Seminario sul gradiente, il rotore e ladivergenza

Enzo TONTI

5 aprile 2001

Indice

1 Campo scalare 21.1 Le differenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Campo affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Campo vettoriale 62.1 Circolazione di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Poligonale piana chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Il rotore di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Il flusso di un vettore attraverso una superficie . . . . . . . . . . . . . 162.5 Divergenza di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

Nello studio della fisica si incontrano i campi. I seguenti campi fisici:

• il campo gravitazionale generato dalle masse;

• il campo elettrico generato dalle carice elettriche in quiete;

• il campo magnetico generato da correnti stazionarie;

• il campo elettromagnetico generato da cariche in moto generico

possono esistere sia nel vuoto che nella materia. Al contrario i seguenti campi fisici

• il campo termico in un solido o in un fluido generato da sorgenti di calore;

• il campo elastico nei corpi solidi deformabili generato dalle forze;

• il campo delle velocita di un fluido, generato dalle forze;

possono aver luogo solo in presenza di materia Questo ci invita a dare la definizionedi campo fisico:

Definizione. Un campo fisico e uno stato fisico dello spazio o dellamateria che vi e contenuta.

Per descrivere un campo fisico occorre introdurre delle grandezze fisiche: questepossono essere grandezze scalari o vettoriali.

Di conseguenza si puo introdurre la nozione di campo matematico:

Definizione. Un campo matematico e una applicazione che assegna atutti i punti di una regione di spazio una o piu funzioni scalari o vettoriali.

Un campo fisico, quale il campo gravitazionale puo essere descritto da un campovettoriale, quello del vettore accelerazione di gravita oppure da un campo scalare,quello del potenziale gravitazionale1

Il campo elettrostatico puo essere descritto da un campo scalare usando il poten-ziale elettrico o da un campo vettoriale usando il vettore campo elettrico ~E.

Quindi lo stesso campo fisico ammette diverse rappresentazioni matematiche.

1 Campo scalare

Lo studio matematico dei campi procede per categorie di campo, indipendentementedal tipo di campo fisico.

Esempi di campi scalari sono:

• il campo delle pressioni in un fluido, ad esempio nell’atmosfera;

1 Oppure da un campo tensoriale, come fa la teoria relativistica della gravitazione.

2

• il campo delle densita in un fluido, ad esempio il campo della densita di unsoluto (ad esempio sale, zucchero) in un solvente (ad esempio acqua);

• il campo della temperatura in un solido o in un fluido;

• il campo del potenziale elettrico.

Le grandezze scalari coinvolte sono rispettivamente:

• la pressione p(x, y, z);

• la densita ρ(x, y, z);

• la temperatura T (x, y, z);

• il potenziale elettrico φ(x, y, z).

Queste quattro grandezze sono di tipo scalare2

1.1 Le differenze

In un campo scalare vi e una operazione caratteristica: quella di fare le differenze trai valori della funzione in due punti. Infatti le differenze di pressione tra due puntidell’atmosfera causano i venti; le differenze di temperatura tra due punti di un solidocausano la trasmissione di calore; le differenze di densita di un soluto fra due punticausano la diffusione del soluto nel solvente, ecc.

Ecco nascere la necessita di studiare le differenze fra i valori della funzione in duepunti rapportandole alla distanza. Infatti una differenza di 6 gradi di temperaturafra due punti puo essere tanta o poca, dipende dalla distanza tra i due punti. Se latemperatura di Roma e quella di Milano, ad un dato giorno, differisce di 6 ◦C la cosanon ci stupisce, ma se tale fosse la differenza tra due punti in una stessa stanza ...ci sarebbe di che preoccuparsi! Quindi una differenza della funzione scalare tra duepunti P e P ′, in se, non e significativa se non e rapportata alla distanza d tra i duepunti. Nasce allora la necessita di fare il quoziente

u(P ′)− u(P )

d(1) {GER1}

Questo quoziente, valutato in uno stesso punto P , variera con la direzione del segmen-to PP ′ e variera anche se si mantiene la stessa direzione. In altre parole se facciamo

