STATISTICA Giovanni Barbaro NOTE STORICHE SULLA STATISTICA Cina - 2.300 a.c.: annotazioni e conteggi...

STATISTICA Giovanni Barbaro

NOTE STORICHE SULLA STATISTICA Cina - 2.300 a.c.: annotazioni e conteggi di abitanti, terreni Bibbia: conteggio degli Ebrei Impero Romano: "Census" ogni 5 anni Dal XV secolo viene definita la Statistica come "Scienza descrittiva degli Stati" (compaiono opere contenenti dati demografici ed economici) XVIII secolo G.Achenwall - Universit di Gottinga Comparsa delle prime tabelle comparative delle risorse geografiche ed economiche dei vari Stati XIX secolo Introduzione, nelle indagini Statistiche, del Calcolo delle Probabilit (Laplace, Pascal, Fermat) XX secolo La Statistica diventa una scienza autonoma Sempre maggiore diffusione... e abuso!!! (esempio sondaggi commerciali, elezioni politiche,.)

DEFINIZIONE E CAMPO DI STUDIO DELLA STATISTICA La statistica indaga su fenomeni collettivi, cio su fenomeni che riguardano un insieme di individui,oggetti,beni raccogliendo informazioni relative ad essi traducendole poi in un modello numerico che possa essere analizzato semplicemente Il gruppo preso in esame definito con il termine popolazione. Il singolo elemento della popolazione detto individuo o unit statistica.

Facciamo alcuni esempi di popolazioni statistiche: I cittadini che hanno il diritto al voto nelle elezioni per il Parlamento. Gli abitanti della Francia. Le autovetture in circolazione attualmente in Italia. Le aziende tessili in Liguria. Gli studenti di una Istituzione Scolastica Le abitazioni esistenti in una cittadina .

LO STUDIO DELLA STATISTICA PUO ESSERE SUDDIVISO IN DUE PARTI: STATISTICA DESCRITTIVA Raccoglie ed elabora i dati per studiare un fenomeno collettivo STATISTICA INDUTTIVA Si occupa dei metodi per stimare un fenomeno collettivo a partire da un campione ricavato da esso

FASI DELLA STATISTICA DESCRITTIVA RACCOLTA DATI RAPPRESENTAZIONE DEI DATI ELABORAZIONE DATI Piano rilevazione tabellegrafici Calcolo medie e indici variabilit

I caratteri che formano loggetto di una rilevazione statistica, possono essere: Qualitativi, espressi in forma verbale, sovente rappresentata da aggettivi. Esempi: il colore; la nazionalit; lo stato civile; laffidabilit; lattitudine ai lavori manuali; lattitudine agli studi Quantitativi, espressi da numeri. Esempi: la statura, il peso, il numero di stanze di un appartamento Le modalit di un carattere quantitativo saranno, allora, espresse da numeri, che si chiamano anche i valori di quel carattere. COSA RILEVARE?

I caratteri qualitativi si possono classificare in: Sconnessi: relazioni di diversit (es. colore dei capelli) Ordinati: relazioni dordine (es. grado distruzione) I caratteri quantitativi, invece, si possono classificare in: Discreti: insieme finito o infinito numerabile (es. numero componenti di una famiglia) Continui: carattere espresso con un numero reale (es. altezze di un certo gruppo di individui)

COME RACCOGLIERE I DATI SCHEDE QUESTIONARI INTERVISTE (ANCHE TELEFONICHE) EXIT POLL Tipo della rilevazione Totale : viene effettuata su tutte le unit statistiche della popolazione (censimento) costi elevati e tempi elevati risultati affidabili Parziale (o campionaria): viene effettuata su una parte (o campione) della popolazione costi contenuti rapidit risultati approssimati Occasionale: fatta "quando serve sondaggi d'opinione Periodica: fatta regolarmente "ogni tanto tempo censimento (10 anni)

COME RAPPRESENTARE I DATI SERIAZIONE STATISTICA: Tabella contenente frequenze di intensit di un carattere QUANTITATIVO SERIE STATISTICA: Tabella contenente frequenze di modalit di un carattere QUALITATIVO SERIE STORICHE: Tabella contenente intensit di un carattere QUANTITATIVO rilevato per modalit TEMPORALI( p.es. le vendite di automobili negli ultimo 10 anni) Il modo pi semplice ed immediato per rappresentare i dati costituito da tabelle. Esiste una classificazione

