SULLA DEFORMAZIONE DEL SUOLO ELASTIC0 ISOTROP0.

Nora di l u o i a n o Orlando, in Messina.

Adunanza del xu gmgno ~9o4

I1 problema delia deformazione di un solido omogeneo ed isotropo,

limitato da un piano indefinito, ~ stato con molta eleganza trattato da illustri Professori, dei quali io qui non voglio n8 saprei forse degnamente

riassumere le idee; tuttavia proporr6 un altro metodo, sperando che l a sua brevit~t e possibilit~ d'estensione ad altri corpi ne rendano ragionevole

l'esposizione. Denotino, dunque, x e y due assi ortogonali tracciati sul piano li-

mite, e z il terzo asse, ortogonale col due primi e positivo verso l'interno

del solido. I1 punto MI, di coordinate x~, y , , Z, rispetto a questi assi, rappresenu un polo fisso nell'interno del solido, ed M un punto variabile, la distanza del quale da M I si chianti r. Siano x, y, Z le coordinate di M.

Quando sono venficate alcune condizioni all'mfinito, sulle quali non

insisteremo, il valore di una funzione % regolare nel semispazio e tale che ivi sia • = o, pub determinarsi nel punto M1 in funzione dei

valor1 al contorno di q); e a ci6 vale la formula

[ ' o--' r

x ~ ~o _w__ d z (0 y,, oK '

dove l'mtegrazione e fatta in de = d x d y , ed ~ estesa a tutto il piano

infinito ~. Se al contorno fossero invece assegnati, compatibilmente con una

d9 nota condlzione, i valori di ~ - , o, come e la stessa cosa, i valori di

~12 LUCIANO ORLANDO.

0---~' si avrebbe

(2) ~? (x~, y~, Z~) = - - ! "l~ ~ d~

Ora noi supponiamo che il semispazio si assoggetti a un'effettiva deformazione, e chiameremo u, v , w le componenti di spostamento secondo i tre assi x, y, Z, e poi L , M, 27 le componenti di tensione secondo i medesimi assi.

Supporremo sempre nulle ie forze di massa; e, per fare un primo caso, riterremo note le tensioni superficiali. Le qum~tit~ L, M', 2V saranno, dunque, note al contorno.

L'equazione O.L 0.~/ &3 r ax + - ~ - + aK ~ 0 9

valevole qualunque sia la posizione che M, di coordinate x, y, Z, occupa nel semispazio, vale anche quando M tenda al piano che ne cosfituisce

il contorno; e, contenendo la 0 2V - ~ - , non ~ una relazione fra i dati super-

ficiali. Ora il binomio 033 a2V~- 0x + ~y

6, nel caso nel quale ci mettiamo, una quantit~ nota, perci6 di ..-Y ~ noto non soltanto il valore in ogni punto del contorno, ma anche, nei me-

O N desimi punti, il valore di 7Z-Z" Tenendo ancora presente che 27 ~ una

funzione biarmonica, poniamo

x, ~ ) = ~(x, y, ~ ) + a + ( ~ ] , ~3,- (3) 27(x,

dove ~? (x, y, Z) ehb (x, y, ~) sono funzioni regolari nel semispazio, e taft che ivi si abbia

~(x , y, z) = ~'+ (x, y, ~) = o. Non sar~t difficile determinare le due funzioni ~? e +. Se M va al con- torno, la (3) diventa

2V(x, y, o) = ~? (x, y, o) ;

ma 6 nota _N'(x, y, o), dunque, per la (I) , otteniamo

~(x,, yi, ~ ) = A_ cl~. 2 ~ j oK

SULLA DEFORMAZIONE DEL SUOLO ELASTICO ISOTROPO. 313

Derivando, poi, la (3), otteniamo quest'akra condizione superficiale 3 N

~ - 0K (~ + +)' onde si trae, per la (2),

( xx , y, , G) + + ( x, , y, , G ) = - - 2 ~ .J -g-~ r

Sostituendo a q~ ( x , , y , , z . ) il valore dianzi determinato, e ricavando + ( G , Y~, G), otteniamo

+(x,, y, , K , ) - 2 ~ d ~ \ 7 1 a ~ . _ _ Ora la (3) si pug dunque, scrivere

(4) N(x , , y, , KI) = I N-- -~ ~ d~ a r a / ~

Noi ammettiamo qui senz'altro che i daft verlfichino alcune necessarie condizioni inerenti all'infinita estensione del piano al quale si integra. Queste condiziom, o almeno condizloni sufficienti, potrebbero stabilirsi, invece, esplicitamente in principlo, ma ci6 non ha in generale un grande vantaggto, ed esce, peraltro, dal nostro breve programma.

La nota formula O w

(5) iV(x, y, ~) = - ~0 (x , y, K) - 2v. oK '

dove ?, e [:. rappresentano le due costanti statiche del rnezzo elastico, e 0 denota la dilatazione cubica delia parucella che qui intornia M, mostra che poss~amo scrivere

0 2 T a~ (x , , y , , K,) = - - 2I J----- a~w, OG

e, per la (4),

1~ facile accorgersi che si pub anche scrivere

a ~ w - 2 ~ az~ 7 d~. Poi, per l'equazione

c3 0 __ 1" A ~ w , oK, x + v .

che ~ la terza equazione d'equilibrio, si ricava con facili osservazioni

( 6 ) 0 ( X , , y , , K,) = - - 2 ~ ( ) ~ - q - e ' ) J O K \ r ] "

l{end. C*r~. Matera. -PMermo, t XVIll ( t9o4) . - Stampato xl I ~ agosto I9o 4. 4 ~

314 LUCIANO ORLANDO.

Ora noi mostreremo come questa formula, che pub, pitl distesamente, scriversi nel seguente modo:

[J'( -U) ~ I 3 .L 3 M d~ 3 d

concordi colla formula classica

Percib osserveremo che l'integrale

esteso a tutto il piano ~, pub spezzarsi in due altri, estesi rispettivamente a ognuno dei due semipiani, che l'asse del|e x, da una parte e dall'altra, delimita. Con una nota trasformazione, questi due integrali si riconoscono nulli. Nullo risulta anche

in modo analogo; dunque si ottiene

ed ~, cosl, chiaro che le due espressioni di 0 (xi, y~, z~) coincidono. 3 w .

