TEORIA DEI VALORI ESTREMI E APPLICAZIONI AL CALCOLO DEL “VALUE AT RISK”

Gianna Figà-TalamancaUniversità della Calabria

UNIVERSITA’ DI URBINOFACOLTA’ DI ECONOMIA

Value at Risk 1

)( 1 VaRXP n

Il Value at Risk (Valore a Rischio) è definito come la perdita massima al di sotto della quale si può andare solo con una bassa probabilità .

Se con Xt, t=1,2,…,n rappresentiamo la serie storica del rendimento della nostra posizione finanziaria X, si ha:

Value at Risk 2

Il Value at Risk è quindi un quantile, corrispondente in genere al 5% o all’ 1%, della distribuzione di probabilità del rendimento della posizione finanziaria X su un orizzonte temporale prefissato (1 giorno, una settimana, etc.).

Dal 1986 il Comitato di Basilea ha stabilito che le istituzioni finanziarie sono tenute a calcolare (stimare) il proprio VaR come misura del capitale a rischio della società.

Le istituzioni sono altresì tenute ad accantonare un capitale come assicurazione contro eventuali perdite, in modo proporzionale al VaR calcolato e alla loro affidabilità (rientrando nel passato nel VaR calcolato, etc.).

L’utilizzo del VaR é stato ed é ancora molto criticato dagli accademici e altre misure di rischio sono state introdotte. Nonostante questo il VaR é tuttora utilizzato da molte istituzioni e per migliorarne le prestazioni è necessario dare una accurata descrizione delle “code” della distribuzione dei rendimenti (Profit-Loss) che non può essere ben rappresentata da una distribuzione normale.

MIB30 SP500

Istogramma per le perdite giornaliere

Analisi delle “code”: il Q-Q plot

MIB30 SP500

Si ottiene rappresentando in ascissa i quantili teorici per la distribuzione normale ed in ordinata i quantili della distribuzione empirica. Se i punti risultano sulla diagonale la distribuzione empirica è ben descritta da quella teorica. Si può notare che nelle code l’approssimazione è scarsa e il VaR non può essere ben stimato dal quantile di una distribuzione normale.

Distribuzioni leptocurtiche

Una possibile soluzione è quella di rappresentare la distribuzione dei rendimenti con una distribuzione diversa dalla normale e che goda della proprietà di leptocurtosi (indice di curtosi > 3) che è causa delle “code grasse.

Possibili esempi di tali distribuzioni possono essere la distribuzione t-di student, la distribuzione iperbolica o altre, i cui parametri possono essere stimati utilizzando tutte le osservazioni passate disponibili sui rendimenti della posizione finanziaria X.

La Teoria dei Valori Estremi

Si occupa dello studio di eventi rari ed è inizialmente nata nell’ambito della previsione di catastrofi naturali.

Nelle applicazioni finanziarie l’evento raro può corrispondere al fallimento di una società, al crollo del prezzo di un titolo azionario o di un portafoglio.

La Teoria dei valori estremi (EVT) si affianca all’analisi statistica standard, che analizza i fenomeni “nella medi” fornendo strumenti di diagnbistica come appunto il QQ-plot, per studiare gli venti rari, ovvero quelli che si trovano nelle code di una distribuzione.

In particolare, l’applicazione della EVT in ambito finanziario cerca di stimare la forma distribuzione del rendimento di una posizione finanziaria SOLO per quanto riguarda le code di tale distribuzione e la si basa sull’analisi dei soli dati “estremali” nella serie storica dei rendimenti passati.

Dalle medie agli estremi…

Ricordiamo che la distribuzione di un v.a. X è caratterizzata dalla sua Funzione di Ripartizione definita come:

)()( xXPxFX e che una successione di variabili aleatorie X1,X2,…Xn si dicono identicamente distribuite se hanno la stessa funzione di ripartizione (la stessa distribuzione).

Indici sintetici importanti nella distribuzione di una v.a. sono la media e la varianza definite rispettivamente come:

dxxxfxxdFXE )()(

dxxfxxdFxXV )()( 22

Dalle medie agli estremi 2…

Due dei teoremi cardine dell’inferenza statistica “standard” riguardano appunto la distribuzione della MEDIA di una successione di variabili aleatorie:Siano X1,X2,…Xn… variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con media e varianza 2 e sia:

Legge dei grandi numeri

n

XXXX n

n

...21 la media aritmetica delle prime n.

nnX

Teorema centrale del limite

)1,0(NX

nd

n

Per rappresentare le code di una distribuzione si analizzano gli eventi estremali che possono essere rappresentati da due diverse variabili:

1) Il massimo “a blocchi” delle variabili aleatorie osservate;

2) Il valore degli eccessi sopra una soglia prefissata u detta threshold.

