SOLIDI PLATONICI, MOSAICI E FIOCCHI DI NEVE

Simmetrie e Immagine nella Scienza

D o c u m e n t o r e a l i z z a t o d a :

Mauro Carfora e Annalisa Marzuoli

(Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica, Università degli Studi di Pavia.)

Introduzione

L'idea di considerare forme geometriche con particolari simmetrie come oggetti fondamentali nella visione del mondo risale agli albori della civiltà umana. Spazio e movimento rivestono un'importanza fondamentale nella cultura di tutte le popolazioni primitive, e l'attrazione che hanno sempre suscitato decorazioni periodiche e ripetitive di pareti e pavimenti è probabilmente legata a meccanismi evolutivi e percettivi complessi e ancora non ben compresi. E sicuramente alcuni di questi meccanismi giustificano l'interesse che molti di noi, talvolta inconsciamente, provano verso giochi, puzzles e opere d'arte che si basino su relazioni simmetriche di forme geometriche: chi non ricorda il Cubo di Rubik, o le opere di C.M. Escher? Tuttavia, ciò che in questo contesto consideriamo veramente appagante dal punto di vista estetico coincide spesso col fatto che la simmetria, resa manifesta in una qualche forma, non è spinta fino alla perfezione. È probabilmente questo contrasto, che inconsciamente motiva il nostro appagamento nell'osservare o un fenomeno fisico o un'opera d'arte. In questo senso il venir meno della simmetria (o, parafrasando il linguaggio della Fisica teorica, la rottura di una simmetria) si dimostra cruciale sia nella realizzazione di un'opera d'arte che nella scienza, nella fisica in particolare. Un esempio familiare è costituito dai modelli più o meno simmetrici delle strutture cristalline. Un esempio più sofisticato è fornito dall'importanza che le rotture di simmetrie (più complicate in realtà di quelle di cui ci occuperemo qui) hanno nella fisica delle particelle elementari e nella comprensione di fenomeni quali il magnetismo, la superconduttività, le transizioni di fase. È proprio questa rottura della simmetria a rappresentare la dinamica e il cambiamento. In un certo senso i nostri modelli mentali reagiscono a quello che è un aspetto tipico delle proprietà termodinamiche di un sistema: la simmetria non è dominante, ma qualche caratteristica alla fine rompe sempre ogni simmetria macroscopica, anche se non necessariamente in maniera caotica.

Poligoni e simmetrie del piano

L'essenza del ruolo della simmetria nella Scienza e il fascino visivo dell'immagine nelle sue realizzazioni scientifiche, sono ben descritti dal ruolo dei poligoni regolari in connessione con la realizzazione delle simmetrie rotazionali nel piano. È facile convincersi che le rotazioni

finite nel piano sono descritte da rotazioni di un angolo , con n intero. Le figure più semplici che possiedono questo tipo di simmetrie sono i poligoni regolari: il triangolo equilatero, il quadrato,

il pentagono, e così via. Il fatto che per ogni esista un gruppo di simmetrie rotazionali del piano implica che per ogni

esistano poligoni regolari con n lati. Questa è una proprietà assolutamente non banale della geometria piana, che a noi sembra un fatto scontato tanto è pervasiva la sua utilizzazione nella vita quotidiana: non riflettiamo molto sull'aspetto del pavimento che calpestiamo o sul gioco complicato delle tessere di un mosaico. A questo livello la natura profonda della simmetrie geometriche, anche se in fondo non compresa, era forse più apprezzata nell'antichità. È questo un fatto molto probabilmente dovuto al ruolo della filosofia neoplatonica nel Rinascimento, o comunque alla profonda considerazione in cui era tenuto il ruolo delle simmetrie del mondo naturale. Un ordine che l'Uomo non poteva non rispettare. Per esempio, Leonardo di fatto classificò i gruppi finiti di rotazioni del piano nel tentativo di determinare sistematicamente le possibili piante simmetriche di un edificio in maniera tale che l'aggiunta di cappelle e nicchie non distruggesse la simmetria del nucleo centrale.

