadimento allo stato solido. Un modoper aggirare il problema sono le cosiddette trappole, che possono essere di varianatura, ma principalmente magnetiche, come in [4], di modo che il gas atomicosia racchiuso mediante campi di forze in un volume non a contatto con le paretidel contenitore. Altri tipi di trappole possono essere ottenute oggi mediantetecniche ottiche (laser).

Da una parte si ha, quindi, la soppressione dei processi inelastici a tre corpi mediantela condizione di diluizione, dall’altra lo stato di equilibrio termico caratterizzato dallafase solida. Il meccanismo alla base della condensazione e, in effetti, l’interazione adue corpi che permette al sistema di raggiungere un equilibrio dinamico e dare vitaalla fase metastabile della BEC: se i tempi di rilassamento dei processi a due corpi sonosufficientemente veloci essi permettono la termalizzazione, ossia il raggiungimentodell’equilibrio termico, del sistema.

II.3.1 Evaporative cooling e ruolo delle interazioni a due corpi Lo stepfinale del raffreddamento del campione e il cosiddetto [1, 24] evaporative cooling(raffreddamento evaporativo letteralmente, ottenuto sperimentalmente per la primavolta in [25]), ossia una fase che consiste nell’espulsione dalla trappola contenente ilgas atomico delle particelle piu energetiche, che permette di raggiungere temperaturemolto basse diminuendo l’energia media del campione.

Il processo e schematizzabile come segue: gli atomi piu energetici sono espulsidalla trappola mediante transizioni nelle radiofrequenze o nelle microonde [24], quindile collisioni a due corpi redistribuiscono l’eneregia del sistema su tutto il campione,dando quindi vita ad un equilibrio dinamico durante il processo.

E, quindi, interessante notare come le interazioni a due corpi siano il principalefattore che crea le condizioni per la condensazione di Bose Einstein, da una partecome visto nelle sezioni precedenti caratterizzando quasi del tutto il sistema delgas di Bose debolmente interagente (condizione richiesta per la metastabilita delsistema), dall’altra permettendo raggiungimento dell’equilibrio dinamico della fasemetastabile e la ritermalizzazione nell’evaporative cooling.

ConclusioniIn questa dissertazione abbiamo sviluppato la teoria del gas di Bose debolmente inte-ragente capace di descrivere il fenomeno della condensazione di Bose–Einstein. Nelcapitolo I si e discusso, nell’ambito della formulazione della meccanica statistica del-l’ensemble gran canonico, il gas di Bosoni non interagenti e il relativo comportamentodel parametro d’ordine, definito dalla frazione di particelle nello stato condensato infunzione del parametro di controllo dato dalla temperatura. Successivamente si eintrodotto un potenziale armonico nella teoria, come esempio di potenziale “trappola”importante per le realizzazioni sperimentali della BEC, e come questo introduca unamodifica nell’esponente che regola la dipendenza dalla temperatura, coerente con idati sperimentali.

Nel capitolo II si e discusso il formalismo della seconda quantizzazione e ilpassaggio dalla meccanica quantistica alla teoria dei campi, nel formalismo utile perla teoria a molti corpi.

Il sistema e stato studiato sotto la condizione di diluizione, necessaria per laBEC, che permette allo stato condensato, instabile rispetto allo stato solido, diessere metastabile, e quindi studiabile sperimentalmente. Questa condizione rendepossibile l’attribuzione di tutte le proprieta caratteristiche del gas alle interazioni adue corpi, che sono studiabili mediante la teoria dello scattering elastico quantisticoper particelle lente (presentata in appendice A).

La teoria di Bogoliubov mostra come il fenomeno sia quasi del tutto determi-nato dal parametro di interazione g, definito dalla (II.27), ossia dalla lunghezza discattering–s. Inoltre la teoria di Bogoliubov risolve il problema della compressibi-lita isoterma divergente, risultato assurdo ottenuto per il gas di Bose ideale. Letrasformazioni di Bogoliubov (II.34), d’altra parte, unite all’omonima approssima-zione a†0 '

√N0 '

√N , diagonalizzano l’hamiltoniano nella base degli operatori di

quasiparticella b†p e bp, fornendo quindi le quantita termodinamiche con le giustecorrezioni, verificate anche sperimentalmente, ad esempio in [4, 12, 23].

