Struttura dei dati panel

it

kit

it

x

y

Variabile dipendente osservata in N unità in T occasioni

K variabili indipendenti osservate in N unità in T occasioni

Residuo pertinente all’unità i e all’occasione t

Di solito “incolloniamo” i dati:

nt

n

n

t

t

kntntnt

knnn

knnn

tktt

k

k

tktt

k

k

nt

n

n

t

t

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

X

y

y

y

y

y

y

y

y

y

Y

2

1

2

22

21

1

12

11

21

22221

11211

22212

22222122

21221121

12111

12212112

11211111

2

1

2

22

21

1

12

11

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

Unità 1

Unità n

Var.1 Var.k

Occasione 1

Occasione 2

Occasione t

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25

Reddito

Co

nsu

mi

Vediamo un esempio:

C=1.5+4.12 R

C=10+0.45 R

C=20+0.45 R

C=30+0.45 R

C=40+0.45 R

Stessa “pendenza” diverse “intercette”!!!!

In altri termini la elasticità del consumo rispetto al reddito sono le stesse per tutti gli individui, ciò che cambia è il “punto di partenza, cioè il consumo che corrisponde ad un reddito 0

I dati sezionali “nascondono” questo fatto:Sottostimano il “punto di partenza” (l’intercetta) Sovrastimano l’elasticità (la pendenza)

Vi è Distorsione: essa distorsione si annulla solo se l’intercetta per ogni individuo è la STESSA

Cioè una stima sezionale ipotizza un MODELLO di comportamento in cui la parte non spiegata della relazione (l’intercetta) è la stessa per tutti gli individui

Cioè nega l’ETEROGENEITA’ tra individui

1) E’ venuta alla luce una ipotesi del modello che non era stata esplicitata: l’omogeneità tra le parti non osservate di ciascun individuo.

2) Solo una certa configurazione dei dati (osservazioni in più occasioni) consente di esplicitare ed affrontare l’eterogeneità

3) Il modo in cui rappresentiamo con dati (simboli) il fenomeno (modello) hanno una influenza diretta sulle leggi che regolano il linguaggio (la tecnica ) e quindi sulle conclusioni

4) Dobbiamo sempre occuparci del processo che ha generato i dati che può non essere neutrale per il modello

Casistica di non neutralità delle misure.

Consideriamo un collettivo di unità statistiche, il DGP ha tra le sue caratteristiche più importanti la relazione (se c’è) che lega le misure effettuate sulle diverse unità. La casistica possibile è ampia, tra le assunzioni più comuni:

1. Indipendenza (nota e utile, tuttavia un DGP poco verosimile: ad es: imprese di uno stesso settore, pazienti di una stessa città….)

2. Di solito misure ripetute relative ad una stessa unità sono più “simili” di quelle tra unità diverse

3. Di solito misure vicine nel tempo e nello spazio tendono ad essere più simili di quelle più lontane

Un problema dei dati sezionali: l’eterogeneità non osservata

• Molte caratteristiche individuali non sono osservate, alcune sono anche non osservabili (es. Capacità imprenditoriale, entusiasmo, propensione al rischio)

• Queste variano tra gli individui e sono denominate “eterogeneità non osservata”

• Se queste caratteristiche sono correlate con la variabile di interesse e/o con le variabili osservate, allora la stima dei coefficienti è DISTORTA

• DISTORSIONE DA VARIABILE OMESSA.

• I dati di panel consentono di correggere questo BIAS

(digressione sulle variabili omesse)Supponiamo che il modello “vero” sia (in forma vettoriale):

2211 XXy

Se ignoriamo X2

22.1122'1

1'1111

'1

1'1122

'1

1'111

'1

1'111

PXXXXbE

sarà

XXXXXXXyXXXb

La matrice P contiene le pendenze OLS di X2 su X1. Ad esempio nella relazione

)(

),(

:

*

**

prezzoVar

redditoprezzoCovbE

redditoilignorando

prezzoredditosia

redditoprezzoconsumo

Sulla matrice di var-covar il discorso è più complesso:

1'2

1'222

'12

12.1

11

'2

1'222

1'11

22.1

1'11

21

1)(

)(

)(

XXXXXXbVarbVar

cioè

XXXXIMcon

MXXbVar

XXbVar

Con due variabili:

)(1

)(

)(

212

1221211

2

2.1

2

111111

2

1

xxcorrelrconrs

bVar

xxscons

bVar i

Distorsione nella stima sia sui coefficienti che sulla Var

Dobbiamo specificare la forma della eterogeneità, ciò implica ipotesi sulla

matrice di varianza-covarianza, cioè sulla struttura dei residui del modello

In generale le varianze dei (residui) del modello non saranno omoschedastichesaranno caratterizzate da diverse componenti che vanno “scorporate” in modoottenere stime corrette.

