Serie numeriche - Dipartimento di Matematicapisani/matematica/serie.pdf · A parte un fattore...

Serie numeriche

Lorenzo PisaniFacoltà di Scienze Mm.Ff.Nn.

A.A. 2007/08

Il problema di sommare in�niti addendi è uno dei problemi classici dell�analisimatematica. Anzi si tratta di un problema che nell�antichità ha avuto ancheimplicazioni �loso�che (paradosso di Zenone).Da una parte dovrebbe essere intuibile che un qualsiasi numero può essere

�immaginato�come risultato di una �somma di in�niti addendi�. Ad esempio

1 =1

2+1

2

=1

2+1

4+1

4

=1

2+1

4+1

8+1

8

=1

2+1

4+1

8+1

16+1

16= : : :

Quindi, con un piccolo salto logico

1 =+1Xn=1

1

2n:

D�altra parte rimane aperto il problema di formalizzare questa situazione par-tendo da una successione fang generica.

1 Generalità

Assegnata fang � R, per ricorrenza si de�nisce la successione fsng�s0 = a0sn = sn�1 + an

denominata successione delle somme parziali di fang.Se vogliamo passare ad una forma esplicita abbiamo

s0 = a0

s1 = a0 + a1

s2 = a0 + a1 + a2

: : :

sn = a0 + a1 + � � �+ an

1

La locuzione �serie di termine generale an�, a cui associamo il simbolo

+1Xn=0

an; (1)

va intesa come abbreviazione (o sinonimo) di �successione delle somme parzialidi fang�. Quindi tutto quello che si riferisce alla serie (1) in realtà si riferiscealla successione fsng.Vediamo tutto questo nella de�nizione che segue.

De�nizione 1.1 Studiare la serie (1) vuol dire studiare la successione fsng.Si dice che la serie (1) converge ad S 2 R se la successione fsng converge

ad S. In tal caso si scrive+1Xn=0

an = S:

Il numero S si dice anche somma della serie.Analogamente si dice che la serie (1) diverge (posit. o negat.) se la succes-

sione fsng diverge (posit. o negat.). In tal caso si scrive

+1Xn=0

an = �1

In�ne si dice che la serie (1) non è regolare se tale risulta la successionefsng.

Come nelle somme �nite, l�indice di sommazione non è rilevante e quindi

+1Xn=0

an =

+1Xk=0

ak:

Dobbiamo mettere in evidenza una piccola di¢ coltà generata dal linguaggiocomune:

� in matematica una successione è un insieme di oggetti ciascuno contrad-distinto da un indice, una serie è la �somma�degli in�niti termini di unapreassegnata successione;

� nel linguaggio comune il termine �serie�viene riferito a oggetti, o eventi,ripetuti esattamente identici (produzione in serie), oppure ripetuti nonidentici ma con certe analogie (i delitti di un serial killer), oppure diversima in un qualche senso concatenati (gli episodi di una serie televisiva).

Quindi nel linguaggio comune il termine serie ha la stessa accezione di ciòquello che in matematica chiameremmo successione.

1.1 Primi esempi: calcolo di somme

Gli esempi più semplici di serie numeriche si presentano quando è possibile dareun�espressione analitica per la successione fsng e quindi calcolarne il limite.Precisiamo che si tratta di situazioni estremamente rare.

2

1.1.1 Serie geometrica

Alla progressione geometrica fqng si associa la serie geometrica

+1Xn=0

qn: (2)

Si dimostra (con il principio di induzione) che

sn =nXk=0

qk =

8<:n+ 1 se q = 1

1� qn+11� q se q 6= 1

Quindi risulta quanto segue:

� se jqj < 1, allora la serie (2) converge e risulta

+1Xn=0

qn = limnsn =

1

1� q ;

� se q � 1, allora la serie (2) diverge positivamente;

� se q � �1, allora la serie (2) non è regolare.

Osserviamo che, nel caso jqj < 1, risulta

+1Xn=m

qn = qm+1Xn=0

qn =qm

1� q : (3)

Paradosso di Zenone Il �losofo Zenone, nato ad Elea (l�attuale Velia, inCampania) tra la �ne del VI e l�inizio del V secolo a.C., è comunemente indicatoquale inventore del ragionamento per assurdo. É ben noto che egli utilizzò unparadosso per dimostrare che il movimento non esiste.Il pie�veloce Achille insegue una tartaruga su una pista rettilinea. Siano x0 =

0 la posizione iniziale di Achille, x1 > x0 la posizione iniziale della tartaruga.

� Achille impiega il tempo T0 per raggiungere la posizione x1; nel frattempola tartaruga ha raggiunto la posizione x2 > x1.

� Achille impiega il tempo T1 per spostarsi da x1 a x2 ma nel frattempo latartaruga ha raggiunto la posizione x3 > x2.

� ...

Questo processo va avanti all�in�nito; dunque, per raggiungere la tartaruga,Achille impiega il tempo

T = T0 + T1 + :::

Essendo opinione comune che una somma di in�niti tempi non possa es-sere �nita, Zenone poteva concludere che, contrariamente alla nostra comunepercezione, Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Ora cercheremo di tradurre

3

il problema di Achille nel linguaggio della �sica, quindi passeremo a sciogliere ilparadosso di Zenone utilizzando il concetto di serie convergente.Sia d la distanza al tempo t = 0 tra Achille e la tartaruga. Denotiamo

con vA e vT le velocità costanti rispettivamente di Achille e della tartaruga eovviamente supponiamo

vA > vT :

La posizione di Achille e della tartaruga in funzione del tempo t sono daterispettivamente da

sA(t) = vAt

sT (t) = d+ vT t

Possiamo ora calcolare il tempo in cui Achille raggiunge la tartaruga, ossial�istante T tale che

sA(T ) = sT (T ):

Si ricava immediatamente

T =d

vA � vT:

Passiamo ora a calcolare la successione di tempi Tn prevista dal paradossodi Zenone.Abbiamo

T0 =x1 � x0vA

=d

vA:

Lo spazio percorso nel frattempo dalla tartaruga è dato da

x2 � x1 = T0vT =d

vAvT :

Per percorrere questo spazio Achille impiega un tempo

T1 =x2 � x1vA

=dvTv2A

:

e, contemporaneamente, la tartaruga percorre lo spazio

x3 � x2 = T1vT =dv2Tv2A

:

Per percorrere questo spazio Achille impiega un tempo

T2 =x3 � x2vA

=dv2Tv3A

:

E�immediato dedurre che la formula generale per gli intervalli di tempo èdata da

Tn =d

vA

�vTvA

�nDunque siamo ridotti a calcolare T come somma della serie

1Xn=0

Tn =1Xn=0

d

vA

�vTvA

�n=d

vA

1Xn=0

�vTvA

�n

4

A parte un fattore costante, si tratta di una serie geometrica con ragione

q =vTvA

< 1

Applicando la formula1Xn=0

qn =1

1� q

otteniamo

T =d

vA

1

1� vTvA

=d

vA � vTin perfetto accordo con le considerazioni svolte in precedenza.

