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M. Escher. 1943. Xilografia. Collezione Federico Giudiceandrea

SUSI

RACCOLTA casuale di esercizi elementari, non tutti standard, dei quali si fa

memoria per cogliere l’occasione di analizzare le procedure psicologiche di

soluzione. Il nome del file vorrebbe richiamare i “Quesiti con la Susi” che

compaiono periodicamente nella “Settimana enigmistica” e che talvolta richiedono

delle procedure un po’ diverse da quelle imposte dai libri abituali scolastici di

matematica. Spesso è utile il confronto fra la soluzione ottenuta con metodi abituali e

quella che si può ottenere con programmi di calcolatore.

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1 CALCOLO ENIGMATICO.

Sia ***4** 7 = 6743*56. Mettere delle cifre al posto degli asterischi.

(Pierre Berloquin. 100 jeux numériques)

R. Si osserva che solo i numeri ottenuti da 6743*56 sostituendo la cifra 1 o la cifra 8

al posto dell’asterisco sono divisibili per 7. Si trova subito: 6743856 = 7 963408.

PROGRAMMA IN BASIC

10 A = 6743056

20 IF K > 9 GOTO 110

30 B = A + 100K

35 D = INT(B/7)

40 C = B – 7D

50 IF C = 0 GOTO 80

60 K = K+1

70 GOTO 20

80 PRINT B, B/7

90 K = K+1

100 GOTO 20

110 PRINT “END”

120 END

Il programma costruisce tutti i 9 numeri della forma X = 6743056 + 100 K ( 0 < K <

10); ognuno viene diviso per 7, per cercare quale dà zero come resto.

Si ritrova: 6743856 = 7 963408. Ramponio 061688

2 - Esercizio sulla nota domanda di determinare qual è il massimo numero

rappresentabile con tre cifre; c’è la scelta tra:

A = e B = .

OSSERVAZIONE. Occorre precisare che si vogliono impiegare soltanto tre cifre,

perché nella realtà occorrono cinque segni, ed occorre anche enunciare una regola di

lettura delle formule, che, per esempio, dia senso alle parentesi.

Indichiamo con il logaritmo decimale di x: quindi se è per esempio =

3, 45678, si avrà 1000 < x < 10000.

Si ha: = 0,954242…, e quindi: = 9 = 8,58817…

Dunque: . Ma è ; quindi si ottiene:

3

0,954242 < < 0,954242 .

Si trae da qui che l’espressione di A richiede almeno cifre arabe.

Si ha: = , ossia: = 9 8,58817… = 77, 2935…..

Quindi l’espressione di B richiede meno di 78 cifre arabe. 112600

3 PROBLEMA ARITMETICO. Elementare, ma interessante per analizzare la

procedura logica di soluzione. (Settimana enigmistica. N. 2944 - 082788)

Un fruttivendolo confeziona parecchie ceste; alcune di limoni, altre d’arance, altre di

cedri. Ogni cesta contiene lo stesso numero di agrumi. Poiché i limoni sono più delle

arance, e queste più dei cedri, ed il prodotto dei tre numeri vale 365010, quanti

limoni, quante arance e quanti cedri ha egli disposto?

R. Poiché si ha: 65010 = 2 3 5 , vi sono 2 ceste di cedri, 3 di arance e 5 di limoni.

Il numero totale dei frutti è ovviamente:

(2 + 3 + 5) 23 = 46 + 69 + 115 = 230.

4 PROBLEMA ARITMETICO. (Settimana enigmistica. N. 2193. 6 aprile ’84).

La somma delle due cifre di un numero è 10. Scritte in ordine inverso esse danno un

numero che è inferiore di 1 al doppio del numero cercato.

R. Siano x ed y le cifre della rappresentazione decimale del numero N, sia cioè

N = 10 x + y. Si hanno le equazioni:

x + y = 10 ; 10 y + x = 2(10 x + y) –1. Si trova N = 37.