Questo tipologia di modelli è detta “a componenti di varianza”.

Naturalmente si avranno diversi tipi di modelli a seconda delle ipotesi sulle componenti di varianza che potranno essere, in prima istanza, di tipo deterministico o stocastico

Un discorso analogo vale anche per la Covarianza che, però, definisce modelliDiversi, in gran parte legati alla analisi di serie storiche

Un esempio Costi e produzione di 6 imprese per 4 anni:

I DATI

Costi (Y) Produzione (X) impresa t=1 t=2 t=3 t=4 t=1 t=2 t=3 t=4

1 3,5 4,3 4,6 5,8 214 419 588 1025 2 3,9 5,5 8,1 16,4 696 811 1640 2506 3 19,0 26,0 32,4 44,7 3202 4802 5821 9275 4 35,2 51,1 61,0 77,9 5668 7612 10206 13702 5 33,2 40,0 43,1 57,7 6000 8222 8484 10004 6 73,1 98,8 138,9 191,6 11796 15551 27218 30958

LOGARITMI:

Costi (Y) Produzione (X) impresa t=1 t=2 t=3 t=4 t=1 t=2 t=3 t=4

1 1,25 1,45 1,52 1,77 5,37 6,04 6,38 6,93 2 1,35 1,71 2,10 2,80 6,55 6,70 7,40 7,83 3 2,95 3,26 3,48 3,80 8,07 8,48 8,67 9,14 4 3,56 3,93 4,11 4,36 8,64 8,94 9,23 9,53 5 3,50 3,69 3,76 4,06 8,70 9,01 9,05 9,21 6 4,29 4,59 4,93 5,26 9,38 9,65 10,21 10,34

Adattiamo un modello lineare: ln(Y)=a+bln(X)+

OLS: a=-4.18 b=0.89 Var=0.04 r²=0.98

4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

1

2

3

4

5

6

7

Impr.1

Impr.2

Impr.3

Impr.4

Impr.5

Impr.6

Stima

Abbiamo una PRIMA stima del modello quindi possiamo stimare i residui

E dai residui Varianze individuali e correlazioni

Ovviamente dobbiamo ipotizzare una “forma” per Varianze e Covarianze

IPOTESI:Per le varianze individuali: Costanti nel tempoPer le correlazioni: processo AR(1)

• Sotto queste ipotesi la stima è possibile mediando (rispetto al tempo) i quadrati dei residui per ogni individuo

• Calcolando l’autocorrelazione con lag=1

T

eT

tit

i

1

2

2

ˆ

T

tti

T

ttiti

e

ee

2

2,

21,,

ˆ

ˆˆ

tititi xye ,,,ˆ

Consideriamo i residui per per ciascuna impresa:y x y* e Var correl

t=1 1,25 5,37 0,65 -0,60t=2 1,45 6,04 1,23 -0,22t=3 1,52 6,38 1,53 0,01t=4 1,77 6,93 2,02 0,25 0,13 0,99t=1 1,35 6,55 1,68 0,33t=2 1,71 6,70 1,81 0,10t=3 2,10 7,40 2,43 0,33t=4 2,80 7,83 2,81 0,01 0,03 -0,95t=1 2,95 8,07 3,02 0,07t=2 3,26 8,48 3,38 0,12t=3 3,48 8,67 3,54 0,06t=4 3,80 9,14 3,96 0,16 0,00 -0,92t=1 3,56 8,64 3,52 -0,04t=2 3,93 8,94 3,78 -0,15t=3 4,11 9,23 4,04 -0,07t=4 4,36 9,53 4,30 -0,06 0,00 -0,62t=1 3,50 8,70 3,57 0,07t=2 3,69 9,01 3,84 0,15t=3 3,76 9,05 3,88 0,12t=4 4,06 9,21 4,02 -0,04 0,01 -0,25t=1 4,29 9,38 4,17 -0,12t=2 4,59 9,65 4,41 -0,18t=3 4,93 10,21 4,90 -0,03t=4 5,26 10,34 5,01 -0,25 0,01 -0,95

