Relazione: Effetto Joule

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Cesare Barbesta -‐ Francesco Dulio

STUDIO DELLA TRASFORMAZIONE DI ENERGIA ELETTRICA IN ENERGIA TERMICA: “EFFETTO JOULE” SCOPO DELL’ESPERIENZA Lo scopo dell’esperimento consiste nella verifica completa della relazione che descrive il cosiddetto “effetto Joule”, ovvero il fenomeno per cui in un conduttore attraversato da corrente l’energia elettrica viene dissipata sotto forma di energia termica (calore). La relazione da verificare è la seguente:

𝑄 =14.18 𝐼

! 𝑅 𝑡

in cui 𝑄 (calorie) indica la quantità di calore prodotta, 𝐼 (ampere) è l’intensità di corrente elettrica, 𝑅 (ohm) è la resistenza elettrica e 𝑡 il tempo.

La verifica completa della legge avviene attraverso i passi indicati:

1. verifica grafica della linearità della relazione 𝑄 ∝ 𝐼! e di conseguenza anche della relazione 𝑄 ∝ 𝑉! , dato che la differenza di potenziale (o tensione) 𝑉 è direttamente proporzionale a 𝐼 (prima legge di Ohm);

2. verifica grafica della linearità della relazione 𝑄 ∝ 𝑡 .

FONDAMENTO TEORICO Il fenomeno dell’ “effetto Joule” si verifica quando ai capi di un conduttore viene applicata una differenza di potenziale 𝑉 (o tensione, prodotta da un generatore di tensione). La tensione

𝑉 = !!

è definita come il lavoro compiuto dal generatore per portare da un capo all’altro del

conduttore una carica elettrica unitaria, ed è proprio tale lavoro che provoca un’accelerazione delle cariche elettriche presenti nel conduttore metallico. Nel caso in esame gli elettroni (liberi di muoversi) presenti nella resistenza metallica permettono la conduzione di energia. Il moto degli elettroni si mantiene stabilmente generando così una corrente elettrica nella resistenza.

L’intensità di corrente elettrica 𝐼 = !! si definisce come la quantità di carica elettrica che

attraversa una sezione del conduttore.

Perciò il prodotto tra tensione e intensità di corrente rappresenta la potenza erogata dal generatore, ovvero il lavoro compiuto per unità di tempo:

𝑉 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒

𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝐼 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

𝑠 = 𝑉 𝐼 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 = 𝑉 𝐼 (𝑤𝑎𝑡𝑡)

Quindi il lavoro compiuto dal generatore nel tempo 𝑡 sarà dato da 𝐿 = 𝑉 𝐼 𝑡 (joule).

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Si vuole verificare con questa esperienza se effettivamente il calore prodotto (energia termica dissipata) è pari all’energia elettrica associata a tale lavoro.

La trasformazione da energia elettrica a energia termica è dovuta al fatto che gli elettroni, muovendosi nel conduttore, collidono con gli atomi che lo costituiscono. In questi urti l’energia cinetica degli elettroni viene trasformata in energia termica e quindi in definitiva si ha una trasformazione di energia elettrica in energia termica. Si noti che se le cariche elettriche (elettroni) si muovessero nel vuoto, il lavoro compiuto su di esse dal generatore produrrebbe solo un aumento della loro energia cinetica: in questo caso si avrebbe una trasformazione completa di energia elettrica in energia cinetica (meccanica).

Per quanto si è detto sopra, la quantità di calore prodotta nel tempo t deve essere uguale al lavoro compiuto dal generatore di tensione sugli elettroni

𝐸 = 𝑉 𝐼 𝑡 (𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒)

Tale relazione si può esprimere anche in altri modi, utilizzando la prima legge di Ohm, che definisce la relazione di proporzionalità diretta tra tensione e intensità di corrente ( 𝑉 = 𝑅 𝐼 ) :

𝐸 = 𝑅𝐼 𝐼 𝑡 = 𝐼! 𝑅 𝑡 (𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒)

𝐸 = 𝑉 𝑉𝑅 𝑡 =

𝑉!

