TEMPUS PECUNIA EST

COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHEFINANZIARIE E AZIENDALI

Direttore

Beatrice VUniversità degli Studi di Cagliari

Comitato scientifico

Umberto NUniversity of Maryland

Russel Allan JUniversità degli Studi di Firenze

Gian Italo BUniversità degli Studi di Urbino

Giuseppe AUniversità degli Studi di Cagliari

TEMPUS PECUNIA EST

COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHEFINANZIARIE E AZIENDALI

Al suo livello più profondo la realtà è la matematica della natura.

P

Questa collana nasce dall’esigenza di offrire al lettore dei trattati cheaiutino la comprensione e l’approfondimento dei concetti matema-tici che caratterizzano le discipline dei corsi proposti nelle facoltà diScienze economiche, finanziarie e aziendali.

Beatrice VenturiAlessandro Pirisinu

Elementi di Matematica finanziariaper le scienze economiche

giuridiche e aziendali

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I edizione: novembre

5

Indice

I regimi finanziari

1. La matematica finanziaria, 11 2. I concetti fondamentali, 11 3. Il regime dell’interesse semplice, 13 4. Il regime dello sconto commerciale, 16 5. Il regime dell’interesse composto, 18 6. I tassi equivalenti e i tassi convertibili, 22 7. Il tasso continuo e la forza d’interesse, 25 8. La scindibilità delle leggi finanziarie, 27 9. I titoli di Stato, 28 Esercizi svolti, 31 – Esercizi proposti, 38

Le rendite

1. L’equivalenza finanziari, 41 2. Le progressioni aritmetiche e geometriche, 43 3. La classificazione delle rendite, 44 4. I calcoli finanziari per le rendite , 45 5. I problemi inversi sulle rendite, 55 Esercizi svolti, 57 – Esercizi proposti, 64

7

9 Prefazione

11 Capitolo I

41 Capitolo II

IndicePrefazione 6

67 Capitolo III I prestiti: ammortamento e valutazione

1. Il rimborso globale, 67 2. Il rimborso graduale, 68 3. L’ammortamento italiano, 70 4. L’ammortamento americano, 71 5. L’ammortamento francese, 71 6. I problemi finanziari , 74 7. Il leasing , 77 8. La valutazione dei prestiti, 79 Esercizi svolti, 82 – Esercizi proposti, 92

95 Capitolo IV

1. La durata media finanziaria (duration), 96 2. Il tempo di recupero (payback period), 96 3. Il valore attuale netto (net present value), 97 4. Il tasso interno di rendimento (IRR), 98 5. Il T.A.N. e il T.A.E.G., 99 Esercizi svolti, 100 – Esercizi proposti, 108

111 Capitolo V Introduzione al calcolo delle probabilità

1. Spazio di probabilità, 111 2. Variabile casuale, 113 3. Processo stocastico, 115 4. L’ammortamento dei prestiti obbligazionari, 119

125 Riferimenti bibliografici

8 Indice

La valutazione degli investimenti

7

Prefazione

Questo lavoro nasce dal desiderio di offrire a chi affronta lo studio della matematica finanziaria una trattazione agevole e per quanto possibile completa dei diversi tipi di operazioni finanziarie nella maniera in cui si svolgono nella realtà dei mercati finanziari.

Partendo dalle prime nozioni sui regimi finanziari, il testo af-fronta le più comuni operazioni finanziarie certe: le rendite; i prestiti, il loro rimborso e la loro valutazione; si conclude con gli strumenti che vengono utilizzati per la valutazione degli investimenti (tasso in-terno di rendimento, duration, payback e altri) e con un’introduzione al calcolo probabilistico. Questi argomenti sono sicuramente efficaci per meglio comprendere le nozioni che verranno affrontate nei corsi degli anni successivi al primo, in cui si sostiene l’esame di matematica finanziaria; cioè la finanza aziendale e la tecnica bancaria, per citarne alcuni.

Alla fine di ogni capitolo è anzitutto presente una serie di eser-cizi svolti e commentati che ulteriormente approfondiscono la teoria presentata nel testo; vengono poi proposti altri problemi, per consenti-re di esercitarsi personalmente nello studio della materia anche da un punto di vista operativo.

Cagliari, Luglio 2014

Beatrice Venturi Alessandro Pirisinu

9

10 Presentazione degli autoriPrefazione 8 Indice

9

Capitolo I

I regimi finanziari

1. La matematica finanziaria È quella branca della matematica che si occupa delle operazioni finan-ziarie certe: si tratta di scambi di somme di denaro nel tempo, scambi che sono indipendenti da eventi aleatori. La matematica finanziaria dunque considera soltanto operazioni in ba-se alle quali è possibile confrontare somme diverse, disponibili in tempi diversi, siano esse prestate (per ricevere un compenso successi-vamente) o ricevute (in modo da averne la disponibilità per successivi futuri investimenti). I due aspetti fondamentali presenti in un’operazione finanziaria sono perciò l’aspetto monetario e lo scorrere del tempo, senza il quale non vi è operazione finanziaria.