Scopriamo che le varianze per impresa sono diverse cioè c’è eteroschedasticità:(significatività test F per l’uguaglianza delle varianze)

impresa1 impresa2 impresa3 impresa4 impresa5 impresa6 overall

impresa1 1,000 0,225 0,006 0,007 0,039 0,050 0,083

impresa2 0,225 1,000 0,060 0,069 0,307 0,369 0,828

impresa3 0,006 0,060 1,000 0,934 0,317 0,262 0,029

impresa4 0,007 0,069 0,934 1,000 0,356 0,295 0,034

impresa5 0,039 0,307 0,317 0,356 1,000 0,894 0,176

impresa6 0,050 0,369 0,262 0,295 0,894 1,000 0,220

impresa1 0,99

impresa2 -0,95

impresa3 -0,92

impresa4 -0,62

impresa5 -0,25

impresa6 -0,95

E che le autocorrelazioni tra i residui della stessa impresa sono MOLTO diverse da 0

Infatti se utilizziamo GLS (con stima elementare della matrice Var/covar)(varianze residui sulla diagonale e AR1 nei blocchi di impresa)

0,05 0,83 0,69 0,48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,83 0,05 0,83 0,69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,69 0,83 0,05 0,83 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,48 0,69 0,83 0,05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0,39 0,99 0,98 0,96 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0,99 0,39 0,99 0,98 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0,98 0,99 0,39 0,99 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0,96 0,98 0,99 0,39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0,13 0,98 0,96 0,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0,98 0,13 0,98 0,96 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0,96 0,98 0,13 0,98 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0,92 0,96 0,98 0,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,11 0,96 0,92 0,84 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,96 0,11 0,96 0,92 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,92 0,96 0,11 0,96 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,84 0,92 0,96 0,11 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,82 0,68 0,46 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,82 0,05 0,82 0,68 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,68 0,82 0,05 0,82 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,46 0,68 0,82 0,05 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,18 1,00 1,00 1,00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00 0,18 1,00 1,00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00 1,00 0,18 1,00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,00 1,00 1,00 0,18

Otteniamo stime diverse per i coefficienti:a= -5.91 b=1.10

NB. Non è stima FGLS! Dimostra solo che i residui non sono omoschedastici e incorrelati

Avvertenze sulla notazione:

D’ora in poi i simboli utilizzati nella notazione indicheranno VETTORI/MATRICI

Per i residui, in generale

il simbolo u indicherà residui OMOSCHEDASTICI e INCORRELATI

Il simbolo indicherà un residuo “composto” da u e una componente ETEROSCHEDASTICA e/o correlata, DETERMINISTICA o STOCASTICA

),...,,( 21 kitititit xxxfy

A questo punto dobbiamo modificare il modello semplice: Formuliamo una ipotesi di dipendenza:

ititit xy '0

itiit u

Errore “Composto”Componente individualeDeterministica o stocasticaCostante nel tempo

),0(~ 2uit Nu

Variabiliesplicative

Sviluppiamo un modello: (a componenti di varianza)

Diversi modi per specificare l’errore

(ce ne sono altri…)

itiit u

it i t itu

EffettoIndividuale

Errorecasuale

Effettotemporale

Effetto individuale

• Effetti FISSI: li sono constanti e vengono trattati come una intercetta

• Effetti CASUALI: li sono estrazioni da una distribuzione di probabilità data e diventano componenti stocastiche dell’errore, cioè i li hanno una “loro” varianza

Due possibilità di trattamento (due dgp):

ititiit uxy '0

)(' 10 itiitit uxy

Il Modello “zero” nessun effetto

• Si suppone che non vi sia eterogeneità o che l’eterogeneità sia stata eliminata in qualche modo: li sono constanti tra gli individui e identificano una UNICA intercetta.

• Le procedure di stima possibili si differenziano per il trattamento “preliminare dei dati:

• OLS “usuale” sui dati non trattati : • OLS sugli scarti per ciascun individuo (stima within)• OLS sulle medie (nel tempo) di ciascun individuo (stima

between)• Altri trattamenti (ad. Es. Sulle variazioni nel tempo)

  Attenzione agli indici: Omoschedaticità e incorrelazione estesa a tutti gli individui, tutti i tempi e tutte le esplicative (irrealistico)

Pooled regression

storjiperxxCov

tixVar

xE

xy

jsitjsit

itit

itit

ititit

0),|,(

,)|(

0)|(

'

2

0

Prima strategia :OLS “usuale”

Attenzione agli indici nelle ipotesi sulla varianza/covarianza:

Per la Var si ipotizza che i residui siano omoschedastici per ogni individuo e per ogni occasione

Per la Covar si suppone pari a 0 in ogni individuo e in ogni occasione

Naturalmente se c’è effetto individualeSi ottiene stima distorta

ititiit xy '0

ititit

iititit

iiiititit

wxy

uxy

xExy

'

'

)|('

0

0

0

Modello “vero”

Modello stimato

Con (ci torneremo)

ititit uxy '0

Si ha:

Quindi il residuo stimato non è ed ha una componente u che si “ripete” nel tempo per lo stesso individuo, quindi è ETEROSCHEDASTCO e CORRELATO (nel tempo sullo stesso individuo)

0)|( iti xE

In questo caso i i vengono eliminati e con essi la distorsione nella stima, ma non abbiamo stime per le intercette individuali.

