Tes i Alessandro s Baragli A

UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI ROMA

TOR VERGATA

FACOLTA` DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

DELLAUTOMAZIONE

A.A. 2009/2010

Tesi di Laurea

SISTEMA DI CONTROLLO SU MICROCONTROLLORE

PER MOTORI CC ED ENCODER MAGNETICI

RELATORE CANDIDATO

Prof. Daniele Carnevale Alessandro Sbaraglia

A Mamma, Papa` e Nelly,

a tutte le persone che da sempre ci sono state fino ad adesso,

e soprattutto...a me stesso!

Indice

Ringraziamenti 1

Introduzione 2

1 Apparato sperimentale 4

1.1 Arduino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Specifiche tecniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Piattaforma software e uso I/O . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Encoder magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Costruzione e taratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Motore CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Ponte H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Collegamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Identificazione del modello 17

2.1 Ricostruzione segnale e filtraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Funzione getAngolo( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Funzione DoEncoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Set-up sperimentale e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

INDICE I

INDICE

2.3 Calcolo della funzione di trasferimento del motore . . . . . . . . . . . 23

3 Analisi stabilita` sistema 30

3.1 Generalita` del controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1 Progetto dei controllori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.2 Tecniche di discretizzazione del compensatore . . . . . . . . . 31

3.2 I Controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Controllore PID con approssimazione dellazione derivativa . . . . . . 35

3.3.1 Discretizzazione del PID approssimato . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.2 Tuning dei parameri con il metodo Ziegler-Nichols . . . . . . . 37

3.3.3 Approssimazione dellazione derivativa . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Controllore PID ottimizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Verifica stabilita` digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Saturazione 49

4.1 Desaturazione dellazione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1 Il fenomeno del wind-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.2 Uno schema di desaturazione per regolatori PID . . . . . . . . 51

5 Confronto risultati simulati e sperimentali 54

File Matlab - Identification.m 59

Elenco delle figure 72

Bibliografia 74

INDICE II

Ringraziamenti

I ringraziamenti sono per tutte le persone che mi sono state vicine durante la realiz-

zazione di questo lavoro di tesi, a partire in primis dagli amici/colleghi del laboratorio

pesante di automatica e tesisti, i quali mai hanno lesinato su un aiuto, un consiglio o

su una parola di conforto nei momenti di difficolta`. Ognuno di loro ha saputo inseg-

narmi qualcosa, dal punto di vista umano e professionale, a suggellare il periodo piu`

bello della mia carriera universitaria.

Un ringraziamento particolare, infine, a colui che piu` di tutti mi ha seguito in

questo lungo percorso, parlo di Daniele Carnevale, professore mirabile per competenza,

professionalita` e come persona, prima di tutto.

A tutti voi, GRAZIE!

Introduzione 1

Introduzione

E` ben noto, dato che rientra nellesperienza comune, che per ottenere un determinato

obiettivo, la causa agente debba essere ad esso commisurata. Sfugge invece, assai spes-

so, la necessita` che la causa agente, se si vuole raggiungere effettivamente lobiettivo,

debba tener conto anche degli effetti che essa stessa provoca sul sistema su cui agisce.

E proprio questa e` lidea alla base del concetto di controreazione o retroazione (in

inglese feedback): il segnale che agisce su un sistema, cos` che questo si comporti nel

modo desiderato, deve dipendere sia da un segnale di comando che stabilisce quanto

desiderato, sia dal comportamento effettivo del sistema. E questo puo` avvenire soltan-

to attraverso unazione allindietro, o retroazione, che riporti allingresso del sistema

linformazione relativa alla sua uscita.

Quando simpiega la controreazione, in altre parole, la grandezza che agisce effet-

tivamente sul sistema proviene dal confronto fra i valori che rappresentano luscita

del sistema e di quella di comando, che rappresenta il valore desiderato della risposta;

questo confronto spesso si riduce ad eseguire la differenza fra le due grandezze, che

costituisce il cosiddetto errore del sistema.

Qui va notato subito che la controreazione non sarebbe necessaria se tutto cio`

che riguarda quanto interessa fosse noto e calcolabile esattamente, cioe` se i sistemi si

comportassero secondo leggi matematiche perfettamente note, immutabili nel tempo e

non soggette a variazioni per altre cause. Ma nel mondo naturale questo non avviene

Introduzione 2

Introduzione

e di tutto linsieme delle inevitabili incertezze, inclusi i disturbi, la controreazione

consente di tener conto al fine di ottenere quanto si desidera.

Il controllo automatico di un dato sistema alla fine, si prefigge di modificare il

comportamento del sistema da controllare, attraverso la manipolazione delle grandezze

dingresso in relazione a quelle di uscita. Il controllo del sistema in esame viene

affidato al regolatore, che viene progettato dopo uno studio preliminare del sistema

da controllare, per individuarne il modello matematico esatto su cui andare in seguito

ad operare.

Il lavoro presentato in questa tesi e` la riproduzione di unesperienza improntata

su un problema di controllo automatico, nel quale la ricerca di un modello matem-

atico che descriva il piu` fedelmente possibile landamento del processo, limplemen-

tazione del sistema di controllo, lo studio della stabilita` del sistema a ciclo chiuso e

losservazione dei risultati sperimentali costituiscono le fasi piu` importanti.

Introduzione 3

Capitolo 1

Apparato sperimentale

In questo primo capitolo si analizzeranno gli strumenti e le tecnicheutilizzate per assemblare il sistema considerato; verranno introdottedunque delle specifiche sul microcontrollore Arduino, la coppia En-coder magnetico AS5045 e motore Micro Motors RH158, il sistemadi pilotaggio motore ponte H.

1.1 Arduino

Arduino e` una piattaforma di prototipazione elettronica open-source che si basa su

hardware e software flessibili e facili da usare. Arduino e` basato su una semplicissima

scheda di I/O e su un ambiente di sviluppo, che per la scrittura usa programmi in C

e C++ da far girare sulla scheda il cui microprocessore e` programmabile utilizzando

un ambiente di sviluppo basato su Processing (linguaggio simil-C).

Arduino e` in grado di comunicare con lambiente in cui si trova attraverso una

moltitudine di sensori analogici e digitali azionando contemporaneamente luci, mo-

tori e qualsiasi altro tipo di attuatore; puo` essere utilizzato per limplementazione di

progetti stand-alone ma puo` anche interagire con software gia` esistenti sul computer.

1.1.1 Specifiche tecniche

L Arduino Mega e` la versione utilizzata per la realizzazione del progetto.

4

Cap. 1 Apparato sperimentale 1.1 Arduino

Figura 1.1: La scheda Arduino Mega.

Questo dispositivo1, e` basato sul microcontrollore ATmega1280 capace di 54 pin

digitali ingresso/uscita (14 dei quali utilizzabili come uscita di un segnale PWM), 16

pin analogici in ingresso, 4 porte seriali, un oscillatore a cristalli a una frequenza di

16 MHz e una connessione Usb che fornisce lalimentazione al dispositivo e un rapido

collegamento al computer.

Di seguito si riporta un breve sommario delle caratteristiche tecniche dellArduino

Mega.

1In commercio ne esistono altri modelli, piu` o meno complessi, se ne citano alcuni: Nano,Duemilanove, Mini, Pro, etc. .

5

Cap. 1 Apparato sperimentale 1.1 Arduino

Parametro Valori riferimentoMicrocontrollore ATmega1280Alimentazione 5VTensione ingresso (raccomandata) 7-12VTensione ingresso (massima) 6-20VPin I/O Digitali 54 (di cui 14 in uscita PWM)Pin ingresso Analogici 16Corrente Continua per Pin I/O 40mACorrente Continua per Pin a 3.3V 50mAMemoria Flash 128 KB (di cui 4 usati dal bootloader)SRAM 8KBEEPROM 4KBFrequenza Clock 16 MHz

Figura 1.2: Schema microcontrollore ATmega1280

6

Cap. 1 Apparato sperimentale 1.2 Encoder magnetico

1.1.2 Piattaforma software e uso I/O

Il software di Arduino e` distribuito come strumento open source espandibile. Il lin-

guaggio di programmazione utilizza apposite librerie per la gestione dei segnali digitali

ed analogici ed e` unimplementazione di Wiring, una piattaforma di physical comput-

ing simile, che e` a sua volta basato su un altro ambiente multimediale di program-

mazione chiamato Processing,. Il linguaggio puo` crescere attraverso le librerie C++

e chiunque voglia capire i dettagli tecnici puo` passare direttamente da Arduino all

AVR-C, il linguaggio di programmazione su cui si basa.

Per permettere la stesura del codice sorgente, la scheda include un editor di testo

in grado di compilare e lanciare il programma eseguibile. I programmi di Arduino

sono scritti in C/C++, ma, per poter creare un file eseguibile, allutilizzatore non e`

chiesto altro se non definire due funzioni:

Setup(): una funzione invocata una sola volta allinizio di un programma chepuo` essere utilizzata per inizializzare le variabili, impostare la velocita` di scam-

bio dati della porta seriale e le modalita` di funzionamento dei pin nonche`

lattivazione di un gran numero di funzioni di libreria .

Loop(): e` la funzione principale e viene chiamata ripetutamente fino a che lascheda non viene spenta.