2. I concetti fondamentali. Le operazioni finanziarie fondamentali sono l’operazione di capitaliz-zazione e di attualizzazione. Consideriamo la prima operazione di capitalizzazione, cioè l’investimento o prestito di una somma di denaro. Si definisce il pre-stito come quell’operazione che consiste nella cessione di una somma in denaro, pattuendo la restituzione a un certo tempo t fissato, aumen-tata di interessi, cioè del compenso spettante al prestatore. Si possono dunque individuare gli elementi fondamentali dell’operazione:

C: è il capitale impiegato – prestato – al tempo 0t ;M: è il montante prodotto al tempo 1t , cioè la somma che viene re-stituita a chi ha erogato il prestito;

I: è l’interesse prodotto dall’operazione, cioè il compenso che spet-ta a chi ha prestato la somma di denaro.

Questi tre elementi sono legati dalla seguente relazione: M = C + I .

Da ciò, si ha: I = M – C .

11

Capitolo I 10

Si noti che tutti gli elementi dell’operazione sono quantitativamente definiti e fissati, cioè l’operazione non dipende da elementi di incer-tezza, come accade per qualunque operazione finanziaria certa. L’operazione di capitalizzazione si associa al concetto di interesse e il montante può essere considerato come il valore futuro di una somma disponibile oggi per l’investimento. Schematizzando l’operazione:

0t 1tI

C M Consideriamo adesso l’operazione finanziaria di attualizzazione: essa consiste nella restituzione anticipata al tempo 0t di una somma di de-naro che inizialmente doveva essere restituita al tempo 1t , stabilendo un compenso per l’anticipata estinzione del debito. Anche qui si possono dunque individuare gli elementi dell’operazione:

M: è il capitale che deve essere restituito alla scadenza 1t ;VA: è il valore attuale, cioè la somma che viene restituita anticipa-tamente al tempo 0t ;

S: è lo sconto, cioè il compenso che spetta a chi esegue un paga-mento prima della sua scadenza stabilita.

Questi tre elementi sono collegati dalla seguente relazione: VA = M – S .

Da ciò, si ha: S = M – VA .

L’operazione di attualizzazione dunque si associa al concetto di scon-to e il valore attuale può essere considerato come il valore odierno di una somma che scade in futuro. Anche questa operazione può essere schematizzata:

0t 1tS

VA M

12

I regimi finanziari 11

Adesso, si possono dare altre due importanti definizioni: il tasso di interesse i (interest rate) è il compenso prodotto da un capitale unitario investito nell’unità di tempo; il tasso può anche essere indicato come tasso percentuale p; i due tassi stanno nella

relazione 100

pi e, ovviamente, 100ip ; ad esempio, sono in

corrispondenza i tassi %7p e 07,0i ; in generale: CI

i .

il tasso di sconto d (discount rate) è anch’esso un compenso pro-dotto da un capitale unitario che viene restituito anticipatamente in

un tempo unitario; in generale: MS

d .

t = 1t – 0t : è la durata dell’operazione finanziaria che viene misura-ta in anni o frazione d’anno, se non altrimenti specificato.

In una generica operazione finanziaria, fissati C ed M, si definiscono inoltre:

il fattore di capitalizzazione r: r = CM ;

il fattore di attualizzazione v: v = MC .

La relazione tra i fattori r e v è di proporzionalità inversa:

essendo r = v1 e v =

r1 , si ha: 1vr .

Vi sono diverse leggi finanziarie, cioè diversi principi con cui vengo-no calcolate le diverse grandezze sopra indicate, cioè interesse (I), montante (M), ecc. Questi differenti modi di calcolo danno luogo ai regimi finanziari: i più importanti sono il regime dell’interesse sem-plice, il regime dello sconto commerciale, il regime dell’interesse composto.

3. Il regime dell’interesse semplice Ogni regime finanziario è rappresentato da una legge finanziaria cioè dipende da un assunto fondamentale: nel caso del regime semplice, ta-

13I regi i nanziari

Capitolo I 12

le assunto è che l’interesse I si calcola sempre sul capitale C, al tasso i,per la durata di tempo t. In altre parole, l’interesse I è proporzionale al capitale C e al tasso i per tutta la durata dell’operazione. Ciò significa che:

tiCI .

