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M.E. Biancolini: Tecnica delle Costruzioni Meccaniche 2010

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Tecnica delle Costruzioni Meccaniche 2010

Marco Evangelos Biancolini

Tecnica delle costruzioni meccaniche..................................................................................................2

1.1 Introduzione .........................................................................................................................2

2. Tecniche di Progettazione............................................................................................................3

2.1 Organizzazione del progetto ................................................................................................3

2.2 Stesura della documentazione tecnica..................................................................................4

2.3 Progetti assegnati negli ultimi anni......................................................................................8

2.3.1 Anno 2002....................................................................................................................8

2.3.2 Anno 2003....................................................................................................................8

2.3.3 Anno 2004....................................................................................................................8

2.3.4 Anno 2005....................................................................................................................9

2.3.5 Anno 2006....................................................................................................................9

2.4 Il metodo degli elementi finiti............................................................................................10

2.4.1 Dimensionalità del problema .....................................................................................12

2.4.2 Analisi strutturali........................................................................................................15

2.4.3 Realizzazione del modello .........................................................................................15

2.4.4 Esecuzione dell’analisi...............................................................................................19

2.4.5 Analisi dei risultati .....................................................................................................20

2.4.6 Uso della modellazione solida ...................................................................................22

2.4.7 Progetto della griglia di calcolo .................................................................................22

2.4.8 Librerie di elementi....................................................................................................22

2.4.9 Esempio: implementazione dell’elemento trave ........................................................22

2.4.10 Esempio: implementazione dell’elemento piastra .....................................................22

3. I materiali compositi nella progettazione meccanica.................................................................23

3.1 Teoria dei laminati .............................................................................................................23

3.2 Studio di una lamina isolata ...............................................................................................30


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Tecnica delle costruzioni meccaniche

1.1 Introduzione

Argomento principale del corso di Tecnica delle Costruzioni Meccaniche sono le metodologie di

progettazione avanzata dei sistemi meccanici. Il corso è di natura fortemente applicativa e si articola

in un modulo durante il quale procedono parallelamente la parte teorica, svolta con lezioni frontali,

e la parte applicativa svolta durante le ore di laboratorio di calcolo e completata dedicando una

parte delle ore di lezione frontale a consigli pratici relativi ai problemi incontrati dagli studenti. La

parte applicativa riguarda lo studio di esempi concreti di complessità crescente e lo svolgimento di

un progetto di un componente meccanico complesso.

Il progetto viene svolto da gruppi costituiti al massimo da 4 studenti e si articola in più fasi:

assegnazione dei temi, stesura e discussione di un documento di specifica, svolgimento delle

attività, stesura della relazione tecnica.

I temi possono essere assegnati dal docente o concordati con gli studenti qualora siano interessati a

proporre argomenti particolari, in fase di assegnazione del tema viene individuato il materiale

necessario allo svolgimento del progetto, chiarendo in via preliminare gli aspetti salienti del

progetto stesso. Ogni gruppo deve produrre in breve un documento relativo all’organizzazione del

progetto individuando le attività, la loro durata e la ripartizione delle stesse fra i vari membri del

gruppo; tale organizzazione può essere eventualmente ritoccata al fine di garantire un carico di

lavoro omogeneo per tutti gli studenti.

La parte teorica del corso si divide in tre parti: tecniche di progettazione, progettazione a tolleranza

di danno, progettazione con i materiali compositi.

La prima parte è propedeutica allo svolgimento dei progetti e affronta sia gli aspetti organizzativi di

un progetto meccanico, partendo dalla pianificazione delle attività e dalla stima del loro costo per

arrivare alla preparazione di un documento tecnico, sia gli aspetti pratici per l’esecuzione di calcoli

strutturali utilizzando software di calcolo commerciali basati sul metodo degli elementi finiti.

La seconda parte riguarda la progettazione con i materiali compositi considerando il comportamento

di laminati a vari livelli di dettaglio. Si riportano dei cenni sul comportamento microstrutturale di

compositi a fibra lunga, viene presentato lo studio di una generica lamina ortotropa, considerando la

rigidezza e la resistenza, e lo studio di un generico laminato mirato alla determinazione dei

parametri di rigidezza globali e alla verifica di resistenza lamina per lamina.


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2. Tecniche di Progettazione

2.1 Organizzazione del progetto

La fase di organizzazione del progetto è fondamentale per la corretta esecuzione dello stesso e per

la valutazione delle risorse necessarie. Lo scenario presentato in questo documento riguarda progetti

di breve durata che coinvolgano poche persone ed è applicabile a società di consulenze di

ingegneria a cui viene commissionato il progetto così come a un team aziendale a cui viene affidato

un lavoro per l’azienda stessa. Nel resto di questo paragrafo si ipotizza che il committente sia

esterno alla società di esecuzione del progetto.

L’iter di affidamento del progetto avviene tramite dei passi preliminari a seconda del tipo di

rapporto esistente con il committente. Normalmente si inizia con uno o più incontri informali cui

segue una richiesta di offerta da parte del committente. In tale documento vengono specificati i

principali requisiti del progetto, i tempi a disposizione dell’esecuzione, i risultati attesi e la forma di

tali risultati (disegni in formato elettronico e/o cartaceo, relazione di calcolo, modelli numerici in

formato elettronico, prescrizioni sui software da usare per il disegno i calcoli e la stesura dei

report,…).

In base alla richiesta formale, completata da eventuali chiarimenti ottenuti con colloqui informali, si

procede alla stesura di un’offerta. Si tratta di una fase molto delicata poiché sbagliare la valutazione

in eccesso o in difetto comporta seri problemi. Si rischia di perdere il lavoro o di compromettere il

rapporto con il cliente se si presenta una quotazione eccessiva rispetto al mercato in cui si lavora, si

rischia di non arrivare a coprire le spese se si sottostima l’entità del lavoro richiesto.

Normalmente si divide l’attività progettuale complessiva in più attività. Ad esempio se viene

richiesta la verifica strutturale di un componente meccanico si possono individuare le seguenti

attività: analisi della documentazione applicabile, preparazione del modello di calcolo, studio e

rappresentazione dei carichi agenti e dei vincoli, esecuzione dei calcoli, analisi dei risultati,

ottimizzazione del progetto e stesura della relazione tecnica.

Per ogni attività, oltre al gruppo di persone incaricate allo svolgimento, si individua un responsabile

dello svolgimento ed un responsabile del controllo. Si procede alla stima delle ore necessarie,

determinando il numero di persone incaricate allo svolgimento. Nel caso di attività complesse può

essere necessaria la suddivisione in più attività da affidare a più gruppi di lavoro. Per ogni attività si

individua quindi una finestra temporale, relativa al giorno zero di inizio lavori. Tale finestra ha

inizio nel momento in cui siano completate, o parzialmente completate, tutte le attività

propedeutiche alla attività stessa, ipotizzando che ci siano risorse a disposizione libere dalle altre

attività. Una rappresentazione efficace dello svolgimento temporale del progetto consiste nell’uso


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dei diagrammi di Gantt nei quali si riporta in ascissa la durata del progetto divisa in mesi, settimane

e giorni e si riportano tante righe quante sono le attività. Ogni riga viene etichettata con il nome

dell’attività a cui si riferisce e viene riempita con dei segmenti colorati in corrispondenza dei giorni

in cui si prevede che l’attività sia in corso di svolgimento.

O

P

10mag. 7giu. 14giu.3mag. 17mag. 24mag. 31mag.

A

GFED

B

C

LIH

NM

Esecuzione: Nome1 Nome2 Nome3 Nome4

Figura 1: Esempio di diagramma di Gantt. In ascissa è riportata la durata del progetto. Le attività del progetto sono indicate con le lettere da A a P, i segmenti colorati indicano l’esecuzione dell’attività e i nomi delle

persone dedicate all’attività stessa.

Esistono delle tecniche più avanzate per il project management le quali risultano utili per progetti

molto complessi in cui risultano coinvolte molte persone. In questo caso ci si avvale della teoria dei

grafi per individuare le attività più critiche, dette anche colli di bottiglia, al fine di ottimizzare l’uso

delle risorse e garantire il rispetto delle scadenze contrattuali o l’ottimizzazione del costo del

progetto complessivo considerando le eventuali penali

2.2 Stesura della documentazione tecnica

Il risultato dell’attività progettuale svolta deve essere trasmesso nella forma più idonea per la

completa fruizione del prodotto da parte del committente. La natura del prodotto dipende dal tipo di

attività di progettazione richiesta.

Spesso vengono commissionate delle attività di verifica relative a soluzioni costruttive di

architettura e proporzionamento ben definito; in questo caso il prodotto del progetto consiste in una

relazione tecnica dove viene riportato l’esito della verifica svolta e nei modelli di calcolo usati per

ottenere i risultati.


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In altri casi al progettista viene richiesto il dimensionamento o l’ottimizzazione di un componente;

in questo caso l’attività di calcolo deve essere accompagnata da una attività di disegno e fra i

prodotti ci saranno anche i disegni esecutivi, o degli schemi esplicativi delle scelte effettuate che

verranno poi sviluppati successivamente dai disegnatori.

Nel caso della progettazione di sistemi complessi per i quali il proporzionamento è vincolato sia a

problemi di natura strutturale che a problemi di ingombro e montaggio, può risultare conveniente

utilizzare dei sistemi CAD dedicati alla meccanica basati sulla modellazione solida dei componenti

(Mechanical Desktop, SolidWorks, Solid Edge, ProE,…). Utilizzando tali strumenti è infatti

possibile gestire in maniera integrata le attività di disegno e ottimizzazione del layout lavorando con

le forme tridimensionali dei componenti. E’ inoltre possibile generare automaticamente le tavole

bidimensionali per il controllo ed il collaudo, le quali rimangono associate al modello

tridimensionale. La presenza dei modelli solidi può inoltre agevolare le fasi di realizzazione dei

modelli di calcolo da utilizzare per la verifica strutturale.

