teoria matematica dei campi.pdf

7/23/2019 teoria matematica dei campi.pdf

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B. Teoria matematica dei campi

B.1. L’operatore gradiente

Nella trattazione matematica dei campi e utile introdurre l’operatore ∇ che rappre-senta la generalizzazione per le funzioni scalari delle coordinate della derivata.

(x,y,z) (x+∆x,y,z)

(x+∆x,y+∆y,z)

(x+∆x,y+∆y,z+∆z)(x,y+∆y,z+∆z)

(x,y,z+∆z)

Figura B.1.:

Il valore della funzione ψ(r+ ∆r) puo essere approssimata, facendo riferimento allaFig. B.1, come

ψ(r + ∆r) ≈

ψ(r) + [ψ(x1 + ∆x1, x2, x3) − ψ(x1, x2, x3)]+

+ [ψ(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3) − ψ(x1 + ∆x1, x2, x3)]++ [ψ(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3 + ∆x3) − ψ(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3)]

Utilizzando la definizione di derivata parziale rispetto alla coordinata x j

∂ψ

∂x j

def = lim

∆xj→0

ψ(· · · , x j + ∆x j, · · · ) − ψ(· · · , x j , · · · )

∆x j

con j = 1, 2 e 3, possiamo scrivere la equazione precedente nella forma

ψ(r + ∆r) ≈

ψ(r) + ∂ψ∂x1

∆x1 + ∂ ∂x2

ψ + ∂ψ

∂x1∆x1

∆x2+

+ ∂

∂x3

ψ +

∂ψ

∂x1∆x1

∆x2

∆x3

211




Trascurando i differenziali di ordine superiore avremo

ψ(r + ∆r) ≈ ψ(r) + ∂ψ

∂x j∆x j

, dove abbiamo sottinteso la somma sugli indici ripetuti.Introducendo il gradiente della funzione scalare ossia una funzione vettoriale definita

∇ψ def =

∂ψ

∂x1e1 +

∂ψ

∂x2e2 +

∂ψ

∂x3e3 (B.1)

si puo porre nella forma vettoriale

ψ(r + ∆r) ≈ ∇ψ · ∆r

per cui il differenziale totale della funzione scalare delle sole coordinate ψ sara:

dψ = lim∆r→0

∇ψ · ∆r = ∇ψ · dr (B.2)

B.1.1. Derivata direzionale

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

(r)

(r+h)

h

Figura B.2.:

Nella Fig. B.2 abbiamo rappresentato una funzione scalare ψ(r) attraverso le curve dilivello. Si definisce derivata direzionale della funzione ψ nella direzione h la grandezzascalare ottenuta come

dψdh

def = lim

h→0

ψ(x1 + h1, x2 + h2, x3 + h3) − ψ(x1 + h1, x2, x3)h

(B.3)

che rappresenta la rapidita con cui varia della funzione ψ per uno spostamento in undeterminata direzione .

212



B.1. L’operatore gradiente

E evidente dalla formula del differenziale totale (B.2) che la derivata direzionale edata da

dψ

dh = ∇ψ(r) · h (B.4)

dove sia h il versore della direzione h,

Osserviamo che sara in ogni caso

− |∇ψ(r)| ≤ dψ

dh ≤ |∇ψ(r)|

percio avremo che la rapidita di variazione della funzione e massima quando ci sisposta nella direzione indicata localmente dal gradiente della funzione stessa ψ.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura B.3.:

Di conseguenza il gradiente si interpreta geometricamente, con riferimento alla Fig.B.3, con il fatto che il vettore ∇ψ e sempre normale alle superfici di livello ψ = coste diretto verso la direzione di massima pendenza della superfice.

213




B.1.2. Teorema del gradiente

C

A

B

l1

l2

lN-1 l

N

a(r1)

a(r2)

a(rN-1

) a(rN)

Figura B.4.:

L’ integrale di un campo vettoriale lungo una curva C e dato dalla grandezza

A C→B

a · dr def =

sB sA

a · drC

ds ds (B.5)

dove la funzione vettoriale rC(s) descrive la curva C al variare della coordinata sullacurva s. La relazione (B.2) tra il gradiente di una funzione scalare ed il suo differenzialetotale ci permette di ottenere immediatamente l’ importante teorema del gradiente

secondo il quale condizione necessaria e sufficiente perche l’ integrale di linea del

campo vettoriale a sia indipendente dal percorso e che a sia il gradiente di una funzione

scalare φ.

