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SELEZIONI CONTINUE IN SPAZI NON LINEARI E PUNTI FISSI

di Luclano Carbone (*) (Pisa)

RIASSUNTO. Proseguendo uno studio iniziato in [1], vengono qui provati un criterio di

selezione continua in uno spazio metrico su cut vengono fatte ipotesi di connessit/~ e un

teorema di punto fisso in spazi di Banach uniformemente convessi, relativo a multiapplica-

zioni che risultano essere delle contrazioni.

INTRODUZIONE

In una precedente nora [II 6 stato stabilito un criterio cli selezione continua

relativo ad una multiapplicazione 0 tale che 0(x ) sia costituito dan elemenfl v x,

definita su di un covesso compatto in uno spazio di Banach. Tale risultato,

utile ad altri scopi (cfr. [21) si presta poco per Io studio delle selezioni delle

funzioni analitiche e per quello dell'esistenza di punti fissi relativamente a corn-

patti in topologie deboli.

Utilizzando le tecniche gi/l impiegate in [II, di cut si viene cost ad eviden-

ziare la pifJ ampia validitY, ci proponiamo pertanto in questa nota di stabilire

criteri di selezione per studiare tall problemi.

Nel n. I a tal fine introduciamo la nozione di spazio fortemente connesso

(che riassorbe i convessi compatti in spazi di Banach, gli spazi finito-dimensionali,

gli insiemi limitati o illimitati contornati da curve di Jordan semplici in R');

ne studiamo le propriet/l, verificando su di un esempio che due sfere in uno

spazio di Frechet i cut centri distano meno della somma dei raggi, possono

avere intersezione non vuota, per dedurne che non tutti gli spazi di Frechet

sono fortemente connessi.

(') Presentato da B. Pettineo.

102 r.uciAmo c A R n o m s

Nei numero 2 stabiliamo un teorema di selezione continua di funzioni pluri-

roche semicontinue inferiormente (o superiormente) tali che 0 (x) v x sia costituita

d a n elementi o, sotto ulteriori ipotesi, da un'infinith numerabile di elementi;

forniamo deile applicazioni e mostriamo su esempi che i risultati non sono

migliorabili n~ in senso topologico n~ nel senso di una variabilith del numero

degli elementi in 0(x). Nel n. 3 stabiliamo un criterio di selezione K-lipschitziana

relativamente a funzioni plurivoche K-lipschitziane, definite su spazi normati

separabili; proviamo infine un criterio di esistenza di punti fissi in spazi di

Banach uniformemente convessi relativamente a multiapplicazioni 1-1ipschitziane

(sempre nell'ipotesi 0(x) costituito V x da n elementi).

.

lndicheremo con l(x, 8) in uno spazio metrico l'intorno circolare di x di

raggio 8.

Definizione !.1. Diremo che (S, d) metrico ~ fortemente connesso (F. C.)

se esiste una successione di insiemi [C,] tali che

a) C.., D__ C.; UC. = S; C. ~ compatto

b) v x E S a n : x E C ,

c) v n, comunque si assegni una sfera So in C, e x,, x,ESo posto d(x~, x2)----28

ailora v , ~ R § axo~Son / (x , ,~+, )n / (x , ,~+, )nc .

d) v n se x,, xjEC., d(x,, x j ) < 2R i , j = O , 1, 2 allora esistono

y, e) n R) n q

y~ ~ /(Xo, R) n / ( x , , R) n c .

tall che d (y,, Y2) < R

Diremo {C,] connessione relativa ad S e chiameremo gli insiemi C, maglie

della connessione.

Poich6 se 0 ~ una multiapplicazione tra due spazi topologici S ed L e se

~o ~ un omeomorfismo da T ad S, 0 ammette selezioni continue se e solo se

0$ ne ammette, i teoremi di selezione continua che dimostreremo in spazi F.C.

saranno veri anche per spazi ad essi omeomorfi.

