Sistemi di riferimento

• Si definisce sistema di riferimento qualsiasi corpo ‘rigido’ (la cui forma e dimen-sioni non variano nel tempo) che per convenzione viene assunto come immobile.

• Il sistema di riferimento è un sistema fisico formato da corpi rigidamente connessi

Esempi di Sistemi di Riferimento

• La Terra. E la scelta più ovvia per descrivere il moto sulla superficie del nostro pianeta.Nella fisica aristotelica e nel sistema dell'universo tolemaico era considerato l'unico sistema valido

• Il sistema eliocentrico. È il ‘corpo rigido’ costituito dal Sole e dalle stelle fisse.

Proposto da Copernico e il riferimento più conveniente per descrivere il moto dei corpi nel sistema solare.

• La mia automobile. Personalmente lo trovo un eccellente sistema di riferimento.

Sistema di coordinate

• Un Sistema di Coordinate è uno schema geometrico per individuare un punto P, rispetto al Sistema di Riferimento adottato, mediante uno o più numeri reali che prendono il nome di coordinate.

Esempi di sistema di coordinate

• Un'autostrada è un Sistema di Riferimento per il quale il chilometraggio è il sistema di coordinate (per esempio, l'area di servizio Pinco Pallino si trova al Km 37.400).

• In generale, nel moto a una dimensione, l'ascissa curvilinea sulla traiettoria è l'unica coordinata necessaria.

• Le coordinate geografiche, latitudine e longitudine,

individuano la posizione di un punto sulla superficie della Terra. In generale, per individuare un punto su una superficie, occorrono due coordinate.

• Per individuare un punto nello spazio occorrono tre coordinate.

Sistema di Riferimento eSistema di coordinate sono completamente differenti

La scelta di un sistema di riferimento determina cosa si osserva, la scelta del sistema di coordinate determina come si descrive ciò che si osserva

Coordinate nel pianoCoordinate nel piano

• Coordinate cartesiane

y

O

y

• P(x,y)

x x

Coordinate nel pianoCoordinate nel piano

• Coordinate polari

y

O

y

• P(r,θ)

x x

r

θ

cos

sin

x r

y r

2 2

arctan

r x y

y

x

Coordinate nello spazioCoordinate nello spazio• Coordinate cartesiane

•Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da tre rette orientate non coincidenti passanti per un punto che è l'origine delle rette.). Quando i tre assi sono fra loro ortogonali il sistema di riferimento si dice ortogonale o rettangolare.

Il punto P è individuato dalla terna di coordinate cartesiane (x,y,z)

x

y

z

x

r y

z

r

Vettore posizione

CoordinateCoordinate nello spazio nello spazio

Il punto P è individuato dalla terna ( dove:

raggio vettore distanza zenitale azimut

La terna () è legato alla terna (x, y, z) dalle seguenti espressioni:

x= sen cos y= sen sen z= cos

• Coordinate sferiche

Moto nel piano

P(t)●

●Ω s(t)

( )s t P

x

y

O x

y

( )( )

( )

x tr t

y t

( )r t

Traiettoria

Ascissa curvilinea

Vettore posizione Coordinata x

Moto nel piano

O

P(t1)P(t2) P(t3)

P(t4)

1( )r t

2( )r t

3( )r t

4( )r t

r

1r

2r

3r

Vettori posizione

Vettori spostament

o

Spostamento totale

“Somma” di spostamenti

1r 2r

3r

r

1 2 3r r r r

Gli spostamenti sono grandezze

vettoriali

Vettori• Le grandezze fisiche che

hanno proprietà simili a quelle degli spostamenti si chiamano grandezze vettoriali o vettori

• I vettori sono caratterizzati da modulo, direzione e verso

Modulo Direzione

Verso

Grandezze vettoriali

• Esempi di grandezze vettoriali sono:

• Spostamento

• Velocità

• Accelerazione

• Forza

• Quantità di moto

• Momento angolare

• Velocità angolare

• ……

Notazione per un vettore

• Il vettore si indica mettendo una freccia sul simbolo della grandezza fisica (o usando il carattere grassetto)

va

F

Esempi: vettore velocità vettore accelerazione Vettore forza

Componenti cartesiane di un vettore

Le componenti non hanno la freccia!

a

ax

ay

x

y | | cos

| | sinx

y

a aa

a a

φ|a| sinφ

|a| cosφ

Modulo del vettore in componenti cartesiane

a

ax

ay

x

y

x

y

aa

a

2 2| | x ya a a

Modulo del vettore

Il modulo di un vettore si scrive o tra barre verticali o, in casi particolari (g, r, ), con il simbolo senza la freccia

Scalari e vettori• Il modulo del vettore spostamento è

uguale alla distanza tra i due punti

12| |r d

P1

P2

La distanza tra due punti ha un valore che non dipende dalla orientazione del sistema di assi cartesiani

Ogni grandezza fisica il cui valore non dipende dalla orientazione degli assi cartesiani si dice scalare

Le quantità scalari si indicano con il simbolo senza la freccia

La distanza tra due punti è una quantità scalare

Il modulo di un vettore è una quantità scalare.

Scalari e vettori

• Le componenti di un vettore non sono quantità scalari né sono vettori!

• Esse cambiano in una rotazione degli assi cartesiani secondo la legge “ortogonale”

'

'

cos sin

sin cos

x x x y

y y x y

a a a a

a a a a

Gli assi x’ e y’ sono ruotati di un angolo θ in senso antiorario rispetto agli assi x e y.

Definizione alternativa di vettore: una grandezza fisica è vettoriale se e solo se può essere definita da due (o più) componenti, che in una rotazione del sistema di assi cartesiani si trasformano in modo “ortogonale”

Operazioni con i vettori

1. Somma

2. Moltiplicazione per uno scalare

3. Combinazione lineare

4. Prodotto scalare

5. Prodotto vettoriale

1)

2)

3)

4)

5)

c a b

c a

c a b

s a b

c a b

Il risultato di queste operazione è o un

vettore o uno scalare

Operazioni con i vettori in termini delle componenti

1)

2)

3)

4)

5)

x x

y y

z z

x

y

z

x x

y y

z z

x x y y z z

y z z y

z x x z

x y y x

a b

c a b a b

a b

a

c a a

a

a b

c a b a b

a b

s a b a b a b a b

a b a b

c a b a b a b

a b a b

Operazioni con i vettori• Le operazioni indicate nella diapositiva

precedente sono le sole operazioni definibili sui vettori

• I risultati di queste operazioni sono o scalari o vettori

• Così, per esempio, è impossibile introdurre il rapporto tra vettori

x

x

y

y

a

baabb

ERRORE!

ax/bx e ay/by sono due quantità che non si trasformano con la legge ortogonale in una rotazione del sistema di riferimento.

ax/bx e ay/by non sono né scalari né le

componenti di un vettore

Prodotti scalare e vettoriale in termini di angolo e moduli

| || | cos

| | | || | sin

a b a b

a b a b

α

b

ab sinα

ab cosα

a ba