Relazione: La piattaforma rotante

Relazione di laboratorio 14/03/2007 e 21/03/2007

del corso di Fisica generale Iprof. Gerbaldo

LA PIATTAFORMA ROTANTE

1. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica

OBIETTIVI DELL’ESPERIENZA IN LABORATORIO

MATERIALE UTILLIZZATO-Piattaforma rotante con sensore: un sistema meccanico (schematizzato nel paragrafo a

pag.21) con un asse che viene messo in rotazione da alcuni pesetti che su un supporto

scendono e trasmettono con una carrucola il movimento a un filo arrotolato a uno dei 3

diametri dell’asse di rotazione della piattaforma.

-ScienceWork software: un software che elabora i dati del sensore collegato alla

piattaforma rotante ricavando i grafici di accelerazione, spostamento e velocità con i

relativi valori numerici.

-Bilancia: strumento digitale con una precisione del decigrammo per pesare le masse

degli oggetti utilizzati nell’esperimento (supporto, pesetti e dischi)

-Calibro: strumento per misurare le piccole misure di lunghezza con una precisione di

0,05 mm (come indicato dalla casa produttrice)

-Dischi di alluminio: si tratta di due dischi di alluminio cavi al centro utilizzati per

calcolarne il momento d’inerzia.

-Pesetti: cilindretti di ottone di diversa misura utilizzati per mettere in moto la

piattaforma rotante.

DESCRIZIONE DELL’ESPERIENZAL’esperienza di laboratorio prevedeva diverse fasi di acquisizione dati e di calcolo

suddivise nel modo seguente:


Le due esperienze di laboratorio erano finalizzate allo studio del moto rotazionale dei corpi

rigidi in particolare ci si proponeva di raggiungere i seguenti obiettivi:

1) Ricavare il momento d’inerzia della piattaforma rotante

2) Ricavare il momento d’inerzia di un disco di alluminio forato

3) Verificare il teorema di Huygens-Steiner

4) Valutare le incertezze sulle misure e fare un’analisi statistica

5) Valutare i momenti di inerzia di due dischi di alluminio forati

1. Ricavare l’accelerazione angolare e valutarne l’incertezza

Per prima cosa abbiamo misurato l’accelerazione angolare della piattaforma rotante

con l’uso di una massa che la mettesse in movimento (indicata con massa 1 nella

tabella di dati a pag. 7) e decidendo un diametro (indicato nelle suddette tavole con

raggio1) tra quelli possibili per arrotolare il filo (considerato inestensibile nel nostro

caso). La massa è stata pesata con la bilancia data in dotazione e il raggio, essendo

molto piccolo, è stato determinato con l'uso del calibro. Lo scopo di queste

misurazioni era di avere i dati necessari per calcolarci il momento d’inerzia della

piattaforma stessa. La piattaforma rotante messa in movimento dalla massa è stata

collegata a un sensore elettronico che attraverso il computer ci forniva i grafici

relativi di accelerazione, spostamento e velocità angolare. Rielaborando i grafici con

il software in dotazione abbiamo potuto calcolare l'accelerazione angolare della

piattaforma. In particolare il software ci forniva su video istante per istante i grafici

con un andamento crescente (o decrescente a seconda del verso di rotazione iniziale)

e man mano che il filo si srotolava continuavano a crescere (o decrescere) fin quando

non cambiavano repentinamente andamento. Ciò è dovuto al fatto che quando il filo

era completamente teso veniva riavvolto e la piattaforma iniziava a frenare.

L'intervallo temporale che ci interessava era appunto quello precedente al

cambiamento di pendenza della retta della velocità angolare per cui ci siamo trovati

l'istante preciso in cui il cambiamento avveniva e selezionando la giusta porzione di

grafico abbiamo ottenuto i valori cercati che poi abbiamo riportato nelle tabelle di pag

(8). Nella pagina seguente è riportato uno dei 50 output del software rilevati dal

sensore.