Dalle medie agli estremi 3…

La distribuzione del massimo campionario

Consideriamo nuovamente la successione X1,X2,…Xn… di v.a. i.i.d ponendo la nostra attenzione non più sulla media aritmetica ma sul massimo campionario delle v.a. Definiamo quindi:

).,...,,max( 21 nn XXXM

La distribuzione del massimo è descritta dalla funzione di ripartizione ottenuta come:

.)()()(,n

nnM xFxMPxF

Banalmente, se x è un valore tale che F(x)<1 allora:

.0)(,

nnM xF Risultato di poco interesse

La distribuzione del massimo campionario 2

Un risultato limite interessante si ottiene invece normalizzando la variabile massimo mediamte una costante an di scala e una costante bn di posizione per cui si abbia:

)()( xHbxaFxa

bMP

n

nnn

n

nn

Se una tale distribuzione limite H esiste ed è non degenere, allora deve necessariamente appartenere ad una certa classe di distribuzioni denominate del “valore estremo generalizzato” (GEV).

In tale caso si dice che le v.a. X1,X2,…Xn…hanno la funzione H come dominio di attrazione per il massimo .

Distribuzioni GEVIl “Three Types Theorem”

Se il massimo campionario “normalizzato” ammette una distribuzione limite H non degenere allora questa può essere descritta da una delle seguenti forme funzionali:

0)exp(

01)(

0)exp(

00)(

,exp)(

xx

xxH

xx

xxH

xexH x

Gumbel

Fréchet

Weibull

con positivo.

Distribuzioni GEV: Parametrizzazione unica

Le tre tipologie di funzioni di ripartizione possono essere scritte in una forma comune del tipo:

1

1exp)(x

xH

Dove é un parametro di posizione, > 0 è un parametro di scala e è un parametro di forma (il più importante nella descrizione della forma delle code). Per 0 ritroviamo la distribuzione di Gumbel, per > 0 la distribuzione di Frechét con = -1, per < 0 la distribuzione di Weibull con = --1.

In modo informale possiamo dire che il caso > 0 corrisponde a distribuzioni con code pesanti e lunghe che decrescono come una funzione potenza x -1/ , il caso =0 alle distribuzione intermedie con code che decadono in modo esponenziale e il caso < 0 corrisponde a distribuzioni con code corte e finite a destra.

Consideriamo ora di avere una successione di v.a. con comune funzione di ripartizione F appartenente ad una classe nota: quale è la distribuzione limite GEV del massimo campionario?

)exp(1)( xxF nba nn log,1

)exp( 1)( xn

nxn

nn en

exabF

con

Distribuzione Esponenziale

Gumbel

Distribuzione Normale

x

duuxF )2exp(2

1)( 2

con )11(,1 1 nFbba nnn

)exp( 1)( xn

nxn

nn en

exabF

Gumbel

Code Paretiane

Si dice che la distribuzione di una v.a. X ha code Paretiane di ordine se:

xccxxFxXP per ,0,con ,)(1)(

In questo caso, ponendo 0,1 nn bnca si ottiene:

)exp( 11)(

x

n

xxacxaF n

nn

nn

n

ovvero il dominio di attrazione del massimo per una distribuzione con code di tipo Pareto è una Fréchet.

La distribuzione degli “eccessi”

Fissato un valore soglia u indichiamo con Y la v.a. degli eccessi da u, Y=X-u. Consideriamo la distribuzione condizionata:

)(1

)()(

)(

)(

)()()(

uF

uFuyF

uXP

yuXuP

uXyuXPuXyYPyFu

Quando la soglia u tende al valore massimo per la v.a. X è possibile trovare una funzione di distribuzione limite per tale distribuzione condizionata.

La distribuzione degli “eccessi” 2

Se un tale limite esiste questo appartiene alla classe delle distribuzioni Pareto Generalizzate (GPD) ovvero, se:

1sup dove ),;()( x: F(x)ωyGyF uu

u

allora:

0,exp1

0,11 ),;(

1

y

y

yG

Esponenziale

Paretoe

Beta

Si noti che, assegnata una distribuzione F per la successione di v.a. iid, un tale limite per la distribuzione condizionata degli eccessi esiste SE E SOLO SE esiste il limite per la distribuzione del massimo campionario e il parametro di forma coincide.

Pertanto, nuovamente, se il parametro di forma è positivo la distribuzione possiede code lunghe e pesanti, se è negativo, code corte o troncate e se è nullo code che decadono in modo esponenziale.