𝑅 𝑡 (𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒)

Per il principio di equivalenza tra energia meccanica e calore:

𝐸 = 𝐽 𝑄 (𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒)

in cui 𝐸 (joule) è l’energia elettrica, 𝐽 è l’equivalente meccanico della caloria, pari a 4.18 !!"#

(1 𝑐𝑎𝑙 = 4.18 𝐽 ), e 𝑄 (cal) è il calore prodotto.

Perciò, se l’energia viene misurata in joule e la quantità di calore in calorie, durante l’effetto Joule

si produce una quantità di calore 𝑄 = !!.!"

𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑒 , quindi:

𝑄 =14.18 𝐼

! 𝑅 𝑡 =14.18

𝑉!

𝑅 𝑡 = 14.18 𝑉 𝐼 𝑡 (𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑒)

Si è ottenuto che la quantità di calore prodotta è proporzionale al quadrato dell’intensità di corrente (e della tensione).

Il calore prodotto dalla corrente nella resistenza 𝑅 viene trasferito all’acqua contenuta nel calorimetro, che aumenta quindi la sua temperatura. Esiste una relazione tra la quantità di calore assorbita dall’acqua e la conseguente variazione di temperatura: 𝑄 = 𝑐 𝑚 ∆𝑇 da cui risulta che la quantità di calore è proporzionale alla variazione di temperatura ed alla massa dell’acqua; la

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costante di proporzionalità tra le due grandezze è il calore specifico (nel caso dell’acqua esso è pari

a 1 !"#! °!

; come approssimazione si considera costante indipendentemente dalla temperatura).

Tuttavia si deve tener conto che in realtà il calore sviluppato in 𝑅 non serve solo ad aumentare la temperatura dell’acqua, ma anche quella della parte interna del calorimetro e degli oggetti in esso contenuti (agitatore, termometro e resistenza). Risulta perciò necessario includere nella relazione soprastante la capacità termica di tali oggetti 𝐶! 𝑀 , dove 𝐶! ne indica il calore specifico medio e 𝑀 la loro massa:

𝑄 = 𝑐 𝑚 + 𝐶! 𝑀 ∆𝑇

Questa relazione sarà utilizzata per calcolare la quantità di calore sviluppata in 𝑅 in corrispondenza di una determinata tensione 𝑉 e corrente 𝐼 , avendo misurato la differenza di temperatura dell’acqua.

APPARATO SPERIMENTALE • L’apparato sperimentale è schematizzato nella Figura 1 ed è costituito dai seguenti

componenti: • Trasformatore, che abbassa la tensione di 220 V fornita dalla rete a 6/8 V . • Amperometro, risoluzione di lettura: 0.01 A , portata: 10 A • Voltmetro, risoluzione di lettura: 0.01 V , portata: 20 V • Reostato (resistenza elettrica variabile X da 0 a 5 Ω )

• Calorimetro, capacità termica: 𝐶! 𝑀 = 34 !"#°!

• Termometro, risoluzione di lettura: 0.1 °C • Resistenza elettrica (all’interno del calorimetro), valore: 1.43 Ω • Cronometro, risoluzione di lettura: 0.01 s

Figura 1

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La trasformazione di energia elettrica in calore, oggetto di studio dell’esperienza, avviene nella resistenza 𝑅 contenuta nel calorimetro. La resistenza 𝑅 è immersa nell’acqua1 contenuta nel calorimetro, un recipiente costruito in modo tale da rendere minimo lo scambio di calore tra l’interno e l’ambiente esterno (idealmente adiabatico).

Nel calorimetro sono inseriti anche un agitatore, necessario per uniformare la temperatura dell’acqua durante la liberazione di calore da parte della resistenza, e un termometro, che misura le variazioni di temperatura dell’acqua.

Il voltmetro (collegato alla resistenza 𝑅 in parallelo) e l’amperometro (collegato in serie) consentono una misura simultanea della differenza di potenziale ai capi di 𝑅 e dell’intensità di corrente che circola in essa.

