Teoria dei giochiMaria Vittoria Levati Kreps: "Microeconomia per manager" 3 Rappresentazione di...

Kreps: "Microeconomia per manager" 1Maria Vittoria Levati

La teoria dei giochi non cooperativi


Ci occuperemo soltanto di giochi non cooperativigiochi non cooperativi:

l’unità d’analisi è il singolo giocatore che cerca di compiere le scelte per sé migliori date le regole del gioco e i vincoli posti dall’interazione strategica con altri giocatori:

in maniera un po’ imprecisa non possono essere fatti ex-ante accordi vincolanti con altri giocatori che ex-post conviene infrangere.

In questo tipo di giochi nulla vieta che i giocatori possano giocare strategie cooperative.


Rappresentazione di giochiNel rappresentare un gioco dobbiamo specificare:

1. il numero dei “giocatori” (cioè degli individui coinvolti);2. le regole del gioco, ossia

chi sceglie, quali opzioni ha,quando agisce e quale tipo di informazione ha a sua disposizione;

3. il risultato ottenuto da ciascun giocatore, in termini di utilitào vincita, per ogni possibile esito del gioco.

Questi dati possono modellarsi in due modi: in forma strategica e in forma estesa.


Giochi in forma strategicaUn gioco G in forma strategica è definito da una tripla

G = {N, S, Π}dove

N = 1, 2, ..., n indica il numero dei giocatori, S l’insieme delle strategie di tutti i giocatori e Π rappresenta l’insieme delle vincite.

Una strategiastrategia è un piano d’azione completo, che prevede quale azione scegliere per ogni possibile situazione.

Un profilo di strategieprofilo di strategie è un vettore di scelte strategiche che prevede una strategia per ogni giocatore.


Quando il gioco coinvolge solamente due giocatori, tutte le informazioni del gioco in forma strategica possono essere rappresentate con una bimatrice (matrice a 2 dimensioni), dove

le strategie di un giocatore costituiscono le righe e le strategie dell’altro giocatore formano le colonne;all’interno delle varie celle sono indicate le vincite associate al profilo di strategie corrispondente. Per convenzione, il primo numero della cella rappresenta la vincita del giocatore di riga e il secondo numero quella del giocatore di colonna.


U N ESEM PIO: il gioco di Sonia e GianniDue amici, Sonia e Gianni, devono decidere simultaneamente ed indipendentemente dove trascorrere la serata. Le scelte possibili sono tre:

1) un pub chiamato Old Pros, 2) un museo d’arte e 3) un bar chiamato Cafeen.


Questa situazione è rappresentabile come una matrice 3 × 3: nelle tre righe sono indicate le strategie di Sonia, nelle tre colonne quelle di Gianni, in ogni cella della matrice sono presenti due numeri, che rappresentano le preferenze dei due amici rispetto ai nove esiti possibili (il primo numero si riferisce alle preferenze di Sonia, il secondo a quelle di Gianni).

GIANNI

SONIA

Old Pros

Old Pros

Museo

Museo

Cafeen

Cafeen

3; 6

2; 2

4; 2

1; 31; 1

5; 52; 1

4; 36; 4


Nei giochi anche solo moderatamente complessi, il numero di strategie può assumere dimensioni enormi. Ma, in teoria, possiamo elencarle tutte. È questo elenco delle strategie (una per ogni giocatore) che definisce il gioco “in forma strategica”.Nel gioco di Sonia e Gianni,

se la scelta è simultanea, i due amici hanno tre strategie ciascuno e vi sono 3 × 3 = 9 profili di strategie (quelli elencati nella matrice vista prima); se la scelta è sequenziale con Gianni che compie la prima mossa, Gianni ha 3 strategie, Sonia 27 (perché Sonia deve pianificare l’azione che adotterà a seconda delle informazioni che ha sulla scelta di Gianni) e vi sono 3 × 27 = 81 profili di strategie.

9

1. OP a prescindere da Gianni2. OP se Gianni va a OP, M se Gianni va a M o C3. OP se Gianni va a OP, C se Gianni va a M o C4. OP se Gianni va a OP, M se Gianni va a M, C se Gianni va a C5. OP se Gianni va a OP, C se Gianni va a M, M se Gianni va a C6. M se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M o C7. M se Gianni va a OP, C se Gianni va a M o C8. M se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M, C se Gianni va a C9. M se Gianni va a OP, C se Gianni va a M, OP se Gianni va a C10. C se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M o C11. C se Gianni va a OP, M se Gianni va a M o C12. C se Gianni va a OP, OP se Gianni va a M, M se Gianni va a C13. C se Gianni va a OP, M se Gianni va a M, OP se Gianni va a C14. OP se Gianni va a M, M se Gianni va a OP o C15. OP se Gianni va a M, C se Gianni va a OP o C 16. M a prescindere da Gianni 17. M se Gianni va a M, OP se Gianni va a OP o C18. M se Gianni va a M, C se Gianni va a OP o C19. C se Gianni va a M, OP se Gianni va a OP o C20. C se Gianni va a M, M se Gianni va a OP o C21. OP se Gianni va a C, M se Gianni va a OP o M22. OP se Gianni va a C, C se Gianni va a OP o M23. M se Gianni va a C, OP se Gianni va a OP o M24. M se Gianni va a C, C se Gianni va a OP o M25. C a prescindere da G26. C se Gianni va a C, OP se Gianni va a OP o M27. C se Gianni va a C, M se Gianni va a OP o M