2. Misurazione del momento frenante

La pratica molte volte a differenza della teoria presenta però delle complicazioni. Nel

nostro caso la piattaforma messa in movimento è sottoposta a delle forze di attrito

interno che non sono trascurabili. Essa è quindi sottoposta a un momento frenante che

con il passare del tempo porterà la sua rotazione ad arrestarsi. Possiamo immaginare

che questo momento sia stato causato da una massa frenante e quindi il nostro

obiettivo era di determinare il valore di tale massa. A tal proposito siamo tornati a



Grafico

Tempo (s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

punti = 104Polinomialey = a1 + a2 x + a3 x^2 + ...Grado = 2a1 = -0.21504a2 = 0.57233a3 = 0.40460chi^2 = 0.71935iterazioni = 5

-50

050

Racc

olta

n°1

1Po

sizi

one

ango

lare

(rad

)

Linearey = a1 + a2 xa1 = 0.74048a2 = 0.75299chi^2 = 16.65752iterazioni = 20

-50

510

Racc

olta

n°1

1Ve

loci

tà a

ngol

are

(rad/

s)

punti = 112medio:x = 5.65089, y = 0.62983deviazione standard:x = 3.24604, y = 0.66490

-2.0

02.

0

Racc

olta

n°1

1Ac

cele

razi

one

ango

lare

(rad

/s/s

)

mettere in rotazione la piattaforma con 4 diverse masse opportunamente pesate

tramite la bilancia (oltre a quella del punto 1, vedesi tabella a pag 7) e a ricalcolarci

esattamente come descritto nel primo punto le relative accelerazioni angolari che

venivano impresse (in questo caso sono state prese solo 10 misurazioni per ogni

massa). L'andamento teorico prevede che le due grandezze siano direttamente

proporzionali e i dati raccolti hanno esattamente confermato la teoria facendo uso

dell'approssimazione dei minimi quadrati. La retta disegnata invece di partire

dall'origine (caso di assenza di attriti) doveva partire in un punto x dell'asse delle

masse che corrispondeva alla massa frenante. Una volta calcolato questo valore con la

relativa incertezza siamo passati a calcolarci il momento frenante con il relativo

errore attraverso le formule teoriche e lo abbiamo considerato constante per tutto il

resto dell'esperimento.

3. Calcolo del momento d’inerzia della piattaforma

Una volta raccolti tutti i dati relativi a accelerazione angolare della piattaforma, massa

e raggio di rotazione (punto 1) e il momento frenante (punto 2) è stato semplice

calcolare attraverso la formula teorica il valore sperimentale del momento d'inerzia

con la relativa incertezza.(Per molte delle misurazioni le incertezze considerate sono

state quelle strumentali).

4. Misura e calcolo dell’inerzia del cilindro cavo

Completata la prima parte dell'esperimento ci siamo calcolati il momento d'inerzia del

cilindro di alluminio cavo che è stato posizionato al centro della piattaforma rotante.

Di nuovo con la stessa massa e lo stesso raggio di rotazione di cui al punto 1 ci siamo

calcolati l'accelerazione angolare del sistema piattaforma+disco da cui ci siam

ricavati il momento d'inerzia totale (avendo tutti i dati a disposizione) e di

conseguenza abbiamo potuto estrapolare quello del singolo disco con la relativa

incertezza e abbiamo potuto confrontarlo con quello teorico. Per fare il confronto

abbiamo dovuto pesare il disco con la bilancia e misurare con il calibro il raggio

esterno e quello interno cercando di essere i più precisi possibile (i valori sono stati

riportati sempre a pag 7 ).


5. Posizionamento del cilindro in diverse posizioni

Il momento d'inerzia calcolato al punto 4 è riferito alla rotazione del disco rispetto al

suo centro di massa. Ulteriore scopo dell'esperienza era dimostrare la validità del

teorema di Huygens-Steiner per cui abbiamo spostato il disco in 5 posizioni differenti

rispetto al centro della piattaforma (cercando di non scegliere spostamenti eccessivi

per non sbilanciare troppo lo strumento) e abbiamo ripetuto i calcoli del punto 4 per

calcolarci il suo relativo momento d'inerzia. Questi valori sono stati confrontati infine

con quelli del teorema prestando molta attenzione alle incertezze relative. Inoltre i

suddetti dati sono stati rielaborati graficamente per mostrare come tale teorema

poteva essere dedotto sperimentalmente.