Alcuni Poligoni Regolari

I Solidi Platonici

Nell'antichità classica il ruolo della simmetria come principio ispiratore nella concezione del mondo fisico veniva accentuato dalla rarità di figure solide simmetriche analoghe ai poligoni regolari. Mentre infatti nel piano abbiamo un'infinità numerabile di poligoni regolari corrispondenti alle rotazioni finite, nello spazio tridimensionale si possono realizzare soltanto cinque poliedri regolari: il Cubo, il Tetraedro, l' Ottaedro, il Dodecaedro, e l' Isocosaedro. Questi poliedri regolari sono tradizionalmente chiamati Solidi Platonici per il ruolo fondamentale che giocano nella cosmogonia elaborata da Platone. In realtà negli Elementi di Euclide (libro XIII), si puntualizza che l'attribuzione a Platone della scoperta di questi poliedri regolari è inesatta. Il cubo, la piramide (il tetraedro) e il dodecaedro vengono attribuiti ai Pitagorici, mentre la scoperta dell' ottaedro e dell' icosaedro viene fatta risalire a Theaetetus. Di fatto, l'esistenza del cubo, del tetraedro, e dell'ottaedro non sorprende più di tanto data la particolare semplicità di queste figure. Ben diverso è il caso del dodecaedro e dell'icosaedro. Nel bacino culturale greco, la scoperta del dodecaedro può esser fatta risalire al fatto che nella Magna Grecia (in Sicilia, in particolare) si rinvenivano con facilità bellissimi cristalli di pirite di questa forma. Si tratta di cristalli quasi perfettamente dodecaedrici, (ma non esattamente: le facce pentagonali dei cristalli di pirite hanno solo 4 lati uguali, come del resto è previsto dalle leggi fisiche della cristallografia classica). In ogni caso è significativo che oggetti scolpiti in forma di dodecaedro regolare, databili intorno al VI sec.A.C., siano stati rinvenuti in vari siti archeologici italiani.

Platone nel suo dialogo, Timeo, associa il tetraedro, l'ottaedro, il cubo, e l'icosaedro rispettivamente a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco, aria, terra, e acqua. Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene per gli altri poliedri citati), veniva invece associato all'immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza. Questa identificazione suggerisce un'immagine di perfezione che indubbiamente nasce anche dal fatto che il dodecaedro, in volume, approssima più degli altri poliedri regolari la sfera. Un'idea, quest'ultima, già sfruttata da Platone nel dialogo Fedone e sviluppata poi ampiamente nella cosmologia Tolemaico-Aristotelica. È istruttivo riportare alcuni passi dal Timeo; essi rappresentano certamente uno dei più suggestivi paradigmi dell'immagine nella scienza:

...Assegniamo alla terra la forma cubica: infatti fra i quattro generi la terra è il più immobile e il più plastico dei corpi: ed è assolutamente necessario che sia risultato così quello che ha ricevuto le basi più solide; ma, fra i triangoli postulati da principio, è per natura più solida la base formata da lati uguali rispetto a quella formata da lati disuguali. All'acqua attribuiremo invece la forma meno mobile fra le rimanenti, quella più mobile al fuoco, quella intermedia all'aria; e il corpo più piccolo al fuoco, il più grande all'acqua, quello intermedio all'aria; e il più acuto al fuoco, il successivo all'aria e il terzo all'acqua. Tutte queste forme occorre pensarle così piccole da risultare invisibili a noi, ognuna di esse in ciascun genere, a causa della loro esiguità; quando invece se ne aggregano molte, la loro massa risulta visibile. Quanto ai rapporti numerici riguardanti la quantità, i movimenti e le altre loro proprietà, il dio li ha realizzati in tutti i casi in modo esatto e li ha armonizzati matematicamente nella misura in

cui la natura della necessità si lasciava persuadere e piegare s p o n t a n e a m e n t e . In base a tutto ciò che abbiamo detto sui generi, ecco come potrebbero stare verosimilmente le cose. La terra, incontrando il fuoco e dissolta dalla sua acutezza, se ne va via, dissolvendosi nel fuoco stesso oppure nella massa dell'aria o dell'acqua, finché le sue particelle si incontrano in qualche luogo e di nuovo si aggregano; e allora rinasce la terra, dato che essa non potrebbe passare in nessun'altra specie. L'acqua disgregata dal fuoco o anche dall'aria, può ricostituirsi e diventare un solo corpo di fuoco e due di aria. Le particelle dell'aria, se perdono la loro unità, possono diventare due corpi di fuoco. E, al contrario, quando una piccola quantità di fuoco si trova circondata da molta acqua o da molta terra, muovendosi fra elementi mobili a loro volta, combattendo e risultando vinta, viene fatta a pezzi, e due corpi di fuoco si aggregano a c o m p o r r e u n ' u n i c a f o r m a d i a r i a .

