STUDI E FONTI - ub.edu filePartecipò anche attivamente al progetto del Formula-rio...

STUDI E FONTIPER LA STORIA DELLA

UNIVERSITÀ DI TORINO

XVI

DEPUTAZIONE SUBALPINADI STORIA PATRIA

MISCELLANEA DI STORIA ITALIANA

Serie V

Studi e fonti per la storia dellaUniversità di Torino

XVI

Questo volume è stato realizzato grazie al contributo della Regione Piemonte,della Compagnia di San Paolo, del Centro per la Storia dell’Università di Torino edella Fondazione Cassa di Risparmio di Cuneo.

DEPUTAZIONE SUBALPINA UNIVERSITÀ DEGLI STUDIDI STORIA PATRIA DI TORINO

PEANO E LA SUA SCUOLAFRA MATEMATICA, LOGICA E INTERLINGUA

ATTI DEL CONGRESSO INTERNAZIONALE DI STUDI(TORINO, 6-7 OTTOBRE 2008)

a cura diCLARA SILVIA ROERO

DEPUTAZIONE SUBALPINA DI STORIA PATRIATORINO - PALAZZO CARIGNANO

2 0 1 0

Emma Sallent Del Colombo *

IL DIBATTITO SULL’UNIFICAZIONE

DELLE NOTAZIONI VETTORIALI.

IL CONTRIBUTO DI CESARE BURALI-FORTI

E ROBERTO MARCOLONGO 1

1. Introduzione

In questo lavoro analizziamo la collaborazione tra CesareBurali-Forti (1861-1931) e Roberto Marcolongo (1862-1943)riguardante il dibattito sulle notazioni vettoriali, in relazionealla preparazione del IV Congresso Internazionale dei Mate-matici di Roma (1908) e al posteriore dibattito sulle pagine del-la rivista L’Enseignement Mathématique (1908-1912). Prende-remo in considerazione alcuni riferimenti a Giuseppe Peano(1858-1932) in relazione con la polemica – che vide la parteci-pazione di matematici a livello mondiale – nella quale Burali-Forti e Marcolongo giocarono un ruolo di primo ordine, tan-

* Un sentito ringraziamento va alla prof. Clara Silvia Roero, senza laquale né questa né altre mie ricerche avrebbero mai visto la luce. Vorrei rin-graziare anche il prof. Giorgio Israel che ha reso possibile il mio accesso alFondo Marcolongo e in modo particolare il personale della Biblioteca del Di-partimento di Matematica « G. Castelnuovo », Università di Roma, La Sa-pienza per la gentile accoglienza e disponibilità.

1 Ricerca parzialmente svolta nell’ambito del progetto: HUM2007-62222 del Ministerio de Educación y Ciencia.

to per il rigore e la profondità delle proposte, quanto per l’im-pegno di chiarezza e lo sforzo teso ad ottenere un’effettiva uni-ficazione delle notazioni.

Cesare Burali-Forti nato ad Arezzo nel 1861, si laureò inmatematica a Pisa nel 1884 e dopo aver insegnato per qualcheanno nella scuola tecnica di Augusta in Sicilia, nel 1887 entrònel corpo docente dell’Accademia Militare di Torino dove Giu-seppe Peano teneva l’insegnamento di Analisi Matematica finoal 1901. Anche Mario Pieri (1860-1913) fu assunto come pro-fessore lo stesso anno e restò all’Accademia fino al 1900. Bura-li-Forti svolse nel 1893-94 alcune lezioni non ufficiali di Logi-ca matematica e fu assistente di Peano dal 1894 al 1896. Nel1897 pubblicò un’antinomia alla teoria dei numeri transfiniti diCantor. Partecipò anche attivamente al progetto del Formula-rio Mathematico. Morì a Torino nel 1931.

Roberto Marcolongo nato a Roma nel 1862, nel 1886 silaureò in matematica a Roma, dove rimase come assistente diValentino Cerruti fino al 1895, anno in cui divenne professoredi Meccanica razionale all’Università di Messina da dove, nel1908, passò a quella di Napoli, dove rimase sino al colloca-mento a riposo nel 1935. Morì a Roma nel 1943.

Burali-Forti e Marcolongo erano soprannominati il « bino-mio vettoriale », difatti la loro fu una collaborazione di una vi-ta che li vide impegnati nei lavori sul calcolo vettoriale e leomografie vettoriali. Marcolongo ricorda gli esordi della colla-borazione partiti dall’interesse per lo studio e l’utilizzazionedelle notazioni peaniane:

« Nei primi anni del mio insegnamento di Meccanica e di Fisicamate-matica nella Università di Messina io mi era subito valso dei metodivettoriali e del così detto sistema minimo, adottando le notazioni diPeano. Una questioncella provocò un primo e vivace scambio di let-tere; ma pur attraverso inevitabili divergenze, dovute all’indole dei no-stri studi, delle nostre così diverse attitudini e fin dei nostri caratteri,poiché insieme convenivamo di dover trattare i vettori in modo auto-nomo, i vettori coi vettori, indipendentemente da ogni sistema di co-ordinate, fui io il primo a proporre una collaborazione subito accoltacon entusiasmo e con fraterna amicizia. Ne risultarono i lavori sulla

Emma Sallent Del Colombo510

unificazione delle notazioni vettoriali, con esame ampio, critico e sto-rico di tutte le notazioni proposte per il sistema minimo e poi il librodegli Elementi di calcolo vettoriale, subito tradotto in francese » 2.

Una decina di anni più tardi, in occasione della pubblica-zione da parte di Burali-Forti, in collaborazione con Tomma-so Boggio (1877-1963), professore dell’Università di Torino,del volume Espaces Courbes. Critique de la Relativité (1924) 3,Marcolongo – autore del primo testo di Relatività speciale egenerale in italiano (1921) –, non se la sentirà di appoggiare icolleghi nell’impresa di riscrittura del Calcolo differenziale as-soluto con il formalismo delle Omografie vettoriali generaliz-zate 4. Il polemico volume subirà forti critiche e la decisa op-posizione di alcuni membri dell’Ateneo torinese, come testi-monia il seguente estratto di una lettera di Guido Fubini (1879-1943) a R. Marcolongo:

« ... ha letto la meravigliosa prefazione di B. e B.?? Ora ivi si dice ilfalso: anzitutto Fabry chiude il suo articolo ritenendo très probablel’esistenza dello spostamento Einsteniano delle righe dello spettro. Epoi l’effetto Einsteniano sulla funzione perturbatrice per ciò che ri-guarda il perielio di Mercurio è evidentemente a priori trascurabile.Varrebbe la pena, per la dignità e la sincerità della scienza italiana,scrivere poche righe in risposta. Segre, per ragioni torinesi, trova cheè meglio che io stia zitto. D’altra parte sarebbe meglio che la rispo-sta venisse da un competente che goda larga fama e rinomanza. Ec-co perché mi permetto di sottoporle l’idea se non sarebbe il caso cheElla rispondesse in qualche modo. Le pare? » 5.