SELIgZIONI CONTI~I.TB IN 8PAZI NON LINEARI E PUNTI FISSI 103

L'ipotesi d) esprime l'idea qualitativa dell'assenza di "buch i " , mentre I'ipo-

tesi c) quella della possibilith di congiungere due punti arbitrari tramite "catene"

di punti.

Quest'ultima osservazione pub essere formalizzata nei seguente ovvio

LEMMA 1.1. Se S ~ fortemente connesso comunque si fissino due punti x~ e x2,

una sfera So the li contenga e ~ E,9 + esistono un numero finito di punti p~, . . . , p~

tali c h e v i p~ E So d(p l , p,+,) ~.< ~ p~ ~ x, p~ : - x2.

LEMMA 1.2. Uno spazio a connessione forte ~ connesso, separabile, localmente

compatto.

Dimostrazione. La compattezza locale e la separabilit~ seguono subito da

a) e b) di definizione 1.1; per la connessione basra osservare che per il lemma !.1

V n Cn ~ connesso stante una caratterizzazione elementare della connessione di

compatti metrici. D'altro canto poich~ C , C Cn+l ~ ovvio che se A e B sono

aperti disgiunti la cui unione ~ S, non vuoti, deve esistere almeno un n per cui

ANC~-Ta~ B N C , - y a 0 A C I B = ~ e cib ~ assurdo.

Uno spazio fortemente connesso pub essere incompleto: questo ~ ii caso

dell'intervallo aperto ( - - a , a) fornito della connessione { [ - - a - J r 1/n, a - l/n]l.

Un convesso compatto in uno spazio di Banach 6 fortemente connesso

in quanto la c) ~ ovvia (basta considerare il segmento x, x2) e la d) ~ soddisfatta

con la scelta

x o q - x l Xod-X ~ Y' = 2 ' Y~ - - 2

Uno spazio hilbertiano finito dimensionale ~ a connessione forte: basta

considerare la connessione costituita dalle successioni di sfere chiuse di centro

nell'origine e raggio n E N.

Un insieme contornato da una curva di Jordan semplice in /~ ~ F.C..

Una circonferenza munita della topologia ereditata da R 2 non ~ a connessione

forte perch~ non soddisfa la condizione c) (d) se eredita la topologia delle sfere

quadre).

Dimostriamo che esistono spazi di Frechet tali che in essi esistono coppie

di punti (x,, x~) a distanza ~ e ~E/~ + sicch~ in S = l ( x ~ , ~ /2q - r ~/2--[-s)

non ~ contenuto alcun punto dello spazio.

| 0 4 LUCIANO CARBONm

Sia X io spazio di Frechet delle funzioni continue sull'intervalio [0, I]

dotato della metrica

= 1 d(.f, g ) = I f - - g l = h ~ ~ ~

sup If(x) - g(x) l xEK,,

1 + sup I f ( x ) - g(x)l x E / G

i ' ] K . = O, I n + 2 "

S i a

x, = o; x, = a (~ R)

allora

1 a a(o, a) = 2" l + a

(o) (o) cl 0 , 3 . --=d a, 3- = Y~

1 - - a 1 2

2" 1 1 + 3 - a

Poich~

a 1 a ~ > 2 + a 2 1 + a

posto IO - a/21 - 1/210 - al = 2~ -t- ~' si ricava che (r y > O)

(i) - a - i l ( , 3- ~)f'll (x,, 3- r

Proveremo che da (1) segue che vfEX fES. Osserviamo che basra provare

che non esiste f E X tale che

a

I f - o l < , 3 - - ~ (2)

I f - al < [ i a

-~- - - a

infatti, se esistesse f ~ 8 si avrebbe c h e f soddisfa la (2).

SltLgZIONI CONTINUB IN 8PAZI NON LINEARI E PUNTI FISSI | 0 5

Per assurdo supponiamo che esiste .f tale c h e f soddisfa (2) allora si ha

per un n opportunamente grande

(3),

12 s u p l f [ . - - n l Kt E I 2

l + s u p l . f l < 2' K, ~=o 1 + a 2

(3h

12 sup If -- a, ,, - -

" 1 Kl ~ 1 2

~ ~ - 1 + sup I f - - al < 2' a A', i = o 1 +

Ragionando per ricorrenza proveremo che la (3) contiene un assurdo.

