Teoria Stati Limite Di Taglio

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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALEFACOLTÀ DI INGEGNERIA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO

CORSO DI AGGIORNAMENTO PER GEOMETRI CORSO DI AGGIORNAMENTO PER GEOMETRI SU PROBLEMATICHE STRUTTURALISU PROBLEMATICHE STRUTTURALI

Verifica agli stati limite:Verifica agli stati limite:la sollecitazione di tagliola sollecitazione di taglio

Antonella Colombo

Il taglio: introduzione• Di rado le travi sono sollecitate a sola flessione o presso-flessione:

normalmente queste azioni sono accompagnate dal taglio, sollecitazione che produce tensioni tangenziali. La presenza della sollecitazione di taglio è legata alla variazionelungo l’asse della trave del momento flettente secondo la formula:

V = dM / dxP

M

V

q

M

V

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Il taglio: introduzione• La presenza delle tensioni tangenziali rende incoerente il semplice

modello del calcestruzzo privo di resistenza a trazione, in quanto il trasferimento di queste tensioni dalla parte tesa della sezione (l’armatura) a quella compressa richiede la partecipazione del calcestruzzo presente nella zona tesa (trascurato nella teoria della flessione). La resistenza a trazione del calcestruzzo, anche se modesta, svolge un ruolo essenziale nel funzionamento delle travi sollecitate a flessione e taglio.

• In molti casi gli effetti delle sollecitazioni di taglio risultano critici per la resistenza degli elementi in cemento armato. Essendo provocato dalla rottura del calcestruzzo teso, il collasso dovuto alle forze di taglio è di tipo fragile (improvviso, accompagnato da piccole deformazioni), quindi estremamente pericoloso: occorre dunque rendere la resistenza a taglio degli elementi maggiore di quella a flessione.

Il comportamento a taglio• Materiale con comportamento elastico-lineare

Le tensioni tangenziali si possono calcolare conla relazione derivata mediante la teoria approssimata di Jourawski:

τ(y) = V S(y) / I b(y)

τmax = V / z b

• Materiale con comportamento elastico-lineare

Le tensioni tangenziali si possono ancora calcolare con la relazione derivata mediante la teoria approssimata di Jourawski.

Sotto il baricentro le tensioni restano costantiperché il cls teso viene trascurato. Le tensioni poi si annullano in corrispondenza dell’armaturatesa.

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Interazione taglio-flessione

La comprensione del comportamento di una trave soggetta a taglio e flessione richiede l’analisi della trave nella sua interezza (la sezione non è più sufficiente).

• Resistenza a trazione raggiunta: formazione di una fessura verticale (perpendicolare all’asse della trave)

• Crescita del carico: la fessura si propaga e per effetto delle tensioni tangenziali si inclina verso l’asse

⇒ si deve rinunciare al semplice schema della sezione fessuratanormalmente all’asse ed esaminare dei conci di lunghezza infinita entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate.

Principali meccanismi di resistenza al taglio

Dall’equazione indefinita dell’equilibrio, esprimente il taglio come derivata del momento flettente,

e dalla equivalenza tra momento flettente e prodotto della risultante delle tensioni di trazione T (o compressione) per il braccio della coppia interna z si ottiene:

=dMVdx

( )= = +d dT dzV Tz z Tdx dx dx

effetto travetravi snelle

effetto arcotravi tozze

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Il comportamento delle travi in cemento armato fessurate per l’azione della flessione e del taglio è piuttosto complesso e la stima dell’entità dei contributi forniti dai diversi meccanismi non sempre si può dedurre sulla base della sola legge tensione–deformazione del materiale; spesso si deve ricorrere a formule empiriche, giustificate dai risultati di esperimenti di laboratorio e dal loro utilizzo pratico.

+-

+M

VF

Fa

Sperimentazione di laboratorioModello fisico

M/V=a

Per travi senzaarmatura a taglioil rapporto M/Vcorrisponde a

a/d con d = altezzautile della sezione FF

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Resistenza travi sollecitate a flessione e taglio

(tratto da R. Park and T. Paulay: Reinforced Concrete Structures)

Tipo 1. Collasso del meccanismo di traveal momento o immediatamente dopo l’applicazione del carico corrispondente alla fessurazione diagonale (3< a/d <7)

Modalità di collasso travi sollecitate a flessione e taglio

1

6

Tipo 2. Collasso del meccanismo ad arcoper compressione o trazione di origine flessionale della zona compressa corrispondente ad un carico superiore a quello relativo alla fessurazione diagonale (2< a/d <3)


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Tipo 3. Collasso del meccanismo ad arcoper schiacciamento o splitting del calcestruzzo (a/d <2.0)

3 12

7

a/d1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

270 mm

190 mm

320 mm

Comportamento sperimentaletravi sollecitate a flessione e taglio

Comportamento sperimentale travi sollecitate a flessione e taglio

a/d

4.0

5.0

6.0

8.0

7.0

(tratto da R. Park and T. Paulay: Reinforced Concrete Structures)

270 mm

190 mm

320 mm

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I stadio II stadio

(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)

I stadio II stadioI stadio II stadio


Caso 1: elemento infinitesimo posto in corrispondenza dell’asse neutro, o anche - nel caso di sezione parzializzata - elemento posto tra l’asse neutro e l’armatura tesa.