Il dibattito sull’unificazione delle notazioni vettoriali 511

2 R. MARCOLONGO, Necrologio di Cesare Burali-Forti, BollettinoUMI, 10, 1931, pp. 181-185.

3 C. BURALI-FORTI, T. BOGGIO Espaces Courbes. Critique de la Rela-tivité, Torino, STEN, 1924.

4 Per ulteriore approfondimenti sull’argomento cfr. E. SALLENT DEL

COLOMBO, Cesare Burali-Forti. Contributi alla Fisica-matematica del primoquarto del XX secolo, Tesi di dottorato, Relatori: J.M. Parra & E.A. Gian-netto, Universitat de Barcelona, 29.06.2007.

5 G. Fubini a R. Marcolongo, 4.5.1924, BDM Roma, Fondo Marco-longo.

Questi fatti però si svolgeranno, come abbiamo detto, an-ni dopo il momento che ci interessa e comunque non segne-ranno una crisi definitiva nella collaborazione dei due colleghiche continueranno a lavorare insieme per esempio nella secon-da edizione del loro volume sulle trasformazioni lineari 6.

Torniamo dunque al momento della preparazione del IVCongresso Internazionale dei Matematici del 1908 7. CesareBurali-Forti accoglie con entusiasmo l’idea di lavorare per l’u-nificazione delle notazioni vettoriali e di portare avanti unaproposta articolata dei vettorialisti italiani. Pubblica insieme aRoberto Marcolongo fra il 1907 e il 1908 cinque note sui Ren-diconti del Circolo Matematico di Palermo. Le note sono unavera e propria dichiarazione programmatica degli obiettivi de-gli autori, che enunciano anche quali sono i criteri sui quali sisono basati per arrivare a quella determinata scelta di notazio-ni. In realtà la presentazione degli autori si spinge più in là diuna semplice proposta formale: viene indicato come punto dipartenza il cosiddetto ‘sistema minimo’, che andrà però com-pletato, a seconda di quanto richiederanno le applicazioni, conle omografie vettoriali e con il sistema di H. Grassmann. Gliautori riproporranno lo schema delle loro notazioni sulle pagi-ne della rivista L’Enseignement Mathématique. La pubblica-zione di questa proposta darà luogo ad un dibattito che si pro-trarrà fino al 1912, data del V Congresso Internazionale deimatematici che si terrà a Cambridge, che non vedrà però la de-finitiva scelta delle notazioni da usare. Sulle pagine di Isis nel1914 comparirà una nuova presentazione delle notazioni pro-poste da Burali-Forti e Marcolongo, preceduta da un’introdu-zione del curatore della rivista George Sarton, nella quale egli


6 Cfr. C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO Analisi vettoriale generalee applicazioni. Vol I: Trasformazioni lineari, 2 ed., Bologna, Zanichelli, 1929.

7 Per uno studio approfondito sull’organizzazione e sviluppo del IVCongresso Internazionale dei Matematici cfr. A. GUERRAGGIO, P. NASTASI

Roma 1908: il Congresso internazionale dei matematici, Torino, Bollati Bo-ringhieri, 2008.

auspica che la proposta trionfi e si giunga presto ad un’unifi-cazione di notazioni 8.

2. Origine della proposta dei vettorialisti italiani

Intorno al 1906 si discute sull’opportunità di trovare unaccordo fra le diverse notazioni utilizzate per il calcolo vetto-riale. Si sta preparando il IV Congresso Internazionale dei Ma-tematici di Roma del 1908.

Guido Castelnuovo scrive a Tullio Levi-Civita il 30 gen-naio 1906 che Paul Appell nella sua lettera di adesione al Co-mitato per quel Congresso, aveva rilevato l’opportunità di in-serire fra le questioni da sottoporre all’approvazione generalequella della « nomenclatura relativa ai campi di vettori ». Que-sta proposta fu portata avanti dallo stesso Levi-Civita.

Castelnuovo propone, a tale scopo, la costituzione di unComitato, il cui nucleo sarebbe costituito da Appell e Levi-Ci-vita, « per studiare le varie questioni e sottoporre in blocco leproposte in una seduta plenaria del congresso ».

Levi-Civita scrive ad Appell il 1º febbraio 1906:

« vous avez esprimé le voeux que le futur congrès puisse abutir à uni-fier les conventions et les notations de plusiers théories où regnentmaintenant une arbitrarieté et une confusion gêantes » 9.

L’idea, partita da Levi-Civita, come Burali-Forti scrive aG. Vailati, chiedendone anche l’adesione, « per portare al futu-ro congresso l’opera collettiva dei vettorialisti italiani » 10, fuaccolta da Burali-Forti con entusiasmo come egli stesso scrivea Levi-Civita:


8 Cfr. C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO Analyse vectorielle généra-le, Isis, 5, Tome II, Fasc. 1, 1914, pp. 174-182.

9 T. Levi-Civita a P. Appell, 1.2.1906, Acc. Naz. Lincei, Fondo Levi-Civita.

10 C. Burali-Forti a T. Levi-Civita, 1.3.1907, Acc. Naz. Lincei, FondoLevi-Civita.

« La Sua idea di far cessare al più presto l’anarchia nelle notazionivettoriali, mi era già stata indicata poco tempo fa dal Prof. Marco-longo, col quale stiamo ora combinando un lavoro preparatorio, at-to a condurre ad una proposta concreta e giustificata sotto l’aspettoscientifico e logico da presentarsi al Congresso di Roma » 11.

Burali-Forti e Marcolongo si propongono di pubblicare unprimo lavoro che possa servire di base a osservazioni e propo-ste da parte di tutti quelli che si occupano di calcolo vettoria-le, raccogliendo poi il materiale e discutendo delle proposte inuna riunione da tenersi prima del congresso. Ottimisticamenteegli aggiunge che:

« Avendo cura di far pervenire ai congressisti le stampe almeno unmese prima del Congresso, è facile che nelle sedute si possa venire adun accordo e rendere fatto compiuto l’unificazione dei simboli e lacessazione dell’anarchia » 12.

