Sommario Matematica e interpretazione - Syllogismos Ermeneutica.pdf · Nota Gianni Vattimo che...

1

Matematica e Matematica e interpretazione (a)interpretazione (a)Una prospettiva ermeneuticaUna prospettiva ermeneutica

Giorgio T. BagniGiorgio T. BagniFacoltà di Scienze della FormazioneDipartimento di Matematica e InformaticaUniversità di [email protected]

UUNIVERSITASNIVERSITASSSTUDIORUMTUDIORUMUUTINENSISTINENSIS

Sommario Matematicae interpretazione

LogosCentralità del linguaggioIl circolo ermeneuticoDal circolo alla spiralePresupposizioniInterpretare la storiaUn aspetto didatticoL’introduzione delle serieRiflessioni conclusiveKultur, Zivilisation

L’essere che può venircompreso è il linguaggio

Hans-Georg Gadamer (1900-2002)scrisse (2000, p. 965): «l’essere chepuò venir compreso è linguaggio».E un’altra osservazione di Gadamer(2005, p. 155) è assai significativa:«Quando, insieme con Heidegger, imparai aleggere Aristotele, restai sconcertato nel vedereche la definizione classica dell’uomo non è“essere vivente che possiede ragione”(animal rationale), bensì “essere che halinguaggio”».

Linguaggi, strumenti, interpretazioneFin dai tempi più antichi l’uomo avrà individuato una figura “interessante”(un cerchio) ad esempio nella sezione di un tronco d’albero (un cilindro può rotolare facilmente).Oggi, i nostri allievi chiamati a tracciare una circonferenza possono usare sia il compasso…che, ad esempio, un(meno nobile) bicchiere.

Ma che differenza c’ètra l’uso del compassoe l’uso del bicchiere?

Linguaggi, strumenti, interpretazioneIl bicchiere è più facile da utilizzare, non si buca il foglio, si può usare la penna. Ma con un bicchiere si può tracciare una sola circonferenza (della quale peraltro non si identifica facilmente il centro).La principale differenza tra i due modi di procedere, e tra i due strumenti da utilizzare, è così riassumibile:il compasso “incorpora” la definizione euclidea di circonferenza,mentre accarezzando il bordo rotondo di un bicchiere possiamo solo percepire una curvatura “regolare”: il bicchiere, insomma, incorpora soltanto quella che si può definire, in un approccio elementare, una caratteristica (Chassapis, 1999).

Linguaggi, strumenti, interpretazione

Il compasso è un artefatto primario; ma non basta averlo in mano per disegnare un cerchio: si potrebbe usare un tale artefatto per scrivere, come se fosse una semplice matita, oppure in altri modi non significativi geometricamente.Un bicchiere vienein generale utilizzatonon per tracciare unacirconferenza, ma peraltri scopi (come faHans Georg Gadamerin questa foto).

2

Per utilizzare uno strumento bisogna conoscere (interpretare) le “istruzioni per l’uso”.Un artefatto secondario è indispensabile perchél’artefatto primario possa funzionare “bene”, dunque “esistere”, in particolare, come strumento.Nell’approccio strumentale di Pierre Rabardel(1995), per poter considerare un artefatto alla stregua di un vero e proprio “strumento” è necessaria infatti un’attività costruttiva da parte del soggetto, attivitàche dipende da vari aspetti concettuali e sociali.Anche una semplice figura va interpretata…

Linguaggi, strumenti, interpretazioneUn’osservazione fondamentale

Linguaggi da interpretare“Guardiamo” una figura…

Lo svedese Oscar Reutersvärd(1915-2002) disegnò la prima “figura impossibile” nel 1934…… e oggi è presente con le sue opere in molti dei più importanti musei di arte moderna. Reutersvärd affronta i temi dell’ambiguità percettivariprendendo la problematica spazio-temporale del Cubismoe l’iconografia medioevale,ricca di rappresentazioni a multipla lettura spaziale.


Osserviamo la figura qui sotto a sinistra: nessun problema nel percepire un insieme di cubetti…Ma se la figura fosse quella a destra (Opus 1)?


Se eliminiamo due cubetti da uno deitre lati, l’ambiguità si dissolve…


Possiamo ripetere l’operazione perun secondo lato…


… e infine per il terzo lato, sempreriuscendo a “suggerire” un’interpretazione tridimensionale chiara.

