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TERNE PITAGORICHE

SEZIONI 1. DEFINIZIONE DI TERNA PITAGORICA 2. SULLE TRACCE DELLE TERNE PITAGORICHE NELL’ANTICHITA’ 3. TERNE PITAGORICHE PRIMITIVE E DERIVATE 4. DIMOSTRAZIONE CHE LE TERNE PITAGORICHE PRIMITIVE SONO INFINITE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA’ DELL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT 6.UTILIZZO DELLE TERNE PITAGORICHE NELLA STORIA

02/04/15 A cura di:

Veronica Morellini Alessandro Granati

TERNE PITAGORICHE SEZIONE 1. DEFINIZIONE DI TERNA PITAGORICA

Consideriamo una terna generica di numeri naturali a,b,c. Essa rappresenta una terna pitagorica nel caso in cui c^2= a^2+ b^2

Cosa significa e che importanza riveste tutto ciò? Alla base di tutto c’è da considerare che la terna fornisce la misura dei cateti (a,b) e della relativa ipotenusa di un triangolo rettangolo (c). Dunque dalle terne pitagoriche scaturiscono i calcoli e le soluzioni relative alla creazione degli angoli retti.

Esistono Terne Pitagoriche Primitive quando il MCD(a,b,c,)=1 e Terne Derivate che ovviamente derivano dalle primitive quando esse sono multipli dello stesso fattore rispetto alla primitiva

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TERNE PITAGORICHE SEZIONE 2. SULLE TRACCE DI TERNE PITAGORICHE NELL’ANTICHITA’

Se dovessimo seguire acriticamente l’aggettivo assegnato alle terne, dovremmo pensare che il loro autore sia Pitagora di Samo, cui del resto è attribuito l’omonimo teorema. Il periodo in cui visse Pitagora è riferibile al 550 a.C.; sono altri autori, come Platone ed Erodoto, che collocano questa figura quasi leggendaria in questo periodo, ponendosi come testimoni indiretti della vita, dei viaggi e delle scoperte di Pitagora.

Pitagora di Samo

Tuttavia, altre testimonianze ci inducono a ritenere che non fosse un Pitagora l’autore della scoperta e dello studio di queste terne particolari……..

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2.1 TESTIMONIANZE BABILONESI

Per quel che possiamo sapere, almeno fino ad oggi, la testimonianza più antica ed incontrovertibile di tecniche per la ricerca delle terne pitagoriche è dovuta ai Babilonesi

Si tratta della tavoletta chiamata Plimpton 322: datata addirittura tra il 1900 ed il 1600 a.C. Essa riporta i numeri in base sessagesimale da cui si evincono senza dubbio terne pitagoriche: ma come sono arrivati i Babilonesi a ricavare tali terne? Esse sono il frutto di ragionamenti empirici, oppure seguono delle formule precompilate?

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2.1 TESTIMONIANZE BABILONESI

Tavoletta Plimpton 322 (deve il suo nome all’ editore George Plimpton, che la comperò da un antiquario e la lasciò in eredità alla Columbia University: era l’oggetto n.322 della sua collezione)

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2.2 STUDI GRECI E PRIME FORMULE

Molto più prossimi a noi sono i tentativi generali di ricavare formule per terne pitagoriche. Chiaramente Proclo di Alessandria, successore di Platone ?, attribuisce a Platone stesso, dunque nel periodo intorno al 400 a.C., le formule per terne pitagoriche. In particolare: a=2x; b= x^2-1; c=x^2+1 Ciò che si evince è che per x=2, otteniamo la terna primitiva a=4, b=3, c=5 ma per successivi valori di x, si trova che se x è dispari, otteniamo terne NON primitive, ma multiple, per x pari si ottengono terne PRIMITIVE, sempre con tali caratteristiche: a; b; b+2 ma tali caratteristiche non sono universali per rappresentare TUTTE le terne pitagoriche esistenti! Dunque il tentativo attribuito a Platone va senz’altro nella giusta direzione di razionalizzare il procedimento, senza tuttavia essere ancora completo

