Formula di (Bohr [fattore 2, no long distance interaction])-Bethe-Bloch-

(Sternheimer) (HI)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=−

ZC

IWcmz

AZcmrN

dxdE e

eeA 222ln2 22

max222

2

222 δββγ

βρπ

I = potenziale medio di eccitazione

Z, A, ρ = caratteristiche del mezzo

z, β, γ = caratteristiche della particella incidente

Wmax = massima energia trasferita in una collisione

re = raggio classico dell’elettrone

Me = massa dell’elettrone

Na = N di Avogadro

C = correzione di shell

δ = effetto densità

Valida per β>0.1

Resume:

Stopping power (S) for HI

La capacità di un dato materiale di frenare una particella carica (stopping power) e’ definito come la perdita di energia differenziale della particella nel materiale divisa per la lunghezza percorsa in corrispondenza ad essa:

v e ze sono la velocità e la carica delle particelle carica pesante incidenteN e Z sono la densità e il numero atomico degli atomi dell’assorbitoreI indica un parametro sperimentale legato all’eccitazione media e al potenziale di ionizzazione

Nota:

• In primissima approssimazione lo stopping power è proporzionale all’inverso dell’energia della particella carica incidente (S ∝ 1/E), direttamente proporzionale alla sua carica al quadrato(S ∝ z2) e direttamente proporzionale al numero atomico del materiale (S ∝ Z)

• Quando più la velocità della particella carica pesante è piccola tanto più è lungo il tempo trascorso nelle vicinanze di un atomo e tanto maggiore sarà l’impulso e l’energia trasferita

• Nel termine in parentesi quadra, solo il primo termine e’ significativo in regime non relativistico (v<<c)• A bassa energia la particella carica pesante cattura elettroni dagli atomi e quindi si riduce il termine Ze

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−= 2

2

2

22

2

24

1ln2ln4cv

cv

IvmZ

vz

me

dxdES e

e

ρπ

Proprietà della particella

Proprietà del materiale

(Bethe formula)

Stopping power (S) for e- ??

Per elettroni:S_electron=S_collisional + S_radiative

Termine Collisionale per l’elettrone(inelastic impact ionization (+ Moeller and Bhabba scattering*))

E’ sempre derivato dalla relazione di Bethe, e sostanzialmente ha lo stesso andamento. Assumono più importanza i termini relativistici, associati alla contrazione delle lunghezze.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

4

11811112ln

12

2ln12cv

cv

cv

cv

cvI

EvmZvm

edxdES e

e

ρπ

*In quantum electrodynamics, Bhabha scattering is the electron-positron scattering process:In Quantum Field Theory

Møller scattering is the name given to electron-electron scattering.

Termine Collisionale per l’elettrone(inelastic impact ionization (+Moeller and Bhabba scattering))

E’ sempre derivato dalla relazione di Bethe, e sostanzialmente ha lo stesso andamento. Assumono più importanza i termini relativistici, associati alla contrazione delle lunghezze.

Dove:v è la velocità dell’elettrone incidenteN e Z sono la densità e il numero atomico degli atomi dell’assorbitoreI indica un parametro sperimentale legato all’eccitazione media e al potenziale di ionizzazione

Nota:

• In primissima approssimazione lo stopping power è direttamente proporzionale al numero atomico del materiale (S ∝ Z)

• Quanto più la velocità dell’elettrone è piccola tanto più è lungo il tempo trascorso nelle vicinanze di un atomo e tanto maggiore sarà l’impulso e l’energia trasferita

• Nel termine in parentesi quadra solo il primo termine e’ significativo in regime non relativistico (v<<c)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

4

11811112ln

12

2ln12cv

cv

cv

cv

cvI

EvmZvm

edxdES e

e

ρπ

Proprietà del materiale

Termini relativistici

proprietà dell’elettrone

incidente

Bremsstrahlung viene emesso quando particelle cariche (di alta energia quindi velocita)Vengono deviati in in campo elettrico esterno, p. ess. in un campo di unNucleo o di un elettrone

Termine Radiativo per l’elettrone

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

342ln4)1(

137 242

4

cmEZZE

cme

dxdES

eerad

ρ

Proprietà del materiale Proprieta dell’elettroneincidente

Dove:E è l’energia dell’elettrone incidenteN e Z sono la densità e il numero atomico degli atomi

dell’assorbitore

Nota:

• L’emissione per bremsstrahlung è tanto più intensa tanto èmaggiore il numero atomico del materiale assorbitore

• Diversamente dal termine collisionale in questo caso la perdita di energia aumenta con l’aumentare dell’energia incidente

• L’energia dei fotoni di bremsstrahlung, per elettroni di energia dell’ordine del MeV e molto piccola, il più delle volte questi fotoni vengono subito riassorbiti dal materiale

Attenzione, gia per il muone (seconda particella piu leggera)la perdita di energia d’ovuto alla Bremsstrahlung e 40000 voltepiu piccola rispetto al elettrone

RiasumendoPer elettroni:S_electron=S_collisional + S_radiativeS_collisional is proportiona ln(E)S_radiative is proportional E(increases more rapidely than than losses due to collisional effects such as ionisation !)