I~ ovvio che per n : 0 non esiste alcun f tale da soddisfare (3). Supponiamo

ci6 vero per K - - - - n - 1 e proviamolo per n. Osserviamo subito c h e l a funzione

Ix[ ~ strettamente crescente e ragioniamo per assurdo. Sia vera la (3). Se z + [xl

d sup f ~< - - g,, 2

aliora 12

s u p f .-.< - - K6 i~n 2

G sup I f - - a] > / - -

K~ 2

per cui la seconda delle (3) 6 falsa.

Sia d

sup f > -~-; K,,

$e

0 s u p f . - I - -

n-I 1 Kj > ~ E 1 2 E 2' I+supf a

l--o 1-t- 2 t-----0 Kt - -

allora la prima delle (3) ~ falsa, dunque siamo ricondotti al caso

12 sup f > - - ~. 2 '

1 0 6 LUCIAZqO C &RBOI~]B

a

sup f . - I 1 2- "-~ 1 r, < ~] 2' 2' 1 + s u p / a i=o r, i-o 1 +

e per induzione si ha:

a

s u p l f - - a l n-, 1 -2- n-I l /r ~ E 2 t

(4) E ~ - 1 -F sup I f - - a[ I~o /r , l =o 1 - ' ] - -

Dalla seconda delle (3) e dal la (4)

a sup i f - a l . - , - - n - ~ l r, t~..i 1 2 < 2

0~< 2' l + s u p l f - a l 2' ~ a t=o K, = 1 + ~ 1 + ~-

supK. I f - - al ) 1 + s u p [ f - - a l

Kn

sicch~ :

a a a s u p l f - - a [ < ~ - = > s u p l f - - a l < ~- =~ s u p f > 2 ' Kn gi gl

e dunque la (3) 6 falsa.

Si ha percib un assurdo. Cib prova fra l'altro che uno spazio di Frechet

non necessariamente 6 F.C. .

.

Sia (S, d) uno spazio metrico, indicheremo con C(S) i 'insieme delle parti

chiuse e non vuote di S.

L'applicazione

d: X X YEC(S)X C(S) -~ max {s~,xp d(x, r), s~ d(y, X)I

costituisce una metrica generalizzata in C(S).

Diremo che un'applicazione da uno spazio metrico S in C(L), L metrico,

6 semicontinua superiormente (s. c. s.) se, essendo 0 plurivoca I'applicazione

(1) ~ : x E 8 - ~ sup d(x,, O(y)) x~ E O(x)

6 continua in y, r y E S ; diremo che 0 6 semicontinua inferiormente (s .c . i . )

SELEZIONI CONTINUB II~ SPAZl NON Lll~IEARI I~ PUNTI FIS$I 107

se l'applicazione

(2) ~ :xES~ . sup d(y,, 0(x)) y~EO(y)

continua in y V y E S .

Ovviamente 0 /~ continua secp e ~ risultano continue.

PROPOSlZlONE 2.1. Sia 0: S->.C(L) s. c.i. (risp. s. c. s.), S compatto O(x)

costituito da n elementi v x, allora 0 ~ continua.

Dimostrazione. Se 0 ~ s.c.i , allora scelto 2e < inf d(x~, xj) esiste un xi, xi E O(x)

E/?+ tale che xj~x~

(3) v x, E 0 (x) v y : d (x, y) < ~ ~ y, E 0 (y) : d (x,, y,) < e

ma per la scelta d i e se d(y , , xj) ( e, allora d(y, , xj) ~ E j ~ i (xjE0(x)) e

stante l'ipotesi suUa cardinalith di 0(x) si ha

(4) v y, E o (y) a x, ~ 0 (x) : d (x,, y,) < ~.

La (4) implica la s. c. s. e dunque 0 ~ continua.

