1

SUPERFICI CONICHE Rappresentazione di coni e cilindri

Si definisce “CONO” la superficie che si ottiene proiettando tutti i punti di una curva, detta “DIRETTRICE”, da un punto proprio, non appartenente al piano della direttrice, detto “VERTICE”. (Fig.1). Questa generica definizione si riferisce a tutti i tipi di coni, sia quelli che hanno per curva direttrice una linea di qualsiasi forma, sia ai coni circolari a cui si fa riferimento nel linguaggio comune. Per “CONO GENERICO” si intende una superficie di dimensioni indefinite considerata nella sua struttura complessiva, che prevede una superficie doppia separata dal vertice (“FALDA”). Infatti proiettando dal vertice V tutti i punti della curva direttrice, si determinano delle rette dette “GENERATRICI”, di dimensioni illimitate, che danno luogo a due superfici coniche contrapposte (“DUE FALDE”). Tra le infinite coniche che si possono costruire, si incontrano alcuni che si chiamano “CONI QUADRICI”. Si definisce “CONO QUADRICO” quello che ha una circonferenza come curva direttrice.

Il “cono circolare retto” è un cono quadrico che presenta la particolarità di avere il vertice sulla

perpendicolare condotta per il centro della circonferenza direttrice, mentre il “cono circolare obliquo” ha la perpendicolare che non passa per il centro della circonferenza (Fig.2).

Si definisce “CILINDRO” la superficie che si ottiene proiettando tutti i punti di una curva, detta “DIRETTRICE” da un punto improprio, non appartenente al piano della direttrice, detto “VERTICE” (Fig.3). Quindi la definizione di cilindro non differisce da quella di cono, se non per la diversa natura del vertice. Il cilindro è un cono con il vertice all’infinito. La diversa posizione del vertice, fa si che nel cilindro le rette generatrici siano tutte parallele tra loro, dovendo avere in comune un punto all’infinito (il vertice).

Si supponga di allontanare il vertice V dal centro O passando per le posizioni V1, V2, V3, ecc. si evidenzia che mentre il vertice si allontana dal centro C, l’angolo β di apertura delle generatrici con l’asse diminuisce di ampiezza. Quando il vertice giunge alla posizione V∞ Il cono è divenuto “cono limite” (oppure cilindro).(fig.4)

Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.4

2

Sezioni coniche (ad Apollonio di Perge, matematico greco del 262 a.C., si deve la prima

trattazione sulle coniche) Le “SEZIONI CONICHE” o “CONICHE” si ottengono sezionando opportunamente una superficie conica circolare con un piani non passante per il vertice. Come si genera una superficie conica: su una circonferenza c appartenente al piano Π, innalziamo per il centro O la perpendicolare a al piano Π. Consideriamo un punto V, diverso da O, appartenente alla perpendicolare a ed un punto P appartenente a C, per questi due punti passa la retta VP. Se il punto P ruota attorno alla circonferenza C, con la stessa rotazione VP inscriverà un superficie: tale superficie si chiama “superficie conica” a due falde. (fig. 5,6) Tutte le rette VP si chiamano “generatrici”, la retta a si chiama “asse”, il punto V “vertice”. UNA SUPERFICIE CONICA CIRCOLARE SI PUO’ PENSARE COME GENERATA DA UNA RETTA (VP) CHE GIRA INTORNO AD UNA RETTA FISSA (ASSE) MENTRE SI APPOGGIA AD ESSA IN UN PUNTO FISSO (VERTICE) SOTTO ANGOLO COSTANTE.