Strategie di Sonia


Consideriam o ora il seguente gioco e rappresentiam olo in form a strategica:

Due individui, il giocatore 1 ed il giocatore 2, partecipano ad un’asta per acquistare un oggetto di valore, ad esempio un quadro. Ogni giocatore fa un’offerta in busta chiusa (che viene poi consegnata al banditore) senza conoscere l’offerta dell’altro. Le offerte devono essere in multipli di € 100 ed il massimo che ogni giocatore può offrire è € 400. Il quadro vale € 300 per il giocatore 1 e € 200 per il giocatore 2.


Il quadro viene aggiudicato a chi dei due giocatori offre la somma maggiore. Se i giocatori offrono la stessa cifra, il quadro va al giocatore 1. Il vincitore deve pagare un prezzo p pari alla somma che ha offerto (si tratta cioè di un’asta di primo prezzo). Quindi, se il quadro vale vi per il giocatore i (dove v1 = € 300 e v2 = € 200) ed il giocatore i vince l’asta, la sua vincita è vi – p, dove p è il prezzo da lui offerto. Se, invece, i non vince l’asta, la sua vincita è nulla.

Come possiamo rappresentare questo gioco Come possiamo rappresentare questo gioco in forma strategica?in forma strategica?


Insieme dei giocatori: N = {1, 2}

Strategie di ogni giocatore (assumiamo che i giocatori possono offrire anche 0):

S1 = S2 ={0, 100, 200, 300, 400}Vincite dei giocatori (rappresentabili in una matrice):

GIOCATORE 2

GIO

CA

TO

RE

1

0 100 200 300 400

0

100

200

300

400

300, 0

200, 0

100, 0

0, 0

−100, 0

0, 100 0, 0 0, −100 0, −200

200, 0

100, 0 100, 0

0, 0 0, 0 0, 0

0, 0 0, −100 0, −200

0, −100 0, −200

0, −200

−100, 0 −100, 0 −100, 0 −100, 0


I giochi a somma costanteI giochi a somma costanteUn gioco è a somma costante se:

la somma delle vincite dei giocatori è sempre la stessa (costante) per ogni profilo di strategie.

Se la costante è pari a zero, si parla di giochi a somma zero.Ogni gioco a somma costante può essere ricondotto ad un gioco a somma zero considerando lo scostamento delle vincite associate ad ogni profilo di strategie dalla media.


Esempio di gioco a somma costante AS

1; -3-3; 1

4; -63; -5

La media delle vincite è –1. Sottraendo –1 da ogni vincita:

D

U

DB

S

(1+1); (-3 + 1)(-3 + 1); (1 +1)

(4+1); (-6+1)(3 + 1); (-5+1)

D

U

DB

A Otteniamo un gioco a somma zero:

4 – 4 = 0;5 – 5 = 0;-2 + 2 = 0;2 – 2 = 0.


Un metodo alternativo per rappresentare una situazione di interazione strategica (che pone in evidenza le tattiche dinamiche dei giocatori) è rappresentato dai

Giochi in forma estesaIniziamo a considerare la situazione in cui ogni giocatore, quando è chiamato a compiere la propria mossa, conosce tutte le scelte precedenti. Per esempio, quando Gianni sceglie per primo dove recarsi e Sonia reagisce dopo aver appreso la sua scelta. Tali giochi sono definiti giochi in forma estesa a informazione completa e perfetta.


I giochi in forma estesa si rappresentano con un diagramma ad albero:

Gianni

Sonia Sonia Sonia

Old Pros

Old Pros

Old Pros Old

Pros

museo

museo museo museo

Cafeen

Cafeen CafeenCafeen

6;4 2;1 1;1 4;3 5;5 1;3 4;2 2;2 3;6


Nel diagramma ad albero:i vari pallini (sia quello iniziale in bianco sia quelli intermedi neri) sono chiamati nodi e rappresentano le posizioni dove un giocatore deve compiere una mossa; da ogni nodo partono delle frecce, che rappresentano le opzioni disponibili al giocatore cui spetta la mossa;ogni freccia porta a una posizione o intermedia (dove un altro giocatore deve scegliere) o finale (dove il gioco si conclude);le posizioni terminali sono contrassegnate dai vettori delle vincite dei giocatori.


Un elemento molto importante dei giochi in forma estesa sono gli “insiemi informativi”.Se non specificato diversamente e quando l’informazione è completa e perfetta, gli insiemi informativi coincidono con i nodi (punti nei quali gli agenti si trovano a scegliere le loro azioni). In questo caso, si dice che gli insiemi informazione sono dei “singleton”. Alternativamente possono essere insiemi di nodi. In questo caso i giocatori non sanno in quale dei nodi appartenenti all’insieme si trovano.