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2.3 LA SOLUZIONE CINESE

Seguendo un criterio cronologico, possiamo attribuire ad un testo cinese del periodo Han, tra il 200 ed il 220 d.C., una sistemazione definitiva della formula per scovare terne pitagoriche

a^2+b^2= c^2 (c+b)(c-b)= a^2 Considerando un numero dispari, derivante dal prodotto di due fattori dispari: a=mn; per cui, a^2= (mxn)^2, ovvero c+b= m^2 et c-b=n^2 Da ciò deriva che c= ½(m^2+n^2) e b=1/2( m^2-n^2) In pratica da tale formula si ricavano infinite terne primitive

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2.3 LA SOLUZIONE DI DIOFANTO Successivamente al procedimento cinese, Diofanto di Alessandria, vissuto nel II sec. d.C. propone un procedimento che parte da un cateto (a) pari, mentre nel procedimento cinese, si partiva da un cateto (a) dispari.

Partiamo da un numero (cateto) pari: a=2pq

Dall’equazione di partenza: (c+b)(c-b)= a^2 e ponendo a^2= 4(p^2)(q^2) Sostituiamo: c+b= 2p^2 c-b= 2q^2 ed infine

c= p^2 + q^2 b= p^2 – q^2

Diofanto di Alessandria (250 ca d.C. -350 ca. d.C.)

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TERNE PITAGORICHE SEZIONE 3. TERNE PITAGORICHE PRIMITIVE E DERIVATE

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A questo punto viene spontaneo domandarsi se esista un metodo

generale per determinare le terne pitagoriche e, in tal caso, se tale

metodo permetta di determinarle tutte. Formalizziamo innanzi-

tutto la distinzione tra terne primitive e terne derivate.

Definizione 1. Una terna pitagorica T = (a, b, c) con a, b e

c ∈ N+ si dice primitiva se M CD(a, b, c) = 1.

Una terna pitagorica T I si dice derivata di T se T I = (ka, kb, kc)

con k ∈ N+.

E facile notare che se abbiamo una terna primitiva, possiamo

ottenere da essa infinite terne pitagoriche derivate: se prendiamo

una terna T = (a, b, c), per ogni k ∈ N+ otteniamo una terna T I = (ka, kb, kc) che soddisfera a sua volta il teorema di Pitagora.

Infatti si ha

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2) ma dato che T e pitagorica, si ha che a2 + b2 = c2 e dunque

k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2 dunque

anche T I soddisfa l’equazione.

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Ma abbiamo di piu: si ha che anche le terne pitagoriche primitive

sono infinite. Questo risultato si ottiene tramite la formula che ap-

parve per la prima volta negli ”Elementi ” di Euclide, e che permette

di calcolare tutte le terne pitagoriche primitive.

Teorema 1. Data una coppia di numeri naturali (m, n) che ab-

biano diversa disparita e tali che M CD(m, n) = 1 e m > n, la

terna

a = m2 − n2, b = 2mn, c = m2 + n2

e pitagorica primitiva. Inoltre, ogni terna pitagorica primitiva

(a, b, c) con a e b di diversa disparita puo essere scritta in tal

modo con opportuni (m, n) che soddisfino le proprieta sopra elen-

cate.

Per dimostrare questo teorema dobbiamo fare tre passaggi:

1. Dimostrare che ogni terna in questa forma e pitagorica.

2. Dimostrare che ogni terna in questa forma e primitiva.

3. Dimostrare che ogni terna pitagorica primitiva puo essere scritta

in questa forma.

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Vediamo come procedere. Parte 1. Consideriamo la terna (a, b, c) = (m2 − n2 , 2mn, m2 − n2 );

dobbiamo mostrare che a2 + b2 = c2 . Abbiamo

a2 + b2 = (m2 − n2 )2 + (2mn)2 =

= (m4 − 2m2n2 + n4 ) + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 .

D’altra parte

c2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4

e dunque ricaviamo a2 + b2 = c2 .

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Parte 2.

Dobbiamo mostrare che M CD(a, b, c) = 1. Supponiamo per as-

surdo che esista k ∈ N+ che divida a, b e c. Possiamo supporre per

comodita che sia un numero primo dispari (il caso del 2 si dimostra

facilmente in maniera analoga). se k/a e k/c, allora divide anche la

loro somma e la loro differenza. Allora k divide

a + c = (m2 − n2) + (m2 + n2) = 2m2

e

c − a = (m2 + n2) − (m2 − n2) = 2n2.