Anche Volterra si mostra favorevole a questa iniziativa:

« La Sua idea e del Burali di pubblicare nei Rendiconti del Circolo diPalermo, articoli relativi alla unificazione dei simboli e dei terminiusati nel calcolo vettoriale mi sembra molto opportuna, e tanto piùopportuna in quanto la questione stessa verrà portata innanzi al Con-gresso Internazionale. Se si desidera giungere ad una conclusione pra-tica e definitiva conviene che la questione giunga matura al Congres-so e quindi i Loro articoli ed altri che potessero seguirli saranno uti-lissimi per preparare gli animi ad un accordo in questo campo. Saràbene che anche i fisici s’interessino della questione ed al prossimocongresso di Parma si potrà pure aprire una discussione in proposito.A quell’ora mi auguro che i Loro articoli saranno già pubblicati » 13.

Burali-Forti propone come organo per la pubblicazionedei lavori la rivista Rendiconti del Circolo Matematico di Pa-


11 Ibidem.12 Ibidem.13 V. Volterra a R. Marcolongo, 13.3.1907, BDM Roma, Fondo Mar-

colongo.

lermo, offrendo di fare lui stesso il lavoro preparatorio relati-vo all’analisi dei simboli e al confronto delle varie notazioni.

Egli propone un piano generale che prevede:- gli enti geometrici che concorrono a formare gli enti vet-

toriali;- la definizione di vettore;- la distinzione formale e effettiva tra operazioni e funzio-

ni vettoriali;- gli enti vettoriali ottenuti con operazioni e funzioni, avu-

to riguardo all’uso reale in geometria e in meccanica;- gli enti geometrici non assolutamente necessari in mec-

canica, ma che contengono, come casi particolari quelli mecca-nici;

- le omografie vettoriali e derivate (soggette alle leggidell’ordinario calcolo differenziale, e specialmente alla nota-zione universale di Leibniz) degli enti vettoriali funzione diun punto;

- e infine il confronto delle notazioni ordinarie, dei loropregi e dei loro difetti.

Il 20 marzo 1907 Burali-Forti comunica a Levi-Civita diaver spedito a Marcolongo il primo articolo, descrivendone inbreve il contenuto:

« Poche parole per dimostrare la necessità di avere un calcolo vetto-riale unico ed universale come quello dell’algebra e dell’analisi. Altrepoche parole per affermare la necessità di ricavare dal confronto del-le varie notazioni il sistema più opportuno, e la necessità da parte ditutti, di rinunziare ai criteri personali che hanno condotto all’attualeanarchia » 14.

La proposta si basa sui due seguenti criteri fondamentali:1) le notazioni (almeno le fondamentali) non devono esse-

re in contraddizione con quelle (pure fondamentali) di Möbius,Hamilton, Grassmann, perché, anche avuto riguardo al sistema


14 C. Burali-Forti a T. Levi-Civita, 20.3.1907, Acc. Naz. Lincei, FondoLevi-Civita.

vettoriale minimo occorrente in pratica, non pare lecito ipote-care il passato e l’avvenire delle grandi opere di quei grandi;

2) l’algoritmo vettoriale deve essere stabilito in modo dadiscostarsi il meno possibile da quello universalmente notodell’algebra, perché rispettando le leggi di permanenza e dieconomia si facilita grandemente la diffusione del calcolo vet-toriale.

Secondo Burali-Forti un sistema soddisfacente a tali criteri:

« ha già in sé quanto basta per aspirare alla vitalità; i criteri che sor-geranno spontanei dal confronto delle varie notazioni gli darannoquanto basta per poter pretendere alla vitalità; la vita dovrà riceverladalla morte dei criteri personali, [...] poiché noi cominciamo con l’uc-cidere i nostri speriamo che gli altri vogliano imitarci » 15.

L’articolo si dovrà chiudere con un caldo appello ai colle-ghi di contribuire alla definizione della questione con pareri,consigli e materiale bibliografico. Burali-Forti spera che questerisposte collettive e non individuali « basate solamente sui fattireali », condurranno il Comitato organizzatore del congressoalla diffusione e all’accettazione della proposta.

Giovanni Battista Guccia 16, editore dei Rendiconti, mettea disposizione di Burali-Forti e Marcolongo la sua prestigiosarivista, pubblicando, fra 1907 e il 1908, ben cinque note per l’u-nificazione delle notazioni vettoriali.

Nei primi articoli i due matematici si occupano del sistemavettoriale, detto sistema minimo, che fa uso degli enti: numero,punto e vettore. Esaminano le operazioni vettoriali, ed espon-gono come da questo sistema si possa dedurre l’intero calcolodei quaternioni di Hamilton. Mostrano poi alcune applicazio-ni del sistema minimo a ben noti problemi della Geometria dif-ferenziale, come le superfici rigate, altri tratti dalla Meccanica,come la cinematica del corpo rigido o desunti dalla Fisica-ma-


15 Ibidem.16 Cfr. A. BRIGAGLIA, G. MASOTTO, Il Circolo Matematico di Palermo,

Bari, Dedalo, 1982.

tematica come i corpi isotropi in equilibrio. Nell’ultima notagli autori indicano le limitazioni del sistema minimo, sottoli-neando come per alcune questioni « usuali in geometria, menocomuni per la meccanica e la fisica », sia opportuno usare uncalcolo più potente, con l’introduzione quindi delle « forma-zioni geometriche », di Grassmann-Peano 17. Nel carteggio conVailati si possono cogliere tutte le sfumature del dibattito: do-po una partenza piena di ottimismo, Burali-Forti esprime lesue preoccupazioni sull’esito della proposta avanzata:

« La questione si avvia bene. Sono anche in corrispondenza con Le-vi-Civita. Quando vi siano cose concrete ti scriverò ché conto sul tuoaiuto » 18.« Grazie dell’augurio vettoriale, ma purtroppo le nostre conclusionisono contrarie all’enciclopedia tedesca, e il congresso ci darà torto » 19.« Mi pare che accolgano poco favorevolmente la constatazione dellebestialità propalate ai quattro venti dall’Enciclopedia Tedesca. Quan-d’è che ci decideremo di rendere ai tedeschi le loro bastonate? » 20.

È Marcolongo a presentare al Congresso dei matematici,tenutosi a Roma dal 6 all’11 aprile 1908, le loro proposte conil titolo Per l’unificazione delle notazioni vettoriali.

