SPETTRI DI SISTEMI BIDIMENSIONALI IN CAMPO MAGNETICO Rinaldi.pdf · Corso di Laurea in Fisica ......

Universita degli Studi di Trieste

DIPARTIMENTO DI FISICA

Corso di Laurea in Fisica

Tesi di Laurea

SPETTRI DI SISTEMI BIDIMENSIONALI IN CAMPOMAGNETICO

Relatore:

Ch.mo Prof. RAFFAELE RESTACandidato:

MATTEO RINALDI

Anno Accademico 2014–2015

Indice

Introduzione v

1 Grafene e nanoribbons di grafene 1

1.1 Grafene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Nanoribbons di Grafene: armchair e zigzag . . . . . . . . . . . 3

2 Particella libera in due dimensioni e livelli di Landau 5

2.1 DOS di elettrone libero in 2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Livelli di Landau per particella libera 2d . . . . . . . . . . . . 6

3 Il metodo tight-binding per il calcolo delle bande 7

3.1 Tight-binding: analisi teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 La sostiuzione di Peierls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Il metodo delle �nestre di Parzen per il calcolo della DOS . . . 11

4 Computazione e analisi dati 13

4.1 Implementazione del metodo tight binding . . . . . . . . . . . 134.2 Primo caso: senza campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.2 Analisi delle bande e della DOS . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Secondo caso: con campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . 174.3.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3.2 Analisi delle bande e della DOS . . . . . . . . . . . . . 18

5 La matrice densità 21

5.1 Analisi teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Calcolo della densità di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Bibliogra�a 45

iv INDICE

Introduzione

Nel 2004 viene scoperto il grafene: le caratteristiche sorprendenti di que-sto materiale lo rendono subito materia di studio in un numero scon�natodi lavori che sono stati realizzati dalla sua scoperta a questa parte. I lavoriteorici si pre�ggono preliminarmente lo studio della struttura a bande delgrafene mediante un tight-binding fatto sugli orbitali 2pz di tali esagoni di-sposti in strutture a nido d'ape. Il punto di partenza di questo lavoro si fondasu queste basi; esso poi si dirige alla realizzazione del modello del nitruro diboro esagonale (BN), che si ottiene partendo dal grafene stesso introducendouna diversa ionicità per i due atomi nella cella. Questo comporta la rotturadella centrosimmetria che si aveva col grafene e quindi si ha la conseguenteapertura di un gap. Il fattore aggiuntivo consiste nell'accensione di un campomagnetico perpendicolare al piano nel quale giacciono i due nastri ottenutitagliando il foglio di grafene, e successivamente di BN, lungo due direzionicon una di�erenza di orientazione pari a 30◦. Questi sono i zigzag e arm-chair nanoribbons. Quindi si sono studiate le bande e le densità degli stati inenergia variando la larghezza di tali nastri, la di�erenza di ionicità e il cam-po magnetico applicato. Come noto precedentemente l'hamiltoniana di unaparticella libera è quadratica nel momento, quindi presenta una struttura dibanda parabolica ripiegata nella prima BZ attraverso il metodo del reducedzone scheme. Inoltre in un campo magnetico uniforme, perpendicolare alpiano nel quale giace tale particella, essa presenta uno spettro non più conti-nuo, ma quantizzato, della forma di un oscillatore armonico e ciascuno di talilivelli energetici, detti livelli di Landau, presenta una degenerazione in�nitanel momento. Questo non vale esattamente per il grafene il quale in assenzadi campo magnetico presenta una legge di dispersione lineare nell'energia neipunti di contatto della banda di valenza e di conduzione, detti punti di Dirac,e con l'accensione del campo magnetico l'energia non dipende più come nelcaso di particella libera da una legge del tipo }ω

(n+ 1

2

)con n ≥ 0, ma come

la radice quadrata di n sempre con n ≥ 0. I gra�ci realizzati in questo lavorovogliono mostrare la di�erenza che si ha tra i livelli di Landau nel grafenee nel BN rispetto a quelli di particella libera. Nel caso speciale del BN si

vi INDICE

è inoltre studiato il comportamento dei livelli di Landau con l'apertura delgap: un risultato importante si ha nel band edge e vicino al gap, dove inassenza di campo magnetico la densità degli stati è piatta e quindi è quelladi particella libera. Allora, con l'accensione del campo, in tali zone, l'ener-gia dei livelli di Landau va e�etivamente come }ω

(n+ 1

2

). Successivamente

si è calcolata la matrice densità dei nastri di grafene e BN. Dalla teoria glielementi diagonali della matrice densità rappresentano la densità di caricarelativa a ciascun sito dei due nastri. Quindi partendo dal caso senza di�e-renza di ionicità si è analizzata la densità di carica dei due nastri: nel sistemahalf-�lling in esame la densità di ciascun elettrone è stata normalizzata ad12. Nel caso con di�erenza di ionicità ci si aspetta una densità di carica sim-

metrica rispetto al centro del nastro nel caso armchair, poichè in qualunquemodo tale nastro venga tagliato esso presenta tale simmetria, e la formazionedi un nastro polare per nastri a zigzag stretti, in quanto a seconda del taglioquesto nastro può presentare un bordo tutto di anioni e uno tutto di cationi.Allora, in quest'ultimo, nel caso di nastri con pochi atomi si ha la formazionedi un dipolo netto non nullo.Le simulazioni dei sistemi in esame si basano su programmi realizzati in for-tran con l'ausilio di subroutines della libreria LAPACK, quali ZHEEVR peril calcolo delle bande e delle DOS e CHEEV per la densità di carica.

Capitolo 1

Grafene e nanoribbons di grafene

1.1 Grafene

Esistono in natura un gran numero di sistemi basati sul carbonio, le cuiproprietà dipendono dalla dimensionalità di queste strutture. La gra�te èuno di questi, infatti essa è un allotropo tridimensionale del carbonio ed èquello scoperto meno di recente; tale cristallo ha come costituente di basestrati di grafene. Questi fogli di grafene possono essere visti come costituitida un piastrellamento di esagoni di benzene, nei quali gli atomi di idrogenosono stati sostituiti dagli atomi di carbonio degli esagoni vicini. Inoltre taledisposizione viene detta a nido d'ape. Nella gra�te tali fogli di grafene silegano mediante l'azione delle forze di van der Waals che è più debole deilegami covalenti che tengono assieme gli atomi di carbonio degli strati digrafene. Tale fatto permette la separazione degli strati di grafene nel mo-mento nel quale si scrive con una matita su un foglio di carta. Nonostanteciò è stato isolato 440 anni dopo la scoperta della gra�te [1], prima non ci siaspettava che potesse esistere libero in natura. Il grafene è l'allotropo baseper comprendere le proprietà degli altri allotropi quali fullereni (come la mo-lecola C60); nanotubi di carbonio, ottenuti arrotolando un foglio di grafenelungo una determinata direzione e legando tra di loro gli atomi di carboniodei bordi e altri.Nel grafene, come detto, gli atomi di carbonio si legano in una strutturaa nido d'ape attraverso una ibridizzazione sp2 degli orbitali 2s, 2px e 2py cheporta ad una struttura trigonale planare con la formazione di tre legami σtra gli atomi carbonio, separati da una distanza di 1.42Å. Tali legami σ sonoresponsabili della robustezza che caratterizza il grafene e tutti gli altri allotro-pi. Gli orbitali p rimanenti, perpendicolari al piano, si legano covalentementemediante legami π portando alla formazione di una banda π metà riempita,