6. Posizionamento di due cilindri in diverse posizioni

Per concludere l'esperienza abbiamo considerato un sistema fisico più complesso

composto dalla piattaforma e da due dischi di alluminio. Abbiamo considerato i due

dischi di dimensioni uguali e abbiamo calcolato solo la differenza di massa. In questo

esperimento abbiamo posizionato i dischi sulla piattaforma in 3 posizioni diverse

(equidistanti dal centro e non) e abbiamo di nuovo cercato di verificare il teorema di

Huygens-Steiner. Essendo però in questo caso molto più difficile il confronto

abbiamo dovuto considerare di volta in volta per ogni disco il valore teorico del

momento d'inerzia dell'altro disco. Per queste ultime misurazioni abbiamo cambiato

sia la massa che metteva in rotazione la piattaforma che il diametro di avvolgimento

del filo (tali misure sono state riportate nella tabella a pag 7 con i nomi di massa 6 e

raggio 2). Abbiamo dunque dapprima aggiunto un nuovo pernetto alla piattaforma e

con 5 misurazioni dell'accelerazione angolare abbiamo ricalcolato il suo momento

d'inerzia (ovviamente meno preciso di quello calcolato al punto 3) dopodiché

abbiamo ripetuto le 5 misurazioni di accelerazione del sistema

piattaforma+disco1+disco2 nelle relative posizioni.


RACCOLTA DEI DATINella prima tabella abbiamo riportato le misure effettuate con la bilancia e con il

calibro sugli strumenti adottati nell'esperienza (pesetti, disco, raggio di avvolgimento)

con le relative incertezze considerate come l'errore dello strumento:

Misura effettuata Valore trovato Incertezza Diametro del raggio 1 su cui è stato avvolto il filo.

0,0250 m 0,00005 m

Diametro del raggio 2 su cui è stato avvolto il filo.

0,0166 m 0,00005 m

Diametro esterno dei dischi. 0,0990 m 0,00005 mDiametro interno dei dischi. 0,0250 m 0,00005 mMassa del supporto. 0,0083 kg 0,0001 kgMASSA 1 del pesetto. 0,1001 kg 0,0001 kgMASSA 2 del pesetto. 0,1201 kg 0,0001 kgMASSA 3 del pesetto. 0,1502 kg 0,0001 kgMASSA 4 del pesetto. 0,1702 kg 0,0001 kgMASSA 5 del pesetto. 0,2001 kg 0,0001 kgMASSA 6 dei pesetti. 0,1701 kg 0,0001 kgMASSA disco di alluminio 1 0,2044 kg 0,0001 kgMASSA disco di alluminio 2 0,1996 kg 0,0001 kg

Nella prossima tabella sono riportati invece tutti i dati ricavati dalle 50 misurazioni

con il software e la piattaforma rotante libera. Il software ci forniva il coefficienti della

parabola dell'equazione del moto:

Possiamo confrontare questa relazione con quella teorica e ricavare che:

Per cui dal terzo coefficiente per ricavarci l'accelerazione angolare è stato sufficiente

moltiplicare il valore per 2. I dati sono stati riportati con tante cifre significative

quante sono state fornite dal software.


Coefficiente

misurato

Accelerazione

Angolare

Scarto Coefficiente

misurato

Accelerazione

Angolare

Scarto

0,396800,399150,401890,402050,402290,402790,403050,403800,404050,404170,404600,404610,404770,405040,405150,405350,405430,405680,405740,405860,405930,406150,406180,406210,40621

0,793600,798300,803780,804100,804580,805580,806100,807600,808100,808340,809200,809220,809540,810080,810300,810700,810860,811360,811480,811720,811860,812300,812360,812420,81242

-0,019-0,014-0,009-0,008-0,008-0,007-0,006-0,005-0,004-0,004-0,003-0,003-0,003-0,002-0,002-0,002-0,001-0,001-0,001-0,0010,0000,0000,0000,0000,000