1.1.2 Serie telescopiche

Esempio 1.2 Studiamo la convergenza della serie

+1Xn=2

1

n2 � 1

Osserviamo che1

n2 � 1 =1

2

�1

n� 1 �1

n+ 1

�e passiamo a calcolare le somme parziali. Con pochi tentativi ed un pizzico diintuizione si riconosce che, per ogni n � 4

sn =1

2

�1 +

1

2� 1

n� 1

n+ 1

�: (4)

In realtà la dimostrazione rigorosa di (4) si avrebbe con il principio di induzione.Passando al limite, concludiamo

+1Xn=2

1

n2 � 1 = limn sn =3

4:


+1Xn=1

log

�1 +

1

n

�Osserviamo che

log

�1 +

1

n

�= log (n+ 1)� log n

da cui si deduce, per ogni n � 2

sn = log(n+ 1):

Pertanto, passando al limite,

+1Xn=1

log

�1 +

1

n

�= lim

nsn = +1:

5

1.2 Teoremi sulle serie convergenti

Ove non sia possibile dare un�espressione analitica di fsng o calcolarne il limite,ci si accontenta di stabilire il carattere della serie (convergente, divergente, nonregolare).A questo scopo si utilizzano vari criteri che esporremo nei prossimi para-

gra�. Per il momento possiamo enunciare alcune utili proposizioni, anzituttouna condizione necessaria per la convergenza.

Proposizione 1.4 (condizione necessaria per la convergenza) Se la se-rie

P+1n=0 an è convergente, allora risulta limn an = 0.

Osservazione 1.5 Non è vero il viceversa. Un controesempio è dato dalla serie

+1Xn=1

log

�1 +

1

n

�(5)

Infatti, anche se risulta

limnlog

�1 +

1

n

�= 0;

abbiamo visto nell�Esempio 1.3 che la serie (5) è divergente.Un altro classico controesempio è dato dalla serie armonica che studieremo

in seguito (Esempio 2.7).

Proposizione 1.6 Se le serie

+1Xn=0

an;+1Xn=0

bn; (6)

sono convergenti, anche la serie

+1Xn=0

(an + bn) (7)

è convergente e risulta

+1Xn=0

(an + bn) =+1Xn=0

an ++1Xn=0

bn:

Se le serie (6) sono divergenti con lo stesso segno, anche la serie (7) èdivergente.Se una delle due serie (6) è divergente e l�altra è convergente, allora la serie

(7) è divergente.

Proposizione 1.7 Sia � 6= 0. Le serie+1Xn=0

an;

+1Xn=0

(�an)

hanno lo stesso comportamento. In particolare, se convergono, risulta anche

+1Xn=0

(�an) = �+1Xn=0

an:

6

Passiamo ora a considerare una situazione che possiamo de�nire di sommaper incastro. Accanto alla serie

+1Xn=0

an (8)

consideriamo le serie+1Xn=0

a2n;+1Xn=0

a2n+1: (9)

Il teorema che segue è formalmente identico al teorema relativo alla serie somma.

Proposizione 1.8 Se le serie (9) sono convergenti, anche la serie (8) è con-vergente e risulta

+1Xn=0

an =+1Xn=0

a2n ++1Xn=0

a2n+1:

Se le serie (9) sono divergenti con lo stesso segno, anche la serie (8) èdivergente.Se una delle due serie (9) è divergente e l�altra è convergente, allora la serie

(8) è divergente.

Vedremo in seguito (nell�Esempio 3.2) che, se le serie (9) divergono con segnoopposto, non è escluso che (8) sia convergente.

1.3 Somme approssimate

Sia assegnata la serie+1Xn=0

an: (10)

Supponiamo di aver stabilito che (10) è convergente, ma di non essere in gradodi calcolarne la somma S. Poiché la successione delle somme parziali fsng èconvergente ad S, possiamo considerare ciascuna sn come approssimazione diS.Tuttavia ogni approssimazione che si rispetti deve essere accompagnata da

una stima dell�errore commesso, che è dato da jS � snj. Quindi è utile stabilireuna qualche maggiorazione per jS � snj.Per procedere può fare comodo introdurre una de�nizione.

De�nizione 1.9 Si de�nisce resto n-simo la di¤erenza

rn = S � sn (11)

=+1X

k=n+1

ak:

Il problema di maggiorare l�errore jrnj ha una ricaduta di tipo algoritmicocome criterio di arresto nel calcolo della somma: �ssata una soglia � > 0 (adesempio � = 1=1000) si vuole determinare n 2 N tale che

jS � snj < �: (12)

7

Poiché S è incognita non ha senso chiedere di risolvere (12) rispetto ad n.Tuttavia, se si riesce a scrivere una maggiorazione

jrnj � Rn;

per ottenere la (12) sarà su¢ ciente risolvere

Rn < �:

Osservazione 1.10 Attraverso diversi esempi avremo modo di vedere che, aparità di � > 0, il valore dell�indice n0 per cui risulta

jS � sn0 j < �

è estremamente variabile:

� se tale n0 è piccolo vuol dire che l�errore diventa subito piccolo (la serieconverge velocemente);

� se tale n0 è grande vuol dire che la serie converge lentamente.

A questo proposito vediamo ora un esempio che sarà utile per il seguito.