1.2 Encoder magnetico

Lencoder utilizzato per la realizzazione del progetto e` di tipo magnetico modello

AS5045 della casa produttrice Austria Microsystem. Questo strumento e` un encoder

magnetico rotativo per una accurata misura angolare di un giro completo di 360 gradi;

si tratta di un sistema che combina in un unico chip sensori di Hall, un Digital Signal

7


Processing (Dsp) e circuiti per la generazione di segnali analogici. Per la misura del-

l angolo e` necessario un semplice magnete bipolare (magnetizzato diametralmente)

rotante sopra il centro del chip. La misurazione dellangolo assoluto fornisce una in-

dicazione istantanea della posizione angolare con una risoluzione di 0.0879 dividendo

langolo giro in 4096 parti, il cui segnale e` ottenibile come un flusso binario con una

risoluzione a 12 bit o come un segnale modulato in larghezza PWM.

Figura 1.3: Configurazione dei pin.

Il DSP viene anche utilizzato per capire se il magnete si sta allotanando oppure

avvicinando alla superficie dellintegrato; questo avviene grazie allutilizzo dei due

piedini digitali nominati MagINCn e MagDECn

1.2.1 Costruzione e taratura

Il punto di partenza per la costruzione dellencoder e` stata la scelta del magnete da

montare sul motore. Il magnete utilizzato e` costituito da materiale N-35SH la cui

magnetizzazione e` orientata perpendicolarmente all asse passante per il centro del

magnete in verso uscente; le dimensioni del magnete raccomandate per il funziona-

mento dellencoder devono essere di 6mm di diametro e ai 2mm di altezza, in mododa consentire la creazione di un campo magnetico che va da un minimo di 45mT ad

8


un massimo di 75mT (valore di picco). Durante l esperienza e` stato verificato chelesposizione dell encoder ad un campo magnetico superiore a quello raccomandato

puo` creare danni irreversibili ai componenti del microchip e quindi causarne la rottura.

Caratteristica fondamentale ai fini del montaggio risulta essere il posizionamen-

to del magnete rispetto al microchip. La realizzazione di questo progetto risulta

condizionata da una elevata sensibilita` ai disallineamenti chip-magnete; lobiettivo

consiste nel posizionare le facce dei due parallelamente lun laltra e cercare di far

coincidere i loro centri, considerando che il massimo spostamento consentito dalla

zona centrale e` di 0.25mm e la distanza dal dispositivo a cui il magnete deve essere

posizionato e` compresa tra i 0.5mm e gli 1.5mm. Il circuito integrato, una volta incol-

lato su un apposito adattatore SMD che facilita il collegamento dei pin con lesterno

deve essere collocato nella migliore posizione possibile.

Per raggiungere questo risultato e` stato costruito un supporto metallico costitutito

da una basetta di supporto avvitata al motore sulla quale sono state fissate due aste

funzionanti da guida per il piazzamento della SMD (Figura 1.4.).

La tensione con cui si alimenta lencoder e` di 3.3V ; a questo fine il regolatore

di tensione deve essere bypassato cortocircuitando i piedini VDD3V3 con VDD5V

e mettendo il primo piedino a massa attraverso un condensatore di buffer con un

capacita` di 100nF .

1.2.2 PWM

Il segnale con cui viene analizzata la misura del dispositivo e` di tipo PWM.

Un segnale di tipo PWM, Pulse width modulation, viene generato da un tipo di

modulazione analogica in cui linformazione e` codificata sotto forma di durata nel

tempo di ciascun impulso del segnale ed e` costituito da un onda quadra di Duty cycle

9


Figura 1.4: Supporto al motore.

variabile; questultima grandezza, come si deduce dalla Figura 1.5., e` il rapporto tra

il tempo in cui londa assume valore alto e il periodo T (linverso della frequenza:

T=1/f); ne segue che un duty cycle del 50% corrisponde ad unonda quadra che

assume valore alto per il 50% del tempo, pari al 100% sempre alto, pari allo 0%

sempre basso.

La relazione seguente permette di stabilre il legame che ce` tra langolo considerato

e la rispettiva onda quadra, con ton e tof f i tempi di alto e basso del segnale.

Position =ton4097

ton + tof f 1 (1.2.1)

I valori caratteristici del segnale PWM considerato, cioe` quello proveniente dal-

lencoder, avranno le seguenti grandezze:

10

Cap. 1 Apparato sperimentale 1.3 Motore CC

Figura 1.5: PWM e Duty cycle di un segnale.

PWM Valori riferimentoFrequenza 244 HzLivello di quantizzazione minima 1 microsecondoLivello di quantizzazione massima 4096 microsecondo

1.3 Motore CC

Un motore CC alimentato con tensioni di statore e di rotore esercita una coppia sul-

lalbero del motore. Questa coppia agisce sulla struttura meccanica, caratterizzata

dallinerzia di rotore J e dal coefficiente di attrito viscoso F . Inoltre, per considerare

un ambito operativo generico, e` opportuno tener conto di una coppia di carico eserci-

tata sullalbero del motore. Se Tl denota tale coppia di carico, allora si ha la seguente

equazione del moto:

Tm Tl = J ddt

+ f (1.3.1)

In figura 1.6 viene rappresentato un diagramma a blocchi nonlineare che descrive

il funzionamento del motore. Nello schema, la variabile rappresenta la posizione

angolare del rotore. Il modello nonlineare corrisponde ad un sistema con due ingressi

11

Cap. 1 Apparato sperimentale 1.3 Motore CC

Figura 1.6: Diagramma a blocchi nonlineare di un motore CC

ed una uscita, avente un ingresso di disturbo corrispondente alla coppia di carico Tl

e quattro variabili di stato corrispondenti a

lenergia immagazzinata nellinduttanza Le

lenergia immagazzinata nellinduttanza La

lenergia cinetica del rotore (associata a J)

la posizione del rotore.

Il motore utlizzato e` un motore elettrico a corrente continua modello RHE158

prodotto dalla Micro Motors, di cui di seguito sono riportate le caratteristiche fonda-

mentali:

12

Cap. 1 Apparato sperimentale 1.4 Ponte H

Parametro Valori riferimentoTensione nominale 12-24VRapporto:1 94.37Coppia massima 60NcmVelocita` (senza carico) 66rpmVelocita` (con coppia max.) 45rpmCorrente (senza carico) 70-140mACorrente (con coppia max.) 340-680mA

La scelta di utilizzare un motore a corrente continua (CC o in inglese DC)

discende dal fatto che questo genere di dispositivo e` estremamente utilizzato e a basso

costo e se collegato ad unopportuna scheda di controllo (vedi sezione 3.1.) puo` essere

controllato con un segnale PWM, in grado di regolare la corrente che scorre allinterno

del motore, e quindi la velocita` e il verso di rotazione.

1.4 Ponte H

Il pilotaggio del motore e` stato effettuato tramite il sistema H-Bridge, un circuito che

permette di comandarne lo stato. Qui sotto viene riportato lo schema concettuale

Figura 1.7: Schema concettuale H-Bridge.

Questo circuito e` una quaterna di interruttori collegati in modo da pilotare un

carico sfruttando la PWM, con il carico posto al centro ad unire i due rami, formando

cos` unipotetica H. ll vantaggio principale e` che la potenza che si scambiano il carico

con il generatore puo` fluire in entrambi i sensi. Nello studio effettuato e` stato utilizzato

13


un H-Bridge integrato, il pic della Texas Instruments L293D, progettato per fornire

una corrente bidirezionale fino a 600mA ad una tensione variabile tra i 4.5/36V.

Figura 1.8: Schema dell H-Bridge integrato L293D.

I motori vengono abilitati o disabilitati ponendo in ingresso ai piedini 1,2EN e

3,4EN un segnale di livello logico altoo basso rispettivamente. Lintensita` con cui

viene generata le corrente da far fluire nel carico viene regolata attraverso un segnale

PWM prodotto dal piedino 1A.

1.4.1 Collegamenti

Il riferimento inseguito dal sistema viene inserito dallutente sulla Serial Monitor di

Arduino che permette la comunicazione seriale tra dispositivo e pc.

Il valore letto da Arduino attraverso la funzione di libreria Serial.read viene con-

frontato ad ogni ciclo con il valore emesso dallencoder attraverso la funzione getAn-

14


Figura 1.9: Il PonteH costruito.

golo (vedi paragafo 2.1.1.), che ricostruisce istantaneamnete il valore di posizione

relativa asse-motore corrente.

Lerrore dato dalla differenza tra il riferimento e la posizione attuale viene dato in

ingresso al sistema di controllo implementato direttamente sul codice di Arduino, che

rielabora questa variabile gestendo il controllo motore attraverso il PonteH.

Arduino attraverso le istruzioni DigitalWrite(Enable1, HIGH) e DigitalWrite(Enable2,

LOW) abilita il piedino EN1 del PonteH, disabilitando lEN2, in modo da costrin-

gere il motore a ruotare in una direzione prestabilita; infine con listruzione Analog-

Write(PWM1, n), invia al PonteH un comando che impone il flusso della corrente

che deve scorrere nel motore, regolandolo con un segnale PWM di modulo pari ad n.2

2Si ricorda che la scrittura analogica puo` inviare allattuatore un valore n compreso tra 0 e 255.

15


Figura 1.10: Schema a blocchi dei collegamenti.