In ognuno dei casi riportati a conclusione dell’attività di progettazione verranno prodotte delle

uscite la cui entità, quantità e forma vengono pattuite contrattualmente. Tipicamente si produrrà una

relazione tecnica completata da disegni e da altro materiale a corredo. Il tutto verrà consegnato in

formato cartaceo e elettronico utilizzando i formati pattuiti.

La relazione tecnica deve essere redatta in maniera sintetica ed impersonale nella lingua pattuita.

Nella stesura e nel controllo della relazione stessa è sempre importante considerare che trattandosi

di un documento formale è molto importante non trascurare i dettagli e non dare adito ad

interpretazioni errate per mancata chiarezza dell’esposizione. Bisogna infatti pensare sempre

all’eventualità che accada qualche imprevisto relativamente alla costruzione o all’uso del

componente calcolato: l’attribuzione di responsabilità economiche e legali potrebbe in questo caso

dipendere da un’interpretazione dei documenti di calcolo, anche quando risulti palese la correttezza

dei calcoli svolti.

La relazione tecnica consta generalmente di un certo numero di sezioni la cui struttura e forma

dipendono dal tipo di progetto.

Nella maggior parte dei casi il documento è suddiviso nelle seguenti sezioni:

- intestazione

- sommario

- oggetto e scopo

- documenti applicabili

- materiali usati

- Introduzione


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- Descrizione del problema tecnico

- Descrizione della metodologia di calcolo

- Descrizione dei modelli strutturali

- Esposizione dei risultati

- Conclusioni e commenti

L’intestazione viene redatta secondo un formato ben preciso prescritto dagli standard di qualità

interni nel caso di grandi aziende. In tale intestazione si riporta normalmente il titolo, il numero del

documento, il numero di pagine, gli autori del documento, il responsabile del progetto, lo stato di

revisione del documento e una tabella in cui sono riportate le pagine effettivamente utilizzate. Parte

di queste informazioni si trovano nell’intestazione di tutte le pagine del documento, insieme alla

numerazione progressiva. Il formato stesso per la numerazione dei titoli e dei paragrafi, per le

didascalie e per il testo, viene generalmente prescritto dagli standard aziendali.

Dopo l’intestazione si riporta il sommario dei contenuti del documento stesso indicando i titoli dei

capitoli e dei paragrafi principali.

A volte il sommario può essere seguito da un paragrafo riassuntivo intitolato “oggetto e scopo” nel

quale viene riportato un breve riassunto del progetto svolto.

Si passa quindi ad una descrizione dei documenti applicabili i quali vengono associati spesso ad una

sigla con numerazione progressiva (ad esempio [AD1], [AD2]) che consentirà di fare riferimento a

tali documenti all’interno del testo del documento stesso. I documenti applicabili possono essere di

varia natura: disegni, indicati con il titolo, il codice e la data di emissione, altri documenti di calcolo

prodotti nella stessa azienda o da terzi, anche questi indicati con titolo, codice e data di emissione,

testi di riferimento utilizzati per lo svolgimento dei calcoli tra i quali spesso si trovano i manuali dei

software di calcolo, handbook per la progettazione, articoli tecnici o scientifici inerenti allo studio

svolto.

A completamento della parte iniziale del documento spesso trova posto un paragrafo relativo ai

materiali utilizzati per la realizzazione dei componenti del sistema. E’ buona norma riportare delle

schede tecniche complete di tutte le proprietà salienti dei materiali utilizzate nel calcolo, indicando

il nome del materiale, facendo riferimento alla norma appropriata per la sua classificazione, e alle

caratteristiche fisiche e meccaniche usate ai fini del calcolo quali moduli di rigidezza, resistenza,

densità, coefficienti di dilatazione termica. In questo stesso paragrafo è opportuno inserire i valori

delle tensioni ammissibili calcolate sulla base delle norme applicate al progetto.

Si inserisce quindi il corpo principale del documento iniziando con una paragrafo introduttivo di

natura generale utile ad introdurre il problema tecnico affrontato, descrivendo ad esempio il sistema

completo che comprende il componente oggetto della relazione. Si passa quindi ad una dettagliata


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descrizione del problema tecnico affrontato. Si descrive l’architettura del sistema e delle sue parti

evidenziando le posizioni reciproche dei vari membri, illustrando i sistemi di riferimento usati per

definire le parti e descrivendo i principi di funzionamento del componente esaminato. In questa

sede è possibile fare riferimento ai disegni delle parti già esistenti e può essere di grande aiuto l’uso

di figure ottenute dai modelli CAD tridimensionali (esplosi, viste di insieme, viste dei singoli

componenti). Una volta introdotto il problema è possibile passare alla definizione dei carichi che

agiranno sul sistema determinandone la natura (statici, dinamici, affaticanti) e il numero nel caso in

cui il componente debba essere sottoposto a differenti condizioni di esercizio.

Si passa quindi alla descrizione dei calcoli risolutivi che possono essere suddivisi in calcoli

semplificati e calcoli ottenuti con modelli numerici.

Nel primo caso si citano le fonti utilizzate per la definizione delle formule di calcolo o si

dimostrano le formule stesse se risultano derivate da formule elementari. Il calcolo “manuale” viene

eseguito sempre meno usando effettivamente carta e penna visto che è possibile implementare i

passaggi risolutivi in dei fogli di calcolo che oltre a fornire i risultati in forma parametrica

consentono spesso di ottenere una elegante rappresentazione del calcolo stesso (Mathcad, Maple,

Mathematica).

Nel caso in cui i calcoli vengano eseguiti avvalendosi di modelli numerici (il metodo degli elementi

finiti nel caso di calcoli strutturali) è necessario descrivere gli aspetti salienti del modello numerico.

Si riportano generalmente delle figure rappresentative della mesh utilizzata relative sia al sistema

che ai componenti, indicando il numero di nodi ed elementi utilizzati e l’attendibilità della griglia di

calcolo basata su esperienze precedenti, su test di convergenza e su stime dell’errore numerico. Si

illustra quindi la schematizzazione usata nel modello FEM per la rappresentazione dei carichi agenti

e dei vincoli.

L’ultima parte del documento tecnico riguarda l’esposizione dei risultati la quale viene

normalmente divisa in due parti. La prima parte è di natura qualitativa e consiste in una esposizione

dei risultati ottenuti per le varie condizioni di carico illustrando le deformate della struttura e le

mappe tensionali avvalendosi di figure a colori. La natura e la quantità di tali figure dipende

ovviamente dal tipo di analisi svolta. Si passa quindi ad un esame quantitativo dei risultati dei

calcoli riportando in diagrammi e tabelle le grandezze più significative ai fini della verifica e del

dimensionamento. Ovviamente in questo caso si forniscono solo le informazioni strettamente

necessarie, argomentando la scelta sulla base di quanto esposto nella prima parte. In questa sezione

possono trovare posto diverse tabelle riassuntive:


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- nel caso di analisi tensionale si riporta per ogni condizione di carico la massima sollecitazione

equivalente agente in ogni componente insieme al margine di sicurezza calcolato in base al

valore ammissibile per quella condizione di carico.

- nel caso di analisi a deformabilità si riportano anche delle tabelle con gli spostamenti massimi di

componenti critici

- nel caso di analisi modali si riportano delle tabelle con i valori delle frequenze proprie, una

descrizione del tipo di modo, i fattori di partecipazione modale

2.3 Progetti assegnati negli ultimi anni

In questo paragrafo vengono descritti i progetti svolti durante il corso negli ultimi anni. In questa

stesura sono riportati solo i temi, successivamente questo paragrafo verrà ampliato riportando un

breve riassunto di ogni progetto svolto.

2.3.1 Anno 2002

Analisi della rigidezza di un pannello sandwich con nucleo a nido d’ape

Analisi della rigidezza di un pannello sandwich con nucleo ondulato

Analisi dinamica di una valvola a lamella

Analisi termostrutturale di una catalizzatore metallico

2.3.2 Anno 2003

Analisi strutturale della pala di un generatore eolico

Analisi strutturale di un ponte di grande luce

Analisi di una forcella anteriore motociclistica

Simulazione numerica del collaudo di un ponteggio metallico

Analisi della rigidezza di un ponte omega automobilistico

Analisi termostrutturale di un freno a disco

2.3.3 Anno 2004

Progettazione di un telaio per gokart in carbonio

Progettazione di un telaio per la formula Gloria in carbonio

Progettazione dell’alettone anteriore della formula Gloria

Ottimizzazione strutturale della deriva di una barca a vela

Analisi statica e dinamica di un albero criccato

Analisi del collasso di un puntello metallico


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Analisi del collasso di un pannello di cartone ondulato

Progettazione di un imballaggio di cartone ondulato

2.3.4 Anno 2005

Analisi del telaio di una vettura per la Formula Gloria

Analisi statica di un’endoprotesi d’anca

Analisi del comportamento a compressione di uno pneumatico per go-kart

Analisi del comportamento di una lamella per motori a due tempi

Analisi FEM delle curve di carico per una scatola di cartone

Analisi di Analisi un impianto a carico immediato

Analisi della valvola di un compressore

Collaudo di una roll-bar

Analisi FEM di una tavola da snowboard

Analisi del trasferimento di carico di un go-kart

2.3.5 Anno 2006

Analisi del telaio di una vettura Formula Student

Analisi FEM del telaio di un go-kart

Progettazione di un velivolo per la gara “Redbull Flugtag”

Analisi FEM della carena di un go-kart LSR

Analisi del comportamento dall’ala anteriore di una vettura di Formula 1

2.3.6 Anno 2007

Progettazione di un telaio in materiale composito per vettura da competizione “Formula Student”

Analisi strutturale di un telaio ciclistico per mountain-bike

Progetto di un cerchione automobilistico in materiale composito

Progetto di un aereo in cartone ondulato per evento Red bull FLUGTAG

Analisi FEM del telaio di una Gru da cantiere

2.3.7 Anno 2008

Analisi strutturale di un graft vascolare utilizzato nella procedura chirurgica Blalock-Taussig.