2 Si osservi che il nome “scalare” indica che i valori di una tale grandezza si possono mettere inscala. Cosı una pressione di 34.000 Pa e maggiore di una pressione di 12.000 Pa. Invece i vettori nonsi possono mettere in scala: una forza di 4 N con una direzione assegnata non e, a priori maggiore ominore di una forza di 56 N in un’altra direzione. Quello che possiamo dire e che i moduli delle dueforze, che sono scalari, possono essere messi in scala. Ma l’effetto di una forza di soli 4 N agente suun corpo puo essere piu vistoso di quello di una forza di 56 N applicata sullo stesso corpo ma in unaltro punto e in un’altra direzione.

3

muovere il punto P ′ lungo una semiretta uscente dal punto P il quoziente dara valoridiversi. E significativo allaora il limite di tale quoziente quando d tende a zero:

g = limd→0

u(P ′)− u(P )

d(2) {GER2}

Questa grandezza scalare prende il nome di gradiente della funzione u(P ) nelladirezione considerata.

E evidente che cambiando la direzione uscente da P cambiera il valore di g. Inaltre parole il gradiente della funzione u(P ) nel punto P dipende dalla direzione. Seesploriamo le diverse direzioni uscenti dal punto P e ragionevole attendersi che vi siauna direzione in cui g assume il suo massimo valore gmax. Indichiamo con ~ν il versorein tale direzione e consideriamo il vettore

~g(P ) = gmax ~ν (3) {GER3}

Questo vettore racchiude in se tutte le informazioni relative alla intensita e alla dire-zione di massima variazione relativamente all’intorno del punto P e prende il nomedi vettore gradiente.

Vedremo piu avanti come calcolarlo una volta posseduta la funzione scalare u(P ).

1.2 Campo affine

Una funzione di una variabile u(x), se e “analitica” nell’intorno di un punto P0 puoessere sviluppata in serie di Taylor3:

u(x) = u(x0) +du

dx

∣∣∣∣∣x0

(x− x0) +1

2

d2u

dx2

∣∣∣∣∣x0

(x− x0)2 + ... (4) {GER4}

Una simile funzione puo essera approssimata nell’intorno del primo ordine di x0

mediante la funzione approssimante

u(x) = u(x0) +du

dx

∣∣∣∣∣x0

(x− x0) (5) {GER5}

che puo anche scriversi nella forma

u(x) = a+ gx (6) {GER6}

Questa e l’equazione della retta tangente alla curva rappresentativa della funzioneu(x) nel punto x0. L’equazione della retta solitamente si dice “lineare” ma il termine

3 Ricordiamo che una funzione si dice analitica nell’intorno di un punto se e continua, se ammettele derivate di tutti gli ordini e se il resto della formula di Taylor tende a zero quando il numero deitermini considerati tende all’infinito.

4

e improprio. Infatti una funzione lineare ha la forma y = g x. La presenza dellacostante addittiva a ne distrugge la linearita anche se l’andamento rimane lineare. Iltermine proprio per questa funzione e affine.

Per le funzioni di due o tre o piu variabili purche siano analitiche, si puo far usodello sviluppo in serie di Taylor. Arrestando tali sviluppi ai termini del primo ordinesi ottiene rispettivamente

u(x) = a+ g xu(x, y) = a+ gx x+ gy y

u(x, y, z) = a+ gx x+ gy y + gzz(7) {GER7}

Cosa accade se la funzione non e analitica? Se la funzione e solo “regolare”nell’intorno del punto P0 le approssimazioni date dalle (7) rimangono valide4. Quindipossiamo approssimare una funzione u(P ) con una funzione u(P ) per una vastissimacategoria di funzioni, purche siano regolari.