Gianni

Sonia

Consideriamo un gioco modificato di Sonia e Gianni dove i due amici devono scegliere solo fra due strategie: il museo o il pub.Se Gianni sceglie per primo e Sonia sasa cosa ha scelto Gianni quando fa la sua scelta (gioco a informazione completa e perfetta), gli insiemi di informazione sono dei singleton. In tal caso, il diagramma ad albero è:Supponiamo ora che Sonia non sanon sa quale sia stata la scelta di Gianni. Il gioco èsempre sequenziale ma c’è il problema della mancanza di informazione. In tal caso, gli insiemi informativi sono insiemi di nodi ed il diagramma ad albero è:

Sonia

Museo

Museo MuseoPub Pub

Pub

5; 5 4; 3 2; 1 6; 4

Gianni

Sonia

Museo

MuseoPub Pub

Pub

5; 5 4; 3 2; 1 6; 4

Museo


Quindi, quando l’informazione è imperfetta, gli insiemi di informazione si rappresentano tramite delle linee tratteggiatelinee tratteggiate che congiungono quei nodi in cui un giocatore deve prendere una decisione ma tra i quali il giocatore non può distinguere.

Gianni

Museo

MuseoPub Pub

Pub

5; 5 4; 3 2; 1 6; 4

Museo

È la linea tratteggiata, anziché i due singoli nodi, ad essere contrassegnata con il nome del giocatore che deve muovere per secondo (Sonia). Sonia


La dominanza e i giochi in forma strategicaDopo aver rappresentato una data situazione come un gioco o in forma estesa o in forma strategica, il passo successivo consiste nel prevedere che cosa accadrà (come si comporteranno i giocatori). Con i giochi in forma strategica si può stabilire se determinate strategie non verranno adottate dai giocatori coinvolti applicando il criterio della dominanzadominanza.


iiiiiiii Ssssussu −−−− ∈∀< ),(),( '''

'isFormalmente, una strategia è strettamente dominata da

per il giocatore i se

Potrebbe allora escludere una propria strategia in quanto suadominata.

Se il giocatore i ha una strategia strettamente dominata, sembra ragionevole assumere che nonnon la giochi.

''is

Se l’altro giocatore (−i) anticipa che i non sceglierà la strategia strettamente dominata, può fare la propria scelta facendo riferimento solamente alle rimanenti strategie di i.

Se un gioco può risolversi applicando più volte il principio di dominanza, si parla di soluzione per dominanza iteratasoluzione per dominanza iterata.


Consideriamo il giocatore di colonna. Possiamo eliminare una delle sue tre strategie? Sì, possiamo eliminare S perché S è dominata da D:

se Riga sceglie A, Colonna preferisce D a S (5 > 3); se Riga sceglie B, Colonna preferisce D a S (2 > 1).

Poiché D domina strettamente S, Colonna non sceglierà S.Possiamo quindi eliminare S.

2; 25; 35; 1

0; 53; 17; 3

COLONNA

RIGA

A

S C

B

D

Per spiegare questo procedimento, consideriamo il seguente gioco:


Consideriamo ora il giocatore di riga. Possiamo eliminare una delle sue due strategie?

Se Riga riproduce il ragionamento precedente, anticipa che Colonna non sceglierà S. Allora, a prescindere dal fatto che Colonna scelga C o D, Riga è piùsoddisfatto con B che con A (se “C”: 5 > 3; se “D”: 2 > 0). Quindi B domina iterativamentedomina iterativamente A, dopo aver applicato il criterio di dominanza per eliminare S.

Sulla base del criterio di dominanza iterata, prevediamo che Riga non sceglierà A.

2; 25; 35; 1

0; 53; 17; 3

COLONNA

RIGA

A

S C

B

D


Avendo eliminato A, C domina iterativamente D (3 > 2).Possiamo quindi eliminare anche D.Rimangono solo C per il giocatore di colonna e B per il giocatore di riga.L’applicazione del criterio di dominanza iterata ci ha portato ad un unico profilo di strategie; abbiamo cioè eliminato tutte le strategie eccetto una per ogni giocatore.Possiamo pertanto affermare che questo gioco questo gioco èè risolvibile per dominanzarisolvibile per dominanza.

2; 25; 35; 1

0; 53; 17; 3

COLONNA

RIGA

A

S C

B

D


Un gioco che può essere risolto col criterio della dominanza è il dilemma del prigioniero.Due persone che commettono un reato vengono arrestate dalla polizia.La polizia sa che i due hanno commesso il reato ma non ne ha le prove e, senza una confessione, deve rilasciarli.Allora, per indurli a confessare, li separa e presenta a ciascuno la seguente offerta:

«Se ci rilasci una confessione in cui coinvolgi il tuo compagno, mentre lui non confessa, ti concediamo la condizionale e imprigioniamo il tuo compagno per molti anni. Se entrambi confessate, entrambi andrete in prigione, ma per un numero minore di anni. Se tu non confessi mentre il tuo compagno lo fa, sarà lui a ottenere la condizionale, mentre tu finirai in prigione per lunghissimo tempo.»Entrambi i criminali sanno che se rimangono zitti, tutti e due verranno rilasciati.


