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Serve ancora la logica?

Gabriele Lolli

Scuola Normale Superiore di Pisa

Gabriele Lolli (SNS) Serve ancora la logica? 1 / 23

“Che pensi? Ma pensi?”

Se viceversa, http://www2.polito.it/didattica/polymath/

Matematica 2004: La matematica per il cittadino

(su iniziativa del MIUR, UMI, Soc. It. Stat.), Pubblicazioni del MIUR,Tipografia Franzoso, Lugo di Romagna, 2006,tema “Argomentare, congetturare, dimostrare”.

In occasione di situazioni didattiche di revisione e approfondimento,si potra mettere l’accento sul significato logico-matematico di dizioniquali “esiste”, “e vero”.

In quanti modi si puo dire “esiste”

∃n(2 + n = 3)

Risposta: sı

n = 1

∃n(2 + n = 3)

Risposta: sı

n = 1

∃n(2 + n = 3)

Risposta: sı

n = 1

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

∃n(m + n = q) definizione di m ≤ q

3 > 2, m + n ≥ m, proprieta transitiva

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominio

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominio

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominio

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominio

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominio

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominio

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominio

∃n(3 + n = 2)

Risposta: no

Perche?

3 > 2

Risposta: sı

x = −1

in un altro dominioGabriele Lolli (SNS) Serve ancora la logica? 4 / 23

∃x(x razionale ∧ x =√

2)

Risposta: no, perche ne seguirebbe una contraddizione.

Ma esiste o non esiste?

Esiste se non ci sono contraddizioni tra i numeri interi.

Che strano concetto di esistenza.

Vuol solo dire che non lo sappiamo?

2)

Esiste un triangolo equilatero?

Risposta sı: Euclide I,1

A BA BA B

A B

A BA B

A B

A BA B

∃x(x2 − x− 1 = 0)

Risposta: sı

esiste con la formula

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,

quindi

x =1±√

52

∃x(x2 − x− 1 = 0)

Risposta: sı

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,

quindi

x =1±√

52

∃x(x2 − x− 1 = 0)

Risposta: sı

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,

quindi

x =1±√

52

∃x(x2 − x + 1 = 0)

Risposta: sı

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,

quindi

x =1±√−3

2,

oops, no, non esiste.

∃x(x2 − x + 1 = 0)

Risposta: sı

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,

quindi

x =1±√−3

2,

∃x(x2 − x + 1 = 0)

Risposta: sı

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,

quindi

x =1±√−3

2,

∃x(x2 − x + 1 = 0)

Risposta: sı

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,

quindi

x =1±√−3

2,

∃x(x2 − x + 1 = 0)

Risposta: sı

in un altro dominio

R. Musil, I Turbamenti del giovane Torless , 1906

Ma . . . questa unita [immaginaria] non esiste . . . non puo esistere . . . concertezza matematica, e impossibile.

∃x(x2 − x + 1 = 0)

Risposta: sı

in un altro dominio

∃x(x2 − x + 1 = 0)

Risposta: sı

in un altro dominio

x =1±√−3

2

[. . . ] la cosa strana e appunto che con quei valori immaginari o inqualche modo impossibili si possano tuttavia compiere le ordinarieoperazioni e alla fine ottenere un risultato tangibile! [. . . ] Non ti fapensare a un ponte di cui ci sono solo i pilastri a un capo e all’altro, eche uno attraversa tranquillo come se ci fosse tutto intero?

[ . . . ] il nostro pensiero non ha basi solide, regolari, sicure, ma procedesopra un terreno pieno di buche. Chiude gli occhi, cessa di esistere perun momento, eppure arriva sano e salvo dall’altra parte.

x =1±√−3

2

[. . . ] la cosa strana e appunto che con quei valori immaginari o inqualche modo impossibili si possano tuttavia compiere le ordinarieoperazioni e alla fine ottenere un risultato tangibile! [. . . ] Non ti fapensare a un ponte di cui ci sono solo i pilastri a un capo e all’altro, eche uno attraversa tranquillo come se ci fosse tutto intero?

[ . . . ] il nostro pensiero non ha basi solide, regolari, sicure, ma procedesopra un terreno pieno di buche. Chiude gli occhi, cessa di esistere perun momento, eppure arriva sano e salvo dall’altra parte.

x =1±√−3

2

[. . . ] la cosa strana e appunto che con quei valori immaginari o inqualche modo impossibili si possano tuttavia compiere le ordinarieoperazioni e alla fine ottenere un risultato tangibile! [. . . ] Non ti fapensare a un ponte di cui ci sono solo i pilastri a un capo e all’altro, eche uno attraversa tranquillo come se ci fosse tutto intero?[ . . . ] il nostro pensiero non ha basi solide, regolari, sicure, ma procedesopra un terreno pieno di buche. Chiude gli occhi, cessa di esistere perun momento, eppure arriva sano e salvo dall’altra parte.

∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)

Risposta: sı

Ma non c’e nessuna formula.

Lo dice un teorema.

Il teorema da un metodo per “costruirlo”, cioe generarlo.

∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

∃x(x e primo ∧ x > n)

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

Il teorema non da un metodo per trovarlo.

Ma determina un intervallo entro cui cade il prossimo primo.

Assicura che la ricerca e finita.

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

Risposta: sı

Lo dice un teorema.

∃x, y, z(x, y irrazionali ∧ xy = z)

Risposta: sı, lo dice un teorema.√

2√

2e o razionale o irrazionale

nel primo caso si prenda

x =√

2, y =√

2, z =√

2√

2

nel secondox =√

2√

2, y =

√2, z = 2.

Voi direste che esiste una soluzione?

2√

x =√

2, y =√

2, z =√

2√

2

nel secondox =√

2√

2, y =

√2, z = 2.

2√

x =√

2, y =√

2, z =√

2√

2

nel secondox =√

2√

2, y =

√2, z = 2.

2√

x =√

2, y =√

2, z =√

2√

2

nel secondox =√

2√

2, y =

√2, z = 2.

2√

x =√

2, y =√

2, z =√

2√

2

nel secondox =√

2√

2, y =

√2, z = 2.

2√

x =√

2, y =√

2, z =√

2√

2

nel secondox =√

2√

2, y =

√2, z = 2.

Voi direste che esiste una soluzione?Gabriele Lolli (SNS) Serve ancora la logica? 13 / 23

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

Esiste il termine 1 + 1 + 1 + 1 + 1

R. Carnap

“5 e un numero, non una cosa”

modo materiale di parlare

“5 e il nome di un numero, non il nome di una cosa”

5 e un termine dei linguaggi aritmetici

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e?

1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

“5 e un numero, non una cosa” modo materiale di parlare

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

Risposta: sı

E cosa e? 1 + 1 + 1 + 1 + 1

e cosa e 1?

R. Carnap

Esiste il numero 5?

5 = 5

∃x(x = 5)

∃x(x = Pegaso)

∃x(x = 5) e come ∃x(x2 − x− 1 = 0)

x = 1±√

52

Esiste il numero 5?

5 = 5

∃x(x = 5)

∃x(x = Pegaso)

∃x(x = 5) e come ∃x(x2 − x− 1 = 0)

x = 1±√

52

Esiste il numero 5?

5 = 5

∃x(x = 5)

∃x(x = Pegaso)

∃x(x = 5) e come ∃x(x2 − x− 1 = 0)

x = 1±√

52

Esiste il numero 5?

5 = 5

∃x(x = 5)

∃x(x = Pegaso)

∃x(x = 5) e come ∃x(x2 − x− 1 = 0)

x = 1±√

52

Esiste il numero 5?

5 = 5

∃x(x = 5)

∃x(x = Pegaso)

∃x(x = 5) e come ∃x(x2 − x− 1 = 0)

x = 1±√

52

Esiste il numero 5?

5 = 5

∃x(x = 5)

∃x(x = Pegaso)

∃x(x = 5) e come ∃x(x2 − x− 1 = 0)

x = 1±√

52

Esiste il numero 5?

W. Quine: essere e essere il valore di una variabile vincolata

Noi guardiamo alle variabili vincolate in connessione con l’ontologianon allo scopo di sapere che cosa c’e, ma allo scopo di capire cosa unadata osservazione o dottrina, nostra o di altri, dice che c’e: e questo ein modo preciso un problema che riguarda il linguaggio. Ma cosa c’e eun’altra questione.

Una teoria dice che ci sono i termini che possono fungere da soggetto

x = 1±√−3

2 no

Esiste il numero 5?

x = 1±√−3

2 no

Esiste il numero 5?

x = 1±√−3

2 no

Esiste il numero 5?

x = 1±√−3

2 no

Esiste il numero 5?

x = 1±√−3

2 no

Esistono i numeri?

∃x(x > n)

infinito potenziale e infinito attuale

Esiste l’infinito attuale?

Esistono i numeri?

∃x(x > n)

Esistono i numeri?

∃x(x > n)

Esistono i numeri?

∃x(x > n)

Esistono i numeri?

∃x(x > n)

Esiste l’infinito?

Richard Dedekind

Dopo che nella mia analisi era stata riconosciuta la natura essenzialedel sistema semplicemente infinito [. . . ], il cui tipo astratto e lasuccessione numerica N , si pose la questione: esiste un tale sistema neldominio delle nostre idee? Senza una dimostrazione logica di esistenzaresterebbe sempre il dubbio che l’idea di un tale sistema non possa percaso contenere contraddizioni interne.

Dedekind, come Bolzano, lo “dimostra” nel dominio dei pensieriRussell si incaponisce a dimostrarlo fino al 1904, poi si rassegna

L’esistenza di un insieme infinito e un assioma