Riferimenti bibliografici

La letteratura sulla Teoria di Galois è molto vasta. Segnalo soltanto alcuni testi ed articoli che mi sono stati utili per la stesura di questo libro.

Teoria di Galois

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1940.

Indice analitico

A-algebra, 44 finitamente generata, 44, 77

Algoritmo della divisione euclidea, 36 delle divisioni successive, 39 di Berlekamp, 74

Ampliamento di campi, 111 abeliano, 285 algebrico, 130, 179

finitamente generato, 130 non finito, 131

biquadratico, 125 ciclico, 285, 286, 301 ciclotomico, 159 del tipo Q( ija, Vb), 126 di Galois, 207

di grado quattro, 251 finito, 208

di Kummer, 302 finitamente generato, 112

algebrico, 130 finito, 123 normale, 186

finito, 187 puramente inseparabile, 200 puramente trascendente, 217 quadratico, 125 radicale, 299

puro, 299 semplice, 112, 120, 195

algebrico, 121 finito, 123 simbolico, 136

trascendente, 121, 224 separabile, 193

finito, 195 Anello, 3

degli interi di Gauss, 6 delle classi resto modulo n, 8 di funzioni polinomiali, 50 integro, 4 noetheriano, 75 quoziente, 8

di anelli di polinomi, 40 Assioma della scelta, 390 Automorfismi

del campo complesso, 225 del campo reale, 110 di campi, 109 di campi ciclotomici, 169 di campi finiti, 157 interni di gruppi, 372

Automorfismo di Frèibenius, 157 Azione, 369

del gruppo di Galois, 263, 371 di Sn, 275, 370 fedele, 370 naturale, 369 nucleo di, 370 per coniugio, 325, 371 transitiva, 370

Base di trascendenza, 218 normale, 209

406 Indice analitico

Cambio di variabile, 54 Campo/i,4

algebricamente chiuso, 180 caratteristica di, 24 composto di, 128, 249 coniugati, 186 delle frazioni, 21 delle funzioni razionali, 34 di Galois, 151 di spezzamento, 137

automorfismi di, 148 di polinomi del tipo X n

- a, 304 di polinomi di quarto grado, 323 di polinomi di quinto grado, 329 di polinomi di terzo grado, 311 isomorfismi tra, 148

finito, 150 fisso, 234

del coniugio complesso, 239 del gruppo alterno, 264 del gruppo di Galois, 236, 239 del gruppo simmetrico, 235

immersione di, 109 intermedio, 111 numerico, 6 perfetto, 193 reale, 6

Caratteristica di un anello unitario, 23 di un campo, 24 finita, 23 prima, 24

Cardinalità, 389 degli automorfismi di C, 226 del continuo, 394, 395 del numerabile, 391 dell'insieme delle parti, 397 dell'insieme delle parti finite, 399 della chiusura algebrica, 185 di anelli di polinomi, 399 di una base di trascendenza, 220 operazioni tra, 398

Casus irriducibilis, 313, 315 Centralizzante, 372 Centro

di un p-gruppo, 374 di un gruppo, 372

Chiusura algebrica, 180

cardinalità della, 185 costruzione di una, 182 di lF'p, 182 di Q, 181

di Galois, 208 inseparabile, 240 nella topologia di Krull, 247 normale, 189 separabile, 203

Coefficiente direttore, 33 Commutatore, 388 Condizione della catena ascendente, 75

sugli ideali principali, 18 Congruenza

modulo n, 8 modulo un ideale, 8

Coniugio in un gruppo, 371 complesso, lI, 58, 239 di gruppi di Galois, 242, 374 di sottocampi, 186 in A 5 , 373 in Sn, 372

Contenuto di un polino mio, 63 Corpo, 4, 171

dei quaternioni, 7, 25, 171, 290 Corrispondenza di Galois, 241

caso Ilon finito, 248 per l'ampliamento lF'p ç lF'pn, 257 per ampliamenti di grado quattro,

251 per il p-esimo ampliamento

ciclotomico, 255 per l'ampliamento Q(~, iV3), 253 per l'ampliamento Q(.yp, i), 254 Teorema fondamentale, 244

Costruzione con riga e compasso, 347 dei poligoni regolari, 360 del pentagono regolare, 362 di una chiusura algebrica, 182 impossibile, 358

Criterio di irriducibilità, 67 di Eisenstein, 67

versione reciproca, 68 modulo p, 69

Derivata formale, 50 Determinante di Vandermonde, 84, 104

Dipendenza algebrica, 215 integrale, 115

Discriminante, 87, 263 del polinomio XP - 1, 90 di un polinomio biquadratico, 89 di un polinomio di quinto grado, 95,