Analisi del condotto di aspirazione del veicolo formula SAE: progettazione geometrica e verifica

strutturale

Analisi degli effetti dinamici sull’inflessione del telaio di un dragster e relativo sistema di

pretensionamento mediante tiranti.


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2.3.8 Anno 2009

Analisi prestazionale del disco freno “Wave”

Dimensionamento di un trolley per crash trest

Studio e rielaborazione di un Buggy-Kite Freestyle

Progetto della sospensione posteriore di una monoposto da competizione

2.4 Il metodo degli elementi finiti

Il metodo degli elementi finiti è una tecnica numerica per la risoluzione di problemi alle derivate

parziali definiti su domini di forma complessa. Il dominio originale viene rappresentato in forma

discreta suddividendolo in più sottodomini di geometria semplice che prendono il nome di elementi

finiti. Considerando per esempio un dominio tridimensionale di forma arbitraria, si può ottenere

una rappresentazione discreta mediante un certo numero di sottodomini di forma esaedrica o di

forma tetraedrica. La discretizzazione deve avvenire nel rispetto di vincoli topologici e di

connettività: due elementi adiacenti devono condividere completamente una faccia, non sono

ammesse sovrapposizioni parziali. Una corretta topologia della suddivisione avviene considerando

dei punti notevoli detti punti nodali o nodi. Ogni elemento è descritto mediante un certo numero di

nodi, ad esempio un elemento esaedrico è descritto da otto nodi. Elementi adiacenti si trovano a

condividere i nodi sulle facce in comune. La descrizione topologica degli elementi risulta molto

efficiente: i punti nodali di tutta la griglia vengono numerati e per ogni nodo viene memorizzata la

posizione nello spazio, gli elementi vengono descritti solo topologicamente indicando gli indici dei

nodi ai vertici dell’elemento stesso. In questo modo la forma e la posizione effettiva di ogni

elemento viene identificata dalle posizione dei nodi connessi; elementi adiacenti si trovano a

condividere dei bordi perché hanno gli stessi nodi su una faccia comune.

Il metodo numerico si basa quindi sulla risoluzione approssimata delle equazioni di interesse

all’interno di ogni elemento finito. Si utilizzano delle funzioni approssimanti semplici,

generalmente di tipo polinomiale, che vengono scelte opportunamente in modo da garantire dei

requisiti di continuità passando da un elemento all’altro.


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Figura 2: Modello FEM di una piastra forata. La struttura originale è stata dicretizzata mediante elementi piani a quattro nodi.

Nei problemi strutturali si lavora con la funzione spostamento: il campo di spostamento all’interno

del dominio viene espresso mediante una combinazione lineare di funzioni tali da fornire i valori

desiderati sui punti nodali dell’elemento. Deve essere inoltre garantita la congruenza nel passaggio

da un elemento all’altro, ciò si ottiene quando la funzione di spostamento sul lato condiviso risulta

essere funzione dei soli spostamenti dei nodi del lato condiviso. E’ infine necessario che le funzioni

di spostamento siano in grado di rappresentare un moto rigido dell’elemento stesso per garantire che

anche le parti di struttura che non si deformano possano seguire gli spostamenti imposti dalle parti

deformate. Le funzioni di spostamento possono quindi essere adimensionalizzate per esprimere il

campo di spostamento all’interno dell’elemento mediante una combinazione lineare di funzioni,

dette funzioni di forma, pesate con gli spostamenti nodali.

Tale scelta porta ad avere un campo di spostamento congruente all’interno di tutto il dominio

descritto mediante un numero finito di variabili: gli spostamenti nodali. La soluzione del problema

viene quindi ricercata in un vettore di dimensioni finite e dipende ovviamente dal tipo di problema:

nel caso di analisi statiche lineari, si ricerca una soluzione che oltre ad essere congruente sia anche

equilibrata. L’equilibrio viene imposto in maniera globale considerando il contributo di ogni

elemento. Il metodo più semplice consiste nella valutazione della matrice di rigidezza di ogni

elemento mediante una equivalenza energetica: si impone che il lavoro di deformazione interno sia

pari al lavoro fatto dalle forze nodali. Assemblando i contributi di ogni elemento è possibile


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calcolare la matrice di rigidezza globale del sistema che trasforma gli spostamenti nodali in forze

nodali:

{ } { }xKF = (1)

Nel caso del problema statico è possibile determinare la soluzione per inversione parziale della

matrice di rigidezza considerando la seguente riorganizzazione:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

v

l

vvvl

lvll

v

l

xx

KKKK

FF

(2)

Mediante i carichi esterni è possibile calcolare gli spostamenti dei gradi di libertà i cui spostamenti

sono incogniti:

{ } { } { } { } { }{ }vlvllllvlvllll xKFKxxKxKF −=⇒+= −1 (3)

e le reazioni vincolari per i gradi di libertà vincolati ad avere determinati spostamenti:

{ } { } { }vvvlvlv xKxKF += (4)

2.4.1 Dimensionalità del problema

La dimensionalità dei problemi da studiare con il metodo degli elementi finiti dipende dal problema

stesso e dal grado di dettaglio che si desidera dalla soluzione. Lo stesso problema può essere

studiato con approcci molto diversi. La dimensionalità del problema è legata alla dimensionalità

degli enti geometrici che descrivono il dominio di calcolo: curve, superfici, solidi. Si utilizzano

elementi curvilinei quando una dimensione è predominante rispetto alle altre due, elementi di

superficie, quando esistono due dimensioni predominanti rispetto alla terza, elementi solidi negli

altri casi.

La geometria di riferimento risulta essere nel primo caso la linea media del dominio, nel secondo

caso la superficie media del dominio e nel terzo caso il dominio stesso.

Lo stesso problema può essere studiato con grado di dettaglio crescente. A titolo di esempio si può

fare riferimento ad una semplice trave incastrata.

Avvalendosi della teoria della trave è sufficiente utilizzare un dominio curvilineo, rettilineo

nell’esempio. Le informazioni geometriche legate alla griglia di calcolo sono in questo caso molto

povere visto che viene fornita solo la posizione della linea media e l’assetto della sezione retta; tali

informazioni vengono tuttavia considerate per la definizione dell’elemento finito ed utilizzate per il

calcolo della rigidezza flessionale e della rigidezza a taglio. I risultati ottenuti numericamente sono

gli stessi forniti dalla classica teoria della trave da cui possono eventualmente differire per il fatto

che i solutori FEM utilizzano molto spesso la trave di Timoshenko per il calcolo delle deformazioni.


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Figura 3: modello con elementi trave 11 nodi, 10 elementi.

Il problema precedente può essere anche risolto utilizzando l’elemento guscio visto che lo studio

riguarda una sezione a parete sottile. In questo caso si procede alla definizione della superficie

media di tutta la struttura che viene quindi discretizzata con elementi guscio planari. In questo caso

avendo aumentato la dimensionalità dello studio è sufficiente fornire solamente gli spessori degli

elementi di guscio utilizzati rispettivamente per le ali e per l’anima. E’ evidente come in questo

caso sia molto più complicato definire i vincoli poiché la regione di incastro, prima rappresentata da

un solo nodo risulta ora rappresentata da tutti i nodi sulla linea media della sezione retta ella trave.

Si può ipotizzare anche in questo caso che l’incastro sia perfetto ma rimane l’ulteriore problema di

rappresentare il carico concentrato sull’estremo libero. Nelle applicazioni pratiche tale carico può

entrare per contatto con la superficie esterna di una delle due ali, o risultare distribuito su tutta la

sezione retta per la presenza di un opportuno dispositivo di carico. Le ultime osservazione fanno

capire che con questo grado di dettaglio è possibile scegliere in maniera opportuna sia lo schema

costruttivo del dispositivo di vincolo che di quello di carico, è inoltre possibile considerare l’effetto

di eventuali fori o asole presenti sulle ali o sull’anima della trave stessa. Anche nel caso di una

schematizzazione delle condizioni al controrno molto simile a quella della trave teorica si osservano

delle differenze nei risultati, soprattutto nelle regioni vicine ai bordi della trave dove le ipotesi alla

base di tale teoria non sono valide.


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Figura 4: modello con elementi guscio 525 nodi, 480 elementi.

Nel caso della rappresentazione tridimensionale la struttura risulta formata da molti elementi

esaedrici per ogni concio del modello numerico che proiettati sulla sezione retta producono una

mesh di elementi quadrangolari che riempie tutta la sezione stessa, considerando anche la presenza

di eventuali raccordi nel passaggio fra le ali e l’anima. Con questo livello di dettaglio è possibile

studiare il campo di tensionale all'interno di una eventuale saldatura fra anima e ali nel caso di travi

assemblate, è possibile verificare la geometria di collegamento sull’incastro, è possibile considerare

l’effetto locale prodotto da una forza di contatto agente sull’estradosso della trave.

Figura 5: modello con elementi solidi esaedrici 12628 nodi, 9120

elementi.

E’ evidente come sia la natura stessa del problema ad influenzare la scelta del grado di dettaglio da

usare per l’analisi strutturale dello stesso oggetto.


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2.4.2 Analisi strutturali

Avvalendosi del metodo degli elementi finiti è possibile risolvere diverse classi di problemi

strutturali. Nel caso in cui i carichi agenti siano costanti nel tempo può essere sufficiente il semplice

studio statico. La struttura in questo caso deve essere vincolata con un numero di vincoli sufficiente

ad eliminare ogni labilità. Nel caso lineare la risoluzione del problema statico consiste

nell’assemblaggio della matrice di rigidezza, della riduzione dei carichi agenti in carichi equivalenti

sui nodi e nel calcolo dei carichi e degli spostamenti incogniti utilizzando le equazioni 3 e 4.

Le analisi strutturali svolte con il metodo degli elementi finiti possono essere mirate alla

determinazione della rigidezza del sistema e/o all’analisi tensionale. Nel primo caso si ottiene una

buona accuratezza della soluzione anche con griglie di calcolo abbastanza rade. Questo perché il

metodo FEM viene formulato imponendo un campo di spostamenti congruente e risulta

intrinsecamente più preciso nel calcolo di tali grandezze. E’ inoltre importante avere una densità

uniforme della griglia poiché le regione rappresentate con elementi più grandi tendono ad irrigidirsi.