Dagli Atti del IV Congresso internazionale dei matemati-ci di Roma, risulta che dopo questa esposizione nella SezioneIII-A, dedicata alla Meccanica, e presieduta da J. Hadamard, sitenne una discussione alla quale parteciparono lo stesso Hada-mard, G. Peano, V. Volterra, G. Maggi, L. Levy, J. Molk e R.W. Genese. Al termine, Hadamard dopo aver ringraziato Mar-


17 C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO, Per l’unificazione delle nota-zioni vettoriali, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 23, 1907,pp. 324-328; 24, 1907, pp. 65-80; pp. 318-332; 25, 1908, pp. 352-375; 26,1908, pp. 369-377.

18 Cfr. C. Burali-Forti a G. Vailati, 7.3.1907, Appendice 2.11 in E. SAL-LENT DEL COLOMBO, Cesare Burali-Forti. Contributi alla Fisica-matemati-ca del primo quarto del XX secolo, Tesi 2007 cit.

19 C. Burali-Forti a G. Vailati, 1.8.1907, Tesi 2007 cit.20 C. Burali-Forti a G. Vailati, 5.9.1907, Tesi 2007 cit.

colongo per l’opera da lui prestata in argomento, comunicò ladecisione generale di presentare al Congresso, la mozione af-finché fosse nominata una Commissione internazionale perl’unificazione delle notazioni vettoriali che doveva riunirsi perstabilire il manifesto da presentare per la decisione definitiva alCongresso successivo che si sarebbe tenuto a Cambridge nel1912. Nella sessione plenaria dell’11 aprile 1908 questa propo-sta di commissione venne approvata all’unanimità con vivi ap-plausi.

Conclusosi il Congresso G. Castelnuovo ricorda a R. Mar-colongo la proposta di nominare una commissione per lavora-re all’unificazione delle notazioni e ne discute con lui l’even-tuale composizione:

« Ricorderai che, in una seduta del Congresso, Hadamard ha fatto laproposta perché sia nominata una Commissione incaricata di unifi-care la notazione vettoriale. Il Comitato organizzatore del Congres-so (parlo in terza persona per maggiore dignità) si occupa ora di co-stituire questa Commissione. Mi pare che due Commissari sianosufficienti per ciascuna delle quattro nazioni che hanno dato mag-gior contributo al Congresso (Italia, Francia, Germania, Inghilterra).Per la Francia uno dei delegati è già indicato: Hadamard. L’altro, se-guendo il consiglio di quest’ultimo, sarà Langevin, cui non ho an-cora scritto. Per la Germania ho scritto ad Abraham, il quale ha ac-cettato e mi ha suggerito, come secondo Prandtl professore all’Uni-versità di Gottinga, che si è occupato di questioni analoghe in pas-sato. [...] Per l’Inghilterra Darwin mi suggerisce i nomi di Sir. R. Balle Whitehead, cui scriverò. Per l’Italia avevo già da un pezzo in pec-tore la delegazione: te e Levi-Civita. Quest’ultimo però, cui ho do-vuto scrivere in questi giorni per altre questioni, ed a cui ho fattoparola delle mie intenzioni, mentre approva il tuo nome, mi dice dinon poter accettare per conto proprio, sia perché non si riconosceattitudini commissariali, sia perché crede opportuno che nella Com-missione vi sia un rappresentante di altre tendenze, mentre egli è en-trato pienamente nel vostro ordine di idee. Perciò il Levi-Civita miconsiglia di aggregare a te un elettrotecnico, e mi suggerisce i nomidi Grassi o Lori. Che ne pensi? Attendo il tuo parere in propositoprima di fare altri passi. Ben inteso conto sulla tua accettazione,


giacché tu in quella Commissione non puoi mancare. È ben chiaroche se escludiamo te, avremo una delegazione ben degna delle criti-che che tu a torto dirigi a te stesso. Bada bene che per me la que-stione essenziale è che tu entri nella Commissione; quanto al secon-do rappresentante non ho preferenze e lascio a te l’incarico di sce-glierlo. Solo ti faccio notare (e lo avrai visto tu pure) che l’aggrega-re a te Burali-Forti (pur competente in materia) sarebbe inopportu-no, dovendo tutte le tendenze esser rappresentate nella Commissio-ne. Confido di non aver fatto appello invano al tuo interesse perl’argomento e per la posizione che l’Italia deve prendere in ogni que-stione scientifica che si agiti nel mondo. Guardiamoci di dare all’e-stero la sensazione della nostra impotenza! Attendo dunque una tuarisposta di accettazione, lasciandoti carta bianca per il secondoCommissario » 21.

Castelnuovo comunica a Marcolongo di essere addiritturasul punto di dimettersi dall’incarico se lui non accetterà farparte della Commissione:

« Mi dispiace molto quel che mi scrivi, e mi mette in un vero imba-razzo. Se tu, che sei la persona più competente in materia, rinunzi adentrare nella Commissione, io mi disinteresso completamente dellafaccenda, e scrivo all’Hadamard che, non essendosi potuta costituirela delegazione italiana, declino l’incarico di nominare quella Com-missione. Ma facciamo allora una ben magra figura. Vorrei perciò an-cora una volta invocare la tua amicizia, e diciamo pure il tuo pa-triottismo, perché tu non insista nel tuo proposito » 22.

Sappiamo da una breve notizia pubblicata nel Bulletin ofthe American Mathematical Society quale fu la composizionefinale della Commissione:

« In accordance with the resolution adopted by the fourth interna-tional congress of mathematicians, the president of the congress has


21 G. Castelnuovo a R. Marcolongo, 25.1.1909, BDM Roma, FondoMarcolongo.

22 G. Castelnuovo a R. Marcolongo, 15.2.1909, BDM Roma, FondoMarcolongo.

appointed the following committee on the unification of the vecto-rial notation : Professors Abraham, Ball, Hadamard, Langevin, Lori,Marcolongo, Prandtl, Stekeloff, Whitehead, E. B. Wilson » 23.

Dal 1908 si succederanno nelle pagine de L’EnseignementMathématique una serie di contributi rivolti a chiarire la que-stione delle notazioni vettoriale, partendo dalle proposte diBurali-Forti e Marcolongo, cui parteciperanno, come vedremo,G. C. Combebiac, H. E. Timerding, F. Klein, E. B. Wilson, G.Peano, E. Carvallo, E. Jahnke, C. G. Knott, A. Macfarlane.