1.3 Gradiente

Indichiamo con P0(x0, y0, z0) un punto della regione in cui e definito il campo scalaree con P (x, y, z) un punto generico. La differenza

u(x, y, z)− u(x0, y0, z0) = gx(x− x0) + gy(y − y0) + gz(z − z0) (8) {GER8}

da luogo allo scalare

g =u(P0)− u(P )

d= gx

x− x0

d+ gy

y − y0

d+ gz

z − z0

d(9) {GER9}

Osservato che le frazioni sono i coseni direttori della direzione P0P ovvero sono anchele componenti del un versore ~n di tale direzione, potremo scrivere

g(P0) = gxcosα + gycosβ + gzcosγ (10) {GER11}

Introducendo il vettore ~g

~g(P0) = gx~i+ gy~j + gz ~k (11) {GER12}

si potra scrivereg(P0) = ~g(P0) · ~n (12) {GER13}

In altre parole il valore del gradiente nella direzione individuata dal versore ~n si ottienemoltiplicando scalarmente il vettore ~g per tale versore. Ne viene che la direzione per

4 Una funzione si dice regolare nell’intorno di un punto se la funzione e continua e ammettederivata prima continua.

5

la quale il gradiente e massimo e quella per la quale ~n ha la stessa direzione di ~g. Neviene che il vettore ~g e il vettore gradiente definito nell’equazione (3).

Se ora ricordiamo che in una funzione regolare i coefficienti gx, gy, gz sono datidalle derivate parziali della funzione, ne viene che, combinando l’espressione (11) conil vettore gradiente ha la forma

~g =∂u

∂x~i+

∂u

∂y~j +

∂u

∂z~k (13) {GER14}

Quindi per una funzione regolare il vettore gradiente ha come componenti le derivateparziali prime della funzione.

2 Campo vettoriale

Esempi di campi vettoriali sono:

1. il campo delle velocita in un fluido;

2. il campo degli spostamenti in un corpo solido deformabile;

3. il campo del vettore elettrico in un campo elettrostatico;

4. il campo del vettore induzione magnetica in un campo magnetostatico;

5. il campo dell’accelerazione di gravita.

6. il campo della vorticita in un fluido.

Le grandezze vettoriali coinvolte sono rispettivamente:

1. la velocita ~v(x, y, z);

2. lo spostamento ~u(x, y, z);

3. il vettore campo elettrico ~E(x, y, z);

4. il vettore induzione magnetica ~B(x, y, z).

5. il vettore accelerazione di gravita ~g(x, y, z);

6. il vettore vorticita ~w(x, y, z).

In un campo vettoriale vi sono ben tre operazioni caratteristiche:

• la differenza dei vettori in due punti;

• la circolazione del vettore lungo una linea;

• il flusso di un vettore attraverso una superficie.

6

Campo del potenziale vettore magnetico attorno ad un solenoide indefinito.

Campo dell'intensità magneticaattorno ad un filo rettilineo percorso da corrente.

i

H

Campo della velocità di un corpo rigido in rotazione.

Campo della velocità in un vortice fluido.

Φ ω

v

A

w

v

Figura 1: dida {BiotSavart}

7

L’esperienza che abbiamo fatto con il gradiente ci suggerisce di iniziare la presen-tazione con campi vettoriali particolari, i campi affini.

Un campo vettoriale e descritto da un vettore ~v funzione del posto:

~v(P ) = vx(P )~i+ vy(P )~j + vz(P )~k (14) {GER16}

Ogni campo vettoriale, nell’intorno di un punto di regolarita, si puo approssimare conuna campo del tipo

vx(x, y, z) = ax + gxx x+ gxy y + gxz zvy(x, y, z) = ay + gyx x+ gyy y + gyz zvz(x, y, z) = az + gzx x+ gzy y + gzz z

(15) {GER17}

Queste relazioni possono condensarsi nella forma matricialevxvyvz

=

axayaz

+

gxx gxy gxzgyx gyy gyzgzx gzy gyzz

xyz

(16) {A15}

La matrice

G =

gxx gxy gxzgyx gyy gyzgzx gzy gzz

(17) {GER18}

prende il nome di gradiente del campo vettoriale.Derivando le tre equazioni (15) rispetto alle tre variabili x, y, z si vede che

gxx =∂vx∂x

gxy =∂vx∂y

gxz =∂vx∂z

(18) {C05}

quindi

G =

∂vx∂x

∂vx∂y

∂vx∂z

∂vy∂x

∂vy∂y

∂vy∂z

∂vz∂x

∂vz∂y

∂vz∂z

(19) {C06}

Riguardando la relazione (15) non come un campo vettoriale affine ma come unatrasformazione tra le tre variabili x, y, z e le tre variabili vx, vy, vz, la matrice G vienechiamata matrice jacobiana della trasformazione.