La fortuna dei solidi Platonici nell'immaginario scientifico della cultura occidentale è stata enorme, ed è forse connessa ad un punto di vista filosofico che riteneva di poter penetrare profondamente nei segreti della creazione guardando a questi simulacri euclidei del mondo delle idee di Platone. Arte e Scienza si mescolano in maniera profonda, Piero della Francesca scrive il Libellus de quinque corporibus regularibus, e Luca Pacioli ne dà una versione in volgare nel De divina Proportione (di fatto Vasari, nelle sue Vite, accusa Pacioli di plagio!), commissionando 60 tavole a Leonardo da Vinci con lo scopo di illustrare le possibili variazioni dei poliedri regolari semplici. L'idea che ispira un tale progetto è di una singolare modernità nel senso che si vuole sostenere (siamo alla fine del XV secolo!), contro i pregiudizi umanistici, come la scienza non sia solo astrazione o pura tecnica ma anche arte liberale. Keplero, noto ai più per il suo contributo fondamentale all'astronomia, diede un non meno fondamentale contributo sia alla teoria delle tessellazioni del piano, sia allo sviluppo della teoria dei solidi Platonici ( Harmonice mundi 1619). Questi due ruoli di Keplero si fondono poi singolarmente nel suo tentativo (Mysterium cosmographicum) di attribuire le regolarità del sistema planetario alle p r o p r i e t à d e i s o l i d i p l a t o n i c i .

Come avviene per i poligoni nel piano, la regolarità dei solidi platonici è strettamente legata alle proprietà di simmetria dello spazio fisico. I gruppi finiti di rotazioni associati alle simmetrie dei poliedri regolari costituiscono il punto di partenza di molti campi di ricerca estremamente attivi nella matematica e nella fisica teorica moderna. Si va dallo studio della classificazione di tutte le geometrie tridimensionali possibili, allo studio dei metodi di quantizzazione del campo gravitazionale tramite l'utilizzo di poliedri generati incollando un numero enormemente grande di tetraedri. La dinamica di insiemi di poligoni ha applicazioni importanti nella fisica delle superficie e nella teoria delle stringhe. Vale la pena osservare che in tutti questi casi la dinamica nasce dalla competizione fra ordine e rottura di simmetria: l'antico paradigma si ripete, forse ad un livello più sofisticato, ma sostanzialmente simile a quello che ha ispirato gli antichi filosofi della natura.

I Cinque Solidi Platonici: Tetraedro, Esaedro, Ottaedro, Icosaedro, Dodecaedro.

Tessellazioni del piano

Ma torniamo al nostro filo conduttore, le simmetrie del piano. Consideriamo in particolare il problema antico e affascinante delle pavimentazioni di una superficie piana (il termine tecnico è quello di tessellazione piana). Le tessere più usate a tal scopo sono alcuni dei poligoni regolari a noi più familiari: triangoli equilateri, quadrati, ed esagoni. Ne risultano pavimentazioni semplici e molto simmetriche, e forse per questo poco attraenti esteticamente, a meno che le tessere non vengano decorate in maniera particolare (rottura della simmetria!) Il problema delle pavimentazioni acquista un fascino particolare se si usano come tessere due figure piane non regolari note come kite (aquilone) and

dart (dardo) . Con queste mattonelle fondamentali Roger Penrose è riuscito a costruire una pavimentazione del piano che non si ripete simile a se stessa in maniera regolare ad intervalli interi come avviene per le usuali pavimentazioni. Il numero che pervade questa particolare tesselazione piana è la sezione aurea, ovvero la divina proporzione di Luca Pacioli, legata alla simmetria pentagonale, (che succede se si prova a p a v i m e n t a r e u n p i a n o c o n p e n t a g o n i r e g o l a r i ? )

