Stefano Brocchi stefano.brocchi@uniﬁ - The BCIF lossless ... · Misure compatibili Un altro...

Teoria degli errori

Stefano [email protected]

Stefano Brocchi Teoria degli errori 1 / 107

Errori ed incertezza

Ogni qual volta eseguiamo una misura, dobbiamo aspettarci un errore

sulla misura ottenuta

Per errore non si intende uno sbaglio dello sperimentatore (o almeno,non solo) ma un’incertezza inevitabile derivante dall’intriscecaimprecisione del processo della misurazione


Errori ed incertezza

L’incertezza deriva da molteplici fattori; uno di essi e che la misura’reale’ di una quantita e un numero reale, possibilmente con infinitecifre decimali

◮ Una lunghezza di un oggetto non potra essere mai esattamente, peresempio, 3 metri, ma potra essere 3,0018452934... metri

Altri errori derivano per esempio dalle limitazioni dello strumento◮ Misurando una lunghezza con un metro graduato, la precisione sara

limitata dalla graduazione del metro stesso


Misurazioni

Per eseguire correttamente una misura, occorre avere inoltre unadefinizione precisa di come deve essere fatta la misurazione

◮ Supponiamo di voler misurare la lunghezza di un tavolo con grandeprecisione. E’ possibile che il tavolo non sia perfettamente rettangolare,e lo sperimentatore ottenga risultati diversi a seconda del lato usatoper la misurazione

◮ Altro esempio: definendo la lunghezza di una sbarra di metallo, questadipendera anche dalla temperatura dell’ambiente

Sebbene nella maggior parte delle misure questi problemi non dianoeffetti rilevanti, in situazioni particolarmente critiche puo essereimportante tenerne conto


Misurazioni

Una corretta definizione di come una misura deve essere fatta e dellecondizioni ambientali che la possono alterare e importante pergarantire la replicabilita della misura

In ambito scientifico, se una misura puo essere verificata tramiteulteriori misurazioni puo essere considerata maggiormente affidabile


Stima dell’incertezza

Ogni misura conterra quindi un margine di incertezza

Stimare tale incertezza e un obiettivo importante, in quanto ciconsente di capire quanto siano validi i nostri risultati

Una stima precisa non e semplice, e deve tenere conto di molteplicifattori descritti in seguito


Incertezza come intervallo

Per una misura, si dovra specificare non un solo numero ma unintervallo, dove si e certi che la misura reale sia contenuta

Un esempio di una misura di una lunghezza l puo essere22mm < l < 24mm


Ripetizione di una misura

Un primo metodo per stimare la grandezza di questo intervallo nelcaso di una grandezza ripetibile, e di eseguire molte volte la misura

Le misure minime e massime rappresentano una stima ragionevoledegli estremi dell’intervallo

Esempio: ottenendo le misure (in mm) 23,22,25,23,24,25,23otterremo 22mm < l < 25mm

In seguito tramite metodi statistici vedremo come usare le molteplicimisure per affinare la precisione


Cause dell’errore

Alcune incertezze dipendono dalle limitazioni dello strumento dimisurazione

◮ La precisione di ogni strumento e limitata, e solitamente e specificatadal produttore

◮ Per esempio, in una bilancia potrebbe essere specificato che per ognikg e previsto un errore fino a 10g

Delle incertezze possono anche essere introdotti da errori di lettura

Molti altri tipi di errore possono nascere da condizioni ambientali checreano un disturbo

◮ Es. nel misurare l’intensita di un suono, si puo venir influenzati dalrumore di fondo


Riduzione dell’errore su molte misure

Ottenere molte misure e un artificio spesso utilizzato per minimizzarel’errore

Molto utile quando la quantita da misurare e piccola◮ Esempio: un metro ha tacche ogni millimetro, rendendo 1mm il

margine di errore minimo. Dovendo misurare lo spessore di un foglio(<< 1mm), questo sarebbe molto piu grande della misura stessa.Soluzione: misurare 100 fogli impiliati, in modo che l’errore di 1mm siriduca di 100 volte nel calcolo dello spessore di un singolo foglio


Notazione per intervalli di errore

L’intervallo dentro cui cade la misura si rappresenta nella forma

x ± δx

Consideriamo δx sempre positivo, gli errori in negativo sonocomunque considerati grazie al simbolo ±x rappresenta la migliore stima della misura, mentre δx la nostraincertezza

Nell’esempio precedente: 22mm < l < 25mm → l = 23, 5± 1, 5mm


Cifre significative

La precisione di una quantita viene spesso indicata anche tramite lesue cifre significative

Il numero di cifre definisce la precisione, considerando che quelle nonspecificate non sono note

Esempio: 3, 56m ha tre cifre significative, ed il numero specifica chela quantita di metri, decimetri e centimetri sono noti (3, 5 e 6),mentre il numero di millimetri no

◮ Quantita variabile almeno da 3, 555 a 3, 565 metri◮ In alcune notazioni, l’intervallo rappresentato va addirittura da 3, 55 a

3, 57

In questa notazione, il numero 3, 0 e diverso dal numero 3, in quantorappresenta una maggiore precisione


Operazioni con cifre significative

Quando si eseguono somme e sottrazioni tra numeri con un numerodiverso di cifre significative, il risultato dovra avere un numero di cifrepari all’operando meno preciso

Esempio: 3, 45 + 2, 0332s = 5, 48s

Usando dei calcolatori, possono venir restituite molte cifre che poidovranno venir scartate

◮ Per esempio, l’operazione 4, 3/3 restituira 1, 433333333, ma saranecessario scrivere il risultato come 1, 4


Cifre significative vs intervalli

Generalmente la notazione x ± δx consente una specificazione piuprecisa dell’intervallo di errore

Sebbene la notazione a cifre significative possa essere comoda inalcune situazioni, non verra usata nel seguito


Misure compatibili

Un altro concetto importante riguarda la compatibilita di due misure

Due misure si dicono compatibili se esiste un valore che rientra inentrambi gli intervalli delle misure

◮ Esempio: le due misure 10cm ± 2cm e 7cm ± 2, 5cm sono compatibili,perche le misure tra 8cm e 9, 5cm soddisfano entrambi gli intervalli