Esempio 1.11 Si consideri la serie geometrica

+1Xn=0

qn

con jqj < 1. Per ogni n 2 N sappiamo (vedi (3)) che

rn =+1X

k=n+1

qk =qn+1

1� q

e quindi

jrnj =jqjn+1

1� q :

Ovviamente in questo caso non ci interessa l�approssimazione della somma, tut-tavia possiamo osservare diverse velocità di convergenza, al variare della base.Ci chiediamo per quale n0 risulta

jrn0 j < 1=1000

Dunque dobbiamo risolverejqjn+1

1� q <1

1000

� se q = �1=2 dobbiamo risolvere

1

2n+11

1 + 12

<1

1000

e si ottiene n � 9;

8

� se q = 3=4 dobbiamo risolvere�3

4

�n+11

1� 34

<1

1000

e si ottiene n � 28.

La nozione di resto si può dare per una serie generica.

De�nizione 1.12 Assegnata una serieP+1

n=0 an, per ogni n 2 N si de�nisce(serie) resto n-simo la serie

rn =+1X

n=k+1

ak:

Osservazione 1.13 E�immediato veri�care che le serie resto hanno lo stessocarattere della serie di partenza.Se la serie è convergente abbiamo rn 2 R, inoltre da (11) si deduce

limnrn = 0:

2 Serie a termini positivi

De�nizione 2.1 Una serieP+1

n=0 an si dice a termini positivi se (almeno de-�nitivamente) risulta an � 0.

La proprietà principale è espressa di seguito.

Proposizione 2.2 Ogni serie a termini positivi è regolare, precisamente o con-verge o diverge positivamente.Se la serie converge ad S, abbiamo

sn � S

e quindi i resti rn sono positivi.

Dimostrazione. ...

Corollario 2.3 SiaP+1

n=0 an una serie a termini positivi. Se la successionefang non converge a 0, allora la serie è divergente.

Per le serie a termini positivi si può dimostrare che vale il viceversa dellaProposizione 1.8 sulla somma per incastro.

Corollario 2.4 SiaP+1

n=0 an una serie a termini positivi. Tale serie è conver-gente se e solo se entrambe le serie

P+1n=0 a2n,

P+1n=0 a2n+1 sono convergenti.

Osservazione 2.5 Se abbiamo una serie a termini (de�nitivamente) negativi,in base alla Proposizione 1.7, essa avrà lo stesso comportamento della serieopposta (a termini positivi). Dunque le proprietà riportate in questo paragrafo,con le opportune modi�che, si riferiscono alle serie a segno (de�nitivamente)costante.

9

Passiamo ora ad illustrare i principali criteri di convergenza

Criterio 2.6 (di confronto) Siano fang e fbng due successioni reali tali che(de�nitivamente)

0 � an � bn:

Se la serieP+1

n=0 bn converge, allora anche la serieP+1

n=0 an converge.Se la serie

P+1n=0 an diverge positivamente, allora anche la serie

P+1n=0 bn

diverge positivamente.In�ne, se poniamo

rn =+1X

k=n+1

ak; Rn =+1X

k=n+1

bk;

risulta (de�nitivamente)rn � Rn:

Esempio 2.7 Studiamo la serie armonica

+1Xn=1

1

n:

Ricordiamo che nel Capitolo sulle successioni abbiamo visto che�1 +

1

n

�n< e:

Quindi, applicando i logaritmi ad ambo i membri, si deduce che

n log

�1 +

1

n

�< 1

ossia

log

�1 +

1

n

�<1

n:

Abbiamo già visto nell�Esempio 1.3 che la serie

+1Xn=1

log

�1 +

1

n

�è divergente, quindi, per il Criterio del confronto, anche la serie armonica èdivergente.


+1Xn=1

arctann n

n2n

E�abbastanza facile osservare che, per ogni n � 1

arctann n

n2n��4

�n(13)

10

quindi, poichè+1Xn=1

��4

�nè una serie geometrica con ragione �=4 < 1, per il Criterio di confronto, siconclude che anche la serie assegnata è convergente.Ora passiamo a calcolare una somma approssimata, con errore inferiore a

1=1000. Da (13), si deduce

rn =+1X

k=n+1

arctank k

k2k�

+1Xk=n+1

��4

�k= Rn;

quindi è su¢ ciente imporre

+1Xk=n+1

��4

�k� 1

1000:

In altri termini, per la (3),

1

1� �=4

��4

�n+1� 1

1000

Risolvendo questa disequazione rispetto ad n otteniamo

log 4000� log(4� �)log 4� log � � n+ 1

cioè33: 966 756 432 568 7 � n:

In conclusione una somma approssimata, entro il margine di errore pre�ssato,è data da s34.

Prima di enunciare un secondo criterio riportiamo una de�nizione perfetta-mente coerente con la teoria svolta a proposito dei limiti di funzioni.

De�nizione 2.9 Due successioni fang e fbng si dicono asintoticamente equiv-alenti se risulta

limn

anbn= 1:

In tal caso si scrivean �= bn:

Criterio 2.10 (di confronto asintotico) Siano fang e fbng due successioni(de�nitivamente) strettamente positive ed asintoticamente equivalenti. Allora leserie

P+1n=0 an e

P+1n=0 bn hanno lo stesso comportamento, ossia una converge

(risp. diverge) se e solo se l�altra converge (risp. diverge).


+1Xn=1

2n + 3

3n � 2

11

Risulta2n

3n� 2n + 3

3n � 2quindi anche se sappiamo che la serie

+1Xn=1

�2

3

�n(14)

converge, il Criterio di confronto 2.6 non fornisce informazioni signi�cative.Invece, utilizzando le consuete regole di equivalenza, si ha che

2n + 3 �= 2n

3n � 2 �= 3n

e quindi2n + 3

3n � 2�=�2

3

�n:

Dunque la serie assegnata è convergente in quanto, in base al Criterio 2.10, halo stesso comportamento della serie (14).

Osservazione 2.12 Si abbia una serie a termini positiviP+1

n=0 an convergente.Se risulta an �= bn, possiamo a¤ermare che anche la serie

P+1n=0 bn è conver-

gente, ma, in generale, è falso che le due somme coincidano. Pertanto è unerrore scrivere

+1Xn=0

an =

+1Xn=0

bn:

Osservazione 2.13 Per applicare i criteri di confronto dobbiamo stabilire apriori che le serie in questione sono a termini positivi, o almeno a segno costante.In realtà osserviamo che se an �= bn, allora le successioni fang e fbng hanno(de�nitivamente) lo stesso segno. Quindi, se stabiliamo un�equivalenza asintot-ica e conosciamo il segno della seconda successione, non è necessario studiarea priori il segno della successione di partenza.


