TEMA Ateoria dei numeri e` tuttora ricca di affascinanti problemi irrisolti. La congettura di...

TEMA A

Unita 1Numeri naturalie numeri interi

Unita 2Numeri razionalie introduzioneai numeri reali

PREREQUISITI

3Le quattro operazioni

COMPETENZE

3Padroneggiare le tecniche e le procedure di calcolonei vari insiemi numerici e saperle applicarein contesti reali

CONOSCENZE

3Descrivere quali sono i numeri naturali, interi,razionali, reali

3Definire che cosa sono i multipli e i divisori di unnumero

3Esprimere quali sono le operazioni definite negliinsiemi N, Z, Q e quali sono le loro proprieta

3Definire un numero irrazionale

3Definire le potenze ed elencare le loro principaliproprieta

ABILITA

3Rappresentare numeri interi e razionali sulla retta

3Stabilire se un numero naturale e multiplo o divisorerispetto a un altro numero

3Confrontare numeri naturali, interi e razionali

3Trasformare frazioni in numeri decimalio percentuali e viceversa

3Eseguire le quattro operazioni in Q e semplificareespressioni numeriche

3Calcolare potenze e applicarne le principali proprieta

Oggi ci sembra del tutto naturaleusare i numeri, fin da piccoli impariamo acontare e a eseguire le quattro operazioni...Tuttavia il percorso che ha portato alla «conquista»del concetto di numero e stato lungo e faticoso e lateoria dei numeri e tuttora ricca di affascinantiproblemi irrisolti.

La congettura di Goldbach (1690-1764), per esempio, la quale afferma che ogninumero pari maggiore di 2 e la somma di duenumeri primi (4 ¼ 2 þ 2, 6 ¼ 3 þ 3, 8 ¼ 5 þ 3 ...),e tutt’oggi un problema aperto e nessuno riesce adimostrarla! C’e addirittura in palio il favolosopremio di un milione di dollari per chi riescaa provare che la congettura e vera (o che e falsa).

Come mai i numeri primi, chesembrano cosı lontani dal nostro mondo, sonooggetto di tanta attenzione? Uno dei motivi e cheessi sono alla base di molti dei metodi attualmenteutilizzati per le comunicazioni in codice (metodicrittografici): sono quindi essenziali per garantire abanche, industrie e governi la trasmissione diinformazioni riservate. Il codice segreto e di fattoindecifrabile proprio grazie alla complessita deicalcoli che si devono svolgere per scomporre infattori primi numeri molto grandi.

I numeri

Nel 2000, anno mondiale della matematica,

nella metropolitana di Londra furono affissi

manifesti divulgativi su alcune delle piu

significative applicazioni della matematica:

qui sopra ne riportiamo uno che illustra il

legame tra i moderni codici segreti e la

scomposizione in fattori primi di numeri

molto grandi.

Matematica in azione

In una citta tre autobus, che percorrono

rispettivamente la linea A, la linea B e la li-

nea C, iniziano il loro servizio dallo stesso

capolinea alle ore 6 di mattina.

L’autobus della linea A ritorna al capoli-

nea ogni 45 minuti, l’autobus della linea

B ogni 30 minuti e l’autobus della linea C

ogni 25 minuti. A che ora della giornata i

tre autobus si troveranno di nuovo insie-

me, per la prima volta, al capolinea?

Questo problema e discusso nell’Unita 1

1. L’insieme N

Che cosa sono i numeri naturali?

I numeri naturali sono i numeri utilizzati per contare:

0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10, ..., 99, 100, ..., 580, ...

Per il momento assumiamo il concetto di numero naturale come primitivo, cioe

come concetto di cui non diamo una definizione, supponendone una conoscen-

za intuitiva (preciseremo il concetto di numero naturale nell’Unita 4).

Assumiamo come primitivi anche i concetti di precedente e successivo di un

numero naturale; il successivo di un numero naturale esiste sempre (per esempio

il successivo di 0 e 1, il successivo di 10 e 11), mentre il precedente esiste a condi-

zione che il numero naturale sia diverso da 0 (per esempio il precedente di 4 e 3).

Due numeri naturali che sono uno successivo all’altro si dicono consecutivi.

L’insieme dei numeri naturali si indica con la lettera N.

Rappresentazione dei numeri naturali

I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta orientata, cioe su una

semiretta dove sia stato fissato un verso di percorrenza, che indicheremo con

una freccia. Disegneremo sempre, per comodita, la semiretta orizzontale e orien-

tata verso destra e indicheremo l’origine della semiretta con la lettera O (fig. 1.1).

Fissata un’unita di misura sulla semiretta, facciamo corrispondere all’origine il

numero 0, al punto distante una unita da O il numero 1, al punto distante due

unita da O il numero 2 e cosı via: in questo modo possiamo rappresentare sulla

semiretta qualsiasi numero naturale (fig. 1.2).

Ordine tra i numeri naturali

Se due numeri naturali a e b occupano lo stesso posto nella rappresentazione sul-

la semiretta, diciamo che sono uguali e scriviamo a ¼ b (fig. 1.3); in caso contra-

rio sono diversi e scriviamo a 6¼ b.

Se a 6¼ b possono presentarsi due casi:

� se il punto che rappresenta a sulla semiretta e a sinistra di quello che rappre-

senta b, diciamo che a e minore di b e scriviamo a < b (fig. 1.4);

� se il punto che rappresenta a sulla semiretta e a destra di quello che rappresen-

ta b, diciamo che a e maggiore di b e scriviamo a > b (fig. 1.5).

E frequente l’utilizzo dei simboli: �, che significa «minore o uguale», e �, che si-

gnifica «maggiore o uguale».

Notazione Significato

a < b a e minore di b

a > b a e maggiore di b

a � b a e minore o uguale a b

a � b a e maggiore o uguale a b

a < n < b n e compreso tra a e b, ovvero e maggiore di a e minore di b

a � n � b n e maggiore o uguale ad a e minore o uguale a b

a < n � b n e maggiore di a e minore o uguale a b

a � n < b n e maggiore o uguale ad a e minore di b

Unita1Numeri naturali e numeri interi

4

TemaA

O

Figura 1.1

0 1

u

2 3 4 5

Figura 1.2

O

a = b

Figura 1.3

O

a < b

a b

Figura 1.4

O

a > b

b a

Figura 1.5

Le varie relazioni d’ordine tra i numeri naturali possono essere espresse in modo

compatto combinando i vari simboli <, >, �, �; i casi che si presentano con

maggiore frequenza sono riassunti nella tabella a pagina precedente, in cui abbia-

mo indicato con a, b ed n tre generici numeri naturali.

Proprieta dell’insieme N

� L’insieme N e infinito: infatti, preso un qualunque numero naturale, se ne

puo trovare uno maggiore: il successivo.

� L’insieme N e ordinato: abbiamo visto infatti che, dati due numeri naturali, e

sempre possibile stabilire se l’uno e minore, uguale o maggiore dell’altro.

� L’insieme N possiede un elemento minimo, cioe un elemento minore di tutti

gli altri numeri naturali: lo zero; N non possiede invece un elemento massi-

mo, cioe un elemento maggiore di tutti gli altri numeri naturali.

� Tra ogni coppia di numeri naturali non consecutivi e compreso un numero fi-

nito di numeri naturali: questa proprieta si esprime dicendo che N e un insie-

me discreto.

Prova tu

Considera ciascuna delle seguenti condizioni, ed elenca tutti i numeri naturali n che la

soddisfano:

a. 1 < n < 6 b. 1 � n < 6 c. 1 < n � 6 d. 1 � n � 6

2. Le operazioni in N

Le quattro operazioni elementari

Fin dai primi anni di scuola hai imparato a eseguire le quattro operazioni ele-

mentari: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Nella seguente ta-

bella riassumiamo la principale nomenclatura relativa alle quattro operazioni.

Operazione Nomenclatura Esempio

Addizione Quando si addizionano due numeri:– i due numeri si chiamano addendi– il risultato dell’addizione si chiama somma

2 þ 3¼ 5 somma

addendi

Moltiplicazione Quando si moltiplicano due numeri:– i due numeri si chiamano fattori– il risultato della moltiplicazione si chiamaprodotto

2 � 3¼ 6 prodotto

fattori

Sottrazione Quando si sottrae da un primo numero un secondonumero:– il primo numero si chiama minuendo– il secondo numero si chiama sottraendo– il risultato della sottrazione si chiama differenza

7 � 5¼ 2 differenza

minuendo sottraendo

Divisione Quando si divide un primo numero per un secondonumero:– il primo numero si chiama dividendo– il secondo numero si chiama divisore– il risultato della divisione si chiama quoziente

8 : 4¼ 2 quoziente

dividendo divisore

ESERCIZI a p. 35

Unita

1Numerinaturalienumeriinteri

5

Esaminiamo ora piu in dettaglio le quattro operazioni in N.

L’addizione e la moltiplicazione

La somma e il prodotto di due numeri naturali sono sempre numeri naturali:

5 þ 7 ¼ 12 11 þ 101 ¼ 112 7 � 5 ¼ 35 100 � 3 ¼ 300 ...

Formalmente si dice che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne

all’insieme N dei numeri naturali o, in modo equivalente, che N e chiuso rispet-

to all’addizione e alla moltiplicazione.

L’addizione e la moltiplicazione godono delle seguenti proprieta.

� Sono commutative: se si cambia l’ordine degli addendi (dei fattori), la somma

(il prodotto) non cambia. Per esempio:

2 þ 3 ¼ 3 þ 2 2 � 3 ¼ 3 � 2

� Sono associative: la somma (il prodotto) di tre numeri naturali non cambia,

comunque si associno due degli addendi (dei fattori). Per esempio:

3 þ ð4 þ 5Þ ¼ ð3 þ 4Þ þ 5 ð2 � 3Þ � 5 ¼ 2 � ð3 � 5Þ

� La moltiplicazione e distributiva rispetto all’addizione: se si deve moltiplica-

re un numero per una somma, si puo moltiplicare quel numero per ciascun ad-

dendo e poi addizionare i prodotti ottenuti. Per esempio:

2 � ð5 þ 7Þ ¼ 2 � 5 þ 2 � 7

Questa formulazione della proprieta distributiva fa riferimento al caso in cui il

fattore si trova «a sinistra» dell’addizione. Dal momento, pero, che la moltipli-

cazione e commutativa, la proprieta distributiva vale anche a destra. Per esem-

pio:

ð5 þ 7Þ � 2 ¼ 5 � 2 þ 7 � 2

Se indichiamo con le lettere a, b e c tre generici numeri naturali, possiamo cosı

riassumere le proprieta dell’addizione e della moltiplicazione:

Proprieta Addizione Moltiplicazione

Commutativa a þ b ¼ bþ a a � b ¼ b � a

Associativa ða þ bÞ þ c ¼ a þ ðbþ cÞ ða � bÞ � c ¼ a � ðb � cÞ

Distributivadella moltiplicazionerispetto all’addizione

a � ðbþ cÞ ¼ a � bþ a � c

ða þ bÞ � c ¼ a � c þ b � c

Il comportamento dello 0 e dell’1 rispetto all’addizionee alla moltiplicazione

� Lo 0 ha un ruolo particolare rispetto all’operazione di addizione, infatti lascia

inalterato qualsiasi numero cui venga addizionato:

2 þ 0 ¼ 2 0 þ 3 ¼ 3 ...

Per questa ragione lo 0 viene chiamato elemento neutro rispetto all’addizione.

� Un ruolo analogo a quello svolto dallo 0 per l’addizione viene svolto dall’1 per

la moltiplicazione; infatti, l’1 lascia inalterato qualsiasi numero per cui venga

moltiplicato:

2 � 1 ¼ 2 1 � 4 ¼ 4 ...

L’1 viene percio chiamato elemento neutro rispetto alla moltiplicazione.

Ricorda

Una lettera utilizzata perindicare un genericoelemento di un insiemeviene chiamata variabile.

TemaA

Inumeri

6

� Qualsiasi numero, moltiplicato per 0, da come prodotto 0:

5 � 0 ¼ 0 0 � 78 ¼ 0 ...

Per questa ragione lo 0 viene detto elemento assorbente rispetto alla moltipli-

cazione.

� Viceversa, se il prodotto di due numeri e 0, almeno uno dei due fattori deve es-

sere 0.

Queste ultime due proprieta si riassumono nella seguente:

LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

Il prodotto di due fattori e zero se e solo se almeno uno dei due fattori e zero. In

simboli:

a � b ¼ 0 se e solo se a ¼ 0 o b ¼ 0

La sottrazione e la divisione

La differenza e il quoziente di due numeri naturali vengono definiti rispettiva-

mente tramite l’addizione e la moltiplicazione: per questo motivo la sottrazione

e la divisione vengono chiamate operazioni inverse rispettivamente dell’addizio-

ne e della moltiplicazione.

DIFFERENZA TRA DUE NUMERI NATURALI

La differenza tra due numeri naturali e quel numero naturale, se esiste, che ad-

dizionato al sottraendo da come risultato il minuendo.

Per esempio:

7 � 5 ¼ 2 infatti: 2 þ 5 ¼ 7

minuendo sottraendo differenza differenza sottraendo minuendo

QUOZIENTE TRA DUE NUMERI NATURALI

Il quoziente (esatto) tra due numeri naturali e quel numero naturale, se esiste,

che moltiplicato per il divisore da come risultato il dividendo.

Per esempio:

12 : 4 ¼ 3 infatti: 3 � 4 ¼ 12

dividendo divisore quoziente quoziente divisore dividendo

Sia la sottrazione sia la divisione non sono operazioni interne a N.

ESEMPI

a. La sottrazione 5 � 7 non e eseguibile in N perche non esiste alcun numero

naturale che addizionato a 7 dia come risultato 5.

b. La divisione 1 : 2 non e eseguibile in N perche non esiste alcun numero na-

turale che moltiplicato per 2 dia come risultato 1.

Per la sottrazione e la divisione non valgono ne la proprieta commutativa ne la

proprieta associativa.

ESEMPI

a. 2 � 3 6¼ 3 � 2 e 12 : 6 6¼ 6 : 12

b. ð5 � 3Þ � 1 6¼ 5 � ð3 � 1Þ e ð12 : 6Þ : 2 6¼ 12 : ð6 : 2Þ

La sottrazione e la divisione godono invece di una nuova proprieta: la proprieta

invariantiva.

+5

–5

2 7

· 4

:4

12 3

Unita


7

Proprieta invariantiva della sottrazione Proprieta invariantiva della divisione

La differenza tra due numeri naturali non cambia se siaddiziona o si sottrae a entrambi uno stesso numero(purche la sottrazione sia possibile in N); per esempio:

7 � 5 ¼ ð7 þ 2Þ � ð5 þ 2ÞAddizionando ai due numeri 2

7 � 5 ¼ ð7 � 3Þ � ð5 � 3ÞSottraendo ai due numeri 3

Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplicano osi dividono entrambi per uno stesso numero diverso da zero(purche la divisione sia possibile in N); per esempio:

9 : 3 ¼ ð9 � 2Þ : ð3 � 2ÞMoltiplicando i due numeri per 2

12 : 6 ¼ ð12 : 3Þ : ð6 : 3ÞDividendo i due numeri per 3

Per quanto riguarda la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto alla

sottrazione e della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione, abbiamo che:

� la moltiplicazione e distributiva, sia a destra sia a sinistra, rispetto alla sottra-

zione; per esempio:

2 � ð7 � 5Þ ¼ 2 � 7 � 2 � 5 ð7 � 5Þ � 3 ¼ 7 � 3 � 5 � 3

� la divisione e distributiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione; non

e, invece, distributiva a sinistra.

La divisione e distributiva a destra rispettoall’addizione e alla sottrazione

La divisione non e distributiva a sinistra rispetto all’addizionee alla sottrazione

Se si deve dividere una somma (o una differenza)per un numero, si puo dividere ciascun addendo(oppure il minuendo e il sottraendo) per quelnumero e poi sommare (o sottrarre) i quozientiottenuti. Per esempio:

ð9 þ 3Þ : 3 ¼ 9 : 3 þ 3 : 3

ð8 � 6Þ : 2 ¼ 8 : 2 � 6 : 2

Per esempio:18 : ð6 þ 3Þ 6¼ 18 : 6 þ 18 : 3

18 : ð6 þ 3Þ ¼ 18 : 9 ¼ 2 18 : 6 þ 18 : 3 ¼ 3 þ 6 ¼ 9

18 : ð6 � 3Þ 6¼ 18 : 6 � 18 : 3

18 : ð6 � 3Þ ¼ 18 : 3 ¼ 6 18 : 6 � 18 : 3 ¼ 3 � 6

Sottrazione impossibile in N

Se indichiamo con le variabili a, b e c tre generici numeri naturali e con n un nu-

mero naturale non nullo, le proprieta della sottrazione e della divisione si posso-

no esprimere come indicato nella seguente tabella.

Proprieta Espressione

Invariantiva della sottrazione a � b ¼ ða þ cÞ � ðbþ cÞa � b ¼ ða � cÞ � ðb� cÞ

a condizione che tutte le differenze siano possibiliin N

Invariantiva della divisione a : b ¼ ða � nÞ : ðb � nÞa : b ¼ ða : nÞ : ðb : nÞ

a condizione che tutte le divisioni siano possibiliin N

Distributiva della moltiplicazione rispettoalla sottrazione

a � ðb� cÞ ¼ a � b� a � cða � bÞ � c ¼ a � c � b � c

a condizione che tutte le differenze siano possibiliin N

Distributiva a destra della divisione rispettoall’addizione e alla sottrazione

ða þ bÞ : n ¼ a : nþ b : nða � bÞ : n ¼ a : n� b : n

a condizione che tutte le divisioni siano possibiliin N

Il comportamento dello 0 e dell’1 rispetto alla sottrazionee alla divisione

� Se il sottraendo e 0, la differenza coincide con il minuendo:

11 � 0 ¼ 11 100 � 0 ¼ 100 ...

� Se il minuendo e il sottraendo sono uguali, la differenza e 0:

10 � 10 ¼ 0 124 � 124 ¼ 0 ...

TemaA

Inumeri

8

� La divisione tra due numeri e definita purche il divisore sia diverso da zero.

Non si attribuisce percio alcun significato a scritture quali:

9 : 0 11 : 0 5 : 0 0 : 0 ...

Cio e una conseguenza della legge di annullamento del prodotto; per esempio:

a. 9 : 0 e impossibile perche non esiste un numero naturale che, moltiplicato

per 0, dia come risultato 9 (un ragionamento analogo vale per ogni divisio-

ne del tipo a : 0, se a e un numero naturale diverso da zero);

b. 0 : 0 e indeterminato perche ogni numero naturale, moltiplicato per 0, da

come risultato 0.

� E invece possibile eseguire una divisione se il dividendo e 0 (e il divisore e di-

verso da zero):

0 : 1 ¼ 0 0 : 12 ¼ 0 0 : 56 ¼ 0 ...

Il quoziente e sempre 0 e cio e ancora una conseguenza della legge di annulla-

mento del prodotto. Per esempio:

0 : 12 ¼ 0 perche 0 � 12 ¼ 0

� Se il divisore e 1, il quoziente coincide con il dividendo:

3 : 1 ¼ 3 4 : 1 ¼ 4 100 : 1 ¼ 100 ...

� Se il dividendo e il divisore sono uguali, il quoziente e 1:

1 : 1 ¼ 1 7 : 7 ¼ 1 32 : 32 ¼ 1 ...

La divisione con resto

Abbiamo visto che la divisione esatta non e sempre possibile in N: per esempio,

in N non si puo eseguire la divisione (esatta) 13: 5. In N si puo tuttavia effettuare

sempre la cosiddetta divisione con resto (o euclidea o intera). Essa consiste nel-

l’effettuare l’ordinario procedimento di divisione fermandosi alle unita (ovvero

senza introdurre numeri «con la virgola»): tale divisione produce un risultato, il

quoziente intero, e un resto.

Per esempio, effettuando la divisione 13: 5 fermandosi alle unita, otteniamo lo

schema qui a fianco: 2 e il quoziente intero della divisione e 3 e il resto.

Notiamo che:

13 ¼ 5 � 2 þ 3 e 3 < 5

dividendo divisore quoziente resto(intero)

Queste relazioni tra dividendo, divisore, quoziente (intero) e resto valgono in ge-

nerale.

DIVISIONE CON RESTO FRA DUE NUMERI NATURALI

La divisione con resto tra due numeri naturali a e b, con b 6¼ 0, produce come

quoziente intero e come resto due numeri naturali, che indichiamo rispettiva-

mente con q ed r, tali che:

a ¼ b � qþ r con r < b

E importante fare alcune osservazioni.

1. Per la divisione con resto continua a valere la proprieta invariantiva, nel sen-

so che se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il divisore per uno stesso

13 5

10 2

3

Attenzione!

La divisione con resto siriduce alla divisione esattanel caso particolare in cui ilresto e nullo.

Unita


9

numero diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto risulta rispetti-

vamente moltiplicato o diviso per il numero. Vale a dire:

se a : b ¼ q con resto r, allora ða � cÞ : ðb � cÞ ¼ q con resto r � cse a : b ¼ q con resto r, allora ða : cÞ : ðb : cÞ ¼ q con resto r : c

2. Si puo dimostrare che due numeri naturali a e b, con a � b, hanno lo stesso re-

sto nella divisione euclidea per n se e solo se la loro differenza e un multiplo di

n, cioe se esiste k 2 N tale che:

a� b ¼ kn

Prova tu

Completa la seguente tabella.

UGUAGLIANZA E CORRETTA?

1. ð3 þ 5Þ : 2 ¼ 2 : ð3 þ 5Þ Sı, in base alla proprieta ...... No

2. ð3 � 5Þ þ 4 ¼ 4 þ ð5 � 3Þ Sı, in base alla proprieta ...... No

3. ð3 � 5Þ þ 4 ¼ ð3 þ 4Þ � ð5 þ 4Þ Sı, in base alla proprieta ...... No

4. ð12 � 10Þ : 2 ¼ 12 : 2 � 10 : 2 Sı, in base alla proprieta ...... No

5. 15 : 5 ¼ 3 : 1 Sı, in base alla proprieta ...... No

6. ð6 þ 6Þ : ð6 � 6Þ ¼ 12 : 0 ¼ 0 Sı, in base alla proprieta ...... No

7. 3 �133¼3 � ð100þ30þ3Þ¼3 �100þ3 �30þ3 �3 Sı, in base alla proprieta ...... No

8. 3 þ ð4 þ 5 � 6Þ ¼ ð3 þ 4Þ þ 6 � 5 Sı, in base alla proprieta ...... No

9. 120 : ð12 � 10Þ ¼ 120 : 12 � 120 : 10 Sı, in base alla proprieta ...... No

3. Potenze ed espressioni in N

La definizione di potenza

Per indicare un prodotto come 5 � 5 � 5, in cui tutti i fattori sono uguali, si utilizza

la notazione compatta 53, che rappresenta la potenza di base 5 ed esponente 3.

POTENZA

Siano a ed m due numeri naturali. Si definisce potenza di base a ed esponente

m, e si indica con il simbolo am, il prodotto di m fattori uguali ad a. In simboli:

am ¼ a � a � a � ::: � a � a [1.1]

m volte

Poiche la moltiplicazione esiste quando esistono almeno due fattori, la [1.1] ha

senso per m > 1.

Si attribuisce tuttavia un significato anche alle potenze aventi come esponenti 0

o 1.

POTENZE CON ESPONENTI 0 E 1Per ogni numero naturale a, poniamo, per definizione: a1 ¼ a.

Per ogni numero naturale a diverso da 0, poniamo, per definizione: a0 ¼ 1.

Resta non definito, e percio privo di significato, il simbolo 00.

ESEMPI

a. 15 ¼ 1 � 1 � 1 � 1 � 1 ¼ 1 d. 24 ¼ 2 � 2 � 2 � 2 ¼ 16

b. 02 ¼ 0 � 0 ¼ 0 e. 100 ¼ 1

c. 33 ¼ 3 � 3 � 3 ¼ 27 f. 1001 ¼ 100

ESERCIZI a p. 36

53 esponente

base

Come si legge

La potenza di esponente 2,a2, si legge:

«il quadrato di a».

La potenza di esponente 3,a3, si legge: «il cubo di a».

TemaA

Inumeri

10

Le proprieta delle potenze

Dalla definizione di potenza e dalle proprieta della moltiplicazione seguono im-

mediatamente alcune proprieta che regolano il calcolo con le potenze.

Supponiamo, per esempio, di volere calcolare il prodotto: 102 � 103.

102 � 103 ¼ ð10 � 10Þ � ð10 � 10 � 10Þ ¼ Definizione di potenza

¼ 10 � 10 � 10 � 10 � 10 ¼ Proprieta associativa della moltiplicazione

¼ 105 Definizione di potenza

Nota che:

102 � 103 ¼ 105 ¼ 102þ3

ovvero l’esponente del prodotto e la somma degli esponenti dei fattori.

Questo risultato si puo generalizzare.

PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE

Il prodotto di potenze con la stessa base e una potenza che ha la stessa base e co-

me esponente la somma degli esponenti. In simboli:

am � an ¼ amþn

ESEMPI

a. 22 � 24 ¼ 22þ4 ¼ 26 ¼ 64 b. 33 � 34 ¼ 33þ4 ¼ 37

In modo del tutto simile si possono ricavare le altre proprieta delle potenze.

QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE

Il quoziente di potenze con la stessa base e una potenza che ha la stessa base e

come esponente la differenza degli esponenti. In simboli:

am : an ¼ am�n con a 6¼ 0 e m � n

ESEMPI

a. 210 : 27 ¼ 210�7 ¼ 23 ¼ 8 b. 510 : 59 ¼ 510�9 ¼ 51 ¼ 5

POTENZA DI POTENZA

La potenza di una potenza e una potenza che ha la stessa base e come esponen-

te il prodotto degli esponenti. In simboli:

ðamÞn ¼ am�n

ESEMPI

a. ð22Þ3 ¼ 22�3 ¼ 26 ¼ 64 b. ð35Þ7 ¼ 35�7 ¼ 335

POTENZA DI UN PRODOTTO O DI UN QUOZIENTE

La potenza di un prodotto (quoziente) e uguale al prodotto (quoziente) delle

potenze con lo stesso esponente dei singoli fattori (termini). In simboli:

ða � bÞm ¼ am � bm ða : bÞm ¼ am : bm

ESEMPI

a. ð7 � 2Þ2 ¼ 72 � 22 ¼ 49 � 4 ¼ 196 L’uguaglianza ða � bÞm ¼ am � bm e stata utilizzata«da sinistra a destra»

b. 124 : 44 ¼ ð12 : 4Þ4 ¼ 34 ¼ 81 la relazione ða : bÞm ¼ am : bm e stata utilizzata«da destra a sinistra»

Attenzione!

L’ipotesi a 6¼ 0 e necessariaperche sia definito ilquoziente am : an; l’ipotesim � n e necessaria perche sefosse m < n, la sottrazionem� n non sarebbe eseguibilein N.

Suggerimento

Le uguaglianze inmatematica sono«reversibili», cioe possonoessere utilizzate nel verso chee piu conveniente in base alproblema affrontato:«da destra a sinistra»o «da sinistra a destra».

Unita


11

SINTESI

Proprieta In simboli Regola pratica

Prodotto di potenze

con la stessa base am � an ¼ amþnSi sommano gli esponenti

e la base rimane la stessa

Quoziente di potenze

con la stessa base am : an ¼ am�nSi sottraggono gli esponenti


Potenza di potenza ðamÞn ¼ am�n Si moltiplicano gli esponenti


Potenza di un prodotto ða � bÞm ¼ am � bmSi distribuisce la potenza

su ciascun fattore

Potenza di un quoziente ða : bÞm ¼ am : bmSi distribuisce la potenza

sul divisore e sul dividendo

PER SAPERNE DI PIU Perche si pone a0 ¼ 1?

Alla luce delle proprieta delle potenze possiamo capire per quale motivo si pone, per defi-

nizione, a0 ¼ 1, supposto a 6¼ 0. Consideriamo infatti la proprieta

am : an ¼ am�n

Nel caso particolare in cui m ¼ n otteniamo:

am : am ¼ am�m ¼ a0

Ma, al primo membro, abbiamo la divisione di due numeri uguali, am : am, che da come

risultato 1. Dunque, se vogliamo che le proprieta delle potenze valgano per qualsiasi

esponente, la scelta di porre a0 ¼ 1 e obbligata.

Le espressioni numeriche

Una scrittura in cui compaiono dei numeri, legati fra di loro da varie operazioni,

(ed eventualmente delle parentesi) si chiama espressione numerica. Per esempio:

2 � 3 þ 8 [1.2]

e una semplice espressione numerica.

Non si potrebbe calcolare senza ambiguita il valore di un’espressione come la

[1.2] senza fissare delle priorita nello svolgimento delle operazioni. Infatti, se nel-

la [1.2] eseguissimo prima la moltiplicazione e poi l’addizione troveremmo:

2 � 3 þ 8 ¼ 6 þ 8 ¼ 14

mentre se eseguissimo prima l’addizione e poi la moltiplicazione otterremmo:

2 � 3 þ 8 ¼ 2 � 11 ¼ 22

Affinche non si verifichino tali ambiguita si e convenuto che, nelle espressioni

numeriche, le operazioni si eseguano secondo questo ordine:

� prima si svolgono le potenze, nell’ordine in cui compaiono;

� poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui compaiono;

� infine le addizioni e le sottrazioni, nell’ordine in cui compaiono.

ESEMPI

a. Calcoliamo il valore dell’espressione: 2 � 3 þ 52 � 24 : 6 � 23.

2 � 3 þ 52 � 24 : 6 � 23 ¼¼ 2 � 3 þ 25 � 24 : 6 � 8 ¼ Svolgendo le potenze

¼ 6 þ 25 � 4 � 8 ¼ Eseguendo moltiplicazioni e divisioni

¼ 19 Eseguendo addizioni e sottrazioni

TemaA

Inumeri

12

b. Calcoliamo il valore dell’espressione: 72 � 52 þ 18 : 2 � 32.

72 � 52 þ 18 : 2 � 32 ¼¼ 49 � 25 þ 18 : 2 � 9 ¼ Svolgendo le potenze

¼ 49 � 25 þ 9 � 9 ¼ Eseguendo moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine incui compaiono: quindi prima la divisione

¼ 49 � 25 þ 81 ¼ e poi la moltiplicazione

¼ 105 Eseguendo sottrazione e addizione

La priorita delle operazioni puo essere cambiata mediante l’introduzione di pa-

rentesi.

Se in un’espressione compaiono delle parentesi, occorre eseguire prima i calcoli

all’interno delle parentesi tonde, poi all’interno delle parentesi quadre, poi all’in-

terno delle graffe e, infine, i calcoli nell’espressione priva di parentesi che si e ot-

tenuta. All’interno di ciascuna parentesi le priorita tra le operazioni sono quelle

precedentemente esposte.

ESEMPIO

Calcoliamo il valore dell’espressione: 2 � ½3 þ ð32 � 4Þ � 5 � 23�.2 � ½3 þ ð32 � 4Þ � 5 � 23� ¼ 2 � ½3 þ ð9 � 4Þ � 5 � 23� ¼ Svolgendo la potenza

nelle parentesi tonde

¼ 2 � ½3 þ 5 � 5 � 23� ¼ Eseguendo la sottrazionenelle parentesi tonde

¼ 2 � ½3 þ 25 � 8� ¼ Eseguendo moltiplicazione epotenza nelle parentesi quadre

¼ 2 � 20 ¼ 40

VISUALIZZIAMO I CONCETTI

Le priorita delle operazioni e i diagrammi ad albero

I vari livelli di priorita nello svolgimento delle operazioni che compaiono in

un’espressione possono essere messi in evidenza rappresentando l’espressione

con particolari schemi grafici, detti diagrammi ad albero.

Rappresentiamo con un diagramma ad albero l’espressione 2 � 3 þ 8.

La prima operazione da svolgere e la moltiplicazione: scriviamo 2 e 3 come pri-

mi due vertici di un ideale triangolo equilatero e il simbolo � come terzo verti-

ce, congiungendo con un segmento il simbolo � a ciascuno dei due numeri.

La seconda operazione da svolgere e l’addizione: la rappresentiamo costruen-

do idealmente un nuovo triangolo equilatero, avente alla base il simbolo �(che rappresenta il risultato della precedente moltiplicazione) e il numero 8;

mettiamo poi il simbolo þ sul terzo vertice del nuovo triangolo.

Abbiamo cosı ottenuto la rappresentazione dell’espressione tramite un dia-

gramma di calcolo, che puo essere assimilato a un albero in cui le foglie rappre-

sentano i dati, la radice (indicata con R) rappresenta il risultato e i nodi tra i ra-

mi rappresentano le operazioni. I vari livelli di priorita nello svolgimento delle

operazioni sono evidenziati dal fatto che le operazioni vanno svolte a partire

dalle «foglie» fino ad arrivare alla «radice».

Anche per le espressioni con parentesi possiamo mettere in evidenza i vari li-

velli di priorita, utilizzando dei diagrammi ad albero. Il diagramma ad albero

dell’espressione

ð5 � 6 � 18Þ : 12

e quello riportato qui a fianco. Nota che quando l’operazione da rappresentare

non e commutativa (come nel caso della sottrazione e della divisione in que-

sto diagramma), conveniamo di scrivere a sinistra il primo termine e a destra

il secondo.

Attenzione!

L’utilizzo di parentesi di tipodiverso (tonde, quadre,graffe) e un espedientegrafico per renderevisivamente piu immediatol’ordine in cui eseguire leoperazioni; tuttavia, sipotrebbero anche utilizzareparentesi tutte dello stessotipo: per esempio lecalcolatrici, i fogli elettronicie i software di calcoloalgebrico utilizzano soloparentesi tonde.

2 3

·

R

2 3

· 8

+

5 6

· 18

– 12

:

R

Unita


13

Prova tu

1. Completa: 34 ¼ ::::::, 15 ¼ ::::::, 07 ¼ ::::::, 170 ¼ ::::::.

2. Applicando le proprieta delle potenze, calcola:

a. 23 � 22; ð22Þ3; 47 : 45 [32; 64; 16]

b. ð25 � 23Þ : ð23Þ2; ð29 : 2Þ : ð22 � 2Þ2; ð33Þ3 : ð32 � 3Þ2 [4; 4; 27]

3. Semplifica le seguenti espressioni.

a. 2 � 32 � 3 � 22 þ 4 � 5 � 6 � 6 � 2 [8]

b. 90 : 9 : 5 þ 90 � 3 : 9 þ 90 : 9 � 3 [62]

c. f½ð33 � 36Þ : 37 � 50� � ð32Þ3g : 35 [24]

4.Multipli e divisori

I multipli e i divisori di un numero

DIVISORI

Siano a e b due numeri naturali, con b diverso da 0: si dice che b e un divisore di

a se la divisione intera di a per b da come resto 0. In modo equivalente si puo di-

re che b e un divisore di a se esiste un numero naturale q tale che:

a ¼ q � b

Quindi 3 e un divisore di 12 perche, dividendo 12 per 3, otteniamo resto 0; oppu-

re: 3 e un divisore di 12 perche esiste un numero naturale, 4, tale che 12 ¼ 4 � 3.

Si utilizzano molte espressioni equivalenti per esprimere che «b e un divisore di a»:

� a e multiplo di b;

� b divide a;

� a e divisibile per b.

3 3

è divisore di è multiplo di

divide è divisibile per

12

Dato un numero naturale, i suoi multipli si ottengono moltiplicandolo per tutti i

numeri naturali: percio i multipli di un numero naturale sono infiniti; i suoi divi-

sori sono, invece, in un numero finito. Per esempio, i multipli di 12 sono:

12 � 0, 12 � 1, 12 � 2, 12 � 3, 12 � 4, ... ossia: 0, 12, 24, 36, 48, ...

Invece i divisori di 12 sono soltanto:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Criteri di divisibilita

Ogni numero naturale, tranne lo 0, e divisibile per 1 e per se stesso.

Per stabilire se un numero naturale e divisibile per 2, 3, 4, 5, 9, 11 o 25 si possono

utilizzare i seguenti criteri di divisibilita, che gia conosci.

Un numeroe divisibile ...

... se e solo se Esempi di numeridivisibili

Esempi di numerinon divisibili

per 2 lo e la sua ultima cifra 12; 344; 1028 13; 347; 1029

per 3 o per 9 lo e la somma delle sue cifre 4455 e divisibile per 3 e per 9(4 þ 4 þ 5 þ 5 ¼ 18)

157 ne per 9 ne per 3(1 þ 5 þ 7 ¼ 13)

per 5 termina con 0 o con 5 340; 1005 4001; 1003

ESERCIZI a p. 37

Attenzione!

Nella definizione di divisoreabbiamo posto la condizioneb 6¼ 0, perche la divisione per0 non e definita: 0 non edivisore di alcun numeronaturale. Ciascun numeronaturale n 6¼ 0 e invecedivisore dello 0 dalmomento che la divisione0 : n da quoziente e restouguali a 0.

TemaA

Inumeri

14

Un numeroe divisibile ...

... se e solo se Esempi di numeridivisibili

Esempi di numerinon divisibili

per 4 o per 25 lo e il numero formato dalleultime due cifre a destra, o setermina con due zeri

3124 e divisibile per 4175 e divisibile per 255200 e divisibile per 4 e per 25

117; 210(ne per 4 ne per 25)

per 11 la differenza tra la somma dellecifre di posto dispari e la sommadelle cifre di posto pari, contatea partire da destra, e divisibileper 11

143(3 þ 1 � 4 ¼ 0,e 0 e divisibile per 11)

5709(9 þ 7 � 0 � 5 ¼ 11)

531(1 þ 5 � 3 ¼ 3)

11111(1 þ 1 þ 1 � 1 � 1 ¼ 1)

Numeri primi

Nell’ambito dei numeri naturali giocano un ruolo speciale quelli che sono divisi-

bili soltanto per 1 e per se stessi.

NUMERI PRIMI

Un numero naturale, diverso da 0 e da 1, si dice primo se ammette come divisori

soltanto se stesso e 1.

Per esempio:

� 23 non ha altri divisori oltre a 1 e 23, quindi e primo;

� 22 ha come divisori, oltre a 1 e 22, anche 2 e 11, quindi non e primo.

I numeri primi minori di 50 sono:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Quando un numero non e primo viene detto composto: i numeri composti si

possono sempre scomporre in fattori primi, ossia scrivere come prodotti in cui

tutti i fattori sono numeri primi:

� il numero 12, scritto nella forma 2 � 2 � 3 o nella forma equivalente 22 � 3, risul-

ta scomposto in fattori primi;

� il numero 18, scritto nella forma 2 � 9, non risulta scomposto in fattori primi

perche 9 non e primo: la scomposizione in fattori primi di 18 e 2 � 3 � 3, ossia

2 � 32.

ESEMPIO

Scomponiamo in fattori primi 360.

Cerchiamo la scomposizione dividendo 360 per i successivi

fattori primi, organizzando il calcolo come nello schema

qui a fianco.

Otteniamo cosı la scomposizione di 360 in fattori primi:

360 ¼ 2 � 2 � 2 � 3 � 3 � 5

ovvero:

360 ¼ 23 � 32 � 5

360

180

90

45

15

5

1

2

2

2

3

3

5

Si puo dimostrare che, a meno dell’ordine dei fattori, la scomposizione in fattori

primi e unica: cio significa, per esempio, che 15 si puo scomporre in fattori primi

solo come

5 � 3 oppure 3 � 5

Questo risultato e uno dei piu importanti dell’aritmetica.

Dalla storia

Fin dall’antichita c’e statointeresse nei confronti deinumeri primi.Euclide, intorno al 300 a.C.,dimostro che i numeri primisono infiniti ed Eratostene(matematico greco vissutointorno al 200 a.C.) elaboroun metodo per determinarli,noto come «crivello diEratostene».

Suggerimento

Per stabilire se un numero ne primo non e necessarioprovare a dividerlo per tutti inumeri primi minori o

uguali an

2.

Si puo infatti dimostrare chee sufficiente considerare inumeri primi minori ouguali a

ffiffiffin

p.

Per esempio, sia n ¼ 157.Essendo

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi157

p’ 12,5, per

provare che n e primoe sufficiente far vedereche non e divisibile per:2, 3, 5, 7, 11.

Unita


15

TEOREMA 1.1 Teorema fondamentale dell’aritmetica

Ogni numero naturale maggiore di 1 o e primo, oppure puo scriversi in un unico modo

(a meno dell’ordine dei fattori) come prodotto di numeri primi.

Il teorema fondamentale dell’aritmetica fa capire quale ruolo fondamentale ab-

biano i numeri primi: essi costituiscono i «mattoni» dell’edificio dell’aritmetica.

PER SAPERNE DI PIU Perche il numero 1 non e considerato un numero primo?

Uno dei motivi e che non sarebbe piu valido il teorema fondamentale dell’aritmetica:

verrebbe infatti a cadere l’unicita della scomposizione. Per esempio: 24 ¼ 1 � 23 � 3 ma an-

che 24 ¼ 12 � 23 � 3.

Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

Ricordiamo anzitutto come sono definiti i concetti di massimo comune divisore

e di minimo comune multiplo.

Per giungere alla definizione di massimo comune divisore, cominciamo con il

ragionare su di un esempio: consideriamo i due numeri 36 e 60 ed elenchiamo

tutti i loro divisori.

I divisori di 36 sono:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

e i divisori di 60 sono:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

I divisori comuni a 36 e 60 sono quelli che abbiamo colorato in rosso:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Il piu grande fra questi divisori comuni e 12, che viene percio detto massimo comu-

ne divisore fra 36 e 60.

MASSIMO COMUNE DIVISORE

Il massimo comune divisore fra due o piu numeri naturali, diversi da 0, e il piu

grande fra i divisori comuni.

Il massimo comune divisore tra due numeri a e b si indica con il simbolo:

M.C.D.(a, bÞPer giungere alla definizione di minimo comune multiplo, ragioniamo invece

sul seguente esempio: consideriamo i due numeri 4 e 6 e cominciamo a scrivere i

loro multipli diversi da 0.

I multipli di 4 diversi da 0 sono:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

I multipli di 6 diversi da 0 sono:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

Ci sono infiniti numeri che sono multipli sia di 4 sia di 6; i primi di essi sono

quelli che abbiamo colorato in azzurro:

12, 24, 36, ...

Il piu piccolo fra questi multipli comuni e 12: esso viene percio chiamato minimo

comune multiplo tra 4 e 6.

MINIMO COMUNE MULTIPLO

Il minimo comune multiplo fra due o piu numeri naturali, diversi da 0, e il piu

piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.

TemaA

Inumeri

16

Il minimo comune multiplo tra due numeri a e b si indica con il simbolo:

m.c.m.(a, bÞ

Le regole pratiche, che certamente gia conosci, per calcolare il massimo comune

divisore e il minimo comune multiplo fra due o piu numeri sono riassunte nella

seguente tabella.

Regola per il calcolo del M.C.D. Regola per il calcolo del m.c.m.

Scomposti in fattori primi i numeri di cui sivuole calcolare il M.C.D., il M.C.D. e ilprodotto dei fattori primi comuni, presi unasola volta, con il minimo esponente.

Scomposti in fattori primi i numeri di cui sivuole calcolare il m.c.m., il m.c.m. e ilprodotto dei fattori primi comuni e noncomuni, presi una sola volta, con ilmassimo esponente.

ESEMPIO

Calcoliamo il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra 36 e 120.

Scomponiamo i due numeri in fattori primi:

36 ¼ 22 � 32

120 ¼ 23 � 3 � 5

M.C.D.(36,120) m.c.m.(36,120)

Nelle scomposizioni i fattori primi comunisono il 2 e il 3; l’esponente minimo concui compare il 2 nelle due scomposizioni e2, l’esponente minimo con cui compare il3 e 1, percio:

M.C.D.(36,120) ¼ 22 � 31 ¼ 12

Nelle scomposizioni i fattori primi comunie non comuni sono il 2, il 3 e il 5;l’esponente massimo con cui compare il 2nelle due scomposizioni e 3, l’esponentemassimo con cui compare il 3 e 2, el’esponente massimo con cui compare il 5e 1, percio:

m.c.m.(36,120) ¼ 23 � 32 � 51 ¼¼ 8 � 9 � 5 ¼ 360

NUMERI PRIMI TRA LORO

Due o piu numeri naturali si dicono primi tra loro (o coprimi) quando il loro

massimo comune divisore e uguale a 1.

Per esempio, 12 e 13 sono primi tra loro, mentre 12 e 15 non lo sono.

Legame tra M.C.D. e m.c.m.

Concludiamo presentando una relazione che lega il massimo comune divisore e

il minimo comune multiplo. Osserva e completa la seguente tabella:

a b a � b M.C.D.(a, b) m.c.m.(a, b) M.C.D.(a, b) �m.c.m.(a, b)

6 8 48 2 24 48

6 10 60 2 30 60

8 9 72 1 72 72

9 12 ... ... ... ...

12 20 ... ... ... ...

Dall’esame della tabella si puo congetturare che valga la seguente relazione:

M.C.D.(a, b) � m.c.m.(a, b) ¼ a � b [1.3]

Unita


17

Naturalmente, gli esempi ci hanno permesso di notare la regolarita e formulare

la congettura: ma per poter affermare che la [1.3] vale in generale occorrerebbe

fornire una dimostrazione. Ci limitiamo a una giustificazione intuitiva: il M.C.D.

di due numeri e il prodotto dei fattori primi comuni, con l’esponente minore; il

m.c.m. e il prodotto di tutti gli altri, cioe di quelli comuni con l’esponente mag-

giore e di quelli non comuni: quindi tutti i fattori primi dei due numeri (con i lo-

ro esponenti) compaiono una e una sola volta o nel M.C.D. o nel m.c.m. Per

esempio:

60 ¼ 22 � 3 � 5

75 ¼ 3 � 52

M.C.D.(60, 75) ¼ 3 � 5

m.c.m.(60, 75) ¼ 22 � 3 � 52

Immediata conseguenza di questa osservazione e che il prodotto di due numeri e

uguale al prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m.

Dalla [1.3] segue la seguente formula, la quale puo fornire un metodo alternativo

per il calcolo del minimo comune multiplo:

m:c:m:ða,bÞ ¼ a � bM:C:D:ða,bÞ [1.4]

Il minimo comune multiplo di due numeri coprimi, come si vede immediata-

mente dalla [1.4], e uguale al loro prodotto.

L’algoritmo di Euclide

Il metodo per il calcolo del massimo comune divisore che abbiamo esposto all’i-

nizio del paragrafo si basa sulla scomposizione dei numeri in fattori primi. Cio

non crea problemi quando si lavora con numeri «piccoli», mentre puo creare del-

le difficolta se i numeri coinvolti sono abbastanza «grandi». Se un numero ha

qualche centinaio di cifre, scomporlo puo rivelarsi un compito assai arduo (se

non impossibile) non solo per chi volesse procedere «a mano», ma anche per i

piu potenti calcolatori!

Fortunatamente esistono altri metodi per il calcolo del massimo comune divisore

che «aggirano» questo ostacolo perche non richiedono la scomposizione dei nu-

meri in fattori primi: essi sono basati sulla ripetizione di una stessa azione su dati

che vengono modificati a ogni passaggio.

Uno di questi metodi e il cosiddetto algoritmo di Euclide (o delle divisioni suc-

cessive); e il primo esempio conosciuto di algoritmo (risale al II secolo a.C.), cioe

di procedimento che, in una sequenza finita di passi, permette di risolvere un da-

to problema.

L’algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore di due numeri a

e b, con a > b, puo essere cosı descritto:

1. si calcola il resto della divisione intera tra a e b; se il resto r1 della divisione e 0,

allora il massimo comune divisore tra a e b e b, altrimenti si procede con il pas-

so 2;

2. si calcola il resto r2 della divisione intera tra b ed r1; se il resto r2 di quest’ultima

divisione e 0, allora il massimo comune divisore tra a e b e r1, altrimenti si pro-

cede con il passo 3;

3. si ripete il ciclo, calcolando il resto della divisione in cui il dividendo e il divi-

sore del passo precedente e il divisore e il resto ottenuto al passo precedente.

Il procedimento termina quando si ottiene un resto uguale a zero. L’ultimo resto

diverso da zero e il massimo comune divisore tra a e b.

Ricorda

Si chiama congetturaun enunciato che non sie ancora dimostrato,ma che si ritiene vero conbuona probabilita.

Attenzione!

Approfondiremo il concettodi algoritmo nel Laboratoriodi informatica alla finedel Tema A.

TemaA

Inumeri

18

ESEMPIO Algoritmo di Euclide

Determiniamo con l’algoritmo di Euclide il massimo comune divisore tra 48 e 18.

In questo caso a ¼ 48 e b ¼ 18. Impostiamo il calcolo in una tabella e mettia-

mo in evidenza con le frecce il funzionamento dell’algoritmo di Euclide.

Al terzo passo, il resto della divisione e 0, quindi, in base a quanto stabilito

dall’algoritmo di Euclide, il massimo comune divisore tra 48 e 18 e uguale al-

l’ultimo resto non nullo, cioe a 6.

Perche l’algoritmo di Euclide «funziona»?

Anzitutto, a ogni passo il resto (sempre maggiore o uguale a 0) decresce (per-

che?): il processo non puo percio continuare all’infinito poiche, a un certo pun-

to, si otterra un resto uguale a 0.

Inoltre, si puo dimostrare che, a ogni passo, i divisori comuni dei due numeri

che vengono divisi si mantengono gli stessi della coppia precedente. Di conse-

guenza, ogni volta che percorriamo il ciclo, benche la coppia di numeri che viene

divisa cambi, il massimo comune divisore della coppia e sempre lo stesso dei due

numeri iniziali, a e b. Alla fine, come abbiamo visto, si devono ottenere due nu-

meri x e y tali che il resto della divisione intera tra x e y e 0: il massimo comune

divisore di tali numeri e dunque y (ed e uguale al massimo comune divisore dei

due numeri originari per quanto poc’anzi osservato).

Prova tu

1. Vero o falso?

a. 5 e multiplo di 15 V F

b. 15 e multiplo di 3 V F

c. 0 e divisore di 15 V F

d. 1026 e divisibile per 4 V F

e. 1104 e divisibile per 3 V F

f. 87 e un numero primo V F

g. la scrittura 2 �3 �42 e la scomposizione in fattori primi di 96 V F

2. Determina M.C.D. e m.c.m. tra 18 e 84. [6; 252]

5. L’insieme Z

I numeri interi

Ci sono molte situazioni pratiche che i numeri naturali non consentono di de-

scrivere adeguatamente. Volendo indicare una temperatura, per esempio, un nu-

mero naturale non da un’informazione sufficiente perche non permette di dire

se si tratta di una temperatura sopra o sotto lo 0. Per ragioni analoghe, un sempli-

ce numero naturale non e adatto a esprimere il bilancio di un’azienda, perche

non permette di specificare se si tratta di un bilancio in attivo o in passivo.

Passo Dividendo Divisore Resto

I 48 18 12

II 18 12 6

III 12 6 0

Calcoliamo il resto della divisione interafra i due numeri a e b dati

Calcoliamo il resto della divisione interain cui il dividendo e il divisore del passoprecedente e il divisore e il resto del pas-so precedente

Ci arrestiamo perche abbiamo trovatoun resto nullo

ESERCIZI a p. 42

Unita


19

Per poter descrivere efficacemente anche queste situazioni introduciamo un nuo-

vo insieme numerico, associando a ogni numero naturale diverso da 0 due nuovi

numeri, uno preceduto da un segno þ e uno preceduto da un segno �: per esem-

pio, al numero 2 associamo i due numeri «þ2» e «�2», al numero 3 associamo i

due numeri «þ3» e «�3» e cosı via.