S_radiative/S_collisonal =approx.= E* (Z+1.2)/800

Electronic and nuclear stopping power for aluminum ions in aluminum, versusparticle energy. The maximum of the nuclear stopping curve typically occurs at energies of the order of 1 kev per nucleon. The maximum of the electronicstopping power above 1 MeV per nucleon.

In general Path Lenght ≠ RangeBUT for HI practically Path Lenght = Range

Essempio:What is the stopping power of air for a 5MeV alpha particle ?

Dati:Consideriamo aria di 100 percento azoto Z=7I=85ev (mean excitation Potential)

Soluzione:N=ρNA/A=(1.29kg/m^3)* 6.023*10^23 atoms/mol / 14*10^-3 kg/mol=5.55*10^-3 * 10^28 atoms/m^3

β^2=1-1/γ^2=1-[4*939/(5+4*939) ]^2 = 0.00266

dE/dx = 10^-28*(2^2)*0.511/0.00266 * (5.55*10^-3)*10^28 * 7 *[ln(2*0.511*0.00266/85/10^-6)-ln0.0997-0.00266] = 103.4 MeV/m =1.66*10^-11 J/m

Tabelle e codice con dati di dE/dx et altro:http://physics.nist.gov/PhysRefData/http://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/ASTAR.html

Essempio:(Monte Carlo) analiticoCalcolo con SRIM/TRIMhttp://www.srim.org/

The range is an average quantity. The thickness of material that just stops a particle ofKinetic energy T, mass M and charge z is called range R ofthe particle in that material.If the range is known for one material, it can be determined for anyother by applying the BRAGG-KLEEMAN rule:

Range:

R1/R2 = ρ2/ρ1 * (A1/A2)^0.5 (density r and atomic weight A)(for compound Aeffective^0.5=(Swi/A^0.5)^-1 from i=1 to L number of components)

Formule semiempiriche:Range of alpha in air:Ralpha_air[mm]= (0.05Ealpha+2.85)*E^(3/2) for Ealpha>4MeV

Range of protons in air:Rproton_air[m]= (Eproton/9.3)^(1.8) for Eproton<200MeV

Nei altri casi:

SRIM (monte carlo + analytical TRIM code)

Essempio:What is the range of a 3-MeV alpha particle in GOLDand we know that the range in silicon is R=12.5μm ?

Solution: using Bragg Kleemann

R(Au@3MeV)=(12.5*10-6)*2.33*10^3/19.32/10^3*(197/28)^0.5=4*10^-6=4μm

Calcolo con SRIM/TRIM

Straggling

Il processo di perdita di energia di una particella carica in un materiale è di natura statistica. Se un numero di particelle con la stessa energia attraversa un mezzo, avranno una distribuzione statistica di rangesintorno ad un valor medio, che in prima approssimazione ha formagaussiana.

Bethe-Bloch: <dE/dx> = valor medio della perdita di energia in uno strato di materia per ionizzazione

Fluttuazioni statistiche su:Numero di collisioni subiteEnergia trasferita per ogni collisione

N(x

)/N

0

x

straggling

Range medio

Fascio di protoni che esce da un zyclotrone:Si nota lo straggling

Calcolo con SRIM/TRIM(straggling … monte carlo

RESUME: Interazione delle particelle cariche leggere (elettroni/positroni)

700EZ

dxdE

dxdE

Ratio

coll

rad =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

E in MeV

102Aria

24.8Cu

27.4Fe

51.0Al

Ec [MeV]Materiale

9.51PbDefinisco come energia critica Ec l’energia in cui

L’energia persa per emissione elettromagnetica dipende fortemente dal materiale.

collrad dxdE

dxdE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Interazione delle particelle cariche leggere (elettroni/positroni)

Interazione delle particelle cariche leggere (elettroni/positroni)

Poiché le traiettorie degli elettroni sono estremamente contorte, può capitare che qualche elettrone sia riflesso indietro dal materiale assorbitore (backscattering). L’elettrone perde una parte della sua energia ed esce dal materiale in direzione opposta a quella iniziale.

Frazione di elettroni incidenti che sono diffusi all’indietro →

Coefficiente di backscattering

Fig pag. 44

Le traiettorie sono molto tortuose, infatti la collisione avviene tra masse uguali.

Ogni urto può cambiare drasticamente la direzione di moto degli elettroni

Interazione delle particelle cariche leggere (elettroni/positroni)

Di conseguenza il range degli elettroni non è una quantità ben definita.

Extrapolated range