In realtà esistono infiniti modi distinti per pavimentare un piano con darts e kites, nessuna di queste pavimentazioni è periodica, e quello che colpisce è il gioco fra ordine apparente e asimmetrie inaspettate. Passeggiando in una stanza pavimentata à la Penrose, avremmo la possibilità di incontrare, più o meno a caso, qualsiasi possibile disposizione delle due tessere utilizzate: un pavimento affascinante! Ma ancora più affascinante, in questa immagine di conflitto fra simmetria e asimmetria, èconstatare come la struttura non periodica associata alle pavimentazioni di Penrose sia di realizzata da strutture cristalline esistenti in natura. Siccome le unità atomiche che formano i cristalli si devono disporre in modo regolare così da riempire completamente lo spazio, strutture non periodiche erano quasi dogmaticamente escluse dalla cristallografia classica. Si immagini quindi la sorpresa negli ambienti scientifici alla scoperta di cristalli (di alluminio e manganese), con simmetria pentagonale alla Penrose: piccoli inaspettati fiocchi di neve a c i n q u e p u n t e . . . .

Castorp fece un passo avanti per farne cadere alcuni sulla manica e osservarli con la competenza dello studioso dilettante. Sembravano straccetti informi, ma più di una volta egli ne aveva visti attraverso la sua buona lente e sapeva benissimo di che gioielli graziosamente regolari erano composti, di oggetti preziosi, stelle cavalleresche, fermagli di brillanti, che più ricchi e minuziosi non avrebbe saputo creare neanche il più coscienzioso gioielliere,... anzi quel bianco polverio, lieve e soffice, che ammassato gravava sul bosco e copriva la landa, e sul quale lo portavano le sue assicelle, era pur diverso dalla natia rena marina, alla quale faceva pensare: questi non erano, si sa, granelli di sasso, bensì miriadi di particelle d'acqua congelate e variamente cristallizzate - particelle della sostanza inorganica che fa sbocciare anche il plasma della vita, il corpo dei vegetali e dell'uomo - e tra quelle miriadi di stelline magiche nella loro minuta e segreta magnificenza, inaccessibile e d'altronde neanche destinati al nudo occhio umano, non ce n'era una che fosse uguale all'altra; una illimitata gioia d'inventare si manifestava nella variazione e nella finissima elaborazione di uno stesso invariabile schema, quello dell'esagono equilatero-equiangolo; ma in se stesso ciascuno di quei freddi prodotti era di una simmetria assoluta, di una gelida regolarità, anzi questo era il loro lato inquietante, antiorganico, ostile alla vita; erano troppo regolari, la sostanza organizzata per vivere non lo è mai fino a tal punto, la vita aborre la precisione esatta, la considera letale, come l'enigma della morte stessa, e Castorp credette di intuire perché i costruttori di templi antichi abbiano introdotto di nascosto piccole divergenze nella simmetria dei l o r o o r d i n i d i c o l o n n e . (T h om a s M an n L a M on t ag n a In c an t at a e d. Co r ba c ci o , 19 9 2).

Una tessellazione del piano

Una tessellazione di Penrose

Un esempio di coppia Dart-Kite

I cinque Solidi Platonici

"...E li platonici assomigliano quattro solidi regulari a questi quattro elementi [Aria, Acqua, Terra, Fuoco. N.d.A.], et il quinto al Cielo...Il