+1Xn=0

log cos1

3n:

Osserviamo subito che 1=3n ! 0, quindi applichiamo le equivalenze notevoli train�nitesimi.Ricordiamo che, per t! 0, abbiamo

cos t� 1! 0

e quindi

log cos t = log(1 + cos t� 1) �= cos t� 1

= �(1� cos t) �= �1

2t2:

12

Pertanto risulta

log cos1

3n�= �

1

2

1

9n:

Dunque la serie assegnata è a termini negativi ed avrà lo stesso comportamentodella serie

+1Xn=0

��12

1

9n

�:

Per la Proposizione 1.7 quest�ultima serie ha lo stesso comportamento della serie

+1Xn=0

1

9n;

la quale converge.

2.1 Criterio dell�integrale per le serie

Abbiamo osservato che tra serie e integrali impropri c�è una notevole analogia.Ora possiamo enunciare un ulteriore criterio per la convergenza delle serie atermini positivi.

Proposizione 2.15 Sia assegnata una serie

+1Xn=1

an

a termini positivi. Supponiamo che esista una funzione f : [0;+1) ! R con-tinua, decrescente e tale che f(n) = an. Allora la serie converge se e solo seconverge l�integrale Z +1

1

f(x)dx:

Inoltre, in caso di convergenza, denotate con S ed sn rispettivamente la sommadella serie e la somma parziale n-sima, risultaZ +1

n+1

f(x)dx � S � sn �Z +1

n

f(x)dx:

Osservazione 2.16 Dobbiamo sottolineare che la somma S non coincide conl�integrale. In ogni caso la disuguaglianza (...) consente di calcolare sommeapprossimate, quindi questo criterio può tornare utile anche in situazioni in cuila convergenza della serie è nota.

Esempio 2.17 Studiamo la serie

+1Xn=1

n2

en:

La funzione x2=ex, associata alla successione n2=en, è continua su R emonotona decrescente in [2;+1). Quindi la serie assegnata è convergente. Con

13

il criterio dell�integrale, proviamo a calcolare una somma approssimata con unerrore inferiore a 1=1000. Abbiamo

S � sn <Z +1

n

x2

exdx =

(n+ 1)2 + 1

en:

Per risolvere(n+ 1)2 + 1

en<

1

1000

possiamo solo procedere per tentativi. La disuguaglianza è veri�cata per n = 13.In conclusione una somma approssimata entro il margine di errore pre�ssato èdata da s13.Se si rinuncia a stimare la somma approssimata e ci si accontenta di stabilire

la convergenza, questa stessa serie può essere studiata con altri criteri immediatiche enunceremo in seguito, ad esempio il Criterio del rapporto.

I Criteri ... e ... consentono di ottenere informazioni su una serie assegnataconfrontandola con un�altra di cui si conosca il carattere. In generale come seriedi confronto si considerano la serie geometrica, come negli Esempi ... ... ..., e lacosiddetta serie armonica generalizzata

+1Xn=1

1

n�: (15)

Proposizione 2.18 La serie (15) converge se e solo se � > 1. In tal caso, conil consueto signi�cato dei simboli, risulta anche

rn <1

(�� 1)n��1 : (16)

Il caso � � 1 si deduce dallo studio della serie armonica e dal Criterio diconfronto. La dimostrazione della convergenza per � > 1 e la stima del resto sideducono dal Criterio dell�Integrale.

Esempio 2.19 Vogliamo studiare la convergenza della serie

+1Xn=1

1� cosnn3

:

E�abbastanza facile osservare che, per ogni n � 1

0 � 1� cosnn3

� 2

n3:

Osserviamo che, a meno del fattore 2,

+1Xn=1

2

n3

è una serie armonica generalizzata con esponente 3 quindi convergente; per ilCriterio di confronto, si conclude che anche la serie assegnata è convergente.

14

Nello studio della convergenza sarebbe un grave errore scrivere

1� cosn �= n2=2:

Infatti nello studio del carattere di una serie si considera n ! +1, mentrel�equivalenza

1� cos t �= t2=2

sussiste per t! 0.Ora passiamo a calcolare una somma approssimata, con errore inferiore a

1=1000. Quindi, in base alla (16), per ottenere

+1Xk=n+1

1� cos kk3

<1

1000

è su¢ ciente imporre+1X

k=n+1

2

n3<

1

1000; (17)

A sua volta per ottenere (17), in base alla (16), è su¢ ciente richiedere

1

n2<

1

1000

Quindi risolvendo quest�ultima disequazione rispetto ad n otteniamo

1000 < n2

cioè31: 622 776 601 683 8 < n:

In conclusione una somma approssimata, entro il margine di errore pre�ssato,è data da s32.


+1Xn=1

pn+ 1 sin

1

n:

Per n! +1 abbiamo n+ 1 �= n e quindipn+ 1 �=

pn; inoltre 1=n! 0 e

quindi

sin1

n�=1

n:

In de�nitivapn+ 1 sin

1

n�=pn1

n=

1pn=

1

n1=2:

Dunque la serie assegnata ha lo stesso comportamento della serie

+1Xn=1

1

n1=2;

cioè diverge.

15

2.2 Criteri immediati

Per criteri immediati intendiamo criteri, analoghi al Criterio dell�Integrale, chenon richiedano l�individuazione di una serie di confronto. Li enunciamo inun�ordine crescente di e¢ cienza.

Criterio 2.21 (del rapporto) Sia assegnata una serieP+1

n=0 an a termini stret-tamente positivi, cioè tale che an > 0.Se

lim supn

an+1an

< 1;

allora la serie è convergente.Se

lim infn

an+1an

> 1;

allora la serie è divergente.

Dimostrazione. La dimostrazione si basa sul confronto con la serie geometrica.

Corollario 2.22 Sia assegnata una serieP+1

n=0 an a termini strettamente pos-itivi, cioè tale che an > 0. Esista

limn

an+1an

= `:

Se ` < 1, allora la serie è convergente.Se ` > 1, allora la serie è divergente.

Osservazione 2.23 Qualora il limite del rapporto sia uguale ad 1 il criterionon fornisce informazioni. Infatti per la serie armonica generalizzata il limitedel rapporto è sempre 1, indipendentemente dal fatto che la serie converga odiverga.


