Corso di Econometria

A.A. 2011-2012Dispensa n.1

Richiami di statisticaPer calcolare le caratteristiche della distribuzione di una popolazione abbiamo bisogno dell’intera popolazione. Ad esempio, per trovare i l reddito medio di tutti gli abitanti di New York in un dato momento nel tempo abbiamo bisogno di informazioni che riguardano tutti gli abitanti di New York. In realtà, però, non è molto pratico collezionare le informazioni relative a tutt i gli abitanti; ciò che viene fatto è trovare un campione rappresentativo o casuale da questa popolazione e calcolare il reddito medio su questo camione.

Media Campionaria.Sia X il numero di macchine vendute in un giorno da un rivenditore. Supponiamo di voler sapere il numero medio (cioè E(X)) di auto vendute i primi dieci giorni di ogni mese. Supponiamo, inoltre che il rivenditore ha la sua attività da dieci anni, ma non ha alcun dato per i primi 10 giorni di ogni mese degli ultimi dieci anni. Prendiamo a caso le vendite dei primi dieci giorni di un mese per ogni anno di att ività: 9, 11, 11, 14, 13, 9, 8, 9, 14, 12. Abbiamo un campione composto da 10 osservazioni. La media campionaria è data da:

Nel nostro caso:

Varianza Campionaria.I valori del precedente esempio non sono tutti uguali al media camiponaria 11. La variabili tà dei dieci valori può essere misurata dalla varianza campionaria . La varianza campionaria viene definita nel modo seguente:

Che non è altro che la differenza al quadrato di ogni singolo valore di X dalla sua media, diviso i l numero delle osservazioni. L’espressione (n-1) è nota come gradi di libertà , di cui vedremo in seguito i l significato.

Dato il precedente esempio, abbiamo

La deviazione standard campionaria è data da

Covarianza Campionaria.

Y(1)

X(2) (3)

891.4 82.4 (891.4-15044.4)(82.4-104.64)932.42 90.9 (934-1504.4)(90.9-104.64)884.36 96.5 - -

1190.34 99.6 - -1178.48 103.9 - -1328.23 107.6 - -1792.76 109.6 - -2275.99 113.6 - -2060.82 118.3 - -2508.91 124.0 - -1504.4 104.64 7025.95

In questo caso la covarianza tra il prezzo delle azioni e i prezzi al consumo è positiva.

Coefficiente di correlazione Campionario.

La correlazione campionaria ha valori che stanno nell’intervallo -1≤ r≤1. Dalla precedente tabella, possiamo tranquillamente calcolare il coefficiente di correlazione:

Nel nostro caso, i l prezzo delle azioni e l’indice dei prezzi al consumo hanno una correlazione positiva molto alta (quasi vicina ad 1).

Esempio: Supponiamo di avere una popolazione bivariata composta da due variabili X (prezzi delle azioni) e Y (prezzi al consumo). Supponiamo che da questa popolazione bivariata otteniamo un camione casualemostato nelle prime due collonne della tabella di seguito.

Distribuzione di probabilità importanti

La Distribuzione NormaleProbabilmente la distribuzione statist ica più famosa ed util izzata.

Per notazione convenzionale, la distribuzione di una normale viene così espressa:

Proprietà:

1. Come si vede dalla figura, la distribuzione normale è simmetrica intorno alla

sua media.

2. La distribuzione è alta intorno alla media, ma sulle code è molto bassa.

Questo significa che la probabilità di ottenere un valore di una distribuzione

normale lontano dalla propria media è molto bassa.

3. Approssimativamente, i l 68% dell’area si trova tra i valori , i l 95% tra

i valori , e il 97.5% tra i valori .

4. Una distribuzione normale è descritta completamente dai due suoi

paramentri e 2 . Una volta che il valore di questi due parametri viene

trovato, è possibile st imare la probabili tà che un certo valore di X si trovi

all’interno di un certo intervallo.