2 Grafene e nanoribbons di grafene

in quanto ognuno di tali orbitali contribuisce con un elettrone. Inoltre, es-sendo che i tre elettroni nel piano non prendono parte alla conduttività, siha che il grafene ha un elettrone di conduzione nello stato 2pz.La struttura a nido d'ape non è un reticolo di Bravais. Questo deriva dalfatto che non vi è un array di punti ripetuto con una disposizione e un orien-tamento che appare lo stesso da qualsiasi punto del reticolo. La strutturaa nido d'ape può essere sudddivisa in due sottoreticoli di Bravais triangolarie quindi questa può essere vista come un reticolo di Bravais triangolare conuna base di due atomi. La costante reticolare è quindi de�nita come la di-stanza tra due siti appartenenti allo stesso sottoreticolo di Bravais.I vettori della cella primitiva sono:

a1 =a

2

(+1,√

3), a1 =

a

2

(−1,√

3)

(1.1)

mentre quelli del reticolo reciproco:

b1 =2π√3a

(+√

3, 1), b1 =

2π√3a

(−√

3, 1). (1.2)

I vettori della base:

d1 =a

2√

3(0,−1) , d1 =

a

2√

3(0,+1) (1.3)

e in�ne quelli che uniscono i primi vicini tra loro:

n1 =a√3

(0,+1) , n1 =a

2√

3

(−√

3,−1)

n1 =a

2√

3

(+√

3,−1). (1.4)

La scelta dei vettori primitivi, ponendo l'origine al centro dell'esagono, nonè unica, in quanto possono essere presi quelli che formano tra loro un angolodi 120◦ pittosto che 60◦. Inoltre la scelta dell'origine al centro dell'esagonopermette di avere una più alta simmetria rispetto al caso nel quale la si ponesu un sito atomicoMediante un tight binding a secondi vicini per gli orbitali 2pz si ottiene laseguente espressione per le bande π: [2]

E± (k) = ±t√

3 + f (k)− t′f (k) (1.5)

f (k) = 2 cos(√

3kya)

+ 4 cos

(√3

2kya

)cos

(3

2kxa

)(1.6)

1.2 Nanoribbons di Grafene: armchair e zigzag 3

(a) (b)

Figura 1.1: In (a) reticolo diretto del grafene con vettori primitivi a1 e a2,vettori di base b1 e b2 e vettori ai siti primi vicini n1 e n2. In (b) strutturadelle bande π per il grafene. In questo caso t

′non è nullo: ciò determina la

asimmetria delle bande intorno allo zero. In (b) viene rappresentata la primaBZ.

dove t è l'integrale di hopping tra primi vicini e t′è quello tra secondi vicini.

Se t′= 0 lo spettro è simmetrico intorno allo zero. Di particolare importanza

�sica sono i puntiK eK′della prima zona di Brillouin, detti punti di Dirac, in

un intorno dei quali espandendo la legge di dispersione ottenuta si ottiene unandamento lineare nel momento. In tali punti, inoltre, la forma delle bandeè localmente doppio conica e ivi si trova il livello di Fermi, cioè all'energiaE (k) = 0, dato che ogni atomo di carbonio possiede un elettrone nell'orbitale2pz.

1.2 Nanoribbons di Grafene: armchair e zigzag

Tagliando un cristallo di grafene lungo due direzioni parallele, che dista-no non più di una decina di nanometri, si ottiene un graphene nanoribbon.Tali nastri di grafene si di�erenziano in due tipi a seconda della forma delbordo che presenta il ribbon, infatti si possono avere zigzag nanoribbons oarmchair nanoribbons. Questi due tipi di bordi hanno una di�erenza di orien-tazione pari a 30◦ rispetto al foglio di grafene.Si de�nisce la larghezza del ribbon conW che è pari alla metà degli atomi pre-senti nella cella unitaria rettangolare. La costante reticolare è pari ad a perzigzag nanoribbons e

√3a per armchair nanoribbons; ciò implica che la prima

zona di Brillouin è rispettivamente [−π/a,+π/a] e [−π/√

3a,+π/√

3a].

4 Grafene e nanoribbons di grafene

Figura 1.2: Zigzag e armchair nanoribbons

Capitolo 2

Particella libera in due

dimensioni e livelli di Landau

2.1 DOS di elettrone libero in 2d

Si consideri un elettone libero in 2d di massa m e momento k, alloraquesto soddisfa la seguente equazione di Scrodinger stazionaria:

− }2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)ψk (r) = εkψk (r) . (2.1)

Le soluzioni di tale equazione agli autovalori sono:

εk =}2k2

2mψk (r) = eik · r. (2.2)

Quindi i valori che può assumere l'energia sono distribuiti in modo continuotra zero e in�nito, inoltre lo spettro di particella libera è rappresentato da unabanda parabolica. Imponendo le condizioni al contorno di Born-von Karmanlungo la direzione x e y: ψk (x+ L, y) = ψk (x, y) e ψk (x, y + L) = ψk (x, y)si sta richiedendo che la funzione d'onda ψk sia periodica lungo tali direzionicon periodo L. Quindi i valori del vettore d'onda k che realizzano questecondizioni sono:

kx = 0,±2π

L,±4π

L, ... ky = 0,±2π

L,±4π

L, ... (2.3)

allora kx = 2πnL

e lo stesso per ky, dove n ∈ Z. Per un sistema di N elettroniliberi gli orbitali occupati vengono rappresentati come punti in una sferade�nita nello spazio reciproco, dove l'energia di Fermi è l'energia che si ha

6 Particella libera in due dimensioni e livelli di Landau

alla super�cie di tale sfera, che si riduce ad una circonferenza nel caso 2-dimensionale in questione. La densità degli stati si ottiene tramite la seguenterelazione:

D (ε) =1

A

∑p,σ

δ

(ε− p2

2m

)=

2

A

∑p

δ

(ε− p2

2m

)(2.4)

dove si è considerato il fattore 2 dello spin e A è l'area del campione in esame.Ogni punto della circonferenza di Fermi occupa un area pari a

(2πL

)2quindi

la relazione si riduce a:

D (ε) = 2

∫dp

}2 (2π)2δ

(ε− p2

2m

)=

2

h22π

∫ ∞0

pδ

(ε− p2

2m

)dp (2.5)

de�nendo ora una nuova variabile: E = p2

2m, si ottiene che la DOS diventa :

D (ε) =4mπ

h2θ (ε) . (2.6)

Da tale espressione si deduce che la densità degli stati di una particella liberaè una costante.