Il cerchio di Mohr mostra che la direzione principale di trazione è a 45° e che la tensione principale di trazione σξ è uguale in valore alla τxy

τ

σ

σξ=τxy

P

1

Valutazione delle direzioni principali di tensione

I stadio II stadioI stadio II stadio

Caso 2: elemento posto al di sopra dell’asse neutro

la presenza contemporanea di una tensione di compressione sulla faccia verticale, unita alla riduzione del valore delle τxy, aumenta l’inclinazione rispetto all’asse della trave e riduce il valore della tensione principale di trazione

P

τ

σ

2 σξ

Valutazione teorica delle direzioni principali di tensione


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Valutazione teorica delle direzioni principali di tensione

Caso 3. Nel caso di calcestruzzo reagente a trazione la presenza di tensioni normali di trazione riduce l’inclinazione rispetto all’asse ed aumenta il valore della tensione principale di trazione negli elementi situati al di sotto dell’asse neutro

P

τ

σ

3 σξ

I stadio


I stadio


I stadioI stadio II stadio


Definizione dei meccanismi di collasso


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Valori limiteLa normativa (EC2) definisce tre valori limite per il taglio V:

• VRd1 Resistenza di calcolo dell’elemento privo di armatura ataglio

• VRd2 Massima forza di taglio di calcolo che può esseresopportata senza rottura delle bielle compresseconvenzionali di calcestruzzo

• VRd3 Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata daun elemento con armatura a taglio

Alle tensioni ammissibili erano richieste le tre verifiche:

τ < τco per controllare se le tensioni nel cls sono molto basse e quindi è possibile non calcolare espressamente l’armatura a taglio

τ < τc1 per controllare se la sezione è accettabile (cls in gradodi sopportare le tensioni indotte dal taglio)

σ < σs per l’armatura a taglio, per controllare se è sufficiente

Se …Vsd < VRd1 non è richiesta armatura a taglio

(deve essere previsto un minimo di normativa)

Vsd>VRd1 deve essere prevista una opportuna armatura a tagliotale che Vsd ≤ VRd3

A tal proposito sono possibili due metodi di calcolo:

il metodo normale ed il metodo dell’inclinazione variabiledel traliccio.

INOLTRE:

In nessuna sezione di qualunque elemento la forza di taglio di calcolo deve essere maggiore di VRd2

Vsd < VRd2

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Nel caso del taglio, i risultati ottenuti nella verifica alle T.A. possono essere anche notevolmente differenti da quelli dello stato limite ultimo, a causa della differenza tra i modelli usati nei due casi.

Si può ritenere che il metodo allo stato limite ultimo sia più rispondente al reale comportamento delle strutture, mentre le formulazioni usate nel metodo alle T.A. sono in genere (ma non sempre) più cautelative.

Elementi non armati a taglio modello resistente

Il modello a pettine nasce dall’osservazione che una trave fessurata a taglio può vedersi come costituita da un corrente compresso, corrispondente alla costola del pettine, e dagli elementi compresi tra le lesioni, corrispondenti ai denti del pettine, inclinati a 45 gradi rispetto alla costola. I denti del pettine sono attraversati, nella parte inferiore, dall’armatura disposta per la flessione. N.B. la figura si riferisce ad una trave appoggiata agli estremi, sollecitata da un momento flettente positivo.

Evidenza sperimentale Modello meccanico

corrente compresso(costola del pettine)

puntone inclinato(dente del pettine)

armatura a flessione

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Modello a pettineLe fessure che attraversano la zona tesa della trave la separano in

tanti blocchi di calcestruzzo che si comportano come mensole incastrate nella parte superiore compressa dell’elemento.