5. La combinazione l ineare di due variabili normali è anche’essa una variabile

normale

La curva cosiddetta normale fu sviluppata nel 1733 da DeMoivre, come

un'approssimazione alla distribuzione binomiale.

I suoi scritt i furono persi fino al 1924, quando Karl Pearson li ri trovò. Laplace

util izzò la curva normale nel 1783 per descrivere la distribuzione degli errori . Nel

1809, Gauss la impiegò nell 'analisi di dati astronomici. La curva normale è spesso

chiamata "distribuzione gaussiana”.

La Distribuzione Normale Standardizzata

Ogni distribuzione normale è a se stante perché dipende dai valori della V. C di

riferimento. Ossia due distribuzioni possono avere media diversa e varianza

diversa, oppure media uguale e varianza diversa, oppure varianza uguale e media

diversa.

Com’è possibile comparare due distribuzioni normali diverse tra loro?

Volendo una distribuzione normale standardizzata, ossia che non dipenda

dall’unità di misura della variabile di riferimento, si può ottenere quest’ultima

mediante la relazione:

La variabile Z ha media =0 e varianza 2=1.

La Distribuzione Chi-quadrato c2 In statist ica ci troviamo spesso di fronte a quantità elevate al quadrato come ad

esempio X 2 oppure .

Queste quantità hanno la loro distribuzione campionaria?

Sotto certe condizioni, la distribuzione di queste quantità può essere derivata.

Consideriamo una variabile casuale distribuita normalmente

Sappiamo che la sua standardizzazione si distribuisce:

La teoria statistica dimostra che il quadrato di variabile standardizzata di

distribuisce come una c2 con un grado di libertà . Simbolicamente:

Così come la media e la varianza sono parametri della distribuzione normale, così i

gadi di libertà sono i parametri della distribuzione chi-quadrato. Il termine grado

di libertà in statistica è usato in diversi sensi, ma in questo momento noi li

definiamo come il numero di osservazioni indipendenti in una somma di quadrati.

Supponiamo ora di avere X1 ,. . . , Xn variabili aleatorie indipendenti ciascuna con

distribuzione normale standard N(0,1), diciamo variabile aleatoria chi-quadro con

n gradi di libertà la variabile aleatoria

Proprietà:

1. Diversamente dalla distribuzione normale, la distribuzione chi-quadro ha

solo valori positivi .

2. Diversamente dalla distribuzione normale, la distribuzione chi-quadro è

skewed (ossia inclinata), e il grado di skeweness dipende dai gradi di libertà.

La distribuzione e molto skewed a destra, man mano che i gradi di libertà

aumentano, la distribuzione diventa molto più simmetrica.

3. Il valore atteso (o media) è k e la sua varianza 2k , dove k sono i gradi di

libertà.

La Distribuzione t Conosciuta anche come distribuzione t di Student.

Si è visto in precedenza che se a una variabile normale (x) sottraiamo la media ( )

e dividiamo tale differenza per la deviazione standard ( σ) otteniamo una normale

standard (z) con media 0 e varianza 1:

se x ~ N ( , 2), z ~ N (0, 1) dove

Poiché le medie campionarie ( ), calcolate su campioni tratti dalla variabile

, hanno distribuzione normale con media e varianza , se

standardizziamo la variabile media campionaria otteniamo una deviata normale

standard Z con media 0 e varianza 1:

Quando il parametro 2 è ignoto, possiamo sostituirlo con la sua stima campionaria s2 , ed ottenere i l rapporto

Qual è la distribuzione di tale rapporto ?

Si può dimostrare che, per campioni tratt i da una variabile normale, il rapporto "t"

è una variabile casuale la cui distribuzione è descrit ta da una funzione simmetrica

la cui forma dipende da i gradi di libertà della st ima campionaria della varianza ed

è nota con il nome di "t" di Student.

~ t di Student (con k=n-1 g.d.l.)