2.2 Livelli di Landau per particella libera 2d

L'equazione di Scrodinger di una particella libera soggetta all'azione di uncampo magnetico B perpendicolare al piano può essere risolta sia scegliendola gauge di Landau che la gauge centrale. Lo spettro è discreto ed è quellodi un oscillatore armonico 2-dimensionale: εn = }ωc

(n+ 1

2

), dove ωc = eB

mc2

e in gauge di Landau le funzioni d'onda sono:

ψnk (x, y) ∝ eikxχn(y − l2k

)(2.7)

e quindi sono date da un'onda piana lungo x e da una gaussiana lungo y, inquanto χn è l'autostato n-esimo dell'oscillatore armonico unidimensionale, e

dove l =( }ceB

) 12 viene detta lunghezza magnetica. Ogni livello di Landau è

in�nitamente degenere in k e lungo la direzione x occupa un'area pari a 2πl2,quindi il numero di stati in ogni livello di Landau è: N = A

2πl2. Allora in

un sistema di N elettroni non interagenti il più basso livello di Landau saràpienamente occupato quando N = N .

Capitolo 3

Il metodo tight-binding per il

calcolo delle bande

3.1 Tight-binding: analisi teorica

Si considerino inizialmente due atomi neutri separati a distanza �nita esi osservino i cambiamenti nei livelli energetici di ciascun atomo quando ledue distribuzioni di carica atomiche si sovrappongono: da ciò si nota il fat-to che per ogni livello energetico di un atomo isolato si formano due livellienergetici. Quindi, estendendo tale procedimento al caso in cui si consideri-no N atomi, i quali vengono messi insieme a creare un cristallo, N orbitalisi formano per ciascuno degli orbitali atomici degli atomi isolati. Nel mo-mento nel quale gli N atomi sono messi assieme, l'interazione coulombianadivide i livelli energetici degli atomi isolati formando la struttura a bandedel cristallo. La modi�cazione dei livelli atomici diventa rilevante quando lospazio interatomico diventa comparabile alla lunghezza d'onda della funzioned'onda di tale livello, infatti in tali condizioni la sovrapposizione di tali fun-zioni degli atomi isolati è non trascurabile e un elettrone che si trova in talestato sente la presenza degli altri vicini che si trovano nel medesimo stato.Allora il metodo del tight-bindig si applica a quei casi nei quali l'overlap ditali funzioni d'onda determina delle modi�cazioni nei corrispondenti livellienergetici degli atomi isolati, ma non nei casi nei quali la descrizione atomicanon diventa più e�cace.Tale metodo è una tecnica semi-empirica, detto anche metodo LCAO a baseminimale, e si pre�gge lo scopo di determinare la struttura di banda di uncristallo partendo dalle funzioni d'onda degli elettroni quando gli atomi so-no isolati e gli stati di Bloch di singola particella nel cristallo, considerandoun orbitale atomico ben localizzato per ciascun atomo che tende a zero per

8 Il metodo tight-binding per il calcolo delle bande

distanze che superano la costante reticolare del cristallo in questione. Quin-di l'approccio adottato consiste nell'assunzione primaria che gli stati deglielettroni nel cristallo sono dati da combinazioni lineari degli orbitali atomicidegli atomi isolati: questo fatto si veri�ca prevalentemente in semiconduttorie isolanti piuttosto che in metalli dove gli elettroni sono liberi e si trattanogli stati di singola particella con onde piane.Considerato un cristallo, si prende l'hamiltoniana di un singolo atomo H =Hat+∆U , dove Hat è l'hamiltoniana dell'atomo in questione e ∆U racchiudetutte le di�erenze tra il potenziale nel cristallo e quello dell'atomo isolato equindi le correzioni al potenziale richieste per riprodurre il potenziale perio-dico. Si assume allora ragionevolmente che ∆U → 0 per r = 0, cioè al centrodi ogni atomo nel cristallo. Siano l un indice di cella e s un indice di base,la base LCAO è data dai seguenti orbitali atomici:

χls (r) = χls (r− rls) (3.1)

dove rls è il vettore che individua la posizione di un determinato atomo;inoltre tali orbitali atomici vengono presi ortonormali tra loro: 〈χl′s′ |χls〉 =δll′δss′ . Chiaramente questi orbitali non soddisfano il teorema di Bloch. Inol-tre sono autostati di Hat e decadono rapidamente allontandandosi dall'atomoin questione. Quindi da tale considerazione discende che l'integrale di overlaptra gli atomi localizzati in di�erenti posizioni, cioè tra atomi che non sono traloro primi o secondi vicini, assume valori bassi e allora si sta considerando unsistema nel quale gli elettroni interagiscono debolmente tra loro. La funzioned'onda approssimata è quindi data dalla seguente funzione di Bloch:

ψ(m)k (r) =

1√N

∑s

N∑l=1

c(m)s (k) eikrlsχls (r) (3.2)

dove si è preso un cristallo generico costituito da N celle e rls è il vettoreche individua un generico sito. L'indice di banda m verrà di seguito omesso.Quindi gli stati di singola particella in tale sistema sono funzioni di Blochψk che soddisfano l'equazione di Scrodinger stazionaria Hψk = εkψk, dove kè consistente con le condizioni al contorno periodiche di Born-von Karman.Tali funzioni rappresentano le funzioni d'onda di singolo elettrone, immerso inun potenziale periodico, il quale interagisce debolmente con gli altri elettronidel cristallo. Dal calcolo del valore di aspettazione dell'energia si ricava che:

〈ψk|H|ψk〉 =1

N

∑s,s′

N∑l,l′

cs (k) c∗s′ (k) eik · (rls−rl′s′ ) 〈χl′s′ |H|χls〉 (3.3)

3.1 Tight-binding: analisi teorica 9

dove χls (k) = χls (r− rls). Nei casi considerati successivamente si conside-rano nastri di grafene (armchair e zigzag) e si prende in esame la sola cellaunitaria, quindi tale espressione si riduce a:

〈ψk|H|ψk〉 =∑s,s′

cs (k) c∗s′ (k) eik · (rs−rs′ ) 〈χs′|H|χs〉 . (3.4)

Inoltre il modello col quale si calcolano le bande dei nastri di grafene sibasa su un tight-bindig a primi vicini, quindi nella espressione precedentesi trascurano tutti gli integrali eccetto quelli sullo stesso atomo e quelli traprimi vicini. Allora:

∫V

χs (r)Hχ∗s′ (r) dr =

α, se s = s'−t, se s e s' sono primi vicini0, altrimenti

. (3.5)

Ponendo successivamente

Hss′ (k) = e−ik · (rs′−rs)∫V

χs (r)Hχ∗s′ (r) dr (3.6)

dove tali valori sono quindi gli elementi di matrice della hamiltoniana inquestione e :

Sss′ (k) = e−ik · (rs′−rs)∫V

χs (r)χ∗s′ (r) dr (3.7)

si giunge alla seguente equazione:

εk 〈ψk|ψk〉 = εk∑s,s′

cs (k) c∗s′ (k)Sss′ (k) =∑s,s′

cs (k) c∗s′ (k)Hss′ (k) . (3.8)

Dal teorema variazionale si ha che il miglior set di coe�cienti dell'espansioneè dato da quelli che rendono minima l'energia. Quindi per trovare i coe�cientidi ψk (r) bisogna minimizzare il valore di aspettazione dell'energia del sistemarispetto ai coe�cienti dell'espansione. Quindi si deriva la seguente relazione:

εk =〈ψk|H|ψk〉〈ψk|ψk〉

=

∑s,s′cs (k) c∗s′ (k)Hss′ (k)∑

s,s′cs (k) c∗s′ (k)Sss′ (k)

(3.9)

Nella derivazione del valore medio dell'energia rispetto ai coe�cienti del-l'espansione, questi si trattano considerando i loro corrispondenti complessiconiugati come variabili indipendenti, quindi la derivata ∂εk

∂csnon ha e�etto su


c∗s′ . Derivando rispetto alla parte reale e immaginaria del coe�ciente c∗s′ (k)si ottiene il seguente problema agli autovalori:∑

s,s′

Hss′ (k) cs (k) = εk∑s,s′

cs (k)Sss′ (k) (3.10)

dove la matrice di overlap Sss′ (k) = δss′ . La derivazione rispetto a cs (k)restituisce una relazione perfettamente equivalente a quest'ultima. La 2.10si riduce alla equazione generalizzata agli autovalori:

H (k) c (k) = εkc (k) . (3.11)

Da ciò si deduce che per determinare le bande e i corrispondenti autovettorics (k), che sono i coe�cienti della funzione d'onda LCAO dell'elettrone nel-l'intero cristallo, è necessario diagonalizzare la matrice hamiltoniana H (k)per ogni valore di k all'interno della prima BZ. Nelle simulazioni successive siconsidera un sistema unidimensionale e si divide tale zona in intervalli �nitie per ognuno dei punti nei quali si suddivide la prima BZ si diagonalizza lamatrice hamiltoniana i cui elementi di matrice sono dati dalla relazione 3.6.Nel caso dei nastri di grafene (armchair e zigzag) si porrà α = 0 e nel caso delnitruro di boro esagonale gli elementi diagonali della matrice hamiltonianaassumeranno i valori ±∆ a seconda del sito in considerazione per realizzare lacon�gurazione del BN. Ciò determina, di conseguenza, l'apertura di un gapnelle bande, dove, a �ssato k l'energia cambia in modo discontinuo passandodalla banda di valenza a quella di conduzione dei due nanoribbons.

3.2 La sostiuzione di Peierls

Per introdurre un campo magnetico esterno B nel metodo tight-bindingsi parte dalla considerazione che in meccanica quantistica la presenza di unpotenziale vettore A si ripercuote sulla hamiltoniana totale del sistema:

H =p2

2m+ V (3.12)

cambiando il momento attraverso la relazione detta accoppiamento minimale:

p→ p +q

cA. (3.13)

Inoltre la presenza di un potenziale vettore modi�ca l'ampiezza di probabilitàa campo nullo che ha una particella, di carica q, di passare da un punto a ad

3.3 Il metodo delle �nestre di Parzen per il calcolo della DOS 11

un punto b attraverso la seguente relazione:

〈b|a〉A = 〈b|a〉0 eqcc}

∫ ba A · dl = 〈b|a〉0 e

−2iπφ0

∫ ba A · dl (3.14)

dove il quanto di �usso φ0 è pari a hce. Da ciò si deduce che gli elementi

di hopping della matrice hamiltoniana, in approssimazione tight-binding, diun cristallo in presenza di un campo magnetico B, si modi�cano attraversoquesto fattore di fase aggiuntivo:

t0ba → tba = t0bae−2iπφ0

∫ b=(x1,y1)

a=(x0,y0)A · dl (3.15)

dove si prende un percorso rettilineo di integrazione: tale trasformazionedegli hoppings viene detta sostituzione di Peierls. Di seguito si applica taleformula in presenza di un campo magnetico B uniforme e indipendente daltempo.

3.3 Il metodo delle �nestre di Parzen per il

calcolo della DOS

Il metodo delle �nestre di Parzen è una tecnica di interpolazione dati.Quindi, data una variabile casuale X (nel nostro caso l'energia), tale proce-dimento ci permette di determinare la densità di probabilità P (X) che de-scrive il campione in questione. Essenzialmente questo procedimento utilizzadei kernel centrati attorno a ciascun dato o osservazione xi che permettonola stima della densità di probabilità della variabile aleatoria X in questione:in questo modo ogni dato xi contribuisce alla stima della funzione densitàdi probabilità totale. C'è un altro modo di vedere questo metodo di stima.Si supponga di volere determinare la densità di probabilità in un punto x.Quindi si pone una �nestra in x e si determinano quanti dati xi cadono intale �nestra e quale sia il loro contributo. Formalmente si consideri un iper-cubo R centrato in x, sia h la lunghezza di un bordo di tale ipercubo, allorasi introduce la seguente funzione:

K

(x− xihn

)(3.16)

che è pari a 1 se la distanza del dato xi dal dato x è minore della larghezza

della �nestra h o nulla altrimenti, quindi:n∑i=1

K(x−xihn

)è pari al numero di

dati che cadono all'interno della �nestra. Di conseguenza il valore della den-


sità di probabilità relativo al dato x è data da tale somma dei contributi dellexi a questa �nestra diviso il numero di eventi e il volume totale dell'ipercuboin questione. Lo stimatore è quindi de�nito come:

P (x) =1

n

N∑i=1

1

hdK

(x− xihn

)(3.17)

dove K è la �nestra o il kernel in uno spazio d-dimensionale e tale che:∫R

K (x) dx = 1 (3.18)

e hn è il parametro che corrisponde alla larghezza del kernel, dove il suovalore è de�nito in base al numero n delle osservazioni. La funzione densitàdi probabilità gaussiana è il kernel usato in questo lavoro per la stima dellaP (x) . Quindi la relazione 2.16 diventa:

P (x) =1

n

N∑i=1

1(h√

2π)d e− 1

2(x−xih )2

(3.19)

dove h è la deviazione standard della gaussiana. Nel caso in questione siconsidera un sistema con d = 2 quindi:

P (x) =1

n

N∑i=1

1

(2πσ2)e−

12(x−xiσ )

2

. (3.20)

Nella simulazione e�ettuata, il metodo delle �nestre di Parzen è stato utilizza-to per calcolare la DOS dei nanoribbons. Quindi per ogni valore dell'energiaè stata applicata la relazione 2.19 e si è ottenuto il valore della densità deglistati per ognuna di queste. La varianza ottimale è stata ottenuta variandoil parametro σ2 partendo da valori alti, in corrispondenza dei quali la fun-zione stimatrice presentava delle irregolarità per poi via via diminuire �no aquando queste irregolarità scomparivano. Il valore migliore adottato è paria 0.009.