Quando agisce il meccanismo resistente del comportamento a trave, la mensola è sollecitata dalla forza ∆N = N1 - N2, prodotta dalla variazione della forza di trazione dell’armatura. A questa sollecitazione si oppongono le seguenti azioni resistenti:

1. Le tensioni tangenziali τa che agiscono sulle superfici delle fessure, dovute all’ingranamento degli inerti.

2. Le forze di taglio Vd, prodotte dall’effetto spinotto (dowel action) delle armature longitudinali.

3. Il momento Mc agente nella sezione di incastro della mensola di calcestruzzo nel corrente compresso.

In un modello lineare, in assenza di fessurazione, la variazione di Nsè bilanciata dalle τ di aderenza. In presenza di fessurazione la variazione di Ns diventa invece un’azione orizzontale ∆Ns sul dente. Ricordando che la variazione del momento flettente è legata al taglio (∆M = V ∆x), si ha

Modello a pettineAnalisi della sollecitazione

s∆M V ∆x∆N = =z z

∆xNs Ns + ∆Ns

Nc Nc+ ∆Nc

V

z d

x

d-x 45°

V

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Sezione di scorrimentoanalisi della sollecitazione

s0

∆N V ∆xN =- = -2 2 z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 s∆x V ∆x ∆xM = -∆N d-x - = - d- x -4 z 4

Le caratteristiche della sollecitazione provocate dalla forza ∆Nsnella sezione di incastro del dente valgono:

∆xNs Ns + ∆Ns

Nc Nc+ ∆Nc

V

z d

d−x−∆x/4N0

M0

x

d-x 45°

V

Verifica della sezione di scorrimento La sezione resistente ha base b ed altezza ; la sua area èquindi ed il modulo di resistenza . La massima tensione di trazione è di conseguenza pari a:

In base a considerazioni sperimentali si può assumere:

e quindi

Si ottiene così

e, considerando la resistenza a trazione per flessione pari a si ottiene:

2/x∆

( ) 6/2/ 2xbW ∆=

2

N 6 M V 12 V (d x x / 4)b z b z xb ( x / 2) b ( x / 2 )

− − ∆σ = − = − +

∆∆ ∆

x d∆ =x 0.2 d= d x 0.8 d− =

5.6 V 6.2 Vb z b d

σ = =

ctd1.6 f

Rd ctdV = 0.25 b d f

2/xbA ∆=

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tens. princ. di trazione

centro ; raggio

Corrente compresso analisi della tensione

Se si prende in esame il concio di estremità della trave in corrispondenza dell’appoggio, delimitato dalla prima lesione a taglio, si ricava dall’equilibrio alla rotazione rispetto all’appoggio:

La sezione del corrente è soggetta a sforzo normale di compressione e taglio. Supponendo per semplicità che le tensioni dovute a ciascuna delle caratteristiche di sollecitazione siano costanti nella sezione, si ha:

e quindi σ = τ.

cN V=

CNb x

σ =V

b xτ =

C , 02σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

22R

2σ⎛ ⎞= + τ⎜ ⎟

⎝ ⎠Il cerchio di Mohrcorrispondente ècaratterizzato da: 2

2

2 2ξσ σ⎛ ⎞σ = + τ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Verifica del corrente compressoSostituendo nell’espressione della tensione principale di trazione i valori delle tensioni normali e tangenziali prima determinati si ha:

Se, inoltre, si impone che la tensione principale di trazione sia uguale al valore di resistenza a trazione del calcestruzzo si ottiene un valore limite del taglio pari a:

Nota: Confrontando il valore ora determinato con quello fornito dalla verifica del dente, si ha che la resistenza del corrente compresso è minore di quella del dente se:

ovvero Questa situazione normalmente non si verifica in sezioni soggette a flessione semplice, a meno che l’armatura a flessione non sia estremamente bassa; diventa invece molto probabile se la sezione è soggetta a tensoflessione.

V0.62 0.62b xξσ = τ =

Rd ctdV =1.6 b x f

1.6 x 0.25 d< x 0.156 d<

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Altri contributi alla resistenza del denteIngranamento degli inerti

Le lesioni non sono mai perfettamente lisce; quando i denti si deformano a pressoflessione, lo scorrimento tra le due facce della fessura viene limitato dall’attrito dovuto alla scabrositàdelle superfici e soprattutto dal contatto diretto tra gli inerti. Le azioni mutue così generate riducono l’entità del momento flettente e limitano la deformazione del dente. Questo effetto, detto di ingranamento degli inerti, è particolarmente rilevante per travi basse, per le quali le fessure sono particolarmente strette; al crescere dell’altezza della trave l’ampiezza della lesione aumenta e l’effetto dell’ingranamento si riduce.

Altri contributi alla resistenza del denteEffetto spinotto

Lo scorrimento tra le due facce di una fessura comporta anche una deformazione dell’armatura flessionale, mostrata in maniera esageratamente accentuata nella figura. Anche le barre di armatura esercitano quindi un’azione mutua che riduce il momento flettente nel dente e ne aumentano la resistenza (effetto spinotto, o effetto bietta). L’azione delle barre longitudinali èperò limitata dalla possibilità che salti il copriferro ed il suo contributo può essere quantizzato proprio valutando la resistenza del calcestruzzo di ricoprimento.