Come nella distribuzione chi-quadro, la distribuzione t dipende dal paramentro

gradi di libertà (gdl) .

Proprietà

1. La distribuzione t , come la distribuzione normale, è simmetrica come si vede

dalla figura sopra.

2. La media della distribuzione , come la distribuzione normale standard è

zero, ma la varianza è data da k/(k-2) . Per questo motivo, la varianza di una

distribuzione t è definita per gradi di libertà maggiori di due.

Ma mano che k aumenta, la varianza di una distribuzione t si avvicina alla varianza

di una distribuzione normale standardizzata, cioè 1. Per cui, se i gdl, ad esempio

sono 10, la varianza sarà 10/8=1.25, se k=30, la varianza sarà 30/28=1.07, se

k=100, la varianza sarà 100/98=1.02. Anche per valori di k molto piccoli, come 30,

non c’è molta differenza nella varianza della distribuzione t e della normale

standard. Per cui, ampiezza campionaria non deve essere enorme affinché la t

approssimi una distribuzione normale.

La Distribuzione F Se da una popolazione normale N( , 2) estraiamo due campioni indipendenti

otteniamo due stime S1 ed S2 della deviazione standard . Se operiamo infinite volte

l 'estrazione di coppie di campioni e ogni volta misuriamo il loro rapporto

otteniamo la variabile casuale F di Fisher , con k i 1 gradi di liberta al numeratore

(relativi ad S1) e k i 2 gradi di liberta al denominatore (relativi a S2).

Proprietà

1. Come la distribuzione chi-quadrato, anche la distribuzione F è skewed a

destra e ha valori che vanno da zero a infinito.

2. Come la distribuzione chi-quadro, la distribuzione F approccia la

distribuzione normale, al crescere di k1 e k2 .

3. Il quadrato di una distribuzione t con k gdl, ha una distribuzione F con 1 e k

gdl al numeratore e denominatore rispettivamente.

Inferenze Statistica e Test di’ipotesiLa statist ica inferenziale descrive le procedure con cui possiamo usare le

osservazioni date per disegnare le conclusioni sulla popolazione da cui il

campione è stato preso. La nostra assunzione è che c’è un processo sconosciuto

che genera dati, e che può essere descrit to da una distribuzione di probabili tà

caratterizzata da alcuni parametri sconosciuti. Ad esempio in una distribuzione

normale i parametri sconosciuti sono e 2 .

Nell’inferenza classica, ad esempio, assumiamo che la media campionaria sia la

nostra stima di .

Generalmente quando si parla di inferenza classica, si discutono i seguenti punti:

1. Stima puntuale.

2. Stima intervallare

3. Test d’ipotesi.

Stima puntuale.Supponiamo che la distribuzione di probabili tà involva un parametro θ ,

supponiamo inoltre di avere un’ampiezza campionaria n , . Nella st ima

puntuale costruiamo una funzione dalle osservazioni e affermiamo

che g è la nostra stima per θ . Uno stimatore è una variabile casuale e una stima è

un particolare valore di questa variabile casuale . Per esempio, se θ rappresenta

la media della popolazione e la media campionaria, allora

diciamo che è uno stimatore di θ .

Nella stima intervallare, costruiamo due funzioni, e

dalle osservazioni che abbiamo, e diciamo che θ si trova tra queste due funzioni

con una data probabili tà . Nei test d’ipotesi testiamo la veridicità di un’ipotesi (ad

esempio che θ=4) e esaminiamo il grado di evidenza a favore di questa ipotesi ,

sulla base della quale accettiamo o rifiutiamo l’ipotesi.

Stima intervallare.Nella stima intervallare, come abbiamo già accennato, costruiamo due funzioni

e dalle osservazioni che abbiamo, tale che:

una data probabilità.