Esempi di campi vettoriali affini sono illustrati in fig.(4) Dalla (15) si ricava che,dati due punti A e B vale la relazione

vAx − vBx = gxx(xA − xB) + gxy(yA − yB) + gxz(zA − zB)vAy − vBy = gyx(xA − xB) + gyy(yA − yB) + gyz(zA − zB)vAz − vBz = gzx(xA − xB) + gzy(yA − yB) + gzz(zA − zB)

(20) {S10}

8

x x

yy

x

y

A

BM M

A

B

A

B

a) b) c)

s

Figura 2: Campo affine: a) componenti tangenziali; b) componenti normali; c) ivettori. {grad5}

x

y

A

B

M

~vA

~vB

~vM =~vA+ ~vB

2

Figura 3: Il vettore del campo affine nel punto medio del segmento {grad4}

9

Figura 4: Esempi di campi vettoriali affini. Questi sono ottenuti assegnando i 12coefficienti ax, ay, az, gxx...gzz {HomogDeform0}

10

Si noti che fra i campi vettoriali affini vie e, come caso particolare, il campovettoriale uniforme. Una caratteristica dei campi vettoriali affini e che dati due puntiA e B del campo e considerato il punto medio M del segmento AB vale la relazione

~v(M) =~v(A) + ~v(B)

2(21) {A18}

ovvero il vettore nel punto medio di un segmento e uguale alla media dei vettori agliestremi del segmento, come mostra la fig.(3).

Questo comporta che, considerando le componenti tangenziali e normali dei vettorivalutati nei punti di un segmento AB, queste variano linearmente, come mostra lafig.(2)

Il gradiente di un campo vettoriale, che e una matrice, e di particolare utilita nellameccanica dei solidi deformabili e nella dinamica dei fluidi mentre non ha particolareinteresse nel campo elettromagnetico e in quello gravitazionale.

Per questa ragione tratteremo per prima la circolazione, per secondo il flusso eper ultimo la differenza.

2.1 Circolazione di un vettore

Consideriamo un campo vettoriale e consideriamo in essa una linea spezzata congiun-gente due punti A e B. Ispirati dalla nozione di lavoro lungo una linea si definiscela circolazione del vettore come la somma dei prodotti scalari dei vettori calcolati neipunti medi dei singoli segmenti per i vettori che descrivono gli stessi, vedi fig.(5):

Cdef=

N∑k=1

~v(Mk) · ~Lk (22) {A19}

Questa espressione e approssimata per un campo vettoriale generico mentre e esatta inun campo vettoriale affine come quello indicato in figura (5). Infatti, con riferimento

alla figura (6), in un campo vettoriale affine per un generico segmento ~L della spezzatavale l’uguaglianza

~v(M) · ~L =∫L~v(~r) · d~r. (23) {A20}

Infatti con riferimento alla figura (6), indicando con ~t il versore tangente al segmento~L e con s l’ascissa lungo il segmento a partire dall’origine si ha∫

L~v(~P ) · d~r =

∫ L

0vt ds =

∫ L

0(a+ bs) ds =

aL+ bL2

2=(a+ b

L

2

)L = vt(M)L = ~v(M) · ~L

. (24) {A21}

11

~v (Mk)

Mk

Lk

x

y

z

b)

~v (Mk)

Mk

Lk

x

y

a)

Figura 5: La circolazione lungo una poligonale: a) in un campo vettoriale piano;b) in un campo vettoriale tridimensionale {grad8}

sds

vt

v(M)M

Figura 6: L’integrale della componente tangenziale e uguale alla componentetangenziale nel punto medio M per la lunghezza del segmento. {gradi}

12

2.2 Poligonale piana chiusa

Calcoliamo la circolazione lungo una poligonale piana chiusa. Dal momento che lafigura delimitata si puo decomporre in triangoli, come mostra la fig.(7a), e che lacircolazione valutata lungo la poligonale e uguale alla somma delle circolazioni lun-go i perimetri dei singoli triangoli ne viene che e sufficiente calcolare la circolazionelungo il perimetro di ogni triangolo. A sua volta un triangolo generico si puo scom-porre in triangoli rettangoli, come mostra la fig.(7b), per cui iniziamo la trattazioneconsiderando un triangolo rettangolo. Metteremo gli assi paralleli ai cateti.