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Altri contributi alla resistenza del denteEffetto dello sforzo assiale

La presenza di uno sforzo assiale di compressione incrementa la resistenza a taglio di una sezione non armata. Esso infatti aumenta le dimensioni del corrente superiore rendendone più difficile la rottura; contemporaneamente i denti del modello a pettine vengono accorciati e si riduce in essi l’effetto flettente. Il contrario accade in presenza di trazione: la diminuzione di dimensione delcorrente compresso e l’incremento di flessione nel dente riducono sensibilmente la capacità di portare taglio, rendendo quasi sempre necessaria la disposizione di specifiche armature per il taglio.

Resistenza di elementinon armati a taglio

Resistenza a tagliodel modello a pettine

contributoingranamento inerti

contributospinotto (bietta)

contributosforzo normale

COMPORTAMENTOA

TRAVE

Resistenzadel denteResistenza del corrente+

COMPORTAMENTOA

ARCO

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Elementi non armati a taglio 4.3.2.3. Elementi che non richiedono armatura a taglioLa resistenza a taglio di calcolo VRd1 è data da:

[ ] db15,0)402,1(kV wcplRd1Rd σ+ρ+τ=

τRd resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento (0,25 fctk0,05) / γcIl valore di γc. deve di regola essere assunto pari a | 1,5 | (I : | 1,5 | o | 1,6 |).

k | 1 | per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore èinterrotta. In caso contrario vale | 1,6−d ≥ 1 | (d in metri);

dbA

w

slρ ≤ | 0,02 |; con Asl area delle armature di trazione che si estende per non meno di d+lb,net oltre la sezione considerata.

bw larghezza minima della sezione lungo l’altezza efficace;

σcp NSd / Ac, con NSd forza longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla precompressione (compressione positiva).

Elementi non armati a taglio

4.3.2.2. Elementi che non richiedono armatura a taglioVicino agli appoggi, dove la configurazione di carichi concentrati e la reazione di appoggio è tale che una parte dei carichi può essere trasferita all’appoggio per compressione diretta (appoggio diretto), si può ammettere un incremento della resistenza a taglio VRd1. Il raggiungimento di VRd1 dipende in modo significativo da un appropriato ancoraggio delle armature tese da una parte e dall’altra di ogni possibile piano di rottura.

EFFETTO ARCO

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Elementi non armati a taglio

4.3.2.2. Elementi che non richiedono armatura a taglioPerché si tenga conto dell’incremento della resistenza a taglio devono, di regola, essere soddisfatte le seguenti condizioni:

a) il carico e le reazioni di appoggio sono tali da creare una compressione diagonale nell’elemento (appoggio diretto);

b) a un appoggio di estremità tutta l’armatura tesa richiesta alla distanza pari a 2,5 d dall’appoggio deve, di regola, essere ancorata all’interno dell’appoggio;

c) a un appoggio intermedio l’armatura tesa richiesta al filo dell’appoggio deve di regola proseguire per almeno 2,5 d + lb,net nella campata.

Applicazione

Dati:- Trave a sezione rettangolare- b = 30 cm- h = 60 cm- Asl = 5φ20 = 15.7 cm2

- c = 3 cm- V = 75 kN

- Cls: Rck = 30 N/mm2

- Acciao: Fe B 44 k

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Tensioni ammissibili- Calcolo tensioni tangenziali ammissibili

- Tensione max nel cls:

- Solo armatura minima da normativa:

Applicazione

2ck0c mm/N6.0

7515304.0

7515R

4.0 =−

+=−

+=τ

2ck1c mm/N83.1

3515304.1

3515R

4.1 =−

+=−

+=τ

2s mm/N255=σ

0c2

cm mm/N49.03005709.0

75000τ<=

⋅⋅=τ

m/cm44.2d9.0V1.0b1.0

sA 2

0c

*sw =τ⋅⋅

⋅=⋅=

Stati limite- Valori di calcolo

Vd = γ V = 1.5 x 75 = 112.5 kNτRd = 0.25 x 0.7 x 0.27 Rck

2/3 /1.6 = 0.308k = 1.6 – d = 1 – 0.57 = 1.03ρ = Asl /bd = 15.70 / 30 x 57 = 0.0092

VRd1 = 0.308 x 1.03 x (1.2 + 40 x 0.0092) x 300 x 570 = 85061 N < Vd

⇒ La trave deve essere armata a taglio!!!!!!