Indichiamo con Z l’insieme di tutti i numeri ottenuti:

..., �4, �3, �2, �1, 0; þ1, þ2, þ3, þ4, ...

L’insieme Z viene detto insieme dei numeri interi relativi, o semplicemente in-

sieme dei numeri interi.

Tutti gli interi preceduti dal segno þ vengono detti positivi (essi sono adatti a

rappresentare, per esempio, le temperature sopra lo 0 e i bilanci in attivo); quelli

preceduti dal segno � vengono detti negativi (essi sono adatti a rappresentare,

per esempio, le temperature sotto lo 0 e i bilanci in passivo): l’insieme degli interi

positivi viene indicato con il simbolo Zþ, l’insieme degli interi negativi con il

simbolo Z�.

Due interi con lo stesso segno si dicono concordi, due interi con segno diverso si

dicono discordi: per esempio sono concordi i numeri �3 e �5, mentre sono di-

scordi �2 e þ5.

Due numeri interi che differiscono solo per il segno, quali þ2 e �2, si chiamano

opposti. Per esempio, l’opposto di þ5 e �5 e l’opposto di �3 e þ3.

In generale l’opposto di un numero intero si indica ponendo un segno «meno»

davanti a esso; per esempio:

� l’opposto di þ5 si indica con �ðþ5Þ, quindi �ðþ5Þ ¼ �5;

� l’opposto di �3 si indica con �ð�3Þ, quindi �ð�3Þ ¼ þ3.

L’opposto di un generico numero intero a (positivo o negativo) si indica dunque

con �a.

La rappresentazione dei numeri interi sulla retta

Abbiamo visto che i numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta

orientata; i numeri interi, invece, si possono rappresentare su una retta orientata,

procedendo in questo modo:

� si considera una retta, che per comodita viene disegnata orizzontalmente,

orientata verso destra, e si fissa su di essa un punto O, chiamato origine, cui si

fa corrispondere lo 0, e un’unita di misura u;

� si associano agli interi positivi i punti sulla semiretta «a destra» di O e agli inte-

ri negativi i punti sulla semiretta «a sinistra» di O. Precisamente: si associa al

numero þ1 il punto distante un’unita da O verso destra e a �1 il punto distan-

te un’unita da O verso sinistra; a þ2 il punto distante due unita da O verso de-

stra e a �2 il punto distante due unita da O verso sinistra, e cosı via (fig. 1.6).

+20–1–2–3–4 +1 +3 +4

Z

Figura 1.6

Come abbiamo messo in evidenza in fig. 1.6, due numeri opposti sono rappresen-

tati sulla retta da punti simmetrici rispetto all’origine.

Se rappresentiamo sulla stessa retta orientata l’insieme degli interi non negativi

(solitamente indicato con il simbolo Zþ0 perche contiene gli interi positivi piu lo

zero) e l’insieme N, ci accorgiamo che þ1 occupa lo stesso posto di 1, þ2 lo stesso

posto di 2, þ3 lo stesso posto di 3 e cosı via (fig. 1.7).

+20–1–2–3–4 +1 +3 +4 Z

20 1 3 4 N

Z0+

Figura 1.7

TemaA

Inumeri

20

Possiamo quindi identificare ciascun numero intero positivo con un numero na-

turale e pensare l’insieme Z dei numeri interi relativi come un «ampliamento»

dell’insieme N, identificando Zþ0 con N (vedi per maggiori dettagli la scheda di

approfondimento dopo il Paragrafo 6).

In virtu di questa identificazione, nella pratica i numeri interi positivi vengono

spesso rappresentati omettendo il segno þ.

Valore assoluto di un numero intero

VALORE ASSOLUTO

Si chiama valore assoluto (o modulo) di un numero intero a, e si indica con jaj:� il numero a stesso, se esso e positivo o nullo;

� il numero �a (cioe il suo opposto), se esso e negativo.

In simboli:

jaj ¼ a se a � 0�a se a < 0

�

Dalla definizione segue che il valore assoluto di un numero e sempre positivo o

nullo.

ESEMPI

a. jþ3j ¼ þ3 Il valore assoluto di un numero intero positivo e il numero stesso

b. 0j j ¼ 0 Il valore assoluto di zero e zero

c. j�2j ¼ þ2 Il valore assoluto di un numero intero negativo e il suo opposto

Tenendo presente che un numero intero di cui viene omesso il segno si intende

preceduto dal segno þ, possiamo anche scrivere, in riferimento agli esempi a e c:

jþ3j ¼ 3 e j�2j ¼ 2


Il valore assoluto di un numero

Geometricamente possiamo interpretare il valore assoluto di un numero come

la distanza fra il punto che lo rappresenta sulla retta e l’origine. Per esempio:

3il valore assoluto del numero �2 e 2; il punto

che rappresenta �2 dista 2 unita dall’origine:

3il valore assoluto del numero þ3 e 3; il punto

che rappresenta þ3 dista 3 unita dall’origine:

O–1

2

+1–2

O

3

+1 +2 +3

L’ordinamento in Z

Dati due numeri interi a e b, diremo che:

� sono uguali se occupano lo stesso posto nella rappresentazione sulla retta;

� a e minore di b se a e a sinistra di b nella rappresentazione sulla retta;

� a e maggiore di b se a e a destra di b nella rappresentazione sulla retta.

Dati due numeri interi, e quindi sempre possibile stabilire se uno e minore, ugua-

le o maggiore dell’altro, ovvero l’insieme Z e ordinato.

Unita


21

ESEMPI

Gli esempi precedenti suggeriscono le seguenti regole generali per il confronto

tra numeri interi:

� tra due numeri interi positivi, il maggiore e quello di valore assoluto maggiore;

� tra due numeri interi negativi, il maggiore e quello di valore assoluto minore;

� i numeri interi positivi sono maggiori di qualunque intero negativo;

� lo 0 e maggiore di tutti gli interi negativi e minore di tutti gli interi positivi.

Caratteristiche di Z

L’insieme Z e infinito e, come abbiamo appena visto, ordinato.

Ogni elemento di Z ammette precedente e successivo; non esistono quindi in Z

ne elemento minimo ne elemento massimo.

Inoltre, tra due numeri interi non consecutivi (cosı come tra due numeri naturali

non consecutivi) si trova solo un numero finito di numeri interi: dunque anche

l’insieme Z, come N, e discreto.

Prova tu

Vero o falso?

a. �2 e �3 sono concordi V F

b. �2 e þ3 sono discordi V F

c. il valore assoluto di �5 e 5 V F

d. �3 > �2 V F

e. esiste un elemento di Z che non ammette precedente V F

f. sia N sia Z non ammettono minimo V F

[3 affermazioni false]

6. Le operazioni in Z

Addizione

SOMMA TRA NUMERI INTERI

� La somma di due numeri interi concordi e il numero che ha segno uguale a

quello dei due addendi e valore assoluto uguale alla somma dei loro valori

assoluti.

� La somma di due numeri interi discordi (non opposti) e il numero che ha se-

gno uguale a quello del numero che ha valore assoluto maggiore e valore as-

soluto uguale alla differenza tra il maggiore e il minore dei valori assoluti dei

due numeri.

� La somma di due numeri interi opposti e zero.

Disuguaglianza Interpretazione grafica Rappresentazione sulla retta

þ3 > þ1 þ3 e a destra di þ1nella rappresentazione sulla retta O +1–1 +2 +4 +5+3

�4 < �1 �4 e a sinistra di �1nella rappresentazione sulla retta O–4 –3–5 –1–2 +1

þ1 > �2 þ1 e a destra di �2nella rappresentazione sulla retta O–2 –1–3 +1 +2 +3

0 > �3 0 e a destra di �3nella rappresentazione sulla retta –2 –1–3–4–5 0 +1

0 < þ4 0 e a sinistra di þ4nella rappresentazione sulla retta +20 +1–1 +3 +4 +5

ESERCIZI a p. 45

TemaA

Inumeri

22

ESEMPI

a. ð�2Þ þ ð�6Þ ¼ ��j�2j þ j�6j

�¼ �ð2 þ 6Þ ¼ �8 Somma di interi concordi

b. ðþ3Þ þ ðþ6Þ ¼ þ�jþ3j þ jþ6j

�¼ þ9 Somma di interi concordi

c. ð�2Þ þ ðþ4Þ ¼ þ�jþ4j � j�2j

�¼ þ2 Somma di interi discordi

d. ð�3Þ þ ðþ1Þ ¼ ��j�3j � jþ1j

�¼ �2 Somma di interi discordi

e. ð�7Þ þ ðþ7Þ ¼ 0 Somma di interi opposti

L’addizione e un’operazione interna a Z, e commutativa, associativa e ha come ele-

mento neutro 0.


L’addizione tra numeri interi relativi

Possiamo ottenere il punto che rappresenta la somma di due numeri interi a e

b partendo dal punto che rappresenta a e poi spostandoci di un numero di

unita uguale a jbj:� verso destra, se b e positivo;

� verso sinistra, se b e negativo.

In Z sussiste una nuova proprieta rispetto a quelle valide in N: per ogni numero

intero, ne esiste un secondo, il suo opposto, che, aggiunto al primo, da come ri-

sultato 0, cioe l’elemento neutro dell’addizione.

Per esempio:

ðþ3Þ þ ð�3Þ ¼ 0

numero opposto elemento neutrointero dell’addizione

Sottrazione

DIFFERENZA TRA NUMERI INTERI

La differenza tra due numeri interi e la somma del primo numero (minuendo)

con l’opposto del secondo (sottraendo). In simboli:

a� b ¼ aþ ð�bÞ

segno uguale a quello

dei due addendi

i due numeri sono concordi perciodobbiamo considerare la somma deivalori assoluti

segno þ perche:

jþ4j > j�2j

i due numeri sono discordi perciodobbiamo considerare la differenzadei valori assoluti

Esempio Interpretazione grafica

ð�2Þ þ ðþ4Þ ¼ þ2 A partire dal punto che rappresenta �2, ci spostiamo di 4 unitaverso destra: giungiamo al punto che rappresenta þ2.

+1–1–2 +2O

ð�2Þ þ ð�3Þ ¼ �5 A partire dal punto che rappresenta �2, ci spostiamo di 3 unitaverso sinistra: giungiamo al punto che rappresenta �5.

–1–2–3–4–5 O

Unita


23

Dal momento che l’operazione di sottrazione tra interi e ricondotta a quella di

addizione, si parla a volte semplicemente di addizione algebrica, senza specifi-

care se si tratti di addizione o sottrazione.

La sottrazione e un’operazione interna a Z (mentre non lo e in N).

ESEMPI

a. ð�1Þ�ð�4Þ ¼ �1 þ ðþ4Þ ¼ þ3

b. 2 � ðþ5Þ ¼ 2 þ ð�5Þ ¼ �3

Nota che in una scrittura come quella dell’ultimo esempio:

2 � ðþ5Þ ¼ �3

il segno meno compare con due diversi significati: a sinistra dell’uguale rappre-

senta l’operazione di sottrazione, a destra indica l’opposto di 3.

Alcune calcolatrici utilizzano due simboli diversi per indicare l’operazione di sot-

trazione e l’opposto. Tuttavia, il fatto che la sottrazione tra due numeri interi a e

b sia definita come l’addizione di a con l’opposto di b ha portato, nella pratica, a

usare lo stesso simbolo per indicare la sottrazione e l’opposto.

Moltiplicazione

PRODOTTO TRA NUMERI INTERI

Il prodotto di due numeri interi e il numero che ha:

� valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei due numeri;

� segno positivo se i due numeri sono concordi; segno negativo se sono di-

scordi.

Vale quindi la regola dei segni riassunta nella tabella qui a fianco.

ESEMPI

a. ð�2Þ � ð�3Þ ¼ þð2 � 3Þ ¼ þ6 Interi concordi

ðþ2Þ � ðþ4Þ ¼ þð2 � 4Þ ¼ þ8 Interi concordi

b. ð�2Þ � ðþ3Þ ¼ �ð2 � 3Þ ¼ �6 Interi discordi

ðþ2Þ � ð�4Þ ¼ �ð2 � 4Þ ¼ �8 Interi discordi

Il segno del prodotto di piu di due interi dipende dal numero dei fattori negativi:

� se il numero dei fattori negativi e pari, il prodotto e positivo;

� se il numero dei fattori negativi e dispari, il prodotto e negativo.

ESEMPI

a. ð�2Þ � ðþ3Þ � ð�1Þ ¼ ð�6Þ � ð�1Þ ¼ þ6 Due fattori negativi: prodotto positivo

b. ð�2Þ � ð�3Þ � ð�1Þ ¼ ðþ6Þð�1Þ ¼ �6 Tre fattori negativi: prodotto negativo

La moltiplicazione tra numeri interi gode delle stesse proprieta della moltiplica-

zione tra numeri naturali: e un’operazione interna a Z, e commutativa, associativa,

dotata di elemento neutro (il numero þ1) e distributiva rispetto all’addizione. Con-

tinua inoltre a valere la legge di annullamento del prodotto.

Divisione

La divisione non e un’operazione interna a Z.

Tuttavia, se due numeri interi a e b sono tali che ja j e multiplo di jb j, allora si

puo definire il quoziente tra a e b, secondo la seguente definizione.

Ricorda

REGOLA DEI SEGNI

ðþÞ � ðþÞ ¼ þðþÞ � ð�Þ ¼ �ð�Þ � ðþÞ ¼ �ð�Þ � ð�Þ ¼ þ

Da dove deriva la regola deisegni? Si potrebbedimostrare che essa e l’unicapossibile «regola dei segni»,se si vuole che le operazioniin Z continuino a rispettarele proprieta delle operazionivalide per i numeri naturali(vedi la scheda diapprofondimento a fineparagrafo).

TemaA

Inumeri

24

QUOZIENTE TRA NUMERI INTERI

Il quoziente tra due numeri interi (di cui il secondo non nullo), se esiste in Z, e

il numero che ha:

� valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti dei due numeri;

� segno positivo se i due numeri sono concordi; segno negativo se sono di-

scordi.

ESEMPI

a. ð�8Þ : ðþ2Þ ¼ �ð8 : 2Þ ¼ �4

b. ð�9Þ : ð�3Þ ¼ þð9 : 3Þ ¼ þ3

Anche in Z la divisione, come in N, gode della proprieta invariantiva ed e distribu-

tiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione.

Prova tu

Completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino corrette.

1. ð�4Þ þ ð�3Þ ¼ :::::::::: ðþ3Þ þ ð�6Þ ¼ ::::::::::

2. ð�10Þ � ð�5Þ ¼ :::::::::: ð�4Þ � ðþ6Þ ¼ ::::::::::

3. ð�10Þðþ3Þ ¼ :::::::::: ð�6Þð�3Þ ¼ ::::::::::

4. ðþ12Þ : ð�6Þ ¼ :::::::::: ð�10Þ : ð�5Þ ¼ ::::::::::

APPROFONDIMENTO Dall’insieme N all’insieme ZIn che senso Z e un ampliamento di N?Nei paragrafi precedenti abbiamo visto che la sottrazione non e un’operazione interna

a N: la necessita di poter eseguire in ogni caso la sottrazione ci ha spinto a «uscire» dal-

l’insieme dei numeri naturali e a introdurre l’insieme Z dei numeri interi.

Abbiamo detto che Z e un ampliamento di N perche c’e un sottoinsieme di Z, l’insieme

Zþ0 degli interi non negativi, che si puo «identificare» con N. Bisogna, pero, prestare at-

tenzione a non fraintendere questa affermazione.

Dire che N si puo «identificare» con Zþ0 non significa che N e Zþ

0 siano la stessa cosa: di

cio puoi facilmente renderti conto anche con un semplice esempio: se 2 e þ2 fossero la

stessa cosa, allora potremmo dire indifferentemente che «gli uomini hanno 2 mani» o

che «gli uomini hanno þ2 mani», cosa che, evidentemente, non accade!

Qual e allora l’esatto significato della frase «N si puo identificare con Zþ0 »? Intuitiva-

mente, la frase vuole dire che Zþ0 si puo assimilare a N «ridipinto di un altro colore».

Dal punto di vista matematico, significa che gli elementi di Zþ0 possono essere posti in

corrispondenza «uno a uno» con quelli di N e che hanno comportamenti simili ai nu-

meri naturali rispetto all’addizione, alla moltiplicazione e all’ordine.

Per definire una corrispondenza «uno a uno» tra l’insieme Zþ0 e l’insieme N, basta far

corrispondere allo 0 di Zþ0 lo 0 di N e a ogni intero positivo þn il numero naturale n:

+20–1–2–3–4 +1 +3 +4 Z

20 1 3 4 N

Z0+

Possiamo poi verificare che il comportamento dei numeri naturali e simile a quello de-

gli interi non negativi rispetto alle operazioni e al confronto, osservando che tale corri-

spondenza «conserva» la somma, il prodotto e l’ordine; per esempio:

� osserviamo che al numero þ2 corrisponde 2, al numero þ7 corrisponde 7 e alla som-

ma ðþ2Þ þ ðþ7Þ ¼ þ9 corrisponde il numero 9, che e la somma dei corrispondenti

di þ2 e di þ7, cioe di 2 e 7:

ESERCIZI a p. 47

Unita


25�

ðþ2Þ þ ðþ7Þ ¼ þ9

2 þ 7 ¼ 9

� osserviamo che al numero þ2 corrisponde 2, al numero þ7 corrisponde 7 e al pro-

dotto ðþ2Þ � ðþ7Þ ¼ þ14 corrisponde il numero 14, che e il prodotto dei corrispon-

denti di þ2 e di þ7, cioe di 2 e 7:

ðþ2Þ � ðþ7Þ ¼ þ14

2 � 7 ¼ 14

� þ2 e minore di þ7 e anche il corrispondente di þ2 e minore del corrispondente di

þ7: infatti, in N, 2 e minore di 7.

Quando tra due insiemi numerici si puo stabilire una corrispondenza uno a uno, che

conserva le operazioni e l’ordine, si dice che tale corrispondenza e un isomorfismo e

che i due insiemi sono isomorfi (rispetto alle operazioni considerate).

La metafora che abbiamo utilizzato prima, dicendo che

Zþ0 si puo intuitivamente assimilare a N «ridipinto di un

altro colore», si traduce quindi, in linguaggio matemati-

co, nella frase: Zþ0 e isomorfo a N.

L’esistenza di tale isomorfismo e cio che consente di

identificare i numeri naturali con gli interi non negativi

e di pensare, per comodita, anche se con una certa imprecisione, che N sia un sottoin-

sieme di Z (anche se, ribadiamo, in realta non e vero che N e un sottoinsieme di Z ma

piuttosto che Z contiene un sottoinsieme, quello degli interi non negativi, che e iso-

morfo a N).

Da dove «deriva» la regola dei segni?La regola dei segni appare a volte quasi «misteriosa»: non si capisce perche, per esem-

pio, meno per meno faccia piu... In realta le regole, in matematica, non sono mai co-

struite arbitrariamente. Anche la regola dei segni non fa eccezione: essa e conseguenza

del cosiddetto principio di conservazione delle proprieta formali, in base al quale,

ampliando un insieme numerico, le operazioni devono essere definite in modo da con-

servare le loro proprieta; la regola dei segni e l’unica possibile se si vuole che continui-

no a valere, in Z, le proprieta delle operazioni valide in N.

I. + . + = + Questa regola e essenziale per poter identificare i numeri interi non nega-

tivi con i numeri naturali e per far sı, quindi, che Z risulti effettivamente un am-

pliamento di N. Consideriamo, per esempio, il prodotto ðþ5Þðþ7Þ; se stabilissimo

la regola þ � þ ¼ �, allora la corrispondenza che abbiamo definito per poter identi-

ficare Zþ0 con N non conserverebbe piu i prodotti: infatti, al prodotto di þ5 e þ7,

che sarebbe �35, non corrisponderebbe il prodotto di 5 e 7, che e 35.

II. + . – = – Questa regola e obbligatoria se si vuole che in Z continuino a valere la

proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e la legge di an-

nullamento del prodotto. Ammettiamo, infatti, che valgano tali proprieta e suppo-

niamo, per esempio, di voler calcolare ðþ7Þð�5Þ. Possiamo effettuare i seguenti

passaggi:

0 ¼ ðþ7Þ � 0 ¼ Legge di annullamento del prodotto

¼ ðþ7Þ½ðþ5Þ þ ð�5Þ� ¼ Definizione di opposto

¼ ðþ7Þðþ5Þ þ ðþ7Þð�5Þ ¼ Proprieta distributiva della moltiplicazionerispetto all’addizione

¼ ðþ35Þ þ ðþ7Þð�5Þ Per quanto stabilito nel caso I

In conclusione, abbiamo:

0 ¼ ðþ35Þ þ ðþ7Þð�5Þ

Quindi ðþ7Þð�5Þ deve necessariamente essere uguale all’opposto di ðþ35Þ, ovvero

a �35:

ðþ7Þð�5Þ ¼ �35

Z

NN ⊂ Z

ðþ5Þ � ðþ7Þ ¼ �35

5 � 7 ¼ 35

�35 e 35 non sicorrispondono

TemaA

Inumeri

26

�

III. – . + = – Questa regola segue immediatamente dalla precedente e dal fatto che si

vuole conservare in Z la proprieta commutativa della moltiplicazione.

IV. – . – = + Anche questa regola e obbligatoria per far sı che in Z continuino a valere

la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e la legge di an-

nullamento del prodotto. Ammettiamo, infatti, che valgano tali proprieta e suppo-

niamo, per esempio, di voler calcolare ð�7Þð�5Þ. Possiamo effettuare i seguenti

passaggi, analoghi a quelli svolti nel caso II:

0 ¼ ð�7Þ � 0 ¼ Legge di annullamento del prodotto

¼ ð�7Þ½ðþ5Þ þ ð�5Þ� ¼ Definizione di opposto

¼ ð�7Þðþ5Þ þ ð�7Þð�5Þ ¼ Proprieta distributiva della moltiplicazione

rispetto all’addizione

¼ ð�35Þ þ ð�7Þð�5Þ Per quanto stabilito nel caso III

In conclusione, abbiamo:

0 ¼ ð�35Þ þ ð�7Þð�5ÞQuindi il prodotto ð�7Þð�5Þ deve necessariamente essere uguale all’opposto di

ð�35Þ, ovvero a þ35:

ð�7Þð�5Þ ¼ þ35

7. Potenze ed espressioni in Z

Potenze in Z

Le definizioni di potenza viste nel Paragrafo 3 si estendono in modo naturale nel

caso in cui la base della potenza sia un numero intero relativo.

Dato un numero intero a e un numero naturale n, la potenza di base a ed espo-

nente n e:

� uguale al prodotto di n fattori uguali ad a se n > 1:

an ¼ a � a � a � . . . � a � a a 2 Z, n 2 N, con n > 1n volte

� uguale a 1, se n ¼ 0 e a 6¼ 0:

a0 ¼ 1 a 2 Z, con a 6¼ 0

� uguale ad a, se n ¼ 1:

a1 ¼ a a 2 Z

ESEMPI Potenze con base negativa

a. ð�3Þ3 ¼ ð�3Þ � ð�3Þ � ð�3Þ ¼ ðþ9Þ � ð�3Þ ¼ �27

b. ð�2Þ4 ¼ ð�2Þ � ð�2Þ � ð�2Þ � ð�2Þ ¼ ðþ4Þ � ðþ4Þ ¼ þ16

c. �24 ¼ �ð2 � 2 � 2 � 2Þ ¼ �16

d. ð�10Þ0 ¼ 1

e. ð�7Þ1 ¼ �7

Osserva che:

� le potenze aventi come base un numero intero e come esponente un numero

naturale pari danno sempre luogo a numeri positivi (perche moltiplicando un

numero pari di fattori uguali si ottiene sempre un numero positivo); per esem-

pio:

ð�2Þ2 ¼ þ4 e ðþ2Þ4 ¼ þ16

� le potenze aventi come base un numero intero e come esponente un numero

naturale dispari danno sempre luogo a numeri che hanno lo stesso segno della

base (perche moltiplicando un numero dispari di fattori uguali si ottiene sem-

pre un numero concorde con i fattori); per esempio:

ð�2Þ3 ¼ �8 e ðþ1Þ3 ¼ þ1

Nota che

ð�2Þ4 6¼ �24

Unita


27

Se m e pari e a > 0 Se m e dispari e a > 0

�að Þm¼ þam það Þm¼ þam

�að Þm¼ �am

Continuano inoltre a valere per le potenze in Z le stesse proprieta studiate nel-

l’insieme N.

ESEMPI Applicazione delle proprieta delle potenze in Z

a. ð�2Þ2 � ð�2Þ3 ¼ ð�2Þ2þ3 ¼ ð�2Þ5 ¼ �32

b. ð�3Þ9 : ð�3Þ6 ¼ ð�3Þ9�6 ¼ ð�3Þ3 ¼ �27

c. ½ð�2Þ3�3 ¼ ð�2Þ3�3 ¼ ð�2Þ9 ¼ �512

Espressioni in Z

Per semplificare espressioni in Z, nello svolgimento delle operazioni si seguono

le stesse priorita gia viste in N.

Particolare attenzione va posta nell’eliminazione delle parentesi; a questo propo-

sito osserviamo che:

� quando una coppia di parentesi e preceduta dal segno �, si possono togliere le

parentesi (e il segno «meno» che precede la prima), pur di riscrivere tutti i ter-

mini all’interno delle parentesi con il segno cambiato;

� quando invece una coppia di parentesi e preceduta dal segno þ, si possono to-

gliere le parentesi (e il segno «piu» che precede la prima), lasciando inalterati i

segni di tutti i termini al loro interno.

