Statica  dei  Fluidi   Fisica   Mattia  Natali    

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Statica  dei  Fluidi   Liquido  perfetto:  

È  un  fluido  che  è:   Incomprimibile  e  indilatabile:  non  ha  forma  propria  ma  ha  volume  proprio.  

Privo  di  attriti  interni  (viscosità  nulla).  

Sforzo:  in  generale  lo  sforzo  che  il  fluido  B  esercita  sul  fluido  A  rispetto  a  una  superficie   dS  è  

φ= lim∆ S→0

dF

dS  con   φ= φN uN + φT uT .  

Pressione:  

La  pressione  è  lo  sforzo  normale   p = φN =

dF

dS·uN .  

Unità  di  misura:  

• Si  misura  in   p[ ] = F[ ] L[ ]−2 ,  p  si  misura  in  N/m2 = Pa    Pascal.  

• bar  è  pari  a  105Pa .  • atm  è  pari  a  1,013 · 105Pa .  

• torr  o  mmHg =1760

atm=133,3Pa .  

• Kgp / cm2 = 9,81·104 Pa .  

Lo  sforzo  tangenziale  nel  liquido  perfetto  viene  trascurato,  a  causa  della  viscosità  nulla.   Proprietà  di  isotropia  delle  pressioni:  

Ipotesi:  Fluido  ideale  in  equilibrio  statico.  Prendiamo  un  contenitore  a  forma  di  tetraedro  con  3  facce  parallele  ai  piani  formati  dagli  assi  x, y, z.  

uN  è  individuato  dai  suoi  coseni  direttori:   cosα, cosβ, cosγ ;  α,β,γ  sono  angoli  formati  da  

uN  con   x, y, z  rispettivamente.  

dSx  è  ortogonale  a  x.   dSy ,dSz ,dS  sono  ortogonali  a   y, z,uN  rispettivamente.  dV  è  il  volume  

dell’elemento  infinitesimo  di  fluido  considerato.  

Se  il  fluido  è  in  equilibrio  statico  allora  ogni  sua  parte  (infinitesima)  è  in  equilibrio  statico,  

quindi   Fi= 0∀∑  elemento  di  volume  infinitesimo.  

•

dFx

= pxdSxux

dFy

= pydSyuy

dFz

= pzdSzuz

dF= − pdSuN

+ forza di volume → dW

= ρgdV

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

 

• dW

 è  infinitesimo  di  ordine  superiore  a   dFx,dFy,dFz

 e   dF  essendo  dV  infinitesimo  di  

ordine  superiore  a  dSx ,dSy ,dSz ,dS .  Quindi  al  primo  ordine   dW

 è  trascurabile    allora  la  

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condizione  di  equilibrio  statico  si  scrive  semplicemente   dFx

+ dFy

+ dFz

+ dF= 0    

pxdSxux + pydSyuy + pzdSzuz − pdSuN = 0    

dSuN = dS cosαux + cosβuy + cosγ uz( ) .  Ricordando  che  

dSx = dS cosαdSy = dS cosβdSz = dS cosγ

⎧

⎨⎪

⎩⎪

 per  

costruzione  dell’elemento  infinitesimo  di  fluido  considerato    

pxux + pyuy + pzuz = pux + puy + puz  ha  soluzione  se  e  solo  se   px = p, py = p, pz = p  

quindi   px = py = pz = p .   Teorema  di  isotropia:  la  pressione  in  un  fluido  non  dipende  dalla  superficie  sulla  quale  viene  

misurata.  

• Quindi  la  pressione  è  uno  scalare  anche  se  formalmente  discende  da  una  grandezza  vettoriale  (lo  sforzo).  

Fluido  omogeneo  in  un  campo  di  forza  per  unità  di  massa   F.  Poiché  vale  l’ipotesi  di  equilibrio  

statico  di  tutto  il  fluido  allora  ogni  parte  (infinitesima)  del  fluido  è  in  equilibrio  statico.  Preso  un  

arbitrario  punto  P  di  posizione   r  all’interno  del  fluido,  considerato  l’elemento  di  volume  cubico  

nell’intorno  di  P,  dovrà  valere  la  legge  di  equazione  (

Fi

i=1

n

∑ = 0 )     ∇p = ρF

.  

Teorema  principio  di  Pascal  (Della  Valle):  la  pressione  di  un  fluido  non  soggetto  a  forze  di  volume  è  

la  stessa  in  tutti  i  suoi  punti.  (Se   F= 0∀r

⇒∇p = 0  quindi   p  è  costante  in  tutti  i  punti   r

 del  

fluido).   Altro  caso  in  cui  la  pressione  in  un  fluido  è  la  stessa  in  tutti  i  punti  è  per   p  molto  bassa  

(esempio  gas).   Legge  di  Pascal  (Rosati):  in  un  fluido  in  equilibrio  la  pressione  è  costante  in  tutti  i  punti  che  si  

trovano  alla  stessa  quota  rispetto  al  suolo:   Conseguenza  diretta    principio  dei  vasi  comunicanti:  se  più  recipienti  contenenti  lo  stesso  

liquido  sono  in  comunicazione  tra  loro  le  superfici  libere  si  trovano  allo  stesso  livello  qualunque  siano  le  forme  e  le  capacità  dei  recipienti.  La  dimostrazione  verrà  trattata  più  avanti.  