Quindi avremo problemi, ad esempio in termini di previsione.

...

...)(

iitiiiiitiiit

iitiitiit

uuuuma

xxyy

Seconda strategia : stimatore within:OLS sugli scarti dalla media calcolata in t per ciascun i

Stessi problemi del modello OLS “usuale per quanto riguarda la distorsione,

In più forte perdita di dati, quindi perdita di efficienza

... iii xy

Terza strategia : stimatore betweenOLS sulle media calcolata in t per ciascun i

ititit

tiititititiit

tiitittiitit

uxy

xy

xxxyyy

'

' 1,

1,1,

Altre strategie: stimatore alle differenze primeOLS sulle variazioni t per ciascun i

i i vengono eliminati e con essi la distorsione nella stima,

ma non è una strategia raccomandabile, ad esempio elimina tutte le variabili esplicative “time invariant”

Cioè modifica la specificazione del modello

Effetti FISSI

Abbiamo visto che alcune strategie eliminano le distorsoni ma, quantomeno, non forniscono una stima delle intercette individuali

Occupiamoci, ora, esplicitamente della stima dei i

cominciando dal caso in cui essi siano deterministici, cioè costanti nel tempo e variabili tra gli individui

Stima delle intercette individuali: Least Square Dummy Variables (LSDV)

I metodi di eliminazione non stimano i li,cioè non forniscono una misura delle caratteristiche non osservate.

Se si è interessati alla stima dei li è necessario adottare un altro stimatore.:

nt

n

n

t

t

kntnt

knn

knn

tkt

k

k

tkt

k

k

nt

n

n

t

t

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

X

y

y

y

y

y

y

y

y

y

Y

2

1

2

22

21

1

12

11

2

222

112

222

22222

21221

121

12212

11211

2

1

2

22

21

1

12

11

.

.100

.100

.100

....

.010

.010

.010

.001

.001

.001

.

Riassumendo: EFFETTI FISSI4 stimatori

ititiit

iii

itiitiit

ititit

uxyLSDV

xybetween

uxxyywithin

xypooled

0

0

)(

Stimatore "overall"

y = 3,4975x + 6,2438

R2 = 0,8331

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

Stimatore "overall" RESIDUI

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y r

es

idu

o ind1

ind2

ind3

ind4

Stimatore "within"

y = 0,7691x + 7E-16

R2 = 0,5272

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Stimatore "within" RESIDUI

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Stimatore "beetween"

y = 4,1195x + 1,5372

R2 = 0,9927

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14

x

y

Stimatore "LSDV"

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

Y= 10,6+0,77 X +10,6 ind2 +21,6 ind3 +32,7 ind4r²=0,99

Stimatore "LSDV residui"

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

Pooled 3.4974

Within 0.7691

Between 4.1195

LSDV 0.7691

I coefficienti della X

2 considerazioni: 1. LSDV=Within per quanto riguarda le “pendenze2. Overall = media ponderata (within e between)

Abbiamo visto che 3 delle strategie proposte hanno diversi limiti, tuttavia esse rimangono importanti perché forniscono la base per test inferenziali sul modello LSDV

Infatti collegati a ciascuna strategia è possibile ottenere una valutazione dell’errore di stima fondata sulle ipotesi di ciascuna strategia

Tali quantità si prestano ad un insieme di test, sostanzialmente ispirati dallo schema di Analisi della varianza.

Esempio e test di ipotesi

Procedimento:1 calcolo RSS per il modello within

2. Calcolo RSS per il modello “totale”

3 Trovo per differenza RSS between

NB. Dati lievemente diversi Rispetto all’esempio precedente

I DATI

impresa t=1 t=2 t=3 t=4 t=1 t=2 t=3 t=41 3,2 4,3 4,6 5,8 214 419 588 10252 3,9 5,5 8,1 11 696 811 1640 25063 19 26 32 41 3202 4802 5821 92754 35 51 61 78 5668 7612 10206 137025 33 40 43 58 6000 8222 8484 100046 73 99 139 192 11796 15551 27218 30958

LOGARITMI:

impresa t=1 t=2 t=3 t=4 t=1 t=2 t=3 t=41 1,2 1,5 1,5 1,8 5,37 6,04 6,38 6,932 1,4 1,7 2,1 2,4 6,55 6,7 7,4 7,833 3 3,3 3,5 3,7 8,07 8,48 8,67 9,144 3,6 3,9 4,1 4,4 8,64 8,94 9,23 9,535 3,5 3,7 3,8 4,1 8,7 9,01 9,05 9,216 4,3 4,6 4,9 5,3 9,38 9,65 10,21 10,34