Il reostato è stato inserito in serie nel circuito per poter disporre di una tensione variabile ai capi della resistenza 𝑅 . Il legame tra resistenza e tensione è dato dalla prima legge di Ohm 𝑉 = 𝑅 𝐼 , quindi se 𝑉! è la tensione fornita dal trasformatore, la tensione registrata dal voltmetro (che è la

stessa presente ai capi di 𝑅 ) varierà dal valore minimo !!!!!

(𝑋 = 5 Ω) al valore massimo 𝑉 (𝑋 = 0 Ω) .

ESECUZIONE DELL’ESPERIENZA Come si è visto nel paragrafo 2, le grandezze che determinano la quantità di calore sviluppato sono la tensione 𝑉, l’intensità di corrente 𝐼 e il tempo 𝑡 . Durante la raccolta dei dati sperimentali è opportuno far variare una sola grandezza per volta (tra quelle citate sopra), per valutarne l’influenza sulla quantità di calore prodotto. A tal fine le misurazioni della temperatura dell’acqua nel calorimetro (da cui poi si calcolerà il calore sviluppato in 𝑅 con 𝑄 = 𝑐 𝑚 + 𝐶! 𝑀 ∆𝑇 ) verranno effettuate in due fasi: nella prima fase si mantiene fisso l’intervallo di tempo (3 minuti) e si fa variare la tensione -‐ e quindi l’intensità di corrente, dato che queste due grandezze sono legate dalla prima legge di Ohm -‐ , mentre nella seconda fase rimane costante la tensione (e l’intensità di corrente) e si varia l’intervallo di tempo considerato.

Per prima cosa s’introducono nel calorimetro 130± 5 𝑐𝑚! di acqua distillata, facendo attenzione che la resistenza e la punta del termometro siano immerse. Si ricordi di registrare col termometro la temperatura iniziale dell’acqua nel calorimetro.

Nella prima fase si assegna un certo valore (leggibile sul voltmetro) alla tensione -‐ regolabile tramite il reostato -‐ ai capi della resistenza, partendo da circa 2 V fino al valore massimo possibile. A tali valori della tensione corrisponde una determinata intensità corrente (il cui valore si legge sull’amperometro) che scorre attraverso 𝑅. Fissata la tensione, si lascia circolare la corrente nel circuito per un intervallo di tempo di 3 minuti (misurabile con un cronometro), muovendo regolarmente l’agitatore per rendere uniforme la temperatura dell’acqua nel calorimetro. Con il termometro viene misurata la temperatura dell’acqua all’inizio e alla fine dei 3 minuti. Si ripete 1 È necessario che l’acqua sia demineralizzata, affinché non conduca la corrente (essendo isolante, evita perturbazioni nella misura dell’intensità di corrente).

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tale procedura per circa 5 intervalli di tempo di 3 minuti, ad ognuno dei quali corrisponderà un certa tensione. Per ogni intervallo si registrano quindi i valori sperimentali delle tre grandezze tensione, intensità di corrente e temperatura (differenza di temperatura dell’acqua).

In seguito, prima di iniziare la seconda fase di misurazioni, si cambia l’acqua contenuta nel calorimetro (di nuovo 130± 5 𝑐𝑚! ), rilevandone la temperatura iniziale. Si fa circolare quindi nel circuito una corrente di 2 ampere per circa 15 minuti, registrando la temperatura dell’acqua a intervalli di tempo successivi diversi l’uno dall’altro (1 min, 2 min, 3 min, ecc). Si ottengono così i valori delle differenze di temperatura corrispondenti ad ogni intervallo di tempo (tensione e corrente sono costanti).

ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI

1. Dalla prima serie di misure si calcola la quantità di calore sviluppatosi nella resistenza 𝑅 tramite la relazione 𝑄 = 𝑐 𝑚 + 𝐶! 𝑀 ∆𝑇 (𝑐𝑎𝑙) . Per convertire il calore in joule si utilizza l’espressione 𝐸 = 4.18 ∗ 𝑄 . I valori registrati e quelli calcolati sono presentati nella tabella sottostante:

V (V) δV (V) I (A) δI (A) t (s) δt (s) T iniz. (°C) T finale (°C) δT (°C) 1.850 0.005 1.510 0.005 180 0.0005 25.00 26.40 0.05 2.525 0.005 2.010 0.005 180 0.0005 26.50 28.25 0.05 3.155 0.005 2.490 0.005 180 0.0005 31.00 33.50 0.05 3.885 0.005 3.005 0.005 180 0.0005 34.50 38.25 0.05 4.605 0.005 3.520 0.005 180 0.0005 43.50 47.85 0.05 5.260 0.005 3.995 0.005 180 0.0005 51.00 56.80 0.05 5.950 0.005 4.495 0.005 180 0.0005 59.00 66.20 0.05

ΔT (°C) δ[ΔT] (°C) Q (J) δQ (J) 1.4 0.1 960 105 1.8 0.1 1200 115 2.5 0.1 1714 134 3.8 0.1 2571 167 4.4 0.1 2982 183 5.8 0.1 3976 221 7.2 0.1 4936 258

Con i dati soprastanti si costruiscono i seguenti grafici per verificare che, rispettivamente, 𝑄 ∝ 𝐼! e 𝑄 ∝ 𝑉! :

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Si noti che le barre di incertezza associate ai valori di 𝐼! e di 𝑉! non compaiono nei grafici per una insufficiente risoluzione grafica.

y = 249 x

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

Q (J)

I2 (A2)

Q = K · I2

y = 144 x

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Q (J)

V2 (V2)

Q = K' · V2 Grafico 2

Grafico 1

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In corrispondenza ad un valore di 𝐼 e di 𝑉 si calcolano i valori delle costanti 𝐾 e 𝐾’ :

𝐾 =𝑄𝐼! =

298212.39

𝐽𝐴! = 240.7± 15.0

𝐽𝐴!

𝐾! =𝑄𝑉! =

298221.21

𝐽𝑉! = 140.6 ± 8.7

𝐽𝑉!

E si verifica quindi, entro le incertezze, che:

𝐾𝐾′ = 𝑅!

𝐾𝐾! =

240.7± 15.0140.6 ± 8.7 Ω! = (1.7± 0.2) Ω!

2. Dalla seconda serie di misure (riportate sotto in tabella) si costruisce il grafico sottostante per la verifica della linearità di 𝑄 in funzione del tempo 𝑡 :

V (V) δV (V) I (A) δI (A) t (s) δt (s) T iniz. (°C) T finale (°C) δT (°C) 2.555 0.005 2.015 0.005 120 0.0005 25.00 26.0 0.05 2.555 0.005 2.015 0.005 240 0.0005 26.0 27.9 0.05 2.555 0.005 2.015 0.005 360 0.0005 27.9 30.20 0.05 2.555 0.005 2.015 0.005 480 0.0005 30.20 33.85 0.05 2.555 0.005 2.015 0.005 600 0.0005 33.85 37.90 0.05 2.555 0.005 2.015 0.005 720 0.0005 37.90 42.60 0.05 2.555 0.005 2.015 0.005 840 0.0005 42.60 47.60 0.05 2.555 0.005 2.015 0.005 960 0.0005 47.60 54.55 0.05

ΔT (°C) δ[ΔT] (°C) Q (J) δQ (J) 1.0 0.1 686 95 1.9 0.1 1302 119 2.3 0.1 1577 129 3.7 0.1 2502 165 4.1 0.1 2776 175 4.7 0.1 3222 192 5.0 0.1 3428 200 7.0 0.1 4764 252

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Si noti che le barre di incertezza associate ai valori di 𝑡 non compaiono nel grafico per una insufficiente risoluzione grafica.

ANALISI DELLE INCERTEZZE Tutte le incertezze sono considerate massime: per le grandezze misurate direttamente, si è considerata l’incertezza derivante dalla risoluzione di lettura degli strumenti, mentre le incertezze sulle grandezze calcolate si sono ottenute con le formule che regolano la propagazione lineare delle incertezze massime:

• tensione e intensità di corrente: l’incertezza assoluta è uguale alla metà della risoluzione di lettura di voltmetro e amperometro, ovvero, rispettivamente, 𝛿𝑉 = 0.005 𝑉 e 𝛿𝐼 =0.005 𝐴 .