Dimostrazione:La sufficienza del teorema si dimostra semplicemente sostituendo nella (B.5) ∇φ →

a, la equazione

A C→ B

∇φ · dr

(B.2)

↓=φ(B) − φ(A)

che e indipendente dal percorso C . Per dimostrare la necessita del teorema dobbiamodimostrare che esiste una funzione φ il cui gradiente sia proprio il campo a. D’ altrocanto se l’ integrale e indipendente dal percorso, l’ integrando a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3

dovra essere necessariamente un differenziale esatto, cioe dovra essere proprio

dφ = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3

da cui segue che ∇φ = a.

214



B.2. Operatore divergenza

C.V.D.

B.1.3. Gradiente della funzione 1/r

La funzione 1/r, che esprime l’ inverso del modulo del raggio vettore (??), riveste unaparticolare importanza nella teoria del potenziale. Il gradiente di questa funzione edato dalla formula

∇1

r = −

r

r2 (B.6)

dove sara r il versore del raggio vettore.

Dimostrazione:

La derivata parziale rispetto ad una qualsiasi delle coordinate sara data da

∂

∂x j

1

r =

∂

∂x j

x21 + x2

2 + x23

− 12 = −

1

2

x21 + x2

2 + x23

−32 2 x j = −

x jr3

per j = 1, 2, 3 da cui si ottiene immediatamente la Eq. (??)C.V.D.

B.2. Operatore divergenza

L’operatore ∇ puo essere applicato scalarmente ad una funzione vettoriale a(r) otte-nendo una funzione scalare delle coordinate detta divergenza di a, definita

∇ · a def =

∂a1

∂x1+

∂a2

∂x2+

∂a3

∂x3(B.7)

B.2.1. Teorema di Gauss-Ostrogradsky

Il significato fisico della divergenza si capisce meglio in riferimento al teorema diGauss-Ostrogradsky , che avremo modo di usare frequentemente nel seguito. Questoteorema permette di calcolare l’ integrale di superfice di un qualsiasi campo vettorialea(r) fatto su una superfice chiusa S nell’ integrale della divergenza del campo stesso,sul volume V (S ) racchiuso dalla superfice stessa:

S

a · dS =

V (S )

∇ · a dV (B.8)

Dimostrazione:

In primo luogo immaginiamo di suddividere il volume V in elementi di volumeinfinitesimi, cubici dV = dx1 dx2 dx3, come rappresentato nella fig. B.5.

215




dx1

dx2

dx3

(x1,x2,x3)

(x1+dx

1,x2+dx

2,x3+dx

3)

dx1

dx2

dx3

(x1+dx

1,x2+dx

2,x3+dx

3)

+

dx1

dx2

dx3

(x1+dx

1,x2+dx

2,x3+dx

3)

+

Figura B.5.:

E evidente che per il cubetto infinitesimo sara

a · dS =

a1 +

∂a1

∂x1dx1 − a1

dx2 dx3+

+

a2 +

∂a2

∂x2dx2 − a2

dx1 dx3+

+

a3 +

∂a3

∂x3dx3 − a1

dx1 dx2 =

=

∂a1

∂x1+

∂a2

∂x2+

∂a3

∂x3

dx1 dx2 dx3 =

= ∇ · a dV

dx1

dx2

dx3

(x1,x2,x3)

(x1+dx

1,x2+dx

2,x3+dx

3)

Figura B.6.:

E anche evidente, dalla fig. B.6, che il flusso uscente da una faccia di cubettoinfinitesimo sara eguale a quello entrante nella faccia adiacente, per cui alla fine ilflusso uscente dalla superfice S (V ) sara ottenuto sommando il flusso netto di tutti icubetti.

C.V.D.