è chiamato coefficiente di confidenza e l’intervallo (g1 ,g2) è chiamato intervallo

di confidenza . Dato che θ è un parametro (o una costante a noi sconosciuta),

l’asserzione di probabilità (sopra), è un’asserzione su g1 e g2 e non su θ . Ciò

significa che se usiamo la formula e ripetutamente

con differenti campioni e costruiamo di volta in volta gli interballi di confidenza

usando le formule, allora nel 100 percento di tutti i casi l’intervallo dato

includerà i l vero valore.

Come esempio su come usare la distribuzione campionaria per costruire gli

intervalli di confidenza, consideriamo il campione con n osservazioni

dipendenti da una distribuzione normale con media e varianza 2 . Allora

e

Se l’ampiezza campionaria è pari a 20, da cui i gradi di l ibertà sono n-1=19,

possiamo vedere nelle tavole della con gradi di libertà 19 e diciamo:

O che

Oppure, riferendoci alla tavola t-Student con 19 gradi di libertà, abbiamo che

Da cui, sostituendo:

Se e S=3 abbiamo intervalli di confidenza al 95% per di (3.6 e 6.4)

Test d’ipotesiSupponiamo di avere il seguente campione:

P/E ratio     Frequency6 27 28 59 610 511 712 513 414 315 416 618 1

Totale 50Media=11.5Varianza Campionaria= 9.2755Deviazione Standard =3.0456

Supponiamo di ipotizzare che i l vero valore della media sia . Il nostro

obiettivo è quello di testare l’ipotesi . Nel linguaggio dei test è chiamata

ipotesi nulla ed è generalmente denotata da H0 , da cui H0 : . L’ipotesi nulla

viene generalmente testata contro un’ ipotesi alternativa , denotata dal simbolo H1 .

L’ipotesi alternativa può prendere una di queste forme:

H1 : : ipotesi alternativa ad una coda

H1 : : anch’essa ipotesi alternativa ad una coda

H1 : : ipotesi alternativa a due code

Basandoci sulla statistica t:

Abbiamo i seguenti intervalli di confidenza al 95%

11.26< <11.73

Nel nostro caso la nostra ipotesi nulla non si trova all’interno dell’intervallo, per

cui la rifiutiamo.

Nel linguaggio dei test d’ipotesi, l’intervallo di confidenza (ad esempio al 95%) è

chiamato regione di accettazione , e l’area fuori da questa regione è chiamata

regione critica o regione di rigetto dell’ipotesi nulla. I limiti superiori e inferiori

della regione di accettazione sono chiamati valori critici . Se il valore del

parametro sotto l’ipotesi nulla si trova all’interno della regione di accettazione,

accettiamo l’ipotesi nulla , se invece si trova fuori rifiutiamo l’ipotesi nulla .

Uno dei bivi di fronte a cui ci si trova davanti nei test di ipotesi è quello di

scegliere il valore di α . Generalmente viene scelto sempre il 5 percento (anche

GRETL ha come valore di base il 5%). In ogni caso non è possibile stabilire a

priori quale sia il valore ottimale di α da scegliere. Per questo è preferibile trovare

il p-value (ossia il valore della probabilità) anche conosciuto come livello di

significatività esatto di un test statist ico. Può essere definito come il più basso

livello di significatività a cui l’ipotesi nulla può essere rifiutata .

Test d’ipotesi nel modello bivariato

Supponiamo di avere il seguente dataset:

Deamnd (Y) Price (X)49 145 244 339 438 537 634 733 830 929 10

La nostra regressione è data da:

Stimando la retta di regressione con il metodo dei minimi quadrati (OLS)

otteniamo:

Modello 1: OLS, usando le osservazioni 1-10

Variabile dipendente: Deamnd(y)

coefficiente errore std. rapporto t p-value --------------------------------------------------------------- const 49,6667 0,746439 66,54 2,90e-012 *** Price(X) -2,15758 0,120300 -17,94 9,58e-08 ***