◮ Al contrario, le due misure 10cm ± 1cm e 7cm ± 1, 5cm non sonocompatibili, perche la prima indica che la misura vera al minimo vale9cm, mentre la seconda dice che al massimo vale 8, 5cm

La differenza tra le migliori stime delle due misure si dice discrepanza

◮ Tra 10cm ± 2cm e 7cm ± 2, 5cm la discrepanza e di 3cm


Misure compatibili: esempio

Vediamo alcuni altri esempi di coppie di misure compatibili e non

cm

0

1

2

3

4

5

(1,6 + 1) cm

(2,9 + 0,8) cm

(1,6 + 0,5) cm

(2,9 + 0,4) cm

(1,6 + 0,5) cm

(2,3 + 0,4) cm

Misure compatibiliMisure non

compatibiliMisure compatibili


Misure non compatibili

In un esperimento scientifico, trovare due misure non compatibilirappresenta un problema: sicuramente c’e stato un errore nel processodi misurazione

◮ In alcuni casi, potrebbe essere stata semplicemente sottostimatal’incertezza

In questi casi potrebbe essere necessario scartare le vecchie misure,individuare l’errore e ripetere le misurazioni dall’inizio


Precisione e compatibilita

In un esperimento quindi e necessaro innanzitutto eseguire misurazioniin modo che il margine di errore sia minimo, ma occorre valutareattentamente quale sia l’errore massimo che possiamo ottenere

In caso contrario, da un lato si rischia di ottenere misure pocosignificative (con margini di errore troppo grandi), dall’altro sipotrebbero ottenere misure incompatibili che invalidano l’esperimento


Compatibilita con relazioni

In alcuni casi puo essere necessario verificare se una serie di misuresono compatibili con una legge fisica

Immaginiamo per ora di voler verificare una relazione diproporzionalita diretta

◮ Un semplice esempio: presupponiamo che un oggetto si muova avelocita costante, e verifichiamo innanzitutto che lo spazio percorso siaproporzionale al tempo

◮ Misuriamo lo spazio percorso ad intervalli regolari, per verificare laformula s = vt

◮ Se le misure risultano compatibili con la formula, possiamo stimare lavelocita v , altrimenti possiamo supporre che la nostra ipotesi sia errataed il corpo sia soggetto ad accelerazione



Vediamo un esempio di alcune misure dove le barre rappresentano irelativi intervalli

t

s

1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s

1m

2m

3m

4m



Un modo per verificare la compatibilita, e di rappresentare le misuresu di un grafico con le rispettive barre di errore

◮ Essendo tutte le misure soggette ad errore, e inverosimile pensare che ipunti ottenuti siano perfettamente allineati

Se puo essere tracciata una retta che tocca tutte le barre, le misuresono compatibili con l’ipotesi di proporzionalita, ed il coefficienteangolare della retta e una possibile costante di proporzionalita

◮ Nell’esempio, il coefficiente angolare e una possibile velocita



Nell’esempio, una retta compatibile con tutte le misure puo esserefacilmente tracciata

t

s

1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s

1m

2m

3m

4m


Verifica grafica di compatibilita

Generalmente, l’incertezza e relativa ad entrambe le quantita nelgrafico (sia ordinate che ascisse)

◮ Nell’esempio, avremo un margine di errore sia nel misurare lo spaziopercorso che l’istante di tempo in cui lo misuriamo

Nel grafico, l’incertezza nelle due direzioni si rappresenta o con dellecroci o con dei rettangoli

Nel verificare relazioni di proporzionalita, la retta dovra toccarealmeno un punto all’interno di ogni rettangolo


Relazioni non lineari e compatibilita

Nel caso in cui la relazione tra le due misure non sia lineare maquadratica, risulta piu complesso verificare se per tutti gli intervallipassa una parabola

Soluzione: cambiare la scala in modo da rappresentare una quantitaal quadrato, in modo che la relazione continui a essere rappresentatacon una retta

Lo stesso ragionamento puo essere applicato a altre possibili relazioni(spesso usata per esempio la scala esponenziale)


Compatibilita con relazioni: esempio

Vediamo un grafico rappresentante una relazione che dovrebberisultare quadratica, quindi rappresentabile con una parabola

t

s

1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s

1m

2m

3m

4m


Compatibilita con relazioni: esempio

Rappresentando nell’asse x il tempo al quadrato, possiamo verificarela relazione di nuovo tracciando una retta compatibile con tutti gliintervalli

t

s

64s

1m

2m

3m

4m

21s 4s 9s 16s 25s 36s 49s2 2 2 2 2 2 2 2


Errori relativi

In molti casi, la precisione del nostro intervallo di incertezza non puoessere valutata in senso assoluto dal mero errore su di essa

Un margine di errore e buono o meno buono a seconda dellagrandezza stessa della misura

Un errore di 1 m su una lunghezza di 1 km potrebbe essere buono,mentre su 10 o 20 metri potrebbe risultare come un errore abbastanzagrande


Errori relativi

Definito per questo l’errore relativo, dato dalla formula δx/|x |x e specificato in valore assoluto in modo da avere errori relativisempre positivi

Si puo specificare l’errore relativo nella notazione standard degliintervalli di errore

◮ Esempio: 2m ± 5% corrisponde a 2m ± (2m × 5%) = 2m ± 0.1m


Errori relativi e cifre significative

Nella notazione a cifre significative, si puo fare una stima dell’errorerelativo a partire dal numero di cifre significative

Il numero di cifre significative va contato partendo dalla prima cifradiversa da zero e procedendo verso destra

◮ Esempi: 38, 2 ha 3 cifre significative, 34, 50 ne ha 4, 0, 0825 ne ha 3.


