SULLA GENERAZIONE D E L L E INVOLUZIONI PIANE

DI CLASSE ZERO ED UNO.

Nota di 6 i o v a n n i F e r r e t t i , in Roma.

Adunanza del x 4 giugno I9o 3.

Quando il CAPORALI *) attir6 l'attenzione dei Geometri su un ca- rattere proiettivo, che si rivelav~ molto opportuno per distinguere le in- voluzioni plane fino allora s t u d i a t e - le involuzioni che definiscono nel piano una corrispondenza birazionale invo lu tor ia - - , quando cio+ intro- dusse la classe v di una i n v o l u z i o n e - numero delle coppie di punti co- niugati che giacciono sopra una retta a rb i t ra r ia - - , si present6 il pro- blema di assegnare le costru~ibni delle involuzioni plane appartenenti ad una data classe, problema c h e v e n n e risoluto, in modo completo, per v ~ o, I, 2, dal sig. BERTIXl **), e, seguendo la via da lui tracciata,

per v ~ 3, 4 dal sig. MARTINETTI ***), e per v - - 5 dal sig. BERZO- LARI + ) .

Esteso il termine introdotto dal CAVORALI alle involuzioni per le quaff il numero n dei punti che entrano a comporre un gruppo, ~ su-

*) Sulie trasforma~ioni univoche p/ane invoZutorie (Accad. delle Scienze fisiche e matematiche di Napoli, I879), n ~ 3.

**) Sopra alcune involu~ioni plane (Rendiconti de1 R. Istituto Lombardo, I883). ***) Le involu~(ioni di 3 a e 4 ~ classe (Annali di Matematica, serie II, vol. I2) . - -

Sopra alcune trasformazjoni involutorie nel piano (Annali di Matematica, serie II, voL I3).

-~) Ricerche sulle trasformazioni plane univoche involutorie e loro applica~ione alia determinatione delle involuzioni di 5 ~ classe (Annali di M;ttematica, serie II, vol. I6, x888).

~ I 2 G I O V A N N I F E R R E T T I .

periore a 2, vale a dire alle involuzioni di ordine n *) superiori a 2 --involuzioni suUe quali quasi nulla era stato fatto prima deUe interes- santi ricerche del sig. CHizzom **)-- la questione della generazione delle involuzioni appartenenti ad una data classe, si presentava in tutta la sua generalitL Fino ad oggi per6, almeno che io sappia, nessuno (per n ~ 2) ha intrapreso a studiarla; n~ la via seguita per n - - 2 , si pub seguire per le involuzioni generali, essendo gli Autori citati ricorsi alle note pro- priet~t delle corrispondenze birazionafi, le quali non intervengono nelle involuzioni generali.

Un metodo invece rapido ed elegante, valido sempre, vien sugge- rito nelle ultime linee della introduzione all'importante lavoro ***), in cui il sig. CAST~.L~rUOVO si propone e risolve in senso affermativo la que- stione della possibilit~t di rappresentare (elemento per elemento) i gruppi di una involuzione piana di ordine n sui punti de1 piano.

L'Autore infatti osserva: (c . . . la via cbe io seguo, conduce subito a propriet?t proiettive delle involuzioni di dato ordim e di data c lam; si trova ad es. un Iimite superiore aIl'ordine di una involuzione di data classe ( ~ o), e si coaruiscono Ie invoiu~ioni deIle prime classi.

II metodo in sostanza consiste in ci6: Si costruisce una particolare superficie F, normale per un certo spazio a r dimensioni S,(r ~ 2), ri- feribile biunivocamente ai gruppi della involuzione I che si studia. [Tra le altre la superficie F gode della propriedt, di avere il genere della sua sezione iperpianale (con un S~_x generico) uguale alia classe v di 3"]. Si fissa la propria attenzione sui sistemi lineari contenuti in F i quali hanno per imagini sul piano di I sistemi lineari deUo stesso +) ordine, apparte- nenti -H') aUa involuzione. Si cerca mediante quali di questi uhimi sistemi si ottenga la pitt semplice generazione di L

I1 presente lavoro ~ diviso in tre paragrafi: Nel primo sono dad tre teoremi, il secondo dei quali, in modo

*) Per noi ordim ~ il numero dei punti the entrano a comporre un gruppo della involuzione, mentre per gli Autori citati, ordine di una involuzione ~ l'ordine della trasformazione Cremoniana, che la involuzione stessa definisce nel piano.

**) Sopra le involu@ni nel piano (Accademia dei Lincei, seduta de] 3 giugno 1883). ***) Sulla razionalit,i delle involuzioni plane (Math. Ann. 44, I893). "l') Vedi Teorema II; il modo di dedurlo rni ~ stato indicato dal sig. CASa:~L-

NUOVO, come pure gli emmciafi dei teoremi I e IV. -~ ) Vedi definizioni (n ~ I).