È un gioco a mosse simultanee, due giocatori e due strategie a testa: “confessare” e “rimanere zitti”.Le vincite della figura riflettono il seguente ordine di preferenze:I. confessare mentre il compagno rimane zitto (ui = 8, i = 1, 2); II. nessuno dei due confessa (ui = 5)III.confessione di entrambi (ui = 0)IV.rimanere zitto mentre il compagno confessa (ui = – 3).

2

1

zitto

confessazitto

confessa

Qualsiasi cosa faccia “1”, “2” sta meglio se confessa.

Il dilemma del prigioniero

Pertanto, “confessare”domina sul “rimanere zitti”per entrambi i giocatori.

Qualsiasi cosa faccia “2”, “1” sta meglio se confessa. 5; 5 -3; 8

0; 08; -3


La dominanza deboleConsideriamo il gioco della figura seguente: In questo gioco per il giocatore “1” A domina debolmente BA domina debolmente B:

se “2” gioca D, per “1” A è migliore di B (2 > 0) mentre se “2” gioca S, per “1” A è esattamente uguale a B (3 = 3).

Possiamo concludere che la riga B non sarà scelta? Possiamo iterare tale ragionamento e dire che, poiché 1 non sceglie B, 2 non sceglieràS?

0; 03; 4

2; 13; 0

2

1

A

DS

B

L’evidenza empirica ci mostra che: la dominanza debole non funziona bene quanto la dominanza stretta, e una dominanza debole iteratapuò funzionare piuttosto male.


≥

'is

),( 'iii ssu −

Formalmente, una strategia è debolmente dominantedebolmente dominante per il giocatore i se

In altri termini, una strategia è debolmente dominante se conduce a vincite non minorinon minori rispetto alle altre strategie indipendentementeindipendentemente da cosa faccia l’altro giocatore.

iiiiiii SsSsssu −−− ∈∀∈∀ ),(


L’equilibrio di Nash Gli economisti impiegano il criterio della dominanza e della dominanza iterata, sia stretta sia debole, ogniqualvolta ciò sia possibile. In molti casi, tuttavia, questo procedimento non conduce a un esito prevedibile. In questi casi si ricorre agli equilibri di Nashequilibri di Nash.Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che nessun giocatore può migliorare la propria vincita modificando la propria strategia in modo unilaterale.


),( **ii ss −

issussu iiiiii ∀≥ −− ),(),( ***

In altri termini, un equilibrio di Nash è un insieme di un insieme di strategie, una per ogni giocatore, che sono strategie, una per ogni giocatore, che sono mutualmentemutualmenterisposte ottimerisposte ottime.

Formalmente, chiarendo che “*” indica una risposta ottima, un profilo di strategie è un equilibrio di Nash se vale:


Nel gioco di Sonia e Gianni ci sono due equilibri di Nash:1. entrambi i giocatori si recano all’Old Pros e 2. entrambi si recano al museo d’arte.

3; 61; 31; 1

2; 25; 52; 1

4; 24; 36; 4

GIANNI

SONIA

Old Pros

Old Pros

Museo

Museo

Cafeen

Cafeen

Se Gianni sceglie l’Old Pros, qual è la strategia migliore per Sonia?E se Gianni sceglie il museo?E se Gianni sceglie il Cafeen?

Ora passiamo ad individuare la “risposta ottima”di Gianni ad ogni strategia scelta da Sonia.

Le risposte ottime reciproche (ossia le celle in cui convergonole frecce per entrambi i giocatori) rappresentano gli equilibri di Nash del gioco.


Nel dilemma del prigioniero, l’unico equilibrio di Nash è la confessione di entrambi. OBIEZIONE: se entrambe le parti passano alla strategia del silenzio sono entrambe più soddisfatte. Vero, ma quando si controlla se un profilo di strategie è un equilibrio di Nash occorre verificare se un giocatore può migliorare la suavincita cambiando unilateralmente strategia.

0; 08; -3

-3; 85; 5

2

1

zitto

confessazitto

confessa

Se 1 confessa, 2 può migliorare la propria vincita deviando dall’equilibrio e, quindi, rimanendo zitto? Se 2 confessa, 1 può migliorare la propria vincita deviando dall’equilibrio?


Molti giochi presentano pipiùù equilibri di Nashequilibri di Nash. In alcuni casi, questo non è un problema perché il gioco in esame presenta un ovvio metodo di gioco. In altri casi, tuttavia, l’esito del gioco non èfacilmente prevedibile. Consideriamo, ad esempio, il gioco seguente che è definito coordinamento semplicecoordinamento semplice.

0; 015; 15

5; 50; 02

1

A

DS

B

Sebbene questo gioco abbia due equilibri di Nash, sembra ovvio assumere che l’esito finale sarà il profilo (B, S) poiché è nell’interesse di entrambi i giocatori adottarlo.