Risultati interessanti sulle caratteristiche delle distribuzioni GPD sono i seguenti:

1per ,1

0

21per ,)21()1(

YV

1per ,1

2

2

yyYyYE

YE

Consideriamo ora di avere una successione di v.a. con comune funzione di ripartizione F appartenente ad una classe nota: quale è la distribuzione limite GPD degli eccessi sopra una soglia u?

)exp(1)( xxF 1u

)exp(-1

)exp(

)(exp)exp()( z

u

zuuzF uu

con

Distribuzione Esponenziale

Distribuzione Normale

x

duuxF )2exp(2

1)( 2

con uu 1

)exp(-1 )(1

)()()( z

uF

uFuzuFzF n

uu

Esponenziale!

Esponenziale!

Code Paretiane e GPD

Nel caso in cui la distribuzione originale abbia code paretiane, sia u=bu, con b > 0, allora:

bz)-(

uF

uFbuzuFzF n

u 11 )(1

)()()(

che appartiene alle GPD se poniamo =1/ e b=.

Distribuzioni GPD e Quantili

Una volta noti (stimati) i parametri che compaiono nella distribuzione GPD è possibile calcolare i quantili della distribuzione in funzione di questi e del threshold u scelto. Si ha, per 1-q<1-F(u) ovvero q> F(u):

1)1(

qN

nuZ

uq

con

thresholdil sopra niosservazio di numeroe )(:

u

qq

NquXZYPZ

Tramite questa formula è possibile calcolare direttamente il VaR!

Stima dei parametri su osservazioni di mercato

Il parametro che risulta più importante da stimare per capire la forma delle code della distribuzione empirica dei dati di mercato (rendimenti della nostra posizione finanziaria) è il parametro di forma .

Questo può essere indifferentemente stimato tramite la distribuzione del massimo (a blocchi) fissato un numero sufficientemente alto n di osservazioni oppure tramite la distribuzione condizionata degli eccessi, fissato un threshold sufficientemente alto.

Il numero di osservazioni in un caso, il threshold nell’altro sono scelte arbitrarie che possono alterare il valore della stima.

Il Caso MIB30: X= log-perdita giornaliera

u=0,034u=0,021u=0,012

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Confronto: GPD versus Tail Empirico dell'indice MIB30

u

GPD teorica Tail Empirico

Soglia fissata a u=0,021.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Confronto: GPD versus Tail Empirico dell'indice MIB30

u

GPD teorica Tail Empirico

Approssimazione della coda nel caso del MIB30

Soglia fissata a u=0,012.

Analisi standard S&P 500

Media Stdev0,00047 0,0107

Skewness Kurtosis

-1,9115 40,27

S&P 500 Stima del parametro di forma al variare del threshold

(del numero di osservazioni nella coda)

Valore plausibile intorno a 0.3

S&P 500 – Stima del parametro di forma e dei Quantili (VaR)

VaR (99%) Parametro di forma

0,0975 0,27

0,1061 0,3

0,1155 0,33

Come variano le stime dei quantili in base al threshold?

S&P 500: VaR al variare del threshold

Valore plausibile intorno a 0.1, proprio quello trovato in corrispondenza di =0.3

S&P 500 –Funzione di ripartizione stimata ed empirica

Media Stdev0,00012089 0,077

Skewness Kurtosis

0,3406 6,1588

Analisi standard del tasso di cambio Jap. Yen /UK £.

Japanese Yen /UK £. – Stima del parametro di forma

Risulta difficile trovare un valore ottimale

Japanese Yen / UK £. – Stima del VaR al 99%

VaR (99%) Parametro di forma

0,0609 0,22

0,066 0,25

0,0717 0,28

L’intervallo per il quantile è accettabile, ma come varia la stima con il threshold?

Japanese Yen to UK £. – VaR al variare del threshold

Japanese Yen/UK £. Funzione di ripartizione stimata ed empirica

Analisi standard del Future sul Caffè.

Media Stdev0,000546 0,0204

Skewness Kurtosis

-0,2413 14,9788

LIFFE Coffee Fut. – Stima del parametro di forma

LIFFE Coffee Fut. – Var al 99%

VaR(99%) Parametro di forma

0,1858 0,27

0,202 0,3

0,22 0,33

LIFFE Coffee Fut. – VaR al variare del threshold

LIFFE Coffee Fut. Funzione di ripartizione stimata ed empirica

Confronto tra la stime del VaR al 99% ipotizzando una distrobuzione normale e con la teoria dei valori estremi.

VaR- Normale VaR-EVT

S&P 500 2,5% 10,6%

Coffee futures 4,8% 20,2%

Yen /UK 1,8% 6,6%