OSSERVAZIONE. Si tratta di un facilissimo esercizio di trascrizione dei dati del

problema con il linguaggio matematico, tenendo presenti le convenzioni della

rappresentazione decimale. Le procedure dell’algebra permettono poi di giungere al

risultato in modo automatico. Ramponio 072788

5 PROBLEMA (Pierre Berloquin - 100 jeux numériques)

Tizio ha speso tutto quanto aveva in tasca in 5 negozi: nel primo ha speso la metà di

tutto quello che aveva più un franco; nel secondo la metà di quello che gli era rimasto

più un franco, ecc.; nel quinto metà di quello che gli era rimasto più un franco, ed è

rimasto a zero. Quanto aveva all’inizio?

Si tratta qui di un tipico problema che si risolve, per così dire, con “moto

contrario”, cioè ponendosi coll’immaginazione nelle condizioni finali della procedura

4

descritta: se nell’ultimo negozio Tizio ha speso la metà di tutto quello che era rimasto

più un franco, ciò significa che quel franco era la metà di quello che aveva. Quindi è

entrato nell’ultimo negozio con 2 franchi. Questi due franchi, più 1, sono la metà di

quello che aveva entrando nel quarto: perciò a quel punto aveva 6 franchi… E così

via retrocedendo si ottiene che entrando nel primo negozio aveva 62 franchi.

Il problema si presta come divertente esercizio di programmazione in BASIC. In

questi casi si può adottare la procedura che porta ad analizzare tutti i possibili

patrimoni iniziali, fino a che non si incontri quello che soddisfa alle condizioni del

problema.

Chiamiamo X la somma iniziale, e passiamo in rivista i valori di X, partendo da

X=1.

10 X = 1

20 A = X – X/2 –1

30 B = A – A/2 – 1

40 C = B – B/2 -1

50 D = C -C/2 –1

60 E = D – D/2 –1

70 IF E=0 GOTO 100

80 X = X+1

90 GOTO 20

100 PRINT “X=”X

110 END

Ovviamente A indica la somma con cui si esce dal primo negozio, B quella con cui si

esce dal secondo ecc. L’istruzione 70 traduce la condizione del problema.

OSSERVAZIONE. Questo esercizio ritorna spesso nelle rubriche di enigmistica

sotto forme diverse: spesso viene proposto con riferimento a contenuti che non si

possono spezzare, per esempio uova.

6 PROBLEMA. ( Pierre Berloquin. 100 Jeux numériques N. XXIX)

In una certa città, su 100 abitanti adulti 85 sono sposati, 70 hanno il telefono, 75

hanno l’automobile, 80 sono proprietari di case. Qual è il minimo numero di abitanti

che sono contemporaneamente sposati, abbonati al telefono, proprietari di automobili

e proprietari di case ?

Ecco un esercizio inconsueto, perché avvia ad utilizzare la relazione tra l’algebra di

Boole dei sottoinsiemi di un insieme e l’algebra abituale dei numeri. Occorre partire

dalla relazione fondamentale tra le due algebre: detti e due insiemi finiti, ed

indicati con ed rispettivamente le loro cardinalità intere, si ha:

(1) .

5

Siano ora: i quattro insiemi ricordati nell’enunciato, e siano

rispettivamente le loro cardinalità. Dall’enunciato del problema si ha:

(2) x = 85 ; y = 70 ; z = 75 ; u = 80.

Utilizzando la (1) si può scrivere:

(3) .

Teniamo ora conto che si ha ovviamente:

(4) .

Segue di qui e dalla (3) che si deve avere:

(5) – .

Possiamo ora porre:

(6) e rifare i ragionamenti svolti sopra per l’insieme

(7) .

Si avrà, analogamente alla (5):

(8) .

Possiamo ora porre:

(9) ;

ripetendo i ragionamenti fatti finora sull’insieme si trova: – – – . Pertanto i cittadini che sono contemporaneamente sposati, proprietari di casa e di

automobile, ed utenti del telefono, sono almeno il 10% della popolazione.

Si noti che la formula (10) è simmetrica rispetto ai dati: quindi il risultato non

dipende dall’ordine scelto per eseguire le operazioni logiche ed aritmetiche. 120300

7 PROBLEMA ARITMETICO.

Determinare un numero minore di 100 il quale, diviso per 2, dia resto 1, diviso per 3

dia resto 2, diviso per 4 dia resto 3, diviso per 5 dia resto 4.