Errori relativi e cifre significative

L’incertezza relativa, detto c il numero di cifre significative, varia tra10%/10c−1 e 100%/10c−1

Alcuni esempi, dove si verificano queste due condizioni agli estremi◮ Esempio con 1 cifra significativa: 1 rappresenta un intervallo che arriva

fino a 1, 999... (errore: 0, 999... su 1 = 100%)◮ 9 rappresenta un intervallo che arriva fino a 9, 999... (errore: 0, 999...

su 9 uguale circa al 10%)◮ Con 3 cifre: 1, 00 puo reppresentare fino a 1, 00999..., con un errore di

0, 01 su 1, quindi dell’1%◮ Con 3 cifre: 9, 99 puo reppresentare fino a 9, 99999..., con un errore di

0, 01 su 9, 99, quindi dello 0, 1%

Per semplificare e dare una formula che non dipende dal numero (mamolto meno precisa), si puo stimare un errore medio pari a30%/10c−1


Propagazione dell’errore

Un ulteriore problema con le incertezze nelle misure e che dovendoeseguire dei calcoli, le incertezze possono propagarsi ed aumentare adogni calcolo

Dover eseguire calcoli sulle misure ottenute e comune, necessario peresempio in qualsiasi misura indiretta

Capire come le incertezze si propagano consente di calcolare quantaprecisione e necessaria nelle misurazioni per ottenere un margine dierrore accettabile nel risultato finale


Propagazione dell’errore: esempio

Supponiamo di voler effettuare la somma tra due misure con errore

Prendiamo a = (16, 3± 0, 5)kg e b = (15, 4± 0, 3)kg

La somma dei due pesi vale al minimo(16, 3− 0, 5)kg + (15, 4− 0, 3)kg = 15, 8kg + 15, 1kg = 30, 9kg

La somma dei due pesi vale al massimo(16, 3 + 0, 5)kg + (15, 4 + 0, 3)kg = 16, 8kg + 15, 7kg = 32, 5kg

Quindi a+ b = (31, 7± 0, 8)kg : eseguendo la somma, l’incertezza eaumentata rispetto ai due addendi


Propagazione in somme e sottrazioni

La regola che definisce formalmente la propagazione dell’errore insomme e sottrazioni e quindi che le incertezze degli addendi sisommano per ottenere quella del risultato

Se q = x + y + z + ..., allora δq = δx + δy + δz + ...

Una facile verifica: il valore minimo per q potra esserex + y + z + ...− δx − δy − δz − ..., mentre il valore massimo potraessere x + y + z + ...+ δx + δy + δz + ..., da cui la formula data


Propagazione in prodotti e divisioni

La regola che stabilisce come si propagano gli errori nei prodotti vieneottenuta in modo un po’ piu complesso, e coinvolge delleapprossimazioni

Condideriamo un generico prodotto (x ± δx)× (y ± δy), di cui ilrisultato senza considerare l’errore sara q = x × y

(x ± δx)× (y ± δy) = xy ± yδx ± xδy ± δyδx = q± yδx ± xδy ± δyδx

Quindi δq = yδx + xδy + δyδx◮ Non abbiamo ancora ottenuto un’espressione facilmente applicabile



Di fatto, otteniamo un’espressione piu semplice calcolando l’errore

relativo δq/q

δq/q = yδx/q + xδy/q + δyδx/q = yδx/xy + xδy/xy + δyδx/xy =δx/x + δy/y + (δy/y)(δx/x)

Considerando gli errori relativi (δx/x e δy/y) come numeri piccoli, illoro prodotto sara trascurabile rispetto al loro valore

◮ Es. con δx/x = δy/y = 0, 01 = 1%,δx/x × δy/y = 0, 0001 = 0, 01% << δx/x

Per semplificare, con una piccola approssimazione rimuoviamo(δy/y)(δx/x) dall’equazione



Otteniamo δq/q = δx/x + δy/y

La regola quindi dice che l’errore relativo sul risultato finale e ugualealla somma degli errori relativi sui moltiplicandi

Es. (10± 4%)× (12± 6%) = 120± 10% = 120± 12

Se gli errori sono dati in assoluto, occorrera convertirli◮ Es.

(16±2)×(10±1) = (16±12, 5%)×(10±10%) = 160±22, 5% = 160±36


Propagazione in elevamenti a potenza

Iterando la regola per la moltiplicazione, si ottiene la regola perl’elevamento a potenza

Se q = xn, allora δq/q = |n|δx/xLa regola vale anche per n frazionario, utile considerando che√x = x1/2

◮ Vediamo una semplice riprova senza dimostrazione◮ q =

√

(30, 5± 5, 5) =√

(30, 5± 18%),

q ≥√

(30, 5− 5, 5) =√25 = 5, q ≤

√

(30, 5 + 5, 5) =√36 = 6,

q = 5, 5± 0, 5 = 5, 5± 9%


Gestione della propagazione degli errori

Consideriamo cosa succede quando eseguiamo calcoli tra misure conerrore e valori senza incertezza

Questo puo succedere quando un numero non e dato da una misurama deriva magari da una formula

◮ Es. volendo calcolare l’area di un triangolo da base e altezza. nellaformula A = b × h/2, 2 e un numero esatto

Una quantita puo anche essere considerata in buona approssimazioneesatta quando la sua precisione e molto maggiore dell’altro operando

◮ Es. utilizzando formule che coinvolgono il valore dell’accelerazione digravita, possiamo ottenere per questa valori con errori talmente piccolida poter essere spesso trascurati


Operazioni con numeri esatti

Nel caso di somme e sottrazioni, l’errore assoluto resta uguale◮ Es. (8, 2± 0, 5) + 2 = 10, 2± 0, 5

Nel caso di moltiplicazioni e divisioni, l’errore relativo resta uguale◮ Es. (10± 10%)× 2 = 20± 10%◮ L’errore assoluto puo aumentare o diminuire: (10± 2)× 2 = 20± 4,

mentre (10± 2)/2 = 5± 1


Operazioni con numeri esatti

Nel caso si debbano eseguire diversi calcoli consecutivi, l’errore dovraessere propagato ad ogni operazione

L’ordine di questa propagazione passo per passo corrisponde a quellodelle operazioni

Es. per d = a× (b + c) il procedimento corretto per il calcolodell’errore sara:

◮ δ(b + c) = δb + δc (errore assoluto su b + c)◮ Calcolare δ(b + c)/(b + c) (errore relativo su b + c)◮ δd = δa/a+ δ(b + c)/(b + c) (l’errore complessivo corrisponde alla

somma dei due errori relativi)


Un altro approccio

Vista la propagazione degli errori, e necessario cercare di minimizzareil numero di calcoli che da queste ottengono il risultato finale

Se gli errori sono indipendenti tra di loro e casuali (caratteristiche nonsempre facili da verificare), vedremo che l’incertezza da considerarepuo essere minore di quella ricavata applicando le formule viste


Somma in quadratura degli errori

Sotto le ipotesi citate (indipendenza e casualita degli errori),eseguendo delle somme l’errore si puo stimare come

x = a+ b + c + ... → δx =√

(δa)2 + (δb)2 + (δc)2 + ...