330 di un polinomio di terzo grado, 88,

311 Divisione euclidea, 36 Divisore, 15 Dominio,4

a fattorizzazione unica, 17 a ideali principali, 19 integro,4

Duplicazione del cubo, 359

Elemento algebrico, 115 associato, 15 intero, 115 inverti bile, 4, 15 irriducibile, 15 primitivo, 113, 194 primo,15 puramente inseparabile, 200 trascendente, 115 zero-divisore, 4

Equazione ciclica, 333 delle classi, 372, 374 di grado primo, 325 di quarto grado, 317 di quinto grado, 329 di terzo grado, 311 risolubile per radicali, 305, 332

Esponente di un gruppo, 151, 302 Estensione

di F-isomorfismi, 184 di isomorfismi di campi, 142 di omomorfismi, 23, 64, 141

F-automorfismo, 143 F-immersione, 143 F-isomorfismo, 143

in <C, 145 nella chiusura algebrica, 184

Indice analitico 407

Fattorizzazione di polinomi, 41

su <C,56 su Q, 70 su IR, 59 su Z, 66

in elementi irriducibili, 78 Forma

di Bring-Jerrand, 330 ridotta di un polinomio, 55

di terzo grado, 89, 311 trigonometrica, 60

Formula del doppio radicale, 269 del grado, 34 di Eulero, 118 di interpolazione

di Lagrange, 52 di Newton, 53

di inversione di Mobius, 156 di Mobius-Dedekind, 163

Formule di De Moivre, 60, 102 di Descartes, 319 di Ferrari, 318 di interpolazione, 51 di Tartaglia-Cardano, 312 trigonometriche di Viéte, 316

Funzione caratteristica, 396 di Eulero, 8, 14, 62, 152 di Mobius, 156, 163 polinomiale, 46 razionale, 34 simmetrica, 85

elementare, 79

Generatori di Sn, 265 di algebre, 44 di un ampliamento, 112 di un gruppo ciclico, 152 di un ideale, 5

Grado del composto, 129, 250 di inseparabilità, 202, 240 di separabilità, 197 di trascendenza, 220 di un ampliamento, 123 di un polinomio, 33

408 Indice analitico

Gruppo abeliano finito, 382 delle trasformazioni lineari fratte, 232 delle unità

dei quaternioni, 290 di LZn , 8, 385 di un anello unitario, 4

diedrale, 378 esponente di un, 151, 302 icosaedrale, 373 metaciclico, 305, 326 profinito, 247 risolubile, 306, 378, 388 semplice, 380 topologico, 247

Gruppo di Galois abeliano, 285 campo fisso del, 236, 239 del polinomio generale, 265 di un ampliamento, 231 di un polinomio, 262

biquadratico, 267 calcolo del, 275 ciclotomico, 270 del tipo X 3

- p, 266 del tipo XP - a, 304 di quarto grado, 322 di terzo grado, 311 riducibile, 272 su lFp , 274

totale, 280, 286

Ideale/i,5 di LZ, 6 dell'anello quoziente, 9 di un campo, 5 finitamente generato, 5, 75 massimale, 11 primo, 11 prodotto, 5 radicale, 27, 222 somma, 5

Immersione di campi, 109 Indeterminata, 30 Indipendenza

algebrica, 32, 215 di numeri trascendenti, 216

dei caratteri, 111 Induzione transfinita, 182, 391

Insiemi equipotenti, 389 Ipotesi del continuo, 397 Irrazionalità accessorie, 250 Irriducibilità

di polinomi, 35, 42 ciclotomici, 68, 163 criterio di Eisenstein, 67 criterio modulo p, 69 del tipo X n

- a, 165 su un campo, 48 su un dominio a fattorizzazione

unica, 65, 67 Isomorfismi

di campi, 109

Legge di cancellazione, 4 Lemma

di Artin, 237 di Dedekind, 110 di Euclide, 16 di Gauss, 64

esteso, 67, 102 di Hensel, 74 di Zorn, 11, 390

Massimo comune divisore, 16 di polinomi, 39, 43

Matrice di Sylvester, 91 Minimo comune multiplo, 28 Molteplicità di una radice, 50 Moltiplicazione scalare, 44 Monomio,31

direttore, 33 Multigrado, 33 Multiindice, 32

Norma, 204 Normalizzante, 373

di un p-Sylow di Sp, 326 Numeri

algebrici, 115, 394 costruibili, 356 di Fermat, 361 di grado 2h non costruibili, 357 trascendenti, 115, 396