+1Xn=1

nn=2

2n:

Si tratta di una serie a termini strettamente positivi ed applichiamo il Criteriodel rapporto

limn

an+1an

= limn

(n+ 1)(n+1)=2

2n+12n

nn=2=

= limn

1

2

s(n+ 1)

(n+1)

nn=

=1

2limn

s�n+ 1

n

�npn+ 1 =

=1

2

pe(+1) = +1:

Dunque la serie assegnata è divergente.

16

È tipico l�uso del Criterio del rapporto nelle serie che coinvolgono i fattoriali(vedi Esempio 3.23).

Criterio 2.25 (della radice) Sia assegnata una serieP+1

n=0 an a termini pos-itivi. Sia

lim supn

npan = `:

Se ` < 1, allora la serie è convergente.Se ` > 1, allora la serie è divergente.

Osservazione 2.26 Ovviamente, come caso particolare, possiamo considerare,se esiste, il valore del limn n

pan e sussistono ovviamente le medesime conclu-

sioni.Qualora il massimo limite (o il limite) sia uguale ad 1 il criterio non fornisce

informazioni. Infatti per la serie armonica generalizzata risulta limn np1=n� =

1, indipendentemente dal fatto che la serie converga o diverga.

Se confrontiamo i due criteri (rapporto e radice), osserviamo che per il sec-ondo è più ampio l�ambito di applicabilità, infatti non si richiede che i terminisiano strettamente positivi. Inoltre sussiste la seguente proposizione.

Proposizione 2.27 Assegnata la successione fang tale che an > 0, consideri-amo

bn =an+1an

cn = npan

Risulta quanto segue

lim infn

bn � lim infn

cn;

lim sup cn � lim supn

bn:

Da questa proposizione si deduce che il criterio della radice è strettamentepiù e¢ ciente del criterio del rapporto, nel senso che

� tutte le volte che il criterio del rapporto fornisce informazioni, le avrebbefornite anche il criterio della radice;

� esistono casi in cui il criterio della radice fornisce informazioni mentre ilcriterio del rapporto non le fornisce.

Possiamo veri�carlo anche attraverso alcuni esempi.

Esempio 2.28 Consideriamo la serie

+1Xn=0

1

2n+(�1)n:

Risulta

lim infn

an+1an

=1

8;

lim supn

an+1an

= 2:

17

Quindi il criterio del rapporto non dà informazioni. Al contrario, poiché risulta

limn

npan =

1

2;

possiamo concludere che la serie è convergente.Utilizzando la somma per incastro, giungiamo alla stessa conclusione e si

ottiene anche+1Xn=0

1

2n+(�1)n=

+1Xn=0

1

2n= 2:

Esempio 2.29 Consideriamo la serie

+1Xn=0

�2

5 + (�1)n

�n:

Risulta

lim infn

an+1an

= 0;

lim supn

an+1an

= +1:

Quindi il criterio del rapporto non dà informazioni. Al contrario, poiché risulta

lim infn

npan =

1

2;

lim supn

npan =

1

3:

Al contrario, poiché risulta

limn

npan =

1

2;

possiamo concludere che la serie è convergente.Utilizzando la somma per incastro, giungiamo alla stessa conclusione e si

ottiene anche+1Xn=0

�2

5 + (�1)n

�n=9

8+2

3=43

24:

Criterio 2.30 (degli in�nitesimi) Sia assegnata una serieP+1

n=0 an a termi-ni positivi.Se limn nan = ` > 0, allora la serie è divergente.Se esiste p > 1 tale che limn npan = ` < +1, allora la serie è convergente.

Dimostrazione. La dimostrazione si basa sul confronto con la serie armonicageneralizzata.Si potrebbe dimostrare che il criterio degli in�nitesimi è strettamente più

e¢ ciente del criterio della radice, nel senso che

� tutte le volte che il criterio della radice fornisce informazioni, le avrebbefornite anche il criterio degli in�nitesimi;

18

� esistono casi in cui il criterio degli in�nitesimi fornisce informazioni mentreil criterio della radice non le fornisce.

A vantaggio del lettore enunciamo come corollario un caso particolare.

Corollario 2.31 Sia assegnata una serieP+1

n=0 an a termini positivi. Se

limnn2an = ` < +1;

allora la serie è convergente.

Osservazione 2.32 Lo studio di una serie a termini positivi tramite il criteriodegli in�nitesimi si può riassumere in una sorta di diagramma di �usso.

1. Si calcola anzitutto`1 = lim

nnan

Se `1 > 0 la serie diverge, se `1 = 0 si procede.

2. Si calcola`2 = lim

nn2 an

Se `2 < +1 la serie converge, se `2 = +1 si procede.


nn3=2 an



nn5=4 an


5. ...

Osserviamo che dal secondo passo in poi si considerano esponenti del tipopk = 1+1=2

k�2. Dobbiamo precisare che non è a¤atto garantito che il processosi arresti in un numero �nito di passi.


+1Xn=1

log( 3pn+ 2)

n+ 3:

Al primo passo si conclude che la serie diverge


+1Xn=2

log(1 + n2)

n3:

Al secondo passo si conclude che la serie converge.

19

Un altro esempio di applicazione del Criterio degli in�nitesimi è riportato diseguito.


+1Xn=2

1pn3 + 3 log n

:

Calcoliamo anzitutto

limnn an = lim

n

npn3 + 3 log n

=

= limn

1pn log n

= 0:

Quindi non possiamo trarre alcuna conclusione.Calcoliamo

limnn2 an = lim

n

n2pn3 + 3 log n

=

= limn

pn

log n= +1:

Quindi non possiamo trarre ancora alcuna conclusione.Calcoliamo allora

limnn3=2 an = lim

n

n3=2pn3 + 3 log n

=

= limn

1

log n= 0:

Quindi si conclude che la serie assegnata converge.

Alcune serie sfuggono anche al criterio degli in�nitesimi e possono esserestudiate con il criterio dell�integrale.

Esempio 2.36 Si consideri la serie numerica

+1Xn=2

1

n logp n:

Il criterio degli in�nitesimi non fornisce indicazioni utili, mentre il criteriodell�integrale ci dice che la serie converge se e solo se p > 1.