L’angolo costante che ogni generatrice forma con l’asse si dice “apertura della superficie conica”. Il vertice è il punto comune all’asse e a tutte le generatrici. Esaminiamo ora le sezioni che un piano, non passante per il vertice, può produrre tagliando la superficie conica, appena descritta. In relazione alla posizione che il piano sezionante (che chiameremo α) assume rispetto all’asse e alle generatrici della superficie conica avremo tre tipi di sezioni:

1) ELLISSE: si ottiene sezionando la superficie con un piano α che interseca l’asse e tutte le generatrici. Si forma una linea chiusa i cui punti si trovano tutti in una stessa falda. (fig.7) Se il piani secante passa per il vertice o è perpendicolare all’asse, l’ellisse degenera o in un punto o in una circonferenza.

Fig.5

Fig.6

Fig.7

3

2) PARABOLA: si ottiene sezionando la superficie con un

piano α parallelo ad una generatrice. Si forma una curva illimitata ed aperta i cui punti si trovano tutti in una stessa falda. (fig.8)

Il piano α è parallelo alla generatrice VD; quindi tutte le generatrici sono intersecate nel campo proprio, ad eccezione di VD. Infatti sul piano α si determina una parabola costituita da tutti punti propri ad eccezione del punto D1∞ corrispondente di D. siccome la generatrice VD è parallela al piano α il corrispondente di D si troverà all’infinito (D1∞).

Se il piano α secante la superficie conica passa il vertice della parabola degenera in una retta.

Se il piano α risulta tangente alla circonferenza direttrice la parabola degenera in un punto.

3) IPERBOLE: si ottiene sezionando la superficie con un

piano α parallelo a due generatrici. Si formano due curve illimitate ed aperte costituite da punti situati sulle due falde del cono (fig.9).

Il piano α è disposto in modo da risultare parallelo a due generatrici VD e VF; in questo caso l’intersezione tra il piano α e le generatrici VD e VF da luogo a due punti impropri D1∞ e F1∞, tutti gli altri punti dei due rami dell’iperbole sono propri. N.B.

L’iperbole si può anche ottenere sezionando il cono con un piano α parallelo all’asse che quindi taglia tutte le generatrici, si ottiene una sezione formata da due rami distinti, ognuno dei quali costituito da una curva illimitata ed aperta come si aveva nel caso precedente. L’unica differenza è che in questo caso le due curve sono simmetriche in quanto il piano taglia le due falde del cono allo stesso modo. Si può quindi operare su una sola falda e disegnare mezza iperbole.

Per riuscire ad identificare le varie sezioni coniche è necessario tener conto della posizione del piano secante, il quale può passare per il vertice o non. Quando il piano passa per il vertice si determinano le “coniche degeneri” (sono chiamate così perché si ottengono come degenerazione delle coniche proprie in quanto il piano secante passa per il vertice, determinando le coniche limite). Quando il piano non passa per il vertice si determinano le “coniche proprie”.

Fig.8

Fig.9

4

Le “coniche degeneri” si distinguono per i seguenti tre casi:

1. Il piano α passante per il vertice V è esterno al cono; in tal caso individua rette immaginarie, la retta f comune ad α e π è esterna alla circonferenza direttrice c, e può essere propria o impropria a seconda che il piano α interseca π o sia parallelo. La retta f si chiama “retta limite” perché ottenuta come intersezione del piano π che passa per il vertice. (fig. 10) N.B. quando il piano α è parallelo a π la retta limite f comune diventa impropria f∞

2. Il piano α passante per il vertice V è tangente il cono; in tal caso individua una retta (due coincidenti) e la retta limite f comune a α e π è tangente alla circonferenza direttrice. (fig. 11)

3. Il piano α passante per il vertice V è secante il cono; in

tal caso individua due rette distinte e la retta limite f comune a α e π è secante la circonferenza direttrice. (fig. 12)