Siano x, y, z, u opportuni numeri interi. Il numero N che si cerca deve soddisfare

alle equazioni:

(1) 2x + 1 = 3y + 2 = 4z + 3 = 5u + 4 .

Indichiamo provvisoriamente con A, B, C, D i quattro polinomi che figurano tra i

segni di uguaglianza. Dall’equazione:

(2) A = C,

si trae:

(3) x = 2z +1

e dall’equazione:

(4) B = C,

scritta nella forma:

(5) 3y = 4z +1,

si trae l’insieme di soluzioni:

6

(6) y = 3 + 4n ; z = 2 + 3n (n intero arbitrario);

e quindi si ha anche:

(7) x = 5 + 6n.

L’equazione:

(8) C = D

può ora essere scritta come un legame tra u ed n; fatti i calcoli si ottiene:

(9) 5u = 12 n + 7.

A questo punto si può instaurare un procedimento per tentativi, analizzando in modo

esauriente tutti i multipli di 12 che, aumentati di 7, danno un multiplo di 5. Si trova:

(10) n = 4 e di qui, con pochi calcoli,

(11) N = 59 = 2 29 + 1 = 3 19 + 2 = 4 14 + 3 = 5 11 + 4.

OSSERVAZIONE. Il problema appare interessante perché non si risolve con una

formula, ma con calcoli e con tentativi ragionevoli: quindi si mostra qui che la

matematica non è la “scienza delle formule”, ma la scienza delle procedure

ragionevoli. 120400

8 PROBLEMA

Calcolare la somma di tutti i numeri rappresentati con 3 cifre dispari diverse tra loro.

OSSERVAZIONE. Ovviamente non esistono cifre dispari: esistono numeri dispari

rappresentati da una sola cifra, nelle abituali convenzioni: essi sono i cinque

seguenti: 1, 3, 5, 7, 9. Ma accettiamo l’espressione impropria perché molto comune.

I numeri di cui si tratta sono sessanta. Infatti, scelta una cifra, per esempio la prima a

destra, e ciò ammette 5 gradi di libertà, la seconda da destra può essere scelta soltanto

in 4 modi, in forza della clausola enunciata dal problema. E fissate la prima e la

seconda cifra da destra, la terza può essere scelta soltanto in 3 modi, sempre in forza

della clausola suddetta, dunque 5 modi. Quindi, nell’elenco dei numeri,

quelli che hanno una determinata cifra a destra (per esempio 1) compariranno per 4 3

= 12 volte. Si osserva ora che si ha: 1+ 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Quindi sommando tutte

le prime cifre a destra si ottiene: 12 25 = 300.

Lo stesso ragionamento si può ripetere per le seconde e le terze cifre da destra (che

sono le prime da sinistra: ciascuna cifra compare 12 volte); e si otterrà

rispettivamente 10 300 e 100 300. In totale quindi la somma cercata è 33300.

OSSERVAZION E. Interessante esercizio di combinatorica. Interessante è anche il

confronto della procedura seguita fin qui per rispondere al problema con una

eventuale procedura che utilizzi un programma di calcolo. In questo secondo caso

l’operazione di sommare i numeri non costa fatica; invece occorre qualche attenzione

per fare scrivere al calcolatore tutti i numeri di cui parla il problema. Il risultato si

7

estende facilmente al caso di un numero n di cifre dispari qualunque. Diamo la

procedura per il seguente

PROBLEMA BIS (semplificazione del precedente):

Sommare tutti i numeri rappresentati da due cifre dispari diverse tra loro. La

procedura per la risposta porta ad osservare che i numeri sono 5 4 = 20, e che

nell’elenco di tutti i numeri quelli che hanno una data cifra delle unità (per esempio la

cifra 1) sono ovviamente 4. Quindi la somma di tutte le cifre delle unità vale

ovviamente 25 4 = 100, e la somma totale vale dunque 1100.