Osserviamo anche incidentalmente che possiamo dare una diversa definizione della

divergenza di un campo vettoriale, come limite:

∇ · a = limV→0

1

V

S (V )

a · dS (B.9)

216



B.3. Operatore rotore

div>0 div<0div=0

Figura B.7.:

La divergenza e in pratica un campo scalare associato al campo vettoriale dato, ilcui significato concettuale e illustrato nella Fig. B.7. La presenza di una sorgente o diuna perdita in una certa posizione puo essere rilevata facendo la differenza tra il flussoche entra e quello che esce, se la differenza e positiva vuol dire che c’e una sorgente,se negativa c’e una perdita, se e nulla nessuna delle due.

B.2.2. Cambiamento di scala per la divergenza

∇ · (ψa) = ψ∇ · a + a · ∇ψ (B.10)

Infatti avremo

∇ · (ψa) = ∂

∂xk(ψ ak) = ψ

∂ak∂xk

+ ak∂ψ

∂xk

per il teorema sulla derivazione del prodotto di due funzioni.


L’operatore ∇ puo essere applicato vettorialmente a sinistra ad una funzione vettorialea(r) ottenendo una funzione vettoriale delle coordinate detta rotore di a definita:

∇ × a def =

e1 e2 e3

∂ ∂x1

∂ ∂x2

∂ ∂x3

a1 a2 a3

(B.11)

ossia sviluppando il determinante

∇ × a =

∂a3

∂x2−

∂a2

∂x3

e1 +

∂a1

∂x3−

∂a3

∂x1

e2 +

∂a1

∂x2−

∂a2

∂x1

e2 (B.12)

L’ operazione differenziale ∇× associa ad un campo vettoriale un altro campo vet-toriale, che fornisce una indicazione locale della curvatura delle linee di forza. Un

campo vettoriale si dice irrotazionale se

∇ × a ≡ 0 (B.13)

in tutti i punti dello spazio.

217




B.3.1. Divergenza del prodotto vettore

L’ operatore rotore compare quando si voglia effettuare la divergenza del prodottovettoriale di due campi a e b

∇ · (a × b) = a · ∇ × b − b · ∇ × a (B.14)

Infatti abbiamo

∇ · (a × b) ≡ ∇ ·

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

=

= ∇ · [(a2 b3 − a3 b2) e1 + (a3 b1 − a1 b3)e2 + (a1 b2 − a2 b1)e3] =

= ∂a2

∂x1b3 + a2

∂b3∂x1

− ∂a3

∂x1b2 − a3

∂b2∂x1

+

+∂a3

∂x2b1 + a3

∂b1∂x2

− ∂a1

∂x2b3 − a1

∂b3∂x2

+

+∂a1

∂x3b2 + a1

∂b2∂x3

− ∂a2

∂x3b1 − a2

∂b1∂x3

=

=

∂a3

∂x2−

∂a2

∂x3

b1 +

∂a1

∂x3−

∂a3

∂x1

b2 +

∂a2

∂x1−

∂a1

∂x2

b3+

−a1

∂b3∂x2

− ∂b2∂x3

− a2

∂b1∂x3

− ∂b3∂x1

− a3

∂b2∂x1

− ∂b1∂x2

da cui segue appunto la Eq. (B.14).

B.3.2. Teorema di Stokes-Ampere

Anche in questo caso il significato fisico del rotore di un campo vettoriale risultachiarito da un teorema di integrazione, il teorema di integrazione di Stokes-Ampere,

che permette di trasformare l’ integrale di un campo vettoriale lungo una linea chiusaC nell’ integrale del rotore dello stesso campo, fatto sulla superfice racchiusa S (C ): C

a · dr ≡

S (C)

∇ × a · dS (B.15)

(x1,x2,x3) (x1+dx1,x2,x3)

(x1+dx1,x2+dx2,x3)

(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)(x1,x2+dx2,x3+dx3)

(x1,x2,x3+dx3)

A

Figura B.8.:

218




La dimostrazione procede in questo modo. Consideriamo per prima cosa un latodel cubetto elementare dx j dxk (ovviamente con k = j). La circuitazione lungo ilperimetro di questo percorso sara:

dc jk = a j dx j +

ak + ∂ak

∂x jdx j

dxk+

−

a j +

∂a j

∂x j dx j +

∂a j

∂xk dxk

dx j −

ak +

∂ak∂xk dxk

dxk+

Trascurando i differenziali di ordine dx2 j , dx2

k e semplificando otteniamo:

dc jk =

∂ak∂x j

− ∂a j∂xk

dxk dx j

E evidente che sommando i contribuiti dei tra lati del cubetto elementare si ottienela circuitazione elementare:

a · dr = ijk∂ak∂x j

dS i

da cui segue la Eq. (B.15). Osserviamo che anche in questo caso il rotore del campovettoriale puo essere definito tramite il limite:

limS →0

1

S

C

a · dr

rot E =0 rot E ≠0

Figura B.9.:

B.3.3. Cambiamento di scala per il rotore

Si dimostra facilmente la formula

∇ × (ψ a) = ψ ∇ × a + ∇ψ × a (B.16)

219




Dimostrazione:Infatti avremo

∇ × (ψ a) =

e1 e2 e3

∂ ∂x1

∂ ∂x2

∂ ∂x3

ψ a1 ψ a2 ψ a3

=

ψ

∂a3

∂x2+

∂ψ

∂x2a3 − ψ

∂ a2

∂x3−

∂ψ

∂x3a2

e1 + · · · =

= ψ

∂a3

∂x2− ∂a2

∂x3

e1 +

∂ψ∂x2

a3 − ∂ψ∂x3

a2

e1 + · · ·

da cui segue subito la Eq. (B.16). Sviluppando abbiamo

∇ × (φa) = ijk ei∂

∂x j(φ ak) = φ ijk ei

∂ak∂x j

+ ijk ei∂φ

∂x jak

dalla quale segue subito la Eq. (??).C.V.D.

B.3.4. Teorema del rotore

∇ × ∇φ = 0 (B.17)

Infatti sara

∇ × ∇φ =

e1 e2 e3

∂ ∂x1

∂ ∂x2

∂ ∂x3

∂φ∂x1

∂φ∂x2

∂φ∂x3

= e1

∂ 2φ

∂x2 ∂ x3−

∂ 2φ

∂x3 ∂ x2

+ · · · = 0

per il teorema di Schwartz sulle derivate parziali miste.

B.3.5. Teorema della divergenza

∇ · ∇ × a = 0 (B.18)

Infatti sara

∇ · ∇ × a = ∂

∂xiijk

∂ak∂x j

= ∂ 2a1

∂x1∂x2−

∂ 2a1

∂x2∂x1+ · · · = 0

B.4. Operatore laplaciano

L’ operatore ∇ puo essere applicato due volte ad un campo scalare per ottenere unafunzione scalare delle coordinate detta laplaciano di φ:

∇2φ = ∇ · ∇φ ≡ ∂ 2φ

∂x2l

+ ∂ 2φ

∂x22

+ ∂ 2φ

∂x23

(B.19)

220



B.4. Operatore laplaciano

B.4.1. Teorema di Green

Il teorema di Green stabilisce V

ψ ∇2φ − φ ∇2ψ

dV =

S (V )

(ψ ∇φ − φ ∇ψ) · dS (B.20)

Infatti la forma differenziale al primo membro puo essere scritta: ψ

∂ 2φ

∂x21

− φ∂ 2ψ

∂x21

dx1 dx2 dx3 + · · ·

Integrando per parti otteniamo

ψ

∂φ

∂x1− φ

∂ψ

∂x1

dx2 dx3 −

∂ψ

∂x1

∂φ

∂x1−

∂φ

∂x1

∂ψ

∂x1

dx1 dx2 dx3 + · · ·

da cui segue la Eq. (B.20).