L’approssimazione di Bogoliubov, corrispondente all’approssimazione di campomedio in meccanica statistica, permette di definire il parametro d’ordine (II.20) checoincide con il modulo della funzione d’onda dello stato fondamentale, occupato dauna frazione non trascurabile nelle condizioni discusse.

Infine, nel paragrafo II.2.5, si e brevemente discusso la rinormalizzazione delpotenziale effettivo in termini della lunghezza di scattering per le correzioni al primoordine in p, che porta all’energia di stato fondamentale corretta (II.39) e da essal’equazione di stato del gas di Bose debolmente interagente (II.40) in accordo coni dati sperimentali, come in Fig. 2.2. Lo studio del fenomeno della condensazioneBose–Einstein e risultato molto articolato e interessante, per la sua caratteristicadi abbracciare diverse branche di studio della fisica, dalla meccanica statistica allameccanica quantistica, dalla teoria delle transizioni di fase alla teoria dei sistemiquantistici a molti corpi.

21

Ap

pe

nd

ic

e

AScattering elastico quantisticoSviluppiamo in questa appendice la teoria di base degli urti elastici, prima nella suaversione classica per ricavare alcune importanti relazioni tra gli angoli interessanti delprocesso di scattering, quindi nel caso di particelle quantistiche rappresentabili comefunzioni d’onda nel formalismo della prima quantizzazione. Il problema e quello ditrovare informazioni sul sistema dopo l’urto, date le condizioni iniziali nel caso diparticelle interagenti secondo un potenziale centrale U(r) che devia le particelle dallaloro traiettoria naturale. Sviluppiamo brevemente dei concetti utili della teoria delloscattering elastico quantistico per sistemi atomici a basse velocita, per i quali siapossibile trascurare accoppiamenti di interazioni spin-orbita e spin-spin, in quantosiamo interessati allo scattering di atomi con impulsi “piccoli” (a causa del regimedi basse temperature), per cui il problema di due atomi che collidono si riduce allasoluzione dell’equazione di Schrodinger indipendente dal tempo

(A.1)

(− ~2

2m∗∇2 + U(r)

)ψ(r) = Eψ(r)

per il moto relativo con energia positiva nel sistema di riferimento del centro di massain cui r = r1 − r2 e m∗ e la massa ridotta dei due atomi coinvolti nello scattering.Sia, inoltre, il potenziale U(r) un potenziale centrale con range d’azione, ossia zonain cui l’effetto del potenziale viene effettivamente percepito dagli atomi coinvoltinello scattering, r0. Il problema e, quindi, determinare una espressione asintotica nellimite r r0 per la funzione d’onda ψ(r) e quello di determinare la sezione d’urtodifferenziale del processo di scattering.

Per quanto riguarda l’espressione asintotica facciamo alcune supposizioni sulprocesso di scattering, di modo da semplificare il problema. Innanzitutto supponiamoche una particella sia in moto lungo l’asse z e che, prima di entrare nel range d’azionedel potenziale U(r) sia esprimibile come una particella libera, per cui la funzioned’onda sara descrivibile come un’onda piana della forma† ψ(r) = eikz, con k = p/~vettore d’onda delle particelle con impulso p.

Dopo l’urto, invece, la particella, diretta nella direzione θ tra l’asse di propagazioneiniziale z e la direzione generica finale r, sara descritta, a grandi distanze r r0 dimodo che non risenta piu dell’effetto del potenziale e possa essere descritta comeuna particella libera, da un’onda sferica con un coefficiente dipendente dall’angolodi scattering (θ, φ), ψ(r) ∼ f(θ, φ)eikr/r. Nel caso di un’onda incidente propagatesi

†La normalizzazione e tale che la corrente di probabilita sia proprio uguale alla velocita dell’onda,come si vede facilmente dall’equazione di continuita da cui deriva l’espressione, per un’onda piana,j = vψ?ψ.

