Sistemi di riferimento

▪ Sistema di riferimento solidale con la terra

(coordinate dei punti sulla terra non variano nel tempo - a meno di deformazioni - movimenti placche tettoniche)

non inerziale:

i moti della terra

▫ rotazione diurna, ▫ precessione-nutazione, ▫ moto del polo – asse di rotazione non fisso rispetto alla terra, ▫ moto orbitale

danno luogo a forze apparenti es.: accelerazione centrifuga ra 2ω= distanza dall’asse di rotazione

km6000max ≅r (all’equatore)

510*3.7 −≅ω (1 giro in 86400sec) 22 m/sec10*3 −≅a (la gravità è )

2m/sec10≅

▪ Sistema inerziale

definito in base ad osservazioni astronomiche usato per il calcolo delle orbite dei satelliti artificiali

Sistemi di riferimento terrestri

Direzione della verticale Campo della gravità (+ accelerazione centrifuga)

• campo centrale 3rkM rg −=

2m/sec8.9||terra≅Rg

[distribuzione di massa a simmetria sferica] superfici equipotenziali sferiche concentriche

• campo di gravità terrestre

- distribuzione di massa irregolare ⇓

o variazione irregolare del vettore gravità sulla superficie terrestre o irregolarità delle superfici equipotenziali

Misure di latitudine e longitudine astronomica

A causa delle irregolarità, da queste misure non è possibile ricavare con precisione relazioni spaziali fra i punti di stazione

Geoide Superficie equipotenziale a livello degli oceani (approssimativamente) ortogonale alla verticale approssimato con ellissoide biassiale (a simmetria rotazionale) Parametri geometrici a semiasse maggiore (raggio equatoriale)

abaf −

= (schiacciamento), oppure 2

222

abae −

=

150/1 ; 300/1 ; km6378 2 ≅≅≅ efa • Ondulazione del geoide:

separazione geoide-ellissoide <100m • Deviazione della verticale:

angolo fra verticale (normale al geoide) e normale all’ellissoide

dipendono non solo dalla forma geometrica, ma anche dal posizionamento e all’orientazione dell’ellissoide rispetto al geoide

HNh +=

altezza ondulazione altezza ellissoidica del geoide sul geoide

(livello del mare) dato un ellissoide, corrispondenza (quasi) biunivoca

),,(),,( hzyx λϕ↔ latitudine longitudine

Posizionamento e orientazione dell’ellissoide

▪ coordinate astronomiche di un punto ),( ΛΦ

sul geoide 0P ▪ punto sull’ellissoide 0Q

orientazione della normale in : 0Q Φ=ϕ ▪ geoide ed ellissoide tangenti 00 QP ≡

(normale=verticale) ▪ asse di simmetria dell’ellissoide parallelo

all’asse di rotazione della terra ▪ Λ=λ (si fissa il meridiano di riferimento) Posizionamento 3-D di un punto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΛΦ

coord.astronomiche + H altezza sul geoide

oppure

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λϕ

coord.geodetiche + altezza sull’ellissoide h

Sistema di riferimento nazionale (Roma40)

Ellissoide internazionale (Hayford, 1924)

32 10*722670022.6 , m6378388 −== eaorientato a Monte Mario

EN "4.08'2712 , "51.25'5541 00 == λϕ Longitudini misurate da Monte Mario Sistema di riferimento europeo (ED50 – European Datum) Ellissoide internazionale “con orientamento medio europeo”

coordinate di M.Mario in ED50 : EN "93.10'2712,"49.31'5541 00 == λϕ

Ellissoide biassiale

Coordinate cartesiane in un sistema di assi con origine nel centro di simmetria, asse z lungo l’asse di simmetria, asse x nel piano del meridiano di riferimento per le longitudini (Greenwich)

ϕϕλϕϕλϕϕ

sin))1)(((sincos))((coscos))((

2 heNzhNyhNx

+−=+=+=

),( λϕ direzione della normale all’ellissoide

NOTA la normale all’ellissoide incontra l’asse di simmetria, ma non nel centro

2/122 )sin1()( −−= ϕϕ eaN

)(φN

φ

Trasformazioni inverse

0 , 0 arctan

0 , 0 arctan

0 arctan

><+

<<−

>

=

yxxy

yxxy

xxy

π

πλ

ϕ formula chiusa complicata, oppure

determinazione numerica ricorsiva

Trasporto di coordinate

▪ In linea di principio

collimazione di P da P0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

zenitale angolo azimut

distanza

coord. Polari componenti del vettore → 0PP

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

hzyx

zyx

hϕλ

ϕλ

0

0

0

0

0

0

sistema locale

↓ rototraslazione

sistema globale (ellissoide)

Trasporto di coordinate

▪ In pratica

reti geodetiche Trasporto di coord. geodetiche (planimetriche)

↓ misure → lunghezze e azimut → coord. geodetiche di archi di geodetica

↓ arco sull’ellissoide di lunghezza minima

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

→≈

→≈

sferica appross. 70km)-60(

geodetico campo

piana appross. 10km)(

co topograficampo

per coord. planimetriche

Rotazioni attorno agli assi cartesiani x y z

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 1000cossin-0sincos

cos0sin

010sin0cos

cossin0sincos0

001γγγγ

ββ

ββ

αααα

(in verso antiorario visti dal semiasse positivo di rotazione per 0,, >γβα )