B.4.2. Laplaciano della funzione 1/r

Il laplaciano della funzione 1/r riveste una particolare importanza nel calcolo delpotenziale. E facile dimostrare che

∇2 1

r = −4π δ 3(r) (B.21)

dove sia δ (r) la funzione di Dirac tridimensionale

δ 3(r) def = δ (x1) δ (x2) δ (x3) (B.22)

normalizzata in modo da ottenere

limV→∞

V

δ 3(r) dV = 1 (B.23)

Utilizzando la formula del gradiente della funzione 1/r (B.6), calcoliamo la diver-genza del gradiente che sara

∇ · ∇1

r = −∇ ·

r

r3

(B.10)

↓= −

∇ · r

r3 − r · ∇

1

r3

Derivando si ottiene

∇ 1

r3 = ∂

∂x1

x21 + x22 + x23

− 3

2 e1 + · · · = −3 x1

x21 + x22 + x23−5

2 e1 + · · ·

e quindi

∇ · ∇1

r = −

3

r3 + 3

x21 + x2

2 + x23

r5

221




Questa funzione si annulla in tutto lo spazio, esclusa l’ origine delle coordinate in cuidiverge negativamente. Possiamo quindi esprimere il laplaciano come

∇2 1

r = −K δ 3(r)

Per calcolare la normalizzazione K possiamo applicare il teorema di Gauss-Ostrogradsky,

integrando su tutto lo spazio

limV→∞

V

∇ · r

r3

(B.8)

↓= lim

S →∞

S (V )

r

r3 · dS

dS

r

O

dΩ

r2

dΩ

θ

Figura B.10.:

Facendo riferimento alla Fig. B.10, osserviamo che possiamo sostituire

r · dS = r3

dΩ

nella equazione precedente, ottenendo

limS →∞

S (V )

r

r3 · dS =

4π

dΩ = 4π

da cui segue subito la Eq. (B.21).

B.4.3. Formula di Green

La formula di Green permette di trovare la soluzione principale della equazione diPoisson per il potenziale ∇2φ = ψ(r) nella forma

φ(r) ≡ − 1

4π limV →∞

V

ψ(r)

rPQdV (B.24)

222



B.5. Gradiente di un vettore

dove sia rPQ = |r − r|. Ovviamente la condizione per la quale esiste la soluzione

principale e che l’ integrale sia finito. Cio si verifica in pratica se per la funzione didistribuzione ψ vale la condizione ausiliaria

limr→∞

r2 ψ(r) = 0 (B.25)

La dimostrazione della formula di Green si ottiene semplicemente facendo il laplacianodi ambo i membri della Eq. (B.24), ossia

∇2φ(r) = − 1

4π limV →∞

V

∇2

ψ(r)

rPQ

dV

nella quale potremo porre ovviamente

∇2

ψ(r)

rPQ

r=r

↓= ψ(r) ∇2 1

rPQ

poiche le coordinate del punto Q sorgente non dipendono da quelle del punto P potenziato. In base a quanto visto nella §B.4.2 potremo porre

∇2 1

rPQ

(B.21)

↓= −4π δ 3(r − r

)

e quindi in definitiva

∇2φ(r) = limV →∞

V

ψ(r) δ 3(r − r) dV

(C.5)

↓=ψ(r)

che dimostra la validita della formula di Green (B.24).

B.5. Gradiente di un vettore

Allo scopo di semplificare alcune formule conviene introdurre il concetto di gradiente

di un campo vettoriale a definito dalla identita vettoriale

∇a ≡ ∂a1

∂x1e1 +

∂a2

∂x2e2 +

∂a3

∂x3e3 (B.26)

B.5.1. Gradiente del prodotto scalare

∇ (a · b) ≡ a · ∇b + b · ∇a + a × (∇ × b) + b × (∇ × a) (B.27)

223




B.5.2. Rotore del prodotto vettoriale

Il rotore del prodotto vettoriale di due campi a e b e dato dalla formula

∇ × (a × b) ≡ a · ∇b − b · ∇a + a∇ · b − b∇ · a (B.28)

B.5.3. Sviluppo del doppio rotore

∇ × (∇ × a) ≡ ∇∇ · a − ∇ · ∇a (B.29)

Ricaveremo ora una formula di analisi vettoriale che e particolarmente importante perlo sviluppo della teoria delle onde elettromagnatiche:

∇ × ∇ × a = ∇∇ · a − ∇2a (B.30)

dove ovviamente si intenda che l’ operatore ∇2 sia applicato separatamente a ciascunadelle componenti del vettore a. ossia in pratica si definisce laplaciano di un vettore ilvettore

∇2a ≡ ∇2a

1e1

+ ∇2a2e2

+ ∇2a3e3

(B.31)

Dimostrazione:Infatti sara

∇ × ∇ × a = ijk ei∂

∂x j

klm

∂am∂xl

= ijkklm ei

∂

∂x j

∂am∂xl

Applicando la formula del prodotto di due tensori di Levi-Civita (??) otteniamo

∇ × ∇ × a = ∂

∂x j

∂a j∂xi

ei − ∂

∂x j

∂ai∂x j

ei

che scambiando l’ ordine delle derivate parziali, e ricordando che dobbiamo sommaresugli indici ripetuti, diviene

∇ × ∇ × a = ∂

∂xi

∂a j∂x j

ei − ∂

∂x j

∂ai∂x j

ei = ∂

∂xi(∇ · a) ei − ∇2ai ei

dalla quale segue l’ asserto.C.V.D.

B.6. Laplaciano inverso

L’ operatore laplaciano inverso ∇−2 e definito

∇−2ψ(r) = − 1

4π

ψ(r)

|x − r| dV (B.32)

224



B.7. Teorema di Helmoltz

e gode della proprieta∇2∇−2ψ = ψ (B.33)

Infatti avremo

∇2∇−2ψ = − 1

4π

∇2 ψ(r)

|x − r| dV

ma essendo ∇2ψ(r) ≡ 0 avremo

∇2∇−2ψ = − 1

4π

ψ(r) ∇2 1

|x − r| dV

Sostituendo la Eq. (??) si ottiene l’ asserto.

B.7. Teorema di Helmoltz

Un campo vettoriale a risulta completamente determinato assegnando in volume V dello spazio la sua divergenza ∇ · a ed il suo rotore ∇ × a.

Per procedere nella dimostrazione dimostreremo in primo luogo il lemma secondoil quale si puo sempre scomporre un campo vettoriale a nella somma di un campoirrotazionale e di uno solenoidale.

L’ ipotesi di questo lemma e che sia possibile dato un qualsiasi campo a porre

a = b + c dove sia ∇ × b = 0 e ∇ · c = 0 (B.34)

Per dimostrare questa ipotesi utilizzeremo la definizione della funzione delta di Diractridimensionale (??), ponendo

a(r) = − 1

4π limV →∞

V

a(x)∇2 1

|r − r| dV

Scambiando la derivazione con l’ integrazione avremo

a(r) = − 1

4π limV →∞

∇2

V

a(x)

|r − r| dV

Utilizzando lo sviluppo del doppio rotore (B.30), abbiamo

a(r) = − 1

4π limV →∞

∇∇ ·

V

a(x)

|r − r| dV − ∇ × ∇ ×

V

a(x)

|r − r| dV

quindi potremmo assumere

b = − 14π

limV →∞

∇∇ · V

a(x

)|r − r|

dV

c = 1

4π limV →∞

∇ × ∇ ×

V

a(x)

|r − r| dV

225




Infatti il campo b e irrotazionale per l’ identita del rotore, mentre quello c per quelladella divergenza. Quindi risulta dimostrato il lemma.

L’ ipotesi del teorema di Helmholtz e che siano assegnati ∇ · a e ∇ × a, quindiapplicando il lemma appena dimostrato, non ci resta che dimostrare che possiamocalcolare b e c a partire da ∇ · a e ∇ × a.

E evidente che possiamo porre

b = −∇

1

4π limV →∞

V

∇ · a(x)

|r − r| dV

c = ∇ ×

1

4π limV →∞

V

∇ × a(x)

|r − r| dV

ed e facile dimostrare che

b = −∇

1

4π limV →∞

V

∇ · a(x)

|r − r| dV

c = ∇ ×

1

4π limV →∞

V

∇ × a(x)

|r − r| dV

da cui segue l’ asserto.

226

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