Laureando Relatore

Giulio Iacobelli Francesco Martinelli

Università degli Studi di Roma

Tor Vergata

Facoltà di Ingegneria

Tesi di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi

Sistemi ibridi: stabilità ed applicazioni al controllo

SOMMARIOSOMMARIO

►Sistemi IbridiSistemi Ibridi►Sistemi SwitchedSistemi Switched►StabilitàStabilità►ControlloControllo►ConclusioniConclusioni

Sistemi di controllo del traffico aereo

Sistemi manifatturieri

Processi chimici

Sistemi ibridiSistemi ibridiDinamica continuaDinamica

discreta

Modelli matematici

► Perché introdurre un sistema ibrido ?

► Esiste un approccio formale ad analizzare i sistemi ibridi ?

► Quali sono i problemi associati a una dinamica ibrida ?

Dinamica continua

Dinamica discreta

Sistema di equazioni differenziali

Automa a stati finiti

0,,.

wxx

( L, A, E )

L il

A ia

E 1,, iii lal

Sistema ibrido

Diversi approcci

Comportamento discreto Sistemi continui coneventi di COMMUTAZIONE

Inv(l) X

Eventi di switching

Stato-dipendenti Tempo-dipendenti

Autonomi Controllati

Sistemi switchedSistemi switched

Stato-dipendenti

Tempo-dipendenti.

x

xf p= P

xf p xAp

= pA nnR

p

Segnale di switching

discontinuità tempi di switching

switching autonomo

Superfici di switching predeterminate

Legge che definisce sconosciuta

switching controllato Evoluzione del sistema regolata

σ : [0, ∞) → P

.

x =

xf t

.

x xf p=

t

StabilitàStabilitàChe cosa si intende per stabilità dei sistemi switched ?

Trovare le condizioni che garantiscono l’asintotica stabilità di un sistema switched per arbitrari segnali di switching

Se un sistema switched non è asintoticamente stabile per ogni segnale di switching, identificare quali segnali stabilizzano asintoticamente il sistema

Sconosciuto

Troppo complicato per essere utile all’analisi della stabilità

Se alcuni o tutti i sottosistemi sono asintoticamente stabili

Tutti i sottosistemi sono instabili

Stabilità di Lyapunov

(teorema di Lyapunov)

Stabilità sotto arbitrari switching

Asintotica stabilità Uniforme asintotica stabilità

Possibilità di estendere il teorema alla famiglia di sistemi switched

.

x = xf

.

x xf p= xfx

Vp

xW - P

Esistenza funzione di Lyapunov comune

GUAS

x

*x

se esiste V

txV.

= 0

(stabile)

(as. stabile)

p

Sistemi lineari switched

.

x x = A Asintotica stabilità = Hurwitz

stabilità pTp PAPA < 0

Esistenza di xV quadratica GUESQuadratica stabilità

xx 1

.

Axx 2

.

A1A 2A as.stabili

commutano

0, 122121 AAAAAA

,

GUES

xxxV TP

.

x = xf1

.

x = xf 2

a.s. 21 ,VV

itit tVtVii

1

,

( it , jt ), i < j it = jt

jp txV - ip txV ≤ - ip txW

p =

Stabilità sotto particolari switching

ControlloControlloSistema di controlloTempo continuo

controllore ControlloFeedback continuo

- ostacoli dello spazio di stato

- vincoli anolonomi

Ostacoli dello spazio di stato

.

x = xf = 0f

uxfx ,.

Legge feedbackcontinua

xku

Globale asintotica stabilizzazione

X non èsemplicemente connesso

0

0 punto di equiibrio as. stabile

Ostacolo proprietà topologiche di X

Locale as. stabilizzazione attraverso un feedback continuo sia impossibile

)( *xN Ostacolo è insito nel sistema di equazioni

Theorem (Brockett) uxfx ,.

xku origine puntoasintoticamentestabile

uxf , ux, )0,0(N )0(N

Vincolo anolonomo in un sistema

Robot mobilecos11

.

ux

sin12

.

ux

2

.

u

Vincolo di puro rotolamento

as. stabilizzazione veicolo nell’origine

Brockett violato Non può essere stabilizzato con un feedback continuo

Attraverso cambi di coordinate

ur .

rv.

vrz .

)0( r

La legge feedback

2ru zv

Il sistema diviene

2.

rr

r

z

.

rzz .

0

11

rttr

00 zetzt

dr

00 r 0, tztr

00 r Una legge di controllo che muova lo stato lontano da z

Risultati dell’implementazione mediante MATLAB

1.0

6

10

0

20

10

x

x

00 r

0

0

5

0

20

10

x

x

00 r

7.1

29

30

0

20

10

x

x

00 r

0

2

0

0

20

10

x

x

00 r

Conclusioni Conclusioni ► I sistemi ibridi che rappresentano un’interazione tra dinamica

continua e discreta e che hanno permesso di stabilizzare un sistema di controllo altrimenti non risolubile.

► Le considerazioni intorno alle due questioni fondamentali relative alla stabilità dei sistemi switched hanno consentito l’individuazione di condizioni necessarie e sufficienti alla stabilità dei sistemi stessi.

► L’implementazione di una legge di controllo a commutazione per la movimentazione di un veicolo con vincoli anolonomi.

► Come possibile sviluppo di questo lavoro si potrebbe ricercare un controllo ibrido che, oltre ad assicurare l’asintotica stabilità del veicolo, ponga dei vincoli sul numero di oscillazioni in modo tale da renderne più uniforme l’andamento asintotico e migliorarne così la stabilizzazione.