3. Schema della proposta

La proposta iniziale di Burali-Forti e Marcolongo apparsasui Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo e ristampa-ta in forma di schema che riproduciamo nelle pagine de L’En-seignement Mathématique 24 è preceduta da una nota della re-dazione che apre ed invita al dibattito:

« Ce tableau est extrait de l’étude très documentée que MM. Burali-Forti e Marcolongo ont consacré a l’unification des notations vecto-rielles dans les Rendiconti di Palermo (1907-08). A la suite d’unecommunication qui a été faite sur ce sujet au IVe Congrès interna-tional des mathématiciens qui a eu lieu à Rome, en avril 1908, unCommission internationale a été chargé de l’étude de cette question.Au moment au le Calcul vectoriel se répand de plus en plus dans lessciences appliquées, la nécessité de posséder une notation uniforme,tout au moins pour les opérations, devient très urgent. Il faut espé-rer qu’un résultat définitif pourra être obtenu d’un commun accordentre les représentants des différentes écoles d’ici au prochain Con-grès (Cambridge 1912).


23 Bulletin of the American Mathematical Society, 16, 4, 1910, pp. 217-219.

24 Cfr. C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO, Notations rationelles pourle système vectoriel minimum, L’Enseignement Mathématique, 11, 1909, pp.41-45.

Nous engageons tous ceux qui s’intéressent au développement desméthodes si fécondes du Calcul vectoriel à examiner les notationsproposées tant au point de vue de leur emploi dans les manuels et lesmémoires qu’à celui de l’enseignement oral.Il est désirable que la discussion soit large et aussi complète que pos-sible et que l’on entend toutes les personnes compétentes apparte-nant aux différentes écoles ou représentant les diverses branches quifont emploi de l’l’Analyse Vectorielle. L’Enseignement Mathémati-que est à leur disposition. Nous publierons les observations qu’ils ju-geront utiles de nous adresser, ou tout au moins des extraits, dans larubrique Mélanges et correspondances.

Burali-Forti e Marcolongo accompagnano le loro propostecon i nomi degli autori che per primi hanno fatto uso delle di-verse notazioni e le affiancano alle notazioni da escludere e al-le principali ragioni dell’esclusione 25.

Essi indicano con A, B i punti, con a, b i vettori, con m, n,f numeri reali, con u un numero reale e con u il vettore fun-zione di un punto, e presentano lo schema che segue.


25 Abbiamo omesso alcune note contenenti puntualizzazioni degli au-tori.

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ctio

n qu

i pr

épos

e à

un v

ecte

ur o

u à

un b

i-ve

cteu

r pr

odui

t un

biv

ecte

ur o

u un

vec

teur

(ax

e-m

omen

t d’u

n co

uple

).

Not

atio

n ab

régé

e de

HA

MIL

TO

N,

dans

laq

uelle

ab

est

un q

uate

rnio

n, f

onct

ion

vect

orie

lle q

ui n

’est

poin

t né

cess

aire

dan

s le

sys

tèm

e ve

ctor

iel

min

i-m

um. L

a no

tatio

n co

mpl

ète

est –

S(I–1

a)(I

–1b)

.El

les

sont

des

fonc

tions

de

deux

var

iabl

es, a

vec

des

prop

riété

s fo

rmal

es p

lus

com

pliq

uées

que

a3

bqu

ia

tout

esle

s pr

oprié

tés

form

elle

s al

gébr

ique

s.

Not

atio

ns p

ropo

sées

Not

atio

ns à

exc

lure

et p

rinci

pale

s ra

isons

de

l’exc

lusio

n

Vect

eur

de A

à B

Gra

ndeu

r ou

mod

ule

de a

Som

me

de A

ave

c a

Som

me

de a

avec

b

Diff

eren

ce e

ntre

aet

bPr

odui

t apa

r m

Prod

uit i

nter

nede

apa

r b


a `

b(a

vect

eur

b)

ia(m

+in

)a

(cos

j+i

5 sinj

)aeij

a

(a .

b) (a

,b)

a . b

V(a

b)

V(a

b), V

(a,b

)[a

. b]

, [a,

b]

a 3

b

|(ab)

m+

iaau

lieu

de

(m+

in)a

(not

. nou

velle

)

WE

SSE

L

HA

MIL

TO

N

BEL

LA

VIT

IS

Fonc

tion

de d

eux

varia

bles

. Le

sym

bole

de

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tion

( ) e

st c

ontr

aire

aux

lois

univ

erse

lles

algé

briq

ues.

Le p

oint

est

en

algè

bre

un s

épar

ateu

r: a

. bes

t don

cle

mêm

e qu

e ab

.not

atio

n qu

i doi

t êtr

e ré

serv

é po

urle

biv

ecte

ur d

e G

RA

SSM

AN

N, p

our

lequ

el e

lle a

les

prop

riété

s or

dina

ires

form

ales

alg

ébriq

ues.

Not

atio

n ab

régé

e de

HA

MIL

TO

N; c

ompl

ète

V(I

–1a)

(I–1

b).

Les

obse

rvat

ions

faite

s po

ur S

.Fo

nctio

ns d

e de

ux v

aria

bles

. Voi

r ob

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atio

ns p

ré-

céde

ntes

.En

core

fon

ctio

ns d

e de

ux v

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le

sym

bole

de

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tion

étan

t [

], co

ntra

irem

ent

aux

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algé

bri-

ques

les

plu

s ré

pand

ues.

Dan

s le

s no

tatio

ns (

a,b)

,[a

,b]

la f

orm

ede

s pa

rent

hèse

s do

it ca

ract

érise

rle

sde

ux f

onct

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, tan

dis

que

dans

l’a

lgèb

re l

a fo

rme

des

pare

nthè

ses

est a

ccid

ente

lle.

(de

GIB

BS)

Le

sym

bole

est

de G

rass

man

nn q

ui l

’aem

ploy

é da

ns u

ne s

igni

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ion

bien

diff

éren

te a

vec

tout

es le

s pr

oprié

tés

form

elle

s al

gébr

ique

s.D

ans

le p

rodu

it ve

ctor

iel

il n’

a pa

s la

pro

prié

téco

mm

utat

ive.

Not

atio

n im

port

ante

etbi

en a

ppro

prié

de G

RA

S-SM

AN

N; m

ais

(ab)

est

un

bive

cteu

ren

tité

qui

n’es

tpa

s né

cess

aire

dan

s le

sys

tèm

e m

inim

um [

|(ab)

axe

-m

omen

t du

coup

leab

].

m +

ines

t un

quat

erni

on d

ont m

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e sc

alai

re e

t nes

t le

vec

teur

. Il n

’est

pas

pos

sible

d’id

entif

ier

m +

inav

ec (

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, car

, dan

s un

pla

n un

qua

tern

ion

non

droi

tet

un

vect

eur

sont

des

ent

ités

à tr

ois

et à

deux

dim

ensio

ns r

espe

ctiv

emen

t. En

out

re: a

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tsu

pprim

é, o

n su

pprim

e l’a

uton

omie

; le

prod

uit

dede

ux n

ombr

es c

ompl

exes

n’a

poi

nt d

e ra

ppor

t ave

cle

pro

duit

quat

erni

onne

l et a

vec

les

opér

atio

ns 3

`.

