Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13 Il Modello Lognormale · Teoria dei Fenomeni Aleatori AA...

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan 1

Il Modello Lognormale La funzione di densità di probabilità lognormale è data:

( ) ( ) 2

X 2ln x a1f x exp x 0

2bx b 2

⎡ ⎤−= ⋅ − >⎢ ⎥

⋅ ⋅ π ⎢ ⎥⎣ ⎦

in cui a e b sono due costanti, con b 0> .

Se X è una v.a. lognormale allora

Y ln X=

è distribuita secondo una legge normale: aη= , bσ = .



Il Modello Lognormale (segue)

a 0= , b 1= , 1moda e 0.368−= ≅

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0X

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

Den

sita

' di P

roba

bilit

a'



Il Modello Lognormale (segue) Il momento r-esimo di una variabile lognormale è:

2 2r r bE X exp ar

2⎡ ⎤

⎡ ⎤ = +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]2bE X exp a

2⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( )2 22a b bVar X e e 1+= ⋅ −



Il Modello di Weibull

( ) ( )1

Xx exp x x 0

f x0 x 0

αα α−⎧ ⎡ ⎤α ⋅λ ⋅ − λ ≥⎪ ⎣ ⎦= ⎨<⎪⎩

0α > , 0λ >

12, 2

α = λ = π

si ha una v.a. di Rayleigh con valore atteso unitario.

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Teoria dei Fenom

Docenti: Gaspare G

eni Aleatori

Galati – Gabriele

Pavan

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ull AA 2012/13

5



La distribuzione di Weibull

( ) ( )X

1 exp x x 0F x

0 x 0

α⎧ ⎡ ⎤− − λ ≥⎪ ⎣ ⎦= ⎨<⎪⎩

infatti:

( ) ( ) ( )x 1XX

dF xe x f x

dx

α− λ α α−= ⋅λ ⋅α ⋅ =



La Funzione Gamma La funzione Gamma che è definita mediante l'integrale:

( ) b 1 y0

b y e dy+∞ − −Γ = ∫

che converge se b 0> .

Valori particolari della funzione gamma sono:

( )1 1Γ =

( )0.5Γ = π



La Funzione Gamma



La Funzione Gamma La funzione Gamma è calcolabile per ogni b 0> se si

conosce il suo andamento nell'intervallo 1 b 2< < .

( ) ( )b 1 b bΓ + = ⋅Γ

Se b n= (intero), vale la relazione:

( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n n n n 1 ... 1 n!Γ + = ⋅Γ = − ⋅ ⋅ Γ =

Quindi la funzione Gamma generalizza il fattoriale.



Il modello Chi Quadro La densità di probabilità di una v.a. X di tipo chi-quadro,

2nχ , con n gradi di libertà, ha la forma:

( ) ( )n2

n x12 2

nX 2

1 x e x 0f x 2

0 x 0

− −⎧≥⎪

= Γ⎨⎪ <⎩

L’intero positivo n costituisce l'unico parametro di questa

distribuzione.



Il modello Chi Quadro

Per n 2= si ottiene l'esponenziale negativa con

parametro 1c2

= .

• La somma dei quadrati di n v.a. indipendenti con

distribuzione ( )N 0,1 è una variabile aleatoria di tipo

2nχ con n gradi di libertà.

• Se n →∞ la distribuzione Chi-quadro tende a quella

Normale.



Il modello Chi Quadro (segue)



Il modello Chi Quadro (segue) Il momento di ordine k di una v.a. Chi Quadro con n

gradi di libertà è:

k k

nk2E X 2

n2

⎛ ⎞Γ +⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ]E X n= [ ]Var X 2n=



Il modello di Student Una v.a. continua X di tipo Student ha una funzione di

densità:

( ) ( )

n 12 2

X n2

n 1x2f x 1nn

+−

+⎡ ⎤Γ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎣ ⎦= ⋅ +⎜ ⎟Γ ⋅ ⎝ ⎠π

x−∞ < < ∞

in cui n viene detto numero di gradi di libertà.



Il modello di Student

• Poiché si ha ( ) ( )X Xf x f x= − , la funzione di densità di

Student è simmetrica rispetto all'origine.

• All'aumentare del parametro n (n 30> ) il modello di

Student approssima quello gaussiano standard.



Il modello di Student (segue)

nn

n

tt

tf t n ( ; )

n = n. di gradi di libertà



Il modello di Student (segue) Una v.a. di Student si può ottenere mediante la

trasformazione:

UX V/n

=

in cui:

1. U è una v.a. gaussiana standard

2. V è una v.a. di tipo Chi Quadro con n

gradi di libertà

3. U e V sono indipendenti



Il modello di Student (segue) Valore atteso e Varianza:

• Il valore atteso è nullo (simmetria della densità)

• La varianza esiste solo per n 2> e vale

[ ] nVar Xn 2

=−



Il modello di Erlang Una v.a. X è distribuita secondo la legge di Erlang

(erlangiana) se:

( ) ( )n

n 1 x

Xx e x 0

f x n 1 !0 x 0

− −λλ≥

= −

<

⎧⎨⎩

• Quando n 1= la distribuzione Erlang si riduce ad

una esponenziale.