La sequenza appena elencata di istruzioni si ripete finche` lerrore non diventa nullo,

cioe` il motore ha raggiunto la posizione desiderata.

Nella figura 1.10 viene mostrato lo schema a blocchi dei collegamenti effettuati ai

fini della costruzione del sistema.

16

Capitolo 2

Identificazione del modello

In questo capitolo verra` trattata lidentificazione del modello, cioe`la fase in cui si calcola la funzione di trasferimento che descrivelandamento del sistema a ciclo chiuso.

Lidentificazione del sistema nasce dalla necessita` di stimare un modello matem-

atico che descriva le caratteristiche del sistema a partire da dati sperimentali. Ven-

gono scelte delle opportune sequenze di ingresso (gradini, rampe, ecc.) e misurate le

rispettive sequenze in uscita:

u(t) = u(1), u(2), u(3)....u(N) Ingressi al motorey(t) = y(1), y(2), y(3)....y(N) Uscite dallencoder

dove N rappresenta il numero di misure.

Gli ingressi in tensione al motore, saranno in tutto tre, di cui due segnali a gradino

costante (uno verra` usato solo per la validazione del modello) e unonda quadra; le

uscite misurate costituiscono il valore angolare dellasse del motore utilizzando la

variabile Dtime, risultato di una funzione che verra` spiegata in modo esaustivo nel

paragrafo 2.1.2..

Per quanto riguarda la fase di stima, essa dipende ovviamente dal tipo di procedura

scelta e tra le svariate metodolgie e` stato utilizzato un algoritmo basato sul metodo

dei minimi quadrati.

17

Cap. 2 Identificazione del modello 2.1 Ricostruzione segnale e filtraggio

La procedura di identificazione deve necessariamente prevedere una fase di vali-

dazione del modello ottenuto, tramite la quale si stabilisce la bonta` del modello ed

eventualmente se ne cambia la funzione di trasferimento o si effettuano nuovi esperi-

menti. La validazione verra` eseguita non con gli stessi dati usati per lidentificazione

ma con una nuova misura, da qu` il nome cross-validazione.

Tutto il processo sopra descritto e` stato realizzato grazie ad un file (Identifica-

tion.m) compilato su Matlab.

2.1 Ricostruzione segnale e filtraggio

Una sezione fondamentale relativa al lavoro svolto e` stata la ricostruzione del segnale

emesso dallencoder magnetico ed il relativo filtraggio. La sua importanza e` dovuta

al fatto che potendo ricostruire il segnale PWM, in ogni istante si e` in grado di poter

capire in che posizione si viene a trovare lasse del motore, cos` da poterne controllare

agevolmente la posizione. La frequenza del segnale PWM emesso dallencoder e` pari

a fc = 244Hz con una sensibilita` di passo pari a 1micros e quindi un tempo di

campionamento pari a Tc = 4.098ms.

Teorema 2.1.1. Teorema di Shannon: Sia s =2piTc

la pulsazione di campionamen-

to (detta pulsazione di Nyquist) ove Tc il periodo di campionamento, e sia c la piu`

alta componente spettrale del segnale tempo continuo x(t). Il segnale x(t) e` completa-

mente ricostruibile a partire dal segnale campionato x*(t) se e solo se la pulsazione di

campionamento e` maggiore del doppio della pulsazione c:

s > 2c (2.1.1)

18


Considerando i parametri del motore vm = 66rpm velocita` giri/minuto e ratio :

1 = 94.7 rapporto di riduzione e` evidente che secondo il Teorema di Shannon siamo

vicini alla frequenza limite:

244 > 2(94.766

60) (2.1.2)

244 > 208.34 (2.1.3)

Questo e` il motivo per cui il magnete da cui rilevare la posizione relativa dellasse

rispetto al motore sia stato posizionato a monte del riduttore, cioe` la velocita` di

rotazione dellasse non ridotto risulta troppo elevata per poter ricostruire in maniera

fedele il segnale dallencoder.

2.1.1 Funzione getAngolo( )

Il segnale dalle caratteristiche di cui si e` fatta menzione nel paragrafo precedente, viene

mandato in output dallencoder e processato dallArduino come input in ingresso ad

una porta di tipo Analog in e acquisito grazie alla funzione di libreria AnalogRead.

Questa funzione che gestisce segnali analogici trasformandoli in digitali, mappa le

tensioni in ingresso tra 0 e 5V in un valore intero corrispondente tra 0 e 1023 (valore

corrispondente al massimo del Duty Cycle); avendo in ingresso un valore massimo di

3.3V il corrispettivo valore mappato sara` dato dalla relazione

x =3.3 1023

5(2.1.4)

e quindi tra 0 e 675.

Una volta rilevato il segnale, con listruzione 3.1.2. su di esso viene effettuato un

controllo incrementando un contatore ogni qual volta sulla porta di ingresso viene

19


letto un fronte di segnale alto, non facendo nulla quando il segnale si trova in uno

stato di basso.

Allinterno della variabile contatore verranno a trovarsi dei valori interi corrispon-

denti alla sequenza di lettura dei soli fronti alti andando cos` a costituire una sorta

di storia dellevoluzione dellonda e quindi del cambiamento della posizione relativa

asse del motore-magnete.

2.1.2 Funzione DoEncoder

In questo paragrafo verra` illustrato come, attraverso alcune funzioni di libreria Ar-

duino, sia stato possibile effettuare il riconoscimento angolare con una elevatissima

precisione.

Arduino possiede delle porte specifiche per la gestione degli Interrupt esterni1;

collegando il segnale PWM ad uno dei pin specifici per ingressi interrupt, viene uti-

lizzata la funzione di libreria AttachInterrupt impostata in modalita` Change, la cui

attivazione viene eseguita ogni qual volta linterrupt ricevuto cambia la sua logica

dal basso allalto e viceversa. Quando occorre un interrupt esterno di questo tipo, il

microprocessore va ad attivare la funzione doEncoder che con un semplice control-

lo tramite una AnalgRead sullo stato alto del segnale, non fa altro che salvare nella

variabile Time attraverso la funzione micros() il tempo in cui la funzione stessa viene

invocata ; non appena la logica del segnale di interrupt cambia, nella nuova variabile

Dtime viene calcolata la differenza tra il tempo attuale e il valore salvato in Time,

in modo da avere una cifra che possa avere una stima di quanto tempo il segnale e`

stato alto. Ottenuto il Dtime per ottenere langolo sufficiente convertire e applicare

la relazione

1La maggior parte dei dispositivi Arduino ne posseggono due, la versione Mega addirittura sei.

20

Cap. 2 Identificazione del modello 2.2 Set-up sperimentale e dati

angolo =Dtime 360

4098(2.1.5)

con il valore 4098 pari alla risoluzione dellencoder magnetico.

2.2 Set-up sperimentale e dati

Come gia` accennato il primo passo consiste nelleccitazione del motore a due diversi

ingressi, unonda quadra ed un segnale a gradino; il terzo, anchesso di tipo a gradi-

no, servira` per la conferma dei risultati ottenuti. Eseguendo questi esperimenti in

maniera ripetuta e` stata ottenuta una buona sequenza di dati sperimentali utili alla

modellizzazione del sistema. La creazione di questo tipo di segnali, grazie alla siner-

gia Arduino-Ponte H, servira` semplicemente a far muovere il motore sotto due diversi

ingressi, in modo tale da poterne studiare la diversa reazione.

Lidea e` stata quella di generare attraverso Arduino i due ingressi, ognuno dei

quali costituito da N input (con N fissato a 800), e rilevare le rispettive N uscite

prodotte dallencoder rispetto alle due eccitazioni; i risultati di questo procedimento

costituiscono la raccolta dei dati sperimentali che salvati in appositi files saranno in

seguito utilizzati per lelaborazione dei dati sperimentali e la creazione delle routine

atte allidentificazione del sitema.

Di seguito vengono mostrate le immagini generate dallimplementazione Matlab.

Nella Figura 2.1 si osserva la raccolta e lelaborazione dei dati sprimentali: con la

linea blu viene contrassegnato linput, con la linea rossa loutput. Da notare come nel

primo grafico una volta terminato leffetto dellimpulso, la variabile di uscita rimanga

costante, mentre nel secondo e terzo con ingressi a gradino costante il valore delluscita

aumenti in maniera lineare.

21

Cap. 2 Identificazione del modello 2.2 Set-up sperimentale e dati

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

2000

4000

AnalogW

rite

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1

2x 104

AnalogW

rite

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1

2x 104

AnalogW

rite

inout

Figura 2.1: Raccolta dei dati sperimentali.

Nella 2.2 vengono mostrati lingresso e luscita invertiti, con il primo normalizzato

ad uno nel punto in cui raggiunge il suo valore massimo; da notare come nel caso

dellimpulso esso abbia una caduta immediata a zero nel momento in cui viene -

staccata la tensione in ingresso al motore.

22

Cap. 2 Identificazione del modello 2.3 Calcolo della funzione di trasferimento del motore

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.5

1

AnalogW

rite

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.5

1

AnalogW

rite

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.5

1

AnalogW

rite

Time (sec)

Filtered normalized data

outputinput

Figura 2.2: Raccolta dei dati sperimentali con ingresso normalizzato.