Capitolo 4

Computazione e analisi dati

4.1 Implementazione del metodo tight binding

Il calcolo delle bande per i due nastri si e�ettua con un tight-binding aprimi vicini dove si diagonalizza una matrice hamiltoniana 2W × 2W perognuno dei valori di k nei quali si suddivide la BZ, dove W è pari alla metàdegli atomi presenti nella cella unitaria che forma il nastro in questione. Ilmetodo per il calcolo degli elementi di matrice sfrutta l'individuazione diuna disposizione degli atomi che si ripete con periodicità lungo il nastro eche è diversa nei due di�erenti ribbons. La formula generale dalla quale siparte per determinare ciascuno degli elementi di matrice delle hamiltoniane inquestione è data dalla 3.6, dove la di�erenza tra i vettori posizione degli atomiprimi vicini è data dai vettori, riportati nella relazione 1.4, congiungentitali atomi. Per il nastro a zigzag il vettore d'onda k è stato preso paria (k, 0) in modo che l'hamiltoniana risulti simmetrica rispetto alla direzionelongitudinale del ribbon; per garantire questo fatto anche nel caso di armchairnanoribbon si è preso k = (0, k). Di seguito riporto le espressioni delle matricihamiltoniane per i due nastri nel caso nel quale α = 0 e in assenza di campomagnetico.

• Zigzag nanoribbons: la matrice hamiltoniana ha la seguente forma:

H(0) = −t

0 uu 0 1

1 0 uu 0 1

. . .

(4.1)

dove t è l'integrale di hopping tra primi vicini e u = 2 cos(k2a).

14 Computazione e analisi dati

• Armchair nanoribbons

H(0) = −t

0 p q∗

p∗ 0 0 qq 0 0 p∗ q

q∗ p 0 0 q∗

q∗ 0 0 p q∗

q p∗ 0 0 qq 0 0 p∗

q∗ p 0. . .

(4.2)

dove p (k) = e−i a√

3k e q (k) = e

−i a2√3k.

Sono state implementate queste due hamiltoniane in un programma scrittoin fortran e diagonalizzate attraverso la subroutine ZHEEVR della libreriaLAPACK. Il calcolo degli autovalori è stato quindi e�ettuato variando ilvettore d'onda k all'interno della prima zona di Brillouin dei due ribbons apassi regolari. Nei gra�ci k è stato normalizzato di un fattore π/a e π/

√3a

per zigzag e armchair nanoribbons rispettivamente e l'energia è stata scalatadi un fattore pari a −t. Gli autovalori sono stati usati per fare i plots dellebande nella prima BZ e successivamente per e�ettuare il calcolo della DOSattraverso il metodo delle �nestre di Parzen.

4.2 Primo caso: senza campo magnetico

4.2.1 Procedimento

Per aprire un gap nelle bande dei nanoribbons si è realizzato il caso del ni-truro di boro esagonale, il quale presenta la medesima struttura a nido d'ape

del grafene, ma con i due atomi della cella primitiva diversi. Il sistema si puòallora considerare come composto da due sottoreticoli di Bravais triangola-ri corrispondenti ai siti con energie denominate rispettivamente +∆ e −∆.Quindi sia i l'atomo i− esimo, per zigzag si hanno due casi:

• i ≡ 1 (mod 2), Hi,i = −∆

• i ≡ 0 (mod 2), Hi,i = +∆

mentre per armchair si hanno quattro casi possibili:

4.2 Primo caso: senza campo magnetico 15

• i ≡ 1 (mod 4), Hi,i = −∆

• i ≡ 2 (mod 4), Hi,i = +∆

• i ≡ 3 (mod 4), Hi,i = +∆

• i ≡ 0 (mod 4), Hi,i = −∆

Allora la forma delle due matrici hamiltoniane è la seguente:

• Zigzag nanoribbons

H(0) = −t

−∆ uu +∆ 1

1 −∆ uu +∆ 1

. . .

(4.3)


H(0) = −t

−∆ p q∗

p∗ +∆ 0 qq 0 +∆ p∗ q

q∗ p −∆ 0 q∗

q∗ 0 −∆ p q∗

q p∗ +∆ 0 qq 0 +∆ p∗

q∗ p −∆. . .

(4.4)

dove p (k) = e−i a√

3k e q (k) = e

−i a2√3k.

In tale situazione si rompe la centrosimmetria che si aveva col grafene, ciòdetermina l'apertura di un gap nelle bande. Quindi il BN è un isolante conun gap �nito variabile a secondo del valore assunto da ∆.Si è quindi proceduto al calcolo delle bande e della DOS inizialmente nel caso∆ = 0 e successivamente facendo variare tale parametro tenendo W �ssato.Tale modo di procedere ha permesso un confronto, a numero di atomi �ssato,della modi�ca della struttura delle bande partendo dal caso ∆ = 0.


4.2.2 Analisi delle bande e della DOS

Dai gra�ci delle bande ottenuti per ∆ = 0 (�gure dalla 5.1 alla 5.6) siosserva che gli armchair nanoribbons presentano un comportamento metallicosolo se W = 3M − 1, dove M è un intero e le bande si incontrano in k = 0;altrimenti sono semiconduttori. Per ribbons semiconduttori il gap diminuiscenel limite termodinamico (W −→∞), come si nota nel passaggio dalla �gura5.1 alla �gura 5.2 (dove rispettivamente si hanno le bande del ribbon con 14e 200 atomi), tendendo quindi al comportamento delle bande del grafene cheha un gap nullo. Inoltre si nota che per entrambi i ribbons il top della bandadi valenza e il bottom della banda di conduzione sono localizzati a k = 0.I zigzag nanoribbons, invece, sono sempre metallici e in questi le bande diconduzione e di valenza sono sempre degeneri al livello di Fermi in |k| = π/ae tale degenerazione non è originata dalla struttura delle bande del grafene,cioè non è dovuta a stati bulk. Come si nota passando dalla �gura 5.4 alla5.5 queste due bande centrali si appiattiscono all'aumentare di W �no a chela zona di contatto nel limite termodinamico comprende tutto l'intervallo23< |k|/π

a< 1. La densità degli stati per questi ribbons presenta quindi un

picco al livello di Fermi che, seppure nel limite W −→∞ non sparisce, si hache il rapporto tra il numero degli stati di queste bande e tutti gli altri va a 0riproducendo così il comportamento del grafene. Gli stati elettronici relativialle bande parzialmente piatte dei zigzag nanoribbons sono stati localizzativicino al bordo a zigzag: ciò si comprende analizzando la distribuzione dicarica relativa a questi stati degeneri.Successivamente si è proceduto con la diagonalizzazione della hamiltonianaper ogni k nella BZ, ponendo ∆ = 1. Dai gra�ci ottenuti della struttura dellebande e della DOS si osserva l'apertura del gap che si estende tra −1 e +1per armchair a centro zona(�gure 5.7 e 5.8), mentre per zigzag nanoribbonsi estende tra −1 e +1 a bordo zona(�gure da 5.9 e 5.10). Da tali gra�cisi ha inoltre che per armchair il gap raggiunge la sua estensione massima abordo zona, quindi aumenta partendo da k = 0 e dirigendosi a k = ± π√

3a;

mentre per zigzag si veri�ca il contrario: cioè il gap raggiunge la sua massimaestensione per k = 0 per poi diminuire andando a bordo zona, cioè a k = ±π

a.