Conosciuta che sia O(x,, y , , G), la (5) fa conoscere ~ m ogni

punto. Per le l~, v ricorreremo age equazioni

+ - j ; , + ,

O,e le quali, nota che sia w, forniscono subito i valo'ri superficiali di - ~ - e

Ov di ~-~, che basteranno, colle A~r A'V, ricavate daUe equazioni d'e-

quilibrio, per risolvere, senz'altra ricerca, il problema di determinate �9 e (G, Y~, G), v ( x i , Y,, 7(i), in ogni punto M,.

Ora noi supponiamo che della stessa deformazione si conoscano in

SULLA DEFORMAZIONE DEL SUOLO ELASTICO ISOTROPO, 315

superficie le componenti t , , v, N. La (5) pu6 scriversi

N : - - x ~ + -- (x+ z~.) 0 ~ A1 contorno sono note tutte le quantitS, che figurano in quest'equazione,

0 '~U tranne c~-~- " Ricavando quest'mcognita, e aggmngendone il valore alla

quantit~ cg~t 0 v Ox --J- Oy '

si ottiene al contorno,

- N ( x , y, o) + 2 e- \ 0 x + b7 ' O(x, y, o) =- ?, + 2~,.

e poi subito

I N_Z_r d 0(.,-, y, , ~,) = - ~ ( x + 2e , . ) , J o~

(8)

+ ~(x + 2v . ) J \g~ + ~ ~--a , . Per fare un terzo caso, supporremo che i dati siano _L, 2tl, ~e.

Dalla (5) avremo O N ; O0 O'-,v

Aggiungendo a sinistra e a destra il termine noto

- - 2 v ' \ O x ~ + Oy' -] '

otteniamo, tenuto conto della terza equazione d'equilibrio,

o o , 0 z - - x q-2~,. ~_b~ 2v'\0x= + Oy2]A '

valida, al contomo, e poi subito I ~ O N d r

0(x , , y~, Z~) = - - 2r~(3, + 2 V . ) d F [ - 7 - (9)

+ ,:(~ + ~ . ) J \ O x ~ + T f ! -/ " Questi due casi sono stati distesamente trattati dal Dr. MORA~DI in

una recente Nora *). Ora noi sommeremo la (8) e la (9)- Risulta

*) Annah di Matematica, 19o 3.

JI6 LUCIANO ORL&NDO.

2 0 ( x , , y~, Z , ) - -

~- ~(x + 2~) Ma la (6) pu6 scriversi

i f ~ ( # ) - - ==(x + ~v-) ~ a s _ - -

e perci6 si ricava

( I 0 ) I ~.-

i f o ( _ ~ ) ~ ( ~ + ,.~) ~ d~

+ -~ - ~ + ~, O x, + a-7 ! d

~+~ O(x,, y,, O,

O(G, Y~, X,)

f [ ( ~ ~176 �9 ' ~ o,, o~ , o,.~ )17 i - - ~ + = _ = - + , - ~ + = - ~ as.

S,

La 0 o ) contiene soltanto quantit~t che sono conQsciute quando siano conosciute in superficie le componenti ~, v, w, ed anche in questo caso possiamo, dunque, dire d'aver risoluto il problema della deformazione.

Noi possiamo dimostrare che anche la (IO) coincide coll'espressione classica che suol darsi della 0 (x, , y , , G) in questo caso. Quanto all'in- tegrale

f ( ~-~ O u O v'~ r .

si fa presto, col metodo dianzi adoperato, a darne l'espressione

a ~, \ ~ - ~ , j - - f - + F--~y,J--f--l Per l'altra parte della (IO), la riduzione ~ un po' meno semplice,

ma analoga. Si ha intanto

f ~ c~o~o fo(~,q~o= O w_6 g o~r cl s + j O x= -r - - ~ O x ] o,

dunque

o~ _z~ d s = f o ' ~ a s ,d Ox Ox - - J - 6 V r

Poi ancora abbiamo

SULLA DEFORMA.ZIONE DEL SUOLO EL&STICO ISOTROPO. 317

f a~wd~ , {awa- ) - F a = I- ,. o=o,

cio~

j J 2 ~ 7

La derivazione nspetto a x pu6 sostituirsi, corn'S, evidente, con una de-

rivazione rispetto a x,. In modo analogo si trova

f c32!

. J O y ~ r - - , J c~ y ,

E avremo, osservando che ~ A 2 ! una quantitk nulla, la seguente for- r

mula

f~w o~o~o ~.~ f~o \ a~ ~ + -EY ! 7 - a~: 7

Con ci6 la (zo) assume l'aspetto che suole generahnente esser noto, cio~ diventa

0 (x, , y, , z,)

- ~ 3, + 3 r~ a-~ \E~:~, 1 - 7 - + E~, j - V - - + ~ j - 7 - / � 9 Noi non conduciamo il calcolo fino alle ukime formule risolutive,

perch~ e notissimo il modo nel qua[e bisogna contmuare.

Messina, io giugno 19o 4.

LUCIANO ORLANDO.