SULLA GENERAZIONE DELLE INVOLUZIONI PI&NE DI CLASSE O ED I . 313

particolare, si riveia utilissimo, non solo quando si vogliano assegnare le costruzioni delle invoiuzioni di classe v "--o, I, ma anche quando si vo- lesse effettuare l'analoga ricerca per valori di v x.. 2. Ed infatti il Teo- rema II permette di trarre dalla teoria delle superficie, importanti teoremi circa i sistemi appartenenti ad una involuzione di classe v qualunque.

Nel secondo paragrafo assegno ie costruzioni deite involuzioni di classe zero, e mi occupo in modo speciale delle invotuzioni di Jos - O_UI/~REs *). Dati per una involuzione di JONO.UI~RES J, l'ordine delle R' (trasformate delle rette) e l'ordine delia (o di una)curva minima appar- tenente, giungo, applicando noti teoremi sulle rigate razionaii, dovuti al sig. SEGRE, ad assegnare di J la generazione di ordine minimo.

Nel terzo paragrafo d6 tutti gli elementi necessarl per costruire senza difficolt~, essenziali, tutte le involuzioni di x" classe, ma non e- spongo i tipi di costruzioni, per non rendere eccessivamente lungo que- sto lavoro.

Nella redazione per la stampa di esso, mi sono sempre limitato ad accennare a quelle ricerche che, pur costituendo un buonissimo esercizio geometrico, ne avrebbero, per la loro minuzia, resa s la lettura.

Chiudo questa prefazione manifestando i sensi della pill viva rico- noscenza verso il prof. C.~s'rEI.SUOVO, che mi ~ stato largo di preziosi consigli.

S I .

S u l l a c o r r i s p o n d e n z a t r a u n a spec ia le supe r f i c i e F n-pla ed il p i a n o p u n t e g g i a t o c o n s i d e r a t o c o m e s o s t e g n o di t m a invo- luz ione I d ' o rd ine n.

I. Per invoIuzione piana d'ordim n ( ~ 9.) si intende una va- riet~ algebrica doppiamente infinka di gruppi di n punti (mumamente coniugati) sopra un piano, varietA tale che un punto generico del piano appartenga ad uno, e a d uno solo di quei gruppi.

Con ci6 non si esclude l'esistenza di punti particolari (fondamentali) in numero finito, ciascuno dei quali appartiene ad ,o ~ gruppi della invo- luzione. Gli ~ ' gruppi di n - I punti coniugari di un punto fonda- mentale, riempiono una curva algebrica (fondamentale).

*) Vedi definizioni (n ~ 7).

R~nd. Circ. Matem. P~lermo, t. XVLI (x9o3). - - Stampato il 7 ottobre zgo 3. 40

~I 4 G I O V A N N I F E R R E T T I ,

L'ordine della curva fondamentale corrispondente ad un punto fon- damentale (cio~ il numero dei punti coniugati a questo che stanno sopra una retta generica) pub dirsi ordine del punto fondamentaIe.

Mentre un punto si muove lungo una curva C qualsiasi nel piano di una involuzione I di ordine n, gli n - I punti coniugati descrivono una r C', che dicesi coniugata o trasformata di C nella trasforma- zione ( n - I, n - I) c h e l a I definisce.

Un luogo algebrico di o o x gruppi della involuzione 1 sar~ detto

curva appartenente alla involu;(ione. Un sistema di cui ogni curva appartiene alia involuzione I sar~t

detto sis~ema appartenente alia involuz, ione. Classe della involuzione 1 ~ il numero ~ delle coppie di punti co-

niugati, che giacciono sopra una retta generica. Curva unita ~ il luogo di un punto, che trovasi infinitamente vicino

ad uno dei suoi coniugati *).

2. Tra le curve appartenenti alia involuzione I presentano speciale interesse le oo 2 curve R + R' (composte di una retta R e della .curva trasformata R'). I soli punti del piano comuni a tutte le R' sono i punti fondamentali; in ogni punto fondamentale le R' hanno una moltepli- cirri uguale all'ordine di quel punto. L'ordine delle R' si esprime in modo semplice in funzione dei due seguenti numeri (caratteri projettivi della

involuzione) classe,

k ordine della curva unita.

Esso ~ dato da 2v 27 k **).

3. I1 sig. CASTELNUOVO nella Nora, ripetutamente citata, che ha for- nito l'idea fondamenta~e, su cui si basa il metodo tenuto nella presente ricerca, d~l il modo di costruire una speciale superficie F normale per

un certo spazio S r (cio~ non ottenibile come proiezione da una super- ficie dello stesso ordine di S,+~), riferibile biunivocamente alla involuxione I. II procedimento che egli segue ~ in sostanza il seguente:

Considera nel piano delia involuzione I iI sistema lineare, che ha

*) Dal lavoro gi~t citato del sig. CASTELNUOVO : Ra~ionalita delle involuzioni piane. **) Cfr. CAST~LIqUOVO, Razioncdit~ delle involu~ioni plane (pag. I3 i, 142).