Essendo k dispari, si ha che k/m2 e k/n2, e quindi k divide sia

m che n. Ma allora m e n non sarebbero coprimi tra loro, contro

l’ipotesi del teorema.

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TERNE PITAGORICHE SEZIONE 4. TERNE PITAGORICHE INFINITE

Parte 3. Consideriamo ora una terna pitagorica primitiva: sappiamo che

i primi due numeri non possono essere di stessa parita, dunque

supponiamo che a sia dispari e b pari. Consideriamo poi k =

M CD(c + a, c − a), sappiamo che k e pari (perche divide due

numeri pari) e si puo mostrare in particolare che k = 2. Consid-

eriamo dunque due numeri interi e positivi u e v tali che si possa

scrivere a + c = 2u e c − a = 2v.

𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2 

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Si ha che M CD(u, v) = 1 e inoltre

b2 = c2 − a2 = (c + a)(c − a) = 4uv → ( b/2 )2 = uv

. Ma allora u e v devono essere due quadrati, poniamo quindi u = m2 e v = n2.

b2 = 4m2n2 → b = 2mn.

2c = (c + a) + (c − a) = 2(u + v) = 2(m2 + n2) → c = m2 + n2.

2a = (c + a) − (c − a) = 2(u − v) = 2(m2 − n2 ) → a = m2 − n2 .

𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2 

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Ora che abbiamo mostrato che tutte le terne pitagoriche

primitive possono essere scritte in questa forma, e facile

notare che esse siano infinite; basta notare che sono in-

finite le coppie (m, n) con le caratteristiche desiderate. Possiamo ad esempio considerare tutte le coppie (1, 2m),

costituite dal numero 1 e dai numeri pari, oppure le cop-

pie (2, 2m + 1), costituite dal numero 2 e tutti i numeri

dispari, ma anche tutte le coppie (m, m + 1) dei numeri

consecutivi.

𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2 

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Vediamo alcuni esempi di terne primitive generate da queste coppie

particolari:

• (1, 2) → (3, 4, 5)

(1, 4) → (15, 8, 17)

(1, 6) → (35, 12, 37).

• (2, 3) → (5, 12, 13)

(2, 5) → (21, 20, 29)

(2, 7) → (45, 28, 53).

• (4, 5) → (9, 40, 41)

(5, 6) → (11, 60, 61)

(11, 12) → (23, 264, 265).

E interessante notare che le coppie di numeri consecutivi generano

terne in cui b e c sono a loro volta due numeri consecutivi: infatti,

se consideriamo una coppia (m, m + 1), si avra che

b = 2m(m + 1) = 2m2 + 2m

e

c = (m)2 + (m + 1)2 = m2 + (m2 + 2m + 1) =

= 2m2 + 2m + 1 = (2m2 + 2m) + 1 = b + 1

𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2 

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TERNE PITAGORICHE SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA’ DELL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT

Le terne pitagoriche assumono un aspetto ancor più interessante se si considerano in un piano più generale. Esse sono le terne di soluzioni intere dell'equazione diofantea a2 + b2 = c2; possiamo considerare l'equazione generale an + bn = cn; a; b; c; n 2 N+: Mentre abbiamo appena dimostrato che le soluzioni dell'equazione di Pitagora non solo esistono, ma sono infinite, si ha che non esistono terne di soluzioni per l'equazione precedente per n > 2.

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Questo è l'enunciato del famosissimo "Ultimo teorema di Fermat". Fermat era un matematico francese che visse nella prima metà del '600; egli, a proposito del teorema precedente, scrisse, sul margine di una pagina dell'Arithmetica di Diofanto, le seguenti parole: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina."

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Tale dimostrazione non fu mai trovata: così, da quel momento in poi, i matematici di tutto il mondo hanno cercato di dare risposta a questo problema, attraverso una storia molto travagliata durata quasi quattro secoli. Negli anni furono dimostrati diversi casi particolari: ad esempio Eulero riuscì a dimostrare il teorema per n = 3, Legendre per n = 5, ma non si arrivo ad una dimostrazione generale fino al 1994, grazie al matematico inglese Andrew Wiles.