Prod

uit v

ecto

rielle

de a

par

b

(dan

s un

pla

n)a

tour

ne d

’un

angl

edr

oit

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eur

ma

+ in

a

ato

urne

de

frad

iant

s

Emma Sallent Del Colombo524gr

ad u

div

u

rot u

—u

–S—

u

—u

|—u

|—

3u

V—

u

{ —u}

MA

XW

EL

L

RIE

MA

NN

-WE

BE

R

CL

IFFO

RD

LOR

EN

TZ

FER

RA

RIS

Not

atio

n ab

régé

e de

HA

MIL

TO

N(c

ompl

ète

I—u)

dans

laqu

elle

—(n

abla

) est

sym

bole

de

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tion

qui,

plac

é de

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un

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erni

on, p

rodu

it un

qua

tern

ion.

La m

ême

signi

ficat

ion

a —

dans

la n

otat

ion

qui d

on-

nent

la

dive

rgen

ceet

la

rota

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du v

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ur u

. Le

sym

bole

—qu

e es

t bi

en a

ppro

prié

aux

qua

tern

ions

n’es

t pas

app

licab

le d

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le s

ystè

me

min

imum

.

Not

atio

n de

HA

MIL

TO

N: c

ompl

ète

–S—

I–1u.

Obs

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vatio

ns p

récé

dent

es.

Le s

ymbo

le —

ne p

eut

pas

être

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ui d

e H

amilt

on.

Il n’

est p

oint

un

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bole

tach

ygra

phiq

ue c

arté

sien:

il a

une

signi

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ion

bien

diff

éren

te q

ue d

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la n

o-ta

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—u,

bie

n qu

e —

une

soi

t pas

em

ploy

é da

ns la

signi

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ion

ham

ilton

ienn

e.C

omm

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pré

céde

nt: l

a no

tatio

n ||

est i

nutil

e.Le

—.u

de G

IBB

S, da

ns l

eque

l —

doit

être

vec

teur

sym

boliq

ue; m

ais

il n’

a pa

s le

s pr

oprié

tés

des

vec-

teur

s pa

r ra

ppor

t à

3. L

e sy

mbo

le —

3es

t ta

chy-

grap

hiqu

e po

ur l

es c

oord

onne

s ca

rtés

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es; i

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apa

s d’

impo

rtan

ce, c

ar il

n’a

dmet

pas

de

puiss

ance

s.

Not

atio

n de

HA

MIL

TO

N: c

ompl

ète

V—

I–1u.

Obs

er-

vatio

ns p

récé

dent

es. L

e m

ême

que

pour

{ —u}

.Le

s fo

nctio

ns d

e u,

|—

u|,

{ —u}

sont

car

acté

risée

spa

r la

form

ede

s pa

rent

hèse

s: do

nc le

sym

bole

—es

tin

utile

.M

ais

les

pare

nthè

ses

ne p

euve

nt p

as ê

tre

sym

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sde

fon

ctio

ns e

t le

ur f

orm

e ne

peu

t pa

s di

stin

guer

une

fonc

tion

de l’

autr

e.La

not

atio

n —

3u

de G

ibbs

. Vo

ir le

s ob

serv

atio

nsfa

ites

pour

la n

otat

ion

—.u.

Gra

dien

t de

u

Div

erge

nce

de u

Rot

atio

n de

u

Torin

oja

nvie

r 19

08.

Nap

oli 6

C. B

UR

AL

I-FO

RT

I

R. M

AR

CO

LO

NG

O


—`

u

Du D 2u D 2u

[de

LAM

É]

Il a

la m

ême

signi

ficat

ion

que

le m

odgr

ad. D

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e ca

lcul

vec

torie

l par

ait g

rad

u et

, en

dé-

pend

ance

, son

mod

ule.

La

form

e sy

mbo

lique

car

té-

sienn

e du

sym

bole

D2

est

∂2∂2

∂2––

–––

+ ––

–––

+ ––

–––

mai

s on

a∂x

2∂y

2∂z

2

D 2u=

div

grad

uD 2u

= gr

ad d

iv u

–ro

t ro

t u

etdo

nc a

des

pro

prié

tés

dive

rses

sel

on q

u’il

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pro-

posé

à u

n no

mbr

e on

a u

n ve

cteu

r. O

r il

n’es

t pa

spe

rmis

d’in

diqu

er a

vec

un m

ême

sym

bole

deu

xfo

nctio

ns q

ui d

iffér

ent n

on s

eule

men

t par

le c

ham

pd’

appl

icat

ion,

mai

s au

ssi p

ar le

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ropr

iété

s. S’

il es

tné

cess

aire

d’e

mpl

oyer

les

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duits

de

troi

s pa

rmi

les f

onct

ions

div

, gra

d, ro

t, on

pou

rra

pose

r D=

div

grad

D' =

gra

d di

v –

rot r

ot o

u bi

en é

crire

D2

et D

' 2au

lieu

de

Det

D'.


4. Il dibattito su L’Enseignement Mathématique, 1908-1912

Il dibattito vede intervenire, come abbiano detto, oltre aBurali-Forti e Marcolongo, G. C. Combebiac (Paris), H. E. Ti-merding (Strasburgo), F. Klein (Gottinga), E. B. Wilson (Bo-ston), G. Peano (Torino), E. Carvallo (Parigi), E. Jahnke (Ber-lino), C. G. Knott (Edinburgo), A. Macfarlane (Chatham, Ca-nada) 26.