SULLA GENERAZIONE DELLE INVOLUZIONI PLANE DI CLASSE O ED I. 315

l 'ordine (della curva generica) uguale all'ordine delle R 27 R' (curve ap- partenenti, composte di una retta e delia curva trasformata), ed ha la minima dimensione tra quelli che contengono tutte le curve R 2 7 R' (dimensione certo superiore a 2 perch~ per due punti del piano passa pifl di una R 27 R'). Costruisce una superficie le cui sezioni iperpiane corrispondono tutte [in una corrispondenza ( I , n)] alie curve del nomi- nato sistema (che dimostra essere irriducibile ed appartenente tutto alia in- voluxione I), e la assume come superficie F (i cui punti corrispondono biunivocamente ai gruppi della involuzione I), se risulta normaIe per lo spazio in cui ~ immersa. In caso contrario, assume come superficie F, la superficie normale, dello stesso ordine, di cui quella si pu6 con- siderare come proiezione.

La superficie F normale per un certo S, (r ~ 2), non scindibiie in superficie d'ordine inferiore, si riconosce *) godere inoltre delle seguenti proprietk :

a) iI suo ordine A e espresso da

2 ~ + k + I (ordine di R 27 R') ;

b) Ia sua se~ione iperpiana F (con un S,_, generico) ha il genere (classe della involuzione i");

c) le oo 2 sue sezioni iperpiane Fo che hanno per imagini sul piano della

involuzione le curve R 27 R', non posseggono punti fissi comuni.

4. Prima ancora di dare un importante teorema sulla corrispondenza tra la superficie F e la involuzione piana imagine I, ne dimostrer6 uno atto a porre in evidenza l'utilit~t che si pu6 trarre dall'impiego della su- perficie F nello studio della involuzione I.

T~.OR~.VIA I . - In una involuxione di classe '~ > I le curve R' (trasfor- mate delle rette) sono al massimo d'ordine 4 ~ 27 3 e per ,~ - - I al mas- simo d'ordine 8.

Ed infatfi alia superficie F deUo spazio S, , la cui sezione iperpiana (con un $,-x generico) ~ di genere v, non pub competere un ordine A superiore a 4 ~ 2 7 4 se v > I, n~ un ordine A superiore a 9 se v~---I **),

*) Cfr. C&STELNuoVO, Sulla ra~ionaIitd, etc. (pag. x42, I43, I44). **) Cfr. C~ST~LNUOVO, Massima dimension* dei sistemi lineari di curvt plane di

dato genere (Annali di Matemafica, serie II, tomo XVIII).

316 GIOVANNI F E R R E T T I .

Ora [n ~ 3, a)] �9 6 anche l'ordine di R-~-R', ~ adunque veto d6 che voievasi dimostrare.

COROLLARIO.- In una involuzione di classe ,~ ~ I, la curva unita

al massimo di ordine 2,J 2 7 3 e per "~ - I al massimo d'ordine 6.

5- Ad un sistema lineare [E,] di curve appartenenti alia superficie F corrisponde nel piano un sistema lineare [E] appartenente alla invo- luzione I.

Se s e ), sono rispetfivamente la dimensione ed il grado di [E,], s e ), n saranno rispettivamente la dimensione ed ii grado di [E]. Vale inoltre ii seguente teorema, fondamentale per noi, a cui ho gik accen- nato nel numero precedente:

TEOREMA I I . - Una curva E, d'ordine m, appartenente alia involu-

zione I, ha per corrispondente sulla superficie F una curva E, ddlo stesso ordine m ; e viceversa.

La curva E ed una curva spezzata R-q-R' (composta di una tetra R e delia sua trasformata R'), curve entrambi appartenenti, si segano in un numero di gruppi della involuzione I, uguale all'ordine m di E, poi- ch~, come si ~ altrove osservato, un gruppo della involuzione I che stia su R-}-R' , ha uno dei suoi punti sulla retta R, e viceversa.

Tenendo presente la proprietor c) (n ~ 3), goduta daUe oo* sezioni iperpiane F o di F, che hanno per immagini sul piano della involuzione I le curve spezzate R + R', si conclude subito che l'ordine della curva E , , che corrisponde su F alla curva E, ~ uguale ad m, ordine di E ; e poich~ il ragionamento ~ in modo ovvio invertibile, possiamo ritenere il teorema II completamente dimostrato.

�9 z l o s ~ . - La curva E, imagine sul piano della involuzione I, di una curva E, irriducibile, giacente su F, potr~ essere semplice o composta, ed avere tra le sue componenti anche dei punti.

La curva imagine E ha tra le sue componenti anche dei punti,

quando (e solo quando) la curva E , , e uno di quei iuoghi esistenti in numero finito su F, che hanno per imagine sui piano un punto fon- damentale preso insieme con la curva fondamentale corrispondente. Si ricordi che ia curva fondamentale corrispondente ad un punto fonda-

SULLA GENERAZIONE DELLE INVOLUZIONI PLANE DI CLASSE O ED I . 3t7

mentale, pub essere composta ed avere tra le sue componenti anche dei punti (quando ogni gruppo contenente il punto fondamentale abbia qualche altro dei suoi punti in una posizione fissa).