Le corrispondenti DOS mostrano quindi che per energie comprese in taleintervallo la densità degli stati è nulla. Inoltre dal caso zigzag si nota che ledue bande che per ∆ = 0 erano degeneri al livello di Fermi ora si separano ein prossimità di tali bande, nel caso con 16 atomi, si hanno due picchi delladensità degli stati corrispondente e quindi il picco che si aveva per ∆ = 0 allivello di Fermi scompare aprendo il gap. Inoltre se si osserva la DOS della�gura 5.8 e 5.10 si ha che sul gap e lontano dal gap la densità degli stati ècostante. Tale fatto si spiega osservando le bande: sul gap e lontano dal gap

4.3 Secondo caso: con campo magnetico 17

si hanno bande paraboliche, quindi spettro di particella libera, allora, comesi nota dalla relazione 2.6, si ha che la densità degli stati di particella liberain 2d è costante. Da ciò si deduce che lo spettro sul bande edge e vicino algap è quello di particella libera e conseguentemente la DOS in tali regioniè piatta. Il picco che si nota nelle medesime �gure 5.8 e 5.10 corrisponde abande piatte, cioè con tangente orizzontale costante.

4.3 Secondo caso: con campo magnetico

4.3.1 Procedimento

Successivamente è stato inserito il campo magnetico, quindi gli elementidi matrice della hamiltoniana tight binding si modi�cano secondo la sosti-tuzione di Peierls dove il percorso di integrazione viene preso rettilineo. Ilcampo magnetico è stato scelto uniforme e perpendicolare al piano del ribbone il potenziale vettore A simmetrico per traslazioni nella direzione longitu-dinale del nastro considerato attraverso la scelta di una determinata gaugedi Landau. Il motivo di tali scelte ha come scopo avere una hamiltonianain campo magnetico con la stessa periodicità da cella a cella di quella incampo nullo: tale fatto permette quindi la scelta di una cella qualsiasi perla diagonalizzazione e permette, inoltre, l'applicabilità del teorema di Bloch.Il parametro attraverso il quale è stata regolata, caso per caso, l'intensitàdel campo magnetico è φ/φ0 dove φ è il �usso del campo magnetico attra-verso la cella primitiva e φ0 è il quanto di �usso elementare pari a hc/e.Quindi il caso in questione presenta un hopping tra primi vicini complesso(poichè gli elementi di matrice vengono moltiplicati per una fase data dallasostituzione di Peierls) e un hopping tra secondi vicini nullo (in quanto sirimane in approssimazione tight binding a primi vicini). Le fasi di Peierlsutilizzate sono state calcolate in [3]. Per avere una hamiltoniana simmetricarispetto a traslazioni lungo la direzione longitudinale dei due ribbons sonostate prese allora due di�erenti gauge di Landau: per zigzag nanoribbon ilcampo è B = (0, 0,−B) e quindi A (y) = (−By, 0), mentre nel caso arm-chair B = (0, 0, B) e A (x) = (0, Bx). Di seguito riporto le espressioni dellematrici hamiltoniane nei due casi:


• Zigzag nanoribbons: la matrice hamiltoniana ha la seguente forma:

H(0) = −t

−∆ v1v1 +∆ 1

1 −∆ v3v3 +∆ 1

1 −∆ v5. . .

(4.5)

dove vj = −2t cos(k2a− π

2j φφ0

)e φ =

√32a2B è il �usso attraverso una

cella primitiva.


H(0) = −t

−∆ pr∗1 q∗s2p∗r1 +∆ 0 qs∗2qs∗2 0 +∆ p∗r3 qs∗4

q∗s2 pr∗3 −∆ 0 q∗s4q∗s4 0 −∆ pr∗5 q∗s6

qs∗4 p∗r∗5 +∆ 0 qs∗6qs∗6 0 +∆ p∗r7

q∗s6 pr∗7 −∆. . .

(4.6)

dove rj (φ) = e−iπ

3j φφ0 e sj (φ) = e

−iπ6j φφ0 .

Come si è proceduto nel caso φ/φ0 = 0, partendo dalla con�gurazione ∆ = 0,si analizzano i ribbons facendo variare ∆, a numero di atomi �ssato.

4.3.2 Analisi delle bande e della DOS

Con l'accensione del campo magnetico si osservano bande piatte, quindisi ha la formazione dei livelli di Landau, e il centro di simmetria delle bandestesse da k = 0 si sposta a k maggiori. Tale spostamento è uguale, a parilarghezza del ribbon, quando si ha lo stesso valore del rapporto φ/φ0. Laformazione del livelli di Landau interessa particolarmente solo ribbons conuna larghezza elevata; infatti nel caso W = 8 non si osservano tali livellienergetici quantizzati, mentre nel casoW = 100 si ha una graduale comparsadi questi all'aumentare del rapporto φ/φ0. Tale comportamento è spiegatodal fatto che nel limite termodinamico lo spettro degli elettroni 2pz del ribbonsoggetti all'azione del campo magnetico B approssima sempre meglio quello

4.3 Secondo caso: con campo magnetico 19

di elettroni liberi in due dimensioni nel piano xy soggetti allo stesso campoperpendicolare al piano. La formazione di questi livelli quantizzati interessa,all'aumentare graduale del campo, inizialmente la parte centrale dello spettro(come si osserva in �gura 2.7 e 2.9), per poi estendersi a tutto questo. Inoltre,all'aumentare del rapporto φ/φ0, la DOS tra un livello e il successivo va azero formando dei veri e propri livelli quantizzati. Se si osserva come simodi�ca la struttura delle bande si nota che, sia nel caso armchair che nelcaso zigzag, si ha un graduale appiattimento di queste e in corrispondenzadi tali bande piatte, che corrispondo ai livelli di Landau, la DOS presenta ipicchi relativi a tali livelli energetici. Inoltre l'nergia dell'n-esimo livello diLandau nel grafene va come la