2.3 Calcolo della funzione di trasferimento del mo-

tore

Il metodo dei minimi quadrati e` una tecnica di ottimizzazione che permette di trovare

una funzione che si avvicini il piu` possibile ad uninterpolazione di un insieme di

dati. In particolare la funzione trovata deve essere quella che minimizza la somma

dei quadrati delle distanze dai punti dati. Si puo` riformulare il problema dicendo che

data una certa distribuzione di dati sperimentali, supponiamo che questa possa essere

approssimata da una retta che, in qualche modo, sia allineabile fra detti punti.

Il criterio su cui si basa lindividuazione della retta di regressione e` abbastanza

23


intuitivo. Si parte dallipotesi ragionevole che la retta migliore sia quella che ha

distanza minore da tutti i punti del diagramma. Questa retta si ottiene costruendo,

per ogni punto sperimentale, un quadrato che ha un lato costituito dalla distanza

verticale del punto dalla retta. Si ripete quindi il procedimento per ogni punto del

grafico e si sommano le aree di tutti i quadrati. La retta che approssima meglio la

distribuzione dei punti e` quella che determina la minore superficie dei quadrati (di

qui il termine metodo dei minimi quadrati).

Figura 2.3: Metodo dei minimi quadrati

Analiticamente lobiettivo e` quello di minimizzare una certa funzione di costo

V =Nk=1

e2k (2.3.1)

con e lerrore di modello, ed N il numero di campioni misurati.

La funzione di trasferimento calcolata dal grazie allalgoritmo sopracitato ed im-

plementato in Matlab e` la seguente:

24


W (z) =0.058122(z 2.958)

(z 1)(z 0.6671)(z2 + 0.548z + 0.2061) (2.3.2)

Nella figura 2.4 vengono comparati la raccolta dati sperimentali in linea blu,

con quelli stimati dal sistema in rosso in base alla funzione di trasferimento appena

calcolata.

Appare evidente come il modello stimato e quello reale siano abbastanza simili

nel secondo e terzo grafico. Questo non avviene nel primo, in cui la linea che stima

landamento del sistema risulta traslata di poco piu` in basso rispetto alla curva reale.

Questo andamento e` dovuto al fatto che limpulso durante la discesa dal valore di

picco, produce larresto del motore non in zero, ma in un valore pari a 0.588V , al

di sotto del quale le forze dovute allattrito statico causate dallo strisciamento tra le

parti metalliche del motore non consentono lattivazione del motore. Questa proprieta`

che definisce la Deadzone produce il discostamento dalla linea di stima.

25


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.65000

0

5000

AnalogW

rite

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62

0

2x 104

AnalogW

rite

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.62

0

2x 104

AnalogW

rite

Time (sec)

Experimental dataEstimated data

Figura 2.4: Confronto dati sperimentali con dati stimati.

Nella figura 2.5 viene mostrato il diagramma di Bode della funzione di trasferi-

mento calcolata in cui troviamo i poli nei punti z = 1, z 0.66, due poli complessi econiugati in z 0.27 + 0.25j e z 0.27 0.25j e uno zero in z 2.9. La presenzadegli zeri a parte reale positiva, che non trova riscontro nel sistema fisico reale, e`

dovuta al processo di discretizzazione.

26


20

10

0

10

20

30

40M

agni

tude

(dB)

100 101 102 103540

360

180

0

180

360

Phas

e (de

g)Identified model bode diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 2.5: Diagramma di Bode.

Nella 2.6. e 2.7. vengono mostrati i fit dei dati sui due diversi ingressi in cui viene

evidenziato il confronto tra la funzione W(z) che meglio approssima i dati sperimentali

e quella calcolata in base al modello trovato.

27


0.5 1 1.50

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000y1. (sim)

y1

data; measuredmodellototale; fit: 97.55%

Figura 2.6: Fitting dei dati sul primo ingresso.

0.5 1 1.50

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Compare (it uses proper initial conditions for matchings)

y1

data; measuredmodellototale; fit: 97.28%

Figura 2.7: Fitting dei dati sul secondo ingresso.

Nel piano Z viene graficato il luogo delle radici che mostra la stabilita` del sistema

28


per un certo valore di guadagno K che verra` esplicitato nel capitolo 3 (Figura 2.8)

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

3

2

1

0

1

2

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 2.8: Luogo delle radici

29

Capitolo 3

Analisi stabilita` sistema

In questo capitolo verra` trattato il problema della stabilita` del sis-tema ad un ingresso e ad unuscita, partendo dalla ricostruzionedel segnale la cui stima produrra` il calcolo dellerrore, passando perla realizzazione di due diversi controllori, uno realizzato empirica-mente, e laltro costruito grazie allutilizzo delle funzioni di libreriaMatlab.

3.1 Generalita` del controllore

Il controllore e` lorgano che determina landamento delle variabili di controllo in un

problema di controllo automatico. Il controllore, in generale, acquisisce in ingresso

un valore da un processo, e lo confronta con un valore di riferimento. La differenza, il

cosiddetto segnale di errore, viene quindi usata per determinare il valore di uscita del

controllore, che e` la variabile manipolabile del processo. Il suo obiettivo e` quello di far

s` che landamento della variabile controllata non si discosti troppo dallandamento

del segnale di riferimento. Quando il controllore possiede informazioni solo sul segnale

di riferimento o eventualmente anche sul disturbo, si dice ad anello aperto, mentre se

possiede anche informazioni sulla variabile controllata (o eventualmente su variabili

dipendenti da quella controllata) si dice ad anello chiuso o in retroazione.

30

Cap. 3 Analisi stabilita` sistema 3.1 Generalita` del controllore

3.1.1 Progetto dei controllori

I controllori costruiti ai fini della realizzazione del progetto saranno in tutto tre e

verranno esposti nellordine:

1 I Controllore

2 Controllore PID con approssimazione dellazione derivativa

3 Controllore PID ottimizzato

Il I Controllore viene costruito con metodo diretto, cioe` il regolatore viene proget-

tato direttamente nel dominio discreto, in cui viene in seguito valutata la stabilita`

asintotica del sistema retroazionato.

I controllori 2 e 3 vengono costruiti con metodo indiretto, che prevede un progetto

preliminare del regolatore nel dominio delle trasformate di Laplace, e quindi una sua

successiva trasformazione per discretizzazione nel digitale.

3.1.2 Tecniche di discretizzazione del compensatore

Le tecniche utilizzate per la discretizzazione del compensatore progettato a tempo

continuo sono essenzialmente due.

La prima tecnica descritta chiamata Integrazione trapezoidale o Metodo di Tustin

viene effettuata attraverso la seguente approssimazione dellintegrale:

kTc(k1)Tc

y(t) dt [y(kTc) + y((k 1)Tc]Tc2

(3.1.1)

Lapprossimazione introdotta e` rappresentata in Fig. 3.1,

31

Cap. 3 Analisi stabilita` sistema 3.1 Generalita` del controllore

Figura 3.1: Approssimazione dellintegrale con la trasformzione bilineare

dove la variabile a tempo continuo s viene trasformata nella variabile a tempo

discreto z secondo la relazione:

s =2

T

z 1z + 1

(3.1.2)

La seconda tecnica descritta chiamata Metodo delle differenze allindietro viene

effettuata considerando la segente approssimazione dellintegrale

kTc(k1)Tc

y(t) dt Tcy(kTc). (3.1.3)

Lapprossimazione introdotta e` rappresentata in Fig. 3.2, dove la variabile a tempo

continuo s viene trasformata nella variabile a tempo discreto z secondo la relazione:

s =z 1Tz

(3.1.4)

32

Cap. 3 Analisi stabilita` sistema 3.2 I Controllore

Figura 3.2: Approssimazione dellintegrale con il metodo delle differenze allindietro

3.2 I Controllore

Il primo controllore, progettato sulla base della funzione di trasferimento discreta

del sistema con T = 0.004ms, viene progettato direttamente nel piano Zeta, cioe` la

stabilita` del sistema a ciclo chiuso viene valutata attraverso lo studio del luogo delle

radici. La scelta di cancellare un polo nel punto z = 0.6671 e metterlo nellorigine

deriva dal voler rendere il sistema migliore in quanto a velocita` di risposta e robustezza.

C(z) =z 0.6671

z(3.2.1)

Assumendo un controllore della forma sopra descritta, la funzione di trasferimento

discreta diventa

W (z) =0.058122(z 2.958)

z(z 1)(z2 + 0.548z + 0.2061) (3.2.2)

33

Cap. 3 Analisi stabilita` sistema 3.2 I Controllore

a cui corrisponde il luogo delle radici riportato in figura 3.4.

Dalla simulazione effettuata e` evidente come la cancellazione del polo in z = 0.6671

e laggiunta di di un polo in z = 0 modificano in maniera sostanziale il tracciamento del

luogo positivo; appare chiaro come aver sostituto il polo in 0.6671 con uno nellorigine

ha permesso di spostare il punto singolare verso sinistra, in modo da attrarre il ramo

del luogo positivo allinterno del cerchio unitario.

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

3

2

1

0

1

2

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.3: Luogo delle radici del sistema non controllato.

Nella figura 3.5. il raffronto tra i diagrammi di Bode del sistema originale e quello

controllato mette in luce le sostanziali modifiche apportate in quanto a margine di

fase e margine dampiezza che sono aumentati con un mg = 8.77dBm = 64deg.