Se E ~ composta ed ha tra le sue componenti anche dei punti, dd-

remo semiappartenente alla involuz~ione I, la curva (semplice o composta) che si ottiene dalla E trascurando le componenti d'ordine zero.

6. TEOREMA I I I . - L'ordine n della involuzione I ~ minore o tutt'al-

pia uguale aIl'ordine A della superficie F. Consideriamo la curva C, imagine sul piano delia involuzione 1,

della sezione iperpiana F di F, ottenuta con un St_ , generico. Senza ri- correre al modo con cui 6 costruita la F, in vir~ del solo teorema II, si pub affermare che la curva C ha l'ordine di r , ossia l'ordine a. A1 sistema lineare appartenente [C], imagine sul piano della involuzione I del sistema lineare [I'], costituito da tutte le sezioni iperpiane di F, com-

peter~t quindi an grado D ~ a 2. Ma (n ~ 5) D - - • n, A essendo il grado del sistema IF]; si avr~t perci6

&n ~ A 2, ossia

n , ~ A C .v .D .

Poich6 [n ~ 3, a)] A ~ anche l'ordine delle R-~- R' (curve composte di una retta R e della sua trasformata R') , in virt~ del Teorema I, dal teorema Ill si trae:

COROLLARIO.- fn una involuzione di classe ~ ~ I, l'ordine n non

supera 4 ~ q - 4 e per ~ --- I non supera 9.

Le involuzioni di c lasse zero . - -Su l l ' ord ine della (o cU una) c u r v a m i n i m a a p p a r t e n e n t e ad u n a involuzione di Jon- q u i ~ r e s . - Generaz ione di ord ine m~nimo.

7. Per invoIuzioni di Jo~QuI~R~s di ordine n, intendiamo una invo- luzione di ordine n, i cui gruppi sono allineati suUe rette di un fa- scio [L].

Curva minima appartenente ~ la curva od ogni curva di ordine mi- nimo, che seghi ciascuna retta del fascio [L] secondo un gruppo della involuzione.

~I8 G I O V A N N I F E R R E T T I .

TEOI~EMA I V . - Una involuzjone di cIasse zero e di ordine n ~ 4 ~ sempre di Jo~ro_ui~RES. Se l'ordine n ~ 4, oltre aI1e involuzioni di JON-

CZUI~RES, neIIa cIasse zero vi sono Ie involuzioni generabiIi mediante una fete *) di coniche*con uno o nessun punto base. Per le involuzioni di classe zero generabili mediante una rete di coniche con un punto base, le rette congiungenti le topple di punti coniugati formano un inviluppo di 2" clam, mentre per Ie involuzioni di clam zero generabili mediante una rete di co- niche senza punti base, l'analogo inviluppo ~ di 3" clam.

Se ~ - - o , [n ~ 3, b)] F 6 una superficie a sezioni iperpiane razio-

nali di ordine ~, normale per uno spazio a a + I dimensioni.

Le superficie di ordine ~, appartenenti ad un Sa_~, (e non ad uno

spazio lineare inferiore) , sono rigate, eccetto (se A--___ 4) la cosl detta

superficie di 4 ~ ordine di VEROSESE (DEn 1.~EZZO).

Se F ~ una rigata, la involuzione imagine I 6 una involuzione di

JONO.UI~RES, poich6 I , in virtfi del teorema II, conterr/t infinite rette ap-

partenenti , uscenti da un punto fisso, non passandone che una per un

punto generico del piano della involuzione.

Se poi F 6 una superficie di 4 ~ ordine di VERO~ESE, A __-- 4, e quindi

( t eorema liT) n ~ 4 ; la involuzione imagine I conterr~ (n ~ 5) una rete

di coniche appartenenti, la fete imagine del sistema doppiamente infinito

di coniche che F contiene. Questa rete di coniche appartenenti, potHt

servire come rete generatrice della involuzione, due coniche di una F 4

non incontrandosi che in un punto. E poich6 le coniche della rete ge-

neratrice non possono avere due punti fissi comuni **), si presentano i

sol] casi

n - - 3~ n - - - 4 ,

nei quali, in virt~ di un teorema stabilito dal sig. C m z z o m ***), gli invi-

*) Dicesi rete generatrice d~ una involuzione I una rete di curve the serva a r strulrne i gruppi ad uno ad tmo. Ogni fete generatrice della involuzione I ~ dotata della proprietor the i punti base (variabili) di un fascio qualunque in essa contenuto, sono punti di un gruppo della involuzione L

**) Ed infatti, se Ie coniche della rete generatrice avessero due punti fissi comuni, co x fra esse si spezzerebbero nella congiungentc i due punti fissi e in una retta ap- partenente variabile in un fascio, ed F, in virt~ del teorema II, r ~t rette, mentre l'ordine mlnimo deUe curve che una V~2 confiene fi 2.