22

A.1. CONCETTI GENERALI 23

lungo l’asse z la dipendenza da φ svanisce per simmetria, per cui f ≡ f(θ). Lasovrapposizione delle due rappresentazioni ci fornisce l’espressione asintotica

(A.2) ψ(r) ∼rr0

eikz + f(θ)eikr

r

in cui vale l’espressione di k per la particella libera k =√

2m∗E/~2.

A.1 Concetti generaliA.1.1 Ampiezza di scattering e sezione d’urto La funzione f(θ, φ), cheabbiamo visto nel nostro caso semplificarsi nella dipendenza per simmetria dall’angoloφ, e detta ampiezza di scattering e rappresenta, essendo il coefficiente della funzioned’onda a grandi distanze, proprio l’ampiezza di probabilita che la particella scatteratadal potenziale U(r) si trovi a grande distanze nell’angolo solido dΩ = sin θ dθ dφ,per cui si puo esprimere la sezione d’urto dell’esperimento di scattering e data dallarelazione

(A.3) dσ = |f(θ)|2 dΩ = |f(θ)|22π sin θ dθ,

dove l’angolo di inclinazione θ e compreso nell’intervallo θ ∈ (0, π). Tale trattazionee lecita nel caso di particelle differenti, mentre nel caso di scattering di particelleidentiche e da tenersi in considerazione il fatto che la funzione debba essere simmetricao antisimmetrica, per cui l’espressione asintotica della funzione d’onda e la rispettivasezione d’urto si riscrivono come

ψ± ∼ eikz ± e−ikz + [f(θ)± f(π − θ)] eikr

r, dσ± = |f(θ)± f(π − θ)|2 dΩ,

dove il segno ± si applica rispettivamente al caso di particelle simmetriche (+) e alcaso di particelle antisimmetriche (−).

A.1.2 Approssimazione di Born, equazione di Lippmann–Schwinger Lasezione d’urto nel caso di processi di diffusione nei quali il potenziale centrale U(r)possa essere considerato una perturbazione e facilmente calcolabile mediante la cosid-detta approssimazione di Born. Occorre, tuttavia, effettuare alcune considerazionipreliminari sul caso di potenziale trattabile con la teoria delle perturbazioni. Inquesto caso infatti si ha a che fare con uno spettro continuo, percio si procede comesegue. Si vuole trovare una espressione per lo stato |ψ〉 soluzione del problemaperturbato H|ψ〉 = E|ψ〉, dove H = H0 +U(r) = p2/(2m) +U(r), per cui si procedeinnanzitutto trovando una soluzione del problema imperturbato |ϕ〉, data da

(H0 − E) |ϕ〉 = 0,

che, proiettata sulla base delle posizioni 〈r|, da (∇2 + k2)ϕ(r) = 0 la cui soluzione eun’onda piana. Allora si puo scrivere l’espressione per la funzione d’onda 〈r|ψ〉 ≡ψ(r), soluzione dell’equazione di Schrodinger†

(A.4)(∇2 + k2

)ψ(r) = V (r)ψ(r),

come sovrapposizione della soluzione dell’equazione omogenea piu un termine dipen-dente dal potenziale, ossia‡

(A.5) ψ(r) = ϕ(r) +

∫G0(r, r′)V (r′)ψ(r′) dr′

†Ridefiniamo per alleggerire la notazione dalle costanti V (r) ≡ 2mU(r)~2 .

‡Questa soluzione e analoga alla soluzione per i potenziali ritardati in elettromagnetismo.