Si ottengono cosı errori sempre minori che con la formula vistaprecedentemente√

(δa)2 + (δb)2 + (δc)2 + ... < δa+ δb + δc + ...◮ Ricordarsi che si assume che le quantita δa, δb, δc , ... siano sempre

positive


Somma in quadratura degli errori

Una regola analoga si puo utilizzare per somme e sottrazioni

x = a× b × c × ... → δx/x =√

(δa/a)2 + (δb/b)2 + (δc/c)2 + ...

Anche in questo caso, si ottengono cosı errori sempre minori che conla formula vista precedentemente√

(δa/a)2 + (δb/b)2 + (δc/c)2 + ... < δa/a+ δb/b + δc/c + ...


Somma in quadratura: esempio

Vediamo un esempio con confronto tra i due metodi sulla somma ditre pesi

a = (50± 5)kg , b = (80± 2)kg , c = (70± 1)kg , x = a+ b + c =?

Il valore medio per a+ b + c risulta 200kg

Con il primo metodo (somma degli errori) si ottieneδx = (5 + 2 + 1)kg = 8kg

Con il secondo metodo (somma in quadratura) si ottieneδx =

√52 + 22 + 12kg =

√25 + 4 + 1kg =

√30kg ≈ 5, 5kg


Somma in quadratura: giustificazione

Utilizzando la somma in quadratura, si tende a consideraremaggiormente l’errore (o gli errori) maggiori e a trascurare quelli piupiccoli

Metodologia meno rigida: si calcola un intervallo in cui moltoprobabilmente il risultato sara contenuto

◮ Con l’altra metodologia, assumendo che gli operandi siano contenutinei rispettivi intervalli, il risultato sara sicuramente contenutonell’intervallo calcolato

Giustificazione: essendo gli errori indipendenti e casuali, in partetenderanno a bilanciarsi a vicenda

◮ In altre parole, i valori ’reali’ dagli operandi saranno, con buonaprobabilita, a volte maggiori e a volte minori del valore medio


Errori casuali e sistematici

Tornando alle misurazioni, si definiscono due tipi di errori, la cuisomma dara l’errore totale su ogni misura

Gli errori sistematici sono quelli che si ripetono sistematicamente adogni misura effettuata

Sono solitamente legati a cause di errore intrinseche nel processo dimisurazione

◮ Esempio: consideriamo un metro graduato lungo un 1% piu delnecessario (quindi dove c’e la tacca corrispondente a 1m, in realta lalunghezza sara 1, 01m)

◮ Ogni misura fatta con questo metro sara inevitabilmente sottostimata◮ Gli errori sistematici comprendono quindi anche quelli dovuti ad errori

umani nella definizione della procedura di misurazione e calcolo


Errori casuali e sistematici

Gli errori casuali variano di misurazione in misurazione in modo nonprevedibile

Ci si aspetta solitamente che con uguale probabilita causinosovrastime e sottostime

Generati da imprecisioni legate alla singola misurazione◮ Es. rumori di fondo variabili o errori di lettura dello strumento


Errori casuali e analisi statistica

La distinzione e molto importante, in quanto con un numerosufficiente di misure e possibile individuare gli errori casuali

Metodologia detta di analisi statistica

Necessario che una misura sia ripetuta molte volte

Gli errori sistematici non sono rilevabili, ed e quindi importantestimarne la grandezza in modo accurato

◮ Per quanto riguarda i vari strumenti, solitamente una stima degli errorisistematici compiuti e fornita dal produttore


Errori casuali e sistematici: esempio

Vediamo degli esempi di errori casuali e sistematici piu o meno grandi

Valore vero Valore vero

Valore vero Valore vero

Errori

casuali

piccoli

Errori

casuali

grandi

Errori sistematici piccoli Errori sistematici grandi

misurazione


Errori casuali e sistematici: esempio

Senza conoscere il valore ’vero’ della misura, non possiamo sapere seci sono stati errori sistematici, ma a seconda della distribuzione dellemisure ci si puo fare un’idea degli errori casuali

Errori

casuali

piccoli

Errori

casuali

grandi

Errori sistematici ? Errori sistematici ?


Errori casuali e analisi statistica

Consideriamo quindi di poter effettuare molte misurazioni di unaquantita

Vogliamo sfruttare il grande numero di misurazioni per stimare almeglio il valore vero di tale quantita

Desideriamo minimizzare l’errore (casuale), ed avere unaquantificazione accurata dell’errore stesso

Chiameremo le varie misurazioni x1, x2, ..., xn


Media come stima migliore

Come si puo intuire, la stima migliore per la misura e la media dellemisurazioni

x = (∑

ixi )/n

Un semplice esempio: date le misurazioni 54, 56, 55, 54, 55, 57, 54 lanostra stima migliore della misura e(54 + 56 + 55 + 54 + 55 + 57 + 54)/7 = 385/7 = 55


Precisione della stima tramite media

Piu complessa risulta la stima di quanto valga l’errore casuale

Il principio utilizzato, informalmente, e il seguente: la misura saratanto piu precisa, tanto piu le singole misure si avvicinano alla media

Immaginiamo che la media valga 100, e che anche tutte le misurerisultino uguali a 100: siamo pressoche sicuri che questo e il valorecorretto

Se avessimo invece, con la stessa media, misure molto distanti daquesto valore, dovremo stimare una precisione piu bassa


Scarto medio

Calcolando la differenza tra una misura e la media si ottiene ilcosidetto scarto

Non si puo utilizzare la somma degli scarti per stimare la ’distanza’delle misure dalla nostra stima: per definizione di media,quest’operazione restituisce sempre 0

◮ Nell’esempio precedente (media 55, misure 54, 56, 55, 54, 55, 57, 54):54− 55+ 56− 55+ 55− 55+ 54− 55+ 55− 55+ 57− 55+ 54− 55 =−1 + 1 + 0− 1 + 0 + 2− 1 = 0

In termini forse un po’ semplicistici, questo accade perche la media euna quantita ’centrata’ rispetto alle misure


Deviazione standard

Vengono quindi considerati gli scarti elevati al quadrato

La quantita che misura la distanza dei valori xi dalla media si chiamadeviazione standard o σx