Numero di Nepero, 117

Omomorfismo di anelli, 9

di Frobenius, 157, 193 nucleo di un, 9 proiezione canonica, 9 unitario, 9

Orbita, 370 Ordine lessicografico, 32

inverso, 97

p-gruppi, 374, 375 risolubilità dei, 378

p-Sylow,377 Polinomio/i

a valori interi, 44 anello di, 30 associati, 35 ciclotomico, 62, 161

irriducibilità del, 68, 163 coefficiente direttore di, 33 coefficienti di, 30 con due radici non reali, 283 con gruppo di Galois

abeliano, 285 delle unità dei quaternioni, 289 totale, 282

contenuto di, 63 derivata formale di,50 discriminante, 84 discriminante di, 87 generale, 86 in infinite indeterminate, 95 in più indeterminate, 31 interpolazione di,51 inverti bile, 35 irriducibile, 35

su <C,58 su lFp , 154 su Q, 70 su ]E., 58, 59 su Il, 70 su un campo, 48 su un dominio a fattorizzazione

unica, 65 massimo comune divisore di, 39 minimo, 119 monico, 35 omogeneo, 33, 97 primitivo, 63 principio di uguaglianza, 31, 33 reciproco, 56, 101

Indice analitico 409

riduci bile, 35 risolubile per radicali, 305 risultante di, 90 separabile, 191, 192 simmetrico, 79

elementare, 79 su un campo, 36

numerico, 56 su un dominio a fattorizzazione unica,

63,66 valore di, 43, 112

Primo procedimento diagonale di Cantor, 391

Primo teorema di Sylow, 376 Problema inverso, 280 Punti costruibili, 347

Quadratura del cerchio, 359

Radici dell'unità, 60, 159

p-esime, 311, 338 primitive, 61, 159 quinte, 310, 322, 338

di polinomi, 46 su ]E., 58 su Il, 47

di un'equazione di terzo grado, 314 multiple, 50, 57, 191

Regola dei segni, 59 di Descartes, 59 di Ruffini, 47

Riduzione modulo p, 64, 278 Risolubilità

dei p-gruppi, 378 di Sn, 309, 379 di gruppi, 378 per radicali, 305

del polino mio generale, 309 delle equazioni di quarto grado, 317 delle equazioni di terzo grado, 312,

336 di equazioni di grado primo, 325,

330 Teorema di Galois, 307

Risolvente di Galois, 209 di Lagrange, 335

410 Indice analitico

di un'equazione di quarto grado, 318, 320

di un'equazione di quinto grado, 331 di un'equazione di terzo grado, 313

Risultante di due polinomi, 94

Secondo procedimento diagonale di Cantor, 395

Secondo teorema di Sylow, 377 Serie

derivata, 388 di composizione, 381 normale, 378

abeliana, 378 ciclica, 306, 378

Sezione aurea, 350 Sezioni coniche, 358 Somma di frazioni parziali, 99 Sottoanello, 5 Sottocampo

di IFpn, 157 fondamentale, 23

Sottogruppi coniugati, 373 derivati, 388 di Sylow, 377 normali, 373 transitivi di Sp, 325

Stabilizzatore, 370, 373

Teorema 90 di Hilbert, 339 cinese dei resti, 13 degli zeri di Hilbert, 130, 222 del doppio quoziente, 27 del resto, 47 dell'elemento primitivo, 194 dell'indipendenza dei caratteri, 111 della base di Hilbert, 76 della base normale, 209 di Abel, 309 di Artin-Schreier, 303, 308 di Castelnuovo, 225 di Cauchy, 377

per i gruppi abeliani, 375 di Caylay, 370 di Dirichlet, 170, 286 di estensione, 249 di fattorizzazione unica per

polinomi, 42, 66

di Feit-Thompson, 379 di Galois

sui campi finiti, 150 sulla risolubilità per radicali, 307

di Galois-Moore, 151 di Gelfond-Schneider, 118 di irriducibilità di Hilbert, 280 di Jordan-Holder, 381 di Kronecker, 120 di Kronecker-Weber, 288 di K ummer, 301 di Liiroth, 224 di Lagrange, 374 di Lindemann, 117, 216 di Liouville, 116 di normalizzazione di Noether, 219 di Ruffini, 47 di Ruffini-Abel, 309 di Siegel, 118 di struttura dei gruppi abeliani finiti,