Nello Step-response invece viene visualizzato linseguimento a gradino del sistema,

34

Cap. 3 Analisi stabilita` sistema3.3 Controllore PID con approssimazione dellazione derivativa

1 0.5 0 0.5 1

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.4: Luogo delle radici del sistema controllato.

mostrando come in soli 0.07 secondi sia completato il tempo di salita e che le specifiche

richieste sul transitorio siano soddisfatte (Figura 3.6.).

3.3 Controllore PID con approssimazione dellazione

derivativa

Il controllo Proporzionale-Integrale-Derivativo a tempo continuo, comunemente ab-

breviato come PID, generalmente viene espresso attraverso la relazione:

C(s) = Kp +Kis

+Kds (3.3.1)

con

u(t) = Kpe(t) +Ki

t0

e() d +Kdd

dte(t). (3.3.2)

35


20

10

0

10

20

30

40M

agni

tude

(dB)

100 101 102 103540

360

180

0

180

360

Phas

e (de

g)Bode Diagram

Gm = 8.77 dB (at 570 rad/sec) , Pm = 64 deg (at 32.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

FCF

Figura 3.5: Confronto tra diagrammi di Bode del sistema controllato e sistemaoriginale

I parametri fondamentali ai fini del progetto di un controllore PID sono:

Kp Lazione proporzionale offre un contributo proporzionale allerrore e diminuisceman mano che lerrore si avvicina a zero.

Ki Lazione integrale fa s` che il controllore si ricordi dei valori passati delsegnale derrore.Inserendo un polo nelloriginetrasforma il sistema in un sistema

di tipo 2, ovvero permette di avere riferimento nullo a fronte di riferimenti a

rampa.

Kd Lazione derivativa serve a smorzare le oscillazioni.

3.3.1 Discretizzazione del PID approssimato

Lequazione 3.3.2 a seguito della discretizzazione assume la forma:

36


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 3.6: Step response - Inseguimento del gradino unitario

u(kTc) = Kpe(kTc) +Ki(kj=1

(e(jTc) + e((j 1)Tc)2

Tc) +Kd(e(kTc) e(k 1)Tc)

Tc.

(3.3.3)

La parte relativa allazione proprozionale viene discretizzata immediatamente es-

sendo identicamente uguale alla trasformata Z di una costante.

La parte relativa allazione integrale viene discretizzata attraverso il metodo di

trasformazione di Tustin.

La parte relativa allazione derivativa invece viene discretizzata utilizzando il

metodo delle differenze allindietro.

3.3.2 Tuning dei parameri con il metodo Ziegler-Nichols

Per la stima dei parametri del PID non si e` potuto operare direttamente sul motore

a causa della saturazione dellattuatore che impedisce al dispositivo di entrare in

37


oscillazione sostenuta.

Per questo motivo, una volta trasformato il sistema da Tempo discreto a Tempo

continuo attraverso il comando Matlab d2c (digital to continous), ci si e` riferiti al

metodo di Ziegler-Nichols.

Questa tecnica, che viene considerata tra le piu` importanti per la stima dei parametri

di un controllore PID, e` un algoritmo impostato sui seguenti punti:

1. Inizialmente il processo viene fatto controllare da un controllore esclusiva-mente proporzionale (Ki e Kd vengono impostati a zero).

2. Il guadagno K del controllore proporzionale viene gradualmente aumentato.

3. Il guadagno critico Kc e` il valore del guadagno per cui la variabile controllatapresenta oscillazioni autosostenute.

4. Si registra il periodo critico Tc delle oscillazioni autosostenute.

5. Secondo la seguente tabella, si determinano le costanti per il controllore PID.

Kp Ki Kd0.6Ku Tu/2 Tu/8

.

A seguito di numerosi esperimenti e` stato verificato che la presenza nel sistema di

zeri a fase non minima causati dalla discretizzazione del processo rende impossibile

lattuazione di questa tecnica.

Si e` cercato quindi, di stimare i parametri attraverso una sintesi per tentativi.

Considerando il PID approssimato della forma

38


Kp +Kis

+Kds

1 +Ns=Kps(1 +Ns) +Ki(1 +Ns) +Kds

2

s(1 +Ns)(3.3.4)

=s2(KpN +Kd) + s(Kp +KiN) +Ki

s(1 +Ns)(3.3.5)

La sintesi per tentativi ha condotto alla costruzione del seguente compensatore:

PID(s) =0.00625s2 + 0.25s+ 2.5

0.0025s2 + s(3.3.6)

ponendo in N = 1400

un polo ad alta frequenza che rende fisicamente realizzabile

il controllore e non disturba le dinamiche del processo nella banda di interesse.

Facendo un matching tra lequazione generale del PID approssimato (Equazione

3.4.5) e quella del PID sperimentale (Equazione 3.4.6) si perviene al seguente sistema:

KpN +Kd = 0.00625Kp +Ki = 0.25

Ki = 2.5

Risolvendo tale sistema si ottiene il calcolo dei parametri Kp Ki Kd.

Kp = 0.2437Ki = 0.0056Ki = 2.5

3.3.3 Approssimazione dellazione derivativa

Nel classico schema di controllo in retroazione in figura 3.8 lazione derivativa e` ef-

fettuata sullerrore e; in questo caso, in presenza di uno scalino del segnale di rifer-

imento w, luscita del derivatore, e di conseguenza la variabile di controllo u, hanno

un andamento impulsivo. Questa brusca variazione e` in contrasto con il requisito di

39


moderazione del controllo e puo` provocare la saturazione dellattuatore e lallontana-

mento del sistema dalla condizione di linearita` con la quale normalmente si progetta

il regolatore.

Per queste ragioni frequentemente lazione derivativa e` esercitata sulla sola vari-

abile di uscita y, come mostrato nella figura 4.2.

Poiche` quella considerata e` luscita di un sistema che usualmente ha le caratter-

istiche di un filtro passa-basso, le sue variazioni istantanee (e quindi la sua derivata)

sono in genere contenute e la presenza dellazione derivativa non provoca il suddetto

andamento impulsivo della variabile di controllo.

Figura 3.7: PID con derivazione dellerrore

Figura 3.8: PID con derivazione delluscita

40

Cap. 3 Analisi stabilita` sistema 3.4 Controllore PID ottimizzato

3.4 Controllore PID ottimizzato

Il design del controllore PID e` stato tuttavia ottimizzato mediante luso del sisotool, il

comando Matlab che permette di vedere in maniera interattiva il risultato dei tentativi

di progetto, e si ottiene, sulla base del sistema di controllo a tempo continuo con il

controllore PID appena costruito, un nuovo controllore PID ottimizzato secondo i

parametri scelti dal calcolatore.

Il nuovo regolatore con i parmetri di guadagno ottimizzati via software assume la

forma:

PIDopt=0.10875(0.0023s+ 1)(4.7s+ 1)

s(1 + 0.0039s)(3.4.1)

Nelle immagini seguenti verranno mostrati diversi grafici che metteranno a con-

fronto il semplice sistema a tempo continuo ricavato dalla trasformazione da tempo

discreto a tempo continuo della funzione di trasferimento W (z) con Matlab, il sis-

tema controllato con il PID con approssimazione dellazione derivativa, e infine il PID

ottimizzato dal calcolatore.

500 0 500 1000 1500 20001000

800

600

400

200

0

200

400

600

800

1000Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.9: Luogo delle radici del sistema a tempo continuo

41


Nella figura 3.9 viene mostrato il luogo delle radici del sistema tempo continuo,

mentre nelle successive immagini e` possibile fare un confronto con i luoghi delle radici

dei sistemi in retroazione con PID approssimato, figura 3.10, e con il controllore PID

ottimizzato, figura 3.11.

500 0 500 1000 1500 2000 25001000

800

600

400

200

0

200

400

600

800

1000Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.10: Luogo delle radici del sistema con controllore PID approssimato

500 0 500 1000 1500 2000800

600

400

200

0

200

400

600

800Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.11: Luogo delle radici del sistema con controllore PID ottimizzato

Nella figura 3.12 viene mostrato il margine di guadagno mg = 6.95dB (nella fiigura

M.G.) e margine di fase m = 39.9deg (nella figura M.F.) del sistema non controllato.

42


100 101 102 103 1040

360

720

Frequency (rad/sec)

40

20

0

20Bode Editor for Closed Loop 1 (CL1)

100 1050

180

360

540

720

P.M.: 39.9 degFreq: 45.8 rad/sec

Frequency (rad/sec)

50

40

30

20

10

0

10

20

30

G.M.: 6.95 dBFreq: 89.4 rad/secStable loop

OpenLoop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Figura 3.12: Vista stretta grafici del sistema tempo continuo

Appare evidente (figura 3.13) come linserimento in retroazione del controllore

PID sperimentale, migliori sostanzialmente il diagramma di Bode a ciclo chiuso,

apportando variazioni sia al mg = 8.31dB che al m = 44.5deg

Nel sistema controllato con PID ottimizzato (vedi figura 3.14) aumentano margine

di fase e margine di guadagno con dei valori di mg = 12dB e m = 60deg.