TITOLO DI STUDIO N.PERSONE lic.elementare2.000 lic. Media6.000 diploma10.000 laurea2.000 NUMERO STANZEN.APPARTAMENTI 1300 2500 32.000 43.000 5150 6100 7300 Serie statistica Seriazione statistica

Peso (in grammi) N neonati 1.800-2.20010 2.200-2.60032 2.600-3.000120 3.000-3.400254 3.400-3.800134 3.800-4.20040 4.200-4.60010 ANNOVENDITE AUTO 199610.000 199715.000 199820.000 199918.000 200017.000 200122.000 200223.000 200310.000 Seriazione statistica con dati divisi in classi Si suddividono i dati in classi quando il carattere analizzato continuo Serie temporale

Il numero che rappresenta quante unit statistiche presentano un certo carattere prende il nome di frequenza assoluta di quella modalit. Linsieme delle coppie ordinate(modalit, frequenza assoluta) si dice distribuzione di frequenze, cio una funzione che pu essere rappresentata elencandone tutte le coppie organizzate in una tabella. E possibile calcolare anche le cosiddette frequenze relative che possono anche essere espresse in forma percentuale Frequenza assoluta il numero di individui il cui carattere assume un determinato valore. Frequenza relativa il rapporto tra la frequenza assoluta e la totalit della popolazione statistica su cui si sta svolgendo lindagine. Frequenza percentuale semplicemente la frequenza relativa espressa in termini percentuali.

CarattereFrequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza percentuale Frequenza cumulata 0200,440 % 5100,220 %60% 10 0,220 %80% 1550,110 %90% 2050,110%100% TOTALE501100% F relativa = F assoluta / Totale Come esempio si riportano i risultati su unindagine condotta su un gruppo di 50 persone relativa al numero di sigarette fumate ogni giorno: Talvolta pu essere utile calcolare anche la frequenza cumulata (percentuale o relativa)

USO DEI GRAFICI I dati raccolti in tabelle possono essere rappresentati attraverso grafici che offrono il vantaggio di una descrizione del fenomeno in forma visiva. Possono essere utilizzati i seguenti tipi di grafici: Diagrammi cartesiani Istogrammi e ortogrammi Diagrammi a nastro Diagrammi circolari Diagrammi polari Cartogrammi Ideogrammi

Diagrammi cartesiani sono usati soprattutto per le serie temporali

Istogrammi Si usano per rappresentare seriazioni continue con i dati raggruppati in classi. Le altezze dei rettangoli sono proporzionali alle frequenze

Ortogrammi Sono simili agli istogrammi ma usati per serie statistiche. Possono anche caratterizzarsi per pi rettangoli affiancati

Diagrammi a nastro

Diagrammi circolari

Diagrammi polari sono usati per particolari serie storiche con carattere di ciclicit

Cartogrammi 7,3 11 20,1 Sono utilizzati per rappresentare serie territoriali

Ideogrammi anni Auto vendute Sono rappresentazioni mediante figure stilizzate che rappresentano il fenomeno studiato

ELABORAZIONE DEI DATI QUESTA FASE SERVE AD ESPRIMERE IN MODO SINTETICO I RISULTATI DELLINDAGINE SVOLTA CALCOLANDO DEGLI INDICI: VALORI MEDI INDICI DI VARIABILITA

I valori medi I valori medi I l valore medio un valore che esprime una tendenza centrale. Secondo Cauchy la media di un insieme un valore compreso tra il minimo e il massimo. Medie di calcolo : sono quelle che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione o Media aritmetica e sue propriet Media aritmetica e sue propriet o Media Geometrica Media Geometrica o Media quadratica Media quadratica o Media armonica Media armonica Medie di posizione : sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori della distribuzione o Mediana Mediana o Moda o valore normale Moda o valore normale