Il modello di Erlang La funzione di distribuzione è:

( )( ) ( )in 1

x

X i 0

x1 e x 0F x i!0 x<0

−−λ

=

⎧ λ− ⋅ ≥⎪= ⎨

⎪⎩

∑

• Una v.a. di tipo Erlang con parametri λ e n si può

ottenere come somma di n v.a. esponenziali

indipendenti con uguale parametro λ.



Il modello di Erlang (segue)

6.0

= 5n = 3,

= 1n = 3,

= 3n = 3,

x

X



Il modello Gamma Una v.a. è distribuita secondo il modello Gamma se:

( ) ( )

bb 1 x

Xx e x 0

f x b0 x 0

− −λ⎧ λ≥⎪= Γ⎨

⎪ <⎩

in cui b 0> , 0λ > , ( )bΓ è la funzione Gamma

(b parametro di forma, λ parametro di scala).



Il modello Gamma

• La funzione di distribuzione esiste in forma chiusa

solamente se il parametro b è un intero positivo,

altrimenti è esprimibile tramite la cosiddetta funzione

Gamma incompleta che è tabulata.

[ ] bE X

=λ

[ ] 2bVar X =λ



Il modello Gamma Valore atteso, varianza e momenti si ricavano dalla

identità:

( ) ( )k bk b 1 x0

x x e dx k b+∞ − +− −λ⋅ ⋅ = Γ + λ∫

che si ottiene integrando per parti, ricordando che

( ) ( )b 1 b bΓ + = ⋅Γ .

( )( )

k k k bE X

b − Γ +

⎡ ⎤ = λ⎣ ⎦ Γ



Il modello Gamma (segue)

La somma di n v.a. indipendenti iX (i 1,2,...,n= )

distribuite secondo il modello gamma con parametri λ e

ib (i 1,2,...,n= ), cioè con densità:

( ) ( ),

ii

i

bb 1 x

Xi

f x x e x 0b

− −λλ= ≥Γ

è una v.a. Y di tipo gamma con parametri λ e

n

ii 1

b = b=∑



Il modello Gamma (segue) I modelli esponenziali, Chi Quadro ed Erlang possono

essere considerati come casi particolari del modello

Gamma.

Per b 1=

( ) ( )x x

Xf x e e x 01

− −= = ⋅ ≥Γ

λ λλ λ

Esponenziale



Il modello Gamma (segue)

Per nb2

= e 12

λ =

( ) ( )n2

n x12 2

nX 2

1 x e x 0f x 2

0 x 0

− −⎧≥⎪

= Γ⎨⎪ <⎩

Chi Quadro



Il modello Gamma (segue) Per b intero positivo:

( ) ( )n

n 1 x

Xx e x 0

f x n 1 !0 x 0

− −λλ≥

= −

<

⎧⎨⎩

Erlang



Il modello di Laplace Una v.a. continua segue il modello di Laplace se:

( ) c xX

cf x e2

−= , c 0>

La densità è simmetrica rispetto all’origine e quindi X ha

valore atteso nullo.

• Tutti i momenti di ordine dispari sono nulli.

• Se invece r è pari, il momento di ordine r vale:

!r r cx r cxr0 0

c rE X 2 x e dx x ce dx2 c

+∞ +∞− −⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦ ∫ ∫



Il modello di Cauchy Una v.a. continua è distribuita secondo il modello di

Cauchy se:

( )X 2 21 af x

x a= ⋅π + , a 0>

La funzione di distribuzione di probabilità è:

( )X1 1 xF x arctg 2 a

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟π ⎝ ⎠



Il modello di Cauchy La variabile aleatoria di Cauchy non ha valore atteso,

infatti:

( )+t

2 2t t

axlim dxx a→∞ − π +∫

non esiste (non corverge).

Una v.a. di Cauchy può essere generata a partire da

una variabile θ Uniforme in ;2 2π π⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

mediante:

( )X a tg= ⋅ θ



Il modello Geometrico Una v.a. geometrica ha una funzione di massa:

( ) k 1P X k p q −= = ⋅ k 1,2,3,....=

con p q 1+ =

( ) ( ) ,m

mX X

k 1F x f k 1 q m x m 1

=

= = − ≤ < +∑



Il modello Geometrico

Tre masse della legge geometrica

(k = 2, 3, 4) al variare di p.



Il modello Geometrico

• Il valore atteso di una variabile geometrica:

[ ] 1E Xp

=

• La varianza vale:

[ ] 2qVar Xp

=

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