MEDIE PER INDIVIDUO:

impresa Y X1 1,5 6,22 1,9 7,13 3,4 8,64 4 9,15 3,8 96 4,8 9,9Totale 3,2 8,3

Costi (Y) Produzione (X)

Y X

Stima within: incolonniamo i dati: Stima within: a -3,79E-16

b 0,676531

Dati Media di impresaScarti impresa RSS within= 0,266

impresa

Occas. Y X Y X Y X

Residui Residui^2

1 1 1,15 5,37 1,47 6,18 -0,32 -0,81 0,23 0,051 2 1,45 6,04 1,47 6,18 -0,02 -0,14 0,07 0,011 3 1,52 6,38 1,47 6,18 0,05 0,20 -0,09 0,011 4 1,77 6,93 1,47 6,18 0,30 0,75 -0,21 0,042 1 1,35 6,55 1,89 7,12 -0,54 -0,57 -0,15 0,022 2 1,71 6,7 1,89 7,12 -0,18 -0,42 0,11 0,012 3 2,1 7,4 1,89 7,12 0,21 0,28 0,02 0,002 4 2,39 7,83 1,89 7,12 0,50 0,71 0,02 0,003 1 2,95 8,07 3,35 8,59 -0,40 -0,52 -0,05 0,003 2 3,26 8,48 3,35 8,59 -0,09 -0,11 -0,02 0,003 3 3,48 8,67 3,35 8,59 0,13 0,08 0,07 0,013 4 3,72 9,14 3,35 8,59 0,37 0,55 0,00 0,004 1 3,56 8,64 3,99 9,09 -0,43 -0,44 -0,13 0,024 2 3,93 8,94 3,99 9,09 -0,06 -0,15 0,04 0,004 3 4,11 9,23 3,99 9,09 0,12 0,15 0,02 0,004 4 4,36 9,53 3,99 9,09 0,37 0,45 0,07 0,005 1 3,5 8,7 3,75 8,99 -0,25 -0,29 -0,05 0,005 2 3,69 9,01 3,75 8,99 -0,06 0,02 -0,07 0,015 3 3,76 9,05 3,75 8,99 0,01 0,06 -0,03 0,005 4 4,06 9,21 3,75 8,99 0,31 0,22 0,16 0,036 1 4,29 9,38 4,77 9,90 -0,48 -0,51 -0,13 0,026 2 4,59 9,65 4,77 9,90 -0,18 -0,24 -0,01 0,006 3 4,93 10,21 4,77 9,90 0,16 0,32 -0,05 0,006 4 5,26 10,34 4,77 9,90 0,49 0,45 0,19 0,04

Stima “Overall”: incolonniamo i dati: Stima within: a 1,85E-17

b 0,8884514

Datimedia "totale"

Scarti impresa RSS within= 1,013

impresa

Occas. Y X Y X Y X

Residui Residui^2

1 1 1,15 5,37 3,20 8,31 -2,05 -2,94 0,56 0,311 2 1,45 6,04 3,20 8,31 -1,75 -2,27 0,26 0,071 3 1,52 6,38 3,20 8,31 -1,68 -1,93 0,03 0,001 4 1,77 6,93 3,20 8,31 -1,43 -1,38 -0,21 0,042 1 1,35 6,55 3,20 8,31 -1,85 -1,76 -0,29 0,082 2 1,71 6,7 3,20 8,31 -1,49 -1,61 -0,06 0,002 3 2,1 7,4 3,20 8,31 -1,10 -0,91 -0,29 0,092 4 2,39 7,83 3,20 8,31 -0,81 -0,48 -0,39 0,153 1 2,95 8,07 3,20 8,31 -0,25 -0,24 -0,04 0,003 2 3,26 8,48 3,20 8,31 0,06 0,17 -0,09 0,013 3 3,48 8,67 3,20 8,31 0,28 0,36 -0,04 0,003 4 3,72 9,14 3,20 8,31 0,52 0,83 -0,22 0,054 1 3,56 8,64 3,20 8,31 0,36 0,33 0,06 0,004 2 3,93 8,94 3,20 8,31 0,73 0,63 0,17 0,034 3 4,11 9,23 3,20 8,31 0,91 0,92 0,09 0,014 4 4,36 9,53 3,20 8,31 1,16 1,22 0,07 0,015 1 3,5 8,7 3,20 8,31 0,30 0,39 -0,05 0,005 2 3,69 9,01 3,20 8,31 0,49 0,70 -0,14 0,025 3 3,76 9,05 3,20 8,31 0,56 0,74 -0,10 0,015 4 4,06 9,21 3,20 8,31 0,86 0,90 0,06 0,006 1 4,29 9,38 3,20 8,31 1,09 1,07 0,14 0,026 2 4,59 9,65 3,20 8,31 1,39 1,34 0,20 0,046 3 4,93 10,21 3,20 8,31 1,73 1,90 0,04 0,006 4 5,26 10,34 3,20 8,31 2,06 2,03 0,25 0,06