3


Ma se cerchiamodi “unire” le treletture…

?


Già queste considerazioni ci possonosuggerire che la stessa lettura di un’immaginerichiede una specifica attività interpretativa.L’opera esaminata diReutersvärd (Opus 1,1934) è stata peraltroripresa dal matematicoRoger Penrose neglianni Cinquanta…… e si collega al nastrodi Möbius (FerdinandMöbius, 1790-1868).



Comprensione… circolareFriedrich Schleiermacher (1768-1834)segnalò un «circolo apparente, per ilquale il particolare può comprendersisolo partendo dall’universale di cui èparte e viceversa».Scrisse inoltre (Hermeneutik, 144/455):«Partendo dall’inizio di un’opera e progredendo a poco a poco, la comprensione graduale di ogni singolo elemento e delle parti della totalità che a partire da essa si organizzano è sempre soltanto qualcosa di provvisorio. […] Solo che quanto più avanziamo tanto più tutto ciò che precede viene anche illuminato da ciò che segue».

Il circolo ermeneutico ela filosofia di Heidegger

Dunque, nota Matthias Jung, «apartire dal circolo chiuso si giungea una spirale aperta, costituita daripetuti cammini interpretativi chedevono essere sempre ritenutipassibili di una nuova revisione».Il problema fu ripreso in termini decisivi da MartinHeidegger (1889-1976) che determina la svolta grazie alla quale la comprensione non viene più ad essere orientata sul solo modello della spiegazione teoretica dei testi, bensì sullo stesso rapporto che gli esseri umani hanno con il mondo.


Heidegger in Essere e tempo scrive: «l’interpretazione deve sempre muoversi nel compreso e nutrirsi di esso [e] le regole più elementari della logica ci insegnano che il circolo è circulus vitiosus»; tuttavia se si riconosce nel circolo ermeneutico «un circolo vizioso e se si mira ad evitarlo o semplicemente lo si “sente”come un’irrimediabile imperfezione, si fraintende la comprensione da capo a fondo».Dunque una simile posizione sarebbe sbagliata e fuorviante: «l’importante non sta nell’uscir fuori dal circolo, ma nello starvi dentro nella maniera giusta».

4


Nel circolo «si nasconde una possibilità positiva del conoscere più originario, possibilità che è affermata in modo genuino solo se l’interpretazione ha compreso che il suo compito primo, durevole e ultimo è quello di non lasciarsi mai imporre pre-disponibilità, pre-veggenza e pre-cognizione dal caso o dalle opinioni comuni, ma di farle emergere dalle cose stesse, garantendosi così la scientificità del proprio tema».Nota Gianni Vattimo che «Nietzsche e Heidegger hanno modificato in modo sostanziale la nozione stessa del pensiero, per cui dopo di loro “pensare”assume un significato diverso da prima».

Dalle pre-supposizioni torniamoalla matematica

Queste considerazioni capovolgono una posizione talvolta assunta secondo la quale la presenza di una “pre-supposizione” va considerata negativamente, (come scarsa disponibilità ad una valutazione serena).Proprio le pre-supposizioni, conferma Giovanni Reale (nell’Introduzione a Verità e Metodo), sono invece«ciò che mette in moto il circolo; e la scientificitàdella ricerca si realizza nella misura in cui i pre-concetti vengono via via rinnovati e sostituiti nel corso del lavoro di interpretazione, […] sempre più in sintonia con l’oggetto che viene indagato».



Il ruolodella storia

Riflettiamo ora sul ruolo della storia e sulla sua importanza in relazione alla matematica.In generale, quando ci accostiamo ad un’opera “storica” (un capolavoro dell’arte di alcuni secoli fa ma anche un contenuto matematico antico) possiamo osservarla cercando di collocarla rigorosamente nel proprio periodo storico, ma anche leggerla con i nostri occhi (Vattimo cita «il rifiuto della “oggettività” come ideale della conoscenza storica»).La prima opzione, collegata all’atteggiamento dello storico “puro”, richiede tuttavia prudenza.


Sarebbe ad esempioconsigliabile tentaredi modellare i propri“concetti” su quellidel periodo in esame? Gadamer, sempre riferendosi al comportamento di uno storico, nota:«La sua ingenuità diventa davvero abissale quando egli comincia a rendersi conto della problematicitàdella sua posizione, e arriva per esempio a porre come principio che, nella comprensione storica, si debbano lasciar da parte le proprie idee, cercando di pensare secondo i concetti dell’epoca che si vuole conoscere».