Nel caso in cui l’obiettivo dell’analisi FEM sia una corretta valutazione del campo tensionale è

necessario usare griglie molto fitte in prossimità delle zone con forti gradienti di tensione,

generalmente in prossimità di intagli geometrici, le quali sono le più importanti in questo tipo di

analisi.

E’ comunque importante notare che l’ottimizzazione spinta della griglia, così come l’uso pesante

delle simmetrie, mirati alla riduzione del numero di gradi di libertà non è sempre ripagata da un

effettivo vantaggio. Infatti esiste sempre un compromesso fra il tempo speso nell’ottimizzazione e

nella gestione dell’ulteriore complessità introdotta dalla gestione delle simmetrie, e la riduzione del

tempo di calcolo. La disponibilità di calcolatori con grande potenza di calcolo e con grandi capacità

di memorizzazione dati porta spesso ad usare modelli molto complessi, spesso sovradimensionati

per il problema studiato, visto che richiedono molto meno tempo per essere realizzati. Tale

approccio può risultare controproducente quando gli stessi modelli devono essere utilizzati per

analisi più impegnative, quali le analisi dinamiche o le analisi statiche non lineari.

2.4.3 Realizzazione del modello

La fase di realizzazione del modello FEM è molto importante per diversi motivi. Il primo è che

questa fase richiede un gran numero di ore uomo e dovendo essere svolta da un analista esperto

incide pesantemente sul budget dell’intera attività di progettazione, inoltre essa risulta

estremamente critica per l’esito di tutte le attività di calcolo e interpretazione dei risultati. Una

scelta sbagliata in questa fase può quindi avere conseguenze negative per l’esito di tutto il progetto.


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Prima di passare alla fase di modellazione è molto importante aver chiarito il funzionamento della

struttura e aver stimato, anche in maniera molto approssimata, il risultato atteso dall’analisi

numerica. Le analisi numeriche possono produrre risultati errati per tanti motivi: uso incongruente

dei sistemi di unità di misura, errori di rappresentazione, problemi di condizionamento della

soluzione numerica,…

Nel caso in cui l’analista non sia già esperto del particolare solutore è buona norma fare prima

qualche prova con casi semplici per i quali sia disponibile una soluzione teorica. In tutti i casi è

comunque importante avere già una stima del risultato dell’analisi in corso poiché capita molto

frequentemente, e specialmente ad analisti inesperti, di ottenere dei risultati molto convincenti,

convergenti dal punto di vista numerico, ma completamente sbagliati.

La realizzazione del modello di calcolo si articola in più fasi. Bisogna prima di tutto decidere quali

parti del sistema devono essere effettivamente rappresentate nel modello di calcolo e quindi

scegliere la giusta dimensionalità da utilizzare per le varie parti del modello. Molto spesso infatti si

utilizzano elementi di dimensionalità diversa per studiare parti della stessa struttura. La

dimensionalità di alcune parti può essere trascurata del tutto ricorrendo a modellazioni a parametri

concentrati. Ciò avviene quando non è necessario conoscere la soluzione all’interno dei componenti

ma si vuole comunque considerare l’interazione di tali componenti con il resto della struttura. In

questo caso si utilizza un unico nodo posto nel baricentro del componente, un elemento massa

rappresentativo della massa e del tensore di inerzia completo del corpo e un elemento di

connessione per collegare il corpo ai punti di interfaccia con il resto del sistema. Quest’ultima

connessione può essere considerata perfettamente rigida o perfettamente cedevole a seconda del

problema in esame.

Una volta deciso il tipo di schematizzazione si passa alla realizzazione della geometria di supporto

da usare per la generazione di nodi ed elementi. La dimensionalità della geometria di supporto

dipende dalla dimensionalità del problema. Per lo studio di una struttura a traliccio si rappresenta la

geometria della linea media nello spazio mediante segmenti di retta, archi di circonferenza o, nel

caso più generale, curve spline. Bisogna porre molta attenzione nella realizzazione del modello

geometrico. Non è infatti sufficiente rappresentare una geometria corretta da “vedere” come nel

CAD, ma bisogna rispettare scrupolosamente i vincoli topologici del problema strutturale. Nel caso

di un traliccio è necessario interrompere la geometria in ogni punto di discontinuità (variazioni di

diametro o di materiale, incrocio fra più aste,…).

Nel caso di elementi bidimensionali è necessario generare un modello geometrico rappresentativo

della superficie media della struttura. Se si possiedono i modelli solidi è possibile estrarre la

superficie media in maniera automatica o semiautomatica avvalendosi degli algoritmi di


17

midsurfacing, anche se nella maggior parte dei casi risulta più conveniente realizzare un nuovo

modello geometrico dedicato, utilizzando l’eventuale modello solido come ausilio per individuare i

punti notevoli. Anche in questo caso il modello geometrico deve essere studiato dal punto di vista

topologico considerando che le porzioni di superficie componenti, che sono in questo caso parti di

piano, parti di superfici coniche o sferiche, o parti di generiche superfici polinomiali, devono essere

connesse correttamente ovvero condividere curve identiche sui bordi comuni, e devono presentare

delle curve di interruzione su tutte le zone di discontinuità (variazione di spessore o di materiale,

connessione fra più superfici, …).

Nel caso di elementi tridimensionali la geometria di riferimento è una geometria solida. Anche in

questo caso bisogna realizzare il solido con molta attenzione suddividendo il solido in più parti in

corrispondenza di discontinuità (variazione di materiale, interfaccia fra più parti collegate,…)

utilizzando delle superfici di connessione perfettamente coincidenti.

Il modello geometrico deve essere corredato di un certo numero di informazioni necessarie alla

generazione del modello FEM. Si procede alla definizione dei materiali da usare (entità material), e

ai tipi di elementi da usare (entità property), considerando che la property usa le informazioni del

materiale puntando all’entità material. Si procede quindi all’assegnazione del tipo di elemento alle

entità geometriche. Nel caso di elementi trave si associa la property relativa alla sezione retta di

ogni tratto alle curve rappresentative della linea media. Sono necessarie inoltre delle informazioni

aggiuntive per la localizzazione della sezione retta (direzione dell’asse Y, ed un eventuale offset fra

la linea geometrica ed un punto di riferimento sulla sezione retta), e per il rilascio di gradi di libertà

sugli estremi di una curva. Nel caso di elementi guscio si associa una property opportuna in cui è

contenuta l’informazione sullo spessore fornendo eventualmente un offset fra il piano medio

dell’elemento e la superficie. Nel caso di elementi solidi si assegna una property solida in cui

vengono fornite informazioni sulla direzione del materiale.

Si passa quindi alla definizione delle condizioni al contorno le quali nella maggior parte dei casi

possono essere definite direttamente sulla geometria di supporto. E’ possibile definire più insiemi di

carico e di vincolo (Load set, Constraint set) in cui inserire carichi e vincoli. I carichi possono

essere indipendenti dal modello come nel caso di accelerazioni uniformi, campi centrifughi o salti

termici uniformi su tutta la struttura, o esser definiti per parti del modello utilizzando forze e coppie

concentrate o distribuite sulle entità geometriche del modello stesso. In alcuni casi può essere utile

usare dei carichi concentrati ed utilizzare degli elementi di interpolazione per trasferire tali carichi a

porzioni della struttura, i quali devono essere inseriti dopo aver generato il modello FEM. Le

condizioni di vincolo vengono definite in maniera analoga operando sulle entità geometriche o

direttamente sui nodi.


18

Per la definizione delle condizioni al contorno è possibile definire dei sistemi di riferimento

aggiuntivi in coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche. Bisogna tuttavia utilizzare con attenzione

tali sistemi perché un vincolo può essere definito in un sistema di riferimento particolare solamente

se i gradi di libertà del nodo vincolato sono espressi in tale riferimento. Ciò non costituisce un

problema perché i solutori FEM consentono di definire un numero arbitrario di sistemi di

riferimento e di usare contemporaneamente più sistemi in parti diverse dello stesso modello dando

la possibilità di scegliere in maniera arbitraria le coordinate generalizzate del modello globale.

Nel caso di carichi variabili nel tempo o nella frequenza è necessario definire delle funzioni

aggiuntive da associare ai carichi stessi. E’ possibile operare due scelte diverse, a seconda del

problema in esame, utilizzando carichi unitari sul modello e le ampiezze corrette nelle funzioni, o

carichi corretti in ampiezza sul modello e funzioni normalizzate.

E’ possibile a questo punto procedere alla realizzazione della griglia utilizzando gli algoritmi di

generazione automatica di nodi ed elementi. Per eseguire tale fase è necessario fornire delle regole

di generazione sulle entità geometriche indicando il numero di elementi (o la dimensione

caratteristica) per ogni curva, definendo eventualmente delle regole di spaziatura, il tipo di griglia

da usare per le superfici e per i solidi.

Tale fase risulta spesso molto complicata e richiede una notevole esperienza. La griglia di calcolo

deve infatti garantire in primo luogo una correttezza topologica e deve poi essere ottimizzata per

raggiungere l’accuratezza desiderata nella soluzione numerica.

Prima di procedere all’analisi è quindi necessario procedere ad un certo numero di verifiche

avvalendosi degli strumenti messi a disposizione dai programmi di preprocessing. E’ necessario

prima di tutto verificare la corretta disposizione degli elementi e dei materiali, specialmente se è

stato fatto uso dell’offset su elementi trave o guscio, e se sono stati usati più spessori. A tale scopo

molti programmi di preprocessing consentono di visualizzare la forma effettiva del modello

comprensiva della sezione retta degli elementi stessi. E’ inoltre possibile colorare gli elementi in

base al materiale ad essi associato per evidenziare i passaggi fra zone di materiale diverso. Bisogna

quindi procedere alla verifica di eventuali nodi coincidenti e alla loro rimozione, fatto salvo il caso

in cui la presenza di tali “doppioni” non sia desiderata; è possibile quindi verificare la correttezza

topologica, avvalendosi di visualizzazioni particolari del modello (shrink gli elementi vengono

rimpiccioliti e staccati dai nodi, free edge vengono visualizzati solo i bordi liberi del modello, free

face vengono visualizzate solo le facce libere) e comunque esaminando attentamente le regioni di

discontinuità per verificare che la griglia sia stata generata correttamente.


