Statica

Equilibrio dei corpi Corpo rigido

Momento di una forza Condizione di equilbrio

Leve

La statica è la parte della meccanica che

studia l’equilibrio di un corpo materiale,

ovvero le condizioni necessarie affinché un

corpo, inizialmente in quiete, resti in quiete

anche dopo l’intervento di forze esterne.

Consideriamo ad esempio un corpo

appoggiato su un piano orizzontale.

Statica

Forza d’attrito Risultante macroscopica delle azioni tra

molecole che si oppongono allo scorrimento.

Quando proviamo a far scivolare un oggetto su un altro queste

microscopiche protuberanze si oppongono al moto. Questo tipo di

attrito viene chiamato "attrito dinamico". Quando un corpo è in moto lungo una superficie rugosa, la forza di attrito

dinamico agisce in direzione opposta alla velocità del corpo.

Il modulo della forza di attrito dinamico dipende dalla natura delle due superfici

che scivolano l’una sull’altra, ed è proporzionale al modulo della forza normale al piano di scorrimento.

Fad = fd N

fd coeff. attrito dinamico

Forza d’attrito

Esiste anche un attrito statico, forza parallela alle due superfici, che è

presente in assenza di moto relativo. Supponiamo di esercitare una forza orizzontale su un banco, ma questo

non si muove (la risultante delle forze è zero).

Deve quindi esistere una forza, detta di attrito statico, che agisce sul banco

che gli impedisce di muoversi. Anche l’attrito statico è proporzionale

al modulo della forza normale al piano di scorrimento.

Fas = fs N

fs coeff. attrito statico

Forza d’attrito

L’attrito fa venir meno la conservazione dell’energia

meccanica, che invece degrada in forme diverse di energia (calore).

Se si tiene conto di tutte le forme di energia, questa si conserva!!!

Si noti che è spesso più facile mantenere un oggetto pesante in

movimento, rispetto a muoverlo dalla sua posizione iniziale:

Fas ≥ Fad

Questo si traduce nella relazione:

fs ≥ fd

Lezione  I   6  

Esempi

Il momento di una forza rispetto ad un punto O ne misura la capacità di mettere in rotazione il punto o oggetto a cui è applicata rispetto ad O.

Momento di una forza

Il momento di una forza rispetto ad un punto è

definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza:

M = r x F  

Momento di una forza

Il modulo di M è r F sen θ = F b.

La grandezza r sen θ, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace F, è detta braccio

della forza F.

Se F ed r sono perpendicolari, il braccio si identifica con r, ed il

momento è massimo.

M può essere nullo se F o b sono nulli, oppure se F ed r sono

paralleli.

Esempi Coppia di forze: 2 forze uguali in

modulo e direzione ma verso opposto, applicate in punti diversi di

un corpo rigido che può ruotare attorno ad un asse.

Un corpo rigido è per definizione indeformabile.

Esso è in equilibrio se le risultanti delle forze e dei

momenti sono identicamente nulle:

ΣiFi = 0 ΣiMi = 0

Le forze rendono conto dei moti di traslazione, i momenti dei moti di

rotazione.

Equilibrio di un corpo rigido

Centro di massa o baricentro

Rappresenta il punto in cui si può immaginare concentrata la

massa di un corpo esteso, quando se ne vogliono

determinare le condizioni di equilibrio o si vuole studiare il suo comportamento dinamico.

xCM = (m1/M)r1+(m2/M)r2

M = m1+m2

La bilancia

Una leva è una macchina semplice che trasforma il

movimento.

È composta da due bracci solidali fra loro (che

ruotano cioè dello stesso angolo e con la stessa

velocità angolare) incernierati per un'estremità ad un

fulcro, attorno al quale sono liberi di ruotare.

Le leve

Condizione di equilibrio di una leva

La condizione di equilibrio di una leva è che la somma

dei momenti delle forze ad essa applicate sia nulla:

F1b1=F2b2

Da cui b1/b2=F2/F1 ovvero il braccio e la forza su di

esso applicata sono inversamente proporzionali.

Perché sia garantito l’equilibrio, il braccio della forza

peso della palla di 5kg dev’essere 20 volte maggiore

di quello della forza peso della palla da 100kg.

Condizione di equilibrio di una leva

Il rapporto tra forza resistente e forza motore (o potenza), uguale al rapporto fra bp e br, viene chiamato G=guadagno

meccanico. È una proprietà geometrica della leva!

Le leve si distinguono in: •  svantaggiose: se la forza applicata richiesta è maggiore della forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più lungo del

braccio-potenza (bp / br < 1);

•  indifferenti: se la forza applicata richiesta è uguale alla forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è uguale al braccio-

potenza (bp / br = 1);

•  vantaggiose: se la forza applicata richiesta è minore della forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più corto del

braccio-potenza (bp / br > 1).