A B

C

AB

C

DA B

C

DE

F

a

b

i

j

x

y

b)a) c)

P

M

N

~V (N )~V (P )

~V (M )

Figura 7: a) La circolazione di un vettore lungo una poligonale chiusa e la sommadelle circolazioni lungo i triangoli in cui si puo decomporre la regione racchiusa.b) Dal momento che ogni triangolo si puo decomporre in due triangoli rettangoli,la circolazione attorno un triangolo generico si puo decomporre nella somma dellecircolazioni attorno i due triangoli rettangoli. c) Questo porta a considerare comeprimitiva la circolazione attorno a triangoli rettangoli. {circolazione}

C = ~v(M) · (a~i) + ~v(N) · [b~j − a~i] + ~v(P ) · (−b~j)

= a[vx(M)− vx(N)] + b[vy(N)− vy(P )]

(25) {A22}

Dalla equazione (15) si ricavavx(M)− vx(N) = gxx(xM − xN) + gxy(yM − yN) = gxy

(− b

2

)

vy(N)− vy(P ) = gyx(xN − xP ) + gyy(yN − yP ) = gyx

(+a

2

).

(26) {A50}

Sostituendo queste espressioni nella eq.(25) si ottiene

C = (−gxy + gyx)ab

2. (27) {A23}

13

Quindi la circolazione del vettore lungo il triangolo e proporzionale all’area del trian-golo. Dam momento che la circolazione e una grandezza addittiva la circolazione lun-go una poligonale chiusa piana e la somma delle circolazioni lungo i singoli triangoli.Poiche anche l’area e una grandezza addittiva, ne viene che in un campo vettorialeaffine la circolazione lungo una poligonale chiusa piana e proporzionale all’area rac-chiusa dalla poligonale. Questa proprieta indica che il rapporto circolazione/area euna grandezza caratteristica di una giacitura.

2.3 Il rotore di un vettore

Passiamo al tridimensionale. Se consideriamo due poligoni nei piani rispettivamentexy, yz e zx, indicando con Ax, Ay, Az le aree dei triangoli sui tre piani avremo:

Cx = (−gyz + gzy)Ax Cy = (−gzx + gxz)Ay Cz = (−gzx + gxz)Ay. (28) {C03}

Dal momento che la circolazione lungo la faccia di un tetraedro si puo esprimerecome la somma delle circolazioni lungo le altre tre facce, come mostra la Fig. (8),abbiamo

Cα = Cx + Cy + Cz (29) {G382}che possiamo anche scrivere

Cα ≡CxAx

Ax +CyAyAy +

CzAzAz (30) {GG82}

Ora, dal momento che la circolazione Cz e proporzionale all’area introduciamo i

xy

z

S x

S z

S yS x

xy

z

S

S z

S y

aab b

cc

Figura 8: La circolazione sulla faccia inclinata del tetredro e la somma dellecircolazioni sulle rimanenti tre facce. {rotore1}

rapporti

Rxdef=CxAx

= −gyz+gzy Rydef=CyAy

= −gzx+gxz Rzdef=CzAz

= −gzx+gxz. (31) {A24}

14

che sostituito nella (29) mi da

CαA

= RxAxA

+RyAyA

+RzAzA. (32) {GG2}

Se introduciamo i vettori

~Rdef=CxAx

~i+CyAy

~j +Cz

Az~k ~n = cos(α)~i+ cos(β) ~j + cos(γ) ~k (33) {Z823}

possiamo scrivereCαA

= ~R ·~n. (34) {Q426}

Il vettore ~R cosı introdotto si chiama il rotore del campo vettoriale affine e si scrivein notazione figurata ~R = rot~v. Dunque

rot~v = (−gyz + gzy)~i+ (−gzx + gxz)~j + (−gxy + gyx)~k. (35) {S675}

Come si vede le componenti del vettore rotore sono espresse mediante le componentidella matrice gradiente che, in un campo vettoriale affine, sono costanti.