Nelle figure di inseguimento a gradino, figure 3.15 3.16 3.17 viene e mostrato

come nei due controllori diminuisca il tempo di assestamento e allo stesso tempo la

sovraelongazione ridotte effettivamente dallinserimento di un termine derivativo che

ha la capacita` di smorzare le oscillazioni. Con la linea blu viene tracciato landamento

del sistema ciclo chiuso ingresso-uscita, con quella verde landamento del sistema a

ciclo chiuso ingresso-controllo; nella figura sottostante e` tracciata in rosso la sensitivita`

sullingresso, con la celeste la sensitivita` sulluscita. Infine vengono mostrati i confronti

dei diagrammi di Bode del sistema con i tre controllori.

43

Cap. 3 Analisi stabilita` sistema 3.5 Verifica stabilita` digitale

100 1050

360

720

Frequency (rad/sec)

50

0


102 100 102 104 1060

180

360

540

720

P.M.: 44.5 degFreq: 11.3 rad/sec

Frequency (rad/sec)

60

40

20

0

20

40

60

G.M.: 8.31 dBFreq: 871 rad/secStable loop


0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6


Figura 3.13: Vista stretta grafici del sistema con controllore PID approssimato

3.5 Verifica stabilita` digitale

Terminato il design analitico dei due controllori PID(s) e PIDOP T (s) nel dominio di

Laplace, si verifica a posteriori il comportamento dinamico dellintero sistema digitale

con controllore discretizzato, con uno dei metodi gia` spiegati nella sezione 3.1.2.

Nelle figure 3.19 e 3.20 viene mostrato il luogo delle radici dellintero sistema

digitale nel piano zeta, evidenziando come la stabilita` del sistema sia mantenuta a

seguito della trasformazione.

Nelle figure 3.21 e 3.22 viene visualizzato il diagramma di Bode con particolare

interesse verso il margine di fase e margine dampiezza.

Nelle fugure 3.22 e 3.23 viene mostrato il diagramma di Bode dei sistemi con i tre

differenti controllori.

44


102 100 102 1040

360

720

Frequency (rad/sec)

50

0


102 100 102 1040

180

360

540

720

P.M.: 60 degFreq: 24.3 rad/sec

Frequency (rad/sec)

50

0

50

100

G.M.: 12 dBFreq: 81 rad/secStable loop


0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6


Figura 3.14: Vista stretta grafici del sistema con controllore PID ottimizzato

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.5

0

0.5

1

1.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.5

0

0.5

1

1.5

Figura 3.15: Inseguimento a gradino del sistema a tempo continuo

45


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.61

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41

0

1

2

3

Figura 3.16: Inseguimento a gradino del sistema con controllore PID approssimato

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 10 15 20 25 301

0

1

2

3

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.5

0

0.5

1

1.5

Figura 3.17: Inseguimento a gradino del sistema con controllore PID ottimizzato

46


100

0

100

Mag

nitu

de (d

B)

100 101 102 103 104 1050

360

720

Phas

e (de

g)

Bode DiagramGm = 6.95 dB (at 89.4 rad/sec) , Pm = 39.9 deg (at 45.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Processo

100

0

100

Mag

nitu

de (d

B)

101 100 101 102 103 104 1050

360

720

Phas

e (de

g)Bode Diagram

Gm = 8.31 dB (at 871 rad/sec) , Pm = 44.5 deg (at 11.3 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Processo e controllore PID per tentativi

Figura 3.18: Confronti 1 tempo continuo

100

0

100

Mag

nitu

de (d

B)

102 101 100 101 102 103 1040

360

720

Phas

e (de

g)


Frequency (rad/sec)

Processo e controllore PID ottimizzato

50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

100 101 102 103720360

0360

Phas

e (de

g)

Bode DiagramGm = 8.77 dB (at 570 rad/sec) , Pm = 64 deg (at 32.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Processo e controllore a cancellazione

Figura 3.19: Confronti 2 tempo continuo

4 3 2 1 0 1 21

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.20: Luogo delle radici del sistema digitale con PID(z)

47


1 0 1 2 3 4 5 6 72.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 3.21: Luogo delle radici del sistema digitale con PIDOP T (z)

100

0

100

Mag

nitu

de (d

B)

100 101 102 103 104 1050

360

720

Phas

e (de

g)


Frequency (rad/sec)

Processo

100

0

100

Mag

nitu

de (d

B)

101 100 101 102 103720360

0360

Phas

e (de

g)

Bode DiagramGm = 8.74 dB (at 566 rad/sec) , Pm = 50.6 deg (at 10.5 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Processo e controllore PID per tentativi

Figura 3.22: Confornti 1 tempo discreto

100

0

100

Mag

nitu

de (d

B)

102 101 100 101 102 103720360

0360

Phas

e (de

g)


Frequency (rad/sec)

Processo e controllore PID ottimizzato

50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

100 101 102 103720360

0360

Phas

e (de

g)

Bode DiagramGm = 8.77 dB (at 570 rad/sec) , Pm = 64 deg (at 32.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Processo e controllore a cancellazione

Figura 3.23: Confronti 2 tempo discreto

48

Capitolo 4

Saturazione

Nella pratica, luscita di qualsiasi regolatore viene applicata ad undispositivo che presenta saturazione, cioe` il comando con cui vieneattuato e` vincolato a dei valori massimi e minimi. Questo fattore,alla base della nonlinearita` dei sistemi e della degradazione delleleggi di controllo, ha avuto un importanza rilevante ai fini dellostudio del sistema. Nel seguente capitolo verra` illustrato il problemae unapproccio alla risoluzione dello stesso.

4.1 Desaturazione dellazione integrale

La presenza combinata dellazione integrale e di una saturazione dovuta allattua-

tore provoca un effetto di tipo non lineare che puo` deteriorare significativamente le

prestazioni del sistema di controllo. Per analizzare piu` in dettaglio questo fenomeno,

si ipotizzi inizialmente e per semplicita` che il regolatore sia puramente integrale e che

lattuatore, con ingresso u e uscita m sia descritto dalla relazione

u(m)=

uM u(t) < uMu(t) |u(t)| uMuM u(t) > uM

come mostrato in figura 4.3, dove P (s) e` la funzione di trasferimento del processo.

49

Cap. 4 Saturazione 4.1 Desaturazione dellazione integrale

Figura 4.1: Schema di controllo con attuatore saturante

4.1.1 Il fenomeno del wind-up

Quando lerrore e si mantiene dello stesso segno per un certo periodo, lo stato dellin-

tegratore, che coincide con la sua uscita u, cresce in modulo sempre piu`. Cio` avviene

anche se leffettiva variabile di inigresso m del sistema sotto controllo viene limitata

al valore uM o uM dalla sturazione dovuta allattuatore. Quando questo accade,se lerrore cambia segno e` necessario attendere che lo stato u dellintegratore torni

ad assumere valori in modulo inferiori a uM prima che lattuatore riprenda a oper-

are in zona lineare, cioe` si abbia m(t) = u(t). In altri termini, si deve attendere la

scarica dellazione integrale. Sarebbe invece molto piu` opprtuno che la variabile di

controllo effettiva lasciasse il valore di saturazione non appena lerrore cambia segno.

Il fenomeno sopra descritto prende il nome di carica integrale o, piu` comunemnete

dallinglese di integral wind-up.

50


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020

0

20

40

60

80

100

120

140Controllore con semplice cancellazione

linearsaturated

Figura 4.2: Uscita sistema controllato con I controllore lineare e saturata

Nelle immagini seguenti vengono mostrate le simulazioni dei sistemi a tempo con-

tinuo del sistema controllato dai tre regolatori, in cui viene messa in contrasto luscita

del sistema con andamento lineare (linea blu), con quella saturata (linea rossa).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180Controllore PID per tentativi

linearsaturated

Figura 4.3: Uscita sistema controllato con PID(s) lineare e saturata

4.1.2 Uno schema di desaturazione per regolatori PID

Il fenomeno del wind-up e` dovuto al fatto che la dinamica del regolatore non e` in-

fluenzata delleventuale presenza di limitazioni sulla sua variabile di uscita. Se queste

limitazioni sono attive si usa dire che lo stato del regolatore non e` congruente con

51


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020

0

20

40

60

80

100

120

140Controllore PID con guadagni ottimizzati

linearsaturated

Figura 4.4: Uscita sistema controllato con PIDOP T (s) lineare e saturata

leffettiva variabile m. Per ovviare a cio`, tutti i vari schemi proposti in letteratura

per attenuare il wind-up hanno in comune la caratteristica di alimentare il regolatore

anche con il segnale a valle della saturazione, in modo che il suo stato possa evolvere

coerentemente con landamento della variabile che effettivamente agisce sul processo.

Viene ora presentato uno shema di desaturazione per i regolatori PID.

Figura 4.5: Schema di realizzazione di regolatore PID con desaturazione

Si consideri lo schema di figura 4.4 e si noti preliminarmente che, poiche` usual-

mente lazione derivata e` esercitata sulluscita y, lo schema di desaturazione riguarda

52


unicamente le azioni proporzionali e integrale. Si osservi inoltre che alinterno del

regolatore viene applicata la caratteristica nonlineare dellattuatore.

Si supponga che Kp > 0, che lerrore si mantenga positivo pe run certo periodo di

tempo e che la variabile b sia saturata al valore uM ; allora anche c e` uguale ad uM e la

vaiabile z tende al valore uM con la dinamica di un sistema del primo ordine. Se poi e

cambia segno, anche q assume segno negativo e la variabile b = q+ z diventa inferiore

al limite di saturazione uM , cioe` il sistema torna a funzionare con comportamento

lineare.