Il gioco seguente, definito coordinamento rischiosocoordinamento rischioso, è meno chiaro. I due giocatori possono coordinare le loro azioni secondo i profili (B,S) e (A, D).Poiché (B,S) prevede un esito migliore di (A, D) per entrambi i giocatori, sembrerebbe che possa applicarsi lo stesso “ragionamento”del gioco precedente. Tuttavia, se 1 sceglie A, si garantisce perlomeno 5; scegliendo Binvece corre dei rischi poiché se 2 scegliesse D, 1 otterrebbe -10.

Questo ragionamento si auto-rinforza:1 è più sicuro se sceglie A e 2 èpiù sicuro se sceglie D e irischi associati alle scelte non sicure aumentano se ciascuna parte ritiene che l’altra sceglierà l’equilibrio sicuro.

-10; 515; 15

10; 105; -102

1

A

DS

B


Il gioco seguente è definito coordinamento difficile. Esistono tre modi in cui i giocatori possono coordinare le loro azioni: (A, C), (M, S) e (B, D). I giocatori non concordano tuttavia sul profilo da scegliere: 1 preferisce il profilo (M, S) mentre 2 preferisce (B, D).

0; 30-5; -5-5; -5

-5; -5-5; -515; 5

-5; -510; 10-5; -5

2

1

A

S

B

C D

M


Quando i giocatori non possono comunicare prima di compiere la scelta, solo il primo dei tre giochi di coordinamento appena visti sembra presentare un ovvio metodo di gioco.

Se le due parti possono comunicare prima di giocare, possono mettersi d’accordo sul cosa scegliere.

Ad esempio, una conversazione prima di iniziare il gioco del coordinamento rischioso è solitamente sufficiente per portare i due partecipanti a scegliere (B, S) cioè l’esito rischioso ma migliore per entrambi.


L’equilibrio di Nash e la dominanzaAbbiamo visto due metodi di analisi dei giochi in forma strategica: uno basato sulla dominanza e uno basato sull’equilibrio di Nash.

Qual è il nesso tra i due metodi?Una strategia che viene eliminata per dominanza stretta iterata non può mai far parte di un equilibrio di Nash. Se eliminiamo alcune strategie per dominanza iterata, impiegando in alcuni passaggi anche la dominanza debole, tra le strategie che non vengono eliminate esiste sempre un equilibrio di Nash.


L’induzione a ritroso nei giochi in forma estesa a informazione completa e perfettaL’analisi di giochi in forma estesa con mosse della natura e insiemi di informazione può risultare piuttosto difficile. Invece, i giochi a informazione completa e perfettapossono essere analizzati in modo semplice con l’induzione a ritroso.


In maniera intuitiva, l’idea è la seguente: Si osservano gli ultimi nodi nei quali un giocatore è chiamato a giocare (nodi terminali) e si suppone (coerentemente con l’ipotesi di razionalità) che in questi nodi il giocatore scelga la strategia che gli offre la vincita maggiore.Nei nodi precedenti, il giocatore che è chiamato a giocare sa cosa farà l’ultimo giocatore in quanto egli conosce il gioco e sa che l’ultimo giocatore è razionale.

Così lui si comporta come se fosse l’ultimo a giocare in quanto la vincita che ottiene da ciascuna strategia gli è nota perché sa quali saranno le conseguenze della sua scelta.

In questo modo si procede passo dopo passo …In conclusione, il giocatore che è chiamato a scegliere nel primo nodo sa già cosa succederà in corrispondenza di ogni sua scelta.


JohnPaul

George

Paul

B

X

y

k

c

A

a

l

Y

x

b

3;4;2;1 2;5;4;0

2;6;6;1

4;4;4;21;3;2;2

6;8;6;11;2;5;3

Ringo

ESEMPIO

Le vincite dei quattro giocatori sono nell’ordine: Paul, John, George e Ringo.

Consideriamo un gioco con 4 giocatori: Paul, John, George e Ringo.


Primo stadioJohnPaul

George

Paul

B

X

y

k

c

A

a

l

Y

x

b

Ringo

Iniziamo con i nodi dove la scelta del giocatore termina il gioco.• Nodo terminale in cui George è chiamato a giocare: poiché B gli dà una

vincita maggiore di A, George sceglierà B ed il vettore delle vincite sarà(2; 5; 4; 0).

• Nodo terminale in cui tocca a Ringo giocare: Ringo può scegliere x, guadagnando 3, o y, guadagnando 1; sceglierà quindi x con un vettore delle vincite pari a (1; 2; 5; 3).

• Nodo terminale in cui sceglie Paul: Paul sceglie tra k, guadagnando 4, e l, guadagnando 2: sceglierà k con un vettore delle vincite (4; 4; 4; 2).

Ordine delle vincite: (P, J, G, R)3;4;2;1 2;5;4;0 1;2;5;3 6;8;6;1

2;6;6;1

4;4;4;21;3;2;2


Secondo stadioJohnPaul

George

Paul

B

X

k

c

aY

x

b

Ringo

Ordine delle vincite: (P, J, G, R)2;5;4;0 1;2;5;3

4;4;4;21;3;2;2

Possiamo eliminare quelle strategie che non verranno mai giocatein quanto chi è chiamato a giocare nei nodi precedenti sa cosa succederà nei nodi terminali.