In un campo vettoriale generico le ghk sono espresse da derivate parziali: ne vieneche

rot~v = (∂z vy − ∂y vz)~i+ (∂x vz − ∂z vx)~j + (∂x vy − ∂y vx)~k. (36) {S675}A fini puramente mnemonici e comodo far uso del determinante simbolico

rot~v =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x ∂y ∂zvx vy vz

∣∣∣∣∣∣∣ (37) {GER43}

La terminologia che abbiamo introdotto per il rotore e simile a quella usata per ilgradiente: bisogna distinguere tra il gradiente in una direzione ed il vettore gradiente,analogamente si deve distinguere tra il rotore associato ad un piano ed il vettorerotore.

Nel primo caso le componenti cartesiane del vettore gradiente sono i gradientilungo gli assi cartesiani; nel secondo caso le componenti rispetto ai piani coordinatisono i rotori associati ai piani coordinati.

Invece del vettore ~R si puo introdurre la matrice R, chiamata duale di ~R che edefinita nel modo seguente:

Rdef=

0 Rz −Ry

−Rz 0 Rx

Ry −Rx 0

=

0 (gyx − gxy) (gzx − gxz)(gxy − gyx) 0 (gzy − gyz)(gxz − gzx) (gyz − gzy) 0

gxx gyx gzxgxy gyy gzygxz gyz gzz

− gxx gxy gxzgyx gyy gyzgzx gzy gzz

= GT −G.

(38) {Q894}

15

Questa e una matrice anti-simmetrica ovvero soddisfa la condizione RT = −R. Dalmomento che una matrice anti-simmetrica 3×3 ha solo tre componenti non nulle,possiamo porre in corrispondenza biunivoca queste tre componenti con quelle di unvettore. Questo rende possibile esprimere la matrice R mediante la matrice gradientecon la seguente formula

R = GT −G. (39) {Q928}

2.4 Il flusso di un vettore attraverso una superficie

Consideriamo un campo vettoriale affine ~v, definito nella formula (15), ed un elemento

di superficie piana S con baricentro M . L’elemento S sara descritto dal vettore ~A. Ilprodotto scalare

Φ[S]def= ~v(M) · ~A (40) {Q945}

e chiamato flusso del vettore ~v attraverso la superficie ~S. Sottolineiamo il fattoche questa definizione esige che il vettore venga valutato nel baricentro dell’elementosuperficiale.

αk

~vk

αk

Ak~

Ak

Ak~

~vk

cos αk

M

SS

Figura 9: a) Il flusso elementare relativo ad un elemento di superficie piana; b) ilflusso attraverso una superficie generica. {flusso2}

Questa condizione e richiesta al fine di rendere il flusso uguale a quello che evalutato mediante l’integrale ∫

S~v(P ) · d~S = ~v(M) · ~A (41) {K763}

per un campo affine ed una superficie piana.

Flusso in un campo vettoriale piano affine. In un campo vettoriale affine pianoi poligoni possono essere concepiti come basi di prismi di spessore piccolo ed uniforme,come mostra la figura (10). .

Dal momento che il campo vettoriale e piano il flusso attraverso le basi di questiprismi si annulla. Valutiamo il flusso, allora, attraverso le superfici laterali. Conside-riamo dapprima un prisma triangolare con due facce ortogonali come quello mostratonella Tavola(1, destra).

16

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

Figura 10: Ogni prisma si puo dividere in prismi triangolari che, a loro voltapossono dividersi in prismi triangolari con un angolo retto. {K971}

Tavola 1: In un campo vettoriale affine il flusso attraverso il bordo di unvolume e proporzionale al volume. {G754}

XXXXXXz���

6

x

y

z

XXz6�

~i

~j

~kXXXX

XXXX�

AAAAAAAA

�

�AAAAAAAA

a

b

c

1

2 3

bb r����7

�

���> ~v1

~v2

~v3

?