0,406310,406560,406600,406740,406930,407000,407480,407530,407700,407770,407890,407890,408050,408190,408210,408290,408530,408550,408630,408980,409220,409940,410210,410710,41087

0,812620,813120,813200,813480,813860,814000,814960,815060,815400,815540,815780,815780,816100,816380,816420,816580,817060,817100,817260,817960,818440,819880,820420,821420,82174

0,0000,0010,0010,0010,0020,0020,0030,0030,0030,0030,0030,0030,0040,0040,0040,0040,0050,0050,0050,0060,0060,0080,0080,0090,009

Il valore medio risultante da tali misurazioni corrisponde alla media aritmetica, quindi:

A ogni periodo poi è possibile associare uno scarto che è importante nell’analisi statistica

e nella determinazione dell’errore commesso sulla misura, dato da:

Nella prossima tabella riportiamo i dati relativi alle accelerazioni angolari calcolate con le

masse 2,3,4,5 sempre moltiplicando per due il coefficiente fornito dal software.

Riportiamo anche i valori medi calcolati con le relative deviazioni standard medie

ricavate dalla funzione di excel stdev(...).


Coeff. 2 Acc. 2 Coeff. 3 Acc. 3 Coeff. 4 Acc. 4 Coeff. 5 Acc. 50,499430,500430,499660,499890,504430,503710,503740,504630,502510,50565

0,998861,000860,999320,999781,008861,007421,007481,009261,005021,01130

0,651360,651900,650000,650750,650330,652670,651780,652810,649650,65125

1,302721,303801,300001,301501,300661,305341,303561,305621,299301,30250

0,750870,746820,750650,746390,752210,744330,752990,749830,752030,74425

1,501741,493641,501301,492781,504421,488661,505981,499661,504061,48850

0,896650,891250,895770,893550,895970,890110,896710,892770,898480,89810

1,793301,782501,791541,787101,791941,780221,793421,785541,796961,79620

VALORI MEDI1,00482 rad/s2 1,30250 rad/s2 1,49807 rad/s2 1,78987 rad/s2

DEVIAZIONE STANDARD MEDIA0,00149 0,00068 0,00209 0,00181

Riportiamo ora le misure di accelerazione calcolate con il disco di alluminio sulla

piattaforma nelle diverse distanze d dal centro di rotazione:

0 cm 2 cm 4 cm 6 cm 8 cm 10 cm0,396940,396250,395900,398240,397720,398200,397770,396620,399020,39853

0,390780,393050,394230,396810,397730,397800,398330,400280,396970,40238

0,387910,393680,388400,394540,389310,394290,394960,390510,385080,39114

0,375280,377790,376570,377010,377810,378360,380840,377190,380730,37795

0,356780,361550,359150,360410,360500,361540,360240,361180,363100,36210

0,344150,340420,341220,340070,340740,340630,345610,342630,342110,34195

Accelerazione0,793880,792500,791800,796480,795440,796400,795540,793240,798040,79706

0,781560,786100,788460,793620,795460,795600,796660,800560,793940,80476

0,775820,787360,776800,789080,778620,788580,789920,781020,770160,78228

0,750560,755580,753140,754020,755620,756720,761680,754380,761460,75590

0,713560,723100,718300,720820,721000,723080,720480,722360,726200,72420

0,688300,680840,682440,680140,681480,681260,691220,685260,684220,68390


Nell'ultima tabella sono riportati invece i valori dei coefficienti e quelli delle relative

accelerazioni angolari (calcolate con la solita moltiplicazione) dapprima con la

piattaforma libera, e successivamente con i due dischi di alluminio disposti alle relative

distanze d1, d2 dal centro di rotazione. La massa usata in questo caso per mettere in

rotazione il sistema è stata la massa 6 e il raggio di avvolgimento del filo è il raggio2:

Piattaforma D1=24cm D2=24cm D1=18cm D2=6cm D1=5cm D2=5cmCoeff. Accel. Coeff. Accel. Coeff. Accel. Coeff. Accel.