Se il primo termine all’interno della parentesi non e preceduto da alcun segno, lo

si deve considerare positivo.

ESEMPI La rimozione delle parentesi

a. ð�2Þ þ ðþ3Þ þ ð�6Þ ¼ �2 þ 3 � 6 ¼ �5

b. ð�2Þ � ðþ3Þ � ð�6Þ ¼ �2 � 3 þ 6 ¼ 1

c. �2 � ½�1 þ ð�3 þ 2Þ� ¼ �2 � ½�1 � 3 þ 2� ¼ Togliendo le parentesi tonde

¼ �2 þ 1 þ 3 � 2 ¼ 0 Togliendo le parentesi quadre

ESEMPI Espressioni in Z

a. 3 � ½ð�6Þ � ð�1Þ5 � ð�3Þ � ð�2Þ2 � ð�1Þ3� ¼¼ 3 � ½ð�6Þ � ð�1Þ � ð�3Þ � ðþ4Þ � ð�1Þ� ¼ Svolgendo le potenze

¼ 3 � ½þ6 � ð�12Þ � ð�1Þ� ¼ Eseguendo le moltiplicazioni

¼ 3 � ½þ6 þ 12 þ 1� ¼ Togliendo le parentesi tonde

¼ 3 � 19 ¼ �16 Svolgendo i calcoli

b. �5 � ½ð�3Þ2 � ð�3Þ4�2 : ½ð�3Þ15 : ð�3Þ5� ¼¼ �5 � ½ð�3Þ6�2 : ð�3Þ10 ¼ Prodotto e quoziente di potenze con la stessa base

¼ �5 � ð�3Þ12 : ð�3Þ10 ¼ Potenza di potenza

¼ �5 � ð�3Þ2 ¼ Quoziente di potenze con la stessa base

¼ �5 � 9 ¼ �14

Le parentesi sono precedute dal segno þ,

percio, togliendole, si mantengono i segni

dei termini al loro interno.

Le parentesi sono precedute dal segno �,

percio, togliendole, occorre cambiare i

segni dei termini al loro interno.

Attenzione!

Per poter applicare la regola,dopo la parentesi di chiusuranon deve comparire unesponente.

TemaA

Inumeri

28

Prova tu

Semplifica le seguenti espressioni.

1. ð�3Þ3 � fð�4Þ2 : ½ð�2Þ2 þ 4� � ½6 � ð�2Þ3� : ð�2Þg [�36]

2. 2 � f½ð�2Þ8 : ð�2Þ7 � ð�4Þðþ3Þ� � ½ð�2Þ4 � ð�2Þ3� : ½ð�2Þ2�3 þ 2g [20]

8. Introduzione al problem solvinge problemi in N e in Z

Capita quotidianamente di imbattersi in situazioni problematiche, per risolvere

molte delle quali puo essere utile ricorrere alla matematica o quantomeno adot-

tare un atteggiamento mentale metodico e rigoroso, simile a quello che si utilizza

in matematica.

Tra gli obiettivi che ci porremo in questo corso ci sara quindi quello di mostrare

come le nozioni via via introdotte possano essere applicate all’attivita di problem

solving, cioe di risoluzione di problemi; particolare attenzione sara prestata alla

formazione di un atteggiamento mentale corretto con cui affrontare tali problemi.

Vogliamo iniziare il nostro percorso mettendo in evidenza i passi fondamentali

in cui e utile scandire la risoluzione di un problema.

1. La «familiarizzazione» con il problema

Consiste in una lettura attenta del testo (che deve essere compreso in ogni sua

parte!) e nell’identificazione dei dati (cioe delle informazioni note) e dell’obiettivo

(cioe della richiesta posta dal problema). A seconda del tipo di problema, puo es-

sere utile strutturare i dati in modi differenti: per esempio in una tabella, oppure

costruendo uno schema opportuno, oppure annotandoli in un grafico o in una

figura ecc.

2. La costruzione del modello matematico del problema

E la fase di formalizzazione del problema in termini matematici, ed e di solito la

piu delicata. Un modello matematico e sostanzialmente una rappresentazione

astratta del problema, tramite strumenti matematici, che ne riassume tutte le

principali caratteristiche. Via via che procederemo nel nostro corso, si ampliera

sempre di piu la gamma di modelli matematici che avremo a disposizione per ri-

solvere i problemi; per esempio, un modello matematico molto elementare di un

problema potrebbe essere un’espressione numerica. Un altro modello matemati-

co fondamentale, che certamente hai gia incontrato nei tuoi studi precedenti e

che riprenderemo nelle prossime Unita, e quello costituito dalle equazioni.

3. La risoluzione del modello matematico

Questa e la fase «del calcolo». A seconda del modello del problema, questa fase

potra consistere in operazioni diverse: per esempio nella semplificazione di un’e-

spressione oppure nella risoluzione di un’equazione.

4. La valutazione della soluzione in relazione al problema e la risposta

La soluzione ottenuta dal modello matematico va valutata in relazione al proble-

ma iniziale, per verificare se e accettabile e interpretarne il significato. Dopo ave-

re effettuato quest’ultima analisi, si e pronti per fornire la risposta al problema.

Affronteremo sempre la risoluzione dei problemi secondo lo schema logico appe-

na esposto; cominciamo con il proporre alcuni semplici problemi risolvibili nel-

l’ambito dei numeri naturali o degli interi relativi che abbiamo trattato in questa

Unita.

ESERCIZI a p. 48

Unita


29

PROBLEMA 1 Tre autobus al capolineaIn una citta, tre autobus, che percorrono rispettivamente la linea A, la linea B e la linea

C, iniziano il loro servizio dallo stesso capolinea alle ore 6 di mattina. L’autobus della li-

nea A ritorna al capolinea ogni 45 minuti, l’autobus della linea B ogni 30 minuti e l’au-

tobus della linea C ogni 25 minuti.

A che ora della giornata i tre autobus si troveranno di nuovo insieme, per la prima volta,

al capolinea?

FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA

Dati

� Gli autobus partono alle 6 di mattina

� L’autobus della linea A torna al capolinea ogni 45 minuti

� L’autobus della linea B torna al capolinea ogni 30 minuti

� L’autobus della linea C torna al capolinea ogni 25 minuti

Obiettivo

� L’ora alla quale gli autobus si trovano tutti insieme, per la prima volta,

al capolinea

COSTRUIAMO UN MODELLO MATEMATICO DEL PROBLEMA

Ci sono molti modi per risolvere il problema. Per esempio, potremmo cercare di risol-

verlo compilando una tabella come la seguente, fino a trovare il primo orario in cui gli

autobus si trovano tutti al capolinea.

Questo metodo, pero, non e molto veloce: infatti, se gli autobus dovessero incontrarsi

per la prima volta molte ore dopo le 6, la compilazione della tabella diventerebbe piut-

tosto lunga.

C’e una strategia piu veloce per risolvere il problema, basata sulla seguente osservazio-

ne: i tre autobus si troveranno insieme al capolinea ogni volta che e trascorso, dalle 6,

un numero di minuti multiplo sia di 45, sia di 30, sia di 25. Dunque, per determinare do-

po quanto tempo si troveranno al capolinea per la prima volta basta determinare il mini-

mo comune multiplo fra 45, 30 e 25.

Abbiamo cosı trovato il modello matematico del nostro problema: in questo caso consi-

ste nel calcolo del minimo comune multiplo fra tre numeri.

SVOLGIAMO I CALCOLI

Scomponiamo in fattori primi 45, 30 e 25:

45 ¼ 32 � 5 30 ¼ 2 � 3 � 5 25 ¼ 52

Quindi:

m.c.m.(45, 30, 25) ¼ 2 � 32 � 52 ¼ 450

INTERPRETIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

La soluzione trovata ha un significato, in relazione al problema, in termini di minuti.

Osserviamo che 450 minuti equivalgono a 7 ore e 30 minuti (infatti dividendo 450 per

60 otteniamo come quoziente 7 e come resto 30). Dunque gli autobus si ritrovano insie-

me al capolinea, per la prima volta, 7 ore e 30 minuti dopo le 6, cioe alle ore 13:30.

Autobus linea A Autobus linea B Autobus linea C

Primo rientro

al capolinea6:45 6:30 6:25

Secondo rientro


Terzo rientro


TemaA

Inumeri

30

PROBLEMA 2 Saldo sul conto correnteIl signor Rossi , prima di partire per le vacanze, ha sul conto corrente 1500 euro. Per la

vacanza di 7 giorni spende 100 euro per il viaggio e 80 euro al giorno per l’albergo. Al ri-

torno dalla vacanza, spende inizialmente la meta di quello che gli resta sul conto per pa-

gare l’affitto, e poi 450 euro per comprare un televisore nuovo. Qual e, alla fine, il saldo

sul conto corrente del signor Rossi?

FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA

Dati

Organizziamo i dati nella seguente tabella:

Obiettivo

� Il saldo finale sul conto corrente

COSTRUIAMO UN MODELLO MATEMATICO DEL PROBLEMA

Il modello matematico del nostro problema e l’espressione numerica che esprime quanto

rimarra sul conto al signor Rossi dopo che questi ha effettuato tutte le spese.

Tenendo presente la tabella dove abbiamo riassunto i dati, appare chiaramente che l’e-

spressione e la seguente:

1500 � ð100 þ 80 � 7Þ � ½1500 � ð100 þ 80 � 7Þ� : 2 � 450

saldo iniziale spese per la vacanza spesa per l;affitto spesa per la TV

SVOLGIAMO I CALCOLI

Risolviamo l’espressione numerica scritta:

1500 � ð100 þ 80 � 7Þ � ½1500 � ð100 þ 80 � 7Þ� : 2 � 450 ¼¼ 1500 � ð100 þ 560Þ � ½1500 � ð100 þ 560Þ� : 2 � 450 ¼¼ 1500 � 660 � ½1500 � 660� : 2 � 450 ¼¼ 1500 � 660 � 840 : 2 � 450 ¼¼ 1500 � 660 � 420 � 450 ¼ �30

INTERPRETIAMO LA SOLUZIONE E RISPONDIAMO

Il risultato ottenuto e negativo: cio significa che il signor Rossi ha speso 30 euro in piu di

cio che aveva sul conto corrente. Concludiamo allora che il saldo sul conto e in passivo

di 30 euro.

Prova tu

1. Anna ha nel portafoglio 180 euro. Compra 3 DVD che costano 15 euro ciascuno, poi

spende un terzo di cio che le resta nel portafoglio per comprare dei libri. Infine presta

la meta di cio che le rimane a un’amica. Scrivi l’espressione che esprime quanti euro

restano ad Anna dopo tutte le spese e calcola quanto le resta. [45 euro]

2. Mario si reca in palestra ogni 6 giorni, Luigi ogni 12 giorni e Paolo ogni 10 giorni. Og-

gi sono tutti e tre in palestra. Fra quanti giorni si incontreranno di nuovo tutti e tre

in palestra? [60 giorni]

Saldo sul conto prima della vacanza 1500

Spesa per la vacanza 100 þ 80 � 7

Spesa per l’affitto ½1500 � ð100 þ 80 � 7Þ� : 2

Spesa per il televisore 450

ESERCIZI a p. 53

Unita


31

MATEMATICA NELLA STORIA

Alla conquista dei numeri

Il concetto di numero naturale

Sebbene oggi ci sembri del tutto naturale usare i numeri (abbiamo imparato fin da piccoli

a eseguire le quattro operazioni), il percorso che ha portato a delineare il concetto di nu-

mero naturale e stato lungo e faticoso.

Inizialmente il concetto di numero era inseparabilmente legato a quello di un oggetto:

«10 alberi», «5 pecore», «6 monete»; solo successivamente si capı che cio che accomuna-

va, per esempio, un insieme di 10 alberi e uno di 10 pecore era semplicemente il numero

«10», indipendentemente dalla natura degli oggetti: nacque cosı il concetto di numero

in senso astratto, che noi oggi utilizziamo comunemente.

Questa faticosa evoluzione e testimoniata anche dal modo di rappresentare i numeri: tra-

mite buchi, tagli e incisioni, utilizzati probabilmente per contare capi di bestiame o beni

di proprieta, in fossili di 30 000 anni fa, fino a giungere alla rappresentazione grafica dei

numeri in senso astratto, dopo l’invenzione di opportuni simboli per rappresentare quel-

le che oggi chiamiamo cifre.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

I numeri da 1 a 59 scritti in babilonese

Anche le operazioni con i numeri nacquero dapprima come operazioni su oggetti; solo

successivamente si capı che la somma di un certo numero di oggetti era indipendente da-

gli oggetti stessi e si passo cosı a eseguire operazioni fra numeri astratti. Altrettanto diffi-

cile fu la conquista dello zero e dei numeri negativi.

Lo zeroL’idea di aggiungere alle cifre 1, 2, 3, ..., 9 un ulteriore simbolo, lo zero appunto, per di-

stinguere numeri quali 35 e 305, nasce con l’introduzione dei moderni sistemi di nume-

razione posizionali. Non vi e tuttavia una datazione certa per questo importante evento,

anche se molto probabilmente si colloca tra il III e il VI secolo d.C. a opera dei matemati-

ci indiani. Dall’India, attraverso la cultura araba, lo zero giunge in occidente grazie a Leo-

nardo Pisano, detto Fibonacci (1170 ca. - 1250 ca.), che lo introduce nel Liber Abaci. Lo

zero, come gia accadeva nei precedenti testi arabi, non veniva pero introdotto subito do-

po le nove cifre ma solo successivamente, quando occorreva segnare un posto vuoto.

La completa parificazione dello zero agli altri numeri e una codifica delle sue regole di

calcolo avviene solo tre secoli piu tardi.

I numeri negativiAnche se si trovano tracce di calcoli con numeri negativi in tavolette babilonesi, presso i

matematici cinesi (alcuni decenni avanti Cristo) e anche nell’Arithmetica di Diofanto (III

secolo d.C), dovettero passare molti secoli perche i numeri negativi venissero pienamen-

te accettati.

TemaA

Inumeri

32

La prima consapevole introduzione dei numeri negativi e dovuta ai matematici indiani

del VI secolo d.C, che svilupparono anche le regole di calcolo per svolgere le operazioni

con essi. In Europa, tuttavia, i numeri negativi fanno la loro comparsa solo molti secoli

piu tardi. In Italia il primo a farne uso e Fibonacci, in relazione a situazioni commerciali,

per indicare debiti.

Durante il Rinascimento persiste una sorta di diffidenza nei confronti dei numeri negati-

vi, come appare anche dai nomi che venivano utilizzati per definirli: Gerolamo Carda-

no nell’Ars magna (1545) li definiva «numeri ficti» (numeri falsi), il matematico tedesco

Stiefel nell’Aritmetica integra (1545) li definiva «numeri absurdi».

I termini «negativo» e «positivo» divengono di uso comune nel XVII secolo; a partire dal

XVIII secolo, l’utilizzo dei numeri negativi si diffonde definitivamente in tutto il mondo.

Si trovano tuttavia esempi di resistenza all’uso dei numeri negativi fino al XIX secolo, an-

che da parte di matematici importanti: per esempio, il matematico francese Blaise Pascal

(1623-1662) non concepiva i numeri minori di zero, cosı come il matematico inglese Au-

gustus de Morgan (1806-1871).

In libreria e in reteRobert Kaplan, Zero. Storia di una cifra, Rizzoli

John D. Barrow, Da zero a infinito, la grande storia del nulla, Mondadori

Hodges Handrew, Il curioso dei numeri. Stranezze matematiche, controversie scientifiche, diva-

gazioni da 1 a 9, Mondadori

www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Numeri.htm

Leonardo Pisano(Fibonacci).

Unita


33

SINTESI E RIEPILOGO

Parole chiave

Addendo p. 5

Algoritmo di Euclide p. 18

Diagramma ad albero p. 13

Differenza p. 7

Dividendo p. 5

Divisione con resto p. 9

Divisore p. 5

Elemento assorbente p. 7

Elemento neutro p. 6

Espressioni numeriche p. 12

Fattore p. 5

Legge di annullamento del prodotto p. 7

Massimo comune divisore p. 16

Minimo comune multiplo p. 16

Minuendo p. 5

Multiplo e divisore p. 14

Numeri concordi p. 20

Numeri discordi p. 20

Numero intero p. 19

Numero naturale p. 4

Numeri primi tra loro p. 17

Numero primo p. 15

Opposto p. 20

Ordine in N p. 4

Potenza p. 10

Precedente p. 4

Problem solving p. 29

Prodotto p. 5

Proprieta associativa p. 6

Proprieta commutativa p. 6

Proprieta distributiva p. 6

Proprieta invariantiva p. 8

Quoziente p. 7

Resto p. 9

Somma p. 5

Sottraendo p. 5

Successivo p. 4

Valore assoluto p. 21

Formule e proprieta importanti

Operazioni interne a N

þ �

Operazioni interne a Z

þ � �

Proprieta commutativa

aþ b ¼ bþ a a � b ¼ b � a

Proprieta associativa

ðaþ bÞ þ c ¼ aþ ðbþ cÞ ða � bÞ � c ¼ a � ðb � cÞ

Proprieta invariantiva

a� b ¼ ðaþ cÞ � ðbþ cÞ a : b ¼ ða � cÞ : ðb � cÞ

Proprieta distributiva

ðaþ bÞ � c ¼ a � c þ b � c a � ðbþ cÞ ¼ a � bþ a � c

Elementi neutri

aþ 0 ¼ 0 þ a ¼ a

a � 1 ¼ 1 � a ¼ a

Opposto

aþ ð�aÞ ¼ 0

Legge di annullamento del prodotto

a � b ¼ 0 se e solo se a ¼ 0 o b ¼ 0

Divisione con resto

a : b ! quoziente q e resto r

! a ¼ b � qþ r, con r < b

Teorema fondamentale dell’aritmetica

Ogni numero naturale maggiore di 1 puo essere scritto in

un unico modo (a parte l’ordine) come prodotto di fattori

primi.

Relazione tra massimo comune divisore

e minimo comune multiplo

M.C.D.(a, b) � m.c.m.(a, b) ¼ a � b

Regola dei segni

ðþÞ � ðþÞ ¼ þ ðþÞ � ð�Þ ¼ �ð�Þ � ðþÞ ¼ � ð�Þ � ð�Þ ¼ þ

Potenza

am ¼ a � a � a � ::: � a a1 ¼ a a0 ¼ 1, se a 6¼ 0m volte

Proprieta delle potenze

am � an ¼ amþn am : an ¼ am�n

ðamÞn ¼ am�n

ða � bÞm ¼ am � bm ða : bÞm ¼ am : bm

Esercizi In più: esercizi interattivi

34

TemaA

Unita 1

35

Unita


1. L’insieme N TEORIA a p. 4

Il concetto di numero naturale

�1 Indica quali dei numeri descritti sono numeri natu-

rali:

a. il numero che esprime la temperatura minima regi-

strata in un certo luogo in una certa giornata

b. l’eta di una persona

c. il numero di una carta di credito

d. il numero di litri di acqua contenuti in una bottiglia

e. il codice di accesso di un bancomat

f. il numero di studenti di una classe

�2 Rappresenta sulla semiretta i seguenti numeri natu-

rali, dopo avere scelto un’unita di misura:

1, 2, 4, 6

O

�3 Associa a ogni punto indicato il numero naturale

corrispondente.

O 2

�4 Completa la tabella sul modello della prima riga.

Numero naturale Precedente Successivo

0 non esiste 1

5 ..... .....

..... 99 .....

..... 1 .....

..... 0 .....

Ordine tra numeri naturali

�5 Vero o falso?

a. esistono cinque numeri naturali minori

di 5 V F

b. esistono sette numeri naturali minori o

uguali a 6 V F

c. esistono 8 numeri naturali maggiori di 1 e

minori di 9 V F

d. esistono 9 numeri naturali maggiori o

uguali a 2 e minori di 10 V F

[2 affermazioni vere e 2 false]

�6 Vero o falso?

a. esistono esattamente nove numeri naturali

minori di 10 V F

b. esistono esattamente dieci numeri naturali

minori o uguali a 9 V F

c. esistono quattro numeri naturali maggiori

di 5 e minori di 10 V F

d. esistono tre numeri naturali maggiori di 10

e minori di 13 V F


�7 Inserisci il simbolo corretto (<, ¼, >Þ.a. 3 ..... 5

b. 0 ..... 1

c. 100 ..... 10

d. 111 ..... 101

�8 Sia n un numero naturale; inserisci il simbolo cor-

retto (<; ¼; >Þ tra i due numeri naturali descritti:

a. successivo di n ..... precedente di n

b. successivo di ðn� 1Þ ..... precedente di ðnþ 2Þc. precedente di ðnþ 1Þ ..... successivo di ðn� 1Þd. precedente di n ..... successivo di ðn� 1Þ

�9 Scrivi tutti i numeri naturali minori o uguali a 10.

�10 Scrivi tutti i numeri naturali maggiori di 5 e minori

di 12.

�11 Trova il piu grande numero naturale n tale che:

a. n � 10 b. n2 < 50 c. n < 1

�12 Trova il piu piccolo numero naturale n tale che:

a. n > 10 b. n2 � 70 c. n � 100

�13 Per ciascuna delle seguenti condizioni, scrivi tutti i

numeri naturali n che la soddisfano:

a. 8 � n � 12

b. 8 < n < 12

c. 8 � n < 12

d. 8 < n � 12

�14 Per ciascuna delle seguenti condizioni, scrivi tutti i

numeri naturali n che la soddisfano:

a. n � 4

b. 3 < n � 7

c. 0 < n < 4

d. 6 � n � 10

�15 Scrivi tutti i possibili numeri naturali, maggiori di

100 e minori di 1000, che hanno cifre tutte distinte, coin-

cidenti con 3, 4 e 5 (per esempio, due numeri di questo ti-

po sono 354 e 435) e ordinali in senso crescente.

�16 Scrivi tutti i possibili numeri naturali, maggiori di

100 e minori di 1000, che hanno cifre tutte distinte, coin-

cidenti con 1, 0 e 2 (per esempio, due numeri di questo ti-

po sono 102 e 201) e ordinali in senso decrescente.

TemaA

Inumeri

36

2. Le operazioni in N TEORIA a p. 5

Esercizi preliminari

�17 Completa le seguenti tabelle.

�18 Poni una crocetta accanto alle operazioni che non sono possibili in N.

�19 Completa la seguente tabella, dove n indica un nu-

mero naturale.�20 Vero o falso?

a. ð6 þ 18Þ : ð2 � 3Þ ¼ 6 : ð3 � 2Þ þ 18 : ð3 � 2Þ V F

b. 18 � 7 � 6 ¼ ð18 � 7Þ � 6 V F

c. 18 � ð7 � 6Þ ¼ ð18 � 7Þ � 6 V F

d. ð24 : 6Þ : 2 ¼ 24 : ð6 : 2Þ V F

e. 10 : ð2 þ 5Þ ¼ 10 : 2 þ 10 : 5 V F

f. 8 : 4 ¼ ð8 þ 2Þ : ð4 þ 2Þ V F


Completa specificando le proprieta applicate a ogni passaggio.

�21 ð1 þ 2Þ þ 3 ¼ 1 þ ð2 þ 3Þ in base alla proprieta ...........................................................................................................................................

�22 ð9 � 6Þ : 3 ¼ 9 : 3 � 6 : 3 in base alla proprieta ...........................................................................................................................................

�23 ð2 � 14Þ : ð2 � 7Þ ¼ 14 : 7 in base alla proprieta ...........................................................................................................................................

�24 2 � ð3 þ 5Þ ¼ 2 � 3 þ 2 � 5 ¼ in base alla proprieta ...........................................................................................................................................

¼ 3 � 2 þ 5 � 2 in base alla proprieta ...........................................................................................................................................

�25 ð2 � 3 þ 4 � 5Þ þ 7 ¼ 2 � 3 þ ð4 � 5 þ 7Þ ¼ in base alla proprieta ....................................................................................

¼ 2 � 3 þ ð7 þ 5 � 4Þ in base alla proprieta ....................................................................................

�26 ð16 � 8Þ : ð16 � 4Þ þ 4 : 4 ¼ ð8 � 16Þ : ð4 � 16Þ þ 4 : 4 ¼ in base alla proprieta ....................................................................................

¼ 8 : 4 þ 4 : 4 ¼ in base alla proprieta ....................................................................................

¼ ð8 þ 4Þ : 4 in base alla proprieta ....................................................................................

Le operazioni con i numeri naturali

�27 Completa in modo da ottenere uguaglianze vere.

a. 3 þ ::::: ¼ 8

b. ::::: � 11 ¼ 19

c. ð::::: � 5Þ � 11 ¼ 1

d. 8 þ ::::: þ 11 ¼ 10 þ 11 þ 12

e. ð30 þ 115Þ : ::::: ¼ 6 þ :::::

f. ð30 � 8Þ : ::::: ¼ 24

g. ::::: : 5 ¼ 0

h. 100 � ::::: ¼ 100

i. 120 � ::::: ¼ 24 � 10

j. ð::::: � 4Þ : 7 ¼ 7 � 4

Operazione Termine Nome Operazione Termine Nome

3 þ 5 ¼ 8 3 addendo 15 : 5 ¼ 3 3 quoziente

3 � 5 ¼ 15 5 .................... 15 � 5 ¼ 10 15 ....................

3 þ 5 ¼ 8 8 .................... 16 : 4 ¼ 4 16 ....................

3 � 5 ¼ 15 15 .................... 15 � 5 ¼ 10 10 ....................

15 : 5 ¼ 3 5 .................... 15 � 5 ¼ 10 5 ....................