A conclusione del paragrafo riportiamo un paio di esempi riepilogativi, in cuisi mostra che la scelta di un approccio al posto di un altro può essere talvoltasolo un fatto di gusti.


+1Xn=1

n2 tan1

5n

20

In tutti gli approcci dovremo tener presente che

1

5n! 0

e quindi

tan1

5n�=1

5n:

Metodo 1. Applichiamo il Corollario 2.31

limnn2 � n2 tan 1

5n= lim

n

n4

5n= 0

(ricordiamo che si tratta di un limite notevole). Dunque la serie converge.Metodo 2. Applichiamo il Criterio del rapporto

limn

(n+ 1)2tan 1

5n+1

n2 tan 15n

= limn

(n+ 1)2 15n+1

n2 15n

=

= limn

(n+ 1)25n

n2 5n+1=1

5< 1

dunque la serie converge.Metodo 3. Osserviamo che

n2 tan1

5n�=n2

5n;

quindi la serie assegnata ha lo stesso comportamento della serie

+1Xn=1

n2

5n:

A questa serie applichiamo il Criterio del rapporto e, come sopra, troviamo chela serie assegnata converge.


+1Xn=0

cosn+ 3

n! + 3

Anzitutto osserviamo che si tratta di una serie a termini positivi: il denomina-tore è positivo, riguardo il numeratore osserviamo che

2 � cosn+ 3 � 4: (18)

Poiché n!! +1 abbiamon! + 3 �= n!

e quindicosn+ 3

n! + 3�=cosn+ 3

n!:

Pertanto, per il Criterio 2.10 la serie assegnata avrà lo stesso comportamentodella serie

+1Xn=0

cosn+ 3

n!(19)

21

Per studiare la (19) abbiamo diverse possibilità. La scelta più ovvia è quelladi utilizzare il Criterio di confronto 2.6. Infatti abbiamo

cosn+ 3

n!� 4

n!:

Poiché la serie+1Xn=0

4

n!

converge (Criterio del rapporto), si conclude che anche (19) converge.Volendo potremmo applicare il Criterio del rapporto direttamente alla (19).

Si deve calcolare il limite di

cos(n+ 1) + 3

(n+ 1)!� n!

cosn+ 3=

1

n+ 1� cos(n+ 1) + 3

cosn+ 3:

Dalla (18) si deduce1

2� cos(n+ 1) + 3

cosn+ 3� 2;

e pertanto

limn

1

n+ 1� cos(n+ 1) + 3

cosn+ 3= 0:

Anche in questo modo si perviene alla conclusione che (19) converge.

3 Serie a segno non costante

Ora vogliamo studiare le serie a segno non (de�nitivamente) costante, partendoda una situazione abbastanza semplice.

3.1 Serie a segno alterno

Occupiamoci di serie del tipo

+1Xn=0

(�1)n�n (20)

con �n � 0 (de�nitivamente), in modo che il termine generale an = (�1)n�nrisulti (de�nitivamente) a segno alterno.Sussiste il seguente criterio di convergenza.

Criterio 3.1 (di Leibnitz) Se �n � 0 e inoltre

a) limn �n = 0;

b) f�ng è strettamente decrescente;

allora la serie (20) è convergente.Inoltre, denotate con sn ed S rispettivamente le somme parziali e la somma

della serie, si hajS � snj < �n+1: (21)

22

Esempio 3.2 La serie armonica a segno alterno

+1Xn=0

(�1)n

n+ 1

soddisfa le condizioni del Criterio di Leibnitz quindi è convergente.Se vogliamo calcolare un valore approssimato della somma con errore infe-

riore a 1=1000 imponiamo�n+1 � 1=1000

ossia1

n+ 2� 1

1000

da cui ricaviamo998 � n:

Pertanto s998 rappresenta una somma approssimata entro il margine di erroreche abbiamo pre�ssato.Utilizzando le serie di Taylor (vedi Capitolo ...), si può dimostrare che la

somma (esatta) della serie è pari a log 2.In�ne osserviamo che

+1Xn=0

(�1)2n �2n =

+1Xn=0

1

2n+ 1= +1

+1Xn=0

(�1)2n+1 �2n+1 =

+1Xn=0

�12 (n+ 1)

= �1

Quindi una serie convergente può essere ottenuta come somma per incastro didue serie divergenti (con segno opposto).


+1Xn=1

(�1)n n

2n2 � 1 :

Posto�n =

n

2n2 � 1 ;

è immediato veri�care che �n � 0 e che

limn�n = 0:

Andiamo a studiare la monotonia della successione f�ng applicando diretta-mente la de�nizione

�n+1 < �n:

Si ottiene la disequazione

n+ 1

2 (n+ 1)2 � 1

<n

2n2 � 1

23

che si riduce a0 < 2n2 + 2n+ 1

veri�cata per ogni n 2 N. Dunque la serie converge.Se vogliamo calcolare un valore approssimato della somma con errore infe-

riore a 1=1000 imponiamo�n+1 � 1=1000;

ossian+ 1

2 (n+ 1)2 � 1

� 1

1000;

che si riduce a0 < 2n2 � 996n+ 999:

La soluzione è data da496: 994 959 626 199 < n:

Pertanto s497 rappresenta una somma approssimata entro il margine di erroreche abbiamo pre�ssato.

Osservazione 3.4 Assegnata una successione �n > 0, osserviamo che le con-dizioni a) e b) sono rispettivamente equivalenti a

a1) limn 1=�n = +1;

b1) f1=�ng è strettamente crescente.


+1Xn=1

(�1)npn+ 4arctan2 n

:

Abbiamo

�n =1p

n+ 4arctan2 n

e quindi1

�n=pn+ 4arctan2 n:

In questo caso la condizione �n > 0 è veri�cata per ogni n � 1. La condizionea1) è soddisfatta. In�ne dobbiamo veri�care b1). In base alla de�nizione deverisultare p

n+ 4arctan2 n <pn+ 1 + 4 arctan2 (n+ 1) :

Anche questa condizione è soddisfatta, in quanto si ottiene sommando membroa membro le seguenti disuguaglianze

pn <

pn+ 1;

4 arctan2 n < 4 arctan2 (n+ 1) :

Se vogliamo calcolare un valore approssimato della somma con errore inferiorea 1=1000 imponiamo

�n+1 � 1=1000

24

ossia1p

n+ 1 + 4 arctan2 (n+ 1)� 1=1000

che, a sua volta, equivale a

1000 �pn+ 1 + 4 arctan2 (n+ 1) : (22)

Per ottenere la (??) è su¢ ciente imporre

1000 �pn+ 1

ossia999999 � n:

Si conclude che una somma approssimata entro il margine di errore pre�ssato èdata da s999999. In realtà con l�ausilio di una calcolatrice, tenendo conto del sec-ondo addendo 4 arctan2 (n+ 1), possiamo stabilire che è su¢ ciente considerares980359.