√n, questo non si ha nel caso successivo del

nitruro di boro esagonale in presenza di campo magetico.A questo punto si è posto ∆ = 1 per studiare i livelli di Landau nel caso delBN. Se si confrontano le DOS di ribbons a �ssato W e φ/φ0 con quelle con∆ = 0 si osserva, soprattutto nella con�gurazione di ribbon con 200 atomi,un in�ttimento di tali livelli per quelli vicini al gap e picchi laterali allostesso che corrispondo agli stati con energia in prossimità gap. La comparsadei livelli di Landau riguarda inizialmente i livelli con energia nell'intornodel gap e successivamente si estende anche ai lati dello spettro. Inoltre se siosservano le �gure dalla 5.14 alla 5.22 e dalla 5.26 alla 5.31, che rappresentanorispettivamente bande e densità degli stati di armchair e zigzag nanoribbonsin campo magnetico, con ∆ = 0 e con W = 100, e si confrontano conquelle dalla 5.34 alla 5.39 e dalla 5.43 alla 5.46, che rappresentano anch'esserispettivamente le bande e la DOS dei due nastri in campo magnetico con∆ = 1 e W = 100, si ha che nel primo caso i livelli di Landau iniziano primadei bordi dell'intervallo [−3, 3], mentre nel secondo caso iniziano fuori da taleintervallo. Tale fatto corrispone, nel caso nel quale ∆ = 1, ad un band edgemaggiore di quello che si ha in assenza di gap. Inoltre il fatto che in assenzadi campo sul gap e sul band edge lo spettro sia quello di quello di particellalibera, e quindi si ha una DOS costante, si estende al caso nel quale si accendeil campo magnetico, infatti sul gap e sul band edge i livelli di Landau sonoquelli di particella libera e quindi la spaziatura tra un livello ed un altro ècostante e maggiore della spaziatura tra i livelli che si ha tra il band edge eil gap, dove decresce passando dai bordi dello spettro a quelli del gap stesso,per poi aumentare in prossimità del gap. Nella zona in cui la spaziatura èminore non si hanno dei veri e propri livelli di energia quantizzati poichè laDOS tra un livello ed un altro non va a zero come nel caso di particella libera.

Capitolo 5

La matrice densità

5.1 Analisi teorica

Dato un cristallo con 2W siti, con un orbitale |χj〉 centrato su ognuno diquesti e tale che 〈χi|χj〉 = δij, si ha che gli orbitali molecolari sono dati dallaseguente espressione, de�nita a meno di una normalizzazione:

φ(m)k (x) ∝

2W∑s=1

N∑l=1

cms (k) eikxlsχls (x) . (5.1)

In tal espressione si stanno considerando le funzioni d'onda LCAO lungo ladirezione x, inoltre l è un'indice di cella, s di sito e m è un'indice di statoo di banda. Ci sono W vettori d'onda k e questi sono dati dalla seguenterelazione:

kj =2π

a

j

2W(5.2)

dove a è il passo reticolare e j = 0, 1, ..., 2W − 1. La matrice densità è datadalla somma dei proiettori sugli stati |φ(m)

k 〉 e sui k permessi:

ρ =2W−1∑k=0

2W∑m=1

n(m) |φ(m)k 〉〈φ

(m)k | (5.3)

dove n(m) rappresenta l'occupanza dell'orbitale |φ(m)k 〉. In questa analisi si

considera un sistema spinless, quindi n(m) = 1 ∀m occupato e n(m) = 0 perle bande non occupate. Quindi sostituendo nella espressione precedente la

22 La matrice densità

relazione 3.1 si ottiene:

ρ ∝2W−1∑k=0

2W∑m=1

n(m)

2W∑s,s′=1

N∑l,l′=1

c(m)s′ (k) c(m)∗

s (k) eik(xl′s′−xls)χl′s′ (x)χ∗ls (x) .

(5.4)

Gli elementi diagonali, per i quali 〈χl′s′ |χls〉 = δll′δss′ , rappresentano ladensità di carica degli orbitali π centrati su ogni sito, allora:

n (x) ∝2W−1∑k=0

2W∑m=1

n(m)

2W∑s=1

N∑l=1

∣∣c(m)s

∣∣2χ2ls (x) (5.5)

quindi prendendo orbitali atomici ortonormali e considerando la sola cellaunitaria, la densità lungo la direzione x del nastro diventa:

n (x) ∝2W−1∑k=0

2W∑m=1

n(m)

2W∑s=1

∣∣c(m)s

∣∣2. (5.6)

La costante di normalizzazione nella simulazione e�ettuata è stata determi-nata a �ne calcolo degli elementi diagonali della matrice densità.

5.2 Calcolo della densità di carica

Nella simulazione realizzata si sono considerati i due di�erenti nastri:armchair e zigzag del BN. Si ha quindi che questi ribbons sono composti da2W siti atomici e inoltre che questi sistemi sono half-�lling. Questa ultimaconstatazione deriva dal fatto che in tali sistemi c'è un elettrone per orbitale,quindi nel caso speciale ∆ = 0 la densità di carica verrà normalizzata inmodo che sui siti faccia 1/2 e in modo tale che nel caso ∆ 6= 0 la somma suanione e catione faccia 1 (un maggior contributo alla densità di carica si avràsul catione e uno minore sull'anione). Inoltre nel caso ∆ = 0 per gli statidegeneri al livello di Fermi, cioè quegli stati con energie che di�eriscono di10−8 tra loro, vengono occupati ciascuno con una occupanza pari ad 1/2. Nelcaso ∆ 6= 0, cioè nel caso del BN, non si presentano questi stati poichè c'è ilgap e quindi in tale con�gurazione non si è ricorso a questo procedimento.Nella realizzazione dei gra�ci della densità di carica si è partito considerandoil caso ∆ = 0. Sia per armchair che per zigzag nanoribbons il plot della den-sità di carica rispetto ai siti atomici presenta una densità di carica costantesu tutti i siti e normlizzata a 0.5, questo è in accordo con quanto ci si aspetta

5.2 Calcolo della densità di carica 23

nel caso del grafene. I plot fatti riguardano nastri da W = 100. Inoltre ladensità di carica è perfettamente simmetrica nei due nastri rispetto al centro,ciò è concorde col fatto che i due ribbons presentano tale simmetria. Succes-sivamente si è passati al caso ∆ 6= 0, cioè al caso del BN, nel quale non sipresentano stati degeneri al livello di Fermi poichè c'è il gap e quindi in talecon�gurazione non si è ricorso al procedimento dell'occupazione frazionaria.Dall'analisi della densità di carica dei due ribbons plottate in funzione deisiti atomici si osserva che: per zigzag nanoribbon la carica sui siti è circa 0.8sul catione e 0.2 sull'anione: ciò è concorde con la normalizzazione e�ettua-ta (�gura 5.49); per armchair come in zigzag, ma in questo caso si nota ladi�erente distribuzione di carica che si ha in questo nastro. Infatti si nota-no valori della densità disposti a coppie: ciò è concorde con la numerazionedei siti(�gura 2.1) poichè cationi e anioni si dispongono a coppie contiguenella numerazione stessa dei siti. La densità di armchair nanoribbon nel-la con�gurazione del BN è simmetrica rispetto alla metà del nastro, infattiqualsiasi larghezza si scelga esso è sempre simmetrico rispetto al centro. Nelcaso del zigzag nanoribbon nella con�gurazione del BN è polare per nastristretti, come per esempio nel caso W = 1 e W = 2, poichè è composto daun bordo tutto di anioni e uno tutto di cationi, quindi si ha la formazione diun dipolo estensivo netto non nullo. Il fatto che il nastro sia polare rompela simmetria della densità di carica che si ha con nastri larghi, in quantocon nastri stretti si hanno accumuli di carica positiva e negativa a formareil dipolo; con l'aumento della larghezza del nastro non c'è più polarità e ladistribuzione di carica è simmetrica rispetto al centro del nastro. Questi duefatti sono evidenti dall'analisi di nastri stretti sia per armchair che per zigzagnanoribbon: infatti se si osserva la �gura 5.50 nel caso W = 2 si nota che ladensità di carica non è più simmetrica come nel caso 100 e 200, e la caricapositiva è concentrata maggiormente sul sito 3 mentre quella negativa sulsito 2 determinando la formazione di un dipolo netto non nullo che puntadall'anione al catione, creando così la con�gurazione di nastro polare.