Programma in linguaggio BASIC

10 REM’ COSTRUZIONE DI INSIEMI NUMERICI. NOME “FLIP”

20 I= 0

30 IF I> 4 GOTO150

40 X = 2*I + 1

50 J = 0

60 IF J > 4 GOTO 130

70 Y = 2*J +1

80 IF X=Y GOTO 110

90 Z = 10*X + Y

100 S= S + Z

110 J=J+1

120 GOTO 60

130 I = I+1

140 GOTO 30

150 PRINT S

COMMENTO. L’istruzione 80 provvede ad evitare che le cifre del numero Z che si

costruisce con la 90 siano uguali tra loro. 120400

9 PROBLEMA

Indicate con X, Y, Z tre cifre arabe diverse tra loro, risolvere il “calcolo enigmatico”

seguente:

XXX +

YYY +

ZZZ =

YXXZ

R. Esaminando la prima colonna a destra si conclude che deve essere:

(1) X + Y = 10.

Esaminando poi la seconda colonna da destra si conclude che deve essere:

8

(2) X = Z + 1,

infatti la X nasce dal “riporto” delle tre cifre della prima colonna di destra, riporto

che è ovviamente 1, in forza della (1); per la stessa ragione si conclude che deve

essere:

(3) Y = 1.

Si conclude quindi che deve essere :

(4) X = 9 ; Y = 1 ; Z = 8.

OSSERVAZIONE. Abbiamo scritto: XXX, YYY, ZZZ invece delle notazioni più

precise, che sarebbero: X ecc.

Nel ragionamento abbiamo usato tre volte il termine “deve”; il che significa che la

procedura logica seguita è quella della “analisi”, cioè della deduzione certa di

conseguenze dai dati e dalle premesse, accettate come vere: qui le premesse sono le

leggi della addizione dei numeri, le convenzioni abituali per la loro rappresentazione,

e le regole pratiche per la esecuzione delle operazioni.

La correlativa procedura di “sintesi”, in questo caso, si realizza semplicemente

verificando che con i valori (4) i conti tornano.

Si tratta quindi di procedure classiche, utilizzate (sotto varie forme) in ogni

risoluzione di problema, enunciate già da Euclide e da Aristotele e codificate da

Proclo (III secolo d. C.). Gli americani pretendono di averle inventate loro (come

l’acqua calda e l’ombrello), e le chiamano “Top Down” e “Bottom Up”.

Si può scrivere un programma in BASIC, che dovrebbe incontrare alcune piccole

difficoltà già superate nell’esercizio precedente, per far sì che vengano costruiti dei

numeri con le cifre X, Y, Z tutte diverse tra loro. 122000

10 QUESITO CON LA SUSI. (Settimana Enigmistica. N.2273 del 18 0tt. ’85)

È dato un mazzo di 40 carte, che vengono distribuite a 4 giocatori: 10 carte per

ciascuno. Si sommano i punti che ciascuno ha in mano e si trova: Aldo ha il

punteggio più basso; Gianni ha 37 punti più di Berto e 24 meno di Susi. Chi ha in

mano il settebello?

R. Contando i punti secondo il valore facciale delle carte, nell’intero mazzo vi sono:

4 55 = 220 punti.

Poiché ogni giocatore deve avere 10 carte, il minimo punteggio che può avere un

giocatore è:

4 assi = 4 punti +

4 due = 8 punti + TAB. I

2 tre = 6 punti

totale 18 punti.

Analogamente il massimo punteggio di un giocatore può valere 92 punti, ottenuti

con:

9

4 dieci + 4 nove + 2 otto TAB. II.

Indicando rispettivamente con a, b, g, s i punteggi dei giocatori, il problema conduce

a scrivere le relazioni:

e quindi:

(2) ,

dunque:

(3) .

Si deve quindi discutere l’equazione di analisi indeterminata:

(4) – .

Dalla seconda delle (1) e dalla Tab. II si ha:

(5) , ossia:

(6 .

Se fosse:

(6) b < 31,

dalla (4) avremmo:

(7) ,

contro l’indicazione del problema, secondo la quale a è il minimo tra i punteggi.

Deve quindi essere:

(8) b = 31.

Si deve allora avere

(9) .