***) I1 sig. CHIZZONI nella gi~ citata Memoria Sopra le involuzionl nel piano e pre- dsamente nel n ~ 6I, ha considerato certi luoghi la cui importanza, he[ caso n = 2,

SULLA GENERAZIONE DELLE INVOLUZIONI P IANE DI CLASSE O ED I . $ I 9

luppi delle ret te c o n g i u n g e n t i le coppie di p u n t i coniugat i , s o n o rispetti-

v a m e n t e di 2 ~ e di 3* dasse.

I1 t eo rema V r imane c o n ci6 c o m p l e t a m e n t e d imos t ra to .

8. Dal n ~ 3 a ) , t en en d o p resen te la d imos t r az ione del t e o r e m a pre-

cedente ora esposta, fac i lmente si t r a e :

TEOREMA V . - Per le involuzioni di classe zero cbe non sono di JOW-

O.UI/~RES, le curve R' (trasformate deUe rette) e la curva unita, sono sere- lore eubiche.

9. App l i cando no te fo rmule del sig. CHIZZOm suile i nvo luz ion i ge-

ne ra te m e d i a n t e due fasci *), si g i u n g e i m m e d i a t a m e n t e al s e g u e n t e :

TvOReMA V I . - In una involuzione di JOWO.UIkREs, d'ordim n, as- segnata nel piano mediante un fascio I L l di rette di centro 0o, ed un fa- scio [ G ] di curve irriducibiIi d'ordine n - + b (b ~ o), dotato in Oo di

era ~tata posta in Iuce dai C A P O R A L I e pifi tardi nuovamente rilevata dal sig. BERTINI. Consider5 il sig. CHIZZONI il luogo dei punti (fuori della curva unita) comunl alle rette R di un fascio avente il centro in un punto generico P del piano della involuzione, e alle loro curve conjugate Rt, ed osserv6, come nel caso ~-~-o tale luogo si decom- ponesse nelle n - - I con~ungenti il punto P con i punti ad esso coniugafi, di guisa che, mentre una retta arbitraria nel piano della involuzione non conteneva coppie di punti coniugati, esistevano infinite rette che ne contenevano in numero infinito, e que- ste rette formavano un inviluppo di dasse n - I.

*) Dati due fasci [?] e [4], l 'uno di curve ? dell'ordine n, l'altro di curve deU'ordine n t generatori di una involuzione I ; indicato con R h uno qualunque dei

loro punti base, con %, r'~ le sue molteplidt~ per le ? e le ,~ rispettivzmente; am- messo che esista un sistema di luoghi (fondamentali) ciascuno dei quali dotato della proprietor di non avere punti variabili comuni con le curve dei fasd generatori; indi- cato con ~i l'ordine di uno qu~unque di questi luoghi e con ~ih la sua molteplidt/t nel punto R ~ ; i l sig. Cmzzom trova che la curva tt, coniugata di una retm arbi-

traria t, 6 dell'ordine

2 n n ! - - :(i '

e passa con

n r~ -~- nt r b - - Z Xl ~i~

rami per il fondamentale R~ ; trova inoltre c h e l a classe v della involuzione I ~ e-

spressa da

(n--l)(n'--z)--+~'7~i(~,-- O.

J20 G I O V A N N I F E R R E T T I .

un punto base h-plo *), Ie curve R' hanno l'ordine

2 ( n . + h) - - f - - I ,

e passano per 0 o con moltepIicit~

n + 2 b - - f ,

indicato con f iI numero (certamente finito) deUe relte del fascio ILl, su ciascuna delle quali si trovano uno o pii~ punti base deI fascio [G], Ie cui

molteplicit~ (Ia molteplicit~ h di Oo esclusa) hanno una somma uguale ad n.

IO. TEOREMA V I I . - Ad una involuzione di JONO_UI~RES J, per la

quale le R' (trasformate deUe rette) sono di ordine 4 - I, appartiene ai- 4 - - 1 4

meno una curva minima, iI cui ordine m non supera ~ ovvero - - 2 2

secondoch~ • ~ dispari o pari.

Si dimostra facilmente osservando che J (n ~ 3) ~ l'imagine sul

piano della involuzione di una rigata razionale F d'ordine 4, normale

per un certo SA+, e non scindibile in rigate d'ordine inferiore, ed ap-

plicando, contemporaneamente al teorema II, il seguente teorema dovuto

al sig. SEGRE **): Ogni F~ rigata delIo spazio lineare a 4 + I dimensioni contiene aI-

4 - - 1 4 meno una curva normale, il cui ordine non s u p e r a - ovvero - - se-

2 2

condoch~ 4 ~ dispari o pari.

I I . TFOREMA V I I I . - La generazjone di ordine minimo di una in-

voluzione di JONQI~If~RES, per Ia quale le R' (trasformate delIe rette) sono

di ordine A - I, e la (od una) curva minima appartenente ~ di ordine m,

si ottiene mediante un fascio di rette [L] ed oo' curve appartenenti di or- dine 4 - - m.

Si dimostra subito applicando, contemporaneamente al teorema II,

i due seguenti teoremi del sig. SEGRE ***):

Se una F~ contiene una direttrice il cui ordine m sia L A - - I Se N 2

*) Ogni involuzione di J'ONO.UI~RUS ~ assegnabile nel piano mediante un fascio [L] di rette di centro Oo, ed un fascio [G] di curve irriducibili d'ordine n.-i-h (h~o), dotato in Oo di un punto base h-plo.

