Tecnica delle

Costruzioni:

le travi in C.A.

Prof. Ing. Ferrario Gianluigi

I.T.E.T. G. MAGGIOLINI di Parabiago (MI)

Costruzioni Ambiente e Territorio

STATI LIMITE ULTIMI per M + N

Lo stato limite ultimo corrisponde nelle strutture alla rottura dell’elemento

considerato a causa delle sollecitazioni a cui è sottoposto. Le verifiche degli

elementi strutturali orizzontali (solai e travi) si basano sulle seguenti ipotesi:

1. Conservazione delle facce piane;

2. Perfetta Aderenza tra CLS e Acciaio;

3. Resistenza nulla a trazione, per cui il cls in zona tesa sarà totalmente

fessurato;

4. La rottura del CLS avviene quando raggiunge la deformazione limite del

3,5permille.

Con l’ipotesi di considerare la rottura

del CLS ad un più conservativo

2permille a cui corrisponde, da prove

in laboratorio una deformazione delle

armature tese > del 2permille .

STATI LIMITE ULTIMI per M + N

In tal caso possiamo utilizzare la trattazione semplificata «Stress – Block» del diagrammi delle tensioni

Il limite di resistenza della sezione si determina quando uno dei due materiali

ha raggiunto la sua deformazione ultima.

STATI LIMITE ULTIMI per M + N

Possono aversi diversi scenari o (campi) di rottura dove le lettere maiuscole

individuano le possibili posizioni dell’asse neutro.

Campo 1 – Tenso-flessione (trazione con debole eccentricità)

Campo 2 – massimo allungamento dell’acciaio e calcestruzzo non completamente sfruttato; la rottura

della sezione avviene per raggiungimento della deformazione ultima nell’acciaio con il calcestruzzo

che presenta una residua capacità di deformarsi – sezione ad armatura debole.

Campo 3 – ROTTURA PERFETTA o BILANCIATA: massimo accorciamento del calcestruzzo con acciaio in

campo plastico – sezione ad armatura normale.

Campo 4 – massimo accorciamento del calcestruzzo con acciaio in campo elastico; la rottura della

sezione avviene per schiacciamento del cls mentre l’acciaio presenta una residua capacità di

deformarsi – sezione ad armatura forte.

Campo 5 – Flessione composta.

Campo 6 – Pressoflessione con piccola eccentricità.

LE TRAVI IN C.A.

Possiamo progettare le travi in c.a. seguendo due scelte tecnologiche:

- Travi in spessore di solaio: travi la cui altezza è compresa nello spessore del solaio, sono spesso usate negli edifici d’abitazione che non richiedono luci

troppo elevate. La forma della sezione è di solito sensibilmente appiattita

poiché, restando fissata l’altezza in misure generalmente inferiori a quelle

derivanti dai proporzionamenti ordinari, la larghezza, derivante dalla

condizione di resistere alle sollecitazioni massime, risulta notevole.

Generalmente l’altezza di tali travi è bene che non sia inferiore a 1/20

della luce massima. La larghezza della sezione è empiricamente calcolata

con la formula: B=lc/6.

- Travi emergenti: travi la cui altezza fuoriesce rispetto l’intradosso o l’estradosso del solaio . Solitamente le travi in ribasso o emergenti hanno

base prefissata come la larghezza del pilastro che la sostengono e altezza

empiricamente determinata con la formula: h= lc/12

LE TRAVI IN C.A.

In tecnica delle Costruzioni le Travi possono avere una singola (semplice)

armatura o una doppia armatura se:

- Semplice Armatura: armatura in acciaio posizionata nella sola zona tesa del CLS

- Doppia Armatura: armatura in acciaio posizionata sia in zona tesa che compressa del CLS

LE TRAVI IN C.A.

Quando scelgo una o l’altra? Dipende dal calcolo del Momento Limite

Il momento limite (Mlim) è un parametro teorico che definisce il momento

massimo che può essere sopportato da una sezione geometrica se dotata di

semplice armatura:

𝑴𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟓𝟕 𝒇𝒄𝒅 𝒃 𝒅𝟐

Se il Med che sollecita la sezione è minore di Mlim, la sezione

adotterà una semplice armatura;

Se il Med che sollecita la sezione è maggiore di Mlim, la

sezione adotterà una doppia armatura.

LE TRAVI A SEMPLICE ARMATURA

La verifica consiste nel calcolare il Mrd.

Se la sezione è ben calcolata, ponendo il limite di Campo 2-3 con K=0,259

abbiamo la seguente situazione:

Le risultanti risultano essere:

C= 0,8 x fcd b

S= As fyd Per l’equilibrio alla traslazione orizzontale: C=S

abbiamo che: 0,8 x fcd b= As fyd

Pertanto la posizione dell’asse neutro risulta essere: 𝒙 = 𝑨𝒔 𝒇𝒚𝒅

𝟎,𝟖 𝒃 𝒇𝒄𝒅

LE TRAVI A SEMPLICE ARMATURA

La verifica consiste nel calcolare il Mrd.