• Il giocatore a cui tocca giocare è John che deve scegliere tra “a”, guadagnando 3, oppure “b”, ripassando il turno a Paul, che termina il gioco con k e quindi con 4 per John, oppure “c”, passando il turno a Ringo, che termina il gioco con x che implica 2 per John.

• Pertanto, la scelta migliore per John è b.


Terzo stadioJohnPaul

George

Paul

B

X

k

c

aY

x

b

Ringo

Ordine delle vincite: (P, J, G, R)2;5;4;0 1;2;5;3

4;4;4;21;3;2;2

Siamo ora pronti a immaginare come Paul dovrebbe iniziare il gioco.• Se Paul sceglie “X”, passa il turno a George, che porterebbe al vettore delle

vincite (2; 5; 4; 0), con 2 per Paul.• Se, invece, Paul sceglie “Y”, passa il turno a John, che porta al vettore delle

vincite (4; 4; 4; 2), con 4 per Paul.• Quindi, Paul è più soddisfatto con Y, in quanto anticipa che John risponderà

con b e poi lui stesso sceglierà k, portando al vettore (4; 4; 4; 2).


ConclusioniJohnPaul

George

Paul

B

X

y

k

c

A

a

l

Y

x

b

Ringo


2;6;6;1

4;4;4;21;3;2;2

•Equilibrio del gioco Yk, b, B, x•Sentiero di equilibrio Ybk•Azioni di equilibrio mai giocate B x

4;4;4;2


Raffinamenti dell’equilibrio di Nash: equilibrio perfetto nei sottogiochiDefinizione di sottogioco:In un gioco G in forma estesa a informazione perfetta, unsottogioco a. inizia con un nodo di G (la “radice” del nuovo gioco) e b. include tutti i suoi successori (nodi che possono essere

raggiunti dalla nuova radice).

In pratica, si tratta di considerare un generico nodo e considerarlo come “radice” del gioco.


JohnPaul

George

Paul

B

X

y

k

c

A

a

l

Yb

Ringo

1) Quello che inizia col nodo dove George deve giocare e i cui successori sono solo i nodi terminali.

2) Quello che inizia col nodo dove Ringo deve giocare. 3) Quello che inizia col nodo dove Paul deve giocare.4) che inizia col nodo dove John deve giocare ed include i due nodi

“Paul” e “Ringo” più i nodi terminali.


2;6;6;1

4;4;4;21;3;2;2

Quali sono i sottogiochi del gioco di Paul, John, George e Ringo?

x


Un profilo di strategie rappresenta un equilibrio equilibrio perfetto nei sottogiochiperfetto nei sottogiochi se è un equilibrio non solo nel gioco originale G ma rimane tale anche in ogni sottogioco di G.La condizione che imponiamo è quindi che non solo si abbia un equilibrio, ma che tale resti anche quando “restringiamo” le strategie ai sottogiochi del gioco dato. Il metodo dell’induzione a ritroso per trovare un equilibrio di Nash in un gioco ad informazione completa e perfetta fornisce un equilibrio perfetto nei sottogiochi.


Consideriamo il seguente gioco.Quale risultato ci si può attendere applicando l’induzione a ritroso? Se B sfida A, A deve scegliere tra le vincite 1 (se si arrende) e 0(se combatte). Quindi, A sceglierà di arrendersi. B prevede che, quando tocca ad A scegliere, A deciderà di arrendersi e quindi lo sfida: in tal modo, infatti, ottiene 2 che per B rappresenta la vincita migliore possibile.

B

ASfidare A

Non sfidare A

Combattere

Arrendersi

0; 0

2; 1

1; 2


Riformuliamo il gioco in forma strategica e troviamo gli eq. di Nash.Questo gioco ha due equilibri di Nash:

1) il profilo sfida-resa,2) il profilo non sfida-combattimento.

Il primo è perfetto nei sottogiochi (l’induzione a ritroso ci ha portato a questo equilibrio); il secondo non lo è. Qual è il senso del nuovo equilibrio che abbiamo trovato, ovvero (non sfida, combattimento)?

1; 21; 2

2; 10; 0

A

B

Sfida A

Si arrendeCombatte

Non sfida A


1; 21; 2

2; 10; 0

A

B

Sfida A

Si arrendeCombatte

Non sfida A

Possiamo interpretarlo come risultato di una minaccia (di “ritorsione”) da parte di A: se B sceglie di non sfidarlo (che dà a A il risultato migliore possibile), allora A per ritorsione combatterà, “punendo” il giocatore B. Tuttavia, in tal modo, A punisce anche se stesso! Se B lo sfida, il combattimento non è ottimale per A, che ottiene una vincita maggiore arrendendosi. Ma come è possibile che un equilibrio di Nash preveda per un giocatore una scelta non ottimale?


La risposta è semplice: l’equilibrio (non sfida-combattimento) non prevede che Acombatta davvero; la scelta di B fa terminare il gioco e quindi A non deve effettivamente scegliere.