2

4

6

013,13

747,02

266,01

K

T

N

avendo

SD

SDDD

SD

T

wTb

w

Definiamo 3 stime corrette di RSS secondo tre ipotesi di modello

Dev. within

Dev. «spiegata» - between

Dev. Totale

Divise per gli opportuni gradi di libertà si otterranno tre stime della Varianza:

Vw = Varianza withinVb = Varianza beetwenVt = Varianza totale

6211

6214

6211

621

6213

....:

....:

....:

....

....:

datoH

H

H

H

Rapportando le Varianze (test F), possiamo «testare» 3 ipotesi :

6211

6214

6211

621

6213

....:

....:

)381,0(13,1)1(/2

1/234

....:

)479,0(08,11/1

1/121

....

....:

)472,0(12,11/1

11/133

datoH

H

KTNS

NSSF

H

KNNTS

KNSSF

H

KNNTS

KNSSF

I test (F)

Il TEST dice che né le PENDENZE né le intercette sono significativamente diverse

Costi e produzione (log per anno)

0

1

2

3

4

5

6

5 6 7 8 9 10 11

ln(produzione)

ln(c

ost

i)

impresa 1

impresa 2

impresa 3

impresa 4

impresa 5

impresa 6

S1 0,266126693 N= 6S2 0,746846584 T= 4S3 1,012973278 K= 2

NUM GDLNUM DEN GDLDEN VALORE Signif.F3 0,746846584 15 0,266126693 6 1,122542914 0,474252428F1 0,480719891 10 0,266126693 6 1,08381437 0,482236631F4 0,266126693 5 0,746846584 16 1,140268211 0,379585972

Stima intercette variabili – Effetti fissi Matrici:

Y matrice X costi dummy 1 dummy 2 dummy 3 dummy 4 dummy 5 dummy 6 prod 1,15 1 0 0 0 0 0 5,37 1,45 1 0 0 0 0 0 6,04 1,52 1 0 0 0 0 0 6,38 1,77 1 0 0 0 0 0 6,93 1,35 0 1 0 0 0 0 6,55 1,71 0 1 0 0 0 0 6,70 2,10 0 1 0 0 0 0 7,40 2,39 0 1 0 0 0 0 7,83 2,95 0 0 1 0 0 0 8,07 3,26 0 0 1 0 0 0 8,48 3,48 0 0 1 0 0 0 8,67 3,72 0 0 1 0 0 0 9,14 3,56 0 0 0 1 0 0 8,64 3,93 0 0 0 1 0 0 8,94 4,11 0 0 0 1 0 0 9,23 4,36 0 0 0 1 0 0 9,53 3,50 0 0 0 0 1 0 8,70 3,69 0 0 0 0 1 0 9,01 3,76 0 0 0 0 1 0 9,05 4,06 0 0 0 0 1 0 9,21 4,29 0 0 0 0 0 1 9,38 4,59 0 0 0 0 0 1 9,65 4,93 0 0 0 0 0 1 10,21 5,26 0 0 0 0 0 1 10,34

x'x 4 0 0 0 0 0 24,71 0 4 0 0 0 0 28,47 0 0 4 0 0 0 34,35 0 0 0 4 0 0 36,34 0 0 0 0 4 0 35,97 0 0 0 0 0 4 39,58

24,71 28,47 34,35 36,34 35,97 39,58 1699,72

x'x-1 9,43 10,58 12,77 13,50 13,37 14,71 -1,49 10,58 12,44 14,71 15,56 15,40 16,94 -1,71 12,77 14,71 17,99 18,77 18,58 20,44 -2,07 13,50 15,56 18,77 20,10 19,65 21,62 -2,19 13,37 15,40 18,58 19,65 19,71 21,41 -2,16 14,71 16,94 20,44 21,62 21,41 23,80 -2,38 -1,49 -1,71 -2,07 -2,19 -2,16 -2,38 0,24

x'y (x'x)-1x'Y 5,89 -2,694 a1 7,55 -2,912 a2

13,40 -2,440 a3 15,96 -2,134 a4 15,01 -2,311 a5 19,07 -1,904 a6 676,78 0,674 beta

