Corso di Fisica 1 Dipartimento di Ingegneria Industriale - 2015 Cinematica del punto: la velocit e laccelerazione nel moto rettilineo Per affrontare lo studio del moto dei sistemi nello spazio (a prescindere dalle cause che provocano tale moto) necessario stabilire i seguenti punti: ci si interessa della posizione (istante per istante) occupata dall'oggetto (per ora un punto

materiale, senza estensione fisica). La posizione determinata quantitativamente introducendo un opportuno sistema di riferimento, ossia un sistema di assi che permettono di assegnare le coordinate (secondo opportune convenzioni geometriche) del punto al variare del tempo;

si osserva la natura relativa dei moti: oggetti fermi in certi sistemi di riferimento sono in moto in altri sistemi, e viceversa. Occorre dunque prestare attenzione a definire rigorosamente il sistema adottato per descrivere un certo moto nello spazio;

il concetto pi elementare che si associa al moto di un oggetto quello di velocit, ossia della rapidit di variazione dello spostamento spaziale con lo scorrere del tempo. E' possibile parlare fin dal principio di velocit nel senso vettoriale del termine, ossia di spostamenti nello spazio a tre dimensioni. E' comunque conveniente limitarsi inizialmente a fenomeni di moto che avvengono secondo un'unica direzione spaziale, ossia moti unidimensionali.

Per introdurre la velocit di un punto che si muove su una direzione assegnata (moto rettilineo), si pu considerare la definizione media di velocit, secondo la quale si osservano variazioni di coordinata (spostamenti) al variare del tempo (intervalli temporali). La velocit media dunque definita da

In questa relazione si considera il punto che occupa la posizione x1 all'istante t1 per passare alla posizione x2 all'istante t1, ovvero compie uno spostamento x nell'intervallo di tempo t. In base a questa definizione, risulta chiara la possibile incompletezza di informazioni per moti che avvengono a velocit variabili nel tempo: un'automobile che parte da un punto, si allontana, e ritorna allo stesso punto di partenza avr percorso un chilometraggio netto ma, secondo la definizione data sopra di velocit media, tale velocit risulter nulla essendo lo spostamento parimenti nullo in un tempo finito. Si giunge quindi all'esigenza di definire una velocit "pi precisa", nel senso di permettere la sua misura istante per istante e non (solo) su intervalli finiti di tempo. A tale scopo si considerano intervalli temporali di estensione sufficientemente piccola, al limite infinitamente piccola. Questa operazione matematica, che consiste di fatto nell'operare con una procedura di limite sul rapporto che definisce la velocit media, consentita ed ha pieno significato fisico quando si osserva che il punto in movimento tale istante per istante. Non deve dunque preoccupare il fatto di considerare intervalli temporali di estensione nulla, almeno se questa procedura matematicamente sostenibile. Si definisce quindi la velocit (in una dimensione) istantanea secondo la

x

t t1 t2

x2 x1

vmedia =x2 x1t2 t1

= xt .

In questo modo, la velocit istantanea (come quella media) acquista un conveniente significato geometrico, essendo infatti assimilabile alla derivata (pendenza) della curva che rappresenta lo spostamento del punto in funzione del tempo. La comprensione di queste idee richiede un minimo di familiarit con i concetti di derivata di una funzione di una variabile, almeno se si vogliono applicare a esempi realistici le relazioni sopra scritte. Allo stesso modo, possibile considerare l'operazione inversa, nel senso di ottenere lo spazio percorso in un certo intervallo di tempo conoscendo la velocit istantanea. L'idea una logica estensione della relazione

ottenuta per inversione diretta della definizione di velocit media data poco sopra. Se la velocit varia durante l'intervallo di tempo considerato, non certo possibile usare la semplice relazione sopra scritta. Ci si accorge per che lo spazio percorso ottenibile sommando i contributi associati ad intervalli temporali sufficientemente piccoli, per i quali la velocit pu essere presa essenzialmente costante (esattamente costante nel limite di intervalli di tempo che vanno a zero). A partire dalla somma di un numero finito di intervalli data da

possibile riconoscere, nel limite in cui i termini sommati sono calcolati quando gli intervalli temporali tendono ad estensione nulla e sono dunque in numero infinito, la definizione di integrale (nel senso matematico) della funzione velocit secondo la variabile tempo, che si scrive anche

Questa notazione coincide con il calcolo dell'area sottesa dalla curva che rappresenta la velocit in funzione del tempo. Si noti la consistenza dimensionale delle varie relazioni scritte in questa scheda, ove sempre chiaro che la velocit una lunghezza divisa da un tempo, ossia metri al secondo (ms-1 nel Sistema Internazionale). Se la velocit costante (moto rettilineo uniforme), questa espressione (come pure la definizione di velocit stessa!) conduce all'espressione elementare x(t)=x(t0)+v(tt0), gi evidenziata sopra. I grafici riportati dovrebbero essere d'aiuto per la comprensione di queste relazioni a fondamento della cinematica del punto. E' naturalmente possibile e, soprattutto, importante estendere questo schema alla misura della rapidit di variazione di velocit nel tempo. Tale grandezza precisamente definibile secondo la quantit media

che prende il nome di accelerazione media (scalare) del punto, in totale analogia con la definizione precedente di velocit media del punto. La definizione "puntuale", ossia istantanea di questa grandezza ancora ottenuta secondo un procedimento di limite nel senso matematico del termine, vale a dire,

.limlim00 txvv

tmediat ==

,)()()( 00 ttvtxtx +=

,221121 nnn tvtvtvxxxx +++=+++=

.)()()(0

0 +=t

tdttvtxtx

xk = vk tk

t

v

,12

12

tv

ttvvamedia

=

=

Le medesime considerazioni svolte per la velocit istantanea ed il suo utilizzo per il calcolo della posizione del punto ci conducono a scrivere, ora sfruttando l'accelerazione, la seguente relazione per la velocit del punto materiale:

.limlim00 tvaa

tmediat ==

.)()()(0

0 +=t

tdttatvtv