5 � 3

5 � 0

8 þ 0

10 � 11

110 : 10

10 � 0

7 : 2

5 : 0

100 � 1000

0 : 5

111 : 10

0 : 1

Uguaglianza Valore di n che soddisfa l’uguaglianza

31 þ n ¼ 0 Esiste: n ¼ ::::: Non esiste

31 � n ¼ 0 Esiste: n ¼ ::::: Non esiste



31 : n ¼ 1 Esiste: n ¼ ::::: Non esiste

31 : n ¼ 0 Esiste: n ¼ ::::: Non esiste

37

Unita


�28 Completa la tabella (se non e possibile eseguire in N una delle operazioni indicate, scrivi: «impossibile in N»).

a b a þ b a � b a � b a : b

15 10 25 5 150 impossibile in N

5 10 ..... ..... ..... .....

10 5 ..... ..... ..... .....

10 0 ..... ..... ..... .....

0 10 ..... ..... ..... .....

1 10 ..... ..... ..... .....

10 1 ..... ..... ..... .....

10 10 ..... ..... ..... .....

�29 Scrivi tutte le possibili addizioni di due numeri na-

turali che danno come somma 5.

�30 Scrivi tutte le possibili moltiplicazioni di due nume-

ri naturali che danno come prodotto 15.

�31 Quadrati magici. In un quadrato magico le somme

dei numeri di ciascuna riga, di ciascuna colonna e di cia-

scuna diagonale devono essere uguali. Completa i se-

guenti quadrati in modo che risultino magici.

1 4 7 12 14

6 7 13 11

10 5 5

13 3 2 9 6 4

�32 Calcolo rapido. Per eseguire mentalmente alcuni

calcoli e utile talvolta applicare le proprieta delle opera-

zioni. In ciascuno degli esempi illustrati qui sotto analiz-

za il procedimento seguito, indicando quali proprieta del-

le operazioni sono state applicate.

a. 124 þ 12 þ 6 þ 28 ¼ ð124 þ 6Þ þ ð12 þ 28Þ ¼¼ 130 þ 40 ¼ 170

b. 13 � 25 � 4 ¼ 13 � ð25 � 4Þ ¼ 13 � 100 ¼ 1300

c. 12 � 26 ¼ ð10 þ 2Þ � 26 ¼ 260 þ 52 ¼ 312

d. 17 � 99 ¼ 17 � ð100 � 1Þ ¼ 1700 � 17 ¼ 1683

�33 Calcolo rapido. Tenendo presente gli esempi dell’e-

sercizio precedente, individua un procedimento per ese-

guire mentalmente in modo rapido le seguenti operazio-

ni, quindi eseguile.

a. 71 þ 66 þ 19 123 � 11 4 � 31 � 5

b. 67 � 7 þ 67 � 3 28 � 30 8 � 23 � 125

c. 44 þ 56 þ 6 þ 34 32 � 25 20 � 71 � 5

La divisione con resto

Dati i numeri naturali a e b, esegui la divisione con re-

sto tra a e b, specificando quoziente q e resto r.

�34 a ¼ 18, b ¼ 2 [q ¼ 9, r ¼ 0]

�35 a ¼ 120, b ¼ 13 [q ¼ 9, r ¼ 3]

�36 a ¼ 112, b ¼ 10 [q ¼ 11, r ¼ 2]

�37 a ¼ 33, b ¼ 5 [q ¼ 6, r ¼ 3]

�38 a ¼ 80, b ¼ 25 [q ¼ 3, r ¼ 5]

�39 a ¼ 550, b ¼ 40 [q ¼ 13, r ¼ 30]

�40 Eseguendo la divisione con resto di due numeri na-

turali a e b; entrambi pari, si trova come quoziente 10 e

come resto 8. Determina quoziente e resto delle seguenti

divisioni, senza effettuarle:

a. ða � 3Þ : ðb � 3Þ b. ða : 2Þ : ðb : 2Þ

�41 Eseguendo una divisione con resto in cui il divisore

e 7, si trova quoziente 3 e resto 5. Qual e il dividendo?

[26]

�42 Eseguendo una divisione con resto in cui il dividen-

do e 85, si trova come quoziente 5 e come resto 10. Qual

e il divisore? [15]

3. Potenze ed espressioni in N TEORIA a p. 10


�43 Indica, fra i seguenti numeri, quali sono potenze di 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

�44 Indica, fra i seguenti numeri, quali sono potenze di 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 27

Completa le seguenti uguaglianze.

�45 2::::: ¼ 16 :::::3 ¼ 125 1000 ¼ ::::: �46 3::::: ¼ 81 16::::: ¼ 16 04 ¼ :::::

TemaA

Inumeri

38

�47 12::::: ¼ 1 72 ¼ ::::: 104 ¼ :::::

�48 112 ¼ ::::: :::::2 ¼ 144 25 ¼ :::::

�49 Vero o falso?

a. 22 þ 26 ¼ 28 V F

b. ð33Þ2 ¼ 39 V F

c. 42 � 48 ¼ 220 V F

d. 43 � 42 ¼ 46 V F

e. 525 : 523 ¼ 25 V F

f. 66 : 63 ¼ 36 V F

[2 sole uguaglianze vere]

Test

�50 42 � 48 ¼ A 416 B 410 C 212 D 216

�51 412 : 44 ¼ A 410 B 412 C 216 D 218

�52 43 � 33� �2¼ A 126 B 129 C 49 � 69 D 169 � 99

�53 217 : 77� �2¼ A 37 B 714 C 349 D 314

�54 Quali sono i passaggi corretti per semplificare l’e-

spressione 2 þ 5 � 32?

A 2 þ 5 � 32 ¼ 2 þ 5 � 9 ¼ 7 � 9 ¼ 63

B 2 þ 5 � 32 ¼ 2 þ 152 ¼ 172 ¼ 289

C 2 þ 5 � 32 ¼ 2 þ 5 � 9 ¼ 2 þ 45 ¼ 47

D 2 þ 5 � 32 ¼ 2 þ 152 ¼ 2 þ 225 ¼ 227


spressione 12 : 22 � 3?

A 12 : 22 � 3 ¼ 62 � 3 ¼ 33

B 12 : 22 � 3 ¼ 12 : 4 � 3 ¼ 12 : 1 ¼ 12

C 12 : 22 � 3 ¼ 12 : 4 � 3 ¼ 3 � 3 ¼ 0

D 12 : 22 � 3 ¼ 9 : 22 ¼ 9 : 4


spressione 12 : 22 � 3?

A 12 : 22 � 3 ¼ 12 : 4 � 3 ¼ 3 � 3 ¼ 9

B 12 : 22 � 3 ¼ 12 : 4 � 3 ¼ 12 : 12 ¼ 1

C 12 : 22 � 3 ¼ 62 � 3 ¼ 36 � 3 ¼ 108

D 12 : 22 � 3 ¼ 6 � 32 ¼ 6 � 9 ¼ 54


�57 ESERCIZIO SVOLTO

Semplifichiamo, applicando le proprieta delle potenze, l’espressione: ð34 � 37Þ2 : 319.

ð34 � 37Þ2 : 319 ¼ Espressione da semplificare

¼ ð311Þ2 : 319 ¼ Prodotto di potenze con la stessa base: 34 � 37 ¼ 34þ7 ¼ 311

¼ 322 : 319 ¼ Potenza di potenza: ð311Þ2 ¼ 311�2 ¼ 322

¼ 33 ¼ Quoziente di potenze con la stessa base: 322 : 319 ¼ 322�19 ¼ 33

¼ 27 Definizione di potenza

Semplifica, applicando le proprieta delle potenze.

�58 210 : 27 [8]

�59 108 : 108 [1]

�60 23� �2

[64]

�61 ð26Þ2 : ð24Þ2 [16]

�62 ð87Þ2 : ð82Þ6 [64]

�63 ð102 � 105Þ : 107 [1]

�64 ð806 : 206Þ : 44 [16]

�65 ð73 � 78Þ : ð75Þ2 [7]

�66 ð1010 � 1012Þ : ð103Þ7 [10]

�67 ð34 � 35Þ2 : ð33Þ5 [27]

�68 ð104 � 106Þ : ð103Þ3 [10]

�69 ð357 : 77Þ2 : ð54Þ3 [25]

Semplifica, applicando le proprieta delle potenze. La-

scia il risultato sotto forma di potenza.

�70 ð23Þ2 [26]

�71 109 � 108 [1017]

�72 ð105Þ7 [1035]

�73 210 � 27 [217]

�74 ð915 : 913Þ3 [96]

�75 ð99 � 96Þ2 � ð95Þ5 [955]

�76 ð213 � 211Þ : ð23Þ2 [218]

�77 ð330 : 317Þ � ð34Þ3 [325]

�78 ð510 � 517Þ : ð53Þ5 [512]

�79 ð35 � 55Þ3 : ð154Þ2 [157]

�80 ð24 � 34Þ5 : ð183 : 33Þ4 [68]

�81 ð7100 : 790Þ � ð74Þ3 [722]

�82 ð1018 � 1011Þ2 : ð106 � 107Þ3 [1019]

�83 ð518 : 511Þ2 � ð517 : 512Þ3 [529]

Completa in modo da ottenere uguaglianze corrette.

�84 25 � 2::::: ¼ 211

�85 210 : 2::::: ¼ 23

�86 ð23Þ:::::

¼ 212

�87 28 � 2::::: ¼ ð25Þ2

�88 519 : 5::::: ¼ 25

�89 ð2:::::Þ2 ¼ 64

�90 ð56 : 52Þ:::::

¼ 520

�91 ð10:::::

: 108Þ4 ¼ 108

�92 ð75 � 7:::::Þ : 713 ¼ 49

�93 ESERCIZIO GUIDATO

Semplifica, applicando le proprieta delle potenze, l’espressione: 814 : 96.

� Le potenze che compaiono nell’espressione hanno basi diverse, 81 e 9, quindi le proprieta delle potenze non sono im-

mediatamente applicabili.

� Osserva tuttavia che sia 81 sia 9 sono potenze di 3:

81 ¼ 34 e 9 ¼ 32

Quindi puoi riscrivere l’espressione in modo che entrambe le potenze abbiano base 3:

814 : 96 ¼ ð34Þ4 : ð32Þ6

� Ora puoi semplificare l’espressione ð34Þ4 : ð32Þ6, applicando le ordinarie proprieta delle potenze.

Riscrivi l’espressione in modo da fare comparire po-

tenze aventi tutte la stessa base, quindi semplifica ap-

plicando le proprieta delle potenze.

�94 1004 : 103 [105]

�95 812 : ð32Þ3 [9]

�96 1254 : 255 [25]

�97 10003 : 1004 : 10 [1]

�98 495 � 73 : ð76Þ2 [7]

�99 322 � 164 : 410 [64]

�100 1252 � 54 : 253 [54]

�101 ð53 � 23Þ4 : 1005 [100]

�102 ð24 � 34Þ2 : 363 [36]

�103 ð813 � 92 : 3Þ2 : ð37Þ3 [39]

�104 Esprimi come potenza di 2:

a. il doppio di 220

b. la meta di 220

c. il quadrato di 220

d. il quadruplo di 220

e. il doppio del cubo di 220

�105 Esprimi come potenza di 3:

a. il triplo di 312

b. il triplo del quadrato di 312

c. il quadrato di 312

d. il cubo di 312

e. il quadrato del cubo di 312

Espressioni in N


Semplifichiamo le espressioni:

a. 2 � 32 � 8 : 22 þ 5 � 4 b. 92 : 3 � 2 þ 62 � 2 : 3

Ricordiamo che in un’espressione priva di parentesi le operazioni vanno svolte in quest’ordine: elevamenti a potenza, poi

moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui compaiono, infine addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui compaiono.

a. 2 � 32 � 8 : 22 þ 5 � 4 ¼ Espressione data

¼ 2 � 9 � 8 : 4 þ 5 � 4 ¼ Eseguendo gli elevamenti a potenza

¼ 18 � 2 þ 5 � 4 ¼ Eseguendo moltiplicazioni e divisioni

¼ 17 Eseguendo addizioni e sottrazioni

b. 92 : 3 � 2 þ 62 � 2 : 3 ¼ Espressione data

¼ 81 : 3 � 2 þ 36 � 2 : 3 ¼ Eseguendo gli elevamenti a potenza

¼ 27 � 2 þ 72 : 3 ¼ Poiche le moltiplicazioni e le divisioni vanno eseguite nell’ordine in cui compaiono, nel primoaddendo abbiamo eseguito prima la divisione e nel secondo prima la moltiplicazione

¼ 54 þ 24 Eseguendo la moltiplicazione e la divisione

¼ 78 Eseguendo l’addizione

Semplifica le seguenti espressioni prive di parentesi.

�107 2 � 32 þ 5 � 10 : 2 [18]

�108 42 : 8 þ 2 � 3 þ 100 : 10 [18]

�109 24 : 8 þ 22 � 1 � 2 [5]

�110 2 � 5 þ 18 : 9 � 14 : 7 þ 2 � 32 [28]

�111 52 � 42 : 2 � 4 � 2 [9]

�112 18 � 15 : 5 � 35 : 7 þ 4 � 23 [42]

�113 125 : 52 þ 122 : 6 � 2 � 32 [44]

�114 3 þ 32 � 2 � 20 : 5 : 2 [19]

�115 90 : 9 : 2 þ 90 � 2 : 9 þ 90 : 9 � 2 [45]

�116 122 � 22 : 32 þ 122 : 22 � 3 � 122 : 22 : 3 [160]

�117 812 : 92 � 36 : 3 � 2 � 36 : 2 � 3 [3]

�118 125 : 5 � 2 þ 122 : 24 � 23 � 122 : 32 : 2 [90]

Unita


39

TemaA

Inumeri

40

�119 Inserisci, se necessario, le parentesi in modo da otte-

nere uguaglianze vere:

a. 6 þ 6 : 2 þ 2 � 2 ¼ 22

b. 6 þ 6 : 2 þ 2 � 2 ¼ 2

c. 6 þ 6 : 2 þ 2 � 2 ¼ 7

d. 6 þ 6 : 2 þ 2 � 2 ¼ 16

�120 Inserisci, se necessario, le parentesi in modo da otte-

nere uguaglianze vere:

a. 24 : 6 þ 2 � 3 ¼ 10

b. 24 : 6 þ 2 � 3 ¼ 9

c. 24 : 6 þ 2 � 3 ¼ 2

d. 24 : 6 þ 2 � 3 ¼ 18


Semplifichiamo l’espressione: 26� f70� ½8 � 22 � 5þ 2 � ð1þ 2 � 32Þ�g.

In un’espressione in cui sono presenti parentesi, le operazioni vanno svolte prima all’interno delle parentesi tonde, poi al-

l’interno delle quadre e infine all’interno delle graffe.

All’interno di ciascuna parentesi le precedenze sono quelle solite delle operazioni (prima gli elevamenti a potenza, poi le

moltiplicazioni e le divisioni, infine le addizioni e le sottrazioni).

26 � f70 � ½8 � 22 � 5 þ 2 � ð1 þ 2 � 32Þ�g ¼ Espressione data

¼ 26 � f70 � ½8 � 22 � 5 þ 2 � ð1 þ 2 � 9Þ�g ¼ Calcolando la potenza dentro le tonde

¼ 26 � f70 � ½8 � 22 � 5 þ 2 � ð1 þ 18Þ�g ¼ Eseguendo la moltiplicazione dentro le tonde

¼ 26 � f70 � ½8 � 22 � 5 þ 2 � 19�g ¼ Eseguendo l’addizione dentro le tonde

¼ 26 � f70 � ½8 � 4 � 5 þ 2 � 19�g ¼ Calcolando la potenza dentro le quadre

¼ 26 � f70 � ½32 � 5 þ 38�g ¼ Eseguendo le moltiplicazioni dentro le quadre

¼ 26 � f70 � 65g ¼ Eseguendo le addizioni e le sottrazioni dentro le quadre

¼ 26 � 5 ¼ 21 Eseguendo le sottrazioni

Semplifica le seguenti espressioni con parentesi.

�122 80 � 2 � ½15 : 5 þ 3 � ð4 � 52 � 92Þ � 52� [10]

�123 ½ð7 � 5Þ2 þ ð4 � 3Þ2�2 � 9n o

: 4 [4]

�124 25 � ð2 þ 5Þ � 3 þ 25 � 5 � ð4 þ 1Þ � 12 : 6 [2]

�125 ½24 : ð2 þ 3 � 2Þ þ 100 : ð22 þ 42Þ� � ð120 : 10Þ [96]

�126 ð2 þ 24 : 6Þ : 3 þ 42 : ð22 � 3 þ 4Þ þ 8 � 6 [5]

�127 ½ð5�50 : 25Þ � ð100 : 10�62 : 9Þ� ð5 �22 �17Þ� : 5 [3]

�128 ð3 � 9 � 18 : 6Þ � ð4 � 3 � 25 : 5Þ [17]

�129 3 � 9 � ð18 : 6 þ 4 � 3Þ � 144 : 12 : 6 [10]

�130 12 � 15 : 3 � ½120 : 10 : 2 � ð7 � 5Þ� [3]

�131 ½ð7 � 5Þ2 þ 5�2 : 9 : 3 þ 150 : ð6 � 3 � 3Þ [13]

�132 ð64 : 8 � 2 � 64 : 8 : 2Þ2 � ½24 : ð8 � 2 � 64 : 8 : 2Þ�[142]


Semplifichiamo le seguenti espressioni:

a. f½ð34 � 36Þ : 39 � 30� � ð22Þ3g : 25 b. ð507 : 257Þ2 : ð28 : 7Þ2 : 83

a. f½ð34 � 36Þ : 39 � 30� � ð22Þ3g : 25 ¼¼ f½310 : 39 � 30� � 26g : 25 ¼ Prodotto di potenze di uguale base e potenza di potenza

¼ f½31 � 1� � 26g : 25 ¼ Quoziente di potenze di uguale base e potenza con esponente nullo

¼ f2 � 26g : 25 ¼ Calcolo della differenza dentro le parentesi quadre

¼ 27 : 25 ¼ Prodotto di potenze di uguale base

¼ 22 ¼ 4 Quoziente di potenze di uguale base e definizione di potenza

b. ð507 : 257Þ2 : ð28 : 7Þ2 : 83 ¼¼ ½ð50 : 25Þ7�2 : ð28 : 7Þ2 : 83 ¼ Quoziente di potenze con lo stesso esponente

¼ ð27Þ2 : 42 : 83 ¼ Eseguendo le divisioni tra le parentesi tonde

¼ 214 : 42 : 83 ¼ Potenza di potenza

¼ 214 : 24 : 29 ¼ Riscrivendo tutte le potenze in base 2

¼ 210 : 29 ¼ Eseguendo la prima divisione, mediante le proprieta del quoziente di potenze con la stessa base

¼ 2 Eseguendo la seconda divisione

Calcola il valore delle seguenti espressioni in N, applicando, ovunque possibile, le proprieta delle potenze.

�134 f½ð23 � 25Þ : 26 � 20� � ð32Þ3g : 35 [9]

�135 f½ð23Þ5 : 211 � 32 � 22�5 � 39g : ð36Þ2 [9]

�136 ½ð62Þ3 : 64 � 1� : 5 � ð211 � 23Þ : 213 � 20 [4]

�137 ð32 � 26 : 24 � 1Þ � 40 þ 23 � ð32 � 35Þ2 : ð32Þ6 [3]

�138 12 : ð32 � 26 : 23 þ 20Þ � 10 : ½ð52Þ0 � 52 � 22 � 5� [4]

�139 Rapido ½ð815 : 46Þ : 210 � ð310 : 34Þ2 : ð36Þ2� 28:26:22�20ð Þ

[1]

Unita


41

�140 ð32 þ 22 þ 52 � 42Þ : 2 þ ð57 � 511Þ2 : ð55Þ7 � ð43 � 46Þ : 216 [12]

�141 f½ð22 � 25Þ : 26 þ ð33 � 3Þ2 : 36 � 23� � 311g : ð33Þ3 � 52 � 50 [1]

�142 fð33 � 32 þ 3 � 30Þ : ½ð24Þ2 : ð22Þ3�g � ½ð27 � 28Þ : 213� � 10 [10]

�143 ½ð32 � 24 : 22Þ2 � 510� : ð55Þ2 � ð5 � 2Þ4 : ½ð105 � 104Þ : 105� � 10 � 110 [14]

�144 f½ð3 � 22 � 5Þ � 75� : 74 � ½ð2 � 32 � 13Þ4 � 52� : ð52Þ2g : ½60 þ 57 : ð53Þ2� [4]

�145 ½82 � ð23 � 83Þ2� : 218n o2

: ð84 � 82Þ � 84 : ð25Þ2 � ð517 : 512Þ2 : 58 [35]

�146 ½812 : 35 � ð34 � 81Þ : 36� : ½ð917 � 92Þ � 36� : ð97Þ3n o

[2]

�147 ð28 : 26 � 2Þ2 � ð23 � 25Þ2 : 214 þ ð1252 : 54 � 5 � 22Þ2 � 216 : ð23Þ4 [9]

�148 ½ð37 : 34 � 35Þ2 : ð34 � 37 : 39Þ6� : 9 � 211 : ð24Þ2 [1]

�149 ½ð155 : 55Þ2 : 38�5 : 37 � 52n o11

: ½ð24 � 26Þ3 : ð222 � 20Þ� [8]

�150 ½ð32 � 22Þ5 : 68� � ½ð163Þ2 : ð25Þ4� � 29n o

: 45 � ð24 � 52Þ0 [27]

�151 ½ð164 : 85Þ17 : 214�5 : 46 � 22n o11

: ½ð25 � 27Þ2 : ð22 � 24Þ� [16]

�152 ½ð56 : 8Þ4 � 79� : ð35 : 5Þ11 � ð35 : 7Þ2n o7

: ð243Þ2 � 7 � ð220 þ 330Þ [10]

�153 Rapido ½ð324 : 312 : 33 : 32 : 3Þ : ð323 : 312 : 33 : 32 : 3Þ� : ½ð324 � 214 � 24 � 22Þ : ð323 � 214 � 24 � 22Þ� [1]

�154 310 � ð34Þ9

ð319Þ2:

99 � ð94Þ2

ð97Þ2

" #2

� 211 � ð25Þ10

ð220Þ2:

410 � ð45Þ3

ð48Þ2

" #2

(Suggerimento: ricorda che una linea di frazione rappresenta una divisione) [17]

�155 ð5 þ 50 þ 52Þ11

½ð7 � 5 � 22Þ5�2� ð50 þ 33Þ : ½ð73 � 74Þ : ð72Þ3�

( )10

: ð314Þ2 [9]

Dalle parole alle espressioni e viceversa

Completa le seguenti traduzioni in linguaggio naturale dell’espressione indicata.

�156 22 þ 33 La somma del quadrato di .......... e del .......... di ..........

�157 10 � ð5 � 2Þ Il prodotto fra .......... e .......... fra .......... e 2

�158 ð1 þ 4Þ3 : 52 Il quoziente fra il cubo della .......... di 1 con 4 e il .......... di 5

�159 102 � 7 � 8 La .......... fra il quadrato di .......... e il .......... fra 7 e 8

Traduci le seguenti espressioni in linguaggio corrente.

�160 102 þ 73

�161 103 � 72

�162 ð22 � 53Þ3

�163 ð55 : 25Þ � 53

�164 ð102 � 103Þ : 1002

�165 2 � 53 � 3 � ð152 : 3Þ


Traduciamo in espressioni numeriche le seguenti frasi:

a. «Dividere per 4 la differenza fra 22 e 6».

b. «Elevare al quadrato la differenza fra il cubo di 3 e il cubo di 2».

a. Traduciamo passo a passo le parole in espressioni numeriche.

«La differenza fra 22 e 6» ! 22 � 6

«Dividere per 4 la differenza fra 22 e 6» ! ð22 � 6Þ : 4

Ovviamente il valore dell’espressione e 4.

Nota. L’uso della parentesi nell’espressione ð22� 6Þ : 4 e essenziale: infatti l’espressione 22� 6 : 4 non traduce la frase data ma la frase: «Sot-trarre da 22 il quoziente fra 6 e 4».

b. Procediamo analogamente all’esempio precedente.

«Il cubo di 3» ! 33

«Il cubo di 2» ! 23

«La differenza fra il cubo di 3 e il cubo di 2 ! 33 � 23

«Elevare al quadrato la differenza fra il cubo di 3 e il cubo di 2» ! ð33 � 23Þ2

Traduci le seguenti frasi in espressioni numeriche e calcolane il valore.

�167 Sottrarre dal cubo della differenza fra 10 e 5 il quo-

ziente fra 35 e 7. Dividere quindi il risultato ottenuto per

il quoziente tra il quadrato di 16 e il cubo di 4. [30]

�168 Calcolare la somma tra il quadrato di 28 e il doppio

del cubo di 25. Dividere quindi la somma ottenuta per la

meta del quadrato del cubo di 8. [1]

�169 Sottrarre dal quoziente fra 121 e 11 il doppio della

differenza fra 18 e 15. Determinare quindi il quoziente

tra il cubo del quadrato della differenza ottenuta e il qua-

drato di 25. [25]

�170 Calcolare il prodotto tra il quadruplo di 24 e il qua-

drato di 26. Dividere quindi il prodotto ottenuto per il cu-

bo del quadrato della meta di 24. [1]

4.Multipli e divisori TEORIA a p. 14


�171 Vero o falso?

a. 12 e un multiplo di 4 V F

b. 18 e un multiplo di 4 V F

c. 4 e un divisore di 12 V F

d. 121 e divisibile per 11 V F

e. 12 e un divisore di 18 V F

f. 36 e un multiplo di 12 V F



a. un numero pari puo essere primo V F

b. esistono due numeri primi consecutivi V F

c. tutti i numeri primi sono dispari V F

d. tutti i numeri dispari sono primi V F

[2 sole affermazioni vere]

Test

�173 Quale dei seguenti numeri e primo? A 53 B 55 C 51 D 31

�174 Quale dei seguenti numeri non e primo? A 7 B 29 C 39 D 1004

�175 Quale dei seguenti numeri e divisibile per 3? A 22 B 222 C 2222 D 22 222

�176 Quale dei seguenti numeri e multiplo di 4? A 1121 B 1122 C 1123 D 1124

�177 Quale delle seguenti affermazione e falsa?