19

Nel caso di analisi statiche, se la griglia ha problemi, il sistema può risultare labile. E’ possibile in

questo caso eseguire un’analisi modale: le deformate dei modi rigidi potranno essere usate per

individuare le regioni che non sono state “attaccate” al modello per degli errori sulla griglia.

2.4.4 Esecuzione dell’analisi

Una volta completato il modello è possibile passare alla fase di esecuzione dell’analisi numerica

vera e propria. L’esecuzione di tale fase può avvenire in modo diverso a seconda che il solutore sia

integrato o meno con il programma di preprocessing e postprocessing. Nel caso in cui il solutore sia

esterno, il programma di preprocessing provvederà in maniera completamente automatica alla

generazione di un file dati, generalmente di tipo ASCII, contenente tutte le informazioni necessarie

per il calcolo, scritto secondo la sintassi del solutore scelto. Tale file conterrà quindi tutte le

informazioni necessarie per il controllo della soluzione, per la generazione dell’output oltre che

ovviamente l’elenco di nodi, elementi, materiali, tipi di elementi, carichi e vincoli. E’ buona norma

procedere all’esame di tale file prima dell’esecuzione del solutore.

L’analisi può durare anche molte ore a seconda della complessità del modello e del tipo di analisi

richiesta. In questo caso è opportuno prendere confidenza con il problema partendo da modelli

semplificati o da analisi più semplici in modo da contenere il tempo di calcolo per passare a “lanci”

impegnativi solo quando si considera il modello affidabile.

Durante l’analisi vengono generati numerosi file di output, dipendenti dal tipo di solutore e di

analisi, che consentono di monitorare l’avanzamento della soluzione, la convergenza e l’uso delle

risorse di calcolo. Al termine dell’analisi alcuni file vengono eliminati, altri vengono chiusi e

contengono tutte le informazioni di output del solutore. Solo alcuni di questi file contengono i

risultati veri e propri del calcolo. Le informazioni in uscita riguardano prima di tutto l’esito della

soluzione. Possono essere generati dei messaggi di errore, che possono avere vari gradi

d’importanza nel caso in cui vengano riscontrate delle anomalie nel modello relativamente alle

condizioni al contorno, alla forma e al tipo degli elementi o alla convergenza della soluzione. Nei

casi in cui gli errori siano tali da compromettere il risultato il solutore si ferma senza concludere il

calcolo stesso.

E’ buona norma usare modelli che non producano messaggi di errore, a meno che non si tratti di

problemi sicuramente sotto il controllo dell’analista, quali ad esempio la distorsione della griglia in

una regione di scarso interesse per lo studio.

I risultati del calcolo vengono in genere riportati sia su file ASCII, che possono essere facilmente

letti dall’utente per controllare l’esito della soluzione, sia su file binari, eventualmente compressi, i

quali risultano molto utili quando si ha a che fare con una mole ingente di risultati.


20

2.4.5 Analisi dei risultati

L’analisi dei risultati del calcolo viene svolta utilizzando dei software dedicati. Molto spesso è lo

stesso programma di preprocessing ad aver anche delle possibilità di postprocessing. In altri casi si

preferisce separare tali fasi usando programmi altamente specializzati per le due fasi distinte.

Prima di effettuare l’analisi dei risultati è necessario che il programma di postprocessing proceda

alla lettura dei risultati prodotti dal solutore. E’ quindi necessario che tale programma possieda dei

filtri dati in grado di interpretare la sintassi di output del programma usato per la soluzione,

altrimenti è necessario costruire un filtro software da applicare ai dati prima del passaggio al

programma di postprocessing.

I programmi di postprocessing più evoluti sono in grado di leggere sia i risultati veri e propri che i

messaggi di diagnostica potendo funzionare in alcuni casi da monitor del solutore durante il calcolo

stesso.

Una volta che i risultati sono stati caricati nel database è possibile accedere a tali dati in maniera

molto rapida ed interattiva. L’analisi dei risultati può essere fatta secondo due modalità distinte, per

via grafica o mediante l’uso di testo eventualmente organizzato in tabelle.

E’ possibile visualizzare i risultati direttamente sulla griglia di calcolo o su alcune parti di essa in

molti modi diversi. Per l’interpretazione dei risultati risulta molto utile avvalersi delle deformate del

modello. In tale modalità si rappresenta il modello deformato con un campo vettoriale o scalare,

generalmente il campo di spostamento calcolato dal solutore definendo eventualmente dei fattori di

amplificazione. Tale rappresentazione può anche essere animata costruendo più immagini al variare

del moltiplicatore rappresentando in questo modo una vibrazione nel caso di una forma modale, o la

progressione della deformazione partendo da zero nel caso di una carico statico. E’ inoltre possibile

animare una sequenza di deformate relative a più soluzioni per rappresentare l’evoluzione

temporale ottenuta in una analisi dinamica o una evoluzione calcolata in più fasi statiche o ancora la

progressione della deformazione partendo da zero nel caso di una carico statico non lineare. Tali

rappresentazioni vengono spesso accompagnate da del testo indicante la condizione di carico, le

grandezze visualizzate e i valori massimi e minimi di tali grandezze.

Le stesse grandezze visualizzate in modalità deformata possono essere rappresentate efficacemente

con dei campi vettoriali. In questo caso viene costruita una freccia con origine nel nodo, diretta

come il vettore e di lunghezza proporzionale al modulo del risultato. Questa modalità risulta molto

utile per visualizzare le reazioni vincolari e le espansioni dei carichi applicati sui nodi che possono

essere richieste in uscita al solutore.

E’ possibile inoltre rappresentare dei diagrammi lungo la linea media degli elementi trave. Tali

diagrammi sono la rappresentazione nello spazio di diagrammi cartesiani che usano come ascissa la


21

congiungente i nodi e come ordinata una direzione trasversale notevole (spesso la direzione Y

dell’elemento trave) e possono essere eventualmente campiti con un colore rappresentativo del

modulo del risultato. Tali diagrammi possono essere usati solo per grandezze scalari. Risultano

molto utili per la visualizzazione della deformazione torcente degli elementi trave visto che tale

grandezza non viene evidenziata dalla deformata, oltre che ovviamente per la visualizzazione delle

caratteristiche della sollecitazione.

Nel caso di gusci o delle superfici esterne dei solidi è possibile avvalersi di mappe colorate o di

curve di isolivello di grandezze scalari. Tali rappresentazioni sono molto usate per la

visualizzazione delle tensioni sul modello e risultano particolarmente utili per la rappresentazione

degli invarianti tensionali o di tensioni equivalenti da essi derivate. In questo caso bisogna fare

molta attenzione agli algoritmi di conversione usati poiché si tratta di campi discontinui, visto che la

soluzione numerica è approssimata, e tali discontinuità possono essere gestite in maniera molto

articolata scegliendo di mediare la discontinuità per ottenere un campo continuo (con criteri più o

meno conservativi) in alcuni punti o di lasciare tale discontinuità nel caso di variazioni di spessore,

di materiale, o nel caso di elementi che formino un angolo che non sia dovuto alla discretizzazione.

Tali diagrammi consentono di evidenziare rapidamente le zone più critiche e generalmente vengono

accompagnati da informazioni di testo indicanti la grandezza esaminate, i valori massimi e minimi

di tale grandezza. Esiste una forma differente di tali rappresentazioni in cui ogni elemento viene

colorato con un solo colore il quale può essere legato alla scala della grandezza esaminata oppure

può essere dipendente dal superare un certo criterio. Un esempio di applicazione di tale

rappresentazione consiste nell’evidenziare con un colore particolare gli elementi che non superano

un criterio di verifica di resistenza.

Nel caso di solidi ci si può avvalere di superfici di isolivello e di sezioni piane (o in alcuni casi

cilindriche o di forma notevole). Nel primo caso si rappresentano una o più superfici all’interno di

una mesh solida relative ad uno o più valori costanti di una grandezza scalare. Nel secondo caso si

rappresenta l’andamento di una mappa colorata o di curve isolivello su una o più superfici

all’interno del solido stesso. Tali operazioni possono avvenire spesso in maniera interattiva potendo

variare il valore della isolivello muovendo tale superficie all’interno del solido o spostando il piano

di sezione.

Alcuni programmi di visualizzazione consentono di ottenere una rappresentazione solida anche per

elementi con dimensionalità più bassa, rappresentando l’andamento della tensione equivalente su

gusci rappresentati in pieno spessore o su travi rappresentate con l’effettiva sezione retta.

Esistono ulteriori modalità di rappresentazione dei risultati sul modello, specialmente per

applicazioni fluidodinamiche, ma non vengono considerate in questa sede.


22

Le rappresentazioni grafiche sono molto utili per capire come funziona una struttura e per

evidenziare le zone più critiche, tuttavia per fornire dei risultati quantitativi è necessario lavorare

con in risultati individuali relativi a nodi ed elementi. Ciò può esser fatto in vari modi. E’ possibile

creare dei diagrammi cartesiani con l’andamento del valore puntuale di una quantità in funzione di

una posizione, di una frequenza, del tempo o della progressione di una soluzione. Tali

rappresentazioni possono essere utilizzate per rappresentare l’andamento di una accelerazione con il

tempo per un nodo critico perché è all’interfaccia con un componente delicato, oppure per

visualizzare le tensioni sui nodi lungo una linea di interfaccia di due parti del modello E’ possibile

inoltre preparare dei report con liste parziali dei risultati ordinati secondo i criteri scelti. Con tale

strumento è possibile estrarre i valori massimi e minimi di una grandezza di interesse del modello o

di una sua parte, eventualmente per più casi studiati, individuando il nodo o l’elemento dove tale

massimo viene raggiunto. Tali strumenti vengono utilizzati largamente per estrarre gli elementi su

cui effettuare le verifiche di resistenza, le tabelle di spostamento massimo, le reazioni vincolari su

nodi di interesse.