Legge  di  Stevino:  

F= g  con   F=  forza  di  volume  (forza  per  unità  di  massa  e  quindi  comparabile  con  

un’accelerazione)  allora   FρdV = g

ρdV = Fp

 del  volumetto.  dV  di  fluido  di  densità  ρ    

∇p = ρF

    F= g= −guz .   ∇

p = −ρguz     dp = −ρgdz→ −ρgdz

p z1( )

p z2( )∫    

p2 − p1 = −ρg z2 − z1( )     p1 − p2 = ρgh .   La  differenza  di  pressione  tra  due  punti  di  un  fluido  in  equilibrio  è  data  dalla  pressione  

esercitata  dalla  colonna  di  fluido  di  altezza  pari  al  dislivello  tra  i  due  punti.  

p1 − p2 = ρ z( )F z( )dzz1

z2∫ .  

Applicazioni:  

Manometro  è  uno  strumenti  per  la  misura  di  pressione.   Barometro  è  un  manometro  per  la  misura  della  pressione  atmosferica.  

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Barometro  di  Torricelli:  misura  la  pressione  mediante  la  colonnina  di  mercurio.  

Principio  dei  vasi  comunicanti:   Il  livello  di  un  liquido  in  un  sistema  di  vasi  comunicanti  è  il  medesimo  indipendentemente  dalla  

forma  di  tali  vasi.  

Dimostrazione:   h1 = h2 ,   p1 = p2  per  la  condizione  di  equilibrio.  Per  Stevino  p1 = ρgh1 + p0p2 = ρgh2 + p0

⎧⎨⎩

 

con   p0  la  pressione  atmosferica     p1 = p2    h1 = h2 .   Il  principio  vale  solo  per  un  tipo  di  liquido,  se  ci  sono  due  tipi  di  liquidi  diversi  può  anche  essere  

h1 ≠ h2  perché  i  due  liquidi  hanno   ρ1 ≠ ρ2 .   Paradosso  idrostatico:  

Prendiamo  3  recipienti  di  uguale  volume,  uguale  massa  W ,  stessa  area  di  base  S  ma  diversa  

forma  (diversa  altezza)    W1 =W2 =W3

S1 = S2 = S3 = S⎧⎨⎩

    p1 = p2 = p3  secondo  Newton  ma  

h3 > h1 > h2     ρgh3 > ρgh1 > ρgh2     p3 > p1 > p2  secondo  Stevino.   Newton  sta  dicendo  che  la  pressione  esercitata  dall’acqua  sulla  base  d’appoggio  del  recipiente  

è   p1,N = p2,N = p3,N  perché  conta  anche  delle  pressioni  esercitate  ai  lati  del  recipiente  mentre  

Stevino  dice  che  la  pressione  esercitata  dall’acqua  sulla  base  del  recipiente  è  diverso.  In  conclusione  sono  entrambi  vere.  

Principio  di  Archimede:  

Un  corpo  immerso  in  un  fluido  riceve  una  spinta  verso  l’alto  (spinta  idrostatica  di  Archimede)  pari  al  peso  del  volume  di  fluido  spostato  dal  corpo.  

La  risultante  delle  forze  di  pressioni  agenti  sul  corpo  A  dovute  al  liquido  B  equilibra  la  forza  peso  di  A  al  fine  di  stabilire  un  equilibrio  statico  del  fluido.    su  A  agisce  una  spinta  idrostatica  diretta  verso  l’alto  pari  a  Fp,A = ρVAg = mf g  con   ρ  

densità  del  fluido  e  mf = ρVA  massa  del  

fluido  spostato  dal  solido  A.   Se  ora  sostituisco  ad  A  un  corpo  di  forma  identica  ad  A,  le  azioni  esercitate  da  B  sulla  frontiera  

di  A  non  cambiano.  Quindi  il  corpo  di  volume  VA  riceverà  la  stessa  spinta  idrostatica  ricevuta  di  A,  quindi  FA = ρVAg  con  FA =  forza  di  Archimede.  La  forza  di  Archimede  si  sviluppa  nel  

centro  di  spinta  del  corpo,  ossia  nel  baricentro  del  liquido  spostato  (questo  punto  lo  chiameremo   A )  dal  corpo  solido,  mentre  la  forza  peso  si  sviluppa  nel  centro  di  massa  del  

corpo  CM .    in  generale  A  non  coincide  con  CM  del  solido.  Se  il  solido  è  omogeneo  allora  

A ≡ CM .  

Equilibrio  idrostatico  di  un  corpo  solido:   Corpo  solido  è  omogeneo     A ≡ CM .  Tutte  le  posizioni  possibili  del  solido  sono  in  equilibrio  

 equilibrio  indifferente.  FA = FP  per  ipotesi  dell’equilibrio.   Corpo  solido  non  è  omogeneo     A ≠ CM .  

• FA = FP  ma  CM  è  più  basso  del  centro  di  spinta   A    equilibrio  stabile.  Se  si  tenta  di  

ruotare  il  solido  esso  tende  a  ritornare  nella  posizione  originaria  poiché  nasce  un  momento  τ ≠ 0  che  tende  a  contrastare  tale  spostamento.  

• FA = FP  ma   A  è  più  basso  del  centro  di  massa  CM    equilibrio  instabile.  Se  si  ruota  

anche  di  poco  il  solido  esso  si  allontana  dall’equilibrio  instabile  e  cerca  l’equilibrio  stabile  perché  nasce  un  momento  che  tende  ad  allontanare  ulteriormente  il  solido  dalla  posizione  originaria.