Applicazione

[ ] db15,0)402,1(kV wcplRd1Rd σ+ρ+τ=

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Elementi con armatura a taglioosservazioni

• Il modello di traliccio, proposto da Mörsch ed utilizzato per il metodo delle tensioni ammissibili, fa in realtà riferimento ad una situazione ben diversa da quella di materiale omogeneo ed isotropo, perché le diagonali compresse (puntoni inclinati di calcestruzzo) sono individuate dalle fessure provocate dal taglio. Appare quindi logico utilizzare tale modello anche nell’ambito delle verifiche allo stato limite ultimo.

• Occorre però notare che il modello proposto da Mörsch è un traliccio isostatico, nel quale tutte le aste sono incernierate nei nodi. Nella realtà il puntone diagonale compresso èincastrato al corrente superiore; appare quindi più corretto tenere conto di tale vincolo utilizzando un modello di traliccioiperstatico.

Calcolo del taglio resistentedi travi armate a taglio

-VRd3 Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da un elemento con armatura a taglio, il cui collasso èattivato dallo snervamento dell’armatura a taglio

- VRd2 Massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle compresse convenzionali di calcestruzzo

SEVsd › VRd1

è richiesta armatura a taglio

Il calcolo del taglio resistente di elementi armati a taglio e’ basato sui valori:

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Calcolo del taglio resistentedi travi armate a taglio

- Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio

- Metodo normale

Metodi di normativa per il calcolo di VRd2 e VRd3

Il taglio resistente di elementi armati a taglio e’fornito dal minore tra VRd2 e VRd3 .

Metodo Normale

Il cosiddetto “metodo normale” per la valutazione della resistenza a taglio di una trave dotata di specifica armatura per il taglio consiste nell’analizzare il modello di traliccio iperstatico, con puntoni compressi inclinati a 45° ed incastrati nel corrente compresso. Le diagonali tese possono essere costituite da ferri sagomati o da staffeN.B. nella trattazione si indicherà genericamente con α l’inclinazione di tali elementi rispetto all’orizzontale, essendo quindi α=45° per i sagomati e α=90° per le staffe

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Metodo NormaleSchiacciamento del puntone

Lo schema è iperstatico, ma nel valutare la resistenza a compressione del puntone si può ritenere trascurabile il momento flettente, data la piccola entità delle deformazioni ed il fatto che la rigidezza estensionale è molto maggiore di quella flessionale. La forza di compressione nel puntone è quindi data, in base alla condizione di equilibrio, da

Poiché la distanza tra i puntoni, misurata in orizzontale, è pari a z (1+cot α), la loro sezione trasversale ha altezza z (1+cot α) e larghezza b.

punVN 2 V

sin 45= =

°

Metodo NormaleSchiacciamento del puntone

La rottura per schiacciamento si avrà quando la tensione raggiunge il valore ν fcd, essendo ν un opportuno fattore di riduzione che per l’Eurocodice 2 vale

con fck in N/mm2

La rottura a compressione si ha quindi quando

cioè per un valore del taglio, che indicheremo col simbolo VRd2

ckf0,7 0,5200

ν = − ≥

c cd2 V f

b z (1 cot ) / 2σ = = ν

+ α

N.B. L’Eurocodice 2, nell’imporre questa formula, precisa che si deve utilizzare cautelativamente il valore α=90° (e quindi cot α=0) in presenza di sagomati, perché la piega della sagomatura induce localmente valori più elevati di tensione nel calcestruzzo.

( )α+⋅⋅⋅⋅υ⋅= cot1zbf21V cd2Rd

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Metodo NormaleSnervamento dell’armatura

Al crescere delle azioni sullo schema di traliccio iperstatico, inizialmente sono preponderanti le azioni assiali ed è molto piccolo il momento flettente nel puntone. Quando nell’armatura a taglio si raggiunge la tensione di snervamento, gli ulteriori incrementi di carico producono un incremento della sollecitazione flessionale nel puntone inclinato, fino alla sua rottura, mentre l’armatura si deforma a tensione costante. Il valore del taglio che porta alla rottura, che indichiamo con VRd3, è quindi somma del valore Vwd che si avrebbe in uno schema iperstatico e dell’aliquota Vcd dovuta alla resistenza del puntone compresso

cdwd3Rd VVV +=

Metodo NormaleSnervamento dell’armatura

La forza di trazione nella diagonale tesa del traliccio è data, in base alle condizioni di equilibrio, da

Se si indica con Asw l’area di armatura a taglio disposta in un tratto ∆x, l’area della diagonale tesa è

ed imponendo che la tensione nella diagonale, Ndiag / Adiag , sia pari a fyd si determina il taglio che provoca lo snervamento dell’armatura

diagVN

sen=

α

swdiag

AA z (1 cot )x

= + α∆

( ) α⋅α+⋅⋅⋅∆

= sencot1fzx

AV yd

swwd

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Metodo Normale

4.3.2.4.3 Metodo normale• La resistenza a taglio di una sezione con armature a taglio è data

dall’equazione:VRd3 = Vcd + Vwd

ywdsw

wd fzs

AV =

Vcd è il contributo del calcestruzzo ed è uguale a VRd1Vwd è il contributo delle armature a taglio.