MEDIA ARITMETICA x 1 + x 2 + x n M = n x 1 f 1 + x 2 f 2 + x n f n xf M = = N f Questa viene chiamata media ponderata ed utilizzata quando i valori rilevati hanno frequenze diverse Questa viene chiamata media semplice ed utilizzata quando i valori rilevati non sono riportati con le frequenze

PROPRIETA DELLA MEDIA ARITMETICA Si definisce scarto della media aritmetica la differenza tra il valore osservato e la media stessa x i M La somma degli scarti positivi dalla media aritmetica uguale, in valore assoluto, a quella degli scarti negativi, e quindi la somma algebrica di tutti gli scarti dalla media uguale a zero. Pertanto ne consegue che: ( x i M ) = 0

MEDIA GEOMETRICA Se i valori sono tutti positivi e non nulli si pu calcolare la media geometrica. Si definisce media geometrica dei valori x1, x2, , xn, quel numero G che sostituito ai valori xi lascia invariato il loro prodotto: che la media geometrica semplice. Nel caso di valori xi con frequenze o pesi y i, si ha: dove: Dove f sono le frequenze

USO DELLA MEDIA GEOMETRICA La media geometrica viene utilizzata quando si vuole analizzare il variare di un fenomeno nel tempo, per esempio il tasso di variazione dei prezzi o i tassi di rendimento di capitali. ESEMPIO Un capitale stato impiegato per 4 anni al tasso del 2%, per altri 3 anni al tasso del 3 % ed in fine per 2 anni al tasso del 5%. Per il calcolo del tasso medio si pu impiegare la Media Geometrica Ponderata:

MEDIA QUADRATICA Media quadratica semplice Media quadratica ponderata dove La media quadratica quella con valore maggiore e viene usata per mettere in evidenza i valori che si scostano molto dai valori centrali Dove f sono le frequenze

MEDIA ARMONICA Media armonica semplice Media armonica ponderata Dove: Dove f sono le frequenze

QUANDO USARE LA MEDIA ARMONICA Questa media utilizzata quando ha significato il calcolo del reciproco di una certa grandezza. Per esempio si definisce potere di acquisto di una moneta la quantit di beni acquistabile con una unit di tale moneta. Se, per esempio un prodotto costo 0,85 euro il potere di acquisto riferito a tale bene : 1/0,85. Ora supponiamo che uno stesso prodotto in 4 citt differenti abbia i seguenti prezzi: Milano 0,85 euro Torino 0,90 Roma 0,75 Bari 0,70 Potere acquisto medio =

MEDIANA Dati un insieme di valori x 1, x 2, x 3,. x n ordinati si definisce Mediana il valore che bipartisce la successione. Ovvero il valore centrale se il numero dei termini dispari La media aritmetica dei due valori centrali se il numero dei termini pari. Esempio: Calcolare la Mediana dei seguenti valori: Il Valore 9 quello che sta in centro ed pertanto la mediana Esempio: Calcolare la Mediana dei seguenti valori: 4789101255 822333638414446 La mediana la media aritmetica dei due valori centrali (36+38)/2 = 37

MEDIANA Se si ha invece una distribuzione di frequenze, occorre calcolare le frequenze cumulate. Indicando con N la somma delle frequenze, la Mediana il valore corrispondente a N/2 se N pari a (N+1)/2 se N dispari N.FigliFrequenze assolute Frequenze cumulate 033 1811 2718 3422 4123 5124 6125 Tot 25 N =25 quindi la mediana il valore corrispondente a (N+1)/2 = (25+1)/2 = 13 cio il valore 2 Indagine sul numero di figli su un campione di famiglie

MEDIANA Se i dati sono raggruppati in classi si determina la classe mediana mediante le frequenze cumulate quindi si procede con uninterpolazione lineare. Classi cilindrata(cc) F.ass.F. cum. 0-800100 800-1200840940 1200-16009551895 1600-20003052200 2000-25002002400 2500-30001002500 Tot 2500 2500 Esempio: stata condotta una ricerca sulla cilindrata delle auto possedute da un campione di persone: Poich N pari N/2 =1250 che corrisponde alla Classe Mediana 1200-1600 Per giungere ad un valore preciso della Mediana si deve impostare una proporzione: 1200 940 x 1250 1600 1895 (x-1200) : (1600-1200) = (1250-940) : (1895 -940)