24 La matrice densità

Elenco delle �gure

1.1 In (a) reticolo diretto del grafene con vettori primitivi a1 e a2,vettori di base b1 e b2 e vettori ai siti primi vicini n1 e n2. In(b) struttura delle bande π per il grafene. In questo caso t

′

non è nullo: ciò determina la asimmetria delle bande intornoallo zero. In (b) viene rappresentata la prima BZ. . . . . . . . 3

1.2 Zigzag e armchair nanoribbons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.1 armchair con W = 7, ∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . . . 275.2 armchair con W = 8, ∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . . . 275.3 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo . . . . 275.4 zigzag con W = 8, ∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . . . . 285.5 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo . . . . . . 285.6 Spettro completo nel caso armchair e zigzag con W = 100 con

∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.7 armchair con W = 8, ∆ = 1 e campo nullo . . . . . . . . . . . 295.8 armchair con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo. . . . . . . . . . 295.9 zigzag con W = 8, ∆ = 1 e campo nullo . . . . . . . . . . . . 295.10 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo . . . . . . 305.11 armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . . . . 315.12 armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 . . . . . . . . . 315.13 armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . . 315.14 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000 . . . 325.15 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 3/1000 . . . 325.16 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 4/1000 . . . 325.17 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . . . 335.18 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 10/1000 . . 335.19 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 . . 335.20 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 20/1000 . . 345.21 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 25/1000 . . 345.22 armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000 . . 345.23 zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . . . . . 35

26 ELENCO DELLE FIGURE

5.24 zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 . . . . . . . . . . 355.25 zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . . . 355.26 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000 . . . . 365.27 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . 365.28 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 10/1000 . . . . 365.29 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 . . . . 375.30 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 20/1000 . . . . 375.31 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 25/1000 . . . . 375.32 armchair con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 1/1000 . . . . . . . . . . 385.33 armchair con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . . 385.34 armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 2/1000 . . . . . . . . 385.35 armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . . 395.36 armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 10/1000 . . . . . . . . 395.37 armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 20/1000 . . . . . . . . 395.38 armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 25/1000 . . . . . . . . 405.39 armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . 405.40 zigzag con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . . . . . 405.41 zigzag con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . . . 415.42 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 2/1000 . . . . 415.43 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . 415.44 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 10/1000 . . . . 425.45 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 20/1000 . . . . 425.46 zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 25/1000 . . . . 425.47 Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari

a 0 e 1 rispettivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.48 Densità di carica di armchair nanoribbon conW = 50 e 2, con

∆ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.49 Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari

a 0 e 1 rispettivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.50 Densità di carica zigzag nanoribbon con W = 50, 2 e 1, ∆ = 1 44

ELENCO DELLE FIGURE 27

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

E

k

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E

Figura 5.1: armchair con W = 7, ∆ = 0 e campo nullo

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E

Figura 5.3: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo


-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E

Figura 5.4: zigzag con W = 8, ∆ = 0 e campo nullo

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E

Figura 5.5: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

E

k

Figura 5.6: Spettro completo nel caso armchair e zigzag con W = 100 con∆ = 0 e campo nullo


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E

Figura 5.8: armchair con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E

Figura 5.9: zigzag con W = 8, ∆ = 1 e campo nullo


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E

Figura 5.10: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo


-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-3 -2 -1 0 1 2 3

E

k

Figura 5.11: armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-3 -2 -1 0 1 2 3

E

k


-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E



-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

E

k

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E

Figura 5.14: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E



-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E



-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E



-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1

E

k

0

50

100

150

200

250

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E

Figura 5.23: zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1

E

k

0

50

100

150

200

250

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E



-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E

Figura 5.26: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E



-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E


-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E



-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E


-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E



-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

-3 -2 -1 0 1 2 3

D(E

)

E


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D(E

)

E



-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

E

k


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

E

k


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E

k

0

50

100

150

200

250

300

350

400

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

E

k



0.494

0.496

0.498

0.5

0.502

0.504

0.506

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

densit

a'

sito

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

densit

a'

sito

Figura 5.47: Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari a0 e 1 rispettivamente

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

densit

a'

sito

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 1 2 3 4 5

densit

a'

sito

Figura 5.48: Densità di carica di armchair nanoribbon con W = 50 e 2, con∆ = 1

0.494

0.496

0.498

0.5

0.502

0.504

0.506

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

densit

a'

sito

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

densit

a'

sito

Figura 5.49: Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari a0 e 1 rispettivamente


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

densia

'

sito

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 1 2 3 4 5

densit

a'

sito

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

densit

a'

sito

Figura 5.50: Densità di carica zigzag nanoribbon con W = 50, 2 e 1, ∆ = 1

Bibliogra�a

[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V.Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Electric Field E�ect in Atomical-ly Thin Carbon Films, Science, vol. 306, 5696, 666-669, 2004, AmericanAssociation for the Advancement of Science

[2] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, and A. K.Geim, The electronic properties of graphene, Reviews of modern physics,81, 1, 109, 2009, APS

[3] M. D. Bò, Nastri di grafene: simulazioni con campo magnetico edisordine,unpublished

[4] P. R. Wallace, The Band Theory of Graphite, Physical Review, 71, 9,622, 1947, APS

[5] C. Kittel, Introduction to solid state physics, 2005, Wiley

[6] Ashcroft Neil W., Mermin N. David, Solid State Physics, SaundersPhiladelphia, 293, 1976

[7] R. Resta, Geometry and Topology in Electronic Structure Theory, Ap-punti del corso 'Geometria e Topologia in Struttura Elettronica' tenutopresso l'Università degli Studi di Trieste, 2015

[8] http://www.netlib.org/lapack/

[9] http://www.netlib.org/blas/

SPETTRI DI SISTEMI BIDIMENSIONALI IN CAMPO MAGNETICO Rinaldi.pdf · Corso di Laurea in Fisica ......

Documents

Transcript of SPETTRI DI SISTEMI BIDIMENSIONALI IN CAMPO MAGNETICO Rinaldi.pdf · Corso di Laurea in Fisica ......