Tipi di leve

Esercizio

Esercizio

Leve e conservazione energia meccanica

Leve e conservazione energia meccanica

In base alla posizione reciproca del fulcro e delle forze si ha un’ulteriore distinzione:

Tipi di leve

•  I genere: il fulcro si trova tra le due forze (vantaggiose, svantaggiose o indifferenti)

•  II genere: la forza resistente si trova fra il fulcro e la forza applicata (sempre vantaggiose)

•  III genere: la forza applicata si trova fra il fulcro e la forza resistente (sempre svantaggiose)

Nel nostro corpo: i muscoli scheletrici (elemento attivo) inserendosi

sulle ossa (elemento passivo) per mezzo della contrazione muscolare

determinano il movimento.

Questo è possibile grazie anche alle articolazioni, le regioni di “snodo” tra le parti fisse.

Tutto l'apparato locomotore è basato su un

sistema di leve che possono essere di primo, secondo o terzo tipo.

Leve del corpo umano

Nelle leve del corpo umano:

•  Il fulcro è dato dall'asse di rotazione (di solito l'articolazione, ma può anche essere

un punto di appoggio o di presa);

•  la potenza è data dal punto in cui viene applicata la forza (di solito l'origine o

l'inserzione muscolare);

•  la resistenza è data dal punto in cui viene generata la resistenza stessa (un peso, la

gravità, ecc.).

Leve del corpo umano

Esempi di sistemi di forze agenti sul corpo umano

Articolazione di appoggio della testa

L'intensità di Fm è tale da produrre un momento uguale

a quello prodotto da Fr.

Si noti che l'insieme delle due forze tenderebbe a causare un abbassamento del sistema: il

fulcro esercita anche una reazione vincolare che si

oppone alla traslazione. Per questo dopo un certo tempo l'articolazione è affaticata.

Per bilanciare il peso del capo ed evitare che la testa ciondoli in avanti, viene esercitata una

potenza da parte dei muscoli della nuca.  

Equilibrio tronco-vertebrale

Leva del I genere: •  FP = Forza peso (60 kg*g) che agisce sul baricentro del corpo, all’altezza del ventre e anteriore

alla spina dorsale •  FM = Forza Motrice, forza

esercitata dai muscoli dorsali •  R = Reazione vincolare sul

fulcro (la spina dorsale) all’altezza della settima

vertebra  

Equilibrio traslazionale: R= FM+FP Equilibrio rotazionale: a*FM=b*FP FM= b/a * FP = 2 FP = 120 kg*g=1200 N R= 2 FP + FP = 3 FP = 180 kg*g=1800 N

Equilibrio tronco-vertebrale

Nel caso di obesità non solo cambia

il peso ma anche la sua distribuzione, se il baricentro si

sposta in avanti di soli 2 cm abbiamo (a parità di peso):  

Equilibrio traslazionale: R= FM+FP Equilibrio rotazionale: a*FM=b*FP FM= b/a * FP = 5/2 FP = 150 kg*g=1500 N R= 5/2 FP + FP = 7/2 FP = 210 kg*g=2100 N

Innalzamento sulle dita del piede

FT = Forza Motrice, forza muscolare (polpaccio) applicata dal tendine sul calcagno. FO = Forza Resistente, forza esercitata dalle forze della gamba (tibia e fibula) sul piede. FP = reazione vincolare del suolo sulla pianta del piede, causata dalla forza peso del corpo che agisce sul fulcro (punto fermo).

Esempio di leva del II genere

10 cm

Innalzamento sulle dita del piede

Equilibri traslazionali •  Verticale: FT cos(7o) + FP = FO cos(θ) •  Orizzontale: FT sin(7o)= FO sin(θ) Equilibrio rotazionale rispetto al punto centrale:

5.6 * FT cos(7o) = 10 * FP

da cui si ricava

FT=10*FP/(5.6*0.992)=1.8*FP

Sostituendo nelle precedenti equazioni si ha:

1.8* FP *0.992+ FP= FO cos(θ)

1.8* FP *0.122= FO sin(θ)

tg(θ)=0.2196/2.7856 FP= 0.079

da cui

θ=4.5ο FO = 2.8 FP

10 cm

Abduzione del braccio

Esempio di leva del III genere

la potenza (esercitata dal bicipite) è molto vicina al fulcro (gomito), mentre la resistenza (data dal peso

del braccio, più un eventuale peso sostenuto

dalla mano) è più distante.