Le due modalità possono essere inoltre combinate visto che molti programmi consentono di fornire

le informazioni dettagliate in maniera interattiva partendo da una mappa dell’intero modello,

indicando i valori dell’elemento puntato con il mouse.

Esistono dei programmi che possono effettuare una gestione dell’output ancora più specializzata

eseguendo in maniera automatica la verifica dei componenti secondo una normativa. Per molti

programmi è possibile inoltre automatizzare l’interazione del trattamento dei dati per ottenere in

maniera automatica la documentazione desiderata.

2.4.6 Uso della modellazione solida

2.4.7 Progetto della griglia di calcolo

2.4.8 Librerie di elementi

2.4.9 Esempio: implementazione dell’elemento trave

2.4.10 Esempio: implementazione dell’elemento piastra


23

3. I materiali compositi nella progettazione meccanica

3.1 Teoria dei laminati

La teoria dei laminati si occupa dello studio di strutture laminate assimilabili a piastre o a gusci.

Tali strutture vengono realizzate sovrapponendo un certo numero di strati sottili dette lamine, ogni

lamina è caratterizzata dal materiale, dallo spessore e dall’orientazione del materiale stesso qualora

le lamine presentino caratteristiche di anisotropia.

Essendoci due dimensioni preponderanti rispetto alla terza si ipotizza che il laminato si comporti

come un guscio. Si distinguono pertanto il comportamento membranale e quello flessionale. Il

comportamento membranale riguarda le azioni e le deformazioni che avvengono nel piano della

lamina stessa, il comportamento flessionale riguarda le sollecitazioni e le deformazioni fuori dal

piano della lamina.

Il problema di meccanica del continuo non risulta di semplice risoluzione. Esiste una soluzione

esatta presentata da Pagano per il caso della flessione semplice, esiste inoltre un approccio

approssimato basato sulle spline.

L’approccio più semplice per lo studio dei laminati è tuttavia quello della teoria classica della

laminazione (CLPT: Classical Laminated Plates Theory) e verrà seguito in questa sede. Il metodo è

lo stesso che si utilizza per i gusci ed è basato sulle ipotesi di Kirchoff-Love. Si ipotizza che il

campo di deformazione sia tale da trasformare sezioni rette in sezioni rette, che ci sia una perfetta

adesione fra le lamine, che le deformazioni e le tensioni nella direzione dello spessore del laminato

siano trascurabili e che ogni lamina si trovi in uno stato di tensione piano.

Malgrado il grande numero di ipotesi semplificative introdotte, la teoria produce risultati attendibili

se il rapporto spessore/ dimensioni trasversali si mantiene entro valori di 1/10 e se non si

considerano le zone di bordo del laminato.

In questa sede si ipotizza che le deformazioni fuori dal piano dovute al taglio siano trascurabili e no

si considerano le azioni di taglio nel passaggio da una lamina all’altra. Esiste tuttavia la possibilità

di estendere la teoria semplificata utilizzata per la valutazione delle sollecitazioni di taglio delle

travi anche ai laminati.

Utilizzando le notazioni consuete per lo studio dei gusci, si introducono le caratteristiche delle

deformazioni e delle sollecitazioni, considerando forze e deformazioni per la membrana, e momenti

e curvature per la flessione.


24

Ci si propone di ottenere un legame fra il vettore delle caratteristiche della sollecitazione ed il

vettore delle caratteristiche della deformazione per l’intero laminato. Tale legame consente di

risolvere il problema diretto, che consiste nel calcolare le caratteristiche della deformazione relative

a delle sollecitazioni note, o il problema inverso che consiste nel calcolo delle caratteristiche della

sollecitazione di un laminato di cui siano note le deformazioni. Si vogliono inoltre calcolare le

deformazioni e le sollecitazioni locali in ogni lamina considerando sia il sistema di riferimento del

laminato che il sistema di riferimento del materiale di ogni lamina qualora si faccia uso di materiali

anisotropi.

L’approccio seguito consiste nell’effettuare prima una analisi della deformazione per ottenere un

campo di spostamenti congruente basato sulle ipotesi semplificative e quindi nell’utilizzare tali

deformazioni per ottenere le sollecitazioni all’interno di ogni lamina dalle quali è possibile ricavare

le caratteristiche della sollecitazione mediante delle semplici considerazioni di equilibrio.

Il generico campo di spostamenti incognito è espresso da funzioni del tipo:

),,(),,(),,(

zyxwwzyxvvzyxuu

===

Facendo riferimento alla figura 4.1 riferita alla direzione x è possibile esprimere lo spostamento in

tale direzione come

Deformazione del laminato nel piano xz.

),(),(),,( 0 yxzyxuzyxu α⋅−=


25

dove u0 è la componente di spostamento del piano medio nel piano, α è la rotazione della sezione

retta e z è la distanza dal piano medio.

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, l’angolo può essere ottenuto derivando lo spostamento fuori dal

piano

xyxw

yx∂

∂=

),(),( 0α

ottenendo

xyxw

zyxuzyxu∂

∂⋅−=

),(),(),,( 0

0

e analogamente

yyxw

zyxvzyxv∂

∂⋅−=

),(),(),,( 0

0

Differenziando le precedenti è possibile ottenere le deformazioni:

yxyxwz

xyxv

yyxu

xzyxv

yzyxu

yyxwz

yyxv

yyxwzyxv

yyzyxv

xyxwz

xyxu

xyxwzyxu

xxzyxu

xy

y

x

∂∂∂

⋅⋅−∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂∂

=

∂∂

⋅−∂

∂=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅−

∂∂

=∂

∂=

∂∂

⋅−∂

∂=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

⋅−∂∂

=∂

∂=

),(2),(),(),,(),,(

),(),(),(),(),,(

),(),(),(),(),,(

02

00

20

200

0

20

200

0

γ

ε

ε

Le espressioni precedenti possono essere riassunte nella seguente forma compatta:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

yu

xv

yvxu

z

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

κκκ

γεε

γεε

0

0

0

ovvero

κεε z+= 0

avendo introdotto i vettori delle curvature e delle deformazioni del piano medio

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

yxw

yw

xw

xy

y

x

2

2

2

2

2

κκκ

κ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=0

0

0

xy

y

x

γεε

ε


26

Queste ultime grandezze spesso vengono raccolte in un unico vettore a 6 componenti

rappresentativo delle caratteristiche della deformazione di un guscio:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

xy

y

x

xy

y

x

g

κκκγεε

0

0

0

ε

Assumendo che le 6 caratteristiche della deformazione rimangano localmente costanti è possibile

calcolare l’andamento delle rotazioni del piano medio integrando le curvature:

xyyx

xyxy

xyywyx

yxxwyx

κκφ

κκφ

2),(

2),(

−−=∂∂

=

+=∂∂

−=

Mediante una ulteriore integrazione è possibile ottenere l’andamento dell’abbassamento, che nelle

ipotesi fatte non dipende dalla coordinata verticale

yxyxyxyxyxw κκκ222

),(22

−−−=

E’ inoltre possibile esprimere i campi di spostamento nel piano del laminato integrando le

deformazioni nel piano:

yyxyxy

xxxyxy

yzyxzxzyxv

xzxyzyzyxu

κεκγ

κεκγ

+++=

+++=

00

00

22),,(

22),,(

Per completare lo studio a rigidezza del laminato è necessario imporre l’equilibrio. Ciò può esser

fatto introducendo le caratteristiche della sollecitazione considerando le azioni membranali nel

piano del laminato:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

xy

y

x

NNN

N

e le azioni flessionali e torcenti fuori dal piano

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

xy

y

x

MMM

M


27

Caratteristiche della sollecitazione agenti sul laminato.

La convenzione dei segni utilizzata per le caratteristiche della sollecitazione e rappresentata in

figura. Si ricorda che il significato fisico delle sollecitazioni membranali è di forza per unità di

lunghezza è sono quindi espresse nel SI in [N/m]. Integrando tali grandezze sul bordo del laminato,

o moltiplicandole per la lunghezza di un lato nel caso rimangano costanti è possibile ottenere le

forze applicate. Dividendo tali forze per la superficie ovvero dividendo la caratteristica locale per lo

spessore è possibile ottenere la tensione media derivante dall’azione membranale. Come si vedrà in

seguito il valore puntuale di tale valore sarà in generale variabile lungo lo spessore a causa delle

discontinuità di materiale che si incontrano passando da una lamina all’altra.

Le sollecitazioni flessionali sono rappresentative di un momento per unità di lunghezza e sono

pertanto espresse in [Nm/m] ovvero in [N].

Per legare le sollecitazioni alle deformazioni è necessario utilizzare il legame costitutivo esistente in

ogni punto x,y del laminato al variare della distanza dal piano medio z:

)()()( zzz εQσ =

avendo introdotto la tensione nel generico punto x,y nel piano del laminato, parallelo al piano

medio:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=)()()(

)(zzz

z

xy

y

x

τσσ

σ

ricordando l’andamento delle deformazioni κεε z+= 0 ottenuto al variare della distanza dal piano

medio è possibile ottenere tali tensioni:

))(()()()( 0 κεQεQσ zzzzz +==

La matrice di rigidezza subisce delle discontinuità nel passaggio da una lamina all’altra. Tali

discontinuità possono essere dovute sia a variazioni dell’angolo formato fra la direzione del

materiale e la direzione x del laminato sia a variazione di materiale (laminati ibridi). Il problema

della determinazione della matrice Q per una direzione generica verrà ripreso nell’analisi di una


28

lamina ortotropa isolata. Considerando un laminato formato da N lamine, e introducendo la

grandezza h rappresentativa della distanza fra i piani di separazione delle lamine e il piano medio

(h0, h1,…,hN) è possibile definire la funzione Q(z) come una funzione costante a tratti:

Q(z) = Qi per hi-1 < z < hi

A titolo di esempio nella seguente figura si riporta l’andamento delle deformazioni e delle

sollecitazioni per un laminato soggetto a flessione cilindrica e deformazione longitudinale costante

nella direzione x.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

00

00

0

x

x

g κ

ε

ε

Andamento delle deformazioni e delle sollecitazioni in un laminato soggetto a flessione cilindrica e a

deformazione longitudinale.