Perche la deviazione standard sia dello stesso ordine di grandezzadegli scarti, viene estratta la radice dalla somma dei quadrati

La formula risulta quindi σx =√

∑

(xi − x)2/n


Deviazione standard

Questa definizione per la deviazione standard, di cui e stata data solouna giustificazione informale, conferisce a σx proprieta fondamentalidescritte in seguito

A causa dell’elevamento al quadrato degli scarti, grandi distanze dallamedia hanno grande peso nella sommatoria

Senza estrarre la radice quadrata, si otterrebbe un’altra quantitafondamentale della distribuzione detta varianza (σ2

x)


Deviazione standard: formula perfezionata

Di fatto, la deviazione standard e spesso calcolata con una formulalievemente diversa, che divide gli errori quadratici per n − 1 inveceche per n:

σx =√

∑

(xi − x)2/(n − 1)

Non approfondiamo la motivazione esatta

Si puo osservare che per n = 1, si ottiene il rapporto indeterminato0/0

◮ Risultato coerente con il significato di σx : con una sola misura, non sipuo determinare uno scarto medio

Per un grande numero di misure, che effettivamente dovrebbero esserefatte, si ottengono comunque differenze molto piccole tra le formule

Per distinguere i due valori, il primo si chiama deviazione standarddella popolazione, il secondo deviazione standard del campione


Deviazione standard: esempio

Calcoliamo la deviazione standard relativa all’ultimo esempio, usandole due formule:

Riepilogando i dati sono x = 55, x1, ..., xn = 54, 56, 55, 54, 55, 57, 54

σx =√

((54− 55)2 + (56− 55)2 + (55− 55)2 + ...)/7 =√

(1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 4 + 1)/7 =√

8/7 ≈ √1, 14 ≈ 1, 07

Con la seconda formula: σx =√

8/6 ≈ √1, 67 ≈ 1, 29


Deviazione standard dalla media

Come utilizzare σx per stimare un intervallo dove e contenuta lamisura vera ?

Per questo scopo, si puo usare la deviazione standard dalla media

(SDOM)

Quantita rappresentata con il simbolo σx definita come

σx = σx/√n

L’intervallo di errore della misura puo essere definito come x ± σx◮ Secondo il concetto di confidenza descritto in seguito, l’intervallo e

valido con una confidenza del 68%; utilizzando 2σx si ottiene unaconfidenza del 95%


Deviazione standard dalla media: proprieta

La SDOM decresce quindi con il numero di misurazioni

Questo viene fatto in modo da ottenere valori minori per un numeromaggiore di misure, che garantiscono una stima piu precisa

La divisione viene fatta per la radice di n, e questo vuol dire che laprecisione cresce lentamente con il numero di misurazioni

◮ Per dimezzare l’errore, occorre eseguire il quadruplo delle misurazioni◮ La definizione della SDOM ed il suo utilizzo descritto derivano da

proprieta matematiche di cui non approfondiremo l’analisi


Deviazione standard dalla media: esempio

Rivediamo l’esempio con dati x = 55,x1, ..., xn = 54, 56, 55, 54, 55, 57, 54, σx = 1, 29

Calcoliamo la SDOM: σx = σx/√7 = 1, 29/

√7 = 1, 29/2, 65 ≈ 0, 5

Grazie alle proprieta viste, possiamo stimare la misura come 55± 0, 5


Deviazione standard dalla media: esempio

Supponendo che prendendo altre misure la deviazione standard restiuguale, quante ne dovremmo prendere per avere δx ≤ 0, 1 ?

Imponiamo σx = σx/√n = 1, 29/

√n ≤ 0, 1, cerchiamo n

Otteniamo√n ≥ 1, 29/0, 1 = 12, 9, quindi n ≥ (12, 9)2 ≥ 166, 41

Dobbiamo prendere almeno 167 misure◮ Richiedendo una precisione circa 5 volte maggiore (da circa 0, 5 a 0, 1),

abbiamo bisogno approssimativamente di 5× 5 volte piu misure(7× 5× 5 = 175)


Combinazione di errori casuali e sistematici

Tutte le procedure viste per gestire gli errori casuali non possonoessere utilizzate per ridurre gli errori sistematici

L’errore finale su una quantita sara quindi rappresentato dalla sommadell’errore casuale e di quello sistematico

Detti δxc e δxs , l’intervallo di errore sara x ± (δxc + δxs)


Gestione errori sistematici

Dal momento che gli errori sistematici non possono essere ridottitramite metodi statistici, e necessario predisporre gli strumenti inmodo che questi siano ridotti al minimo

◮ Usare strumenti ad alta precisione ed assicurarsi che siano calibrati etarati attentamente

Effettuando un numero molto grande di misurazioni, si puo fartendere a zero l’errore casuale, ma questo risulterebbe inutile sel’errore sistematico fosse grande


Riepilogo: media, deviazione standard, SDOM

Riepilogando le principali formule viste:

x =∑

xi/n e la media, il valore centrale rispetto alle misure◮ La nostra stima della misura sara x ± δx per un certo δx

σx =√

∑

(xi − x)2/(n − 1) e la deviazione standard, unaquantificazione di quanto le misure si discostano dalla media

◮ σ2xe detta varianza

σx = σx/√n e la deviazione standard dalla media (SDOM)

◮ Puo essere utilizzata come stima di δx per gli errori casuali

L’errore totale si calcola sommando errore casuale e sistematico:δx = δxc + δxs


Analisi degli errori, sperimentazioni e statistica

Vedremo adesso dei richiami di alcune proprieta studiate in statistica

Astraiamo momentaneamente dal concetto di misura e di errore sullamisura; trattiamo invece lo studi di processi casuali generici

Di fatto, un errore casuale di misurazione e esattamente un processocasuale


Conteggio per frequenze

Una distribuzione di numeri puo essere rappresentata con unistogramma (diagramma a barre)

Per ogni valore nella distribuzione, l’altezza della barra rappresenta lafrequenza delle sue occorrenze

Chiamiamo ni il numero delle occorrenze del valore xi , ed N il numerototale di occorrenze per ogni valore

◮ Notazione diversa da quella vista precedentemente: non ammettiamoripetizioni fra gli xi , ma in compenso ne contiamo le occorrenze in ni