In generale, un equilibrio di Nash può prevedere delle scelte non ottimali, ma queste scelte avvengono in nodi dell’albero che non sono mai raggiunti, se viene giocato quanto previsto dall’equilibrio:

quindi tale equilibrio non tale equilibrio non èè perfetto nei sottogiochiperfetto nei sottogiochi.D’altro canto, l’equilibrio (non sfida-combattimento) sembra meno attendibile dell’equilibrio (sfida-resa). La minaccia di A di combattere non è credibile: se B la ignora e sfida A, per la sua stessa razionalità, A sceglierà di arrendersi.


Utilizzando la forma estesa, abbiamo quindi scoperto che non tutti gli equilibri di Nash non tutti gli equilibri di Nash sono ugualisono uguali.

Se l’idea di equilibrio perfetto nei sottogiochi permette di eliminare alcuni equilibri di Nash, diciamo “inferiori”, non ci si deve però aspettare che scompaiano tutti i problemi.

Vediamo un paio di esempi …


Il gioco avviene così: a) Su un tavolo ci sono 100 monete da 1 euro.b) Il giocatore I deve fare una proposta di spartizione,

indicando quante monete lui vuole prendere (da 1 a 99).c) Dopo di che tocca a II che può scegliere fra due opzioni:

1. accettare la proposta di spartizione di I;2. rifiutarla.

d) Nel caso in cui rifiuti, entrambi i giocatori non prendono nulla.

Gioco dellGioco dell’’ultimatumultimatum


Possiamo disegnare (in parte) il gioco in forma estesa:I

1

1; 99 0; 0 2; 98 0; 0 3; 97 0; 0 0; 0 98; 2 0; 0 99; 1 0; 097; 3

2 3 97 98 99…

II

A R

II II II II II

A A A AR AR R R R

È immediato verificare che, applicando l’induzione a ritroso, l’unicoequilibrio perfetto nei sottogiochi prevede che I scelga “99 monete per sé” e che II “accetti”.


Nella realtà effettiva, tuttavia, la probabilità che II accetti, se I tiene per sé più di una settantina di monetine, é molto bassa.Una spiegazione di questi risultati empirici contrastanti con la predizione della teoria dei giochi è basata sul fatto che le preferenze del giocatore II le preferenze del giocatore II non tengono conto solo del denaronon tengono conto solo del denaro. Ma esse incorporano altri fattori quali

aspetti di “giustizia”,o di rivalsa,od altro …


Il gioco è il seguente (volendo lo si può allungare a piacimento):a) Vengono poste sul tavolo due monete da € 0,10. b) Il giocatore 1 può prendere entrambe le monete, lasciando 2

senza alcunché, oppure dire “passo”. c) Se 1 passa, viene posta sul tavolo una terza moneta da € 0,10 e

spetta a 2 prendere tutto il denaro o passare.d) Se 2 passa, viene posta una quarta moneta sul tavolo, ed è

nuovamente il turno di 1. e) Il gioco procede finché uno dei due giocatori prende il denaro

dal tavolo oppure le monete sul tavolo raggiungono € 1.f) A questo punto è il turno di 1, che può prendere tutto il denaro

oppure “dividere”.

Altro esempio in cui l’equilibrio perfetto nei sottogiochi èproblematico: ““gioco del prendere o lasciaregioco del prendere o lasciare””


Albero di gioco:

0,20; 0

1

D

C

0; 0,30

D

0,40; 0

D

0; 0,50

D

0,60; 0

D

0; 0,70

D D

0,80; 0 0; 0,90

D

1 1 1 1C C C C C C CD

C

1; 0

0,50; 0,50

2 2 2 2

Strategie: “D” = “defezionare” (prendere il denaro); “C” = “cooperare” (passare)

SOLUZIONE DEL GIOCO PER INDUZIONE A RITROSONell’ultima mossa, 1 può vincere € 1 o € 0,50 (se dividesse). Se il denaro fosse tutto ciò che conta, 1 prenderebbe € 1. Nella mossa precedente, 2 può o prendere € 0,90 oppure passare il turno a 1 (che si prenderà € 1, lasciando 2 con 0); quindi 2 prenderebbe € 0,90. Proseguendo questo ragionamento a ritroso, alla prima mossa1 prenderebbe i € 0,20 senza lasciare nulla a 2.


Teoricamente questo ragionamento funziona, ma empiricamente la previsione che 1 prenderà i € 0,20 fallisce miseramente. Le ragioni sono molteplici: Il risultato è inefficienteinefficiente: se 1 arrivasse all’ultima mossa il denaro sul tavolo sarebbe € 1 (anziché € 0,20).Un po’ di “capacitcapacitàà di vedere lontanodi vedere lontano” dovrebbe portare i giocatori a non uscire subito dal gioco. Ma c’è un problema ancora più grave: perchperchéé un giocatore un giocatore dovrebbe conformarsi alldovrebbe conformarsi all’’induzione a ritrosoinduzione a ritroso (e quindi defezionare) se sa che lse sa che l’’altro giocatore ha deviato da essaaltro giocatore ha deviato da essa?

Appare un po’ curioso che, ad esempio, 2 esca dal gioco ipotizzando un comportamento futuro “razionale” da parte di 1, che se fosse stato adottato in passato non avrebbe certamente portato 2 a giocare!