Ricordando quanto indicato nel paragrafo precedente, possiamo rica-vare le formule per esprimere il montante e le altre grandezze finan-ziarie:

M = C + I = C + Cit = C(1 + it) e quindi: M = C(1 + it) .

La formula del montante è una formula lineare rispetto al tempo: ciò indica un legame di diretta proporzionalità diretta tra tempo di capita-lizzazione e montante ottenuto. In questa formula, possiamo enucleare (1 + it), cioè il fattore di capitalizzazione semplice. Se si considera il tempo unitario, si ha r = (1 + i) o fattore unitario di capitalizzazione semplice. Graficamente:

Adesso, per ricavare la formula del valore attuale, basta ricordare che esso è il valore odierno di una somma scadente in futuro; quindi, logi-camente, l’attualizzazione è l’operazione inversa della capitalizzazio-ne e la formula del valore attuale sarà dunque la formula inversa di quella del montante; per, comodità, anche il valore attuale VA può es-sere indicato con C:

VA = C = it

M1

= it

M1

1 .

i1

1

0 1 t

)1( tiCMM

14

I regimi finanziari 13

Anche in questa formula, possiamo enucleare it1

1 , cioè il fattore

di attualizzazione semplice.

Se si considera il tempo unitario, si ha v = i1

1 o fattore unitario di

attualizzazione semplice. Adesso possono essere ricavate le formule dell’interesse I e dello sconto, che nel regime semplice prende il nome di sconto razionale

rS :I = C(1 + it) – C = Cit (che, ovviamente, è la legge base del

regime semplice);

rS = M – it

M1

= it

M1

11 = it

itM1

, dove si ha:

-it

it1

è il fattore di sconto razionale;

- d = i

i1

(considerato il tempo unitario) è il fattore unitario

di sconto razionale. Quest’ultimo indica la relazione tra tasso unitario i di interesse e tasso unitario d di sconto. Da quest’ultima relazione, si può

ricavare la relazione inversa tra i e d:d

di1

; ecco perché il

tasso d viene anche detto tasso di interesse anticipato.

Per completare il regime semplice, si possono ora indicare le due for-mule del tempo di investimento e del tasso di capitalizzazione sempli-ce; dalla formula del montante si ha M = C(1 + it); dividendo primo e secondo membro per C si ha:

CMit1 da cui 1

CMit ;

infine t

CM

i1

che è il tasso di capitalizzazione semplice ;

15I regi i nanziari

Capitolo I 14

iCM

t1

che è il tempo di capitalizzazione semplice .

A proposito dell’ultima formula, è interessante ricordare che vi sono diverse convenzioni sul calcolo dei tempi: nella matematica finanzia-ria si usa generalmente la convenzione dell’anno commerciale (cosid-detta 30/360): indipendentemente dall’anno considerato, la durata dell’anno è di 360 giorni e i mesi sono tutti di 30 giorni. Nella concreta realtà delle operazioni finanziarie, invece, vi sono altre convenzioni: innanzi tutto, si può considerare l’anno civile, dove la durata è di 365 giorni o 366 se l’anno è bisestile e la durata dell’operazione viene calcolata come distanza tra due date precise (la cosiddetta convenzione act/act): se si indica con n il numero di giorni tra due date e con N il numero di giorni dell’anno considerato, il rap-porto n/N indica la durata in termini di frazione d’anno. Questa viene utilizzata per gli strumenti di mercato finanziario, cioè titoli di durata medio-lunga come i CCT e i BTP. Inoltre, vi sono casi diversi come la convenzione act/360 (utilizzata per i BOT), la convenzione act/365, ecc.

4. Il regime dello sconto commerciale In questo regime finanziario lo sconto cS si calcola proporzionalmen-te al capitale alla scadenza M, al tasso d per la durata di tempo t. Ciò significa che:

tdMSc .

A partire da questa formula, ricordando che Sc = M – VA = M – C, si ha:

VA = C = M – Sc = M – Mdt = M(1 – dt) .

In questa formula, possiamo enucleare (1 – dt), cioè il fattore di attua-lizzazione nello sconto commerciale; se si considera il tempo unitario, si ha v = (1 – d), che è il fattore unitario di attualizzazione. Adesso, per ricavare la formula del montante si calcola la formula in-versa di quella del valore attuale; essendo:

16

I regimi finanziari 15

C = M(1 – dt) ,

dividendo il primo e il secondo membro per (1 – dt), si ha:

M= dt

C1

= dt

C1

1 .

In questo regime, la formule del montante è una funzione che, rispetto al tempo di capitalizzazione, rappresenta un’iperbole: il tratto econo-micamente significativo è nel primo quadrante fino all’asintoto verti-

cale d

t 1 , cioè si può capitalizzare per un tempo corrispondente

all’inverso del tasso di sconto;

ad esempio: se d = 0,04, allora 2504,01t .