L’ingenuità non derivasolo dall’insuccesso alquale tale scelta ècondannata:«La coscienza storica misconosce se stessa se, per comprendere, esclude dal gioco proprio ciò che rende possibile la comprensione. Pensare storicamentesignifica portare a compimento quella trasposizione che i concetti del passato subiscono quando noi cerchiamo di pensare in base ad essi. Il pensare storicamente comporta sempre costitutivamente una mediazione tra quei concetti e il proprio pensiero».

5


L’interpretazione nonci porta a conoscere il“vero significato” diun oggetto storico: untale “vero significato”, in assoluto, non esiste.La possibilità di vita di un’opera richiede che l’opera stessa venga eseguita, realizzata, usata, compresa: se «l’essere dell’opera d’arte è gioco che si compie solo con la fruizione da parte dello spettatore», in modo del tutto analogo, per un testo scritto, «solo nella comprensione si verifica la riconversione di una morta traccia di significato in senso vivo e concreto».

La matematicae l’indagine storica

Dunque l’«esperienza della tradizione storica […] comunica sempre una verità, della quale si tratta di partecipare».Trasferiamo tali considerazioni alla matematica e alla sua storia. Potremmo chiederci: ha senso tentare di individuare le “regole generali” che avrebbero determinato, nella Grecia classica come nel Rinascimento, sulle rive del Nilo come in India o in Cina, l’evoluzione della matematica?Forse sì, ma non è certo questo che ci porterà ad una vera comprensione delle matematiche greca, rinascimentale, egizia, indiana o cinese.

I contesti storico-culturaliOgni cultura ha determinato lo sviluppo della propria matematica: tentare l’omologazione di esperienze diverse sarebbe ingiustificato (e inutile); approcci storico-culturali (Luis Radford) ovvero antropologici ci chiedono invece di stabilire come i contesti culturali abbiano influenzato le esperienze matematiche.La collocazione di un’opera in un contesto ha un senso: ma non può ridursi al tentativo di riprodurre le caratteristiche di un periodo trascorso: con Gadamer, «l’essenza dello spirito storico non consiste nella restituzione del passato, ma nella mediazione, operata dal pensiero, con la vita presente».

Un primo esempio didattico:l’introduzione di un… “errore”

L’introduzione dei numeri immaginari, nella scuola secondaria, è un momento importante del curriculum.All’allievo, già a lungo bersagliato da regole che impediscono di estrarre la radice quadrata di un numero negativo, viene improvvisamente chiesto di accettare la presenza, nel proprio mondo matematico, di un “oggetto” nuovo, la preoccupante “radice quadrata di –1”, alla quale viene assegnata la denominazione i.Questa fase del percorso di apprendimento è delicatae può essere fonte di incoerenze nel pensiero degli studenti.

Uno sguardo alla storiaLe equazioni di terzo grado

La risoluzione delle equazioni di terzo (e quarto) grado viene ricondotta all’opera di due studiosi italiani del Rinascimento, Gerolamo Cardano, autore di Ars Magna (1545), e Nicolò Fontana, detto Tartaglia, che scrisse Quesiti et invenzioni diverse (1546).La contesa per la priorità dell’introduzione del procedimento è celebre; ma il primo a trovare una tecnica risolutiva fu probabilmente (1515) il bolognese Scipione del Ferro, il quale morì senza rendere pubblica la propria scoperta.Cardano, del Ferro e Tartaglia contribuirono, in modi diversi, alla messa a punto di tale procedimento.

Equazioni di III grado nel XV secolo:la poesia “algebrica” di Tartaglia

Quando che ’l cubo con le cose appressose agguaglia à qualche numero discretotrovan dui altri differenti in esso.Da poi terrai questo per consuetoche ’l lor produtto sempre sia ugualeal terzo cubo delle cose neto.El residuo poi suo generaledelli lor lati cubi ben sottrattivarrà la tua cosa principale.

x³+px = qp>0, q>0q = u–v

uv = (p/3)³

x = u v3 3−

Questa semplificazione è delicata

6

L’Algebradi Bombelli

La semplificazione dei radicali doppi fu studiata in alcuni casi particolari da Rafael Bombelli(1526-1573).Bombelli, bolognese (èstato trovato il certificato di battesimo a Borgo Panigale), pubblicò il proprio capolavoro, Algebra, nel 1572-1579.