DIAGNOSTICA: impresa

(i) Tempo

(t) Costi

osservati Costi

stimati Ai beta prod residuo residuo

^2 1 1 1,149 0,925 -2,694 0,674 5,366 0,224 0,050 1 2 1,452 1,378 -2,694 0,674 6,038 0,074 0,006 1 3 1,523 1,606 -2,694 0,674 6,377 -0,084 0,007 1 4 1,766 1,981 -2,694 0,674 6,932 -0,215 0,046 2 1 1,350 1,502 -2,912 0,674 6,545 -0,151 0,023 2 2 1,711 1,605 -2,912 0,674 6,698 0,106 0,011 2 3 2,095 2,080 -2,912 0,674 7,402 0,016 0,000 2 4 2,395 2,365 -2,912 0,674 7,826 0,029 0,001 3 1 2,946 3,003 -2,440 0,674 8,072 -0,056 0,003 3 2 3,260 3,276 -2,440 0,674 8,477 -0,016 0,000 3 3 3,480 3,406 -2,440 0,674 8,669 0,074 0,005 3 4 3,718 3,720 -2,440 0,674 9,135 -0,002 0,000 4 1 3,562 3,693 -2,134 0,674 8,643 -0,131 0,017 4 2 3,934 3,892 -2,134 0,674 8,937 0,042 0,002 4 3 4,112 4,090 -2,134 0,674 9,231 0,022 0,000 4 4 4,355 4,288 -2,134 0,674 9,525 0,067 0,004 5 1 3,501 3,555 -2,311 0,674 8,700 -0,054 0,003 5 2 3,690 3,767 -2,311 0,674 9,015 -0,078 0,006 5 3 3,764 3,789 -2,311 0,674 9,046 -0,025 0,001 5 4 4,056 3,900 -2,311 0,674 9,211 0,156 0,024 6 1 4,291 4,418 -1,904 0,674 9,376 -0,127 0,016 6 2 4,594 4,605 -1,904 0,674 9,652 -0,011 0,000 6 3 4,934 4,982 -1,904 0,674 10,212 -0,048 0,002 6 4 5,255 5,069 -1,904 0,674 10,340 0,186 0,035

RSS= 0,2640619 gdl= NT-N-K 17 S^2 0,0155331

Lo SQM dei coefficienti è la radice della diagonale di S^2 (X’X)-1 Matrice di var-covar dei coefficienti

0,147 0,164 0,198 0,210 0,208 0,228 -0,023 0,164 0,193 0,228 0,242 0,239 0,263 -0,027 0,198 0,228 0,280 0,292 0,289 0,318 -0,032 0,210 0,242 0,292 0,312 0,305 0,336 -0,034 0,208 0,239 0,289 0,305 0,306 0,333 -0,034 0,228 0,263 0,318 0,336 0,333 0,370 -0,037

-0,023 -0,027 -0,032 -0,034 -0,034 -0,037 0,004 SQM dei coefficienti a1 0,383 a2 0,440 a3 0,529 a4 0,559 a5 0,553 a6 0,608 beta 0,061

Calcolo di R2 per il modello con intercette variabili:

992375,034,24694,280/2640,01

/12

2222

R

yNyeR ii

Per il modello con unica intercetta:

970686,0632,34/633,42)888,0(

/22

22

R

TTR yyxx

TEST PER LA SIGNIFICATIVITA’ DELLE INTERCETTE USUALE test t:

coeff. sqm test t a1 -2,694 0,383 -7,037 a2 -2,912 0,440 -6,624 a3 -2,440 0,529 -4,615 a4 -2,134 0,559 -3,820 a5 -2,311 0,553 -4,177 a6 -1,904 0,608 -3,130

beta 0,674 0,061 11,030

IL TEST DICE CHE LE INTERCETTE SONO SIGNIFICATIVAMENTE DIVERSE DA 0 MA E’ PIU’ APPROPRIATO VALUTARE SE TUTTE LE INTERCETTE SONO DIVERSE DA UN QUALCHE VALORE FISSATO (INTERCETTA COMUNE) VALUTIAMO L’INCREMENTO DI VARIANZA SPIEGATA TRA IL MODELLO CON UNICA INTERCETTA (r) E QUELLO NON RISTRETTO (6 INTERCETTE)

)00016,0(708,917/)9924,01(

5/)9707,09924,0(

)/()1(

)1/()(

)17,5(

2

22

),1(

F

KNNTR

NRRF

u

puKNNTN

L’INCREMENTO DI SPIEGAZIONE E’ SIGNIFICATIVO

valori previsti e osservati

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

5,000 6,000 7,000 8,000 9,000 10,000 11,000

Costi osservati stime I.V. stime Pooled

INFATTI i.v. PREVEDE “MEGLIO”