0,448810,458750,459420,464650,44486

0,897620,917500,918840,929300,88972

0,140390,140640,140930,145120,14430

0,280780,281280,281860,290240,28860

0,268630,274620,269690,279690,27096

0,537260,549240,539380,559380,54192

0,402400,406220,392090,411060,41010

0,804800,812440,784180,822120,82020

ANALISI STATISTICA E ANALISI DEGLI ERRORICome ulteriore scopo dell’esperienza di laboratorio c’era da analizzare ed elaborare i dati

statisticamente. Dapprima servendoci degli strumenti della statistica descrittiva abbiamo

verificato che i dati raccolti sui periodi si distribuivano su una gaussiana. Per far questo è

stato utile l’utilizzo del calcolatore con il foglio di calcolo excel che ci ha permesso di

stilare degli istogrammi molto significativi. Dividendo infatti i dati in 7 classi

equispaziate abbiamo riportato la frequenza dei dati ottenendo quanto segue:

Scala Tempi Frequenza

1 0,79762 12 0,80164 13 0,80566 44 0,80968 75 0,81370 166 0,81772 157 0,82174 6

(La scelta di 7 classi è presa sotto

consiglio di dividere i dati

approssimativamente in √N classi

dove N rappresenta il numero di dati

raccolti).


0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7

Dal poligono di frequenza ottenuto dalla spezzata che unisce i picchi degli istogrammi

(non visualizzato) si individua una distribuzione quasi “a campana” dei dati raccolti

sperimentalmente. Tale distribuzione è possibile confrontarla direttamente con una

gaussiana normalizzata ma non otterremmo un risultato soddisfacente (e già lo

osserviamo dall'istogramma) in quanto le misurazioni prese sono state relativamente

poche. Nella prossima tabella sono stati riportati dei parametri statistici con le relative

formule matematiche utilizzate per calcolarli.

Devianza

Varianza

Deviazione standard

Deviazione standard media

La deviazione standard media in particolare è considerabile come l’incertezza

sull'accelerazione angolare media calcolata α .

Passando alla seconda tappa dell'esperimento per il calcolo del momento frenante

utilizziamo la seguente formula:

Per questo è necessario conoscere il valore dell'accelerazione di gravità (che la

consideriamo come una costante conosciuta), il raggio di rotazione (raggio1 fissato) e la

massa frenante con le relative incertezze. Per il calcolo della massa frenante abbiamo

approssimato i dati ricavati mettendo in rotazione la piattaforma con 4 masse differenti* e

le abbiamo riportate su un grafico α, m approssimandoli con il metodo dei minimi

quadrati L'approssimazione è stata effettuata dal software di calcolo Matlab che ha

mostrato una linearità (come da teoria) dei dati raccolti sperimentalmente. Il grafico

fornitoci dal software rappresenta i punti sperimentali (x,y) all'interno di un rettangolino

colorato che però non è visibile (si intravedono solamente dei piccoli trattini) perché gli

errori sono assai piccoli e quindi trascurabili.


Script Matlab per il calcolo della massa frenante%Calcolo della massa frenantex=[0.1084 0.1284 0.1585 0.1785 0.2084];y=[0.81231 1.00482 1.30250 1.49807 1.78987];c=polyfit(x,y,1);dx=0.0001;dy=[0.00078 0.00149 0.00068 0.00209 0.00181];b=c(1); a=c(2);disp(sprintf('La retta che approssima il grafico è y = %3.4f x %3.4f',b,a))massa=-a/b; disp(sprintf('La massa frenante calcolata è pari a %3.4f kg',massa))z=linspace(0,0.25); p=polyval(c,z);title('Grafico delle accelerazioni angolari relative a masse diverse')hold on xlabel('Masse (kg)'); ylabel('Accelerazioni angolari (rad/s^2)')plot(x,y,'o',z,p,'r') plot(massa,0,'*')text(0.01,0.1,'mf') grid onfor i=1:5 fill([x(i)-dx x(i)-dx x(i)+dx x(i)+dx], [y(i)-dy(i) y(i)+dy(i) y(i)+dy(i) y(i)-dy(i)],1) end%Calcolo degli erroricov=(y-a-b*x);erra=sqrt(1/3*sum(cov.^2)*sum(x.^2)/(5*sum(x.^2)-sum(x)^2));errb=sqrt(5/3*sum(cov.^2)/(5*sum(x.^2)-sum(x)^2));disp(sprintf('Gli errori commessi sono: err(a)=%3.4f, err(b)=%3.4f',erra,errb))