Media var. dipendente 37,80000 SQM var. dipendente 6,613118Somma quadr. residui 9,551515 E.S. della regressione 1,092675R-quadro 0,975733 R-quadro corretto 0,972700F(1, 8) 321,6650 P-value(F) 9,58e-08Log-verosimiglianza -13,95996 Criterio di Akaike 31,91992Criterio di Schwarz 32,52509 Hannan-Quinn 31,25605Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard

Supponiamo ora che qualcuno ci suggerisce the il prezzo di un bene non abbia

alcun effetto sulla quantità domandata. Ossia la nostra ipotesi nulla è data da:

(B rappresenta il vero valore di β)

Il risultato della nostra regressione mostra che β=-2,1576. Sicuramente in questo

caso ci aspettiamo di non poter accettare l’ipotesi nulla. In realtà non possiamo

solo guardare al risultato numerico, sappiamo benissimo che i l valore numerico

cambia da campione a campione. Abbiamo bisogno di una procedura formale per

testare la procedure di accettare o rifiutare l’ipotesi nulla.

Come procedere?

Sappiamo che i l nostro stimatore β si distribuisce come una normale

(SEMPRE!!!!).

Per testare l’ipotesi possiamo usare:

1. L’approccio intervalli di confidenza , oppure

2. L’approccio test di significatività.

Dato che β segue una distribuzione normale, , sappiamo che (vedere

precedente dispensa sulle distribuzioni ):

***: ricordatevi che

è la distribuzione normale standardizzata . Sappiamo che la proprietà che i l 95%

dell’area della distribuzione normale si trova a due deviazioni standard dalla

valore medio, per cui se la nostra ipotesi nulla

0 e il nostro stimatore è β=-2,1576, possiamo calcolare la probabilità di

trovare questo valore dalla distribuzione normale standardizzata. Se questa

probabilità è molto piccola, possiamo rifiutare l’ipotesi nulla , ma se è grande

(diciamo maggiore del 10%) non possiamo rifiutarla.

Non conoscendo il vero valore della varianza, usiamo quello stimato, per cui

avremo:

Testiamo verso

Il nostro campione è formato da 10 osservazioni, per cui i gradi di l ibertà sono

(10-2)=8 . Supponiamo di testare l’ipotesi al 95% di confidenza.

Visto che l’ipotesi alternativa è su due lati (ossia che il nostro stimatore può

essere maggiore o minore di zero), dalle tavole della distribuzione t , troviamo che

per otto gradi di libertà il valore è:

TAVOLA DEI QUANTILI

α 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

n          

1 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559

2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250

3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408

4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041

5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321

6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074

7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995

8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554

9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498

troviamo:

Questo rappresenta la probabilità che il valore t (per 8 gradi di l ibertà) si trovi tra

i limiti (-2,306, 2,306) è 0.95 o il 95%, questi, come noi già sappiamo, sono i

valori crit ici della t .

Ora sosti tuendo i valori della t nella precedente espressione (quella con la freccia

rossa), otteniamo

Facendo alcuni spostamenti , otteniamo:

Nel linguaggio dei test d’ipotesi, l’intervallo di confidenza ottenuto è conosciuto

come regione di accettazione , e l’area fuori dall’intervallo è chiamata regione di

ri fiuto .

Nella figura potete notare l’intervallo di confidenza:

β

-2.4350 -1.8802

Dato che il valore zero (della nostra ipotesi nulla) non si trova nell’intervallo di

confidenza, possiamo rifiutare l’ipotesi nulla che il prezzo di un bene non ha

effetti sulla quantità domandata del bene stesso .

Approccio test di significativitàIn questo caso la decisione di accettare o rifiutare l’ipotesi nulla si basa sul vlaore

del test statistico ottenuto dal campione. Vediamo in dettaglio.

Ricordiamo che

Segue una distribuzione t con (n-2) gradi di libertà. Ora se

dove è uno specifico valore numerico di B (ad esempio ). Allora possiamo

subito calcolarci:

Dato che tutt i i valori sono noti, possiamo i valori ottenuto dalla precedente

espressione come test statistico con distribuzione t di Student e (n-2) gradi di

libertà. Questa procedura è chiamata t Test .