“Più di meno” e “meno di meno”

Queste “regole” si trovano a pagina 179 di Algebra.Come le possiamo interpretare modernamente?

? ?× = –1

pdm = i mdm = –i

Un esempio di risoluzionealla Bombelli–Cardano

La risoluzione dell’equazione modernamente scritta:x3 = 15x+4

coinvolge la radice quadrata di (q/2)²–(p/3)³ = –121 e si conclude con la somma di radicali doppi:

Si prova quindi, sviluppando i cubi dei binomi, che èpossibile scrivere:

2+11i = (2+i)3 e 2–11i = (2–i)3

Dunque la soluzione reale (ovvero complessa con parte immaginaria nulla) dell’equazione proposta è:

x = (2+i) + (2–i) = 4


Questa è la risoluzione dell’equazione ora esaminata che si trova nell’Algebra di Bombelli, a p. 294.

x3 = 15x+4x3 = px+q

(q/2)²–(p/3)³ = –121

x = (2+i) + (2–i) = 4


… seguita (e confermata) dalle “costruzioni in linee”,sia tridimensionale,che bidimensionale.


Il procedimento precedente non si svolge interamente nell’ambito dei reali: il risultato ottenuto, tuttavia, èreale, come i coefficienti dell’equazione data.Una verifica della soluzione x = 4 nell’equazionex3 = 15x+4 (che porta all’identità: 43 = 15·4+4) è

dunque possibile senza uscire dall’ambito dei reali.Diversa sarebbe la situazione dell’equazione: x2 = –1. Il ruolo degli immaginari, qui, è rilevante: il risultato dell’equazione (a coefficienti reali) è non reale e la sua accettazione dopo una verifica diretta richiede la considerazione di numeri immaginari.

7

Dalla storia alladidattica della matematica

La risoluzione di un’equazione di terzo grado come quella vista può contribuire a far sì che gli allievi accettino la presenza degli immaginari. Una recente ricerca didattica sperimentale si è svolta in due fasi:nella prima fase sono stati esaminati 97 studenti diIII (16–17 anni) e di IV liceo scientifico (17–18 anni).Gli allievi conoscevano i procedimenti risolutivi di equazioni di II grado e di equazioni riconducibili ad equazioni di II grado mediante opportune posizioni, ma non i numeri immaginari.Agli studenti sono state sottoposte (una dopo l’altra, nell’ordine!) le schede, A e B, con due risoluzioni…

Scheda A

Scheda B


Soltanto il 2% del campione considerato ha affermato di accettare la risoluzione della scheda A (il 92% ha affermato di non accettarla; incerto il 6%).Immediatamente dopo, la risoluzione della scheda Bè stata accettata dal 54% degli allievi (il 35% ha affermato di non accettarla; incerto l’11%).Dunque la considerazione di quantità immaginarie nei passaggi del procedimento risolutivo di un’equazione, ma non nel risultato, è talvolta accettata dagli allievi.La considerazione riservata al risultato è diversa da quella riservata ai passaggi intermedi…

Scheda BScheda A


Il contratto didattico assegna notevole importanza alla determinazione dell’esatto risultato finale, e tale aspetto sembra far sì che nella stessa espressione del risultato dell’esercizio (la scrittura della soluzione dell’equazione) sia assai pesante l’influenza delle “regole” precedentemente fissate.Nei passaggi intermedi, invece, l’azione di regole e di proibizioni è meno coercitiva e una parte degli allievi si sente autorizzata a considerare non illecita la presenza di espressioni insolite e “rischiose”, dopo aver controllato la correttezza del risultato finale.

La seconda fasedella ricerca didattica

La seconda fase della ricerca didattica si è avvalsa dei risultati di un test proposto a 73 studenti di III (allievi di 16–17 anni) e di IV Liceo scientifico (allievi di 17–18 anni). Per quanto riguarda il programma svolto, essi erano nelle stesse condizioni in cui si trovavano gli studenti coinvolti nella ricerca precedentemente citata.A ciascun allievo sono state proposte le schede utilizzate nella prima fase della ricerca, ma in ordine inverso:prima la scheda B e poi la scheda A.