Output:La retta che approssima il grafico è y = 9.7909 x -0.2502La massa frenante calcolata è pari a 0.0256 kgGli errori commessi sono: err(a)=0.0031, err(b)=0.0194

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5G r a f i c o d e l l e a c c e l e r a z i o n i a n g o l a r i r e l a t i v e a m a s s e d i v e r s e

M a s s e ( k g )

Acc

eler

azio

ni a

ngol

ari (

rad/

s2 )

m f


Gli errori relativi ai coefficienti della retta y= A + Bx sono forniti dalle seguenti formule:

Calcolando si ottengono i seguenti risultati:

L'errore relativo alla massa frenante è dato invece dalla seguente formula:

Il valore del momento frenante e la relativa incertezza (dovuta dalla propagazione degli

errori) sono dunque i seguenti:

Tali valori saranno tenuti sempre costanti per tutto il resto dell'esperimento. Avendo ora

tutti i dati necessari è possibile calcolare il momento d'inerzia della piattaforma rotante:

L'incertezza su questo valore, dipendendo da molti altri dati, è data dalla formula

sottostante dove sono esplicitate le derivate parziali calcolate precedentemente:


Si ottiene dunque facendo i calcoli il seguente valore:

Passando alla seconda parte dell'esperienza, quella in cui interveniva il calcolo del

momento d'inerzia del disco di alluminio, riportiamo nella tabella seguente le

accelerazioni angolari medie relative alle diverse distanze d dal centro di rotazione con le

rispettive deviazioni standard medie:

0cm 2cm 4cm 6cm 8cm 10cm0,79504 rad/s2 0,79367rad/s2 0,78196 rad/s2 0,75591 rad/s2 0,72131 rad/s2 0,68391 rad/s2

DEVIAZIONI STANDARD MEDIE0,00066 0,00215 0,00212 0,00109 0,00110 0,00112

Consideriamo ora il caso in cui il disco ruotava attorno al proprio centro di massa e con le

stesse formule utilizzate per il calcolo del momento d'inerzia della piattaforma

consideriamo ora l'inerzia del sistema disco+piattaforma con la relativa incertezza:

Per ricavarci l'inerzia del singolo disco dobbiamo operare la seguente operazione, tenuto

conto che il momento d'inerzia calcolato è la somma dei singoli momenti d'inerzia che

compongono il sistema:

Possiamo confrontare il valore così calcolato con il valore teorico avendo a disposizione

tutti i dati con le relative incertezze strumentali:

Come si vede la differenza tra i due valori è pari a: 0,00001.

Considerando invece le accelerazioni angolari a distanze diverse dal centro di rotazione

possiamo calcolarci i relativi momenti d'inerzia del disco e dimostrare il teorema di


Huygens-Steiner che descrive il modo in cui varia il momento d'inerzia a seconda della

distanza d presa in considerazione. Ripetendo gli stessi calcoli fatti precedentemente

(d=0cm) otteniamo i seguenti valori dei momenti d'inerzia con i relativi errori:

Confrontiamo ora tali valori con quelli teorici che sono ricavati dalla formula del

teorema. Andando a calcolare si ottengono i seguenti risultati:

Le discrepanze tra i due valori (teorico e sperimentale) sono riportate nella tabella

seguente e vediamo che in tutti i casi la precisione delle misure è sufficiente a farci

concludere che sono corrette:

2cm 4cm 6cm 8cm 10cm0,00029(15) 0,00048(16) 0,00093(15) 0,00158(16) 0,00234(16)

RANGE SPERIMENTALE0,00014 0,00044 0,00032 0,00064 0,00078 0,00108 0,00142 0,00174 0,00218 0,00250

VALORE TEORICO0,00035(0) 0,00059(2) 0,00100(2) 0,00157(3) 0,00231(4)

DISCREPANZA0,00005 0,00010 0,00007 0,000002 0,00004


Passiamo ora a rielaborare i suddetti dati in modo concettualmente differente.