Ora per usare il test t abbiamo bisogno di conoscere tre cose fondamentali :

1. I gradi di libertà sono sempre ( n-2) per il modello di regressione bivariato

2. Il livello di significatività α : 1, 5 e 10% sono quelli che di norma si usano

nell’analisi empirica

3. Possiamo usare test ad una coda o due code.

1. Test a due code . Ipotizziamo che

Usando l’espressione con la freccia blu, abbiamo che

approssimativamente

Ora dalle tavole statistiche della distribuzione t , abbiamo che per otto gradi

di libertà i valori crit ici sono:

Livello di significatività 0.01 0.05 0.001

Valori Critici di t 3.355 2.306 1.86

Tenete bene a mente la seguente tabella:

Ipotesi nulla Ipotesi alternativa

Valori critici di rifiuto

dell'ipotesi nullaβx=β0 βx>β0 >tαβx=β0 βx<β0 <tαβx=β0 βx≠β0 >tα/2

Dalla seguente tabella notiamo che, dato i l t ottenuto, rifiutiamo l’ipotesi

che il nostro stimatore sia uguale a zero, e accettiamo l’ipotesi alternativa

che esso sia diverso da zero.

Test d’ipotesi nel modello multivariato

Con il test t diciamo che individualmente un coefficiente possa essere o meno

significativo.

Consideriamo ora la seguente ipotesi nulla:

La precedente ipotesi nulla è una ipotesi congiunta con cui testare se siano

simultaneamente o congiuntamente uguali a zero.

Questa ipotesi testa che due variabili indipendenti congiuntamente non abbiano

nessuna influenza sulla variabile dipendente. Questo è lo stesso che dire:

Test di questo tipo vengono chiamati test della significatività totale della retta di

regressione della popolazione stimata, ossia della relazione tra la variabile

dipendente e le variabili indipendenti .

Questo t ipo t i test può essre fatto tramite una tecnica nota come analisi della

varianza (ANOVA) .

Per vedere come questa tecnica viene usata, ricordiamoci:

TSS=ESS+RSS

Ossia,

La precedente euqzione decompone la Total Sum of Squares in 2 differenti

componenti, una esplicata dal modello di regressione scelto (Estimated Sum of

Squares) e l’alta non spiegata dal modello (Residual Sum of Squares).

Ogni Sum of Squares è associata ad un grado di libertà, ossia il numero di

osservazioni indipendenti sulla base delle quali viene calcolata la somma dei

quadrati (Sum of Squares) .

Guardate la seguente tabella:

Sum of Squares D.F.

TSS n-1 (sempre)RSS n-3 (nel modello a tre variabili (Y, X1 e X2))

ESS 2 (due sono le variabili (X1 eX2))

Ora abbiniamo ad ogni Sum of Squares il loro grado di l ibertà,

Fonte di variazione Sum of Squares G.d. l .MSS=

Dovuta a l la regressione (ESS) 2

Dovuta a i res idui (RSS) n -3

Totale (TSS) n -1

Nota : MSS= media de l le somme de i quadra t i .

Ora, data l’ipotesi nulla , la variabile

Segue una distribuzione F con 2 e (n-3) gradi di libertà al numeratore e

denominatore rispettivamente. Più in generale, se i l modello di regressione ha k

variabili indipendenti, il rapporto F ha (k-1) gradi di libertà al numeratore e (n-k)

gradi di libertà al denominatore .

Come usare la l’equazione con la freccia nera per testare l’ipotesi congiunta che

tutte e due le variabili indipendenti non hanno alcun effetto sulla variabile

dipendente?