**) Sulle rigate razionali in uno spa~io qualunque (Atti della R. Accademia dcUe Scienze di Torino, vol. X/X, adunanza IO febbraio I884, pag. 6).

*~ Sulle rigate ra:(ionali, etc., pag. 6, 8.

SULLA GENERAZIONE DELLE INVOLUZIONI PLANE DI CLASSE O ED I. ~21

~i ~ impari, ovvero < '~ - - se r ~ parl, essa non contiene altra direttrlce 2

semflice il cui orcline sia inferiore a i x - in, e quindi in parlicoiare nes-

sun'altra direttrice il cui ordine sia pure __/ A --2 x , owero <--- f f

Ogni F~ rigata dello spa~io Iineare a A + x dimensioni, dotata di

almeno una direttrice minima di ordine m, contiene oo i, . . . . . direttrici di

ordine ~ - - m.

[Si badi che ad una direttrice su F corrisponde nel piano della in- voluzione, una curva segante ciascuna retta del fascio generatore [L] secondo un solo gruppo della involuzione ; e che in virtfl dei teore- ma VII

Non insister6 maggiormente sulle invohmioni di classe zero, per le quali tanto direttameate, quanto servendosi dei lavori dtati dei sigg. Cmzzo~i e SaGRE, si possono stabilire mold altri risultad di natura arit- metica e geometrica. Gi~t netLa prima parte di questo paragrafo avevo completamente esaurita la quesdone, che forma l'oggetto principale di queste ricerche.

Le invo luz ion i di i ~ c lasse .

I2. Se la classe v - - I, [n ~ 3, b)] F ~ una superficie normale a sezioni iperpiane elllttiche. Le superficie normali a sezioni iperpiane eUit- dche sono *):

a) F~ di S 9 non rigate, rappresentabili su di un piano = mediante un sistema lineare di cubiche senza punfi fissi comuni, contenenfi perci6

" cubiche gobbe (le cubiche corrispondenti alle oo ~ rerte del piano =), ma non contenenfi n~ coniche, n~ retie ;

b) Fs, di S 8 di =~ specie, rappresentabili su di un piano = mediante un sistema lineare di quarfiche con due punti base doppl a dlstanza fi- nita o infinitesima, contenenti perci6 due sistemi oo' di coniche disfinti o infinltamente vlcini (i sistemi costituifi dalle coniche corrispondenfi alle

*) Cfr. DEI. PEzzo~ Sulla ruperfir dell'n ~ ordina immerse hello spazio di n dime.n-

sioni (Rendlc. Circ. Matem. Palermo, tomo I).

Rtnd. Circ. Matem. _Palcrmo~ t. XVII O 9 o 3 ) . - - S t a m p a t o il ~4 ottobre i9o 3. 4z

J29 GIOVANNI F E R R E T T I .

rette dei piano r:, passanti per uno dei punti base doppi), ma non con-

tenenti r e t t e ;

c) F~ di SA (3 / • L 8), rappresentabili su di un piano ~ me-

diante un sistema lineare di cubiche con 9 ~ ~ ~ I punti base semplici,

a distanza finita o infinitesima, contenent i perci6 I, 3, 6, IO, x6 o 2 7

rette, distinte o infinkamente vicine [le rette corrispondent;, ai punti base,

alle congiungenti due punti base, o (per ~ = 4, 3) alie coniche passanti

per 5 punti base].

In virt~l dei teoremi III e II po t remo quindi anzitutto enunciare il

TEOREMA IX. - - L" ordine di una involuzione I di i ~ clam ~ ~ 9 *) ; s e n - - 9, I ~ generabile mediante una rete di cubiche senla punti base,

o in altri termini, esiste una rete di cubiche dotata della propriet~ the i

punti base (variabili) di un fascio qualunque in essa contenuto, sono punti

di un gruppo della involuz, ione I.

In relazione ai valori 3, 2, I dell 'ordine delle curve di ordine mi-

nimo appartenenti , potremo poi distribuire le involuzioni di I ~ classe,

di ordine n ~ 8, in 3 grupp! a), b), c).

13. Poich~ le oo ~ cubiche gobbe, giacenti su una F , 9 non rigata di

89, si segano a due a due in un pun to :

TZOREMA X. - - Le involuzioni di I ~ classe, d" ordine n ~ 8, per le quali

le curve minime appartenenti sono cubiche, vale a dire le involuzioni del

gruppo a), sono tutte generabili mediante una rete di cubiche con uno o pi~

punti base.

Ed avendo [n ~ 3, a)] F l 'ordine delie R + R' (curve composte di

una retta e delia sua t rasformata) :

TEORE~A X I . - Per le invoIuzjoni deL gruppo a) le R' sono di or-

dine 8 e quindi (n ~ 2) la curva unita ~ di ordine 6. Questo teorema, applicato contemporaneamente alla formula del sig.