Sia 0 s. c. s.; costruiamo la funzione

do: X E S ~ min d(x,, xj). xj, xt E e(x)

Essa risulta positiva ed ~ s . c . i . ; infatti v e E R + esiste ~ E ? + tale che

indicati con )~ y] i punti di 0(y) in cui viene assunto il valore do(y ) si ha

d(x, y ) < 8==)>~l(x, y) EO(x)X O(x): d(x, y ~ < ~, a(y , y~ <

e dunque

d(x, y) - - d(y~, y~ ~< dCx, y~) + d(y, y~ + a(y~, y~ - d(y~ y~ -_< 2~

ma d(x~, x~).~ d(x, y) e allora

dCx~ x~ - - d(y~, y~ < 2e.

Poich/~ S ~ compatto d o ammette un minimo positivo che indicheremo d'ora

innanzi con do(e ). La continuit~ di 0 E ora immediata, lnfatti fissato 2e ~ do(0)

la s . c . s , implica

(5) v y, E 0 (y) a x, E O ix) : d (x,, y,) <

| 0 8 LUCI&~O C&IBONlg

ma ragionando come nel caso della s. c. i. si ricava

(6) v x, ~ o (x) ~ r, ~ o (r) : d (x,, y,) < ~.

La (5) e la (6) implicano la continuith.

Se 0,, . . . , 0, sono selezioni estratte da 0 e risulta

0, (x) ~ O~ (x) V x E S i ~ j

diremo che O,, . . . , 0. sono distinte.

LEMMA 2.1. Sia S F. C. e 0 : S -~ C(L), L metrico. Se O (x) ~ costituito v x

d a n elementi, allora esistono al pifz n selezioni continue distinte, estratte d.a O.

Dimostrazione. Siano 0,, . . . , 0. n selezioni continue estratte da O; si tratta di

provare che se 0 ~ una selezione continua estratta da 0 esiste i tale che 0 = 0,.

Per la proposizione 2.1 su ciascun C. do(0 } :> 0.

Scelto 2r < do(0), per qualunque selezione continua f esiste 8ER § tale che

v x, y ~ c . d (x, y) < 8 ~ . a ( f fx ) , / ( y ) ) < ..

Dunque per ciascun xECn esiste un intorno Ix di x (nella top. indotta su Cn)

godente della seguente propriet~: per ogni yElx il valore di f in y risulta definito

come il punto che minimizza la distanza tra 0(y} e f (x) .

Sia xoECn; poich~ in x, esiste i, tale che 0(Xo)= 0i,(Xo) si deduce la coin-

cidenza di {} e 0i, in un intorno di Xo. L'insieme I~ in cui le funzioni 0 e

0ll coincidono, ~ chiuso per la continuit~ di tali funzioni; da quanto sopra

consegue che I ~ anche aperto (in C.). Poich~ C, ~ connesso I = C.. Dal fatto

che 0, e 0j sono distinte segue subito che 0 i , = 0 su U C , , = S .

LEMMA 2.2. Sia C. una maglia di S, 0:C~-~ C(L) continue e 0 (x) costituito

da n punti (n > 1) per ogni x E C~.

Qualunque siano q~ E L, p E S si ponga

Oq,(p) = {p, EO(p) :d (p , , q , ) = min d(r, q,)}. rEO(p)

Allora esiste un 8 o E R + godente delle seguenti proprietY.

(A) x~ E O(x), d(x, y) < 8 o =>. O~(y) costituito da un solo elemento;

(B) d(x, y ) < 8 o=~ ,vx~E0(x ) il punto O~,(y) ~ l'unico y, E0(y) tale che 1 d(x,, y,) < -~do(0);

S E L E Z I U N I C O N T I N U R I/~i SPAZI N O N L I N E A R ! E P U N T I F ISSI 109

//y, = o..(y) x, E O(x) ) (C) [ z, = O,,(z) =~ y~ = 0,, (y);

\ d(x, y) < 80 a ( x , z ) < 8 0

/ y, = 0,, (y) x, E 0 (x) \

(D) / { z, = 0~, ( z ) ) =~ y, = 0,, (x).