PPPi

�����3

~A1

~A2

~A3

17

Osserviamo che per ogni poliedro la somma dei vettori superficiali orientata versol’esterno si annulla. ∑

α

~Sα = 0 (42) {U823}

in questo caso ~S3 = −~S1 − ~S2. Ne segue che∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Φ(∂V ) = ~v1 · ~S1 + ~v2 · ~S2 + ~v3 · ~S3

= (~v1 − ~v3) · (−ac~j) + (~v2 − ~v3) · (−bc~i)= G(~r1 − ~r3) · (−ac~j) + G(~r2 − ~r3) · (−bc~i)

= G

(− b

2~j

)· (−ac~j) + G

(−a

2~i)· (−bc~i)

= +acb

2~j ·G~j + bc

a

2~i ·G~i

= (gxx + gyy)abc

2= (gxx + gyy)V

(43) {H875}

vale a dire il flusso e proporzionale al volume racchiuso. Poiche ogni prisma si puodecomporre in prismi triangolari, come mostra la Fig. (11) ed ogni prisma triangolaresi puo decomporre in due prismi triangolari con angolo retto, abbiamo dimostrato chequesta proprieta e valida per ogni prisma.

Analoga proprieta vale in un campo vettoriale tridimensionale. Consideriamo untetraedro rettangolo come quello indicato in Fig. (11).

18

x

y

z

M12

4

3

D

α

y

x

b

a

A

B

C

α

AB

C

12

3=4

i

i

j

j

k

l

h

Figura 11: The barycentre of the fourth face of a rectangular tetrahedron and itsrelation with the barycentres of the other faces. {tetraedro}

Dal momento che ~S4 = −~S1 − ~S2 − ~S3 otteniamo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Φ(∂V ) = ~v1 · ~S1 + ~v2 · ~S2 + ~v3 · ~S3 + ~v4 · ~S4

= (~v1 − ~v4) ·(−bc

2~i

)+ (~v2 − ~v4) ·

(−ac

2~j)

+ (~v3 − ~v4) ·(−ab

2~k

)

= G(~r1 − ~r4) ·(−bc

2~l

)+ G(~r2 − ~r4) ·

(−ac

2~j)

+ G(~r3 − ~r4) ·(−ab

2~k

)

= G(−a

3~i)·(− b

3~h

)+ G

(−a

2~i)·(−bc~i

)+ G

(− c

3~k)·(−ab

2~k

)

=abc

6~l ·G~i+

abc

6~i ·G~h+

abc

3~k ·G~k

=abc

6[cos(α)~i− sin(α)~j] ·G~i+

abc

6~i ·G[sin(α)~i+ cos(α)~j]

+abc cos(α)

6~k ·G~k

=abc cos(α)

6(gxx + gyy + gzz)

= V (gxx + gyy + gzz).(44) {H871}

Come si puo notare il flusso e propozionale al volume racchiuso. Poiche ogni poliedrosi puo decomporre in tetraedri, come mostra la Fig.(12) ed ogni tetraedro si puoscomporre in tetraedri rettangolari, abbiamo dimostrato che la proprieta e valida per

19

ogni poliedro. Si puo concludere, quindi, che in un campo vettoriale affine il flussoattraverso il bordo di un poliedro e proporzionale al volume del poliedro e la costantedi proporzionalita e la stessa per ogni poliedro.

2.5 Divergenza di un vettore

Il fatto che il flusso attraverso il bordo di un poliedro sia proporzionale al volume delpoliedro suggerisce di definire la quantita scalare

φ(∂V )

V= gxx + gyy + gzz (45) {D539}

che prende il nome di divergenza di ~v e che si scrive con notazione figurata

div ~v. (46) {C01}

x

y

z

Figura 12: Ogni poliedro puo essere decomposto in tetraedri ed ogni tetraedropuo decomporsi in tetraedri rettangolari. {scomponi}

20