24 APPENDICE A. SCATTERING ELASTICO QUANTISTICO

k′

θ

k

r′r′

rr

r− r

′

r− r

′

Figura 1.1 – Schema fisico per i vettori nell’equazione di Lippmann–Schwinger (A.7).

dove G0(r, r′) e la funzione di Green per l’operatore di Helmholtz (∇2 +k2), ovverosia

(A.6) G0(r, r′) = − 1

4π

e−ik|r−r′|

|r − r′| ,

tale che l’equazione (∇2 + k2)G0(r, r′) = δ3(r − r′) sia soddisfatta. Inserendo

l’espressione della funzione di Green nell’equazione ed etichettando le funzioni d’ondacon il vettore d’onda k cui si riferiscono (ossia con l’energia della particella incidente)si ottiene l’equazione di Lippmann–Schwinger

(A.7) ψk(r) = ϕk(r) +

∫e−ik|r−r

′|

|r − r′| V (r′)ψk(r′) dr′.

Tale equazione fornisce, per confronto con la rappresentazione asintotica (A.2) –considerando adesso ϕk(r) = eik·r la soluzione dell’hamiltoniana di particella liberadiretta nella direzione generica r anziche lungo z – un’espressione per la stimadell’ampiezza di scattering. Infatti, a grandi distanze dal centro r r0, ovverosia†

r r′, si ha |r − r′| ' r − er · r′, per cui si puo riscrivere il termine della funzionedi Green come

e−ik|r−r′|

|r − r′| 'eikr

re−ik

′·r′,

dove k′ ≡ ker e orientato nella direzione della particella scatterata. Segue la scritturaper ψk(r)

(A.8) ψk(r) ' eik·r − eikr

r

∫dr′

4πe−ik

′·r′V (r′)ψk(r′)

che fornisce l’espressione per l’ampiezza di scattering ricercata

(A.9) f(θ, φ) ' −∫

dr′

4πe−ik

′·r′V (r′)ψk(r′) ≡ − 1

4π〈φk′ |V |ψk〉 ≡ −

1

4πTk′,k,

da cui e ricavabile anche la sezione d’urto differenziale in funzione dell’elementodella matrice Tk′,k, dσ

dΩ= |f(θ, φ)|2 =

|Tk′,k|2

(4π)2. Si procede quindi con lo sviluppo

perturbativo come segue. All’ordine 0 la funzione ψk(r) e proprio

ψ(0)k (r) = ϕk(r) = eik·r,

†L’integrale per r′ r0 e trascurabile in quanto abbiamo fuori dal range di azione r0, il potenzialee praticamente nullo, per cui la variabile di integrazione e al piu contenuta nella regione r′ . r0.

A.2. SCATTERING DI PARTICELLE LENTE 25

cioe l’onda trasla senza risentire dell’effetto del potenziale (come deve essere in quantoall’ordine 0 l’hamiltoniana e quella della particella libera), mentre per gli ordinisuccessivi la (A.5) si riscrive come

(A.10) ψ(1)k (r) =

∫G0(r, r′)V (r′)ψ(0)(r′) dr′,

cosı fino all’ordine n, ψ(n)k (r) =

∫G0(r, r′)V (r′)ψ(n−1)(r′) dr′, da cui segue l’espres-

sione cosiddetta della espansione in serie di Born che rappresenta l’espansione dellostato |ψk〉

|ψk〉 =∞∑

n=0

|ψ(n)k 〉 = |φk〉+ G0V |φk〉+ G0V G0V |φk〉+ · · · =

∞∑

n=0

(G0V )n|φk〉,

da cui, utilizzando la relazione (A.9), si ottiene l’espressione per l’ampiezza discattering nell’approssimazione di campo lontano

(A.11) f = − 1

4π〈φk′|V |ψk〉 = − 1

4π〈φk′|V + V G0V + V G0V G0V + . . . |φk〉.

L’approssimazione di Born consiste nel considerare solo il termine dominante tron-cando al primo ordine la serie di Born, ossia

(A.12) fBorn = − 1

4π〈φk′ |V |φk〉 = − m

2π~2〈φk′ |U |φk〉.