\ d ( x , y ) < 8 0 t/(x, z )<8o

lnfine la (D) sussiste anche qaalora l'ipotesi d(y, z), d(x, z ) < 8 o sostituisca l'ipotesi

a(x, y), a(x, z) < 8~

Dimostrazione. La dimostrazione segue con qualche piccola ma ovvia modifica

da quella del lemma 1.2 e corollario 1.3 di [i].

LE/VUVlA 2.3. Sin C, una maglia di uno spazio F.C. e 0 una applicazione

continua da C~ a C(L) tale che 0 (x) ~ costituita da n elementi, allora si possono

estrarre da 0 n selezioni distinte.

Dimostrazione. La dimostrazione ricalca quella di teorema 1.1 di [1]; la

esporremo percib schematicamente segnalando le modifiche da apportare ai punti

a), b), c) in cui ~ articolato il citato procedimento dimostrativo.

a) Esiste un 80E R ~ tale che le applicazioni

y E l(x, 8o)-~. I'unico elemento di 0x,(y) x,E 0(x)

risultano ben definite e continue e quindi sono deile selezioni Iocali continue

di 0 distinte. La dimostrazione ~ identica a quella di [1], utilizzando ii lemma 2.2 in

luogo dei lemma 1.2 di [I].

b) Se z E i(x, 80) ogni applicazione univoca e continua del tipo

: y E ! (x, 8,) N / (z, 8~ .~ y, E 0 (y)

coincide con la restrizione a l(x, 80)N l(z, ~ di una delle funzioni Ox,.

La dimostrazione ~ analoga: le considerazioni svolte in [!] sul segmento

x y vanno sostituite con l'utilizzazione del lemma 1.1.

c) Le selezioni Iocali definite in a) possono essere estese con continuit&

in selezioni ad un sol valore su tutto C,. Come nello analogo c) di [1], tissato

1 1 0 Lvcza~o c ~ a a o s g

sE C, e considerata la successione IS,,,1 di sfera di C, di centro s e di raggi 8o

80 -Jr- (m - - l) ~ - , se x E S 2 - - S ~ in un suo intorno di raggio 8 o sono definibili

per a) n selezioni locali continue. Per la condizione c) di definizione I.! esiste

y E l(x, 80)~ $1; in un intorno di y sono ancora definibili n selezioni che per

b) devono coincidere su l(x, 8o)NS 1 con quelle definite in $1 e con quelle

definite in l(x, 83). Le funzioni definite in S, risultano estese in maniera naturale

con continuit/~ secondo la legge che per ogni x E S ~ - SI prolunga 0xt nella

funzione definita su l(x, 8o) e con essa coincidente su l(x, 8o) t")l(y, 8o).

La prova che tale funzione non dipenda dalla scelta di y ~ del tutto ana)oga

a quella svolta in [I].

�9 La prova che nel prolungamento non si generano funzioni plurivoche va

modificata scegliendo y e z a norma della condizione d) definizione 1.1 invece

che come in [1].

Nel prolungare da $2 a S, si utilizza la condizione c) e si procede analo-

gamente. Per il resto della dimostrazione le modifiche, dopo quanto detto,

sono ovvie.

TEOREMA 2.1. Sia S fortemente connesso, L metrico, O:S->.C(L) un'applica- zione plurivoca semicontinua inferiormente (risp. semicontinua superiormente) tale chev x E S 0 (x) ~ costituito dan elementi. Allora 0 ammette esattamente n selezioni continue distinte.

Dimostrazione. Per ia proposizione 2.1 0 ~ continua su ogni C~; per la

condizione b) di definizione l.I essa 6 continua su S. Per il lemma 2.3 qualun-

que sia m E N possono estrarsi da 0 n selezioni continue su C. distinte.