Per ottenere il legame globale del laminato è necessario integrare le caratteristiche della

sollecitazione lungo lo spessore del laminato.

Imponendo l’equilibrio alla traslazione si ricava:

∫−= 2

2

)(H

H dzzσN


29

considerando l’equilibrio alla rotazione si ottiene:

∫−= 2

2

)(H

H zdzzσM

Considerando il legame costitutivo ))(()( 0 κεQσ zzz += le relazioni precedenti si specializzano

come segue:

κQεQκQεQκεQN ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=+= ∫∫∫∫∫ −−−−−

2

2

02

2

2

2

2

2

02

2

0 )()())(())(())((H

H

H

H

H

H

H

H

H

H zdzzdzzdzzzdzzdzzz

κQεQκQεQκεQM ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=+= ∫∫∫∫∫ −−−−−

2

2

202

2

2

2

22

2

02

2

0 )()())(())(())((H

H

H

H

H

H

H

H

H

H dzzzzdzzdzzzzdzzzdzzz

Raccogliendo gli integrali e introducendo le matrici A B e D definite come segue:

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

)(

)(

)(

H

H

H

H

H

H

dzzzD

zdzzB

dzzA

Q

Q

Q

è possibile esprimere il legame fra caratteristiche della sollecitazione e caratteristiche della

deformazione:

κεκQεQN BAzdzzdzzH

H

H

H +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫ −−

02

2

02

2

)()(

κεκQεQM DBdzzzzdzzH

H

H

H +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫ −−

02

2

202

2

)()(

Considerando inoltre che la matrice Q(z) è costante a tratti è possibile sostituire gli integrali con

delle sommatorie come segue:

∑∑∫∫

∑∑∫∫

∑∑∫∫

=

−

=−

=

−

=−

=−

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −===

−===

−

−

−

N

i

iii

N

i

h

h i

H

H

N

i

iii

N

i

h

h i

H

H

N

iiii

N

i

h

h i

H

H

hhdzzdzzzD

hhzdzzdzzB

hhdzdzzA

i

i

i

i

i

i

1

31

3

1

22

2

2

1

21

2

1

2

2

11

1

2

2

3)(

2)(

)()(

1

1

1

QQQ

QQQ

QQQ

Il legame fra caratteristiche della sollecitazione e caratteristiche della deformazione può essere

condensato in un'unica matrice di ordine 6 come segue:


30

[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

ABDDBBA

MMMNNN

κκκγεε

κκκγεε

0

0

0

0

0

0

La matrice A lega le sollecitazioni membranali alle deformazioni membranali, la matrice D lega le

sollecitazioni flessionali alle curvature, la matrice B è detta matrice di accoppiamento perché

accoppia deformazioni nel piano con sollecitazioni flessionali e curvature con sollecitazioni

membranali. Tale matrice risulta essere nulla nel caso di laminati simmetrici.

L’energia elastica immagazzinata per unità di superficie del laminato è data dalla seguente

espressione:

{ } [ ] { } { }areaE T ⋅⋅⋅⋅= κκ ABD21

3.2 Studio di una lamina isolata

La teoria semplificata precedentemente esposta si basa sull’ipotesi che ogni lamina si trovi in uno

stato di tensione piano. Le equazioni costitutive del materiale possono essere quindi ridotte a delle

matrici di ordine 3 (6 nel caso di sollecitazione generica). E’ tuttavia importante sottolineare che le

grandezze in gioco sono di natura tensoriale e pertanto il legame costitutivo andrebbe espresso da

un tensore doppio. Tuttavia, viste le caratteristiche di simmetria di cui godono i tensori delle

tensioni e delle deformazioni, è possibile rappresentare tali tensori, di ordine 2 nel caso di

sollecitazione piana (3 per la generica sollecitazione) con un vettore a 3 componenti (6 per la

generica sollecitazione).

Considerando un materiale anisotropo, il quale presenti tre piani di simmetria è possibile usare

l’ipotesi semplificativa di materiale ortotropo. Tale materiale risulta definito da 9 costanti nel caso

si sollecitazione generica e da 4 costanti nel caso di sollecitazione piana. Se si studia il

comportamento di tale materiale usando il sistema di riferimento di simmetria il legame costitutivo

risulta assai semplice e può essere rappresentato partendo dalle costanti ingegneristiche del

materiale. Le direzioni principali vengono indicate: longitudinale e trasversale. Per una lamina di

composito a fibra lunga unidirezionale, tali direzioni corrispondono alla direzione delle fibre e alla

direzione trasversale alle fibre.


31

Le costanti ingegneristiche hanno un immediato significato fisico e possono essere ottenute

sperimentalmente con delle prove di trazione e di taglio puro.

Nel caso di trazione pura in direzione longitudinale si osservano due dilatazioni nel piano, la prima

proporzionale al modulo di Young in direzione longitudinale:

L

LL E

σε =

la seconda proporzionale alla prima secondo il modulo di Poisson in direzione trasversale:

L

LLTLLTT E

σνενε −=−=

non si osservano deformazioni di taglio.

Analogamente nel caso di sollecitazione monoassiale in direzione trasversale si ha una dilatazione

nella direzione di carico

T

TT E

σε =

ed una seconda dilatazione, proporzionale alla prima secondo il modulo di Poisson, in direzione

trasversale rispetto al carico:

T

TTLTTLL E

σνενε −=−=

anche in questo caso non si osservano deformazioni di taglio.

Nel caso di taglio puro si osserva solo una deformazione di taglio puro, proporzionale allo sforzo

tagliante:

LT

LTLT G

τγ =

Nel caso della generica sollecitazione vale la sovrapposizione degli effetti:

T

TTL

L

LL EE

σνσε −=

L

LLT

T

TT EE

σνσε −=

TL

TLTL G

τγ =

La quale può essere scritta in forma compatta:

Sσε =

avendo definito


32

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

LT

T

L

LT

T

L

τσσ

γεε

σε , S

1EL

νLTEL

−

0

νTLET

−

1ET

0

0

0

1GLT

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

La matrice S viene detta matrice di cedevolezza del materiale ortotropo e consente di calcolare le

deformazioni in funzione delle sollecitazioni assegnate.

La matrice inversa di S viene detta matrice di rigidezza ed è indicata con la lettera Q:

QεεSσ 1 == −

Q

11 νLT νTL⋅−

EL⋅

νLT1 νLT νTL⋅−

ET⋅

0

νTL1 νLT νTL⋅−

EL⋅

11 νLT νTL⋅−

ET⋅

0

0

0

GLT

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

E’ possibile dimostrare con considerazioni di natura energetica, che affinché sia definibile un

potenziale elastico, la matrice di rigidezza deve risultare simmetrica. Visto che la matrice inversa di

una matrice simmetrica risulta essere anche essa simmetrica, imponendo la simmetria della matrice

S si ottiene la seguente relazione:

νTLETEL

νLT⋅:=

che permette di ridurre a 4 le 5 costanti del materiale introdotte precedentemente.

Per quanto riguarda le tensioni è possibile calcolare tale cambiamento per mezzo di considerazioni

geometriche elementari facendo riferimento ad una porzione di materiale a forma di triangolo retto

con i cateti orientati come gli assi del materiale e avente per ipotenusa la direzione x del sistema di

riferimento generico.


33

Equilibrio della lamina in direzione x.

Considerando una porzione di profondità unitaria ed una triangolo con ipotenusa unitaria, per

l’equilibrio alla traslazione orizzontale si ha:

cos( ) sen( ) sen( ) cos( )x L T LT LTm n m nσ σ θ σ θ τ θ τ θ= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

ossia:

)sen()cos()cos()sen()sen()sen()cos()cos( θθτθθτθσθθσθσ LTLTTLx −−+=

La quale può essere estesa con considerazioni geometriche analoghe per ottenere la trasformazione

fra il vettore delle tensioni nel sistema della lamina e lo stesso vettore nel generico riferimento

ruotato:

)(1

)( )( LTxy T σθσ σ−=

avendo definito Tσ-1 come segue:

L

T

Y

θ

θ

σTτLT

τLTσL

θ

σX

X

n

m

1

n=1*sin(θ)

m=1*cos(θ)


34

Tσinv θ( )cos θ( )2

1 cos θ( )2−

sin θ( ) cos θ( )⋅

1 cos θ( )2−

cos θ( )2

sin θ( )− cos θ( )⋅

2− sin θ( )⋅ cos θ( )⋅

2 sin θ( )⋅ cos θ( )⋅

2 cos θ( )2⋅ 1−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

La trasformazione inversa consente di trasformare le tensioni dal generico riferimento al riferimento

della fibra:

)()( )( xyLT T σθσ σ=

Tσ θ( )cos θ( )2

sin θ( )2


sin θ( )2

cos θ( )2


2 sin θ( )⋅ cos θ( )

2− sin θ( )⋅ cos θ( )⋅

cos θ( )2 sin θ( )2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Tale trasformazione può essere ottenuta ricordando che un tensore viene ruotato per moltiplicazione

(e pre-moltiplicazione) della matrice di rotazione (della trasposta della matrice di rotazione):

σxy θ( ) m

n

n−

m⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

T σL

τLT

τLT

σT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅m

n

n−

m⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

σxy θ( )m2 σL⋅ 2 n⋅ m⋅ τLT⋅+ n2 σT⋅+

m− n⋅ σL⋅ m2 τLT⋅ n2 τLT⋅−+ n m⋅ σT⋅+

m− n⋅ σL⋅ m2 τLT⋅ n2 τLT⋅−+ n m⋅ σT⋅+

n2 σL⋅ 2 n⋅ m⋅ τLT⋅− m2 σT⋅+

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

avendo indicato con m ed n rispettivamente cos(θ) e sen(θ).