L’espressione per la sezione d’urto sotto l’approssimazione di Born puo quindi esserescritta come

(A.13)dσ

dΩ=

m2

4π2~4

∣∣∣〈φk′ |U |φk〉∣∣∣2

=m2

4π2~4

∣∣∣∣∫

drU(r)e−iq·r∣∣∣∣2

,

dove si e tolto l’indice alla variabile di integrazione, muta, e introdotto il vettoreq ≡ k − k′, differenza dell’impulso prima e dopo lo scattering.

A.1.3 Validita dell’approssimazione di Born Dall’espressione (A.10) dellafunzione d’onda della particella scatterata dal potenziale U approssimata al primoordine e possibile trovare la stima e il range di validita dell’approssimazione di Born.Esplicitando la funzione di Green si ha

(A.14) ψ(1)k (r) = − m

2π~2

∫e−ik|r−r

′|

|r − r′| U(r′)ψ(0)(r′) dr′,

per cui la validita dell’approssimazione del potenziale ad una perturbazione puo essereesplicitata nella considerazione che la correzione al primo ordine della funzione d’ondaψ = ψ(0) + ψ(1) debba essere piccola rispetto alla funzione d’onda all’ordine 0, cioenella condizione ψ(1) ψ(0). Detto r0 il range d’azione del potenziale, supponendoche l’energia della particella sufficientemente piccola da valere la condizione kr0 . 1allora il fattore eikr risulta ininfluente ai fini della stima dell’ordine di grandezza,determinata dalla quantita ψ(0)|U |r2

0, dove |U | e l’ordine di grandezza del potenzialenel range d’azione. La stima e dunque ψ(1) ∼ mψ(0)|U |r2

0/~2, da cui la condizionesull’ordine di grandezza del potenziale ne range di azione

(A.15) |U | ~2

mr20

.

A.2 Scattering di particelle lenteA.2.1 Metodo delle onde parziali Il concetto di lunghezza di diffusione-s,quantita che indicheremo con as, e di grande utilita per descrivere i processi di

26 APPENDICE A. SCATTERING ELASTICO QUANTISTICO

scattering a basse energie (ad esempio quelli che si considerano in un condensato diBose–Einstein), ossia nel caso in cui λ = 1/k sia maggiore di o comparabile con ilrange di azione del potenziale.

Iniziamo introducendo il metodo dello sviluppo in onde parziali, per cui datal’equazione di Schrodinger (A.1) il moto del centro di massa in potenziale centrale,la soluzione ψ(r) puo essere sviluppata in termini dei valori di momento angolare `separando la parte angolare da quella radiale come†

(A.16) ψ(r) =∞∑

`=0

A`P`(cos θ)χk,`(r)

r

dove A` sono coefficienti da determinarsi, P` sono i polinomi di Legendre di grado` e χk,`(r) = rRk,`(r) la funzione che soddisfa la parte radiale dell’equazione diSchrodinger

(A.17)d2χk,`

dr2− `(` + 1)

r2χk,` +

2m∗

~2[E − U(r)]χk,` = 0,

che nel limite di r → ∞ perde il contributo del potenziale, che fuori dal ranged’azione e trascurabile, e quello centrifugo, che decade come ∼ 1/r2, riducendosi aχ′′k,` + k2χk,` = 0, da cui la soluzione

(A.18) χk,` ∼r→∞

sin(kr − `π

2+ δ`(k)

),

dove δ`(k) e la differenza di fase di scattering nell’onda parziale di momento angolare`. Per quanto riguarda il coefficiente A` , invece, esso puo essere ricavato dalla sempliceconsiderazione che l’espansione (A.16) debba ritornare l’espressione asintotica (A.2)per grandi distanze, da cui

(A.19) A` =1

k(2` + 1)i`eiδ` ,

come si dimostra di seguito. Infatti, data l’espansione nel limite di grandi distanzeψ(r) =