INSE impr. 1 impr. 2 impr. 3 impr. 4 impr. 5 impr. 6 anno 2 anno 3 anno 4 prod

1 0 0 0 0 0 0 0 0 5,37 1 0 0 0 0 0 1 0 0 6,04 1 0 0 0 0 0 0 1 0 6,38 1 0 0 0 0 0 0 0 1 6,93 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6,55 0 1 0 0 0 0 1 0 0 6,70 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7,40 0 1 0 0 0 0 0 0 1 7,83 0 0 1 0 0 0 0 0 0 8,07 0 0 1 0 0 0 1 0 0 8,48 0 0 1 0 0 0 0 1 0 8,67 0 0 1 0 0 0 0 0 1 9,14 0 0 0 1 0 0 0 0 0 8,64 0 0 0 1 0 0 1 0 0 8,94 0 0 0 1 0 0 0 1 0 9,23 0 0 0 1 0 0 0 0 1 9,53 0 0 0 0 1 0 0 0 0 8,70 0 0 0 0 1 0 1 0 0 9,01 0 0 0 0 1 0 0 1 0 9,05 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9,21 0 0 0 0 0 1 0 0 0 9,38 0 0 0 0 0 1 1 0 0 9,65 0 0 0 0 0 1 0 1 0 10,21 0 0 0 0 0 1 0 0 1 10,34

INSERIAMO UN EFFETTO VARIABILE NEL TEMPO E COSTANTE TRA GLI INDIVIDUI:

itittiit xy

La matrice X si modifica così (vanno inseriti T-1 effetti tempo per evitare perfetta col linearità e quindi i coeff vanno letti come contrasti rispetti a t=1)

COEFF -0,035 a1 0,197 a2 1,374 a3 1,917 a4 1,696 a5 2,536 a6 0,238 t2 0,380 t3 0,587 t4 0,195 beta

RSS= 0,12248064 gdl= NT-N-K 17 S^2 0,00720474

VAR/COVAR COEFFICIENTI 0,458 0,532 0,650 0,690 0,683 0,755 0,027 0,056 0,083 -0,081 0,532 0,622 0,758 0,804 0,796 0,881 0,032 0,065 0,097 -0,094 0,650 0,758 0,928 0,984 0,973 1,077 0,039 0,080 0,119 -0,115 0,690 0,804 0,984 1,046 1,033 1,143 0,042 0,085 0,126 -0,122 0,683 0,796 0,973 1,033 1,024 1,131 0,041 0,084 0,125 -0,121 0,755 0,881 1,077 1,143 1,131 1,253 0,046 0,093 0,138 -0,133 0,027 0,032 0,039 0,042 0,041 0,046 0,004 0,005 0,006 -0,005 0,056 0,065 0,080 0,085 0,084 0,093 0,005 0,010 0,012 -0,010 0,083 0,097 0,119 0,126 0,125 0,138 0,006 0,012 0,018 -0,015 -0,081 -0,094 -0,115 -0,122 -0,121 -0,133 -0,005 -0,010 -0,015 0,014

E quindi... coeff. sqm test t a1 -0,035 0,677 -0,051 a2 0,197 0,788 0,250 a3 1,374 0,964 1,425 a4 1,917 1,023 1,874 a5 1,696 1,012 1,677 a6 2,536 1,119 2,266 t2 0,238 0,065 3,683 t3 0,380 0,097 3,899 t4 0,587 0,134 4,381 beta 0,195 0,119 1,635

R2= 0,996463

Migliore del precedente??? In generale SI’

valori assoluti dei residui

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

osservazioni (i,t)

residuo ti

residuo ai

residuo pooled

Ma se volessi stimare i valori medi….

Per impresa

Residui calcolati sui valori medi per impresa

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

1 2 3 4 5 6

impresa

resi

du

i residuo ti

residuo ai

residuo pooled

TOGLIENDO IL “POOLED”

zoom sui Residui calcolati sui valori medi per impresa

-2E-11

-1,5E-11

-1E-11

-5E-12

0

5E-12

1 2 3 4 5 6

impresa

resi

du

i

residuo ti

residuo ai

I TEMPI FANNO PEGGIORARE LA STIMA

Valori medi per anno…….

valori assoluti residui

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

1 2 3 4

anni

resi

du

i residuo ti

residuo ai

residuo pooled

QUI, OVVIAMENTE, SONO LE INTERCETTE VARIABILI CHE PREVEDONO PEGGIO