A Fra i numeri pari ci sono tutti i multipli di 8.

B I multipli di 8 sono tutti pari.

C Tra i multipli di 8 ci sono tutti i numeri pari.

D Ci sono numeri pari che sono multipli di 8.

E Ci sono numeri pari che non sono multipli di 8.

�178 Completa le seguenti fattorizzazioni.

a. 220 ¼ 22 � 10 ¼ ::::: � 11 � ::::: � ::::: ¼ 2:::: � ::::: � :::::

b. 114 ¼ 57 � ::::: ¼ 3 � ::::: � :::::c. 1010 ¼ 505 � ::::: ¼ ::::: � 5 � :::::d. 88 ¼ 44 � 2 ¼ 4 � ::::: � 2 ¼ 2

:::: � :::::e. 900 ¼ 9 � ::::: ¼ 9 � ::::: � 4 ¼ 2

:::: � 3:::: � 5

::::

f. 1050 ¼ 50 � ::::: ¼ 25 � ::::: � ::::: � ::::: ¼ 2 � 3 � 5:::: � 7

�179 Completa la seguente tabella, sul modello della prima riga.

Numeri Scomponi infattori primi

M.C.D. m.c.m.

12

30

12 ¼ 22 � 3

30 ¼ 2 � 3 � 5

prodotto dei fattori primi comunicon esponente minimo

21 � 31 ¼ 6

prodotto dei fattori primi comuni enon comuni con esponentemassimo

22 � 31 � 51 ¼ 4 � 3 � 5 ¼ 60

48

36

48 ¼ ...............

36 ¼ ...............

............................................................................... ...............................................................................

40

45

15

40 ¼ ...............

45 ¼ ...............

15 ¼ ...............

............................................................................... ...............................................................................

�180 Spiega perche

a. Considera il numero 5 � 7 � 13 � 17 e, senza eseguire calcoli, spiega perche non puo essere divisibile per 29.

b. Considera il numero 5 � 7 � 13 � 87. Si puo affermare, come nel caso precedente, che non e divisibile per 29?

TemaA

Inumeri

42

Multipli, divisori e criteri di divisibilita

�181 Scrivi tutti i divisori di: 7, 14, 18 (sono sei), 24 (sono otto), 100 (sono nove).

�182 Scrivi:

a. tutti i multipli di 4 minori di 30

b. tutti i multipli di 11 minori di 100

c. tutti i multipli di 3 maggiori o uguali a 6 e minori di 20

d. tutti multipli di 5 maggiori di 9 e minori o uguali a 40

�183 Scrivi tutti i numeri, multipli sia di 2 sia di 3, compresi tra 20 e 60, non divisibili per 5.

�184 Completa la seguente tabella.

Numero E divisibile per 2? E divisibile per 3? E divisibile per 4? E divisibile per 5? E divisibile per 6?

1005 ..... ..... ..... ..... .....

846 ..... ..... ..... ..... .....

232 ..... ..... ..... ..... .....

1101 ..... ..... ..... ..... .....

1020 ..... ..... ..... ..... .....

�185 Ricordando i principali criteri di divisibilita, stabili-

sci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a. 1133 e multiplo di 3 V F

b. 1062 e divisibile per 3 V F


d. 9 e un divisore di 999 V F

e. 1212 e multiplo di 2 V F

f. 555 e divisibile per 5 V F

[1 sola affermazione falsa]

�186 Scrivi tutte le possibili cifre che possono essere scrit-

te al posto del simbolo � in modo che il numero 34 � 5 � 1

sia divisibile per 3.

�187 Determina tutti i possibili numeri di quattro cifre,

aventi cifra delle decine uguale a 5 e cifra delle migliaia

uguale a 4, divisibili per 6.

�188 Spiega perche O il precedente o il successivo di un

numero primo maggiore o uguale a 5 e sempre divisibile

per 6.

Scomposizione in fattori primi

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.

�189 40, 18, 175 [23 � 5, 2 � 32, 52 � 7]

�190 92, 32, 44

�191 64, 70, 63 [26, 2 � 5 � 7, 32 � 7]

�192 55, 50, 75

�193 120, 62, 52 [23 � 3 � 5, 2 � 31, 22 � 13]

�194 550, 142, 58

�195 60, 102, 72 [22 � 3 � 5, 2 � 3 � 17, 23 � 32]

�196 600, 580, 68

�197 1200, 1008 [24 � 3 � 52, 24 � 32 � 7]

�198 1010, 2025

�199 Fra i seguenti numeri, scomposti in fattori primi, individua quali sono quadrati o cubi, precisando di quale numero

sono il quadrato o il cubo:

26 � 32 23 � 36 22 � 33 29 � 33 � 52 28 � 32 � 54 24 � 36 � 52

�200 Utilizzando la scomposizione in fattori primi, stabilisci se il numero 6750 e divisibile per i seguenti numeri: 60,

135, 150, 162, 225.

(Suggerimento: per stabilire, per esempio, se 6750 e divisibile per 135, scomponi 6750 e 135 in fattori primi: 6750 sara di-

visibile per 135 se e solo se tutti i fattori primi di 135 compaiono nella scomposizione di 6750 con esponenti maggiori o

uguali a quelli con cui compaiono nella scomposizione di 135.)

�201 Utilizzando la scomposizione in fattori primi, stabilisci se il numero 1008 e divisibile per i seguenti numeri: 56, 84,

108, 112, 672.

�202 Dopo aver scomposto in fattori primi il dividendo e il divisore, determina il quoziente delle seguenti divisioni, uti-

lizzando le proprieta delle potenze.

a. 735 : 21 b. 1512 : 84 c. 3402 : 63

Unita


43


Calcoliamo il valore della seguente espressione, utilizzando le proprieta delle potenze: 367 : ð9 � 24Þ4.

Apparentemente, non possiamo utilizzare le proprieta delle potenze: tuttavia, scomponendo 36, 9 e 24 in fattori primi ot-

teniamo un’espressione equivalente cui e possibile applicare tali proprieta.

367 : ð9 � 24Þ4 ¼ ð22 � 32Þ7 : ð32 � 23 � 3Þ4 ¼ Scomponendo in fattori 36, 9 e 24

¼ ð22 � 32Þ7 : ð23 � 33Þ4 ¼ Prodotto di potenze con la stessa base

¼ ð214 � 314Þ : ð212 � 312Þ ¼ Potenza di un prodotto e potenza di potenza

¼ 22 � 32 ¼ 214 : 212 ¼ 214�12 ¼ 22 e 314 : 312 ¼ 314�12 ¼ 32

¼ 4 � 9 ¼ 36

Calcola il valore delle seguenti espressioni, applicando le proprieta delle potenze.

�204 5402 : ð25 � 81Þ [144]

�205 ð184 � 24Þ : 363 [54]

�206 ð82 � 363Þ : 244 [9]

�207 ð52 � 453Þ : ð154 � 3Þ [15]

�208 7203 : ð32 � 54Þ2 [125]

�209 ð125 : 32 : 243Þ8 : 82 [4]

�210 ð812 � 543 � 2Þ : ð18 � 9Þ4 [3]

�211 46 : ð484 : 722Þ [4]

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

Calcola il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti gruppi di

numeri.

�212 44, 11, 110 [M.C.D. ¼ 11, m.c.m ¼ 220]

�213 60, 90, 150 [M.C.D. ¼ 30, m.c.m ¼ 900]

�214 20, 40, 84 [M.C.D. ¼ 4, m.c.m ¼ 840]

�215 35, 49, 70 [M.C.D. ¼ 7, m.c.m ¼ 490]

�216 36, 72, 126 [M.C.D. ¼ 18, m.c.m ¼ 504]

�217 12, 66, 60 [M.C.D. ¼ 6, m.c.m ¼ 660]

�218 55, 100, 25 [M.C.D. ¼ 5, m.c.m. ¼ 1100]

�219 144, 24, 60 [M.C.D. ¼ 12, m.c.m. ¼ 720]

�220 30, 33, 35 [M.C.D. ¼ 1, m.c.m. ¼ 2310]

�221 30, 33, 15 [M.C.D. ¼ 3, m.c.m. ¼ 330]

�222 110, 120, 130 [M.C.D. ¼ 10; m.c.m. ¼ 17 160]

�223 110, 121, 55 [M.C.D. ¼ 11; m.c.m. ¼ 1210]

�224 Rapido 3, 9, 3456 [M.C.D ¼ 3; m.c.m ¼ 3456]

�225 44, 24, 80, 100 [M.C.D. ¼ 4; m.c.m. ¼ 13 200]

�226 15, 25, 125, 150 [M.C.D. ¼ 5; m.c.m. ¼ 750]

�227 48, 60, 72, 132 [M.C.D. ¼ 12; m.c.m. ¼ 7920]

�228 132, 990, 891 [M.C.D. ¼ 33; m.c.m. ¼ 17 820]

�229 396, 1254, 297 [M.C.D. ¼ 33; m.c.m. ¼ 22 572]

Completa in modo da ottenere uguaglianze corrette (il

completamento non e unico).

�230 M.C.D.(12, .....) ¼ 6 m.c.m.(12, .....) ¼ 60

�231 M.C.D.(4, 20, .....) ¼ 1 m.c.m.(12, 10, .....) ¼ 180

�232 Il massimo comune divisore fra due numeri e 2 e il

minimo comune multiplo e 60. Sapendo che uno dei due

numeri e 12, determina l’altro. [10]

�233 Il minimo comune multiplo fra due numeri e 90 e il

massimo comune divisore e 3. Sapendo che uno dei due

numeri e 6, determina l’altro. [45]

�234 Il prodotto di due numeri e 864 e il loro minimo co-

mune multiplo e 72. Qual e il loro massimo comune divi-

sore? [12]

�235 E possibile che esistano due numeri il cui prodotto

sia 124 e il cui massimo comune divisore sia 4?

�236 Siano a, b e c tre numeri naturali non nulli.

a. Verifica, con opportuni esempi, che in generale

M.C.D.ða, b � cÞ 6¼ M.C.D.ða, bÞ � M.C.D.ða, cÞb. Sai trovare una condizione su a, b e c che garantisca

la validita della seguente uguaglianza?

M.C.D.ða, b � cÞ ¼ M.C.D.ða, bÞ � M.C.D.ða, cÞ

Esercizi riassuntivi sui numeri naturali

�237 Test

a. Quale proprieta giustifica l’uguaglianza 300 : 25 ¼ 60 : 5?

A Commutativa B Associativa C Distributiva della divisione D Invariantiva

b. Quale uguaglianza esprime la proprieta distributiva della divisione?

A ðaþ bÞ : c ¼ a : c þ b : c B a : b ¼ ða : cÞ : ðb : cÞ C a : ðbþ cÞ ¼ a : bþ a : c D a : b ¼ ða � cÞ : ðb � cÞ

c. Quale delle seguenti espressioni non e definita?

A 04 B 40 C ð20 � 1Þ0 D ð22 � 1Þ0

TemaA

Inumeri

44

�238 Scrivi tutti i numeri di tre cifre, aventi come cifra delle unita 1 e come cifra delle decine 2, che sono divisibili per 3.

[Sono tre]

�239 Dopo aver scomposto 110 in fattori primi, determina tutti i suoi divisori. [I divisori sono otto]

�240 Determina massimo comune divisore e minimo comune multiplo tra 36, 216, 315.

[M.C.D. ¼ 9; m.c.m. ¼ 7560]

�241 Poni i seguenti numeri in ordine crescente (senza utilizzare la calcolatrice!): 168, 420, 3210, 816.


�242 ½ð57 � 58Þ : 513�2n o3

: 510 � ð228 : 217Þ0 þ ½ð52 � 42Þ4 : ð32Þ4�10 [25]

�243 ð8 � 4Þ11 : 165 � 1h i17

: 814 � 100

� �44

: 28 � ð24Þ3h i2

[16]

�244 ½ð55 � 56 : 57Þ : ð59 : 57Þ2 þ 22�10 : 254n o4

: 1252 [25]

�245 210 � ð24Þ9

ð219Þ2:

49 � ð44Þ2

ð47Þ2

" #3

� 311 � ð35Þ10

ð320Þ2:

911 � ð95Þ3

ð98Þ2

" #2

[55]

�246 Rapido ð104 � 103 � 102 � 10 � 100Þ0 þ ½ð1017 : 215 : 516Þ : ð1016 : 215 : 516Þ�2 [101]

�247 ½ð4322 : 123 : 9Þ4 � 123� : 1443 [12]


�248 2:::: � 23 : 25� �

� 311 : 3::::� �

¼ 81

�249 3:::: � 35 : 37� �

� 210 : 2::::� �

¼ 32

�250 Di due numeri si sa che il primo e il triplo del quadrato di 35 e il secondo e il cubo del cubo di 3. Qual e il quoziente

tra il quadruplo della somma e la differenza dei due numeri? [5]

�251 Determina il piu grande numero naturale n tale che ðn6 : n2Þ < 150. [n ¼ 3]

5. L’insieme Z TEORIA a p. 19

Numeri interi e loro rappresentazionisulla retta

�252 Quanti sono gli interi negativi maggiori di �8?

�253 Quanti sono gli interi compresi tra �2 e 4, esclusi

�2 e 4?

�254 Rappresenta sulla retta i seguenti numeri interi, do-

po avere scelto un’unita di misura:

�3, �2, þ1, þ4

O

�255 Associa a ciascun punto indicato il numero corri-

spondente.

O 1

Valore assoluto, numeri concordie discordi


a. i numeri �7 e þ8 sono discordi V F

b. M.C.D.ð12, 21Þ ¼ j � 3j V F

c. esistono due interi discordi che hanno

valore assoluto uguale a 10 V F

d. i numeri j�7j e þ8 sono discordi V F

e. esistono esattamente 9 interi compresi fra

�8 e 1, inclusi �8 e 1 V F


Test

�257 Quale delle seguenti affermazioni e falsa?

A Due numeri che hanno lo stesso segno si dicono

concordi.

B Due numeri sono discordi se e solo se uno e positivo

e l’altro e negativo.

C Due numeri che hanno segno diverso si dicono op-

posti.

D Il valore assoluto di un numero e sempre positivo o

nullo.

Unita


45


Numero Opposto Valore assoluto

�3 ..... .....

þ4 ..... .....

�1 ..... .....

�6 ..... .....

þ2 ..... .....

�8 ..... .....

�259 Completa:

j � 3j þ j � 5j ¼ :::::::::: j � 6j � j � 5j ¼ :::::::::: j � 11j � j þ 5j ¼ ::::::::::


a b jaj jbj Opposto di a Opposto di b a e b sonoconcordi?

a e b sonodiscordi?

�3 þ2 ..... ..... ..... ..... ..... .....

�4 �1 ..... ..... ..... ..... ..... .....

þ4 þ6 ..... ..... ..... ..... ..... .....

þ1 �1 ..... ..... ..... ..... ..... .....

�261 Scrivi:

a. due numeri interi discordi il cui valore assoluto sia

maggiore di 10;

b. due numeri interi negativi aventi valore assoluto

maggiore di 10;

c. due interi concordi il cui valore assoluto sia minore

di 10.

�262 Scrivi:

a. due numeri interi concordi il cui valore assoluto sia

minore di 10;

b. due numeri interi discordi che abbiano lo stesso va-

lore assoluto;

c. due numeri interi, concordi con �4, il cui valore as-

soluto sia compreso fra 5 e 10.

�263 Scrivi tutti i numeri interi il cui valore assoluto e mi-

nore o uguale a 4.

�264 Scrivi tutti i numeri interi m tali che 5 < jmj � 10.

Ordinamento degli interi

�265 Ordina in senso crescente i seguenti numeri:

�2, �7, þ2, 0, þ3, �9

�266 Ordina in senso decrescente i seguenti numeri:

�3, �11, þ12, 0, þ3, �9, �7, þ8

Completa inserendo il simbolo opportuno (< , ¼ , >).

�267 j � 2j ::::: þ 3

�268 �3 ::::: � 4

�269 �11 ::::: 0

�270 �13 ::::: j � 12j

�271 j � 8j ::::: j � 9j

�272 j18 � j � 10jj ::::: m.c.m.(2, 8)

�273 M.C.D.(12, 18) ..... j � 3j

�274 j � 10j ::::: m.c.m.ð4, 5, 6Þ

�275 M.C.D. ðj � 12j, 15Þ ::::: j � 10j � 7

Siano a e b due numeri interi tali che jaj < jbj, a < 0 e

b > 0. Inserisci il simbolo opportuno (< , ¼ , >).

�276 a ::::: b

�277 jaj ::::: a

�278 jbj ::::: jaj

�279 �a ::::: b

�280 b ::::: � jbj

�281 �b ::::: � a

�282 jbj ::::: b

�283 �jaj ::::: b

�284 Indichiamo con a un generico numero intero non

nullo. Rispondi alle seguenti domande.

a. Il numero rappresentato da �a puo essere positivo?

Se sı, in quale caso?

b. Il numero rappresentato da �jaj puo essere positi-

vo? Se sı, in quale caso?

c. Il numero rappresentato da j�aj puo essere negati-

vo? Se sı, in quale caso?

TemaA

Inumeri

46

6. Le operazioni in Z TEORIA a p. 22


�285 Associa a ogni operazione della prima colonna il

suo risultato.

A. ð�5Þ � ð�5Þ a. þ1

B. �5 � ðþ5Þ b. 0

C. ð�5Þ � ð�5Þ c. þ25

D. ð�5Þ � ðþ5Þ d. �10

E. ð�5Þ : ð�5Þ e. �25

Test

�286 Quale delle seguenti uguaglianze non e corretta, in

base alla definizione di sottrazione?

A 3 � 3 ¼ 3 þ ð�3ÞB a� ð�aÞ ¼ a� a

C þ6 � ð�6Þ ¼ þ6 þ 6

D �a� ð�aÞ ¼ �aþ ðþaÞ


a. se il prodotto di due fattori e negativo, allora i due fattori sono discordi V F

b. se il prodotto di tre fattori e negativo e due di essi sono concordi, allora il fattore rimanente deve essere

negativo V F

c. se il prodotto di tre fattori e positivo e uno di essi e positivo, gli altri due devono essere positivi V F

d. se il prodotto di tre fattori e negativo e uno di essi e negativo, gli altri due devono essere concordi V F

e. se il prodotto di quattro fattori e positivo e due di essi sono concordi, gli altri due possono essere discordi V F


Addizioni e sottrazioni

Esegui le seguenti addizioni.

�288 þ2 þ ð�3Þ �2 þ ð�4Þ þ10 þ ðþ8Þ 0 þ ð�3Þ

�289 �8 þ ðþ5Þ þ10 þ ð�20Þ �4 þ ð�5Þ þ8 þ ð�31Þ

�290 �8 þ ð�5Þ þ ðþ4Þ ð�5Þ þ 0 þ ð�2Þ �1 þ ðþ1Þ þ ð0Þ �1 þ ð�5Þ þ ð�4Þ

�291 Completa in modo da ottenere uguaglianze corrette.

þ10 þ ð::::::::Þ ¼ �5 �9 þ ð::::::::Þ ¼ 1 �3 þ ð::::::::Þ þ ð�4Þ ¼ þ6

�5 þ ð::::::::Þ ¼ 0 10 þ ð::::::::Þ ¼ 0 �2 þ ð::::::::Þ þ ð�6Þ ¼ �5

Esegui le seguenti sottrazioni.

�292 �3 � ðþ4Þ þ2 � ð�5Þ �7 � ð�2Þ þ10 � ðþ6Þ

�293 �3 � ðþ8Þ �10 � ð�15Þ �1 � ðþ9Þ þ20 � ðþ30Þ

�294 þ4 � ðþ5Þ � 1 �4 � ðþ1Þ � 9 �5 � ðþ6Þ � 4 �12 � ðþ11Þ � 8


þ9 � ð::::::::Þ ¼ 10 �9 � ðþ11Þ ¼ �9 þ ð::::::::Þ 1 � ð�1Þ ¼ 1 þ ð::::::::Þ�3 � ð::::::::Þ ¼ 0 �10 � ð::::::::Þ ¼ 5 :::::::: � ð�8Þ ¼ 5

Moltiplicazioni e divisioni

Esegui le seguenti moltiplicazioni.

�296 ð�3Þ � ðþ3Þ ð�2Þ � ð�6Þ ðþ4Þ � ð�3Þ

�297 ð�2Þ � ðþ4Þ ð�5Þ � ð�2Þ ð�4Þ � ð�5Þ

�298 ðþ3Þ � ð�3Þ � ð�10Þ ð�7Þ � ðþ3Þ � ð�1Þ ð�8Þ � ð�3Þ � ð�2Þ

�299 ð�6Þ � ðþ2Þ � ð�10Þ ð�2Þ � ð�6Þ � ð�3Þ ðþ4Þ � ð�1Þ � ðþ8Þ

�300 ð�1 � 4Þ � ð�1 þ 3Þ � ð�5Þ ð�5 þ 7Þ � ð�3 � 4Þ � ðþ10Þ ð�6 � 3Þ � ð�3 � 0Þ � ð�1 � 1Þ


ð�8Þ � ð::::::::Þ ¼ þ16 ð�5Þ � ð::::::::Þ ¼ �5 ð�3Þ � ð::::::::Þ � ðþ5Þ ¼ �30

ð::::::::Þ � ðþ10Þ ¼ �10 ð�20Þ � ð::::::::Þ ¼ 0 ð�3Þ � ð::::::::Þ � ðþ5Þ ¼ þ45

Esegui le seguenti divisioni.

�302 ð�9Þ : ðþ3Þ ð�12Þ : ð�6Þ ðþ8Þ : ð�2Þ

�303 ð�14Þ : ðþ7Þ ð�15Þ : ð�5Þ ð�16Þ : ð�4Þ

Unita


47

�304 ðþ16Þ : ð�8Þ : ð�2Þ ð�30Þ : ðþ3Þ : ð�5Þ ð�100Þ : ðþ25Þ : ð�5Þ

�305 ðþ36Þ : ð�4Þ : ðþ3Þ ðþ130Þ : ðþ13Þ : ð�2Þ ð�300Þ : ð�3Þ : ð�25Þ

�306 ð�2 � 14Þ : ð�4 þ 2Þ : ð�1Þ ðþ20 � 5Þ : ð�4 þ 1Þ : ð�5Þ ðþ100 � 4Þ : ð�4 þ 1Þ : ð�1 � 1Þ


:::::::: : ð�5Þ ¼ þ5 ð�9Þ : ð::::::::Þ ¼ þ3 ð�10Þ : ð::::::::Þ ¼ �10

ð�10Þ : ð::::::::Þ ¼ þ10 ð�4Þ : ð::::::::Þ ¼ 1 ð::::::::Þ : ð�10Þ ¼ �10

Esercizi vari sulle operazioni in Z

�308 Completa la seguente tabella; se non e possibile eseguire in Z una delle operazioni indicate, scrivi: «impossibile

in Z».

a b a þ b a � b b� a a � b a : b b : a a � ða � bÞ b � ðb� aÞ�6 �3 �9 �3 þ3 þ18 þ2 impossibile in Z þ18 �9

�12 þ3 :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

�2 �4 :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

þ7 þ9 :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

þ15 �5 :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

�309 Il prodotto di due numeri interi e �15 e la loro som-

ma e 2. Determina una coppia di numeri interi che soddi-

sfano queste condizioni. Ci sono altre coppie?

�310 Il prodotto di due numeri interi e 32 e la loro som-

ma e �12. Determina una coppia di numeri interi che

soddisfano queste condizioni. Ci sono altre coppie?

�311 Il prodotto di due numeri interi e �18; se si aggiun-

ge 2 a ciascuno dei due numeri si ottengono due numeri

la cui somma e 1. Determina una coppia di numeri interi

che soddisfano queste condizioni. Ci sono altre coppie?

�312 Determina una terna di numeri interi che soddisfi

contemporaneamente le seguenti condizioni:

a. il prodotto dei tre numeri e 120;

b. il prodotto del minore e del maggiore e �30;

c. la somma del minore dei tre numeri e del numero

intermedio e �10.

La terna che soddisfa queste condizioni e unica?

�313 a. Siano a e b due numeri interi; sapendo che

a � b > 0, possiamo stabilire qual e il segno di a e qual e

il segno di b?

b. Siano a e b due numeri interi; sapendo che a � b > 0

e aþ b < 0, possiamo stabilire qual e il segno di a e

qual e il segno di b?

�314 a. Siano a e b due numeri interi; sapendo che

a : b ¼ �1, possiamo stabilire il valore di aþ b?

b. Siano a e b due numeri interi; sapendo che a : b ¼ 0,

possiamo stabilire il valore di aþ b?