Attribuiamo degli indici arbitrari aile selezioni definite su C, e supposti

assegnati gli indici alle selezioni definite su Cm, diamo come indice a queile

definite su Cm+~, gli indici ereditati in maniera naturale daile restrizioni su C . .

Tale legge/~ ben definita perch~ una selezione definita su C,~ deve coincidere

(lemma 2.1) con una di quelle definite su C~_, e d'altro canto (iemma 2.1)

le selezioni definite su C~, sono distinte.

Risultano cosi definite per ricorrenza n selezioni su S. La continuit/~ di tali

selezioni deriva dalla condizione b) di definizione 1.1 e dalla continuit/l deUe

Ioro restrizioni a ciascun C=. II fatto che esse siano distinte deriva dall 'essere

distinte su ciascun C~,.

SEL~ZXONX c o ~ R m s P a z x ~ , o ~ L m S A R ] g P u ~ T z ~ . s s x I I I

TEOREMA 2.2. Sia S uno spazio F. C. di connessione {C,I L metrico, O:S->.C(L)

s. c. i. (risp. s. c.s.), 0 (x) sia costituita v x da una infinit~ numerabile di punti.

La funzione

do : x E S-~ inf d(x, , x2) x~, xt E O (x); xt v~ xs

ammetta su ogni C, un estremo inferiore positivo. Allora si pu6 costruire un'infinit~

numerabile [0ll di selezioni continue distinte tali che se ~) ~ una qualunque selezione

continua esiste ii tale che 0 ---- 0l,.

Dimostrazione. Come nella prop. 2.1 si prova che 0 ~ continua su ogni Cn.

Si possono allora facilmente estendere considerazioni gi/t svolte per ottenere la

test. Ci sembra opportuno chiarire solo una modifica da apportare alia dimostra-

zione del lemma 2.2 e per esso a queila del lemma 1.2 di [1]. Precisamente

con riferimento all'ultimo capoverso delia dimostrazione della (A) di [1], ove si

prova che x , ~ x 2, ii ragionamento va sostituito col seguente: se fosse x ~ x , ,

allora sarebbe d(y~, Y2) ~ do(O) e cib ~ assurdo.

Osservazione l . l . Se S 6 unione insiemistica e topologica di una famiglia

di spazi fortemente connessi a due a due disgiunti, allora conservano validit~

le conclusioni dei teoremi 2.1 e 2.2 relativamente all'esistenza ma non quelle

relativa alia unicit/t.

Osservazione 1.2.

a) Per stabilire se un'applicazione plurivoca 0 gode della propriet/l che

0 (x) ~ costituito V x da n elementi, si pub utilizzare il seguente criterio: Sia !

i'insieme di punti in cut 0(x) ~ costituito d a n elementi; sia M uno spazio

metrico connesso, 0 un'applicazione plurivoca da M in C(L) tale che essa

continua e 0(Xo) 6 costituito d a n elementi. Se mo= inf d(y, z) > % > 0 y, zES(x), xEl, ~ z

e se O(x), v x ~ costituito al pif~ d a n elementi, allora O(x) ~ costituito V x da

n elementi.

La dimostrazione ~ ovvia (per completezza osserviamo c h e l a si pub ottenere

adattando ragionamenti svolti in [2] proposizione 2.1).

b) Un altro semplice criterio ~ il seguente: Sia M metrico IO.} una succes- stone di applicazione plurivoche tall che definitivamente O.(x) ~ costituito da n punti v x ; se do(0,) > ~o > 0 e v x e lim0,(x) = 0(x) aliora 0(x) ~ costituito

'r x d a n elementi.

1 1 2 , . u c ~ . s o CAR~ONE

Sia S la sfera unitaria del campo C dei numeri complessi dotato della

struttura hilbertiana naturale, consideriamo la seguente funzione plurtvoca:

C : z e C - O I + } f f , - } f f l

0 ~ 0 .

Tale funzione 6 ovviamente continua da S in C(C). S chiaramente 6 a connes-

sione forte; ma, come 6 noto, f - non ammette in S alcuna selezione continua.