Ora ci occupiamo di �limare�le ipotesi contenute nel Criterio 3.1.

Osservazione 3.6 Assegnata una serie scritta nella forma 20, la condizionea) è necessaria per la convergenza. Infatti se (20) converge, per la Proposizione, si ha (�1)n�n ! 0. D�altra parte è evidente che (�1)n�n ! 0 se e solo se�n = j(�1)n�nj ! 0. Quindi se la condizione a) non è veri�cata, la serie (20)non converge, dunque o diverge o è irregolare.

Osservazione 3.7 Assegnata la serie (20) con �n > 0, se è veri�cata la con-dizione a) ma non la condizione b), nulla si può dire a priori sul carattere dellaserie stessa.In alcuni casi si riesce a dire qualcosa con la Proposizione sulle somme per

incastro o con il Criterio di assoluta convergenza che esporremo nel sottopara-grafo seguente. Ad esempio la serie

+1Xn=0

(�1)n

(3 + (�1)n)n

è convergente, con somma pari a 2=5: Invece la serie

+1Xn=0

(�1)n

(n+ 1) (2 + (�1)n)n

diverge negativamente.

Osservazione 3.8 Per garantire la convergenza della serie le altre due ipotesi(positività e la monotonia di f�ng) sono su¢ cienti in forma de�nitiva. In talcaso la stima dell�errore (21) vale a partire dall�indice per cui si hanno questedue condizioni.

Se ci si accontenta di stabilire la convergenza e si rinuncia a calcolare unasomma approssimata, per veri�care le condizioni del Criterio 3.1 si può utilizzareil seguente Lemma.

25

Lemma 3.9 Assegnata una successione positiva f�ng, se risulta

limn

�n+1�n

< 1 (23)

allora �n ! 0 e de�nitivamente si ha �n+1 < �n.Pertanto la serie (20) è convergente.

Non si riesce a calcolare una somma approssimata in quanto il Lemma nonprecisa da quale � in poi si ha la monotonia. Vedremo nel prossimo sottopara-grafo che, se vale (23), allora la serie (20) soddisfa la condizione di assolutaconvergenza.Lo stesso Criterio di Leibnitz 3.1 può essere riformulato come segue.

Criterio 3.10 Sia ssegnata una serie scritta nella forma 20. Se de�nitivamente�n 6= 0 e inoltre

a1) limn 1=�n = +1;

b2) 1=�n de�nitivamente strettamente crescente;

allora la serie (20) è convergente.

Osservazione 3.11 Con riferimento alla situazione descritta dal Criterio prece-dente, dobbiamo osservare che da a1) consegue che de�nitivamente �n > 0. Sevogliamo applicare la stima dell�errore (21), dobbiamo calcolare (o stimare) daquale indice �0 in poi la successione f1=�ng è strettamente crescente e quindidobbiamo determinare � > �0 tale che �� > 0. La stima sarà valida da questo� in poi.


+1Xn=0

(�1)n

3n � 150n:

Abbiamo�n =

1

3n � 150n:

Il segno di �n non è noto a priori quindi studiamo

1

�n= 3n � 150n:

La condizione a1) è veri�cata, infatti

limn(3n � 150n) = lim

n3n�1� 150n

3n

�= +1:

Riguardo b1), applichiamo la de�nizione ed osserviamo che

3n � 150n < 3n+1 � 150(n+ 1)

si riduce a75 < 3n;

26

veri�cata per ogni n � log 75= log 3 = 3: 929 947 04, ossia n � 4.Ora dobbiamo inviduare un indice � � 4 tale che 3v�150v > 0. Con l�ausilio

di una calcolatrice, procedendo per tentativi, stabiliamo che

36 � 150 � 6 < 0

37 � 150 � 7 = 1037 > 0

Se vogliamo calcolare un valore approssimato della somma con errore infe-riore a 1=1000 imponiamo

�n+1 � 1=1000: (24)

con n � 7. In base al ragionamento precedente, sappiamo che

�8 < �7 = 1=1037

quindi concludiamo che la disuguaglianza (24) è veri�cata per n = 7. Dunqueuna somma approssimata entro il margine di errore pre�ssato è data da s7.

Osservazione 3.13 Per veri�care la condizioni di monotonia (b) o b1)), qualo-ra sia di¢ cile applicare la de�nizione, possiamo studiare la monotonia di unafunzione (di variabile reale)

f : [0;+1)! R

tale che f(n) = �n (risp. f(n) = 1=�n). Il passaggio alla funzione associata allasuccessione ci consentirà di utilizzare alcuni teoremi del calcolo di¤erenziale.

Esempio 3.14 consideriamo la serie

+1Xn=1

(�1)npn� � 3

pn

Dopo aver osservato che la serie è ben de�nita (perchè?), avremo

1

�n=pn� � 3

pn:

Quindi potremo calcolare

limn

1

�n= lim

n

�pn� � 3

pn�= lim

n

pn

�1� �

3pnpn

�=

= limn

pn

�1� �

6pn

�= +1

La studio della monotonia di 1=�n è tutt�altro che scontato.Al contrario con il calcolo di¤erenziale sarà abbastanza semplice stabilire che

la funzione associataf(x) =

px� � 3

px

è strettamente crescente per x � (2�=3)6 e assume valori positivi per x � �6.Dunque potremo concludere che la serie è convergente.Risolvendo per tentativi (abbastanza di¢ coltosi)

�n+1 <1

1000

27

ossia1p

n+ 1� � 3pn+ 1

<1

1000;

si conclude che una somma approssimata entro il margine di errore pre�ssato èdata da s1937000 (il lettore incuriosito potrà cercare di migliorare questa stima!).

3.2 Assoluta convergenza

Se i segni dei termini an sono disposti in modo non ordinato, il principale criteriodi convergenza è enunciato di seguito.