Peano partecipa attivamente al dibattito. Ci offre una te-stimonianza della sua percezione della visione che dall’esternosi ha del lavoro di Burali-Forti e Marcolongo:

« Io da un paio d’anno ho messo da parte la matematica, tutto assor-to nella Interlingua, problema che la maggioranza giudica impossibi-le, ma che io credo possibile, e molto simile a quello dell’unificazio-ne delle notazioni vettoriali. Leggo ogni tanto le pregiate pubblica-

26 Cfr. C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO Notations rationelles pourle système vectoriel minimum, L’Enseignement Mathématique, 11, 1909, pp.41-45; C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO Réponse a Combebiac, L’Ensei-gnement Mathématique, 11, 1909, p. 134; C. BURALI-FORTI, R. MARCO-LONGO, Réponse à Timerding et Wilson, L’Enseignement Mathématique, 11,1909, pp. 459-466; C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO Réponse à Carval-lo, Cargill-Knott e Macfarlane, L’Enseignement Mathématique, 12, 1910,pp. 46-54; C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO À propos d’un article de M.E. B. Wilson, L’Enseignement Mathématique, 13, 1911, pp. 138-148; C. BU-RALI-FORTI Sur les dyads et les dyadics de Gibbs, L’Enseignement Mathé-matique, 14, 1912, pp. 276-282; G. C. COMBEBIAC À propos d’un article deM. Burali-Forti sur le calcul vectoriel, L’Enseignement Mathématique, 11,1909, p. 46; H. E. TIMERDING Lettre de M. Timerding (Strasbourg), L’En-seignement Mathématique, 11, 1909, pp. 129-134; F. KLEIN Opinion de M.F. Klein (Goetingue), L’Enseignement Mathématique, 11, 1909, p. 211; E. B.WILSON Lettre de M. Edw. B. Wilson, L’Enseignement Mathématique, 111909, pp. 211-216; G. PEANO Lettre de M. Peano (Turin), L’EnseignementMathématique, 11, 1909, pp. 216-217; E. CARVALLO Opinion de M. Carval-lo (Paris), L’Enseignement Mathématique, 11, 1909, p. 381; E. JAHNKE, Opi-nion de M. E. Jahnke (Berlin), L’Enseignement Mathématique, 11, 1909, p.381; C. G. KNOTT, Remarques de M. Cargill-G Knott (Edimbourg), L’En-seignement Mathématique, 12, 1910, pp. 39-45; A. MACFARLANE Opinion deM. Alex. Macfarlane (Chatham, Canada), L’Enseignement Mathématique,12, 1910, pp. 45-46.


zioni Sue, insieme all’amico Burali, e ammiro il successo che la lorocostanza, e chiare esposizioni e applicazioni continue ed importanti,sempre più produce; si può dire che queste notazioni, e idee sono orafatte patrimonio comune. Mie congratulazioni » 27.

Sottolineeremo nel seguito gli aspetti che riteniamo più ri-levanti per comprendere l’insuccesso della proposta al con-gresso di Cambridge, così come le divergenze più significativesulle nozioni matematiche coinvolte.

Combebiac, Wilson e Carvallo mettono in questione aper-tamente la necessità di una unificazione delle notazioni in que-sto dominio della matematica. Felix Klein, basandosi nell’espe-rienza tedesca del 1903, sottolinea il fatto che la mancanza diun imperativo esterno, come invece successe nel caso delle uni-tà elettrotecniche, rischia di rendere impossibile ogni progres-so verso l’unificazione.

Peano, Timerding e Jahnke sono fondamentalmente d’ac-cordo sulla proposta degli italiani, anche se suggeriscono alcu-ne lievi modifiche nelle notazioni. Knott fa una accorata dife-sa del sistema dei quaternioni sviluppato da Hamilton e Tait,sia in relazione alla proposta degli autori sia in collegamentocon il sistema di Gibbs. Il sistema quaternionico è difeso ancheda Macfarlane. Burali-Forti e Marcolongo mostrano sempregrande considerazione per l’opera di Hamilton pur sottoli-neando la sua insufficienza nel trattamento di alcuni problemiche richiedono le omografie vettoriali. Wilson, difende i con-tributi di Gibbs, critica in modo aggressivo numerosi puntidella proposta degli italiani e conclude che in base alla diversi-tà di opinioni raccolte nella rivista

« bisogna sperare che i vettori e l’analisi vettoriale diventeranno inquesto modo così familiari nella loro diversità che, nel 1912, potran-no continuare il loro sviluppo senza unificazione e senza riforma,

27 G. Peano a R. Marcolongo, 8.11.1912, BDM Roma, Fondo Marco-longo.


con la stessa libertà che si concede al calcolo differenziale ed inte-grale » 28.

Timerding, infine, difende la necessità di includere i bivet-tori per un’adeguata rappresentazione delle grandezze fisiche.

5. Conclusione

La commissione nominata nel congresso di Roma non rea-lizzò, a detta di Burali-Forti e Marcolongo, nessuno scambiodi idee al punto che nel congresso di Cambridge del 1912 nonsi affrontò l’argomento dell’unificazione delle notazioni.

Nella rivista Isis del giugno del 1914 George Sarton pub-blicò una recensione di Burali-Forti e Marcolongo della loroAnalyse vectorielle générale del 1912-13, facendola precedereda un’introduzione nella quale affermava:

« Ils ont établi un système de notations qui me paraît bien réalisersous une forme simple, logique et uniforme, sans difficultés typo-grafiques, un système minimum, dont la puissance et la commoditéont d’ailleurs été clairement démontrées par beaucoup d’applicationsà la mécanique et à la physique mathématique » 29.

A completamento della questione Burali-Forti e Marco-longo rimandano all’Appendice dell’Analyse vectorielle généra-le nella quale si discutono le proposte tratte dalla traduzionefrancese dell’Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften,dal contributo esposto da P. Langevin dall’originale tedesco diM. Abraham « et qui sont en pleine contradiction avec les di-vers systèmes vectoriels et les principes qui doient présider à laformation logique de leurs algorithmes »; si discute anche il si-stema pubblicato da L. Prandtl, in occasione delle riunioni

28 Cfr. E. B. WILSON, Lettre de M. Edw. B. Wilson, L’EnseignementMathématique, 11, 1909, pp. 211-216.

29 G. SARTON, Unification des notations vectorielles, Isis, 5, Tome II,Fasc. 1, 1914), pp. 173-174.


progettate e mai avvenute per il Congresso di Cambridge del1912 30.

Non si arrivò quindi veramente ad un accordo anche seBurali-Forti e Marcolongo, come abbiamo visto, portaronoavanti un lavoro interessante e profondo di revisione critica estorica dei contenuti. La maggioranza degli autori rimase lega-ta alle sue notazioni, con interessi nazionali molto marcati. Lescuole dei seguaci di Hamilton, la scuola dell’Enciclopedia te-desca, quella dei vettorialisti italiani, ciascuno seguì le propriepreferenze.

Ci fu poi un secondo gruppo di autori che addirittura nonavvertì la necessità di portare avanti un’unificazione delle no-tazioni, sostenendo essere positivo che i ricercatori si abituas-sero al passaggio da un tipo di notazione ad un’altra.

Anche se il presente lavoro non costituisce uno studioesaustivo dell’argomento in esame, speriamo che possa contri-buire a portare nuova luce sul ruolo di primordine giocato daBurali-Forti e Marcolongo in questo interessante dibattito.