(0,20; 0)

1

D1

(0; 0,30)

d1

(0,40; 0) (0; 0,50)

d2

1c1 C2 c22 2

È dunque abbastanza problematico giustificare l’unico equilibrio perfetto nei sottogiochi nel gioco del “prendere o lasciare”. Ma …Cosa avviene per gli equilibri di NashCosa avviene per gli equilibri di Nash?Per comodità, consideriamo una versione più “corta” del gioco:

C1

D2

(0,25; 0,25)

dove le alternative disponibili in corrispondenza dei vari nodi sono indicate con simboli diversi:

D1 vuol dire che il giocatore 1 “defeziona” alla prima mossa, mentre ad esempioc2 vuol dire che il giocatore 2 “continua” alla seconda mossa.

Per trovare gli eq. di Nash, scriviamo il gioco in la forma strategica.


(0,20; 0)

1

D1

(0; 0,30)

d1

(0,40; 0) (0; 0,50)

d2

1c1 C2 c22 2C1

D2

(0,25; 0,25)

Insieme dei giocatori: Strategie di ogni giocatore:

Giocatore 1D1 D2D1 C2C1 D2C1C2

N = {1, 2}

Giocatore 2d1 d2d1 c2c1 d2c1 c2

Vincite dei giocatori: descriviamole nella matrice seguente


(0,20; 0)

1

D1

(0; 0,30)

d1

(0,40; 0) (0; 0,50)

d2

1c1 C2 c22 2C1

D2

(0,25; 0,25)

D1, D2

D1, C2

C1, D2

C1, C2

d1, d2 d1, c2 c1, d2 c1, c2

(0,20; 0) (0,20; 0)

(0,20; 0)(0,20; 0)1

2

(0,20; 0) (0,20; 0)

(0,20; 0) (0,20; 0)

(0; 0,30) (0; 0,30) (0,40; 0) (0,40; 0)

(0; 0,30) (0; 0,30) (0; 0,50) (0,25; 0,25)


D1, D2

D1, C2

C1, D2

C1, C2

d1, d2 d1, c2 c1, d2 c1, c2

1

2

(0,20; 0) (0,20; 0)

(0,20; 0) (0,20; 0)

(0; 0,30) (0; 0,30) (0,40; 0) (0,40; 0)

(0; 0,30) (0; 0,30) (0; 0,50) (0,25; 0,25)

Questo gioco ha 4 equilibri di Nash:

(0,20; 0) (0,20; 0)

(0,20; 0) (0,20; 0)

Gli equilibri di Nash corrispondono alle coppie di strategie per coppie di strategie per cui i giocatori cui i giocatori ““defezionanodefezionano”” alla prima mossaalla prima mossa (D1 e d1).


Quindi, l’esito previsto dall’equilibrio di Nash coincide con quello previsto dall’equilibrio perfetto nei sottogiochi:

per entrambi questi concetti di soluzione, si prevede che i giocatori “defezionino” alla prima mossa.

La differenza è che l’equilibrio di Nash non pone restrizioni al comportamento dei giocatori nei nodi seguenti.

L’equilibrio perfetto nei sottogiochi è invece molto più rigido: infatti ce n’è uno solo!


RiepilogoLa teoria dei giochi non cooperativi consente di costruire modelli per studiare situazioni in cui interagiscono parti diverse con interessi contrastanti.La teoria dei giochi non cooperativi impiega due tipi generali di modelli, quelli in forma strategica e quelli in forma estesa, e adotta due tipi generali di analisi, quello della dominanza e quello dell’equilibrio di Nash.


Un gioco in forma strategica è specificato 1. dall’elenco dei giocatori, 2. dall’elenco delle strategie di ciascun giocatore e 3. dal vettore delle vincite ottenute dai giocatori per

ogni profilo di strategie.I giochi in forma estesa forniscono una rappresentazione dinamica del gioco.Nei giochi in forma estesa a informazione completa e perfetta i giocatori agiscono uno alla volta e, in qualsiasi punto del gioco, il giocatore che compie la mossa conosce le scelte effettuate da coloro che hanno agito prima di lui.


La strategia di un giocatore domina un’altra strategia, se, a prescindere dalle strategie altrui, consente di ottenere un risultato migliore.Dopo aver eliminato alcune strategie di alcuni giocatori applicando il criterio della dominanza, potrebbe essere possibile eliminare altre strategie di altri giocatori applicando nuovamente la dominanza. Questo tipo di procedimento è definito dominanza iterata. Le previsioni secondo cui un giocatore non giocherà una strategia dominata né una eliminata per applicazione iterata della dominanza non hanno sempre validità empirica.


Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che nessun giocatore può migliorare la sua vincita con una deviazione unilaterale. I giochi in forma estesa a informazione completa e perfetta, possono analizzarsi con l’induzione a ritroso. Nei giochi a informazione completa e perfetta, l’induzione a ritroso porta a un equilibrio di Nash, ma potrebbero esservi altri equilibri di Nash che non sono perfetti nei sottogiochi.

Teoria dei giochiMaria Vittoria Levati Kreps: "Microeconomia per manager" 3 Rappresentazione di...

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