7. Potenze ed espressioni in Z TEORIA a p. 27



�315 ð�3Þ::::: ¼ 1

�316 ð:::::Þ0 e una scrittura priva di significato

�317 ð:::::Þ3 ¼ �8

�318 ð�4Þ::::: ¼ þ16

�319 ðþ10Þ::::: ¼ 1

�320 ð:::::Þ1 ¼ �10

�321 ð�8Þ::::: ¼ �512

�322 ðþ5Þ::::: ¼ þ5

Test

�323 ð�100Þ17 e:

A positivo B nullo

C negativo D uguale a 10017

�324 ð�54Þ16 e:

A positivo B nullo

C negativo D uguale a �5416

�325 ð�34Þ5 ¼A 345 B �345

C ð�34Þ2 � 343 D 342 � 343

�326 ð�2Þ4h i2

¼

A 216 B 28 C �28 D �216

�327 ð�2Þ7 : ð�2Þ4 ¼A 8 B �8 C 4 D non e eseguibile in Z

�328 ð�2Þ2 � ð�2Þ4 ¼A 32 B 64 C �32 D �64

TemaA

Inumeri

48

Potenze in Z


Calcoliamo i valori delle seguenti potenze:

a. ðþ3Þ2; b. ð�2Þ3; c. ð�1Þ4; d. ðþ10Þ0; e. ð�100Þ1 f. ½�ð�2Þ3�2

a. ðþ3Þ2 ¼ ðþ3Þðþ3Þ ¼ þ9 Definizione di potenza con esponente positivo

2 volte

b. ð�2Þ3 ¼ ð�2Þð�2Þð�2Þ ¼ ðþ4Þð�2Þ ¼ �8 Definizione di potenza con esponente positivo

3 volte

c. ð�1Þ4 ¼ ð�1Þð�1Þð�1Þð�1Þ ¼ ðþ1Þðþ1Þ ¼ þ1 Definizione di potenza con esponente positivo

4 volte

d. ðþ10Þ0 ¼ 1 Definizione di potenza con esponente nullo

e. ð�100Þ1 ¼ �100 Definizione di potenza con esponente uguale a 1

f. ½�ð�2Þ3�2 ¼ ½�ð�8Þ�2 ¼ ½þ8�2 ¼ 64 Calcolando prima la potenza tra parentesi tonde e poi quella tra parentesi quadre

Calcola i valori delle seguenti potenze.

�330 ðþ2Þ4, ð�3Þ2, ðþ2Þ0, ð�10Þ1, ð�1Þ3 [16, 9, 1, �10, �1]

�331 ð�2Þ3, ðþ3Þ2, ð�3Þ3, ð�2Þ4, 1000

�332 ð�1Þ4, ðþ2Þ2, ðþ3Þ3, ð�2Þ6, 91 [1, 4, 27, 64, 9]

�333 ð�10Þ3, ðþ2Þ5, 60, ð�4Þ2, ð�10Þ4

�334 ðþ3 � 8Þ2, ð�4 þ 6Þ2, ð�2 � 1Þ3 [25, 4, �27]

�335 ð�3 � 5Þ2, ð�4 þ 3Þ2, ð�9 � 8Þ0

�336 ð�2 � 8Þ2, ð�2 þ 10Þ2, ð�6 � 4Þ3 [100, 64, �1000]

�337 ðþ13 � 18Þ1, ð�3 � 3Þ2, ðþ7 � 2Þ2

�338 ½�ð�2Þ2�2, ½�ð�1Þ3�2, ½�ð�2Þ3�2 [16, 1, 64]

�339 ½�ð�2Þ2�3, ½�ð�1Þ2�3, ½�ð�3Þ2�2


a �a a2 �a2 ð�aÞ2

�5 :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

�1 :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

þ3 :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::


a �a a3 �a3 ð�aÞ3

�3 :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

�1 :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

þ2 :::::::::: :::::::::: :::::::::: ::::::::::

�342 Senza calcolare le seguenti potenze inserisci, al posto dei puntini, il simbolo opportuno ð<, ¼, >Þ.ð�3Þ17

::::: 0

ð1999Þ0::::: 0

ð�5Þ18::::: 0

�317::::: 0

�518::::: 0

�ð�3Þ17::::: 0

01999::::: 0

ð10 � 99Þ99�10::::: 0



Calcoliamo, applicando le proprieta delle potenze:

a. ð�5Þ7 : 55 b. ð�3Þ12 : 39 c. ð�27Þ3 � ðþ3Þ2 : ð�9Þ5

a. Non possiamo utilizzare subito le proprieta delle po-

tenze, perche i quozienti da calcolare non sono fra po-

tenze che hanno la stessa base. Per poterci ricondurre

all’utilizzo delle proprieta delle potenze, conviene de-

terminare separatamente segno e valore assoluto del

quoziente:

� il dividendo, ð�5Þ7, e negativo e il divisore, 55, e po-

sitivo, quindi per la regola dei segni il quoziente sara

negativo;

� il valore assoluto del quoziente sara dato evidente-

mente dall’espressione 57 : 55, ottenuta da quella

originaria trasformando la base negativa in positiva.

Pertanto:

ð�5Þ7 : 55 ¼ �ð57 : 55Þ ¼ �52 ¼ �25

b. Ragioniamo come nel caso precedente. Osserviamo

che sia dividendo sia divisore sono positivi, quindi il

quoziente sara positivo; il valore assoluto dell’espressio-

ne sara dato da 312 : 39.

ð�3Þ12 : 39 ¼ þð312 : 39Þ ¼ þ33 ¼ 27

c. Osserva che due termini dell’espressione ,ð�27Þ3 e

ð�9Þ5, sono negativi mentre il termine restante, ðþ3Þ2,

e positivo, quindi il risultato sara positivo; il valore as-

soluto dell’espressione, ottenuto trasformando le basi

negative in positive, sara dato da 273 � 32 : 95; quindi:

ð�27Þ3 � ðþ3Þ2 : ð�9Þ5 ¼ þð273 � 32 : 95Þ ¼

¼ ð33Þ3 � 32 : ð32Þ5 ¼ 39 � 32 : 310 ¼ 39þ2�10 ¼ 3

Unita


49

Calcola cercando di ricondurti all’applicazione delle

proprieta delle potenze.

�344 ð�2Þ11 : 28 [�8]

�345 211 : ð�2Þ8 [8]

�346 ð�3Þ8 : 37 [3]

�347 ð�7Þ35 : 733 [�49]

�348 ð�5Þ7 � 52 [�59]

�349 ð�10Þ20 : 1017 [1000]

�350 1020 : ð�10Þ19 [�10]

�351 ð33Þ5 : ð�3Þ12 [27]

�352 ð�4Þ7 : ð42Þ3 [�4]

�353 ð�4Þ12 : ð43Þ3 [64]

�354 412 : ð�43Þ3 [�64]

�355 ð�4Þ10 : ð44Þ2 [16]

�356 ð�4Þ8 : ½ðþ2Þ3�4 [16]

�357 ð�125Þ3 : ð�25Þ4 [�5]

�358 ð�27Þ4 : ½ð�3Þ5�2 [9]

�359 ð�49Þ3 : ðþ7Þ5 [�7]

�360 ð�2Þ10 : ð�2Þ8 � ðþ2Þ2 [16]

�361 ð�3Þ11 : ðþ3Þ9 � ðþ3Þ2 [�81]

�362 ð�81Þ4 � ðþ3Þ3 : ð�3Þ16 [27]

�363 ð�4Þ4 � ð�2Þ10 : ð�16Þ3 [�64]

�364 ð�125Þ7 : ð�25Þ10 � ð�5Þ2 [�125]

�365 ½ð�10Þ3�2 � ð�100Þ6 : ðþ1000Þ5 [1000]


�366 ð�11Þ70 : ð�11Þ::::: ¼ 121 ð�25Þ6 : ð�5Þ:::: ¼ 25

�367 ð�7Þ4ð�2Þ4 ¼ ðþ14Þ::::: :::::31 � ð�2Þ4 ¼ 16

�368 ½ð:::::Þ6�5 ¼ 0 ð�35Þ6 : ðþ7Þ6 ¼ ð:::::Þ6

�369 ð�2Þ6 � ðþ4Þ3 ¼ ðþ2Þ::::: ½ðþ2Þ4�::::: ¼ 46

�370 ð�3Þ5 � ::::: ¼ ðþ15Þ5 ½ð�6Þ3�::::: ¼ 1

Espressioni numeriche in Z


Semplifichiamo:

ð�2þ 5Þ � ð�5þ 7Þ þ ð�3� 1Þ � ð�3þ 2Þ

� 1� modo

Eseguiamo preliminarmente i calcoli dentro le parentesi tonde, poi togliamo le parentesi.

ð�2 þ 5Þ � ð�5 þ 7Þ þ ð�3 � 1Þ � ð�3 þ 2Þ ¼¼ ðþ3Þ � ðþ2Þ þ ð�4Þ � ð�1Þ ¼ Eseguendo i calcoli dentro le parentesi tonde

¼ þ3 � 2 � 4 þ 1 ¼ Attenzione ai segni!

¼ þ4 � 6 ¼ �2

� 2� modo

Togliamo subito le parentesi, senza effettuare i calcoli indicati all’interno.

ð�2 þ 5Þ � ð�5 þ 7Þ þ ð�3 � 1Þ � ð�3 þ 2Þ ¼¼ �2 þ 5 þ 5 � 7 � 3 � 1 þ 3 � 2 ¼ Attenzione ai segni!

¼ þ13 � 15 ¼ �2

Semplifica le seguenti espressioni in cui compaiono addizioni e sottrazioni tra numeri interi.

�372 ð�2 þ 3Þ � ð�1 � 6Þ þ ð�8 þ 4Þ � ð�7 þ 4Þ [7]

�373 ð�4 þ 3Þ þ ð�2 � 3Þ � ð�6 þ 4Þ � ð�8 þ 5Þ [�1]

�374 ðþ4 � 3Þ � ðþ2 � 3Þ þ ð�6 � 4Þ � ð�9 þ 5Þ [�4]

�375 �ð�1 � 8Þ þ ð�6 � 3Þ � ð�8 þ 6Þ þ ð�7 þ 8Þ [3]

�376 ð�5 þ 4Þ � ð�12 þ 13Þ � ð�8 þ 10Þ � ð�9 þ 19Þ � ð�6 � 1Þ [�7]

�377 1 � ½�2 þ ð1 � 4Þ � ð�7 þ 5Þ� [4]

�378 2 � ð�1 þ 3Þ þ ð�6 þ 4Þ � ½ð�3 þ 4Þ � ð�7 þ 5Þ þ ð�2 � 1Þ� [�2]

�379 ð�1 þ 3Þ � ð�2 � 1Þ þ ½3 � ð�1 þ 4Þ � ð�5 þ 3Þ� � ð�1Þ [8]

�380 ð�2 þ 3Þ � ð�3 þ 1Þ � ½4 � ð�1 þ 4Þ � ð�3 þ 3Þ� þ ð�1Þ [1]

�381 ð�1 � 2Þ þ ð�2 � 3Þ � ½3 � ð�1 þ 4Þ þ ð�5 þ 3Þ þ ð�8 þ 9Þ� � ð�1 � 2Þ [�4]

TemaA

Inumeri

50


Semplifichiamo l’espressione:

½ð�3Þ2 þ ð�3Þ3� : ð�3Þ � ½6� ð�2� 1Þ�

½ð�3Þ2 þ ð�3Þ3� : ð�3Þ � ½6 � ð�2 � 1Þ� ¼¼ ½ðþ9Þ þ ð�27Þ� : ð�3Þ � ½6 � ð�2 � 1Þ� ¼ Calcolando le potenze

¼ ½9 � 27� : ð�3Þ � ½6 þ 2 þ 1� ¼ Togliendo le parentesi tonde dentro le quadre e cambiando,dove necessario, i segni

¼ ½�18� : ð�3Þ � ½þ9� ¼ Svolgendo le addizioni e le sottrazioni dentro le parentesi quadre

¼ þ6 � 9 ¼ �3 Eseguendo la divisione e la sottrazione

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, elevamenti a potenza e divisioni tra

numeri interi.

�383 ½ð�2Þ � ð�2Þ2 � ð�3Þ3� : ð�7Þ [�3]

�384 ð�3Þ2 � ½�3 � ð�3Þ3� : ð�3Þ [17]

�385 ½ð�9Þ2 : ð�3Þ � ð�4Þ2 : ð�2Þ þ ð�5Þð�3Þ�3 [�64]

�386 ½ð�10Þ2 þ ð�10Þ� : ð�3Þ2 � ½ð�10Þ2 � ð�10Þ� : ð�11Þ [20]

�387 ½ð�1Þðþ3Þð�2Þ � ð�2Þð�3Þð�1Þ�2 � ½ð�1Þðþ3Þð�2Þ þ ð�2Þð�3Þð�1Þ�2 [144]

�388 ð�100Þ : ½ð�6Þ � ðþ2Þ � ðþ5Þ � ð�4Þ þ ð�3 þ 1Þ � ð�1Þ� [�10]

�389 ½ð�2Þ2 þ ð�2Þ3� : ð�4Þ þ ½10 � ð�3 þ 1Þ2 � ð�2 � 1Þ� [23]

�390 f10 � 2 � ½ð�1 þ 3Þð�2 � 1Þ � ð�3Þðþ2Þð�2Þ � ð�2Þ3�g : ð�10Þ [�3]

�391 fð�100Þ : ½ð�8Þ � ðþ3Þ � ðþ5Þ � ð�4Þ � 6� þ ð�3Þ3 þ ð�2Þ4g3 [�1]

�392 fð�100Þ : ½ð�6Þ � ðþ2Þ þ 2� þ ð�50Þ : ½þ25 þ ðþ5Þ � ð�4Þ�g � ð�2Þ [0]

�393 ½ð�4Þ � ð�3Þ � ð�2Þð�1Þ� : 5 � ð�3 þ 1Þ � ½ð�2 þ 3Þ � ð�1 þ 4Þð�2 � 1Þ� [22]

�394 ½ðþ4Þ � ð�3Þ � ð�2Þð�4Þ� � ð�2Þ � ð�4 þ 1Þ : ½ð�3Þ2 þ 3ð�2 þ 4Þð�1 � 1Þ� [39]

�395 ½ð�6 � 2Þ2 : ð�3 � 1Þ þ ð�7 � 3Þ : ðþ5Þ þ ð�2Þ2� � ½ð�4 þ 3Þð�3 þ 2Þ � 4� [42]

�396 ð�4Þ � ð�3Þ � ½ð�12Þ � ð�2Þ � 4� : 5 � ð�4 þ 2Þ � ½ð�1 þ 4Þ � ð�2 � 1Þ þ 11� [12]

�397 ðþ3Þ � ð�4Þ � ½ð�2Þð�1Þð�3Þ � ð�3 þ 1Þ� � ½ð�2Þðþ3Þ � ð�2Þ þ ð�1Þð�3Þðþ2Þ� [�4]

Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando, ovunque possibile, le proprieta delle potenze.

�398 ½ð�2Þ6 � ð�2Þ4�2 : ½ð�2Þ30 : ð�2Þ27�5 [�32]

�399 ð�12Þ2 : ð�4Þ þ ð�12Þ10 : ½ð�12Þ2 � ð�12Þ3�2 [�35]

�400 ½ð�4Þ11 � ð�4Þ8� : ð�4Þ17 þ ð�4Þ13 : ½ð�4Þ6�2 [12]

�401 fð�21Þ2 : ð�7Þ2 þ ½ð�21Þ3�2 : ð�21Þ5g : ð�2Þ2 [�3]

�402 ð�18Þ5 : ð�9Þ5 � ð26 � 46Þ : 85 þ ½ð�9Þ10 � ð�9Þ6� : ½ð�9Þ3�5 [15]

�403 ½ð�2Þ2 � ð�2Þ5�3 : ð�2Þ17 þ ð�12Þ : ð�2Þ2 [13]

�404 ð�3Þ2 � ð�3Þ0 � ½ð�2Þ13 � ð�2Þ9� : ½ð�2Þ6�3 [�8]

�405 ð�2Þ2 : ð�2Þ þ ð�3Þ2 � ½ð�2Þ2 � ð�2Þ6� : ð�2Þ5 [15]

�406 �2 � ½�1 � ð�2Þ2� þ ð�3Þ6 : ð�3Þ3 þ 6 � ð�2Þðþ3Þ0 [�16]

�407 ð�2Þ2 � ð�2Þðþ3Þ þ ð�2Þ7 : ð�2Þ4 � ½ð�2Þ8 � ð�2Þ2� : ð�2Þ7 [10]

�408 ½ð�2Þ2 þ ð�3Þ� � ð�1Þ þ ½ðþ3Þ3 � ð�3Þ8� : ð�3Þ9 þ ½ð�2Þ3�2 : ð�2Þ4 [�6]

�409 ð�12Þ : ½ð�3Þ2 þ ð�2Þ7 : ð�2Þ4 þ ð�2Þ0� � ½ð�2Þ10ð�2Þ3� : ð�2Þ11 [�10]

�410 f½�2 � ð�2Þ2 � ð�2Þ3� � 210g : ð23Þ3 � ½ð�3Þ3 � ð�3Þ11� : ½ð�3Þ6�2 [�5]

�411 ð�2Þð�3Þ � f½�1 � ð�3Þ4 : ð�3Þ3�2 � 27g : 26 þ ð�2Þ7 : ð�2Þ3 � ð�2Þ0 [þ13]

�412 ð�2Þ3 þ ð�3Þ10 : ð�3Þ8 � ð�2Þ2 þ ½ð�2Þ6ð�2Þ4� : ð�2Þ7 þ 32 þ ð�3Þ0 [�1]

Unita


51

�413 �ð�1Þ þ ð�3Þ9 : ð�3Þ7 � ð�1 þ 2 � 3Þ þ ½ð53 � 510Þ2 : 524� : 5 þ ð�2Þð�3Þ [þ23]

�414 ½ð�3Þ7 : ð�3Þ3�2 : ð�81Þ2 þ ð�3Þ8 : ð�3Þ6 [10]

�415 ½ð�25Þ2 � ð�125Þ�4 : ½ð�5Þ9�3 � ð�5Þ2 � ð�5Þ3 [95]

�416 ½ð�16Þ4 : ð�32Þ3�5 � ð�2Þ3n o2

: ð�6Þ2 [16]

�417 j22 � 23j4 : ð�2Þ8 � ð22 � 23Þ4 : ð�2Þ7 [3]

�418 ½ð47 � 48Þ : 413�2n o3

: ð�4Þ12 þ ½ð�2Þ28 : 217�0 þ �½ð52 � 42Þ5 : ð�3Þ10�n o11

[1]

�419 ½ð�20Þ9 : ð�20Þ5�2 : ½ð�10Þ4�2n o

: ð�2Þ6 þ ½ð�21Þ5 : ðþ7Þ5�2 : ð�3Þ7 [�23]

�420 ð�102Þ7 � 1028h i

: ð�102Þ14n o

: ð�3Þ � ð�5Þ2 � �ð�5Þ6h i2

� �: ½�ð�25Þ3�2 [9]

�421 ð�20Þ : ð�5Þ þ ð�12Þ : ðþ3Þ þ ð�20Þ : ð�10Þ½ �9�ð�2Þ10n o

: �ð�2Þ3h i5

[16]

�422 j � 1j � j � 1j � j � 1j3 � j � 1j2� �2

�2j�1jþj�1j2þj�1j3� �10

: ð�5Þðþ2Þ þ ð�7Þð�2Þ½ �4n o2

[16]

Traduci le seguenti frasi in espressioni e calcolane il valore.

�423 Calcolare il quoziente tra la somma di �8 con �2 e

la differenza tra 2 e 7. [þ2]

�424 Calcolare il quoziente tra la somma del quadrato di

�2 con il cubo di �2 e la differenza tra 10 e 14. [þ1]

�425 Dividere la somma di �3 e �13 per il quadrato di

�2; aggiungere poi �5 al risultato ottenuto. [�9]

�426 Sottrarre dall’opposto di �5 l’opposto della differen-

za tra l’opposto di 6 e l’opposto di �5. [�6]

�427 Moltiplicare l’opposto dell’opposto di �2 per l’op-

posto di �2. Dividere il prodotto ottenuto per �4 ed ele-

vare il quoziente che ne risulta alla decima potenza. Mol-

tiplicare quindi il risultato per il quadrato della somma

del cubo di �2 con il quadrato di �2. [16]

Esercizi riassuntivi sui numeri interi


a. i numeri �7 e �8 sono concordi V F

b. il valore assoluto di �7 e 7 V F

c. �8 > �7 V F

d. j � 2j þ j � 3j ¼ j þ 1 þ 4j V F

e. esistono esattamente 9 interi negativi maggiori o uguali a �8 V F


Test

�429 Sia x un numero intero negativo ed n 2 N, con n � 1; poni una crocetta sulla casella che esprime il segno corretto

dell’espressione.

a. ð�xÞ2n positivo negativo dipende da n

b. x2nþ1 positivo negativo dipende da n

c. ð�xÞ2nþ1 positivo negativo dipende da n

d. x2n positivo negativo dipende da n

e. j � xjn positivo negativo dipende da n

f. ð�jxjÞ3n positivo negativo dipende da n

g. ð�jxjÞ4n positivo negativo dipende da n

�430 Senza calcolare le seguenti potenze, completa ponendo il simbolo corretto (< , ¼ , >Þ:

�431 Poni le seguenti potenze in ordine crescente: ð�4Þ3, ð�2Þ7, ð�16Þ2, ð�2Þ9, dopo averle riscritte in forma equivalente

in modo che compaiano potenze aventi tutte la stessa base.


�432 ½ j � 5 � 15j : ð�2Þ2 � ð�5Þ0�8 : ½ð�2Þ5�3 [�2]

�433 ½ðþ3Þ10 : ð�3Þ5� : ð�3Þ2 þ ð�10Þ � ð�2Þn o10

: ð�7Þ8 [49]

�434 ½ð�3Þ8ð�3Þ4� : ½ð�3Þ2�5 � ð�2Þ11 : ð�2Þ8 þ ð�5Þ7 : ½ð�5Þ2ð�5Þ5�n o

: ð�3Þ [�6]

j � 2j6 ::::: ð�2Þ6

j � 2j5 ::::: ð�2Þ5

ð�2Þ3::::: ð�3Þ3

ð�122Þ47::::: 0

ð�12Þ90::::: 0

ð�2Þ0::::: ð�3Þ0

TemaA

Inumeri

52

�435 Rapido ½ð�3Þ11 : ð�3Þ6 : ð�3Þ2 þ ðþ3Þ11 : ð�3Þ6 : ð�3Þ2� � ½ð�2Þ11 � ð�2Þ3 : ð�2Þ10 þ ð�2Þ7 : ð�2Þ5� [0]

�436 ½ð�1 � 2Þ2 � 10�3 � ð�2Þ10 : ð�2Þ6 : ð�2Þ2n o11

: ð�25Þ5 [5]

�437 Determina il numero da aggiungere alla differenza tra �2 e l’opposto del quadrato di �3 per ottenere come risultato

il quadrato della somma dell’opposto di –5 con la meta del quadrato di �4. [162]

�438 Determina una terna di numeri interi che soddisfi le seguenti condizioni:

a. il minore e il maggiore dei tre numeri sono concordi e hanno somma uguale a �10;

b. il prodotto del numero intermedio e del numero maggiore e 12;

c. il numero intermedio ha valore assoluto uguale a 4.


8. Introduzione al problem solving e problemi in N e in Z TEORIA a p. 29

Problemi sulle operazioni in N e in Z

�439 Una temperatura di �12 �C sale di 10 gradi, poi

scende di 6 gradi e infine risale di 2 gradi. Qual e la tem-

peratura finale? [�6 �C�

�440 Un ascensore parte dal quinto piano. Sale di 6 piani,

poi scende di 5, sale di 4 e infine scende di altri 3. A quale

piano si trova alla fine? [Il settimo]

�441 I biglietti per un concerto vengono mandati ai ne-

gozi incaricati alla vendita in lotti da 200; i biglietti in-

venduti vengono venduti direttamente la sera stessa del

concerto. I biglietti disponibili sono 4568. Quanti bigliet-

ti possono, al massimo, essere venduti dai negozi? Qual e

il minimo numero di biglietti disponibili da vendere la

sera stessa del concerto? [4400; 168]

�442 Il signor Rossi vuole comprare dei libri che costano

21 euro ciascuno. Avendo a disposizione 150 euro, quanti

libri potra comprare al massimo e quanti euro gli reste-

ranno? [7 libri; 3 euro]

�443 Un’azienda produce ogni giorno 140 200 lattine di

bibite che vengono confezionate in pacchi da 6 lattine.

Quanti pacchi sono confezionati in un giorno? E quante

lattine restano da impacchettare?

[23 366 pacchi; 4 lattine]

�444 Considera i seguenti tre problemi.

a. Un’agenzia di viaggio deve organizzare una gita per

234 turisti. Quanti pullman da 50 posti deve utilizza-

re?

b. Con 234 fogli si devono confezionare dei pacchi da

50 fogli. Quanti pacchi si possono confezionare?

c. Si vuole dividere una pezza di stoffa lunga 234 m in

50 pezze uguali. Quanto e lunga ogni pezza?

Discuti se si possono risolvere tramite una divisione con

resto.

�445 Paolo ha nel portafoglio 200 euro. Compra 4 libri,

che costano 12 euro l’uno, poi spende la meta di cio che

gli resta nel portafoglio per comprare una macchina foto-

grafica. Scrivi l’espressione che formalizza il problema e

determina quanti euro restano a Paolo dopo queste spese.

[76 euro]

�446 Il signor Rossi vince 12 600 euro alla lotteria. Spen-

de inizialmente 4000 euro per saldare un debito, poi un

quarto di cio che gli rimane per una vacanza e infine divi-

de la rimanenza in parti uguali fra i suoi 3 figli. Scrivi l’e-

spressione che formalizza il problema e determina la

somma che ricevera ciascun figlio. [2150 euro]

�447 Due fratelli, Davide e Gabriele, possiedono, insie-

me, 280 euro. Comprano 5 libri che costano 20 euro l’u-

no e 4 quaderni che costano 2 euro l’uno. Poi si dividono

equamente cio che resta e Gabriele compra un paio di

pantaloni che costa 80 euro. Scrivi l’espressione che for-

malizza il calcolo degli euro rimasti a Gabriele dopo tutte

le compere e determinane il valore. [6 euro]

�448 Un magazziniere ha 7 pacchi. Quattro di questi pac-

chi contengono ciascuno quattro scatole, ciascuna delle

quali contiene 4 anelli. Gli altri tre pacchi contengono

ciascuno tre scatole, ciascuna delle quali contiene 3 brac-

ciali. Quanti oggetti ci sono complessivamente (conside-

rando come oggetti sia i pacchi, sia le scatole, sia gli anel-

li, sia i bracciali)? [123]

�449 Un vascello spaziale parte dalla Terra verso un pia-

neta situato a 220 km. Dopo aver percorso un quarto del

tragitto perde il contatto radio con la Terra. Quando il

contatto viene ristabilito, il vascello si trova a 219 km dal-

la Terra. Quanti chilometri ha percorso il vascello spaziale

senza contatto radio? Esprimi il risultato sotto forma di

una potenza di 2. [218 km]

�450 Un magazziniere ha 64 pacchi, ciascuno dei quali

contiene 16 scatole, contenenti ciascuna 8 anelli.

a. Quanti sono in tutto gli anelli? Esprimi il risultato

come potenza di 2.

b. Si vogliono disporre tutti gli anelli in pacchi, ciascu-

no dei quali contiene 8 scatole, contenenti ciascuna

32 anelli. Quanti risulteranno i nuovi pacchi?