• tempi: l’incertezza assoluta corrisponde a 𝛿𝑡 = 0.01 𝑠 , metà della risoluzione di lettura del cronometro.

• temperatura: si è scelta un’incertezza assoluta 𝛿𝑇 = 0.05 °C, pari alla metà della risoluzione di letture del termometro. Di conseguenza, le differenze di temperatura ∆𝑇 = 𝑇! − 𝑇! sono affette da un’incertezza assoluta pari a 𝛿 ∆𝑇 = 𝛿𝑇 + 𝛿𝑇 = 0.1 °𝐶 .

• calore: è stato ricavato con la relazione 𝑄 = 4.18 ∗ 𝑐 𝑚 + 𝐶! 𝑀 ∆𝑇 , perciò l’incertezza assoluta associata è (si considera trascurabile l’incertezza sul calore specifico dell’acqua e sulla capacità termica del calorimetro):

𝛿𝑄 =𝛿𝑚𝑚 𝑐 𝑚 +

𝛿 ∆𝑇∆𝑇 𝑄

Le incertezze assolute associate ai valori di 𝐾 , 𝐾′ e del loro rapporto:

y = 4.6303x

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 200 400 600 800 1 000 1 200

Q (J)

t (s)

Q = h · t Grafico 3

9

𝛿𝐾 =𝛿𝑄𝑄 +

𝛿𝐼!

𝐼! 𝐾 𝛿𝐾! =𝛿𝑄𝑄 +

𝛿𝑉!

𝑉! 𝐾! 𝛿𝐾𝐾! =

𝛿𝐾𝐾 +

𝛿𝐾′𝐾′

𝐾𝐾!

ACCORGIMENTI / OSSERVAZIONI / SUGGERIMENTI Durante lo svolgimento dell’esperimento si sono valutate le seguenti approssimazioni rispetto ad un caso ideale:

• Il valore della resistenza 𝑅 in realtà non rimane costante durante l’esperienza, infatti aumenta al crescere della sua temperatura, secondo quanto stabilito dalla seconda legge di Ohm.

È possibile valutare il valore di 𝑅 dai dati sperimentali tramite la prima legge di Ohm 𝑅 = !!

(dove i valori della tensione e della corrente sono presi dalla seconda serie di misurazioni) per verificare che tale valore sia compatibile con quello dichiarato (1.43 Ω):

𝑅 =𝑉𝐼 =

2.5552.015 = 1.27 Ω

Tale valore della resistenza ha un’incertezza assoluta trascurabile, dell’ordine di 10!! Ω . Si nota che il valore della resistenza è più basso di quello dichiarato; i due valori di 𝑅 differiscono in base alla seguente discrepanza relativa:

𝑑! =𝑥 − 𝑦𝑥 + 𝑦2

=1.43− 1.271.43 + 1.27

2

= 0.12 (12%)

• Il calorimetro non è perfettamente adiabatico; inoltre, è possibile che il tappo non garantisca una chiusura ottimale e quindi parte dell’acqua potrebbe evaporare e fuoriuscire dal calorimetro durante l’esperienza, causando un difetto di massa.

• Si considera trascurabile l’effetto dell’agitazione meccanica (compiuta tramite l’agitatore) sulle differenze di temperatura dell’acqua nel calorimetro.

• Il calore specifico dell’acqua è stato considerato costante, in realtà esso non è rigorosamente costante, poiché varia (anche se di poco) al variare della temperatura.

CONCLUSIONI Come si può vedere dai grafici Grafico 1 e Grafico 2 le relazioni di linearità

𝑄 ∝ 𝐼! 𝑄 ∝ 𝑉!

risultano verificate entro le incertezze.

Il Grafico 3 conferma invece la linearità della relazione 𝑄 ∝ 𝑡 .

Con questa esperienza è stata effettuata una verifica sperimentale completa -‐ ben riuscita -‐ della

legge che descrive l’effetto joule: 𝑄 = !!.!"

𝐼! 𝑅 𝑡.

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