384 di Sylow, 374, 376 di Thue-Siegel-Roth, 116 di Wedderburn, 7, 171 di Zariski, 225 di Zermelo, 182 fondamentale

dell' Algebra, 57, 181, 345 dell' Aritmetica, 18 della Teoria di Galois, 244 di omomorfismo, lO sui polinomi simmetrici, 81

Teoria della divisibilità, 15 di Kummer, 302

Terzo teorema di Sylow, 377 Topologia di Krull, 247 Traccia, 204 Trasformazione

di Tschirnhaus, 55, 330 di Viète, 55 lineare fratta, 56, 232

Tricotomia, 390 Trisezione dell'angolo, 358

Valore di un polinomio, 43, 112 Variabile, 46

cambio di,54

Collana Unitext - La Matematica per il 3+ 2

a cura di

F. Brezzi (Editor-in-Chief) P. Biscari C. Ciliberto A. Quarteroni G. Rinaldi W.J. Runggaldier

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A. Bernasconi, B. Codenotti Introduzione alla complessità computazionale 1998, X + 260 pp. ISBN 88-470-0020-3

A. Bernasconi, B. Codenotti, G. Resta Metodi matematici in complessità computazionale 1999, X+364 pp, ISBN 88-470-0060-2

E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli dinamici discreti 2002, XII+354 pp, ISBN 88-470-0187-0

S. Bosch Algebra 2003, VIII+380 pp, ISBN 88-470-0221-4

S. Graffi, M. Degli Esposti Fisica matematica discreta 2003, X + 248 pp, ISBN 88-470-0212-5

S. Margarita, E. Salinelli MultiMath - Matematica Multimediale per l'Università 2004, XX + 270 pp, ISBN 88-470-0228-1

A. Quarteroni,R. Sacco, F. Saleri t'v'latematica numerica (2a Ed.) 2000, XIV+448 pp, ISBN 88-470-0077-7 2002, 2004 ristampa riveduta c corretta (la edizione 1998, ISBN 88-470-0010-6)

13. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifìco (2a Ed.) 2004, X+262 pp, ISBN 88-470-0256-7 (la edizione 2002, ISBN 88-470-0149-8)

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19. C. Canuto,A. Tabacco Analisi Matematica I (2a Ed.) 2005, XI1+448 pp, ISBN 88-470-0337-7 (J a edizione, 2003, Xl 1+ 376 pp, rSBN 88-470-0220-6)

20. F. Biagini, M. Campanino Elementi di Probabilità e Statistica 2006, XII+236 pp, ISBN 88-470-0330-X

21. S. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia 2006, VIII + 178 pp, ISBN 88-470-0331-8

22. A. Quarteroni , F. Sal eri Introduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.) 2006, X+306 pp, ISBN 88-470-0480-2

23. S. Leonesi, C. Toffalori Un invito all' Algebra 2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X

24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo Aritmetica, Crittografia e Codici 2006, XVI +518 pp, ISBN 88-470-0455-1

25. A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4 (Ia edizione 2000, ISBN 88-470-0108-0) (2a edizione 2003, ISBN 88-470-0203-6)

26. M. Abate, F. Tovena Curve e superfici 2006, XIV+394 pp, ISBN 88-470-0535-3

27. L. Giuzzi Codici correttori 2006, XVl+402 pp, ISBN 88-470-0539-6

28. L. Robbiano Algebra lineare 2007, XVI+21O pp, ISBN 88-470-0446-2

29. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Esercizi di finanza matematica 2007, X+ 184 pp, ISBN 978-88-470-0610-2

30. A. Machì Gruppi -Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 2007, XII+349 pp, ISBN 978-88-470-0622-5

31. Y. Biollay, A. Chaabouni, J. Stubbe Matematica si parte! A cura di A. Quarteroni 2007, XII+ 196 pp, ISBN 978-88-470-0675-1

32. M. Manetti Topologia 2008, XII+298 pp, ISBN 978-88-470-0756-7

33. A. Pascucci Calcolo stocastico per la finanza 2008, XVI+518 pp. ISBN 979-38-470-0600-3

34. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica, 3a ed. 2008, XVI+51O pp. ISBN 979-38-470-0782-6

35. P. Cannarsa, T. D'Aprile Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale 2008, XII+268 pp. ISBN 979-38-470-0701-7

36. A. Quarteroni, F. Saleri Calcolo scientifico, 4a Ed. 2008, XIV+358 pp. ISBN 978-88-470-0837-3

37. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I, 3a Ed. 2008, XIV+452 pp, ISBN 978-88-470-0871-7

38. S. Gabelli Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois 2008, XVI+410 pp, ISBN 978-88-470-0618-8