CHIZZONI, che d:i l 'ordine delle R' in una involuzione generata mediante

una rete **), ci pone in grado di stabilire, come la posizione e le tool-

*) Cfr. corollario teorema III. **) Data una rete di curve [~] d'ordine n generatrice di una involuzione I ; in-

dicato con R h uno qualunque dei punfi fissi comuni a tutte le q~ e con r h la sua molteplicit~t per ogrti r ammesso che esista un sistema di luoghi (fondamentali) cia- scuno dei quali dotato della proprietor di non avere punti variabili comuni con le curve della fete generatrice ; indicato con ~i l'ordine di uno qualunque di questi luoghi e con

SULLA GENERAZIONE DELLE INVOLUZIONI PLANE DI CLASSE O ED I. 32~

teplicith dei punti base di una fete generatrice di una iuvoluzione del

gruppo a), debbano essere tali, che non esistano rette o coniche non seganti in punti variabili le cubiche della rete stessa.

Una rete generatrice di una involuzione del gruppo a), non potr~.

perci6 possedere 3 punti base allineati, n6 6 punti base su di una conica, e se possiede un punto base doppio, non potr~t essere dotata di akri punti base.

14. Poich~ una F~ di S 8 di 2 a specie, rappresentabile su di un piano = mediante un sistema lineare di quartiche con due punti base doppi distinti, contiene due sistemi oo ~ di coniche tali, che mentre due coniche di uno stesso sistema non s'incontrano, due coniche di sistemi diversi si incontrano in un punto; e poich~ inoltre una F8 di'S8 di 2"

specie rappresentabile su di un piano = mediante un sistema lineare di quartiche con due punti base doppi infinitamente vicini, contiene un fascio [C] di coniche ed un sistema oo3 di quartiche dotato della proprietY, che ii fascio costituko dalle quartiche ad esso appartenenti passanti per

due punti scelti ad arbitrio suUa stessa Fs,, possiede una quartica spez-

zata in due curve di [C] distinte o coincidenti (secondo che i punti ar- bitrari si sono presi a distanza finita 0 infinitesima), mentre ogni akra sua curva sega ciascuna C in u n punto *), ci ~ dato di enunciare il seguente teorema :

r

Pih la sua molteplicit,-I nel pumo Rh ; il sig. Cmzzom trova, the la curva tt, coniugata di una tetra arbitraria t, ~. dell'ordine

,e - E ~. ~ - - ,, e passa con molteplicit~

n

per il punto fondamentale Rh; trova inoltre the la dame v della involuzione I espressa da

T ( n z . . . . 0(n 2 ) + E ~ , ( ~ , 0 .

*) O ueste proprietor delle F~ di S 8 di 2 4 specie si riconoscono facilmente ricor- rendo alla loro rappresentazione su di un piano ~ mediante un sistema lhaeare di quartiche con due punti base doppi a distanza fmita o infinitamente vicini. Si noti,

che mentre alle coniche giacentl su di una F~ di $8 cff 2 a specie, corrispondono su ~,

re t t e passanti per uno dei due punti base doppi, alle quaxtiche giaceati su di una F ~ S 8 di 2* specie, corrispondono su =, r passanti per i due punti base doppi.

J~l . G I O V A N N ' I F E R R E . T T I .

TV.OREM& X I I . - Unc~ involu(iom di x" c lam per la quale le curve

minime appartenenti sono conicbe, vale a dire, una involuzjone del gruppo b),

o ~ generabile mediante due fasci di coniche non dotati di coniche comuni,

o si pub generare, tanto con un fascio [C] di coniche ed un fascio di

~uarticbe una cui curva si spezxi in due curve distinte di [C], quanto col

fascio [C] ed un fasdo di quartiche una cui curva si spexKi in due curve

coincidemi di [C]. Avendo [n ~ 3, a)] F l'ordine delle R - [ - R ' (curve composte di

una retta e della trasformata):

TEOREMA X I I I . - - P e r Ie involuKioni deI gruppo b) le R' sono di or-

dine 7 e quindi (n ~ z) la curva unita ~ di ordine 5. Queeto teorema, applicato contemporaneamente alla formola del sig.

CatlZZOm, che dit l'ordine detle R' in una involuzione generata mediante due fasci *), d permette di affermare che l a posizione e le molteplicit't dei punti base dei fasci generatori di una involuzione del gruppo b), devono essere tall, che non esistano rette non seganti in punti variabili le curve di entrambi.

Due fasci di coniche irriducibili, generatori di una involuzione del gruppo b), non potranno perci6 avere due punti Mse comuni, e quindi per le involuzioni del gruppo b), gerierabili mediante due fasci di coniche,

sara n = 3 o n - - 4 . Ed inoltre, se nel piano della involuzione assumiamo un fascio [C]

di ~oniche e uria quardca Q, e consideriamo la irtvoluzione generata dal fascio [C] e da un fascio [Q] di quartiche individuato da Q e da due curve di [C] distinte o coincidenti~ essa sar~ una involuzione del gruppo b), non generabile mediante due fasci di coniche, se la posizione e le mol- teplicit~t dei punti base di [C] e dei punti multipli di Q, sono tali, che non esistano rette non seganti in punti variabili le C e le Q.