Per quanto riguarda le deformazioni è necessario osservare che avendo utilizzato le deformazioni

ingegneristiche, non è possibile avvalersi delle trasformazioni tensoriali. Le trasformazioni esposte

non risultano pertanto valide. E’ possibile tuttavia applicare tali trasformazioni alle deformazioni

tensoriali, per le quali la componente γLT deve essere sostituita da 1/2γLT.

Effettuando tale sostituzione, è possibile ottenere le trasformazioni desiderate.

)(1

)( )( LTxy T εθε ε−=

)()( )( xyLT T εθε ε=

Tε θ( )cos θ( )2

sin θ( )2

2− sin θ( )⋅ cos θ( )⋅

sin θ( )2

cos θ( )2

2sin θ( ) cos θ( )⋅

sin θ( ) cos θ( )


cos θ( )2 sin θ( )2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

Tεinv θ( )cos θ( )2

1 cos θ( )2−

2 sin θ( )⋅ cos θ( )⋅

1 cos θ( )2−

cos θ( )2

2− sin θ( )⋅ cos θ( )⋅



2 cos θ( )2⋅ 1−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=


35

E’ possibile a questo punto costruire il legame costitutivo nel riferimento inclinato mediante la

seguente catena di trasformazioni:

)()()()(1

xyT

LTQ

LTT

xy σσεε σε ⎯⎯ →⎯⎯→⎯⎯→⎯ −

che consentono di legare le deformazione alle tensioni nella generica direzione, ovvero di ottenere

la matrice di cedevolezza del materiale per la lamina inclinata, secondo la catena inversa:

)()()()(1

xyT

LTS

LTT

xy εεσσ εσ ⎯⎯ →⎯⎯→⎯⎯→⎯ −

Mediante le applicazioni algebriche illustrate si perviene all’espressione della matrice di rigidezza

del materiale per il generico angolo:

Qtet θ( )

Q11 θ( )

Q12 θ( )

Q13 θ( )

Q12 θ( )

Q22 θ( )

Q23 θ( )

Q13 θ( )

Q23 θ( )

Q33 θ( )

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

dove le 6 componenti risultano essere pari a:

Q11 θ( ) Q1 1, cos θ( )4⋅ Q2 2, sin θ( )4

⋅+ 2 Q1 2, 2 Q3 3,⋅+( ) sin θ( )2⋅ cos θ( )2

⋅⎡⎣ ⎤⎦⋅+:=

Q22 θ( ) Q1 1, sin θ( )4⋅ Q2 2, cos θ( )4

⋅+ 2 Q1 2, 2 Q3 3,⋅+( ) sin θ( )2⋅ cos θ( )2

⋅⎡⎣ ⎤⎦⋅+:=

Q12 θ( ) Q1 1, Q2 2,+( ) 4 Q3 3,⋅−⎡⎣ ⎤⎦ sin θ( )2 cos θ( )2⋅( )⋅ Q1 2, sin θ( )4 cos θ( )4

+( )⋅+:=

Q33 θ( ) Q1 1, Q2 2,+( ) 2 Q1 2,⋅( )− 2 Q3 3,⋅( )−⎡⎣ ⎤⎦ sin θ( )2 cos θ( )2⋅( )⋅ Q3 3, sin θ( )4 cos θ( )4

+( )⋅+:=

Q13 θ( ) Q1 1, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−( ) cos θ( )3 sin θ( )⋅( )⋅ Q2 2, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−( ) cos θ( ) sin θ( )3⋅( )⋅−:=

Q23 θ( ) Q1 1, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−( ) cos θ( ) sin θ( )3⋅( )⋅ Q2 2, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−( ) cos θ( )3 sin θ( )⋅( )⋅−:=

A titolo di esempio si riporta l’andamento della matrice Q per il composito T300/5208 avente le

seguenti costanti ingegneristiche:

EL 181 109⋅ Pa:=

ET 10.3 109⋅ Pa:=

GLT 7.17 109⋅ Pa:=

νLT 0.28:= La matrice Q risulta pari a:


36

Q

181.81

2.9

0

2.9

10.35

0

0

0

7.17

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

109Pa=

La generica matrice risulta “piena”, attingendo per il caso θ=60° i seguenti valori numerici:

Qtet 60 deg⋅( )

23646.76

32462.57

20053.52

32462.57

109379.25

54192.99

20053.52

54192.99

36735.65

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

106 Pa⋅=

L’andamento delle componenti della matrice è riportato nella seguente tabella:

θ (deg) Q11(GPa) Q22(GPa) Q12(GPa) Q33(GPa) Q13(GPa) Q23(GPa) 0 181.81 10.35 2.90 7.17 0.00 0.00 15 160.47 11.98 12.75 17.03 38.50 4.36 30 109.38 23.65 32.46 36.74 54.19 20.05 45 56.66 56.66 42.32 46.59 42.87 42.87 60 23.65 109.38 32.46 36.74 20.05 54.19 75 11.98 160.47 12.75 17.03 4.36 38.50 90 10.35 181.81 2.90 7.17 0.00 0.00

Come si può osservare le direzioni 0° e 90° risultano simmetriche e possono essere ottenute una

dall’altra semplicemente scambiando le componenti longitudinali con quelle trasversali.

Tale andamento è ben evidenziato dalla figure seguente, dove vengono riportati i primi due valori

della diagonale principale, dove si osserva che l’andamento risulta essere simmetrico rispetto al

valore 45°:


37

0 15 30 45 60 75 900

5 .1010

1 .1011

1.5 .1011

2 .1011

Qtet θ( )1 1,

Qtet θ( )2 2,

θdeg

Il termine di accoppiamento fra le due direzioni longitudinali dovuto all’effetto Poisson non risulta

più costante come nel caso di materiali isotropi ma dipende dall’angolo con un andamento

simmetrico rispetto al valore 45°. Anche la costante relativa al taglio mostra un andamento molto

simile:

0 15 30 45 60 75 900

1 .1010

2 .1010

3 .1010

4 .1010

5 .1010

Qtet θ( )1 2,

Qtet θ( )3 3,

θdeg


38

Le grandezze illustrate fino a questo punto sono riconducibili al comportamento di un materiale

isotropo, in cui i termini di accoppiamento avvengono solo fra sollecitazione di

trazione/compressione. Nel caso di una lamina ortotropa inclinata si hanno degli accoppiamenti

anche fra le componenti di trazione/compressione e il taglio il cui andamento è riportato nella figura

seguente:

0 15 30 45 60 75 901 .1010

0

1 .1010

2 .1010

3 .1010

4 .1010

5 .1010

6 .1010

Qtet θ( )1 3,

Qtet θ( )2 3,

θdeg

Come si può osservare dalla figura le componenti di accoppiamento fra σx e γxy (Q13)e gli

accoppiamenti fra σy e γxy (Q23) sono fra loro simmetriche rispetto all’angolo 45° e attingono un

valore massimo all’interno dell’intervallo la cui espressione analitica risulta assai complessa. Tale

espressione può essere ottenuta dall’espressione della Q13

Q1 1, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−( ) cos θ( )3 sin θ( )⋅( )⋅ Q2 2, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−( ) cos θ( ) sin θ( )3⋅( )⋅−

che definendo le costanti A e B,

A Q1 1, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−:=

B Q2 2, Q1 2,− 2 Q3 3,⋅−:=

diventa

A cos θ( )3 sin θ( )⋅( )⋅ B cos θ( ) sin θ( )3⋅( )⋅− ,

calcolando la derivata e cercando i valori che la annullano:

3− A⋅ cos θ( )2⋅ sin θ( )2

⋅ A cos θ( )4⋅+ B sin θ( )4

⋅ 3 B⋅ cos θ( )2⋅ sin θ( )2

⋅−+ 0


39

atan1

2 B⋅( )2⋅ B 3 A⋅ 3 B⋅+ 9 A2⋅ 14 B⋅ A⋅+ 9 B2⋅+( )

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

atan1

2 B⋅( )2⋅ B 3 A⋅ 3 B⋅+ 9 A2⋅ 14 B⋅ A⋅+ 9 B2⋅+( )

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

−

atan1

2 B⋅( )2⋅ B 3 A⋅ 3 B⋅ 9 A2⋅ 14 B⋅ A⋅+ 9 B2⋅+( )

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

atan1

2 B⋅( )2⋅ B 3 A⋅ 3 B⋅ 9 A2⋅ 14 B⋅ A⋅+ 9 B2⋅+( )

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

−

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

90− 6.93i−

90 6.93i+

30.47−

30.47

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

deg=

La soluzione relativa al massimo è in questo caso pari a circa 30.5°.

La risoluzione di tale problema si semplifica notevolmente nel caso di compositi che presentano

valori identici dei moduli in direzione longitudinale e trasversale, quali ad esempio i compositi

tessuti, per i quali le costanti A e B risultano identiche e si ottiene:

A cos θ( )3 sin θ( )⋅( )⋅ A cos θ( ) sin θ( )3⋅( )⋅−

6− A⋅ cos θ( )2⋅ sin θ( )2

⋅ A cos θ( )4⋅+ A sin θ( )4

⋅+ 38

π⋅

atan 1 2−( )18

π⋅

atan 1− 2−( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

La soluzione relativa al massimo è in questo caso pari a 22.5°.

I termini di accoppiamento esposti possono a prima vista rendere più difficoltosa la progettazione,

ma possono anche essere utilizzati a vantaggio del progettista. Una lamina piana inclinata associa i

comportamenti di trazione a quelli di taglio ciò significa che è possibile ottenere delle strutture per

cui delle sollecitazioni flessionali inducono torsione, o delle strutture che si deformano per taglio

quando vengono messe in trazione. Tali effetti, se opportunamente calcolati, possono condurre a

soluzioni tecniche molto interessanti.

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