Fig.10

Fig.11

Fig.12

5

Le “coniche proprie” ottenute sezionando il cono con un piano non passante per il vertice si possono riguardare come immagine della circonferenza direttrice proiettata dal vertice V sul piano α. Ciò significa che tra la circonferenza direttrice e la conica formata sul piano α intercorre un’OMOLOGIA di centro V; asse di omologia, la retta intersezione tra α e π e punti corrispondenti quelli che si trovano sul piano π e quelli che si trovano sul piano secante α . a seconda della posizione del piano secante rispetto alle generatrici del cono, si determinano tre classi di coniche che sono: CLASSI DELLE ELLISSI, DELLE PARABOLE, DELLE IPERBOLI. Tagliando un cono circolare con un piano π1// π otteniamo un’OMOTETIA con le circonferenze c1// c simili (fig.I3). Infatti il centro V è reale, così pure i punti corrispondenti mentre l’asse è all’infinito in quanto le rette corrispondenti sono parallele tra di loro. Essendo π1// π, il piano α proiettante la r da V determina su la π1

retta r1//r perché piani paralleli tra loro tagliati da un piano trasversale determinano rette parallele. Se r1//r i cateti AO ed A1O1 dei triangoli AOV e A1O1V sono pure paralleli. I due triangoli sono in rapporto di similitudine. Ellisse ed iperbole hanno un centro proprio. La parabola ha il centro in un punto improprio. Nell’ellisse e nell’iperbole vi è un centro di simmetria . Nella parabola non vi è alcun centro di simmetria, essendo il centro di essa un punto improprio. L’ ellisse ed iperbole si dicono CONICHE A CENTRO La parabola è detta PRIVA DI CENTRO

Definizioni e nomenclatura ELLISSE : E’ il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle loro distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante (fig.14) F1; F2 fuochi A,B,C,D vertici dell’ellisse F1O=OF2 per definizione O centro dell’ellisse L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi X,Y e al centro O PARABOLA : E’ il luogo geometrico dei punti del piano tali che le loro distanze da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice, sono eguali (fig.15). F fuoco O vertice della parabola OD=OF per definizione Se P≡(x,y) PF=PH Nel caso della figura l’asse X si chiama asse della parabola ed è anche asse di simmetria

Fig.13

Fig.14

Fig.15

6

IPERBOLE : E’ il luogo geometrico dei punti del piano tali che le loro distanze da due punti fissi, detti fuochi, hanno differenza costante (fig.16). F1; F2 fuochi A1; A2 vertici dell’iperbole OF1=OF2 raggio della circonferenza focale “c” A1O=OA2; FIO=OF2

L’iperbole è simmetrica rispetto all’asse x, all’asse y ed al centro O. Il rettangolo avente per mediane A1A2 e B1B2 si chiama “rettangolo asintotico”. Le rette che contengono le diagonali del rettangolo asintotico si chiamano “asintoti” dell’iperbole; oppure si dice asintoto la retta la cui distanza dai punti della curva diminuisce progressivamente e tende a zero quando i punti si trovano all’infinito.

Fig.16

7

Trasformate omologiche Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia di elementi omologhi (punti, rette), costruire un’ellisse L’ quale figura omologica di L. Per definizione abbiamo:

α piano secante; α piano parallelo al piano secante passante per il vertice α//α α piano limite a asse dell’omologia esterno al cerchio; f retta limite esterna al cerchio

8

Si parte con due rette r ed s perpendicolari tra loro. Conducendo dal centro O la parallele ad r e s si ottengono sulla retta limite i punti limite F I punti dell’ellisse vanno trovati proiettando i punti del cerchio da O e intercettando la retta corrispondente.

9

Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia di elementi omologhi (punti, rette), costruire una parabola L’ quale figura omologica di L. Per definizione abbiamo:

α piano parallelo ad una direttrice α piano parallelo al piano parallelo passante per il vertice α//α α piano limite a asse dell’omologia tangente il cerchio f retta limite tangente il cerchio

10

11

Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia di elementi omologhi (punti, rette), costruire un’ iperbole L’ quale figura omologica di L.

Per definizione abbiamo: α piano parallelo ad due direttrici α piano parallelo al piano parallelo passante per il vertice α//α α piano limite a asse dell’omologia secante il cerchio f retta limite secante il cerchio

12