Si osserva ora che il massimo s può essere ottenuto soltanto nel modo esposto dalla

TAB II, quindi il secondo valore g, con le carte restanti, può essere ottenuto soltanto

nel modo seguente:

(10) 2 otto (gli altri due li ha Susi) + 4 sette + 4 sei.

Pertanto Gianni deve avere in mano 4 sette, ed in particolare il settebello!

11 PROBLEMA (Settimana Enigmistica. Ignote le coordinate temporali)

Una donna dice: “Ho comprato delle uova, ed ho pagato complessivamente £ 720.

Tirando sul prezzo, sono riuscita ad averne due in più rispetto a quelle che voleva

darmi il contadino, riuscendo così a pagarle £ 60 in meno alla dozzina, rispetto al

prezzo che mi aveva chiesto. “ Quante uova ha comperato la donna?

R. Indichiamo con n il numero cercato. Si ha:

prezzo definitivo alla dozzina: 12

;

prezzo richiesto prima della contrattazione: 12

.

Si ottiene quindi: 12

= 60 +

.

10

Con pochi calcoli si ottiene: 1 +

, ossia:

(*) n (n 2) = 288.

Si ha quindi un’equazione di II grado che ha una sola radice positiva uguale a 18.

OSSERVAZIONE. Si può osservare che il numero n che compare nella (*) non può

essere dispari. Si può quindi porre:

,

e scrivere la (*) nella forma:

(**) = 72.

0ppure: fatto nella (*)

(***) ,

la stessa viene scritta nella forma: , ossia:

.

NdR File reimpaginato agosto 2015

J. Berger

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12(1999) Associazione Subalpina Mathesis. “Le settimane matematiche”-

Gruppo docenti “GALFER”. (File reimpaginato marzo 2016)

QUESTIONI ERRANTI: IL RITORNO DA SCUOLA. Quando Marco torna a casa da

scuola per raggiungere il proprio appartamento situato al primo piano, deve

affrontare una rampa di scale composta di 16 gradini. Ad ogni passo Marco sale di

uno o due gradini, indifferentemente. In quanti diversi possibili modi può compiere

tale percorso?

OSSERVAZIONE 1. Il problema può essere generalizzato nel modo seguente: è

dato un insieme di elementi totalmente ordinato; come modello generale di

tale insieme si potrebbe assumere l’insieme dei primi n numeri naturali:

(1) { }

Sia un secondo insieme i cui elementi possono essere i singoli elementi di ,

oppure le coppie di elementi contigui di stesso, con la (ovvia) condizione che

due coppie non possono avere elementi in comune. Si domanda quanti insiemi

come possono essere costruiti.

Indichiamo con il simbolo:

(2)

il numero degli insiemi (ovviamente di elementi) in ognuno dei quali vi sono

coppie di elementi contigui. chiaro che tra i numeri e debbono sussistere

certe relazioni necessarie; per esprimerle indichiamo con il solito simbolo:

(3) ⌊ ⌋

il massimo intero non maggiore di ; è chiaro allora che la funzione ha senso

soltanto se sono valide le relazioni:

(4) ⌊ ⌋

Per comodità di scrittura delle formule, potremo porre convenzionalmente:

(5) ⌊ ⌋

Quindi si avrà in particolare:

(6) .

Si verifica poi direttamente che si ha:

(7)

Possiamo ora tentare di istituire un procedimento di induzione sui valori di .

A tal fine calcoliamo anzitutto ; per fare ciò osserviamo che, data una

coppia , che sia la prima coppia a sinistra, nel segmento a destra di

questa vi possono essere soltanto coppie contigue, a norma della (7),

nella quale si pone al posto di . Pertanto il numero degli

12

insiemi che posseggono delle coppie di coppie contigue come è

dato da:

(8) ∑ .

Tenuto conto della (5), la (8) fornisce come risultato finale:

(9)

Partendo da questo risultato possiamo stabilire la formula generale ricorsiva

rispetto a k che permette la soluzione del problema: a tal fine, indicando con

l’indice del primo elemento della prima coppia a sinistra, si avrà:

(10) ∑ .