La risposta è evidente nell’equazione stessa . Se il numeratore è maggiore del

denominatore il valore della F sarà maggiore di uno. Allo stesso modo, man mano

che la varianza spiegata dalle variabili indipendenti sale diventando più grande

rispetto alla varianza non spiegata, l’ F test diventerà grande allo stesso modo. Un

valore molto alto di F ci porta a rifiutare l’ipotesi che le variabili indipendenti (o

esplicative) non hanno alcun effetto sulla variabile dipendente.

Supponiamo di avere il seguente dataset:

Y X1 X211.484 2.26 3.499.348 2.54 2.858.429 3.07 4.0610.079 2.91 3.649.24 2.73 3.21

8.862 2.77 3.666.216 3.59 3.768.253 3.23 3.498.038 2.6 3.137.476 2.89 3.25.911 3.77 3.657.95 3.64 3.6

6.134 2.82 2.945.868 2.96 3.123.16 4.24 3.58

5.872 3.69 3.53

Supponiamo di avere la seguente stima di regressione

Modello 1: OLS, usando le osservazioni 1-16Variabile dipendente: Y

coefficiente errore std. rapporto t p-value ------------------------------------------------------------- const 9,73422 2,88806 3,371 0,0050 *** X1 -3,78220 0,572455 -6,607 1,70e-05 *** X2 2,81525 0,947511 2,971 0,0108 **

Media var. dipendente 7,645000 SQM var. dipendente 2,042814Somma quadr. residui 14,35662 E.S. della regressione 1,050883R-quadro 0,770648 R-quadro corretto 0,735363F(2, 13) 21,84067 P-value(F) 0,000070Log-verosimiglianza -21,83600 Criterio di Akaike 49,67200Criterio di Schwarz 51,98976 Hannan-Quinn 49,79068Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard

Analisi della varianza: Somma dei quadrati df Mean square

Regressione 48,2397 2 24,1199 Residuo 14,3566 13 1,10436 Totale 62,5964 15 4,17309

R^2 = 48,2397 / 62,5964 = 0,770648 F(2, 13) = 24,1199 / 1,10436 = 21,8407 [p-value 6,97e-005]

Sotto l’ipotesi nulla che , il valore della F ottenuto (cioè 24.1199)

segue una distribuzione F con 2 e 13 gradi di l ibertà al numeratore e denominatore

rispett ivamente.

Se scegliamo α=1%, dalla tavole della statistica F che per i dati gradi di l ibertà i l

valore critico è 6.70. La nostra statistica risulta essere maggiore del valore critico,

per cui rifiutiamo l’ipotesi nulla. Affermiamo quindi che congiuntamente X 1 e X 2

influenzano la Y. Dalle statistiche t è possibile notare come anche individualmente

le due variabili indipendenti influenzano la variabile dipendente. Questo non

avviene sempre. Possiamo avere il caso in cui le variabili individualmente non

hanno alcun effetto sulla variabile indipendente (ossia accettiamo l’ipotesi che i

nostri coefficienti non siano diversi da zero), ma congiuntamente hanno impatto.

Spesso si verifica questa possibili tà nel caso della multicollinearità .

Un’importante relazione tra F e R2

C’è una relazione molto importante tra i l coefficiente di determinazione R2 e il

rapporto F . La relazione è di questo tipo

dove n è il numero di osservazioni e k è il numero di variabili esplicative usate nel

modello. L’equazione dimostra come i due siano collegati. Quando R2=0 (ossia

nessuna relazione tra la variabile dipendente e le variabili indipendenti), F=0. Nei

limiti in cui R 2=1, F tende ad infinito.

Per questo possiamo considerare l’F test anche come un test di significatività dell’

R 2 , ossia se quest’ult imo sia o meno differente da zero. Un vantaggio dell’ F test

in termini di R2 è la facil ità con cui può essere calcolato, tutto quello che

dobbiamo sapere è i l valore dell’ R 2 che viene normalmente calcolato da tutti i

programmi statistici.

Usando i precedenti dati, con un R 2 di 0,770648, abbiamo

Lo stesso risultato ottenuto nella statistica F .