▪ rotazioni attorno ad assi diversi non commutano

NOTA: vzyx RRR

↑

l’ordine delle rotazioni è da destra a sinistra (ossia nell’ordine in cui sono applicate al vettore)

Rotazioni infinitesime al I ordine ααα ≅≅ sin 1cos

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

1000101

10010

01

1010

001γ

γ

β

β

αα zyx RRR

al I ordine ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

11

1

αβαγβγ

zyx RRR

le rotazioni commutano

Roto-traslazione con variazione di scala

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

RRIwvu

zyx

Rwvu

wvu

00

0

0

0

0

0

0

))(( δδλλλ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

RRzyx

Rzyx

Rwvu

00000

0

0

0

ord.) I (al δλδλλ

Per semplicità si pone IR == 00 , 1λ

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

zyx

wvu

zyx

wvu

00

0

0

0

0

αβαγβγ

δλ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

δλ

γ

β

α

0

0

0

0

00

100010001 w

v

u

zyx

xyxz

yz

zyx

Composizione di rotazioni attorno agli assi Date 2 terne di assi cartesiani di orientazione relativa arbitraria, per sovrapporre la prima alla seconda

■ rotazione attorno a in modo che 1z 1xcoincida con la proiezione di su 2z 11 yx

)(1 λzR (antioraria se 0>λ )

■ rotazione attorno a in modo che 1y

si sovrapponga a 1z 2z )2

(2 ϕπ−yR

■ rotazione attorno a 21 zz ≡ in modo che 1xsi sovrapponga a , a . 2x 1y 2y

)2

(3 απ−zR (α = azimut : angolo con la direzione del nord )

πα 20 <≤ , in verso orario

La direzione di è individuata da 2z

x2 y1

z1z2

x1 y2

ϕ angolo col piano , 11 yx 2/2/ πϕπ ≤≤− λ angolo della proiezione ortogonale di su con , 2z 11 yx 1x

πλπ ≤<−

Esempio: roto-traslazione da sistema globale a sistema locale

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

nel sistema globale (“geocentrico”)

origine del sistema locale:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

0

0

0

00 :

zyx

Pλϕ

coordinate di P0 nel sistema globale: traslazione

↓

orientazione della normale alla sup. di riferimento

- per la sfera è la direzione radiale

Orientazione del sistema locale

asse z in dir. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

0

λϕ

asse x verso E piano xy tangente alla sup.di rif. asse y verso N

Determinazione di grandezze geodetiche (fig.10)

Si misurano

▪ distanze rettilinee d ▪ angoli zenitali z , z’ Si vogliono ottenere

▪ distanze (curvilinee) sull’ellissoide ▪ dislivelli Calcoli in approssimazione sferica

Determinazione di grandezze geodetiche – distanze (fig.10)

αRs =

Misurando z e z’

ππππα −+=−−−−= ')'()( zzzz

Misurando z e d

)sin( arctan oror zdd

hRd

=+∆−

=α

risulta

zRd

Rh

zdscos1

sin

++=

↓ riporta a quota 0

Determinazione di grandezze geodetiche – dislivelli (fig.10)

)'sin()'()sin()( zhRzhR −+=−+ ππ ↓

z−+πα

⇓

)2

cot()1('Rsz

Rh

shh m −+≅−

↓ ↓ porta piccole in quota correzioni

Dislivelli (livellazione geometrica)

'' BBAAhAB −=∆ Livello : cannocchiale

messo in stazione con asse orizzontale

per mezzo di una livella toroidale

Lettura su stadie graduate Strumento nel mezzo : si compensano

- errori di rifrazione atmosferica - difetti costruttivi (asse ottico non parallelo al supporto della livella)

Altezza ortometrica (sul geoide)

livellazione geometrica

↓ non parallelismo delle superfici equipotenziali altezza ortometrica

Differenze di potenziale HgW δδ −= determinazione delle differenze di potenziale lungo un profilo

↓ livellazione geometrica + misura di g Correzioni ortometriche della livellazione

tengono conto delle densità di massa fra geoide e superficie terrestre

Raggio di curvatura

)(srr = s = ascissa curvilinea

dsdr

=τr versore tangente

nRds

d 1=

τr raggio di curvatura 0>R

normale principale =n

θddsR =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θθ

sincos

dsdr

sdsd

dsd δδθ

θθ

δ 2

2

cossin rr

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

sdsd

dsd δδθδ 2

2rr==

δθδs

dsd

R ==

2

2

1r

Curve geodetiche

)(srr = arco di curva su superficie 0),,( =zyxf

fcdsd

∇=2

2r

Geodetiche su una sup. di rotazione

costsin =αρ =ρ distanza dall’asse di rotazione =α azimut della tangente

raggi di curvatura delle sezioni normali (con azimut α )

NMRαα

α

22 sincos1+=

2/122 )sin1( −−= ϕeaN

2/3222 )sin1)(1( −−−= ϕeeaM