(2) Il contributo delle armature verticali a taglio è dato dall’equazione:

Asw è l’area della sezione trasversale delle staffe;s è il passo delle staffe;fywd è lo snervamento di calcolo delle armature a taglio.

Metodo Normale (EC2 - 4.3.2.4.3.)

4.3.2.4.3 Metodo normale(3) Nella verifica a schiacciamento del puntone compresso,

VRd2 è data dall’equazione:

5,0200f

7,0 ck ≥−=ν

La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola, essere limitata a σc≤ n fcd, dove ν è il fattore di efficienza dato da:

(fck in N/mm2)

Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d.

cdRd 2

f b zV =2

ν

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Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio

Le prove di carico condotte su travi, fino alla rottura per taglio, mostrano che l’inclinazione delle isostatiche di compressione tende ad aumentare dopo lo snervamento dell’armatura a taglio. Ciò può essere giustificato teoricamente pensando che quando le armature sono snervate tendono ad esserci sensibili scorrimenti lungo le lesioni a taglio e che per l’ingranamento degli inerti viene così trasmessa una tensione tangenziale τ1.

Nst

Ns

Nc

Nst

Ns

Nc

Nst NstθΙ θΙ

θ

Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio

Il metodo detto “di inclinazione variabile del traliccio” consiste nell‘analizzare un modello di traliccio isostatico, generalizzazione di quello di Mörsch, nel quale si considera una generica inclinazione θ del puntone compresso ed una inclinazione α (compresa tra 45° e 90°) dell’armatura a taglio.

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Metodo dell’inclinazione variabile del traliccioSchiacciamento del puntone

Il contributo del puntone di calcestruzzo è valutato non rendendo lo schema iperstatico bensì considerando variabile l’inclinazione del puntone stesso.

La resistenza a schiacciamento del puntone può essere valutata immediatamente, generalizzando l’espressione determinata per il metodo normale. Si ha infatti:

e l’altezza della sezione del puntone è .

Quindi il taglio che porta a rottura il puntone è

essendo

punVN

sen=

θ( ) θsencotθcotz α+

θ2enθ2cot1 s1=+

( )θ+

α+θ⋅⋅⋅⋅υ= 2

cd2Rd

cot1cotcotzbf

V

Metodo dell’inclinazione variabile del traliccioSnervamento dell’armatura

La forza che agisce nell’armatura inclinata vale ancora

mentre l’area della diagonale tesa è, in funzione dell’area di armatura a taglio Asw disposta in un tratto ∆x,

Il taglio che provoca lo snervamento dell’armatura è quindi

diagVN

sen=

α

swdiag

AA z (cot cot )x

= θ + α∆

( ) α⋅α+θ⋅⋅⋅∆

= sencotcotfzx

AV yd

sw3Rd

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Metodo dell’inclinazione variabile del traliccioOsservazioni

Dalle due espressioni

si può notare che se, partendo da un’inclinazione del puntone θ=45°(cioè cot θ=1), si riduce il valore di θ (e cresce cot θ) si ha una riduzione di VRd2 ed un aumento di VRd3. Si può allora pensare che nelle fasi iniziali del processo di carico le isostatiche di compressione siano a 45°. Quando, dopo aver raggiunto lo snervamento, si incrementano ulteriormente i carichi iniziano a verificarsi grosse deformazioni e scorrimenti tra le fessure e le isostatiche di compressione si inclinano. In questo modo l’armatura può portare un taglio maggiore. Contemporaneamente si riduce la resistenza del puntone compresso ed il collasso sarà sempre raggiunto per quel valore di θ per il quale VRd2 e VRd3 diventano uguali.

2 2

(cot cot )1 cot

cdRd

f b zV ν θ + α=

+ θ 3 (cot cot ) senswRd yd

AV z fx

= θ + α α∆

Metodo dell’inclinazione variabile del traliccioOsservazioni

Nelle applicazioni pratiche occorre però mettere un limite inferiore a θ, ovvero un limite superiore a cot θ

Eurocodice 2 (4.3.2.4.4.)

• L’angolo θ tra il puntone compresso e l’asse longitudinale èlimitato a:

| 0,4 | < cot θ < | 2,5 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )

per travi con armature longitudinali non interrotte, e a:

| 0,5 | < cot θ < | 2,0 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )

per travi con armature longitudinali interrotte.

Altri valori di θ possono essere usati a condizione che possano essere giustificati.