Prima scheda esaminata (B, relativa al III grado)Tipologia di risposte Allievi Percentuale“Accettabile” 30 41%“Non accettabile” 18 25%Incerti 25 34%Seconda scheda esaminata (A, relativa al II grado)Tipologia di risposte Allievi Percentuale“Accettabile” 13 18%“Non accettabile” 48 66%Incerti 12 16%


I dati sono analoghi a quelli ottenuti con riferimento alla scheda B sottoposta come secondo momento nella ricerca precedente (numerosi, sono però gli incerti).Dunque l’esplicita considerazione di un’equazione di II grado prima di un’equazione di III grado non ha influenzato in modo sensibile le idee degli allievi a proposito del possibile impiego della radice di –1.Del resto negli anni scolastici precedenti gli allievi si erano spesso trovati di fronte a situazioni analoghe; in tali casi (in presenza di radici quadrate con radicando negativo) la risoluzione veniva interrotta.

8


Dai risultati della scheda A appare che una parte diallievi (il 18% del totale) ha accettato la presenza di nell’equazione di secondo grado (esaminata dopoquella di terzo grado), mentre soltanto il 2% del campione aveva accettato tale presenza nella precedente esperienza.In particolare, interessante possono essere i dati:su 30 allievi che hanno risposto accettabile nella sc. Bnella sc. A 13 (43% su 30) hanno risposto accettabile

14 (47% su 30) hanno risposto non accett.3 (10% su 30) hanno dato risposte incerte

(o non hanno risposto)


I risultati del test ora effettuato sembrano indicare che un interessante percorso di apprendimento potrebbe aver avuto luogo in alcuni casi, sebbene la percentuale di tali allievi sia ancora bassa.Per qualche studente, l’accettazione della presenza di nell’equazione di terzo grado (scheda B, proposta per prima) potrebbe aver contribuito a costituire un atteggiamento mentale (per alcuni versi assimilabile ad una presupposizione) tale da indurre l’allievo stesso a ritenere accettabile la presenza di anche nell’equazione di terzo grado (scheda A, considerata successivamente).


Sono stati intervistati singolarmente i 14 studenti (11 della III e 3 della IV) che hanno accettato la risoluzione nella sc. B ma non quella nella sc. A:“perché accetti la presenza della radice di –1 nella sc. B e non accetti la presenza di nella sc. A?”10 allievi (71% su 14) hanno notato, in vari modi, che il risultato dell’equazione di terzo grado (scheda B) èreale, mentre quello dell’equazione di secondo grado (scheda A) non è reale;2 allievi hanno affermato di aver considerato gli esempi separatamente;2 allievi non hanno fornito giustificazioni.


Quanto emerso dalle interviste conferma che alle considerazioni degli studenti si affiancano e talvoltasi sovrappongono gli effetti determinati dalle clausole del contratto didattico.Assume un ruolo rilevante la constatazione seguente:la considerazione della radice di –1 come “numero”può non essere causa di difficoltà particolariTale constatazione è motivata: è significativo che la prima considerazione di come “numero” avvenga in un passaggio del procedimento risolutivo, nel caso di un’equazione di terzo grado a coefficienti reali e con una radice reale.


La constatazione precedente appare utile in quanto consente di trovare una radice di un’equazione di terzo grado proposta: proprio questa sua efficacia viene ad essere una “garanzia” della sua plausibilità.Possiamo considerarla una chiave interpretativa nuova, una sorta di presupposizione. Essa entra però in contrasto con un’ormai consolidata pratica didattica: alcuni allievi si limitano ad accettare la presenza della radice di –1 nel caso dell’equazione di terzo grado (quando “si semplifica”), mentre rifiutano di accettarla come “numero” vero e proprio nel caso dell’equazione di secondo grado.


In un certo senso possiamo dire che, nel caso in esame, la presupposizione non è sufficiente a garantire, da sola, il successo della strategia sulla quale potrebbe basarsi l’intero processo di insegnamento–apprendimento.Né ciò, a nostro avviso, può essere ritenuto il “compito” proprio di una presupposizione: essa infatti deve principalmente agevolare l’ingresso dello studente nel circolo ermeneutico.Altri processi (ad esempio collegati con l’attivitàdell’insegnante) favoriranno e determineranno un apprendimento completo e maturo.

Sommario Matematica e interpretazione - Syllogismos Ermeneutica.pdf · Nota Gianni Vattimo che...

Documents

Transcript of Sommario Matematica e interpretazione - Syllogismos Ermeneutica.pdf · Nota Gianni Vattimo che...