Graficamente:

1

0d

t 1max

t

tdC

M1

M

17I regi i nanziari

Capitolo I 16

Il fattore dt1

1 è detto il fattore di capitalizzazione in regime di

sconto commerciale e, se si considera, il tempo unitario, si ha

dr

11 o fattore unitario di capitalizzazione.

Per concludere la trattazione di questo regime, si può ricavare la for-mula dell’interesse maturato in regime di sconto commerciale:

I = M – C = dt

C1

– C = dt

Cdt1

= dt

dtC

1 .

Come si vede, dt

dt1

indica il fattore di interesse e, considerato il

tempo unitario, si ritrova la formula del tasso di interesse anticipato

vista nel regime di interesse semplice: d

di1

.

5. Il regime dell’interesse composto Nel regime dell’interesse composto l’interesse maturato in ogni perio-do viene capitalizzato nel periodo successivo cioè va a far parte del capitale che frutterà altri interessi nel periodo successivo.

Dunque, per ricavare la formula del montante si considera il capitale Cal momento iniziale dell’operazione e poi si considerano i montanti

1M , 2M , 3M , … , nM , scadenti rispettivamente dopo un periodo, due periodi, tre periodi … , fino all’ultimo periodo. Se i è il tasso di interesse, dopo un periodo si ha:

1M = C (1 + i) ;

nel secondo periodo, gli interessi andranno calcolati non più su C co-me nel regime semplice, ma su 1M per un ulteriore periodo, sempre al tasso i; dunque:

2M = 1M (1 + i) = C (1 + i)(1 + i) = 2)1( iC .

18

I regimi finanziari 17

Si ha insomma 2M = 2)1( iC . Il discorso può essere riproposto alla fine del terzo periodo: gli interessi andranno calcolati su 2M e si ha:

3M = 2M (1 + i) = 2)1( iC (1 + i) = 3)1( iC .

Generalizzando il procedimento, si ottiene la formula del montante: nM = niC )1( .

Più semplicemente, la formula viene indicata: M = tiC )1( , (con t numero reale).

Come si vede, stavolta la formula mostra il legame di tipo esponenzia-le tra tempo di capitalizzazione e montante ottenuto: ciò è proprio do-vuto al fatto che l’interesse maturato in ogni periodo entra a far parte della somma che sarà capitalizzata nel periodo successivo. Il fattore ti)1( è chiamato fattore di capitalizzazione composta ed

)1( ir è il fattore unitario di capitalizzazione composta. Per calcolare la formula del valore attuale, si procede come negli altri due regimi finanziari: l’operazione di attualizzazione è logicamente l’operazione inversa di quella di capitalizzazione e dunque la formula del capitale iniziale (o valore attuale) si ricava dalla formula del mon-tante vista sopra, M = tiC )1( ;dividendo primo e secondo membro per ti)1( si ottiene:

C = VA = tiM

)1( = tiM )1( .

Nelle due formule appena ricavate appare ancor più chiaro il senso economico-finanziario di ciò che esse rappresentano: nella formula del montante il segno positivo dell’esponente indica proprio il senso del tempo che “scorre in avanti”, cioè il montante è visto in modo pro-spettico come valore futuro di una somma oggi disponibile; viceversa, il segno meno all’esponente della formula del valore attuale sta ad in-dicare il senso dello “scorrere indietro” del tempo o, meglio, sta ad in-dicare che il valore attuale è visto in modo retrospettivo come il valore

19I regi i nanziari

Capitolo I 18

odierno di una somma scadente in futuro, il cui pagamento viene anti-cipato. Una volta ricavate le formule del montante e del valore attuale, si pos-sono ricavare le altre formule del regime finanziario:

l’interesse maturato in capitalizzazione composta essendo I = M – C, si ha: I = tiC )1( – C = C 1)1( ti ;

il fattore 1)1( ti è detto anche fattore di interesse composto ;

il tasso di capitalizzazione composta essendo M = C ti)1( , dividendo per C si ha:

ti)1( = CM ;

adesso, estraendo la radice t-esima del primo e del secondo mem-bro si ottiene:

1 + i = t

CM ; infine la formula cercata è:

i = t

CM – 1 ;

il tempo di capitalizzazione composta essendo M = C ti)1( , dividendo per C si ha:

ti)1( = CM ;

adesso, passando al logaritmo del primo e del secondo membro si

ottiene: ti)1(log = CMlog ;

per le proprietà dei logaritmi è possibile scrivere: )1(log it = CM loglog ;

infine, la formula cercata è: t = )1log(

loglogi

CM .

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