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Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio(EC2-4.3.2.4.4.)

(2) Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a taglio sono definite da:

Asw è l’area della sezione trasversale delle staffe;s è il passo delle staffe;fywd è lo snervamento di calcolo delle armature a

taglio.

swRd3 ywd

AV z f cots

= θ

Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio(EC2-4.3.2.4.4.)

(3) Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a taglio sono definite da:

con la condizione

La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola, essere limitata a σc≤ ν fcd, dove ν è il fattore di efficienza dato da:

(fck in N/mm2)

Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d.

w cdRd2

b z fVcot tan

ν=

θ + θ

sw ywdcd

w

A f 1 fb s 2

≤ ν

5,0200f

7,0 ck ≥−=ν

29

Calcolo dell’armatura a taglio(EC2- 4.3.2.4.4)

(4) Per determinare il minimo quantitativo di armature a taglio, per tensioni di taglio basse o medie, i limiti superiori dati per cot θ nel punto (1) governano di norma il progetto. Per tensioni di taglio più elevate, il più grande valore di cot θ(corrispondente al minimo quantitativo di armatura) può essere determinato uguagliando la forza di taglio di progetto VSd a VRd2. Il valore di cot θ può anche essere scelto in modo da ottimizzare il progetto, per esempio riducendo al minimo il quantitativo totale di armatura.

Progetto dell’armatura a taglio (Metodo Inclinazione Variabile)

Dopo aver accertato che è necessaria armatura a taglio (VSd>VRd1), si calcola il valore di VRd2, resistenza del puntone di calcestruzzo in presenza di armatura a taglio realizzata mediante staffe, per controllare se la sezione è sufficiente per sopportare il taglio utilizzando cotθ=2:

Se VRd2 > VSd, si calcola VRd3 per diversi valori dell’armatura a taglio (con cotθ=2) e si sceglie l’armatura nei diversi tratti di trave:

θ= cotfzs

AV ywdsw

3Rd

cdRd2

b z fV(cot tan )

ν=

θ + θ

30

Stati limite- Verifica del puntone compresso

Vd = γ V = 1.5 x 75 = 112.5 kNν = 0.7 – 0.83 Rck / 200 = 0.575fcd = 0.83 Rck / 1.6 = 15.56 N/mm2 fyd = 430/1.15 = 374 N/mm2

z = 0.9 d = 0.9 x 570 = 513

VRd2 = 0.575 x 15.56 x 300 x 513 /2 = 688.5 kN >>> Vd

- Taglio portato dal clsVcu = VRd1 = 85061 N

- Calcolo staffeVwd = Vd – Vcu = 112500-85061 = 27439 N < Vd /2 = 56250 NAsw/s = Vwd/z fywd = 56250 / 513 x 374 = 0.294 mm2/mm = 2.94 cm2/m

-- staffe staffe φφ 8 a 2 bracci con passo 33 cm (3 staffe al metro)8 a 2 bracci con passo 33 cm (3 staffe al metro)

ApplicazioneCalcolo dell’armatura a taglio

cdRd2

f b zV =2

ν

Applicazione Calcolo dell’armatura a taglio

Consideriamo il caso di una sezione fortemente sollecitata a taglio (VSd prossimo a VRd2):

VSd = 680.0 kN

Tensioni ammissibili

Staffe φ8/5 a 4 bracci

Stati limite

Staffe φ8/6 a 4 bracci

m/cm06.31fz

VVs

Asw 2

ywd

1Rdd =⋅−

=

m/cm6.34z

5.1/Vs

Asw 2

s

sd =σ⋅

=

31

Limiti per l’armatura a taglio Eurocodice2

Elementi che richiedono armature a taglio (VSd>VRd1)

4.3.2.4.1. GeneralitàP(1) Nelle travi le armature rialzate non devono essere utilizzate

come armature a taglio se non in combinazione con staffe. Almeno il 50% del valore di VSd deve essere assorbito da staffe verticali.

P(2) Dove siano impiegate armature a taglio inclinate, l’angolo tra le armature e l’asse longitudinale della trave non deve, di regola, essere minore di 45°.

P(3) Dove il carico non agisca all’estradosso della trave, o quando l’appoggio non sia all’intradosso della trave, si devono disporre ulteriori armature per riportare gli sforzi all’estradosso del traliccio resistente.

Limiti per l’armatura a taglio

4.3.2.4.2. Elementi di altezza costanteP(1) Per la verifica a taglio si considera l’elemento come costituito

da membrature compresse e tese separate da una distanza pari al braccio di leva interno z. La zona di taglio ha profondità z e larghezza bw. Il braccio di leva è calcolato perpendicolarmente alle armature longitudinali ignorando l’effetto delle armature rialzate.

(2-3) ….