[a. 213 anelli; b. 32 pacchi]

Unita


53

TemaA

Inumeri

54

Problemi su massimo comune divisore e minimo comune multiplo

�451 Si vuole piastrellare una stanza rettangolare, avente

dimensioni 360 cm e 280 cm, con il minor numero possi-

bile di mattonelle quadrate; quanto deve essere lungo il

lato di ogni mattonella? Quante mattonelle sono neces-

sarie? [40 cm; 63 mattonelle]

�452 Mario ha un turno di riposo ogni 8 giorni; Luigi

ogni 24 giorni; Paolo ogni 16 giorni. Oggi sono tutti e tre

in turno di riposo. Fra quanti giorni saranno nuovamente

tutti e tre in turno di riposo? [48 giorni]

�453 Tre orologi suonano uno ogni 4 ore, uno ogni 12

ore e uno ogni 5 ore. Oggi e lunedı e suonano contempo-

raneamente alle 18. In quale giorno e a quale ora suone-

ranno di nuovo contemporaneamente? [Giovedı, alle 6]

�454 Due classi A e B di una scuola hanno rispettivamen-

te 24 e 28 studenti. La classe A viene divisa in squadre;

cosı pure la squadra B. Se le squadre devono avere lo stes-

so numero di giocatori, da quanti elementi puo essere for-

mata al massimo una squadra? [4]

�455 Ogni mese un grossista spedisce a un negoziante 24

litri, 32 litri e 40 litri di tre diverse varieta di vino utiliz-

zando il minimo numero possibile di recipienti, tutti

uguali e completamente riempiti, ovviamente senza me-

scolare qualita di vini diversi nello stesso recipiente.

Quanti recipienti ricevera il negoziante in un anno? [144]

�456 Urano, Nettuno e Plutone impiegano rispettivamen-

te circa 84, 165 e 248 anni per compiere un giro completo

intorno al Sole. Supponiamo che in un certo anno si trovi-

no allineati rispetto al Sole; dopo quanti anni lo sarebbero

di nuovo, nella stessa posizione di partenza? [286 440]

�457 Un agricoltore deve spedire 315 limoni e 240 aran-

ce, confezionandoli in cestini, contenenti ciascuno o solo

aranci o solo limoni nello stesso numero, in modo da uti-

lizzare il minor numero possibile di cestini. Quanti cesti-

ni occorre preparare e quanti frutti occorre porre in cia-

scun cestino? [21 cestini di limoni e 16 di arance,

ciascuno contenente 15 frutti]

�458 Si hanno a disposizione tre rotoli di carta larghi 1 m

e lunghi rispettivamente 48 m, 16 m e 60 m. Si decide di

tagliare questi rotoli per ricavare dei fogli larghi 1 m e

aventi tutti la stessa lunghezza. Si vuole che i fogli abbia-

no la massima lunghezza possibile e che non avanzi car-

ta. Quale sara la lunghezza di ciascun foglio e quanti fogli

si ricaveranno? [4 m, 31 fogli]

�459 Un pasticcere ha a disposizione 48 cannoncini alla

crema, 36 bigne, 72 crostatine alla frutta e 24 cannoli sici-

liani. Vuole confezionare il massimo numero possibile di

vassoi uguali, ciascuno contenente tutti i tipi di pasticcini

a disposizione, in modo da non avanzarne alcuno. Quan-

ti vassoi puo preparare? Quanti pasticcini di ogni tipo de-

ve contenere ogni vassoio? [12 vassoi; 4 cannoncini,

3 bigne, 6 crostatine e 2 cannoli]

�460 Dividendo le monete che Andrea ha nel salvada-

naio a gruppi da 3 ne avanzano 2. Anche dividendole a

gruppi da 5, da 6 e da 9 ne avanzano sempre 2. Qual e il

minimo numero di monete che Andrea puo avere nel sal-

vadanaio? [92]

ESERCIZI DI RIEPILOGO E DI APPROFONDIMENTO

Esercizi di riepilogo


a. ð2þ 3Þ3 ¼ 23 þ 33 V F

b. 79 � 72 ¼ 72 V F

c. 510 : 55 ¼ 52 V F

d. 59 � 58 ¼ 4 � 58 V F

e. 312 : 39 ¼ 27 V F

f. 52 � 53 ¼ 56 V F

g. ð10Þ42

¼ ð104Þ2 V F

h. ð3Þ32

: ð3Þ23

¼ 3 V F

�462 Quanti numeri di due cifre sono divisibili simulta-

neamente per 3 e per 7? [4]

�463 Qual e il piu piccolo numero naturale di quattro ci-

fre divisibile per 5 e per 13? [1040]

�464 Scomponi in fattori primi 1176 e 28. Utilizzando ta-

li scomposizioni e le proprieta delle potenze, determina il

risultato della divisione 1176 : 28.

�465 Determina i numeri naturali che, sostituiti al posto

delle variabili x e y, rendono vere le seguenti uguaglianze.

a. 24 � 18 ¼ 3x � 2y [x ¼ 3, y ¼ 4]

b. 16 � 9 � 21 ¼ 2x � 3y � 7 [x ¼ 4, y ¼ 3]

c. 15 � 18 � 20 ¼ 2x � 3y � 25 [x ¼ 3, y ¼ 3]

�466 Completa, inserendo, al posto dei puntini, il simbo-

lo opportuno (< , ¼ , >Þ.a. ð�2Þ3 ::::: � j � 3� ðþ4Þjb. m.c.m.(12, 5, 6) ..... m.c.m.(6, 10, 8)

c. ð�3þ 5Þ4 ::::: ð�5þ 3Þ3

d. �j � 4j ::::: ð�3Þ3

e. 1�M.C.D.(21, 36, 18) ::::: � 20

f. ð�2Þðþ3Þð�5Þ ::::: ð�2Þ3

g. ð�13Þ17 ::::: ð�14Þ18

h.��M.C.D.ð14;16;18Þ �m.c.m.ð9, 12Þ

�� ::::: 71

i. ð�2Þð�3Þð�5Þ ::::: ð�3Þ3

j.��6� j3� ð�4Þj

�� ::::: 40


a b c ab bc ab � bc ab � bc

�3 þ2 þ3 :::::::: :::::::: :::::::: ::::::::

0 þ1 þ2 :::::::: :::::::: :::::::: ::::::::

�1 0 þ3 :::::::: :::::::: :::::::: ::::::::

�2 þ3 0 :::::::: :::::::: :::::::: ::::::::

Calcola il valore delle seguenti espressioni, applicando, ovunque possibile, le proprieta delle potenze.

�468 ½þ3 � ðþ5Þ þ ð�4Þ � ð�2Þ�3 [�64]

�469 ð�2Þ3 : ð�4Þ � ð�2Þ11 : ð�2Þ8 þ ð�6Þ2 : ð�9Þ [6]

�470 1 �ðþ4Þ � ½�3 þ ð�1Þ�

[�15]

�471ð�2Þ2

þ ð�2Þ3þ ð�3Þ2 þ ð�3Þ3 [�6]

�4722 � ð�2Þ3

�½�2 � ðþ3Þ � ð�4Þ�2 [�90]

�473 4 � ð�3Þ � ð�5 þ 1Þ ��6 � ð�3Þ

[8]

�474 ½ð�4Þ2 þ ð�4Þ3� : ½ð25Þ3 : ð22Þ7�3 [�6]

�475 ½ð�2Þ11 : ð28Þ�2 : ð23Þ2 [1]

�476 ð�2Þ2 þ ð�2Þ3 þ j�3j2 þ j�3j3 [32]

�477 ½ð27Þ2 � ð22Þ5� : ð23Þ7 [8]

�478 f11 � ½�3 � ðþ4Þ�g : ð�3Þ2 [2]

�479 ð�2Þð�9Þð�4Þ2 : ð�6Þ2 � ½�4 � ð�1 þ 5Þ� [16]

�480 ½212 � ð�2Þ7� : ð22Þ8 � ½�ð�2Þ2�3 [56]

�481 ð�10Þ3 : ½ð�5Þ2 þ ð�5Þ� [�50]

�482 ð�5Þ2 : ½ð�2Þð�5Þ þ ð�4Þðþ3Þ � ð�6Þðþ1Þ � ð�1Þ� [5]

�483 ½ð86 : 215Þ � 16�2 : 45 [16]

�484 f½ð�7Þ13 : 711 � ð�6Þ16 : 615� : 11g3 [�125]

�485 f214 : ð26Þ2 � ½ð�2Þ5 � ð�2Þ9� : ð�2Þ7g : ½ð�4Þð�11Þ� [3]

�486 ½ð8 � 45Þ4 : ð6 � 25Þ2� : ð16 � 27Þ2 [4]

�487 ½ð40 � 49Þ2 � 35 � 18� : ð280 � 21Þ2 [70]

�488 ð212 � 27Þ : ð23Þ6 þ ½�ð�2Þ2�3 þ ð�5Þð�2Þðþ6Þ [�2]

�489 ½ð28 : 26Þ8 : 214�3 : 24 þ ð38 : 34Þ � 35 �2

: ð34Þ4 [13]

�490 ½5 � ð8 � 28 : 26Þ � ð13 � 35 : 33Þ�3 : ð67 : 66 � 210 : 28Þ9 [8]

�491 ½56 : 54 � 20�10n o3

: 528 � 207 : ½ð19 þ 190Þ2�3 [5]

�492 ½ð23 � 211Þ2 : ð25Þ5 � 3�3 � 55n o

: 56 � ð48 � 420Þ : ð413Þ2 [9]

�493 ½ð42Þ3 : ð25Þ2� � 82n o

: 25 þ ð34 � 24Þ2 : 67 þ ½ð122 � 112Þ3 � 234� : 237 [15]

�494 ½ð�2Þ8 : ð�2Þ3�2 : ð�2Þ7 þ ½ð�2Þ8 � ð�2Þ3�2 : ½ð�2Þ3�6 [8]

�495 ð�55Þ5 : ½ð�125Þ2 � ð�25Þ3�2 þ ½ð�5Þ5�5 : ð�125Þ8 [�10]

�496 ½ð�2Þ9 � ð�2Þ7� : 214n o3

: 24 þ ½ð�3Þ10 : ð�3Þ6� � ð�3Þ5n o2

: ½ð�3Þ8�2 [13]

�497 ð�2Þj5�15j : ð�2Þj8�15j � ð�3Þ18 : ð�3Þ15 � ð�55Þ0h i

: ð�9Þn o17

: ð�2Þ14 [�8]

�498 ½ð�4Þ7 : ð�4Þ5 � 7�10 : ð�3Þ18 � 7n oj20�30j

: ð�2Þj8�15j [�8]

�499 ½ð10 þ 102Þ : 10� � 121 �4

: ð115Þ2 � 102

ð79 � 74Þ : ð76Þ2þ ð100Þ2 : ð100 þ 99Þ2 [4]

�500 Rapidoð�1Þ11ð35Þ2 � 36 : 37 þ ð�1Þ10ð35Þ2 � 36 : 37

ð311 : 37 : 32 � 211 : 27 : 22Þ4 � 1252 : 53[0]

�501 ð163Þ2 : ½ð28Þ2 : 24�

ð163Þ2 : ð28Þ2 : 24h i3

þ ð252Þ3 : 510 [26]

�502ð�5Þ2½ð�5Þ4 : ð�5Þ3� þ ð�10Þ2

n o7: ½�ð�25Þ2�2

½ð�3Þ3ðþ3Þ4�2 : ðþ34Þ3 � ð�2Þ2n o4

[�25]

Unita


55

Semplifica le seguenti espressioni, dopo aver calcolato il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

dei numeri indicati.

�503 ½M.C.D.ð2, 4, 6Þ�8 � ½M.C.D.ð28, 4, 12Þ�4n o

: ½m.c.m.ð2, 4, 8Þ�4 [16]

�504 ½M.C.D.ð4, 12, 8Þ�3 : ½m.c.m.ð4, 2, 8Þ�2 þ ½M.C.D:ð12, 18, 42Þ�8 : ½m.c.m:ð2, 3Þ�7 [7]

�505 Di due numeri si sa che il primo e il quadrato del tri-

plo di 33 e il secondo e il triplo del cubo del primo. Qual e

il quoziente tra il prodotto dei due numeri e il quadrato

del quadrato del primo? [3]

�506 Determina il numero da aggiungere alla differenza

tra �2 e l’opposto del cubo di �2 per ottenere come risul-

tato il quadrato della somma di 13 con il triplo del cubo

di �2. [131]

�507 Determina una terna di numeri interi che soddisfi

le seguenti condizioni:

a. la somma dei tre numeri sia �5;

b. il valore assoluto del numero intermedio sia 2;

c. il prodotto del numero minore e di quello interme-

dio sia 20;


�508 Ogni giorno, alle 8, partono dal capolinea contem-

poraneamente tre autobus: quello della linea A, quello

della linea B e quello della linea C. Successivamente, fino

alle ore 24, l’autobus della linea A parte ogni 45 minuti,

quello della linea B ogni 30 minuti e quello della linea C

ogni 16 minuti. Dopo quanto tempo ripartiranno, per la

prima volta, tutti insieme? [Alle ore 20]

�509 Considera le seguenti cinque potenze:

ð�4Þ10 ð�8Þ5 ð�16Þ4 ð�2Þ17 ð�64Þ3

a. Senza calcolarle, stabiliscine il segno.

b. Riscrivile in forma equivalente, in modo che abbia-

no tutte la stessa base, e disponile in ordine crescente.

c. Determina massimo comune divisore e minimo co-

mune multiplo dei valori assoluti delle potenze date.

d. Traduci in un’espressione numerica la seguente fra-

se e calcolane il valore: «Calcola il quoziente tra il qua-

drato del prodotto delle due potenze minori e il pro-

dotto delle restanti tre potenze. Dividi infine il quo-

ziente ottenuto per il cubo di 32».

[a. 2 potenze positive e 3 negative;

c. M.C.D. ¼ 215, m.c.m. ¼ 220; d. �16]

�510 Un Comune vuole illuminare tre strade parallele

lunghe rispettivamente 150 m, 210 m, 300 m con dei

lampioni posti a intervalli regolari sui due lati di ogni

strada. Inoltre, il Comune vuole che la distanza fra due

lampioni consecutivi sia la stessa in tutte e tre le strade e

che sia all’inizio sia alla fine di ogni strada ci siano 2 lam-

pioni (uno per ogni lato). Qual e il minimo numero di

lampioni occorrenti? [50]

Esercizi di approfondimento

�511 Numeri perfetti. Un numero naturale si dice perfet-

to se e uguale alla somma di tutti i suoi divisori, eccettua-

to il numero stesso. Quali dei seguenti numeri sono per-

fetti?

6 12 24 28 496

�512 Somma dei numeri naturali da 1 a n

a. Osserva la figura mostrata qui sotto e deduci che

1 þ 2 þ :::þ 7 ¼ 7 � 7

2þ 7

2.

1

7

7 6 5 4 3 2 1

6

5

4

3

2

b. Generalizza la questione, determinando una formu-

la che fornisca la somma dei numeri naturali da 1 a n.

c. Utilizzando la formula di cui al punto b, calcola la

somma dei numeri naturali da 1 a 100.

�513 Numeri amicabili. Due numeri naturali si dicono

amicabili se la somma dei divisori del primo numero,

escluso il numero stesso, e uguale al secondo e, simmetri-

camente, la somma dei divisori del secondo numero,

escluso il numero stesso, e uguale al primo. Verifica che i

due numeri 220 e 284 sono amicabili.

�514 Somma dei primi n numeri dispari

a. Osserva la figura mostrata qui sotto e deduci che

1 þ 3 þ 5 þ :::þ 11 ¼ 62.

1 3 5 7 9 11

b. Generalizza la questione, determinando una formu-

la che fornisca la somma dei primi n numeri dispari.

c. Utilizzando la formula di cui al punto b, calcola la

somma dei primi 100 numeri dispari.

TemaA

Inumeri

56

�515 Numero dei divisori. Il numero dei divisori di un numero naturale n, la cui scomposizione in fattori primi e

n ¼ pr11 � pr22 � ::::: � prmm , e dato da ðr1 þ 1Þ � ðr2 þ 1Þ � ::::: � ðrm þ 1Þ.a. Cerca di giustificare questa formula.

b. Applicala per determinare il numero dei divisori di 24, 36, 100 e 1000.

�516 Qual e il valore dell’espressione ½ð�1Þnþ1 þ ð�1Þnþ2�99 þ ½ð�1Þnþ1 þ 2ð�1Þnþ4�99, con n 2 N?

�517 Per quale valore di n 2 N l’espressione ½2nþ1 � 2n � ð�4Þ8 � ð�16Þ3 : ð�2Þ25� j�2j13þjþ2j13�214ð Þ e priva di significato?

�518 Siano a, b e c tre numeri interi tali che:

� b e positivo;

� a e b sono concordi;

� b e c sono discordi;

� jaj < jcj < jbjDisponi in ordine crescente i sette numeri: 0, a, b, c, �a, �b, �c.

�519 Dato il numero 80018001, calcoliamo la somma delle sue cifre (in rappresentazione decimale), poi la somma delle ci-

fre del numero ottenuto e cosı via, fino a ottenere un numero di una sola cifra. Quanto vale questa cifra? [9]

�520 Costruisci un’espressione che soddisfi i seguenti requisiti:

a. figurino in essa solo le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione;

b. vi compaiano una e una sola volta i numeri: 2, 4, 5, 10, 12;

c. abbia come risultato 22.

Giochi ed esercizi dalle gare di matematica

�521 L’incaricato di un’indagine statistica bussa alla por-

ta di una famiglia e chiede alla donna che gli ha aperto:

«Quanti figli ha?». «Tre, di cui due gemelli», risponde la

donna. «Quali sono le loro eta?», chiede l’uomo. «Il pro-

dotto delle loro eta e 72 e la somma delle loro eta e uguale

al numero della casa di fronte». L’incaricato guarda qual

e il numero della casa di fronte e afferma: «Ho bisogno di

qualche altra informazione». «Il piu grande dei miei figli

e in vacanza al mare», risponde la donna. «Grazie, ora so

quali sono le eta dei suoi figli», risponde l’uomo. Quali

sono le eta dei figli della signora? E come ha fatto l’incari-

cato a dedurlo?

[I due gemelli hanno 3 anni e il terzo ha 8 anni]

�522 Quale dei seguenti numeri termina con il maggiore

numero di zeri (senza calcolatrice!)?

A 22 � 33 � 55

B 23 � 35 � 52

C 25 � 53 � 32

D 45 � 56 � 64

E 46 � 65 � 54

(Gara di Archimede 1998) [D]

18 cifre

�523 9999:::9999 : 999999999 � 1 ¼A 99 B 910 C 1010

D 99 � 1 E 109

(Kangourou 2001) [E]

�524 Nell’espressione 2 ' 4 ' 6 ' 8 ' 10 ' 12 ' 14, a ogni

simbolo ' puo essere sostituito il segno «þ» o il segno

«�». Quale numero non puo essere il risultato di alcuna

di queste espressioni?

A 0 B 4 C �4

D 48 E 30


�525 Nella divisione intera di 999 per n, dove n e un nu-

mero naturale di due cifre, il resto vale 3. Quanto vale il

resto della divisione intera di 2001 per n?

A 3 B 5 C 6 D 7 E 9


�526 Qual e la cifra delle unita di 1717?

A 1 B 3 C 5 D 7 E 9

(Giochi di Archimede 2006) [D]

�527 Il prodotto delle eta dei miei figli vale 1664. Il mino-

re ha la meta degli anni del maggiore e non vi sono ge-

melli. Quanti figli ho?

A 2 B 3 C 4 D 5 E 6

(Kangourou 2001) [B]

�528 Lungo la strada dalla casa di Luigi alla piscina ci so-

no 100 alberi. Andando da casa in piscina e ritornando,

Luigi ha contrassegnato alcuni alberi con un nastro rosso

come segue. All’andata ha segnato il primo albero e suc-

cessivamente il secondo di ogni coppia di alberi che in-

contrava; al ritorno, invece, ha segnato il primo albero e

successivamente il terzo di ogni terna di alberi che incon-

trava. Dopo di cio, quanti alberi non hanno il nastro ros-

so?

(Kangourou 2003) [33]

�529 Sul pianeta Uru le settimane durano 8 giorni, i mesi

(tutti indistintamente) durano 34 giorni e in un anno ci

sono 14 mesi. Quando il primo giorno dell’anno cade di

domenica (ultimo giorno della settimana) si celebra la Fe-

sta del Pianeta. Sapendo che oggi su Uru e la Festa del Pia-

neta, tra quanti giorni sara la prossima?

A 238 B 476 C 952

D 1428 E 1904

(Giochi di Archimede 2007) [C]

Unita


57

�530 Allo stadio gli spettatori entrano attraverso cinque

cancelli, posti uno di fianco all’altro, secondo questa re-

gola: viene fatta entrare una persona dal primo cancello,

poi due persone dal secondo cancello, poi tre persone dal

terzo, poi quattro persone dal quarto e infine cinque per-

sone dal quinto. Poi si ricomincia procedendo allo stesso

modo e si va avanti finche non sono entrati tutti. Sapen-

do che Raffaele sara la 2007-esima persona a entrare, da

quale cancello entrera?

A Dal primo

B Dal secondo

C Dal terzo

D Dal quarto

E Dal quinto

(Giochi di Archimede 2007) [E]

�531 Solve math in English What is the last digit d of the

9-digit number 197 000 19d given that the number is pri-

me?

A 1

B 3

C 5

D 7

E 9

(High school math contest January 2006,

University of South Carolina) [A]

�532 Solve math in English How many positive integers n

have a remainder of 6 when 2006 is divided by n?

A 8

B 10

C 12

D 16

E 18

(High school math contest January 2006,

University of South Carolina) [D]

PROVADI AUTOVERIFICA

Numeri naturali e numeri interi

�1 Vero o falso?

a. La sottrazione e un’operazione interna a Z ma non a N V F

b. 120 : ð20 þ 30Þ ¼ ð120 : 20Þ þ ð120 : 30Þ V F


d. 7029 e multiplo di 9 V F

e. il minimo comune multiplo fra 12, 40, 36 e 180 V F

f. �j � 4j > �j þ 2j V F

g. ð�25Þ101 > 0 V F

h. ð1010Þ3 ¼ 100010 V F

i. il massimo comune divisore tra 12, 40, 36 e 8 V F

j. i due numeri 33 e 1010 sono primi fra loro V F

�2 Completa, scrivendo accanto a ogni uguaglianza la proprieta che la giustifica.

a. 2 � ð10 þ 2Þ ¼ 2 � 10 þ 2 � 2 proprieta ........................................

b. 2 � ð10 þ 2Þ ¼ ð10 þ 2Þ � 2 proprieta ........................................

c. ð10 þ 2Þ : 2 ¼ 10 : 2 þ 2 : 2 proprieta ........................................

d. ð2 � 10Þ � 5 ¼ 2 � ð10 � 5Þ proprieta ........................................

�3 Paolo viene al Club ogni due giorni, Anna ogni tre giorni, Enrico ogni cinque giorni, Laura ogni dodici giorni, Barbara

ogni dieci giorni. Oggi sono tutti presenti; fra quanti giorni saranno ancora nuovamente tutti insieme?

�4 Un pasticcere ha a disposizione 36 cannoncini alla crema, 30 bigne, 84 crostatine alla frutta e 24 baba. Vuole confe-

zionare il massimo numero possibile di vassoi uguali, ciascuno contenente tutti i tipi di pasticcini a disposizione, in mo-

do da non avanzarne alcuno. Quanti vassoi puo preparare? Quanti pasticcini di ogni tipo deve contenere ogni vassoio?

Calcola il valore delle seguenti espressioni, applicando ovunque possibile le proprieta delle potenze.

�5 ½ð�2Þ2 � ð�3Þ3 � ð�2Þ3 � ð�3Þ2� : ð�9Þ � 7n o3

�6 ½ð�2Þ6�2 � ð�2Þ5 : ð�2Þ13 � ½ð37Þ2 : 39�2 : ð32Þ4

�7 ½ð�5Þ3 � ðþ5Þ4�2 : ½�ð�5Þ2�6 � ð�5Þ0n o

: ½ðþ6Þ3 � ð�6Þ7 : ð�6Þ9�

�8 ½ð�16Þ3 : 8�2 : ð�64Þ3 þ ½�ð�125Þ4�3 : ð�25Þ17

Valutazione

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 Totale

Punteggio 0,2 � 10 ¼ 2 0,25 � 4 ¼ 1 1 1 1 1 1,5 1,5 10

Punteggio ottenuto

Tempo massimo: 1 ora 30 min. 3Risposte a p. 727

Se non hai ottenuto la sufficienza, puoi svolgere la Scheda 1 del quaderno di recupero.

TemaA

Inumeri

58

TEMA Ateoria dei numeri e` tuttora ricca di affascinanti problemi irrisolti. La congettura di...

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