30 Cfr. C. BURALI-FORTI, R. MARCOLONGO, Analyse vectorielle géné-rale: II, Applications à la mécanique et à la physique, Pavia, Mattei, 1913, p.119.

INDICE

Prefazione (F. ARZARELLO, A. CONTE) . . . . . . . . . . . pag. V

Abbreviazioni e Sigle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » IX

ERIKA LUCIANO, CLARA SILVIA ROEROLA SCUOLA DI GIUSEPPE PEANO

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » XINOVARESE Enrico (1858-1892). . . . . . . . . . . . . . . . » 001CASTELLANO Filiberto (1860-1919) . . . . . . . . . . . . . » 003PIERI Mario (1860-1913) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 006BETTAZZI Rodolfo (1861-1941) . . . . . . . . . . . . . . . » 016BURALI-FORTI Cesare (1861-1931) . . . . . . . . . . . . . » 022VAILATI Giovanni (1863-1909) . . . . . . . . . . . . . . . . » 036CANESI Gaetano (1864-1945) . . . . . . . . . . . . . . . . » 054NASSÒ Marco (1864-1920) . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 061PADOA Alessandro (1868-1937) . . . . . . . . . . . . . . . » 063RAMORINO Angelo (1869-?) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 076FANO Gino (1871-1952) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 077MASTROPAOLO Nicola (1872-1944) . . . . . . . . . . . . . » 092VACCA Giovanni (1872-1953) . . . . . . . . . . . . . . . . » 098BORIO Agostino (1873-1962) . . . . . . . . . . . . . . . . » 113PAGLIERO Giuliano (1873-1949) . . . . . . . . . . . . . . . » 115PENSA Angelo (1875-1960) . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 119BOGGIO Tommaso (1877-1963) . . . . . . . . . . . . . . . » 122TANTURRI Alberto (1877-1924) . . . . . . . . . . . . . . . » 136BOTTASSO Matteo (1878-1918) . . . . . . . . . . . . . . . . » 139

VIRIGLIO Luigia (1879-1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 144DELLA CASA Luciano (1885-1957) . . . . . . . . . . . . . » 146CHIONIO Fiorenzo (1886-?) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 148GRAMEGNA Maria (1887-1915) . . . . . . . . . . . . . . . » 150MAGO Vincenzo (1887-1920) . . . . . . . . . . . . . . . . » 152PEYROLERI Margherita (1887-?) . . . . . . . . . . . . . . . » 154VESIN Virginia (1887-?). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 156FRISONE Rosetta (1888-1983) . . . . . . . . . . . . . . . . » 157QUARRA Paolina (1889-?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 159COMI Tiziana Tersilla (1891-1961) . . . . . . . . . . . . . » 161DESTEFANIS Maria (1893-1979) . . . . . . . . . . . . . . . » 163VIGLEZIO Elisa (1894-1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 164ZAVAGNA Ireneo (1894-1958) . . . . . . . . . . . . . . . . » 166CASSINA Ugo (1897-1964) . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 168BERSANO Carlo (1898-1975) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 180CHINAGLIA Piera (1898-1985) . . . . . . . . . . . . . . . . » 182MORI BREDA Gilda (?-?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 183GLIOZZI Mario (1899-1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 185BOCCALATTE Cesarina (1901-1991) . . . . . . . . . . . . . » 195FERRERO Clementina (1903-1984) . . . . . . . . . . . . . . » 197PIZZARDO Tina (1903-1989) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 199CIBRARIO Maria (1905-1992). . . . . . . . . . . . . . . . . » 201AUDISIO Fausta (1906-1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . » 210

ATTI DEL CONGRESSO INTERNAZIONALE DI STUDITorino, 6-7 ottobre 2008

SERGEJ DEMIDOVPeano et la communauté mathématique russeau premier tiers du XXe siècle . . . . . . . . . . . . . » 215

ALDO BRIGAGLIAL’influenza di Peano sulla matematica palermitana. . » 241

Indice674

ANGELO GUERRAGGIORodolfo Bettazzi alla Scuola di Peano . . . . . . . . . » 263

ERIKA LUCIANOSulla didattica della Logica Matematica:dalle conferenze di A. Padoa (1898)all’istituzione dei corsi ufficiali (1960) . . . . . . . . . » 279

YVETTE PERRINLe rôle précurseur de Peano dans la définitionde l’aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 317

ENRICO PASINILa scuola di Peano e il secondo problema di Hilbert » 327

MARCO BORGA, GIUSEPPINA FENAROLI, ANTONIO C.GARIBALDI, Alessandro Padoa: logica e dintorni . . . » 369

GIUSEPPE FERRERA, FULVIA FURINGHETTI, MARIA ORTICAAlessandro Padoa: un insegnante tra dimensioneinternazionale e problemi locali . . . . . . . . . . . . » 387

LIVIA GIACARDIHumanitas scientifica e democratizzazione del sapere.Vailati e il progetto di riforma dell’insegnamentodella matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 405

MAURO DE ZANLa «presenza » di Peano nei carteggi di Vailati . . . . » 437

SÉBASTIEN GANDONPeano’s logical language and Grassmann’s legacy . . » 461

LUCA DELL’AGLIODal « calcolo geometrico » alle forme differenziali . . » 475

JAMES SMITHDefinitions and Non-Definability in Geometry:Pieri and the Tarski School . . . . . . . . . . . . . . . » 493

Indice 675

EMMA SALLENT DEL COLOMBOIl dibattito sull’unificazione delle notazioni vettoriali.Il contributo di C. Burali-Forti e R. Marcolongo . . » 509

GIUSEPPE CANEPATematiche affini nelle opere di G. Bellavitis eG. Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 531

PAOLA CANTÙSul concetto di uguaglianza: Peano e la sua scuola . . » 545

FEDERICO GOBBOPianificare il lessico scientifico internazionale:Peano e Wüster a confronto . . . . . . . . . . . . . . » 563

CARLO MINNAJA, LAURA G. PACCAGNELLALa scuola di Peano nella visione criticadi B. Migliorini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 575

MARIO QUARANTALudovico Geymonat e il silenzio di G. Peano. . . . » 605

GIULIA GAGLIARDIGiuseppe Peano sulla scena internazionaledell’interlinguistica: un archivio ritrovato,il «Fondo Gliozzi » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 625

ELENCO DEGLI AUTORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 647

FONTI ICONOGRAFICHE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 650

INDICE DEI NOMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 651

Indice676

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nel mese di gennaio 2010

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