D'altro canto comunque si scelga un insieme connesso e compatto non conte-

nente 1o 0, f - ammette come 6 ben noto, e come assicura il teorema 2.1. due

selezioni continue.

Le funzioni

z 6. C - - 0 .~ {elmP(2~x+|~176 N

( )": ",0- oo

p6. C, Rep ~ 0, I m p < 0 ,

da C in C ampliato risultano continue in ogni insieme non contenente 1o 0 e

d(~' 6 ivi definito positivo, ma 6 0 quando calcolato nella metrica di C ampliato.

I1 teorema 2.1 assicura che per ogni insieme fortemente connesso non contenente

1o 0 esistono infinito numerabile selezioni continue distinte estratte da ( )".

lndichiamo ora con Co la circonferenza unitaria in C topologizzata secondo

la norma delle sfere quadre ([zi = [Rezr + llmz[). Essa non soddisfa come

osservato la condizione d) di definizione 1.1. !~ ben noto che f-- definita su Co

non ammette selezioni continue.

Ques'uitimo esempio mostra che nell'ambito della teoria svolta non 6 suf-

ficiente conoscere i valori di una funzione analitica plurivoca sulla frontiera

di un aperto semplicemente connesso per poter dedurre I'esistenza di selezioni

continue.

L'essenzialit;h della condizione d) pu6 essere mostrata su di un esempio

pifJ "geometr ico ".

Si associ a ciascun punto della circonferenza Co, la coppla coatituita da:

due punti, I'uno sul margine superiore I'altro sul margine inferiore di un nastro

di MObius. I~ facile convincersi che I'applicazione pu6 essere scelta in maniera

tale da essere continua, ma 6 ovvio che non ammette selezioni continue.

8 E L I I Z I O N I C O N T I N U E IN S P A Z I N O N L I N E A R I Z P U N ~ F I l l 113

o

Una funzione plurivoca da uno spazio metrico S in uno spazio metrico T

si dice che ~ lipschitiziana quando

d (0 (x), 0 (y)) < X d (x, y).

Se K~<I si dice che ~ una contrazione; se K < I the ~. una contrazione stretta.

TEOREMA 3.1. Sia X uno spazio normato separabile e L di Banach; O:X ,C(L )

un'applicazione lipschitiziana tale che 0(x) ~ costituito v x d a n punti, allora 0

ammette esattamente n selezioni distinte 01, . . . , 0., lipschitiziane con la stessa

costante di Lipschitz di O.

Dimostrazione. Per la separabilit/! di X esiste {x,} tale che sp{xl, .... x,,...}=X.

Indichiamo con Cn la sfera di raggio n, chiusa nel sottospazio m-dimensionale

sotteso da x,, . . . , xm. Si ha Cm+IDC~,, X=-LJC~, e Cn ~ F.C.. Allora vm su

C,~ sono definibili n selezione continue 0,~, tall che le restrizioni a C,-~, per

ogni i coincidono con le selezioni definite su Cm-i. Proviamo che tali selezioni

s o n o lipschitziane su C,,. Sia 80(m) il numero di cui nel lemma 2.2 relativo a (7..

v x, y : d(x, y)~.< 8o(m) per come sono state definite le selezioni su C,, si ha

m a

dunque

o,,.(x) = o.,tx)

o,,. (y) = % (y),

a(O(x), 0(y)) -._< Ka(x, y) => sup d(x, 0 (y)) ~< K(a(x, y)) x I E e (x )

a (0,,. Cx), 0,,. (y)) ~< K a (x, y).

Siano ora x e y arbitrari in C. allora sul segmento x y E C. scegliamo K punti

p, . . . . . p r tall che p, -~- x; PK = Y, d(p, , p~+,) =~ ~o $i, ha

IO,.~(x)- %. (y)l ~< lo,.. ( p , ) - %. (p,)l + " " + Io,,. ( p ~ , ) - o,.. (px_,)[

-..< KIp, ~ p,[ + . . - + l e A . - - P , r - , ) = g ' l x - y].

