Teoria della relatività-3 19 dicembre 2014

Trasformazione della velocità

La velocita` della luce come velocita` limite

Invarianza della velocita` della luce

Trasformazione dell’accelerazione

Effetto Doppler

222

Trasformazione della velocità

• La velocita` di un corpo, in ciascun sistema di riferimento, e` definita come rapporto tra intervallo spaziale percorso e intervallo di tempo necessario a percorrerlo

• In S avremo quindi la coppia dr, dt cui corrisponde in S’ la coppia dr’, dt’ e le velocita` sono

x

y

z

x’

y’

z’

v dt

rdu

'

''dt

rdu

S S’

333

Trasformazione della velocità

• Calcoliamo la trasformazione della velocità per componenti

• Sia ux la componente della velocità u di un corpo lungo x nel sistema S, vogliamo trovare il valore ux’ della componente lungo x’ della velocità u’ nel sistema S’

• Differenziando le eqq. di trasformazione

dt' dt v

c 2dx

dx' dx vdt

444

Trasformazione della velocità

• Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità

22211'

''

cvuvu

dtdxcv

vdtdx

dxcv

dt

vdtdx

dt

dxu

x

xx

555

La somma di due velocità minori di c è minore di c

• Dimostriamolo nel caso particolare in cui v e c siano paralleli a x

• Se -c < v < c , -c < ux < c, allora anche -c < ux’ < c• Infatti, se -c < v < c, ux’ è funzione crescente di ux , e

quindi assumera` un valore minore di quello assunto per ux=c, che vale

• e maggiore di quello assunto per ux=-c, che vale

c

cvcvc

ux

21

'sup

c

cvcvc

ux

21

'inf

666

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali

• Questo risultato deve ovviamente valere se la teoria e` consistente

• Nel caso il corpo in moto sia sostituito da un raggio di luce in verso positivo ux = c o negativo ux = -c otteniamo che nel sistema S’ la velocita` del raggio luminoso e` uguale agli estremi appena trovati

cuc x 'sup' cuc x 'inf'

777

Trasformazione della velocità

• Sia uy la componente della velocità u di un corpo lungo y nel sistema S, vogliamo trovare il valore uy’ della componente lungo y’ della velocità u’ nel sistema S’

• Differenziando le eqq. di trasformazione

dt' dt v

c 2dx

dy'dy

888

Trasformazione della velocità

• Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità

• E similmente per la componente lungo z

uy 'dy'

dt'

dy

dt v

c 2dx

dy dt

1 v

c 2dx dt

uy

1 vuxc 2

999

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali

• Vediamo il caso particolare in cui la luce in S e` diretta lungo y, allora

• In S’ le componenti saranno

• E il modulo della velocita`

0,,0,, ccccc zyx

',',' zyx ccc

vv

cvcvc

cx

xx

01

0

1'

2

cc

cvc

cc

x

y

y

011

'

2

001

0

1'

2

cvcc

cx

zz

cc

vcvcvcccc zyx

2

222222222 10''''

101010

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali

• Lo si puo` dimostrare nel caso piu` generale verificando la relazione

• inserendo nella formula le componenti della velocita` nel sistema S’

22222222 '''' cccccccc zyxzyx

111111

Trasformazione dell’accelerazione

• Si possono trovare le eqq. di trasformazione dell’accelerazione partendo dalle definizioni

3

2

3

3

222

2

2

1

11

11

''

'

'

'

''

c

vu

a

cvu

cv

dtdu

vucvu

dtdu

c

vu

c

vuvu

dtd

dtdt

dt

du

dt

dt

dt

du

dt

dua

x

x

xxx

xx

x

x

xxxxx

121212

Trasformazione dell’accelerazione

• E analogamente per le componenti y e z

3

2

2

2

3

222

2

2

1

111

11

''

'

''

cvu

cv

uauaa

cvu

cv

dtdu

ucvu

dt

du

cvu

cvu

u

dtd

dtdt

dt

du

dt

dua

x

xyyxy

xxy

xy

x

x

yyy

y

1313

Effetto Doppler per onde e.m.• Sia dato un SdRI S in cui una sorgente a riposo emette

un’onda e.m. piana monocromatica F(,t) di lunghezza d’onda e periodo T

• che si propaga nella direzione di una retta che giace nel piano xy e forma un’angolo con l’asse x

F ,t Asin 2

t

T

z

x

y

• La relazione tra , x e y è

• Inoltre la velocità della luce si può esprimere come

x cos y sin

S

c T

1414

Effetto Doppler per onde e.m.• Nel sistema S’, in moto con velocità v lungo x rispetto

a S, l’onda avrà lunghezza d’onda ’, periodo T’ e forma

• ove ’ è dato da• Inoltre la velocità della luce si può esprimere come

'

'

'

'2sin'',''

T

tAtF

z

x

y

'x 'cos 'y 'sin '

z’

x’

y’

'

'

S S’

v

c ' T '

1515

Effetto Doppler per onde e.m.

• Applichiamo le trasformazioni di Lorentz alla fase (divisa per 2) di F’ nel sistema S’

• Questa espressione deve coincidere con la fase (divisa per 2) dell’onda F nel sistema S, perche’ la fase non dipende dal sistema di riferimento in cui viene misurata

• Possiamo quindi uguagliare i termini omologhi nelle due espressioni

'

'sin

'

1

'

'cos

'

1

'

'cos''

'sin'cos

'

'

'

'sin''cos'

2

2

yT

vt

Tc

vx

T

cxvtyvtx

T

tyx

1616

Effetto Doppler per onde e.m.

• Otteniamo

'

1

'

'cos1'

'sinsin

'

1

'

'coscos2

T

v

T

Tc

v

• Dal rapporto delle prime due eqq. ricaviamo la relazione tra gli angoli di propagazione dell’onda nei due sistemi• e la relazione inversa

cv

Tcv

tg'cos

'sin

''

'cos

'sin

2

cv

tg

cos

sin'

1717

Effetto Doppler per onde e.m.

• L’ultima eq. ci dà la relazione tra le frequenze (f=1/T) nei due sistemi

• e tra le lunghezze d’onda

• Le relazioni inverse sono

f v

'cos ' f '

v

cf 'cos ' f '

f ' 1

v

ccos '

cos1'

c

vff

'cos1

'

cv

cos1

'

cv

1818

Effetto Doppler per onde e.m.

• Per (il SdR si muove nello stesso verso dell’onda)

• Per (il SdR si muove in verso opposto all’onda)

0

fvc

vcf

cv

cvf

c

vff

1

11'

fvc

vcf

cv

cvf

c

vff

1

11'

Spostamento “verso il rosso”

Spostamento “verso il blu”

z’

x’

y’

v

z’

x’

y’

v

1919

Effetto Doppler trasverso

• Confrontando questa espressione con quella ottenuta nel caso classico

• troviamo una perfetta corrispondenza per piccole velocità ( )

• Una notevole differenza si ha a grandi velocità per per cui classicamente ma relativisticamente (effetto Doppler trasverso)

cos10 V

vff

1

2

f f0

f ' f