Se la sezione è ben calcolata, ponendo il limite di Campo 2-3 con K=0,259

abbiamo la seguente situazione:

Il momento resistente invece viene calcolato imponendo la condizione di

equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante C:

𝑴𝒓𝒅 = 𝑺 𝒛 = 𝑨𝒔 𝒇𝒚𝒅 (𝒅 − 𝟎, 𝟒𝒙)

LE TRAVI A SEMPLICE ARMATURA

Il progetto delle armature.

Per sfruttare al meglio entrambi i materiali abbiamo detto che conviene

imporre il limite del campo 2-3 con K=0,259.

Il Momento interno della Coppia di forze C e S con braccio z dovrà essere

uguale al momento sollecitante:

𝑴𝒆𝒅 = 𝑺 𝒛 = 𝑨𝒔 𝒇𝒚𝒅 (𝒅 − 𝟎, 𝟒𝒙)

X= k d = 0,259 d Sostituendo:

𝑴𝒆𝒅 = 𝟑𝟓𝟎, 𝟒𝟗 𝑨𝒔 𝒅

Quindi:

𝑨𝒔 = 𝑴𝒆𝒅

𝟑𝟓𝟎, 𝟒𝟗 𝒅

LE TRAVI A SEMPLICE ARMATURA

Le verifiche normative:

LE TRAVI A SEMPLICE ARMATURA

Le verifiche normative – le staffe

Ast= 1,5 b = mmq/m = N° bracci x N° Staffe x Astaffa

Il più restrittivo tra: N° staffe= 3 St/ m oppure 0,8 d

Nella classica staffa "standard" rettangolare i bracci sono i lati della staffa

stessa. Dunque tale staffa è a due bracci.

La staffa a 4 bracci è solitamente realizzata mediante la messa in opera di

due staffe rettangolari affiancate (e parzialmente sovrapposte).

Da questa ricavo l’area della staffa!

LE TRAVI A DOPPIA ARMATURA

La verifica consiste nel calcolare il Mrd.

Se la sezione è ben calcolata, ponendo il limite di Campo 2-3 con K=0,259

abbiamo la seguente situazione:

Le risultanti risultano essere:

C= 0,8 x fcd b

St= As fyd

Sc=As’ fyd Per l’equilibrio alla traslazione orizzontale: C+Sc=St

abbiamo che: 0,8 x fcd b-As’ fyd = As fyd

Pertanto la posizione dell’asse neutro risulta essere: 𝒙 = (𝑨𝒔−𝑨′

𝒔)𝒇𝒚𝒅

𝟎,𝟖 𝒃 𝒇𝒄𝒅

LE TRAVI A DOPPIA ARMATURA

La verifica consiste nel calcolare il Mrd.

Se la sezione è ben calcolata, ponendo il limite di Campo 2-3 con K=0,259

abbiamo la seguente situazione:

Il momento resistente invece viene calcolato imponendo la condizione di

equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante C:

𝑴𝒓𝒅 = 𝑺𝒕 𝒛 + 𝑺𝒄 𝒛′ = 𝑺𝒕 𝒅 − 𝟎, 𝟒𝒙 + 𝑺𝒄 𝟎, 𝟒𝒙 − 𝒅′

Sostituendo St e Sc ottengo:

𝑴𝒓𝒅 = 𝑨𝒔 𝒇𝒚𝒅 𝒅 − 𝟎, 𝟒𝒙 + 𝑨𝒔′𝒇𝒚𝒅 𝟎, 𝟒𝒙 − 𝒅′

LE TRAVI A DOPPIA ARMATURA

Il progetto delle armature.

Per sfruttare al meglio entrambi i materiali abbiamo detto che conviene

imporre il limite del campo 2-3 con K=0,259.

Se occorre la doppia armatura il momento si compone di due diverse

aliquote: una legata al Momento Limite e una legata al surplus che rende

necessaria la doppia armatura.

Per la parte del Momento Limite abbiamo:

𝑨𝒔𝟏 =𝑴𝒍𝒊𝒎

𝟑𝟓𝟎, 𝟒𝟗 𝒅

Per il surplus abbiamo:

𝑨𝒔𝟐 =𝑴𝒆𝒅 − 𝑴𝒍𝒊𝒎

𝒇𝒚𝒅(𝒅 − 𝒅′)

L’armatura in zona tesa risulterà essere data dalla somma dei due contributi:

As = 𝑨𝒔𝟏 + 𝑨𝒔𝟐 L’armatura in zona compressa risulterà essere data dal solo contributo del

surplus: As’ = 𝑨𝒔𝟐

LE TRAVI A SEMPLICE ARMATURA

Le verifiche normative:

LE TRAVI A SEMPLICE ARMATURA

Le verifiche normative – le staffe

Ast= 1,5 b = mmq/m = N° bracci x N° Staffe x Astaffa

Il più restrittivo tra: N° staffe= 3 St/ m oppure 0,8 d

Nella classica staffa "standard" rettangolare i bracci sono i lati della staffa

stessa. Dunque tale staffa è a due bracci.