Attribuiamo ora degli indiei arbitrar alle sel~z/on~ definite su C, e supposti

attt~ibuiti degli indici alle setezioni definite su Cm diamo degli indici a quetle

definite su C,,+1 secondo la legge che associa ad una selezione su C,+, quell'in-

dice che spetta alia sua restrizione su Cm; cio~ I'indice che esso naturalmente

eredita dalla sua restrizione su C,,, (legge ben definita per il lemma 2.1).

8 - R e n d . C i r c . M a t e m . P a l e r m o - S e r i e I i - T o m o X X V - A n n o 19 /6

114 LUCXANO esanOmm

Risultano perci6 definite n selezioni lipschitiziane su U Cn, distinte.

Sia x E U C~, allora esiste {x~t : xn -~ x, {x~) __C U Cn. Si ha

d(O,(x.), O,(x.)) Kd(x., x.)

e dunque Ot(xn) converge (il limite non dipende dalla particolare scelta della

successione {xn}). Che lim O~(x,)EO(x) segue subito dalla continuit/~ di O, ragio-

nando per assurdo. Pub allora es tenders i per ogni i la definizione di Oj(x) da

U Cn a 1.3 C,, conservando le proprieth di essere lipschitiziana e una selezione

di O. Sia infine 0 una selezione continua di O, allora per il lemma 2.2 su ogni

C , , 0 deve coincidere con una delle selezioni Ot.,,, sicch~ per come ~ stata

definita O~ esiste il tale che 0 = 0 i l su UCn. Poich/: U C n = X e 0 e el, sono

continue si ha che O = Oi~ su X. Proviamo infine che le selezioni 01 . . . . , On sono

distinte su U C , . Supponiamo per assurdo che esiste x o E X - - U C,:Oi~(xo)= Ol,(xo)

il ~ i,.

Costruiamo ora, come prima n selezioni lipschitzlane 0~, . . . , 0~, a partire

daU'insieme denso in X [Xo, xt, . . . , x,,, . . . I . !~ chiaro che O~(xo):~ O~(xo), ma

d'altro canto per quanto giA provato esistono j~, e ./2 tali che O j = 0~,, 0~,= Ot~ ne

segue 0,., (Xo)=~ 0~,(Xo) e ci6 ~ assurdo.

COROLLARIO 3.2. Sia X di Banach separabile; O : X - ~ C ( X ) plurivoca e

contrazione stretta ; 0 (x) costituito v x d a n punti, aUora 0 ammette esattamente

n punti fissi.

Dimostrazione. Per il teorema 3.1 0 ammette n selezioni che risultano essere

delle contrazioni strette; perci6 0 ammette aimeno n punti fissi. Che essi siano

esat tamente n deriva dal fatto che in caso contrario a lmeno una selezione do-

vrebbe avere almeno due punti fissi.

COROLLARIO 3.3. Sia X uno spazio di Banach uniformemente convesso, sepa-

rabile ; O : X - ~ C(X) tm'applicazione plurivoca contrattiva dalla sfera unitaria di

X, S, in C(S) e 0(x) sia costituito v x da n pnnti, allora 0 ammette almeno n

punti fissi. L'insieme di punti fissi ~ l'unione d i n convessi chiusi.

Dimostrazione. Per il teorema 3.1 0 ammette n selezioni 0~ . . . . , 0,, con-

trattive distinte. Ogni 0 t per il teorema di Browder ammet te almeno un punto

fisso e I ' insieme dei punti fissi ~ chiuso e convesso.

Pisa, Marzo 1976.

SELZ~.IONI CONTINUE IN SPAZI NON LINEARI ~ PUNTI P|SSl ~ | 5

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BIBLIOORAFIA

Carbone L., Su un criterio di selezione continua, Boll. Un. Mat. It., (4) 12 (19"/5), 127-137.

Carbone L., Teoremi di esistenza per un slstema di equazioni funzionali, Ric. di Mat., XXV (1976), 31-50.