(4) Alla disposizione delle armature a taglio si applicano le seguenti prescrizioni: - percentuale minima di armatura a taglio;- limitazione delle aperture delle fessure nell’anima;- disposizione delle armature a taglio.

32


5.4.2.2. Armature a taglio delle travi(1) L’armatura a taglio deve di regola formare un angolo compreso

tra 45° e 90° con il piano medio dell’elemento strutturale.

(2) L’armatura a taglio può essere costituita da una combinazione di:- staffe che racchiudono le armature longitudinali tese e la zona compressa;- barre rialzate;- assemblaggi di armature a taglio in forma di gabbie, graticci, ecc., realizzati con barre ad aderenza migliorata, messi in opera senza contenere le armature longitud., ma che devono essere adeguatamente ancorati in zona tesa e compressa.

(3) Le staffe saranno ancorate in modo efficace. Sono ammesse giunzioni per sovrapposizione di bracci vicini alla superficie dell’elemento solo per armature ad aderenza migliorata.


5.4.2.2. Armature a taglio delle travi

(4) Di regola almeno il | 50% | dell’armatura a taglio necessaria deve essere realizzata mediante staffe.

(5) Il rapporto di armatura a taglio è dato dall’equazione:

ρw è il rapporto di armatura a taglio;

Asw è l’area dell’armatura a taglio sulla lunghezza s;s è il passo dell’armatura a taglio;

bw è la larghezza dell’anima dell’elemento;

a è l’angolo tra l’armatura a taglio e l’armatura principale (per staffe verticali a=90° e sin a=1).

w sw wA / s b sinρ = ⋅ ⋅ α

33


5.4.2.2. Armature a taglio delle travi(5) I valori minimi del rapporto di armatura a taglio ρw sono

forniti dal prospetto:

Prospetto 5.5 - Valori minimi di ρW Classi di acciaio

Classi di calcestruzzo* S220 S400 S500

Da C12/15 a C20/25 0,0016 0,0009 0,0007

Da C25/30 a C35/45 0,0024 0,0013 0,0011

Da C40/50 a C50/60 0,0030 0,0016 0,0013

* Come assunto in progetto.



(5) Quando le armature a taglio sono realizzate con barre tonde lisce il loro diametro non deve di regola essere maggiore di | 12 mm |.

(7) Il massimo passo longitudinale smax di insiemi successivi di staffe o di armature dalle seguenti condizioni:

- se : smax = 0,8 d ≤ 300 mm

- se : smax = 0,6 d ≤ 300 mm

- se : smax = 0,3 d ≤ 200 mm

≤Sd Rd2V 1/5 V

≤Rd2 Sd Rd21/5 V < V 2/3 V

Sd Rd2V > 2/3 V

34

(9) La distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe a taglio non deve di regola essere maggiore di:

- se : smax ≤ d o | 800 mm |

- se : si applicano le eq. 5.18 o 5.19


(8) La massima distanza longitudinale fra barre rialzate è data dall’equazione:

smax = | 0.6 | d(1 + cot a)

≤Sd Rd2V 1/5 V

Sd Rd2V > 1/5 V



(1) Il diametro delle armature trasversali (staffe, risvolti o armature elicoidali) deve, di regola, essere non minore di | 6 mm | o di | un quarto | del diametro massimo delle barre longitudinali, assumendo il valore maggiore fra i due; il diametro dei fili delle reti elettrosaldate formanti armature trasversali deve, di regola, essere non minore di | 5 mm |.

(2) Le armature trasversali devono, di regola, essere adeguatamente ancorate.

5.4.1.2.2 Armature trasversali nei pilastri

35


(4) La distanza sarà ridotta secondo un fattore | 0,6 |:i) in sezioni posizionate al di sopra o al di sotto di una trave o di una piastra per un tratto pari alla maggiore dimensione della sezione del pilastro;ii) in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione se il massimo diametro delle barre è maggiore di | 14 mm |.

(3) La distanza tra le armature trasversali di un pilastro non deve di regola essere maggiore della minore delle tre seguenti:- 12 volte il minimo diametro delle barre longitudinali; - il lato minore della sezione del pilastro; - 300 mm.



(5) Dove le barre longitudinali cambiano direzione (per esempio nelle variazioni di sezione) la distanza tra le armature trasversali sarà calcolata considerando le forze trasversali che si generano.

(6) Ciascuna barra longitudinale (o gruppo di barre longitudinali) posta in uno spigolo deve essere tenuta in posizione da una armatura trasversale.

(7) Un massimo di | 5 | barre situate in uno spigolo o in prossimitàdi esso può essere assicurato contro l’instabilità da ciascuna serie di armature trasversali dello stesso tipo.


Teoria Stati Limite Di Taglio

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