Pertanto il numero di tutti i possibili insiemi sarà dato da:

(10)bis ∑ .

OSSERVAZIONE 2. Il ragionamento potrebbe essere presentato anche nel modo

seguente. Si osserva anzitutto che, posto:

(11) ⌊ ⌋

si ha:

(12) se è pari ; se è dispari.

È ora possibile stabilire una formula ricorrente che permette una tabulazione

relativamente facile con le seguenti osservazioni. Consideriamo il primo posto a

sinistra (quello che porta il numero 1); si hanno allora due ipotesi, mutuamente

esclusive:

I) Esiste una coppia di elementi contigui che contiene 1; detto il numero dei

corrispondenti insiemi si ha :

(13)

II) Non esiste alcuna coppia di elementi contigui che contenga l’elemento 1;

detto il numero dei corrispondenti insiemi , si ha:

(14)

Poiché le due condizioni I) e II) sono mutuamente esclusive, si ha ovviamente:

(15)

La relazione (15), insieme con le relazioni fondamentali (5), (7), (12) permette

di eseguire una tabulazione della funzione

13

TABULAZIONE della funzione sulla base della (15). [Le colonne

corrispondono ai valori di , e le righe ai valori di . Nell’ultima colonna a destra

vi sono le somme per righe, cioè i valori della funzione .

1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 1

3 2 2

4 3 1 4

5 4 3 7

6 5 6 1 12

7 6 10 4 20

8 7 15 10 1 33

9 8 21 20 5 54

10 9 28 35 15 1 88

11 10 36 56 35 6 143

12 11 45 84 70 21 1 232

13 12 55 120 126 56 7 376

14 13 66 165 210 126 28 1 609

15 14 78 220 330 252 84 8 986

16 15 91 286 495 462 210 36 1 1596

NOTA. Nella tabella precedente in ogni riga, a partire dalla quinta, il primo

numero a sinistra è calcolato a norma della (7), e l’ultimo a destra è calcolato a

norma delle (13) e (14). Ogni altro numero, a norma della (15), si ottiene come

somma di quello che gli sta sopra nella stessa colonna e quello che sta due righe

più in alto sulla colonna immediatamente a sinistra.

14

13(2000) ESERCIZI SULL’ETTAGONO REGOLARE

Poniamo:

(1) , da cui ;

conseguentemente si ha:

(2) (3) .

Se poniamo:

(4) ,

in corrispondenza alla duplicazione ed alla triplicazione dell’argomento si hanno gli operatori

sulla funzione :

(5) (operatore di duplicazione),

(6) – (operatore di triplicazione).

Ed anche:

(7) (operatore di quadruplicazione).

L’iscrizione dell’ettagono regolare nella circonferenza di raggio 1 può essere fatta partendo dalla

relazione fondamentale (evidente geometricamente):

(8) che conduce all’equazione algebrica:

(9) .

L’equazione (9) ha visibilmente la radice , che corrisponde all’angolo nullo. Dividendo il

polinomio per si ottiene l’equazione:

(10) ( ) = – ,

equazione della eptasezione della circonferenza.

Si verifica direttamente che i tre valori del coseno, dati dalle (1), (2), (3) verificano la (10).

NOTA. La funzione razionale:

(11)

stabilisce una corrispondenza algebrica di indici [2, 1] tra le rette proiettive e Tale

corrispondenza non è quindi birazionale tra le due rette; ma è possibile realizzare una

corrispondenza birazionale (trasformazione di Tschirnhaus) tra l’insieme di punti definito sulla retta

dall’equazione (10) e quello che la (11) costruisce come suo corrispondente sulla retta .

L’equazione cubica in che definisce l’insieme di punti corrispondente dell’insieme (10) per la

(11) si ottiene eliminando la variabile tra le due equazioni in parola. Praticamente, posto:

(12)

si ottiene:

(13) ;

da cui

(14) .

Sostituendo nella (10) si ottiene, con pochi calcoli:

(15) ;

e di qui si trae che la (10) è quindi invariante per la trasformazione (11). 103100

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tschirnhaus.html

file rieditato, aprile 2016