53

Capitolo 5

Confronto risultati simulati esperimentali

In questultima sezione verranno messi a confronto i risultati ottenuti dalle simulazioni

effettuate su Simulink di Matlab dei tre controllori discretizzati, con le prove effettuate

sul sistema reale, a seguito dellimplementazione dei regolatori su microcontrollore.

Il riferimento che faremo inseguire sia al simulatore che al motore e` un ingresso

costante pari a 120 gradi.

Nelle prime due immagini(figure 5.1 e 5.2) viene mostrata la simulazione del

sistema con il I Controllore e limplementazione di esso sul sistema reale.

Nelle immagini(figure 5.4 e 5.5) viene mostrata la simulazione del sistema con il

Controllore PID con approssimazione dellazione derivativa e limplementazione di

esso sul sistema reale. sperimapprox

Nelle immagini(figure 5.7 e 5.8) viene mostrata la simulazione del sistema con il

Controllore PID ottimizzato e limplementazione di esso sul sistema reale.

Qui sotto riportata limplementazione di I Controllore su microprocessore con p

uguale al valore del polo da cancellare.

double Icontrollore(double desiderato, double angolo) {

54

Cap. 5 Confronto risultati simulati e sperimentali

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x 103

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Angolo

uscitaingresso

Figura 5.1: Implementazione di I Controllore sul sistema reale

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 520

0

20

40

60

80

100

120

140Controllore con semplice cancellazione

linear

Figura 5.2: Simulazione sistema con I Controllore

errattuale = desiderato-angolo ;

return ((Kp*errattuale)-(Kp*p*errprecedente));

errprecedente = errattuale;

}

Ora limplementazione del PID con approssimazione dellazione derivativa e del

PID ottimizzato con i parametri Kp, Ki Kd, calcolati rispettivamente nella sezione

3.3.2. e nella sezione 3.4.

55


0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

Controllore con semplice cancellazione

linear

Figura 5.3: Simulazione sistema con I Controllore vista zoom

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x 103

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Angolo

uscitaingresso

Figura 5.4: Implementazione del PID con approssimazione dell azione derivativa sulsitema reale

double Function_Pid(int a, int b) {

double var=0.0;

err_attuale = a - b ;

var = (err_attuale*Kp + Ki * Integrale(err_attuale , err_precedente) + Kd*((err_attuale - err_precedente) / T_campionamento));

err_attuale = err_precedente;

return var;

}

56


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

20

40

60

80

100

120

140

160Controllore PID per tentativi

linear

Figura 5.5: Simulazione sistema con PID con approssimazione dell azione derivativa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

90

100

110

120

130

140

150

Controllore PID per tentativi

linear

Figura 5.6: Simulazione sistema con PID con approssimazione dell azione derivativavista zoom

double Integrale(double c, double d) {

static double errore_integrale =0;

errore_integrale = errore_integrale + ((c - d)/2)* T_campionamento;

return errore_integrale;

}

57


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x 103

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Angolo

uscitaingresso

Figura 5.7: Implementazione del PID ottimizzato sul sistema reale

0 0.5 1 1.5 2 2.5

20

40

60

80

100

120

140Controllore PID con guadagni ottimizzati

linear

Figura 5.8: Simulazione sistema con PID ottimizzato

0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.590

95

100

105

110

115

120

125

130

135

Controllore PID con guadagni ottimizzati

linear

Figura 5.9: Simulazione sistema con PID ottimizzato vista zoom

58

File Matlab - Identification.m

ANALISI DATI SPERIMENTALI E IDENTIFICAZIONE MODELLO LINEARE

Segue la spiegazione con commenti e codice(sfondo pagina grigia)

dellelaborazione dei dati sperimentali e le routine

per identificare la funzione di trasferimento (fdt)

che lega il valore del segnale PWM alla posizione dellasse del motore

clc

clear all

close all

CARICAMENTO DATI

seleziona i dati corrispondenti alle prove da raggruppare: devono avere

stringa = {dati/prova_1/, dati/prova_2/,dati/prova_3/};

59


I files delle misure (misure.txt) contegono un primo numero intero,

il tempo di campionamento in millisecondi,

e poi due colonne di numeri float separati da tabulazione semplice

CountsXrad = 5200*(2/5) /(2*pi)

Nfig = 1;

figure(Nfig)

Nfig = Nfig +1;

for i=1:length(stringa)

%caricamento dati

filep =fopen(strcat(char(stringa(i)),measures.txt),r);

Ts = 0.001*fscanf(filep, %f %d,1); %Time Sampling legge il primo valore

measures = fscanf(filep, %f %f,[2 inf]); %reading two columns of floats

measures = measures;

fclose(filep);

time(:,i) = Ts*[0:1:length(measures(:,1))-1];

dati_output(:,i) = measures(:,2); %input

dati_input(:,i) = measures(:,1);%CountsXrad*measures(:,2);

%output in radianti

dati_output(1,i) = 0;

DeltaTOld = measures(2,2); %measures(1,2);

60


for j=2:length(dati_output(:,i))

if(abs(measures(j,2)-measures(j-1,2)) > 3000)

dati_output(j,i) = dati_output(j-1,i) - measures(j-1,2);%

((measures(j,2)-measures(j-1,2))-4128);

else

dati_output(j,i) = dati_output(j-1,i) - (measures(j,2)-

measures(j-1,2));

end

DeltaTOld = dati_output(j,i);

end

subplot(length(stringa),1,i)

plot(time(:,i),dati_input(:,i),-r,time(:,i),dati_output(:,i),

-b,linewidth,2)

ylabel($AnalogWrite$,Interpreter,Latex)

end

legend(in,out)

% %% FILTRAGGIO DEI SEGNALI

% % Viene utilizzato un filtro passa basso

%

% %%%PARAMETRI FILTRO

%

% %guadagno statico del filtro

% K = 1; %ricorda che 1 => 20 log_{10}(1) = 0 db

% %prima pulsazione di rottura, zero

61


% omega1 = 2*pi * 0.0001;

% %seconda pulsazione di rottura, polo

% omega2 = 2*pi * 0.00001;

%

% tau1 = 1/omega1;

% tau2 = 1/omega2;

%

% Fs = tf([1],[tau1 1])*tf([1],[tau2 1]);

%

% Filtro = K * Fs;

%

% %%

% % Vengono calcolati i segnali filtrati

%

figure(Nfig)

Nfig = Nfig +1;

%

% for i=1:length(stringa)

%

% % %ricalcolo il vettore dei tempi

% % iinf = 1;

% % isup = length(time);

% % for j = 0:isup-iinf %length(time)

% tsim(j+1,i) = time(iinf,i) - time(1,i) + j*Ts;

end

62


tsim = time;


ysim(:,i) = interp1(time(:,i)-time(1,i),dati_output(:,i),tsim(:,i));

usim(:,i) = interp1(time(:,i)-time(1,i),dati_input(:,i),tsim(:,i));

yfiltrata(:,i)=ysim(:,i);

ufiltrata(:,i)=usim(:,i);


plot(tsim(:,i),yfiltrata(:,i)/max(abs(yfiltrata(:,i))),-r,tsim(:,i),

ufiltrata(:,i)/max(abs(ufiltrata(:,i))),-b,linewidth,2)


end

xlabel(Time (sec),Interpreter,Latex)

legend(output,input);

title(Filtered normalized data)

% %

%

% %ingresso filtrato

% ufiltrata(:,i) = lsim(Filtro,usim(:,i),tsim(:,i));

% %uscita (posizione) filtrata

% yfiltrata(:,i) = lsim(Filtro,ysim(:,i),tsim(:,i));

% %

% subplot(length(stringa),1,i)

% plot(tsim(:,i),ufiltrata(:,i),tsim(:,i),yfiltrata(:,i),

linewidth,1.5)

% ylabel($rad$,Interpreter,Latex)

63


% %title(Ingresso (sedile) e uscita(testa) filtrate)

%

% end

% xlabel(Time (sec),Interpreter,Latex)

% legend(Motor(power system too) input,Shaft angle)

%

IDENTIFICAZIONE

La funzione di trasferimento viene identificata mediante la funzione "armax"

che utilizza un algoritmo di proiezione ai minimi quadrati robustificato

in cui vengono passati il numero dei poli _na_

che si suppone abbia la funzione di trasferimento (fdt)

vera del motore-azionamento (radici del denominatore),

il numero degli zeri _nb_ (radici del numeratore),

relax

ovvero la forma della fdt reale si assume essere pari a:

%

% $\frac{b_{nb}s^{nb} + b_{nb-1}s^{nb-1}+ \dots +

b_{0}}{a_{na}s^{na} + a_{na-1}s^{na-1}+ \dots + a_{0}}.$

%

%

%%

% Passati i dati sperimentali di ingresso-uscita,

64


% lalgoritmo fornisce i coefficienti della fdt.