∑∞`=0A`P`(cos θ) sin(kr − ` π

2+ δ`)/r utilizzando l’espressione dello sviluppo

noto in onde parziali dell’onda piana eikz = eikr cos θ =∑∞

`=0(2` + 1)i`j`(kr)P`(cos θ),nella regione asintotica‡ r →∞

(A.20) eikz ∼r→∞

1

kr

∞∑

`=0

(2` + 1)i`P`(cos θ) sin(kr − `π

2

),

dal momento che ψ(r) = eikz + f(θ)eikr/r, si ha

1

2ikr

∞∑

`=0

(2` + 1)i`P`(cos θ)[eikr−

π2 − e−i(kr−π2 `)

]+ f(θ)

eikr

r=

=∞∑

`=0

A`P`(cos θ)sin(kr − ` π

2+ δ`)

r,

†Nel caso di potenziale centrale le armoniche sferiche Y`,m(θ, φ) non dipendono dall’angoloazimuthale φ, per cui si semplificano in polinomi di Legendre.

‡Cio si riduce alla stima asintotica delle funzioni sferiche di Bessel,

limx→∞

jn(x) =1

xsin(x− nπ2 ).

A.2. SCATTERING DI PARTICELLE LENTE 27

da cui, esprimendo il seno con gli esponenziali complessi e uguagliando i termini chemoltiplicano eikr e e−ikr nell’espressione raccolta

eikr

2ikr

[∞∑

`=0

(2` + 1)i`e−i`π2P`(cos θ) + 2ikf(θ)

]− e−ikr

2ikr

∞∑

`=0

(2` + 1)i`ei`π2P`(cos θ) =

=∞∑

`=0

A`P`(cos θ)ei(kr−`

π2

+δ` ) − e−(kr−` π2

+δ` )

2ir,

=eikr

2ir

∞∑

`=0

A`P`(cos θ)ei(−`π2

+δ` ) − e−ikr

2ir

∞∑

`=0

A`P`(cos θ)e−i(−`π2

+δ` ),

seguono, uguagliando rispettivamente le espressioni per il coefficiente e−ikr quindiper eikr,

(A.21) A` =1

k(2` + 1)i`eiδ`

e l’espressione per l’ampiezza di scattering, in cui definiamo le ampiezze di scatteringparziali per l’onda `-esima f`

(A.22) f(θ) =1

2ik

∞∑

`=0

(2` + 1)P`(cos θ)(e2iδ` − 1) ≡∞∑

`=0

(2` + 1)P`(cos θ)f` .

A.2.2 Lunghezza di diffusione-s Nel limite di basse energie, ossia valori piccolidi k anche la differenza di fase δ` e piccola† e in piu diminuisce al crescere del momentoangolare, in quanto la barriera centrifuga che si aggiunge al potenziale rende piudifficile all’onda incidente penetrare il campo scatterante, per cui le variazioni inmomento angolare a basse energie sono trascurabili. Espandendo l’ampiezza discattering parziale si ha

f` =e2iδ` − 1

2ik' δ`

k∝ k2` ,

per cui nel caso di basse energie contribuisce all’ampiezza di scattering prevalente-mente lo scattering della cosiddetta onda-s, ossia quella di momento angolare ` = 0che non risente della barriera centrifuga, per cui si ottiene per l’ampiezza di scatteringtotale

(A.23) f(θ) ∼E→0

f0 =δ0

k≡ as,

dove si e definita la costante δ0k

come la lunghezza di scattering dell’onda–s, per cuinel limite di basse energie lo scattering risulta isotropo e identificato dalla sezioned’urto

(A.24) σ = 4π|f(θ)|2 = 4πa2s,

per cui l’approssimazione di Born (A.12) puo essere riscritta per basse energie come

(A.25) Uq =

∫drU(r)e−iq·r =

4π~2

mf(θ) =

4π~2

mas.

†Si puo dimostrare che la dipendenza per valori piccoli dell’energia della particella incidente edata da δ` ∝ k2`+1 (cfr. ad esempio [9, 26]).

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