◮ Per i valori 54, 56, 55, 54, 55, 57, 54, si ottienex1 = 54, n1 = 3, x2 = 55, n2 = 2, x3 = 56, n3 = 1, x4 = 57, n4 = 1


Istogrammi

Nell’istogramma, rappresentiamo nelle ascisse gli xi e nelle ordinateni/N

54 55 56 57

1/7

2/7

3/7


Media come somma pesata

Chiaramente vale∑

ni/N = 1

Scegliendo a caso un valore xi da quelli iniziali, xi/ni rappresenta laprobabilita che sia selezionato xi

Partendo da questi xi ed ni , si puo ottenere la media effettuando unasomma pesata:

x = (∑

(xi × ni/N))


Distribuzione di Gauss

Per lo studio delle proprieta dei valori studiati, e importante capirecome generalmente dobbiamo aspettarci che questi siano distribuiti

La distribuzione che descrive la quasi totalita dei fenomeni casuali checi capita di affrontare e la distribuzione detta Gaussiana o normale

Vediamo innanzitutto perche questa distribuzione descrive eventigenerati da una combinazione di processi casuali; daremo poi unagiustificazione del perche possa essere utilizzata in ambiti che possonoapparire diversi


Esempio: lancio di un dado

Consideriamo un semplice esempio di processo casuale: il lancio di undado

La probabilita dei valori da 1 a 6 sara equamente distribuita tra ipossibili valori

Il risultato medio (anche detto atteso) e di 3, 5, media dei sei possibilivalori

Di tutte le distribuzioni dove valori vicini alla media debbano esserenon meno probabili di quelli piu distanti, la varianza (e quindi ladeviazione standard) e massima


Esempio: lancio di un dado

Vediamo l’istogramma per le probabilita del lancio di un dado:

1 2 3 4 5 6

1/6


Lancio di due dadi

Consideriamo il lancio di due dadi e la somma dei valori ottenuti

Il risultato atteso e 3, 5× 2 = 7

La probabilita non e piu uniformemente distribuita: abbiamoprobabilita 1/6 di ottenere il valore medio 7 e solo 1/36 di ottenereuno dei valori agli estremi (2 o 12)


Esempio: lancio di due dadi

Vediamo l’istogramma per le probabilita del lancio di due dadi:

2 3 4 5 6

1/36

7 8 9 10 11 12

2/36

3/36

4/36

5/36

1/6


Lancio di due dadi: osservazioni

6 combinazioni di lanci ci danno un totale di 7 (1 e 6, 2 e 5, ...), masolo una ci restituisce il valore 2 (1 e 1)

Essendo ogni combinazione equiprobabile, la probabilita di ottenere 7e 6 volte maggiore di quella di ottenere 2


Lancio di quattro dadi

Iteriamo il procedimento per construire la distribuzione di valori per illancio di 4 dadi

In questo caso, le probabilita tendono ad ’accumularsi’ vicino al valoremedio (14), ed i valori agli estremi diventano sempre meno probabili


Esempio: lancio di due dadi

Vediamo l’istogramma per le probabilita del lancio di 4 dadi:

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

11,3%

8,0%

4,3%

0,8%


Lancio di molti dadi: proprieta

La probabilita di ottenere esattamente il valore medio e minore diquella con due dadi (11, 3% contro 16, 7%)

◮ Essendo possibili molti piu valori, anche la probabilita di ottenere ilrisultato piu probabile scende

Calcoliamo tuttavia quanto e la probabilita che il valore ottenuto v daun lancio rientri nell’intervallo x − (1/7)x ≤ v ≤ x + (1/7)x

◮ 1 dado: P(3) + P(4) = 1/6 + 1/6 = 1/3 ≈ 33%◮ 2 dadi: P(6) + P(7) + P(8) = 5/36 + 6/36 = 5/36 = 16/36 ≈ 44%◮ 4 dadi: P(12) + P(13) + P(14) + P(15) + P(16) ≈ 52%


Lancio di molti dadi: proprieta

La probabilita di rientrare in un intervallo di grandezza proporzionaleal valore medio cresce con il numero di variabili casuali (in questoesempio, di dadi)

Proprieta fondamentale della statistica

Fondamentale per individuare il valore medio della distribuzione


Ricerca del valor medio

Supponiamo che per qualche motivo non conosciamo il valore mediodel tiro di un dado, e lo vogliamo individuare tramite sperimentazione

◮ Lanciamo n dadi ed otteniamo una stima del valor medio dividendo iltotale per n

Immaginiamo che ci accontentiamo di un errore relativo di 1/7

Lanciando un dado, abbiamo il 33% di probabilita che la nostra stimasia soddisfacente. Con 2 dadi, saliamo al 44% e con 4 si arriva al 52%

Lanciando un numero sufficientemente grande, possiamo esserepressoche sicuri di ottenere una stima accurata


Legge dei grandi numeri

Questa proprieta e descritta dalla legge dei grandi numeri

Questa ci dice che la media di un numero sufficientemente grande dicampioni di un processo casuale tende al valore atteso

◮ Nel nostro esempio, un campione corrisponde al lancio di un dado

Ipotesi fondamentale e l’indipendenza dei vari campioni: un risultatonon deve influenzare gli altri


Legge dei grandi numeri: esempio

Consideriamo un esempio pratico di applicazione della legge deigrandi numeri: gli exit poll per la stima dei risultati delle votazioni

Consideriamo n persone che contribuiranno con c1 voti per uncandidato e c2 per un altro

Vogliamo stimare la probabilita definita come c1/n che una personavoti per il candidato 1

◮ Essendo n noto, questo ci consente di calcolare c1◮ Formulazione aderente alla stima del valor medio descritta

precedentemente


Legge dei grandi numeri: esempio

Interrogando un piccolo numero di votanti, non si avrebbe alcunagaranzia che i loro voti rispecchino quelli dell’intera popolazione

Se si possono consultare invece molte persone scelte a caso, graziealla legge dei grandi numeri siamo pressoche sicuri che i loro votirispecchino quelli dell’intero paese

Grazie a delle proprieta descritte di seguito, si puo stimare laprecisione del risultato ottenuto

L’ipotesi spesso difficile da soddisfare e quella della completa casualitadelle persone interrogate

◮ Ipotesi non soddisfatta se per esempio vengono interrogate personesolo in una determinata zona