%Identifico il modello con i 2/3 dei dati acquisiti e utilizzo laltra

met~A per

%validare i risultati


for j=1:length(ufiltrata)*(2/3)-1

ufiltmeta(j,i)=ufiltrata(j,i);

yfiltmeta(j,i)=yfiltrata(j,i);

end

end

%prepara i dati unendo le diverse prove sperimentali

(TUTTI I CAMPIONI)

data = merge(iddata(yfiltrata(:,1),ufiltrata(:,1),Ts),...

iddata(yfiltrata(:,2),ufiltrata(:,2),Ts),...

iddata(yfiltrata(:,3),ufiltrata(:,3),Ts));

%prepara i dati unendo le diverse prove sperimentali

(PARTE dei CAMPIONI SPERIMENTALI)

datameta = merge(iddata(yfiltmeta(:,1),ufiltmeta(:,1),Ts),...

iddata(yfiltmeta(:,2),ufiltmeta(:,2),Ts),...

iddata(yfiltmeta(:,3),ufiltmeta(:,3),Ts));

65


% dataid = iddata(yfiltrata(1:floor(length(yfiltrata)/2))

,ufiltrata(1:floor(length(ufiltrata)/2)),Ts)

% datatest = iddata(yfiltrata(floor(length(yfiltrata)/2)

:length(yfiltrata)),

ufiltrata(floor(length(ufiltrata)/2),length(yfiltrata)),Ts)

% %Estimating Model Orders

% NN = struc(2:12,1:10,1:3)

% V = arxstruc(dataid,datatest,NN)

% %To find the structure that minimizes Akaikes

Information Criterion, use the following command:

% nn = selstruc(V,AIC)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%PARAMETRI DA MODIFICARE

%

% Parametri buoni ARMAX [ 4 2 0 0] pem [4 2 0 0 1 0] [8 6 0 3]

%OTTIMO [7 8 0 0]

%

na = 4%grado denominatore

nb = 2%grado numeratore

nc = 0 %e il grado del numeratore che si

66


associa al disturbo (vedi help)

nk = 0 %RITARDO in campioni (ad esempio se

nk=1 allora luscita risente dei dati precedenti

%al tempo nk-1)

nf = 0 %grado denominatore ingresso , per il metodo PEM

nd = 0 %grado denominatore errore , per il metodo PEM

focuses = {simulation,prediction};

focus = 2; %seleziona

%tolleranza

idtol = 1e-8; %seleziona

%numero massimo di iterazioni

maxiter = 500; %seleziona

metodo = {arx,armax,pem};

scelta = 3; %seleziona

FINE SCELTA PARAMETRI

LANCIO ALGORITMI DI IDENTIFICAZIONE

67


switch char(metodo(scelta))

case arx

%A(q) y(t) = B(q) u(t-nk) + e(t)

orders = [na nb nc]

modello_totale = arx(datameta,orders,focus,

char(focuses(focus)),tolerance,idtol,maxiter,maxiter)

case armax

orders = [na nb nc nk]

modello_totale = armax(datameta,orders,focus,


case pem

% A(q) y(t) = [B(q)/F(q)] u(t-nk) + [C(q)/D(q)] e(t)

orders =[na nb nc nd nf nk]

modello_totale = pem(datameta,orders,focus,


end

%Fmodello = tf(modello_totale.b,modello_totale.a,Ts)

Fmodello = zpk([2.958],[1.00000000000, 0.6671],

-0.058122,0.004)*tf([1],[1 0.5484 0.2061],0.004)

68


[bb aa] = tfdata(Fmodello);

num = cell2mat(bb)

den = cell2mat(aa)

% omega_n = 2*pi* (0.01)^-1;

% zeta = 0.001;

% Fmodello = 0.01*tf([1 ],[1 0])*5886,7*tf([1],

[1/omega_n^2 2*zeta/omega_n 1]);

% Fmodello = c2d(Fmodello,Ts)

Nfig = Nfig +1;

figure(Nfig)

bode(Fmodello)%,[0.1:0.1:2*pi*1/Ts*1.1])

grid on

title(Identified model bode diagram )

Nfig = Nfig +1;

figure(Nfig)

title(Exeperimental Vs Simulated )


ymodello(:,i) = lsim(Fmodello,ufiltrata(:,i),tsim(:,i));


plot(tsim(:,i),yfiltrata(:,i),-b,tsim(:,i),ymodello(:,i),

-r,linewidth,2)


end

69


xlabel(Time (sec),Interpreter,Latex)

legend(Experimental data,Estimated data)

%l2 = legend(Ref$_{new}$,Ref$_{old}$,

Ref$_{experimental}$)

%set(l2,Interpreter,Latex)

advice(modello_totale)

Nfig = Nfig +1;

figure(Nfig)

compare(data,modello_totale) %utilizza tutti i valori con data

title(Compare (it uses proper initial conditions for matchings))

%

% Nfig = Nfig +1;

% figure(Nfig)

% e = resid(data,modello_totale,fr)

% me = arx(e,[10 10 0]);

% bode(me,[1:0.1:180],sd,3,fill)

% title()

% grid on

%

% e = resid(data,modello_totale,corr)

% resid(datameta,modello_totale)

% title(Residui su met~A dei dati sperimentali)

% Nfig = Nfig +1;

70


% figure(Nfig)

% resid(data,modello_totale)

% title(Residui su tutti i dati sperimentali)

%Fcontinuous = d2c(Fmodello)

Nfig = Nfig +1;

figure(Nfig)

rlocus(Fmodello)

[nfmod,dfmod,k]=zpkdata(Fmodello,v)

71

Elenco delle figure

1.1 La scheda Arduino Mega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Schema microcontrollore ATmega1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Configurazione dei pin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Supporto al motore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 PWM e Duty cycle di un segnale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Diagramma a blocchi nonlineare di un motore CC . . . . . . . . . . . 12

1.7 Schema concettuale H-Bridge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Schema dell H-Bridge integrato L293D. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Il PonteH costruito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10 Schema a blocchi dei collegamenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Raccolta dei dati sperimentali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Raccolta dei dati sperimentali con ingresso normalizzato. . . . . . . . 23

2.3 Metodo dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Confronto dati sperimentali con dati stimati. . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Diagramma di Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Fitting dei dati sul primo ingresso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Fitting dei dati sul secondo ingresso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 Luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

72

ELENCO DELLE FIGURE ELENCO DELLE FIGURE

3.1 Approssimazione dellintegrale con la trasformzione bilineare . . . . . 32

3.2 Approssimazione dellintegrale con il metodo delle differenze allindietro 33

3.3 Luogo delle radici del sistema non controllato. . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Luogo delle radici del sistema controllato. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Confronto tra diagrammi di Bode del sistema controllato e sistema

originale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Step response - Inseguimento del gradino unitario . . . . . . . . . . . 37

3.7 PID con derivazione dellerrore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.8 PID con derivazione delluscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.9 Luogo delle radici del sistema a tempo continuo . . . . . . . . . . . . 41

3.10 Luogo delle radici del sistema con controllore PID approssimato . . . 42

3.11 Luogo delle radici del sistema con controllore PID ottimizzato . . . . 42

3.12 Vista stretta grafici del sistema tempo continuo . . . . . . . . . . . . 43

3.13 Vista stretta grafici del sistema con controllore PID approssimato . . 44

3.14 Vista stretta grafici del sistema con controllore PID ottimizzato . . . 45

3.15 Inseguimento a gradino del sistema a tempo continuo . . . . . . . . . 45

3.16 Inseguimento a gradino del sistema con controllore PID approssimato 46

3.17 Inseguimento a gradino del sistema con controllore PID ottimizzato . 46

3.18 Confronti 1 tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.19 Confronti 2 tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.20 Luogo delle radici del sistema digitale con PID(z) . . . . . . . . . . . 47

3.21 Luogo delle radici del sistema digitale con PIDOP T (z) . . . . . . . . 48

3.22 Confornti 1 tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.23 Confronti 2 tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

73

ELENCO DELLE FIGURE ELENCO DELLE FIGURE

4.1 Schema di controllo con attuatore saturante . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Uscita sistema controllato con I controllore lineare e saturata . . . . . 51

4.3 Uscita sistema controllato con PID(s) lineare e saturata . . . . . . . 51

4.4 Uscita sistema controllato con PIDOP T (s) lineare e saturata . . . . . 52

4.5 Schema di realizzazione di regolatore PID con desaturazione . . . . . 52

5.1 Implementazione di I Controllore sul sistema reale . . . . . . . . . . . 55

5.2 Simulazione sistema con I Controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Simulazione sistema con I Controllore vista zoom . . . . . . . . . . . 56

5.4 Implementazione del PID con approssimazione dell azione derivativa

sul sitema reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5 Simulazione sistema con PID con approssimazione dell azione derivativa 57

5.6 Simulazione sistema con PID con approssimazione dell azione derivati-

va vista zoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 Implementazione del PID ottimizzato sul sistema reale . . . . . . . . 58

5.8 Simulazione sistema con PID ottimizzato . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.9 Simulazione sistema con PID ottimizzato vista zoom . . . . . . . . . 58

74

Bibliografia

[1] P. Bolzern - R. Scattolini - N. Schiavoni Fondamenti di controlli automatici,

McGraw-Hill, 2008.

[2] C. Bonivento - C. Melchiorri - R. Zanasi, Sistemi di controllo digitale, Progetto

Leonardo, 1995.

75

Tes i Alessandro s Baragli A

Documents

Transcript of Tes i Alessandro s Baragli A