Criterio 3.15 Si abbia una generica serie

+1Xn=0

an: (25)

Se la serie+1Xn=0

janj (26)

è convergente, allora la serie (25) è convergente e risulta��+1Xn=0

an

�� +1Xn=0

janj :

Osservazione 3.16 Non vale il viceversa, nel senso che, se converge la serie(25), non è detto che debba convergere anche la serie (26); si consideri, adesempio, la cosiddetta serie armonica a segno alterno

+1Xn=1

(�1)nn

:

De�nizione 3.17 Una serieP+1

n=0 an si dice assolutamente convergente se èconvergente la serie

P+1n=0 janj.

Osservazione 3.18 Alla luce di questa de�nizione il Criterio 3.15 può essereenunciato al modo seguente: ogni serie assolutamente convergente è convergente.


+1Xn=0

1 + 2 cosn2

1 + 2n2:

Il segno dei termini della serie non presenta alcuna regolarità, quindi studiamola serie con il Criterio 3.15 e con opportune maggiorazioni.Abbiamo ��1 + 2 cosn21 + 2n2

�� =

��1 + 2 cosn2��1 + 2n2

�

�1 + 2

��cosn2��2n2

� 3

2n2:

28

La serie+1Xn=0

3

2n2

è convergente, quindi per confronto la serie

+1Xn=0

��1 + 2 cosn21 + 2n2

��è convergente. Dunque la serie assegnata è (assolutamente) convergente.


+1Xn=0

1 + 2 sinn

n2 � 123 :

...

Possiamo vedere il rapporto tra convergenza ed assoluta convergenza ancheda un altro punto di vista: alcune tra le serie convergenti sono anche assoluta-mente convergenti. Ciò che rende signi�cativa la De�nizione 3.17 è che solo leserie assolutamente convergenti godono di particolari proprietà (ad esempio laproprietà commutativa, opportunamente formulata).

Osservazione 3.21 Ovviamente per le serie a termini positivi la nozione diassoluta convergenza coincide con la convergenza.Le serie (a segno non costante) convergenti ma non assolutamente conver-

genti si dicono anche semplicemente convergenti.

Vogliamo sottolineare che la serie (26) è a termini positivi quindi tutti i cri-teri visti in precedenza, opportunamente trascritti, diventano criteri di assolutaconvergenza. Riportiamo i due criteri immediati.

Proposizione 3.22 Se la serie (25) è a termini non nulli, cioè an 6= 0, e risulta

limn

jan+1jjanj

< 1

allora la medesima serie (25) è assolutamente convergente.

Esempio 3.23 Al variare di x 2 R consideriamo la serie

+1Xn=0

xn

n!: (27)

Per x � 0 si tratta di una serie a termini positivi, mentre per x < 0 è a segnoalterno. Calcoliamo

limn

jan+1jjanj

= limn

�� xn+1(n+ 1)!

�� n!xn�� =

= limn

jxjn+ 1

= 0:

29

Dunque la serie assegnata è assolutamente convergente per ogni valore di x. Sipuò dimostrare che

+1Xn=0

xn

n!= ex:

Per questa ragione la serie (27) prende il nome di serie esponenziale.

Proposizione 3.24 Se esiste � > 1 tale che limn n� janj = ` < +1, allora laserie (25) è assolutamente convergente.

Concludiamo con qualche osservazione sulla assoluta convergenza delle seriedi tipo

+1Xn=0

(�1)n�n con �n > 0: (28)

Anzitutto osserviamo che

j(�1)n�nj = �n; (29)

quindi risulta segue.

Proposizione 3.25 Le seguenti proposizioni sono equivalenti:

a) la serie (28) è assolutamente convergente;

b) la serie (a termini positivi)P+1

n=0 �n è convergente;

c) entrambe le serie (a termini positivi)P+1

n=0 �2n eP+1

n=0 �2n+1 sono conver-genti.

Esempio 3.26 La serie+1Xn=0

(�1)n

(3 + (�1)n)n

(che non veri�ca la b) del Criterio 3.1) non solo è convergente ma è ancheassolutamente convergente.

Sussiste in�ne il seguente risultato.

Proposizione 3.27 Se risulta

limn

�n+1�n

< 1 (30)

allora la serie (28) è assolutamente convergente.

Dimostrazione. Ovvia


+1Xn=0

(�1)nn2

en

30

Calcoliamo

limn

�n+1�n

= limn

(n+ 1)2

en+1� e

n

n2=1

e< 1;

Dunque, in base alla proposizione precedente, le serie assegnata è assolutamenteconvergente.Con gli strumenti del calcolo di¤erenziale saremo in grado di stabilire che la

successione n2=en è strettamente decrescente da � = 2 in poi, quindi ha sensola ricerca di una somma approssimata con errore inferiore a 1=1000. In basealla stima (21) è su¢ ciente determinare n 2 N tale che

(n+ 1)2

en+1<

1

1000: (31)

Si può solo procedere per tentativi:

102=e10 = 4: 539 992 976 248 49� 10�3

112=e11 = 2: 020 905 795 619 72� 10�3

122=e12 = 8: 847 665 788 792 62� 10�4

Osservato che la disuguaglianza (31) è veri�cata per n = 11, si conclude cheuna somma approssimata entro il margine di errore pre�ssato è data da s11.


+1Xn=0

(�1)n n+ 1

en � n4

Osserviamo che la serie è ben de�nita in quanto, per ogni n � 0

en � n4 6= 0

infatti en non è intero mentre n4 è intero.Abbiamo

1

�n=en � n4n+ 1

Da

limn

1

�n= lim

n

en � n4n+ 1

= limn

en

n+ 1

�1� n

4

en

�= +1

consegue che de�nitivamente �n > 0. Ora calcoliamo

limn

�n+1�n

= limn

n+ 1

n+ 2

en � n4

en+1 � (n+ 1)4= lim

n

en(1� n4=en)en+1(1� (n+ 1)4 =en)

=1

e< 1:

Dunque, in base alla proposizione precedente, la serie assegnata è assolutamenteconvergente.In questo caso neanche gli strumenti del calcolo di¤erenziale ci consentono

di determinare da quale indice in poi la successione �n è decrescente. Quindinon siamo in grado di determinare una somma approssimata.

31

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