Supponiamo infatti di non conoscere il teorema di Huygens-Steiner e di voler ricavare da

quest'esperienza una relazione fisica soddisfacente. Disegnando i suddetti grafici e

interpolandoli con Matlab otteniamo un andamento parabolico degli stessi (vedesi pagina

seguente. Il grafico ottenuto presenta la curva teorica, verde e quella sperimentale rossa e

a ogni dato è associata l'incertezza rappresentata dal rettangolo colorato). Ne

concludiamo che la relazione tra distanze e momento d'inerzia deve essere del tipo:

Dobbiamo dunque calcolarci unicamente i 3 coefficienti della parabola. Con un pò di

attenzione riusciamo a determinarli in modo preciso, infatti:

1) La parabola ha un minimo sull'asse delle ordinate

2) Il valore di (alfa) calcolato è simile alla massa del disco

Riassumendo si deduce dunque:

Passiamo ora a considerare l'ultima fase dell'esperienza in cui abbiamo un sistema

meccanico più complesso composto da due dischi di alluminio che differiscono non per

dimensioni ma per massa. Dapprima, visto che sono state cambiate le condizioni con cui

la piattaforma viene messa in movimento, ricalcoliamo il momento d'inerzia della

piattaforma rotante (alla quale è stato aggiunto un pernetto come sostegno del secondo

disco) considerando la nuova accelerazione angolare e la sua deviazione standard:

Come si vede il risultato è assai meno preciso del primo effettuato perché è stato costruito

unicamente su 5 misurazioni effettuate. Ora una volta posizionati i due dischi sulla

piattaforma nelle tre diverse posizioni calcoliamoci le accelerazioni angolari relative con

le rispettive incertezze e passiamo al calcolo del momento d'inerzia del sistema


Script Matlab per visualizzare l'andamento dei dati%Rappresentazione di Huygens-Steinerx=[0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10];y=[0.00026 0.00035 0.00059 0.00100 0.00157 0.00230];y2=[0.00027 0.00029 0.00048 0.00093 0.00158 0.00235];c=polyfit(x,y2,2); c2=polyfit(x,y,2);dx=0.001;dy=[0.00015 0.00015 0.00016 0.00015 0.00016 0.00016];a=c(1); b=c(2); d=c(3);disp(sprintf('La parabola che approssima il grafico è y = %3.4f x^2 %3.4f x + %3.4f\n',a,b,d))z=linspace(0,0.12);p=polyval(c,z);p2=polyval(c2,z);title('Grafico dei momenti d''inerzia al variare delle distanze')hold onxlabel('Distanze(m)');ylabel('Momento d''inerzia (Kg)')for i=1:6 fill([x(i)-dx x(i)-dx x(i)+dx x(i)+dx], [y2(i)-dy(i) y2(i)+dy(i) y2(i)+dy(i) y2(i)-dy(i)],1) endplot(x,y2,'o',x,y,'b*',z,p2,z,p,'r')grid on

Output:La parabola che approssima il grafico è y = 0.2496 x^2 -0.0039 x + 0.0003

- 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 20

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

3 . 5x 1 0

- 3 G r a f i c o d e i m o m e n t i d ' i n e r z i a a l v a r i a r e d e l l e d i s t a n z e

D i s t a n z e ( m )

Mom

ento

d'in

erzi

a (K

g)


piattaforma+disco1+disco2. Tale momento è dato dalla somma dei 3 momenti distinti;

per determinare di volta in volta il momento d'inerzia di un disco ci dobbiamo calcolare

quello teorico rispettivo dell'altro disco come segue:

Riportiamo ora in una tabella le accelerazioni angolari medie calcolate con il loro errore:

Accelerazioni e deviazioni standard medie1 posizione 2 posizione 3 posizione

0,28455 ± 0,00201 rad/s2 0,54544 ± 0,00403 rad/s2 0,80875 ± 0,00687 rad/s2

Andando a sostituire nei calcoli tutti i dati misurati si ottengono i seguenti risultati:

PRIMA POSIZIONE

I1=0.01574 I2=0.01545 T1 =0.01204 T2 = 0.01176

δI1=0.00244 δI2=0.00245 δT1=0.00010 δT2=0.00010

SECONDA POSIZIONE

I1=0.00739 I2=0.00148 T1 =0.00689 T2 = 0.00098

δI1=0.00152 δI2=0.00157 δT1=0.00007 δT2=0.00002

TERZA POSIZIONE

I1=0.00082 I2=0.00080 T1 =0.00078 T2 = 0.00076

δI1=0.00121 δI2=0.00121 δT1=0.00002 δT2=0.00002

In questo elenco I rappresenta il momento d'inerzia calcolato e T quello teorico. Come si

nota queste misure non sono affatto precise e disegnando gli andamenti teorici e

sperimentali (vedi pagina seguente) si nota come con sole 5 misurazioni e 3 posizioni si

ottengono andamenti errati.

*Le masse considerate in TUTTI i calcoli eseguiti sono state calcolate sommandovi la

massa del supporto e la relativa incertezza è data da:


CONCLUSIONEDall'esperienza abbiamo notato che lo studio di un moto rotatorio e la meccanica del

corpo rigido è abbastanza complessa. Il sensore elettronico, fortunatamente, ci ha

permesso di ottenere delle misurazioni abbastanza precise dell'accelerazione angolare

della nostra piattaforma. In generale infatti la precisione dei risultati è stata dell'ordine

di grandezza di 10-5 quindi assai soddisfacente. L'esperienza ha mostrato la validità

degli approcci teorici di fondo con la verifica sperimentale delle formule. Il primo

problema sorto tra pratica e teoria è stato quello degli attriti interni non trascurabili e

quindi della determinazione del momento frenante. Una volta determinato questo è

stato possibile procedere ricavando i dati con le relative incertezze. E' proprio in

questo caso che è stata di fondamentale importanza la teoria della propagazione degli

errori in quanto le grandezze calcolate dipendevano da un gran numero di variabili.

Dopo la verifica della correttezza della formula per ricavare l'inerzia del disco di

alluminio rotante attorno al suo centro di massa, si è passati a dimostrare quello che è

il teorema di Huygens-Steiner con risultati abbastanza accurati. Dall'esperienza si è

tentato anche l'approccio inverso, ossia di dedurre il teorema dai dati sperimentali

attraverso la rappresentazione grafica intuitiva. La situazione si è invece complicata

con lo studio di un sistema più complesso (quello composto dai due dischi) dove è

stato necessario prendere in considerazione degli aspetti teorici nei calcoli.

Statisticamente invece sono risultate più accurate le misure con un maggior numero di

raccolta dati mentre con poche misure spesso si raggiungono risultati non troppo

precisi (vedesi ultima parte dell'esperimento con l'andamento dei momenti d'inerzia

dei due dischi). Questo conclude, in breve, una rapida panoramica di varie situazioni

che possono verificarsi in ambito sperimentale: verifica della teoria, deduzione di

nuove formule, valutazione dei risultati, calcolo della precisione degli stessi.

APPROFONDIMENTI TEORICILa piattaforma rotante è un sistema fisico schematizzabile come nella figura della

pagina seguente. La massa m attaccata a un'estremità del filo viene lasciata cadere

verso il basso soggetta alla forza peso e alla tensione del filo. Cadendo la tensione del


filo mette in rotazione la piattaforma

generando un momento M attorno al

raggio r. La piattaforma inizia dunque a

ruotare con un'accelerazione angolare e

una velocità angolare che sono

determinabili da equazioni che

manipolate adeguatamente portano al

seguente risultato (utile per l'esperienza

di laboratorio) per il calcolo del

momento d'inerzia:

Per concludere bisogna tener presente che oltre che al momento generato dalla caduta

del grave agisce sulla piattaforma anche un momento frenante dovuto alle forze di

attrito che è determinabile in questo modo:

GRUPPO DI SPERIMENTAZIONEStefanucci Camillo, Tabacco David, Tonelli Piero


Relazione: La piattaforma rotante

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