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Wiles lavorò al teorema per anni, riuscendo a produrre una dimostrazione di 130 pagine che coinvolge i campi piu disparati della matematica, quali curve ellittiche, teoria di Galois e forme modulari.

La dimostrazione è ovviamente molto complessa, ci accontenteremo di accennare i passaggi fondamentali, basati su alcune congetture formulate nel corso degli anni.

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Nel 1986 Ken Ribet dimostrò la congettura di Frey, la quale afferma che ogni eventuale soluzione dell'equazione di Fermat produrrebbe una curva ellittica di particolare tipo, che a sua volta darebbe un controesempio della congettura di Tanyama-Shimura. Wiles riuscì a dimostrare la congettura di Tanyama-Shimura, e dunque il teorema di Fermat.

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Dato che la dimostrazione originaria non e mai stata trovata, si presentano tre possibili spiegazioni: Fermat non dimostrò mai il teorema. Fermat dimostrò effetivamente il teorema, ma successivamente trovò un errore e non pubblicò mai il suo lavoro. Egli dimostrò il teorema ma i suoi scritti non furono mai ritrovati. Quest'ultima è l'ipotesi più affascinante, in quanto la dimostrazione di Wiles coinvolge degli argomenti matematici troppo recenti e avanzati per poter essere la stessa originaria di Fermat; in questo caso rimarrebbe il problema aperto della ricerca di una dimostrazione piu semplice ed elementare.

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Consigliamo a tutti di leggere il libro di Simon Singh “L'ultimo teorema di Fermat”, che racconta in maniera molto semplice ma accurata e appassionante l'incredibile storia di questo teorema.

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TERNE PITAGORICHE SEZIONE 6. UTILIZZO DELLE TERNE PITAGORICHE, NELLA STORIA

Non sappiamo con sicurezza se gli antichi egizi sapessero della validità generale delle terne pitagoriche, ovvero se sapessero che per tutti i triangoli rettangoli, l’ipotenusa è la radice della somma dei quadrati dei cateti.

Ciò che sappiamo è che essi usavano la terna primitiva 3,4,5 a volontà, per ricavare l’angolo retto su grandi distanze, quelle necessarie alla costruzione delle piramidi…

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La questione consiste in ciò: per mettere a squadro una tavola di legno è sufficiente un piccolo strumento, già pronto, che fa da guida durante il taglio del legno stesso. Ma quando si tratta di distanze di decine di metri, non è più attendibile pensare che basti proiettare lo «squadro» fino alla distanza voluta e pensare di aver mantenuto con buona precisione, l’ortogonalità della nostra proiezione….come si fa?

Scoperta la particolare proprietà della terna primitiva più semplice: 3,4,5 (la terna «sacra») di produrre un angolo retto, si annoda una grossa corda, in modo che tra i nodi ci siano 12 tratti equispaziati. E’ necessaria una unità di misura per questo procedimento? No!! Il bello è che non si ha bisogno di misurare con qualche unità di misura la distanza tra i nodi. Basta che la distanza prescelta tra i nodi, qualsiasi essa sia, resti costante!

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I TENDITORI DI FUNI

I geometri egiziani venivano chiamati i «tenditori di funi», proprio perché, per misurare i terreni (qualche volta) o per costruire le piramidi (sempre) utilizzavano grosse corde «attraversate» da nodi equispaziati e chiuse a collana

Fissavano poi la grossa fune a terra, con tre pioli che marcavano il 3° nodo, il 4° dal terzo, ed il 5° dal quarto.

In tal modo erano sicuri di seguire lo squadro nella costruzione della piramide (tra i lati della base, nelle piramidi a base quadrata ad esempio)

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Agli indiani ed ai cinesi si attribuisce la scoperta della terna 5,12,13 ai Babilonesi quella con lati 18,24,30 (derivata dalla 3,4,5). Forse i babilonesi non avevano chiara la differenza tra terna primitiva e derivata, tuttavia erano molto avanti nelle conoscenze pratiche e nella sperimentazione, tanto che arrivano a classificare, già nel 1600 a.C. la terna 4961, 6480, 8161. Ciò stando alla Plimpton, ma chissà da quando erano pregresse tali conoscenze…..

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GRAZIE PER LA VOSTRA ATTENZIONE! Alessandro Granati Veronica Morellini

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