Distribuzione Gaussiana

Le distribuzioni di probabilita che rispecchiano le ipotesi descrittevengono rappresentate tramite una distribuzione detta Gaussiana onormale

◮ Informalmente, la distribuzione e anche chiamata campana di Gauss

per la sua forma

E’ una distribuzione limite di quelle viste nell’esempio del lancio didadi

◮ Con tanti processi casuali coinvolti nel processo si ottiene unadistribuzione discreta molto simile ad una Gaussiana

E’ a valori continui: non c’e un numero ’finito’ di valori possibili, equalunque numero reale (eventualmente in un intervallo) econsiderato


Distribuzione Gaussiana

Vediamo come una curva gaussiana possa essere una buonaapprossimazione continua delle probabilita sul lancio di 4 dadi

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

11,3%

8,0%

4,3%

0,8%


Probabilita su distribuzioni continue

La probabilita in questa curva va calcolata su di un determinatointervallo

Questa sara rappresentata dall’area della curva compresa fra le duerette che delimitano l’intervallo

◮ Estensione del caso discreto, dove la probabilita era data dalla sommadi varie barre adiacenti rappresentanti i singoli valori

Essendo una distribuzione di probabilita, l’area totale deve essereuguale ad 1


Probabilita su distribuzioni continue

Nell’esempio, una distribuzione normale con valor medio 1, conevidenziata l’area corrispondente alla probabilita su un intervallo

1 1,1 1,3


Valor medio e deviazione standard in gaussiane

La distribuzione normale sara caratterizzata da due valori:

Il valor medio x , che rappresenta il valore piu probabile sul quale ecentrata la curva

La deviazione standard σx , che definisce la forma della curva◮ σx elevato rappresenta curve con un picco piu basso ed estremita piu

alte (pensare al valore totale del lancio su 1 o 2 dadi)◮ σx basso rappresenta curve con un picco piu alto ed estremita piu

basse (pensare al valore totale del lancio su 4 o piu dadi)


Gaussiane: esempio

Vediamo varie curve gaussiane con uguale valor medio ma diversadeviazione standard:

Gaussiane con

devianzione standard

piu’ alta, bassa

o intermedia


Gaussiana: espressione analitica

L’equazione analitica di una gaussiana e

Gx ,σ(x) =e−(x−x)2/2σ2

σ√

2π

Compaiono le due costanti irrazionali pigreco (π = 3, 14...) ed ilnumero di Eulero (e = 2, 71...)

L’equazione ci dice che la funzione ha valore massimo in x

Lontano da questo valore, la funzione non assume mai il valore 0, maci si avvicina in modo esponenziale

◮ Per valori lontani da x , i valori della funzione saranno numeri moltopiccoli


Distribuzione Gaussiana: proprieta ed utilizzo

Una grande parte dei fenomeni complessi deriva da una combinazionedi molti fattori casuali, e quindi puo essere descritto accuratamentecon una gaussiana

Spesso anche se i fattori non sono del tutto indipendenti, in buonaapprossimazione la distribuzione resta quella normale

Alcuni esempi di distribuzioni in buona approssimazione normali sonoaltezza e peso di una persona adulta

◮ Esempio: l’altezza della popolazione americana (maschi adulti) hamedia 176cm e deviazione standard di circa 8cm

Tutte queste distribuzioni possono essere completamente descritte damedia e deviazione standard

◮ Da questi due soli valori si puo calcolare la probabilita di un evento inun qualsiasi intervallo


Distribuzione Gaussiana: esempio

La distribuzione normale e definita su qualsiasi valore, mentre spessola nostra distribuzione ha delle limitazioni

◮ Esempio con le altezze: non possono esistere altezze negative

Essendo i valori lontani dalla media pero estremamente piccoli,l’approssimazione resta molto buona

◮ Non imporre dei limiti rigidi puo essere vantaggioso quandoeffettivamente non sappiamo quanto un valore si possa discostare dallamedia

Uno dei casi in cui la distribuzione Gaussiana non e un buon modelloe quando esiste un valore limite vicino alla media

◮ Es. una distribuzione con media 1 che non ammette valori minori di 0,con deviazione standard elevata (>> 1)


Distribuzione Gaussiana: proprieta ed utilizzo

La distribuzione di Gauss e solitamente un buon modello per l’errorecasuale su una misurazione

Il valore medio della distribuzione rappresentera il valore vero dellamisura

◮ Questo giustifica la scelta della media delle misurazioni come migliorestima della misura stessa

◮ Per ora stiamo assumendo di non avere errori sistematici

La deviazione standard ci rappresentera la precisione con cuieseguiamo la misurazione

◮ Valori alti indicano che verosimilmente otterremo errori grandi


Adozione della distribuzione normale

Alcune giustificazioni per l’uso di questa distribuzione:

L’errore casuale dipende da molti fattori imprevedibili indipendenti traloro

◮ Errori di lettura dello sperimentatore, piccole vibrazioni, rumore difondo...

Difficile stabilire un limite massimo all’errore, ma errori moltogrossolani sono di fatto molto improbabili

◮ Queste caratteristiche rispecchiano quelle della distribuzione normale

Infine, un grande numero di esperimenti scientifici confermano chequesta distribuzione e molto verosimile per quanto riguardamisurazioni ed errori


Confidenza

In una deviazione gaussiana, la deviazione standard puo essereutilizzata per definire un intervallo nel quale la misura esatta sarapresente con una certa probabilita

Tale probabilita e detta confidenza, e verra scelta dallo sperimentatorein base a quello che ritiene ’ragionevolmente improbabile’

Tramite la deviazione standard ed il concetto di confidenza, sipotranno trarre conclusioni del tipo ’la misura esatta e compresa al95% di certezza in questo determinato intervallo’

◮ Esempio numerico: ’la misura cade nell’intervallo definito da 87± 2kgcon una confidenza del 99, 7%’


Confidenza

Le formule viste per il calcolo di media e deviazione standard da unnumero finito di campioni sono mezzi per trovare delle stime di questivalori per la distribuzione normale

La stima sara tanto piu accurata tante piu misure verranno utilizzate


Confidenza e suo uso

Vediamo alcuni intervalli in funzione di x e σx e le relative confidenze:

◮ x ± σx ha confidenza pari al 68%◮ x ± 2σx ha confidenza pari al 95, 4%◮ x ± 3σx ha confidenza pari al 99, 7%◮ x ± 4σx ha confidenza maggiore del 99, 99%

Esistono strumenti e tabelle per calcolare la confidenza di un qualsiasiintervallo in funzione di σx


Confidenza e suo uso

Vediamo graficamente questi intervalli e le relative aree nella curva diGauss:

xx - x +

Area = 68%


Confidenza: esempio

Utilizziamo questi intervalli per fare delle osservazioni sull’altezza diuna popolazione

Consideriamo una media di 176cm ed una deviazione standard di8cm, assumendo che la distribuzione sia normale

Il 68% della popolazione (circa 2/3) ha altezza compresa tra 168cm e184cm

Il 95, 4% della popolazione (circa 19/20) ha altezza compresa tra160cm e 192cm

Il restante 4, 6% della popolazione (circa 1/20) ha altezza minore di160cm o maggiore di 192cm


Confidenza come indice di credibilita

La confidenza e una quantita scelta dallo sperimentatore e definisce inun certo senso la credibilita dei risultati

Deve essere selezionata in funzione dell’importanza e della criticita deirisultati forniti

Chiaramente, prendendo intervalli piu grandi le misure sono menoprecise ma la confidenza aumenta


Confidenza e SDOM

Data una serie di misure con errori casuali, la media e la deviazionestandard dalla media definiscono la gaussiana che specifica leprobabilita di distribuzione della misura vera

Poter affermare che la misura vera e nell’intervallo x ± σx conconfidenza del 68% (o nell’intervallo x ± 2σx con confidenza del95, 4%) deriva proprio dalle proprieta della distribuzione normale


Esperimenti di conteggio

Altre proprieta delle distribuzioni di probabilita ci consentono dieffettuare una stima della varianza per esperimenti di conteggio

Supponiamo di voler stimare la probabilita di un evento contandoquante volte questo avviene in un periodo di tempo

L’avvenire dei vari eventi deve essere indipendente

Esempio: contiamo il numero di nascite di una citta per stimare iltasso di nascita nella nazione

◮ Presupponiamo che le nascite in questa citta rispecchinoragionevolmente quelle dell’intero paese


Esperimenti di conteggio: media e deviazione standard

La stima migliore corrisponde chiaramente al valore misurato◮ Se abbiamo 10 nascite in 30 giorni su una popolazione di 1000,

stimiamo che in questo periodo nasca mediamente una persona perogni 100 abitanti (10/1000 = 1/100)

Piu difficile capire l’incertezza su questa quantita

δx si puo calcolare tramite la regola δx =√n, dove n e il numero

conteggiato◮

√n ha il ruolo di σx , e definisce una confidenza del 68% (2

√n ha

confidenza del 95%, 3√n ha confidenza del 99, 7%...)

◮ Nell’esempio:√n =

√10 ≈ 3, 2

◮ Precisione bassa: con confidenza del 95% possiamo affermare che ilnumero di nascite medio su 1000 persone vada da 10− 6, 4 = 3, 6 a10 + 6, 4 = 16, 4


Esperimenti di conteggio: affinamento

Come al solito, aumentando il numero di misurazioni l’incertezzarelativa

√n/n tende a 0

Nell’esempio, immaginiamo di continuare a contare le nascite per12× 30 giorni, ottenendo 120 nascite

◮ Per semplicita, in questo esempio fortuitamente il conteggio medio dinascite coincide nei due casi. Spesso questo non avviene, ed ilconteggio sul periodo piu lungo risulta quello piu credibile

Otteniamo√n =

√120 ≈ 11

Con confidenza del 95% in 360 giorni abbiamo 120± 22 (22 = 2√n

corrispondente a 2σx) nascite per 1000 persone; riportandoci ai 30giorni, otteniamo un intervallo di (120± 22)/12 ≈ 10± 1, 8

◮ Con questa confidenza, ci aspettiamo che il numero di nascite medio su1000 persone vada da 10− 1, 8 = 8, 2 a 10 + 1, 8 = 11, 8: la nostraprecisione e notevolmente migliorata


Conteggio ed errori sistematici

Come al solito se abbiamo errori sistematici non li possiamorimuovere aumentando il tempo di conteggio.

Un esempio di errore sistematico nell’esempio: la citta su cui stiamofacendo il conteggio potrebbe avere una natalita media diversa daquella della nazione

Se possiamo stimare l’errore, questo va sommato all’errore casuale◮ Per qualche motivo, stimiamo che la differenza di natalita tra la citta

ed il nostro campione non superi una nascita su 1000 abitanti ogni 30giorni. Otteniamo un intervallo di 10± (1 + 1, 8)

Per cercare di rimuovere questo errore sistematico, si potrebbecontare le nascite invece che nelle 1000 persone di un certo paese in1000 persone scelte a caso nella nazione

◮ Perche assumiamo sia improbabile che questo campione scelto a casonon sia piu o meno prolifico della media ?

◮ Con un numero grande, facciamo affidamento sulla legge dei grandinumeri


Domande di riepilogo

Come si possono rappresentare gli errori con la notazione a cifresignificative ? Come si traduce questa notazione in un intervallo dierrore ?

Cosa si intende per discrepanza tra due misure e compatibilita ?

Come si puo verificare la consistenza di una serie di misure con unaregola di proporzionalita ?

Quali sono le regole per la propagazione dell’errore ? Sotto cheipotesi si puo utilizzare la formula con quadratura ?

Come si distinguono errori casuali e sistematici ? Come si possonogestire nel processo di stima di una misura ?


Domande di riepilogo

In una sequenza di misurazioni, come si definiscono media, deviazionestandard e deviazione standard dalla media ? Come possono essereutilizzate queste quantita ?

Che caratteristiche ha la distribuzione Gaussiana, e perche vienefrequentemente utilizzata ?

Perche la legge dei grandi numeri e utile per l’individuazione deglierrori casuali ?

Cosa e un intervallo di confidenza, e quali sono le sue proprieta ?


Stefano Brocchi stefano.brocchi@uniﬁ - The BCIF lossless ... · Misure compatibili Un altro...

Documents

Transcript of Stefano Brocchi stefano.brocchi@uniﬁ - The BCIF lossless ... · Misure compatibili Un altro...