Compito di Algebra Lineare - Ingegneria Biomedica

16 gennaio 2017

IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usarecalcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si puo scrivere con illapis.A chi contravvenisse a queste disposizioni sara annullata la prova.

Parte II: avete 1 ora e 20 minuti di tempo per risolvere questi

due esercizi, che, se svolti perfettamente, con accurate spiegazioni,

valgono 14 punti l’uno, ai quali si aggiungeranno i punti ottenuti

nella Parte I (0,5 punti per ogni risposta corretta).

Esercizio 1. Sia V il sottospazio di R3 definito dall’equazione 2x + 5y = 0 esia W il sottospazio definito dall’equazione y + z = 0.

1. Si calcoli la dimensione di V \W ;

2. Si trovino una base ortonormale di V e una base ortonormale di W ;

3. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 ! R3 la cui matrice, rispetto allabase standard, e 0

@0 2 �30 � 4

565

1 2 2

1

A

Dimostrare che l’immagine di L coincide con il sottospazio V e dare unabase di Ker L.

Esercizio 2. Si consideri Rn munito del prodotto scalare standard.

1. Definire cosa e un insieme ortogonale di vettori.

2. Definire cosa e un endomorfismo L Rn ! Rn simmetrico.

3. Sia T : Rn ! Rn un endomorfismo. Supponiamo che T sia simmetrico esia � un autovalore di T . Dimostrare che � 2 R.

4. Sia Tk : R2 ! R2 l’endomorfismo la cui matrice, rispetto alla basestandard di R3 e al variare di k in R e la seguente:

[Tk] =

✓3 k

1 3

◆

Discutere la diagonalizzabilita di Tk al variare di k in R e trovare una basedi autovettori nel caso che k sia uguale a 4.

5. Fare un esempio di un endomorfismo simmetrico S : R2 ! R

2 la cui ma-trice, rispetto alla base standard non e diagonale, e che ha due autovalori,uno > 0 e uno < 0.

:

22

IR R

SOLUZIONI →

÷) Vnw I rlmltosyosiooli 1123 data oblk solution ' old

sisters

(2×+5 y = 0

yt Z = 0

che in forma matricide

e% left :L

Dunpinw=/z # Izek }=4m(Hit ) .

ha ohmennme 7.

2) V i il ottoymir oh' |R↳ owls oklleolusimi- Ii 2×+5 y

to, owmgme

v - hamlet ,lown

Vy VzLa bore me , vz I gpiaovtogomle ,

non I

onto normale.

Per were una base ortonomale considers - i

segment'i vettou ' oh'

normal :

Up.

= 1 = Vt" ml text

= Est - EE,

"

02 =

jrrt, ,

= Is = Vz = ( f )W e- I s .

panic oh' 423 lots oblle sohnwni oh'

ytz =o

hmm W= Len ( ( f ), (1) ) .

p in

Wy Wz

La box We , wz I avbrgonole .

Per were una bore

ortonoumrle connotes :

Ii Eta = w÷ = we - (d)k=Y÷u=÷n#=t£

- fz E.)3) Con senyliu

'

more di colonna si tram he

YML = km ( ( 8. ) , Ho ) )

Le moltqh 's d second methane per { homo che

Tmm L -

- Lem ( ( f ), Ey ) ) = V

.

A guest punt sohe own Tmn L = 2

, awmgne ,

vista che la ahmenmome old domino oh ' L I 3,

no che term Kerl = 1.

Basta che mohniolui un melt me to in Kel.

A ouhir motor che ( k ) e Ker L, dengue

Ku L = Gsm ( (E) ).

pla bone moat a

Genus

'÷) vehi Defensive 8.8 a pgma 128 delle Dispense .

2) vnli Defensive 9.2 ( e righeseguenti) a

tgma 136delle Dispense .

3) keoli la obmastmsiomeold Teonemr 9.3

aqagim 136 oklle Diyense

4) Calcalo il plinomir carakaustig

Filet ( tjsi; )=t→kr== t2 - Gt + 9 - K

.

A = 36 - 36 +4 k = 4k

Dwmgme se K e 0 mom a

'

sons raahici reali e

TK NON I ohiagonabsaohile .

Le k=o p,z=( t - 3 )2 woo ho

llautovolne 3 can moltyliata Igehin 2

Le K so ho owe automobni abstnti

Xy = Gift e tz = 6-zV=inguests cos Tk I ohagpmbssolile puhi

entrant fi autovoloi homo moltqliutaolgehica 1

( e dengue uguolealla moltyliati geometric)

.

Reota ok stnolinerl ooo K=O.

Colds la moltyhata geometrics owl ' autmolore 3,

ossia own Vz ftmdh & Tohe Testa ai z . It

y= ru ((3

, ;) - C 3030D==

ken ( ;;)Dungme own Vg = 1 e moltytiuta form < moltalg.

Allan To non i ohagonolnsdile .

Nel cop K=4 colds umlose oh ' antonetti

per Ty .

gliantonolmi son ty = 5 e he 1

us = ru ( ( 3,34 ) . stony = ru ( I ii )

tmm Vs = Lgmf } ) )

v,

= ku ( ( 3,43 ) - to:D = ky :! )

hmm V,

= Lpm ( ( I ) ) .

Allon ( } ), ( I ) I una box oh wtmettni gate

5) Considering llenabmofusmo ' S royyvsentato

myelto alla box standard oblla mortice

C ii )( one ni neale I svmmetrig

.

Fining lieserasiosensor fare colcah '

e renter

colcdone fi automaton '

:*?a- che 5 I ohhgonobmshle perchi I summetnio;

owmgme rnyetly al una box oh ' automaton '

msi

mince

fon;D

Vistache un continent . oh ' bone non cambia il

determinants,

olene Valere

-3 = out ( Yi ) = let ( ton%) = hike

Dwmgme dy to,

tzt 0 a ty e tz tenons

Were

segni oyymti, come richest.

*NOT A :

gun'

ni ptnebhe an he

afoceolhe calblanat tourney

gli autonobni.

Tl folks fonabmentale kamungmeI che

ai vohm un olet e O.

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