La staffa a 4 bracci è solitamente realizzata mediante la messa in opera di

due staffe rettangolari affiancate (e parzialmente sovrapposte).

Da questa ricavo l’area della staffa!

Barre di armatura: Ancoraggio

Negli strutture in c.a. la collaborazione tra l’acciaio ed il calcestruzzo è

garantita:

• dall’aderenza lungo tutto lo sviluppo longitudinale della barra;

• dall’ancoraggio di estremità delle barre nel calcestruzzo.

Pertanto le armature devono essere ancorate in modo tale da consentire la

completa trasmissione degli sforzi di scorrimento tra i due materiali ed evitare

la fessurazione longitudinale ed il distacco del calcestruzzo.

Quello dell’ancoraggio delle barre di armatura è un punto molto importante

da tenere in considerazione. Le prescrizioni normative prevedono che le

giunzioni delle barre stesse siano eseguite in zona utilmente compressa, salvo i

casi in cui non sia inevitabile effettuarle in zona tesa; in tal caso si dovranno

tenere in conto accorgimenti appositi.

Il taglio negli appoggi: un grande problema! Gli sforzi di taglio di una trave sono sempre accompagnati dalla presenza di

flessione, pertanto il comportamento degli elementi strutturali dipende in

generale dall’accoppiamento taglio-momento flettente;

La presenza del momento flettente provoca la parzializzazione della sezione

a causa della resistenza quasi nulla a trazione del calcestruzzo.

Il taglio puro provoca una tensione di trazione ed una di comprensione di uguale intensità, pari a τ lungo direzioni, dette principali, inclinate di 45° sulla

verticale.

Il Traliccio di Ritter-Mörsch

Il Traliccio di Ritter-Mörsch Oltre all’effetto pettine, occorre considerare i seguenti fenomeni che

influenzano in comportamento a taglio:

1) Resistenza del cls integro

nella zona compressa, che

riduce l’altezza del dente

(Effetto Pettine)

2) Resistenza per

ingranamento degli inerti

3) Resistenza per effetto bietta

Il Traliccio di Ritter-Mörsch Poiché nel traliccio di Mörsch le staffe sono tese e la biella di calcestruzzo è

compressa, l’elemento tra i due che arriva prima a rottura determina il valore

di resistenza del tratto di trave esaminato:

VRd = min (VRsd; VRcd) Dove

Il Traliccio di Ritter-Mörsch Attualmente la tendenza progettuale è quella di far assorbire il 100% dello

sforzo di taglio alle staffe, non utilizzando ferri piegati. L’area delle staffe la

ricaviamo dai passaggi effettuati nelle prescrizioni normative, non ci resta

che trovare il passo nella zona di ancoraggio:

𝐬 =𝑨𝒔𝒘 𝒇𝒚𝒅 𝟎,𝟗 𝒅

𝑽𝒆𝒅

Da impostare nella zona

lo = 𝑽𝒆𝒅 −𝑽′𝒓𝒅

𝑽𝒆𝒅 𝑳 con L lunghezza trave e

Barre di armatura: Ancoraggio

Passiamo ora invece all’analisi della lunghezza di ancoraggio delle barre: la

norma stabilisce che tale lunghezza sia:

Lb,net= αa x Lb x (As,nec /As,es)≥ Lb min

Dove:

αa= 1 per barre dritte o 0,7 per barre piegate in trazione se il ricoprimento

perpendicolare al piano di curvatura è almeno pari a 3 Ø;

Lb = (Ø x fyd)/(4 x fbd) = lunghezza di ancoraggio di base;

As,nec e As,es = sono rispettivamente, l’area di armatura necessaria e l’area

effettivamente utilizzata.

Lb min è il più grande tra :

- 0,3 Lb; 10 Ø; 100 mm per ancoraggi in trazione

- 0,6 Lb; 10 Ø; 100 mm per ancoraggi in trazione

Dove: fbd = tensione tangenziale di aderenza = (2,25 x fctk)/ γc

fyd = resistenza di calcolo = 391 MPa

Solitamente è di tendenza utilizzare una lunghezza di ancoraggio pari a 40

diametri a favore di sicurezza per ogni giunzione ed ancoraggio, ove risulti

inferiore.

Fonti

• D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 -

Suppl. Ord.) Norme tecniche per le Costruzioni”

• Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei

Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 – Suppl. Ord.) “Istruzioni per

l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14

gennaio 2008”.

• Corso di Progettazione Costruzioni Impianti U.Alasia

• Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco

Zanghì

• Cemento armato. Calcolo agli stati limite di Giandomenico Toniolo

(Autore), Marco Di Prisco (Autore)