Esercizi di Struttura della Materia. III

(A)

Un fascio di atomi di potassio K ([Ar]4s1) nello stato fondamentale con energia cineticainiziale di 0.1 eV passa in un dispositivo di Stern-Gerlach lungo 0.5 m. In quante compo-nenti si separa il fascio? Quale deve essere il valore del gradiente del campo magnetico perottenere una separazione tra le componenti del fascio di 1 mm all’uscita dal dispositivo.Se si eccita l’elettrone di valenza sullo stato 4p, in quante componenti si separa il fascio?

(B)

Calcolare la correzione in eV ai livelli di energia del primo stato eccitato dell’atomod’idrogeno (2p) per effetto dell’interazione spin-orbita

HSO =1

2m2c2

e2o

4πǫo

1

r3S · L

Le funzioni d’onda dell’atomo d’idrogeno sono

u21m =1√

24a3/2o

r

aoe−r/2aoY1m(θ, φ)

con Y1m(θ, φ) armoniche sferiche e mc2 = 0.51 MeV.

(C)

La riga gialla del sodio e dovuta alla transizione 3p→3s (E3p=-3 eV, E3s=-5.1 eV). Calco-lare la lunghezza d’onda della riga e calcolare in quante componenti si separa per effettodell’interazione spin-orbita. Calcolare la separazione tra le componenti della riga sapendoche la costante di accoppiamento spin-orbita vale A = 11.5 cm−1 con HSO = AhcS · L.

(D)

Calcolare la configurazione elettronica di stato fondamentale dell’azoto (N) e dell’ossigeno(O) utilizzando le regole di Hund.

(E)

Calcolare le possibili configurazioni (2S+1LJ) per l’atomo di carbonio in stato eccitato conun elettrone 2p promosso nello stato 3s (configurazione 1s22s22p13s1).

(F)

Calcolare le possibili configurazioni (2S+1LJ ) per l’atomo di carbonio nello stato 1s22s22p2.(Attenzione al principio di esclusione di Pauli).

(G)

Si consideri una particella di massa m in 1D in un potenziale V (x) = g|x| con g costantepositiva. Alla particella e assegnata la funzione d’onda

u(x) = (1√2πσ

)1

2 e−x2

4σ2

con σ costante positiva. Calcolare l’energia media della particella. Suggerimento:

∫

∞

odxe−αx2

=1

2

√

π

α;

∫

∞

odxxe−αx2

= 1/2α ;∫

∞

odxx2e−αx2

=1

4

√

π

α3

(H)

Si consideri una particella di massa m in 3D confinata in una buca di potenziale infinito asimmetria sferica con potenziale (radiale) V (r) = 0 per r < a e V (r) = ∞ per r > a cona costante positiva. Si risolva l’equazione radiale trovando le energie possibili del sistemaper gli stati a momento angolare nullo. Si scrivano le corrispondneti funzioni d’onda.

(I)

Calcolare la correzione all’energia del fotone emesso dall’atomo d’idrogeno nella tran-sizione 2p → 1s per effetto del rinculo dell’atomo e della conservazione della quantita dimoto. Calcolare il potere risolutivo che deve avere un reticolo di diffrazione per misurarequesta correzione.

(L)

Si consideri il sistema composto da due particelle con spin 0 in una buca di poten-ziale infinita monodimensionale di larghezza L. Il sistema e sul primo stato eccitato.Si consideri il valor medio della distanza tra le due particelle < (x1 − x2)

2 > nei duecasi di particelle distinguibili e indistinguibili. Si calcoli esplicitamente la differenza< (x1 − x2)

2 >D − < (x1 − x2)2 >I , dove i suffissi I e D indicano gli stati per par-

ticelle indistinguibili e distinguibili, rispettivamente. Suggerimento:∫ πo dysen3y = 4

3.

(M)

Si considerino tre particelle in una buca di potenziale infinita in una dimensione dilunghezza L = 5 A (U(x) = ∞ per x < 0 e x > L e U(x) = 0 per 0 < x < L). La massadelle particelle e pari alla massa elettronica. Calcolare energia e grado di degenerazionedello stato fondamentale e del primo stato eccitato nel caso dii) particelle distinguibili con spin 0ii) particelle identiche con spin 1/2.Nello stato fondamentale del caso i) calcolare la densita di probabilita di trovare tutte etre le particelle nel punto x = L/4.