Facendo tutte le possibili ipotesi sulla posizione e suUe molteplicitk dei punti base di [C] e dei punti multipli di Q, si riesce ad assegnare tutte le costruzioni deiie involuzioni del gruppo b) non generabili me- diante due fasd di r **),

*) Vedi ta nora inclusa nel n ~ 9. **) Si tenga presente che in virtfl del teorema XII si pub limitare a prendere

1~ du~ C, che., insieme con la ~Q assuata, individuano ii fascio di qaarticJae generatore, s~axpre diad~te o sempre coincidenti.

SULLA GENERAZION~ DELLE INVOLUZIONI PLANE DI CLASSE O ED I , ~

Questa ricerca minuziosa, da me compl.etamente eseguita, ma che non espongx~ per brevitY, nort presenta difficol~ essenziali.

Non voglio i.nsistere ulteriormente sulle involuzioni de2 gruppo b), per le quali potrei stabilire altre propriet.~, sia ricorrendo alla rappresen. tazione pian a di una F~ di S s di 2 ~ specie, che alle formule del sig. Cmzzom. Accontentiamoci di aver accennato alle genera.ziom ed alle proprietor pit~ salientk

x 5. Occupiamoci ora delia generazione detle invoIuzioni del gruppo b), involuzioni che in reIazione al numero delle rette (n ~ I z) appartenenfi o semiappartenenfi *)(distinte o coincidenti), che contengono, si potreb- hero ripartire in g sottogruppi, per ciascuno dei quali si potrebbe ripetere una discussione analoga a quella fatta per it gruppo b). Io mi acc0nten- ter6 di dare qualche risultato d'indole generale, e di accennare a qualche ricerca che spontaneamente si presenta per le involuzioni del gruppo e).

Tenendo presente che le F~ a di S a (3 / ~ / / 8 ) , rappresentabili su di un piano ~: mediante un sistema lineare di cubiche con 9 - - a ~ r punfi base semplici a distanza fmita o infinitesima, eontengono tm sistema oo 2 di cubiche (le cubiche corrispondenti aUe oo 2 rette del piano =) e 9 - - • ~ ~ sistemi oo x (eventualmente coincidenfi) di coniche (i sistemi corrispondenfi ai fasci di rette aventi i centri nei 9 - - a punti fissi co- muni atle cubiche det sistema rappresentativo), si riesce in modo facile a stabilire il seguente

TEOaW~tA X I V . - Le involu~ioni di I" classe contenenti un numero

finito di rette appartenenti o semiappartenenti (distinte o coincideng), vale

a dire Ie involu~ioni dd gruppo c), sono tutte generabili mediante un fascio

[C] di conicbe ed un fascio di cubiche una cui curva si spezzi in una C e in una retta; per esse ~ quindi n / 6. Esistono involuzioni di I ~ classe

contenenti 3 o pit~ rette appartenenti o semiappartenenti (distinte o coinci-

denti), generabili mediante due fasci di conicbe non dotati di coniche comuni ;

per esse ~ n ~ 4. Poich~ • ~ anche l'ordine delle R + R' (curve composte di una

retta e della trasformata), potremo affermare che per le involuzioni del gruppo c), generabili mediante due fasci di coniche, le R' hanno al mas- simo l'ordine 6. Applicando la formula del sig. Cmzzom che dA l'ordine

*) Vedi osservazione n ~ 5-

326 G I O V A N N I F E R R E T T I .

delle R' in una involuzione generata mediante due fasci *), si trae ailora che due fasci di coniche non possono generare una involuzione del gruppo c), se non esiste aImeno una retta non avente punti variabili co- muni con le curve di entrambi i fasci.

16. Nelle ricerche della natura di quelle fin qui esposte, sono molto istruttive le applicazioni. Per esempio: assegnata nel piano una involuzione I contenuta in un certo sottogruppo (n ~ 15) del gruppo 0 , cercare i luoghi appartenenti imagini delle rette giacenti sulla superficie F che ad I corrisponde; distribuire questi luoghi in modo analogo a quello nel quale il sig. DEL PEzzo **) ha distribuito le .rette della F ; determinare i gruppi secondo cui si intersecano a due a due; rilevare come facendo avvicinare indefinitamente due o pi~ punti fondamentali, o anche semplicemente mutando la loro posizione assoluta, si riesca a passare dalla involuzione I assegnata ad una involuzione contenuta in un altro sottogruppo del gruppo c) ; determinate per quest'ultima involuzione i luoghi appartenenti di ordine I servendosi soltanto deUe rappresenta- zioni piane, punto per punto, delle superficie a sezioni ellittiche; ecc.

2 Giugno z9o 3.

G I O V A N N I F E R R E T T I .

*) Vedi la nota inclusa nel n ~ 9. **) Memoria citata Sulla superfir deil'n ~ ordine, etc. (pag. 253).