MODA Si dice Moda o Valore Modale di una distribuzione di frequenze il valore corrispondente alla massima frequenza Esempio Voti matematica F.ass. 32 41 57 65 74 82 91 101 La Moda il valore 5 poich il valore corrispondente alla frequenza pi alta

MODA Se i valori sono raggruppati in classi si determina la Classe Modale: Se lampiezza delle classi costante si dir classe modale quella con frequenza maggiore; Se lampiezza delle classi non costante si divide ogni frequenza per lampiezza della rispettiva classe calcolando cos la densit di frequenza; il valore pi alto di densit definisce la classe modale N.B. esistono delle distribuzione di frequenza che presentano pi valori della moda( distribuzioni plurimodali)

COME SI SCEGLIE UNA MEDIA ? Si possono solo fare considerazioni a carattere generale: La media aritmetica pi utilizzata per esprimere un concetto di equidistribuzione La media geometrica utilizzata quando i dati si susseguono in progressione geometrica La media quadratica quando si vuole eliminare linfluenza dei segni e quando si vuole dare importanza a valori piuttosto grande La moda si usa quando importante rilevare il valore che ha maggior probabilit di presentarsi La mediana caratterizzata dal fatto di non essere influenzata dalla rilevante differenza tra i dati

LA VARIABILITA I valori medi sono indici importanti per la descrizione sintetica di un fenomeno statistico per non forniscono informazioni sulla dispersione dei dati cio sulla loro variabilit Esempio Due gruppi di studenti hanno sostenuto una prova di matematica con i seguenti risultati: 1Gruppo345810 2 Gruppo56676 La media dei voti per entrambi i gruppi vale 6, ma evidente che i dati del 1 gruppo sono molto pi dispersi

INDICI DI VARIABILITA Campo di variazione Scarto quadratico medio Varianza Coefficiente di variazione Scostamento semplice medio Per stimare la variabilit si ricorre ad alcuni indici:

CAMPO DI VARIAZIONE( RANGE) E il pi semplice degli indici di variazione: Si calcola facendo la differenza tra il dato pi grande e il dato pi piccolo Campo variazione R = x max x min Il C.V. molto semplice da calcolare per poco significativo poich tiene conto solo del valore pi piccolo e di quello pi grande trascurando tutti gli altri valori. Il campo di variazione d informazioni sulla distribuzione dei dati: pi R piccolo pi i dati sono concentrati; pi R grande pi i dati sono dispersi

SCARTO QUADRATICO MEDIO E VARIANZA Sono gli indici di variabilit pi utilizzati, e tengono conto della distribuzione di tutti i dati. Scarto quadratico medio(o deviazione standard) Rappresenta la media quadratica, semplice o ponderata degli scarti dei dati dalla media aritmetica M dove:

Varianza E definita come il quadrato dello scarto quadratico medio e viene indicata con 2 Per il calcolo della varianza e dello scarto quadratico medio si preferisce adottare la seguente formula facilmente dimostrabile : dove Se i dati sono senza frequenze

OSSERVAZIONI La varianza 2 e lo scarto quadratico medio danno informazioni sulla distribuzione dei dati: pi sono piccoli pi i dati sono concentrati; pi sono grandi pi i dati sono dispersi.

Esempio : valorefrequenza 23 41 82 114 Calcolare varianza e scarto quadratico medio

IL COEFFICIENTE DI VARIAZIONE CV Il CV una misura relativa di dispersione (le precedenti sono misure assolute) ed una grandezza adimensionale. E particolarmente utile quando si devono confrontare le distribuzioni di due gruppi con medie molto diverse o con dati espressi in scale differenti (es. confronto tra variazione del peso e variazione dellaltezza).

SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO Un altro modo per calcolare la variabilit dei dati (tenendo conto di tutti i dati) consiste nel calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distanze dove In alcuni casi in tali formule possibile sostituire alla Media Aritmetica M la Mediana Me Scostamento semplice medio = Distanza media dei dati dalla media Se i dati sono senza frequenze

Lo scostamento semplice medio dalla media d informazioni sulla distribuzione dei dati: pi S M piccolo pi i dati sono concentrati; pi S M grande pi i dati sono dispersi

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