Dodecaedro al Cielo perchè come il cielo è più ampio di tutti gli elementi, et abbraccia ogni cosa, così il Dodecaedro è il più grande de cinque solidi chiusi intra una spera, et può circoscrivere ogn'uno de l ' a l t r i , c o m e H y p s i c l e d e m o s t r a n e l l i A n a p h o r i c i . . . " . Così si esprime il matematico e filosofo Francesco Maurolico (1494-1575) nella sua 'Cosmographia' trattando dei Solidi Platonici. Ma perché un solido regolare come un Dodecaedro veniva assimilato all'intero Universo? Perchè in antico ci si era già resi conto di quanto fossero rare figure solide dotate di simmetria, comparabili con i poligoni regolari della g e o m e t r i a p i a n a . Solo cinque sono i poliedri regolari che la geometria solida offriva a chi cercava strette analogie tra il mondo delle idee, l'universo m a t e m a t i c o e l ' U n i v e r s o f i s i c o . Anche se Euclide, nel XII libro della sua opera 'Elementi' , si mostra di opinione contraria, è a Platone che viene attribuita la scoperta - base della sua cosmogonia - dei solidi simmetrici che da lui hanno appunto preso il nome: il Cubo, il Tetraedro, l'Ottaedro, il Dodecaedro e l ' I c o s a e d r o . "... E prima di tutto, che Fuoco e Terra e Acqua e Aria siano corpi, è chiaro ad ognuno. Ma ogni specie di corpo ha anche profondità...Restava una quinta combinazione (dopo aver esaminato la composizione 'geometrica' degli altri solidi regolari - N.d.A.) e Dio se ne giovò per decorare l'Universo", scrive Platone nel Timeo (XX, 55) associando la "quinta combinazione" - il Dodecaedro - all'intero Creato o ad una sorta di etere c h e d o v r e b b e p e r v a d e r l o t u t t o . Enorme fu la fortuna che questi cinque 'Solidi Platonici' trovarono nella cultura occidentale. Piero della Francesca ne trattò nel suo 'Libellus de quinque corporibus regolaribus' e il grande matematico Luca Pacioli affrontò l'argomento delle cinque figure solide regolari e della loro corrispondenza con alcuni elementi della Natura nel suo 'De Divina Proportione'. Senza dimenticare ovviamente Keplero e le due sue opere 'Harmoniae mundi', del 1619, e 'Mysterium Cosmographicum' di poco posteriore, opera nella quale si sforza di 'giustificare' i movimenti dei pianeti con le caratteristiche geometriche dei 'Solidi Platonici' : "...La Terra è la sfera che misura tutte le altre. Circoscrivi ad essa un Dodecaedro: la sfera che lo comprende sarà Marte. Circoscrivi a Marte un Tetraedro: la sfera che lo comprende sarà Giove. Circoscrivi a Giove un cubo: la sfera che lo comprende sarà Saturno...", e così via. I solidi geometrici regolari, i 'Solidi Platonici' - ma soprattutto il nostro Dodecaedro - assursero quindi a modello matematico per cercare un collegamento tra Macrocosmo e Microcosmo, poichè le idee che si avevano sull'infinitamennte grande si riflettevano, in alcuni casi, nell'infinitamente piccolo (o meglio, in quello che allora era considerato tale!), soprattutto in alcune manifestazione del 'Regno Minerale'. Per quanto riguarda il Dodecaedro, estremamente interessante appare infatti - al fine di poter avanzare qualche plausibile ipotesi, nell'ottica sopra esposta, riguardo il reperto di Tongeren - il constatare come nella Magna Grecia, soprattutto in Sicilia, fossero stati rinvenuti molti cristalli di Pirite con struttura quasi perfettamente dodecaedrica. Cristalli a cui ci si potrebbe essere ispirati per aver conferma della stretta corrispondenza tra 'ciò che è in alto' e 'ciò che è in basso'. L'enigmatica "Iron Pillar", Delhi (India), alta sette metri, ha un diametro di circa quaranta centimetri e venne realizzata in ferro purissimo, ma in un epoca talmente remota da rappresentare un reale mistero per la metallurgia antica. Infatti non arruginisce.E ancor più

interessante appare l'aver rinvenuto in alcuni siti archeologici italiani oggetti in forma dodecaedrica, databili al VI secolo a.C.

Riferimenti Bibliografici:

H. Weyl: Symmetry, Princeton University Press (1952) B. Grunbaum, G.C. Shephard : Tilings and Patterns, Freeman co. (New York)

(1987). Luca Pacioli: De Divina Proportione, Fac-simile dall'opera conservata alla Biblioteca Ambrosiana di Milano, (Silvana Editoriale, Milano)

Platone: Timæus, (Versione di Marsilio Ficino) Lovanio (1550) T . M a n n : L a M o n t a g n a I n c a n t a t a , e d . C o r b a c c i o ( 1 9 9 2 ) .